19/01/08 02:52:20.65 VwO7LWil.net
57/100＜ω＜3/5 を満たす実数ωは必ず有理数であることを証明する。
57/100＜ω＜3/5 を満たす実数ωを任意に取る。ωは有理数であることを示したい。
背理法を使う。ωは無理数であると仮定する。
lim_{p→∞}(|ω－1/p|－1/p^2)＝|ω|＞0 だから、
p≧2 が十分大きければ常に |ω－1/p|－1/p^2＞0 である。
すなわち、p≧2 が十分大きければ常に 1/p^2＜|ω－1/p| である。
また、ωは無理数だから、0＜|ω－q/p|＜1/p^2 を満たす既約有理数 q/p p≧2 が無限個存在する。
(ここからは>>340を拝借)
よって、0＜|ω－q/p|＜1/p^2＜|ω－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
既約有理数 q/p p≧2 が 0＜|ω－q/p|＜1/p^2＜|ω－1/p| を満たすとする。すると、
三角不等式から、0＜|ω－1/p|－|ω－q/p|≦|(q－1)/p|＝|q－1|/p となる。
p≧2 から |ω－q/p|＜1/p^2≦1/4 だから、ω＞1/4 から qが負の整数となることはあり得ない。
従って、p＞0 から |q－1|/p＝(q－1)/p であって、(q－1)/p＞0 から q≧2、
よって q/p≧2/p から、ω－2/p≧ω－q/p＞0。故に、M＝max(2,k) とおけば、或る2以上の正整数mが存在して、
q/p p≧M 2≦q≦m なる任意の既約有理数 q/p が 0＜|ω－q/p|＝ω－q/p＜1/p^2＜|ω－1/p| を満たす。
q＝m とすれば、0＜ω－m/p、よって、ω＜3/5 から m＜p・ω＜p・3/5＝3p/5、故に、m/p＜3/5。
m≧2 から、3p/5＞2 となって p≧4＞10/3。故に、N＝max(4,M) とおけば q/p p≧N 2≦q≦m なる
任意の既約有理数 q/p が 0＜ω－q/p＜1/p^2＜|ω－1/p| を満たす。
q＝2、p＝N とすれば、0＜ω－2/N＜1/N^2 から、ω＜2/N＋1/N^2≦2/4＋1/4^2＝9/16。
しかし、ω＜9/16 は ω≧57/100＞9/16 なることに反し、矛盾する。
ωを無理数としたことで矛盾が導けたから、背理法が使える。故に、背理法を適用すると、ωは有理数である。
つまり、57/100＜ω＜3/5 を満たす実数ωは必ず有理数である。ドヤッ(笑)