19/01/08 01:58:34.49 mZcV146T.net
(>>345の続き)
[第３段]：n≧2 のとき 1＋…＋1/n－log(n＋1)＞1＋…＋1/(n－1)－log(n) なることを示す。
任意の n≧2 なる正整数nに対して a_n＝1＋…＋1/(n－1)－log(n) とおく。
すると、n≧2 のとき、n・e^{1/n}＞n＋1 であって、e^{1/n}＞1＋1/n であるから、1/n＞log(1＋1/n)、
従って、log(1＋1/n)＝log((n＋1)/n)＝log(n＋1)－log(n) から 1/n＞log(n＋1)－log(n) であって、
1/n－log(n＋1)＞－log(n)、故に、定義から a_{n＋1}＞a_n を得る。故に、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n。
[第４段]：n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n＞0 なることを示す。
n≧2 のとき、e^{1＋…＋1/(n－1)}＞n から 1＋…＋1/(n－1)＞log(n) であって、1＋…＋1/(n－1)－log(n)＞0 であるから、
定義から、a_n＞0。また、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n。故に、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n＞0。