19/02/06 00:35:45.83 +dJ9vhGm.net
>>712-714
>>713の最後の一文の前までは同意しますが、そこからは少し違うのではないかと思います
問題文は「対応するどの成分も一致しないようなものが２つ」なので、a^n-1はa-1と同じ素因数を含むだけではなく、さらに各素因数の冪が大きくないといけません
(a^n-1)/(a-1)がちょうどa-1と同じ素因数を含む、と言い換えることもできます
(この条件を無視すると
7^2-1=48=2^4*3^1
7-1=6=2^1*3^1
等、無数に解がでてきます)
Zsigmondyの定理というより一般的な結果を示した定理があるのですが、この問題はその一部を示す問題といえます
(定理についてはURLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)の6番など)
但し定理の証明には普通は大学数学を用いるので、以下元の問題の高校生向けの証明を書いておきます
つづく