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>>189, >>239
> 平均μ,分散共分散行列狽ﾌ多変量正規分布をN(μ,)としたとき、狽ﾍ非負定値行列であることを示せ
狽ﾌ, 狽ﾍ が何だか分からんが
f(x) を確率密度関数とする.
分散共分散行列 M{i,j} := E[ (xi-μi)(xj-μj) ] = ∫ dx1...∫ dxn (xi-μi).(xj-μj). f(x) は対称行列 ★
ゆえに適当な回転行列 R により対角化可能
(R.M.R^t){i,j} = Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn (xk-μk).(xm-μm).R{i,k} R{j,m} f(x) = δ{i,j} λi = Λ{i,j}
λi = Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn (xk-μk).(xm-μm).R{i,k} R{i,m} f(x)
= Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn | R.(x-μ) |^2 P(x) ≧ 0
よって Λ = R.M.R^t は非負定値行列 → M は 非負定値行列 ★
あるいは...
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp) この多変量正規分布関数に現れる対称行列 Σ について考える.
適当な対角化により Λ= R.Σ.R^t, y = R.(x-μ )
f(x) ∝ exp( - (1/2). (x-μ)^t. Σ^{-1}. (x-μ) ) = exp( - (1/2). y^t. Λ^{-1}. y ) = exp( - (1/2). Σ[i=1,n] yi^2 / λi )
確率密度関数の積分が有限となるように λi ＞ 0 となっている必要がある.
よって Λ は 正定値行列 → Σ は 非負定値行列 ★
∫ dx1...∫ dxn yi. yj. f(x) = ∫ dy1...∫ dyn yi. yj. f(...y...) = ... = δ{i,j} λi = Λ{i, j}
(∵ det Σ = λ1.λ2....λn , ∫ dy ye^-y^2=0, ∫ dy e^-y^2 = √(π), ∫ dy y^2 e^-y^2 = Γ(3/2) = √(π) /2 )
よって Σ = R^t.Λ.R = ∫ dx1...∫ dxn (R^t.y){i}.(R^t. y){j} f(x) = ∫ dx1...∫ dxn (xi-μi).(xj-μj) f(x)
確かに Σ は "分散共分散" 行列である. ★