18/12/30 09:00:04.63 lxuhMzG5.net
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね449
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(使用済です: 478)
先に書いとこうかな「削除依頼を出しますた。」
2:１３２人目の素数さん
18/12/30 11:38:52.62 AVuA/6Xx.net
削除依頼を出しました
3:１３２人目の素数さん
18/12/30 20:48:48.94 Cu675cFc.net
他のスレで質問したらこちらを紹介されました。
↓↓↓
どなたか紳士か淑女または天才に質問です。
モジュラー方程式の解き方が分らないんですけど、教えてもらえないでしょうか。
modを使うあれです。
例えば、
7a + 5b =1 mod 12
12ab + 5b = 5 mod 7
12ab + 7a = 1 mod 5
のa,bを求めたいです。
modを12x7x5=420でまとめて計算しましたが、上手くいきません。
そのため、ユークリッドの互除法とか中国剰余定理とかいろいろ調べたんですけど、
なんとなくしかわからなくて困っています。
海外のサイトまで似たような問題を探してみたんですが、
未知数が2つになると全然ヒットしません。
それともナビエストークスみたいに現代の数学では解けない問題なんですか？
wolframeでは、一番上の一次式は解けるので、解法は存在するはずなんですが。
しかし、2番目と3番目の二次式はタイムアウトなのか、正確な回答が出ないようです。
勇志の方、どうかよろしくお願いします。
↑↑↑
それとNavier Stokes方程式の数値データはどこで見れますか。
速度と圧力、粘性係数、密度、外圧、時間、がデータとしてあればいいです。
OpenFoamをインストールしたのですが、使い方が分らないので、
まずはDNSの数値データで確認したいです。
4:１３２人目の素数さん
18/12/30 21:43:57.07 XvYA62fB.net
>>3
計算機でだしていいなら
Prelude> let n = 12*7*5 in [(a,b) | a<-[0..n-1],b<-[0..n-1],mod (7*a + 5*b) 12 ==1,mod (12*a*b + 5*b) 7 == 5,mod (12*a*b+7*a) 5 == 1]
[(1,102),(2,103),(3,380),(4,381),(7,288),(8,25),(9,26),(11,52),(12,293),(14,211),(16,117),
(17,58),(18,395),(19,216),(21,302),(22,123),(23,40),(24,401),(26,307),(28,225),(29,46),
(31,72),(32,73),(33,230),(36,137),(37,138),(38,415),(39,416),(42,323),(43,60),(44,61),
(46,87),(47,328),(49,246),(51,152),(52,93),(53,10),(54,251),(56,337),(57,158),(58,75),
(59,16),(61,342),(63,260),(64,81),(66,107),(67,108),(68,265),(71,172),(72,173),(73,30),
(74,31),(77,358),(78,95),(79,96),(81,122),(82,363),(84,281),(86,187),(87,128),(88,45),
(89,286),(91,372),(92,193),(93,110),(94,51),(96,377),(98,295),(99,116),(101,142),
(102,143),(103,300),(106,207),(107,208),(108,65),(109,66),(112,393),(113,130),
(114,131),(116,157),(117,398),(119,316),(121,222),(122,163),(123,80),(124,321),
(126,407),(127,228),(128,145),(129,86),(131,412),(133,330),(134,151),(136,177),
(137,178),(138,335),(141,242),(142,243),(143,100),(144,101),(147,8),(148,165),
(149,166),(151,192),(152,13),(154,351),(156,257),(157,198),(158,115),(159,356),
(161,22),(162,263),(163,180),(164,121),(166,27),(168,365),(169,186),(171,212),
続く
5:１３２人目の素数さん
18/12/30 21:44:12.59 XvYA62fB.net
続き
(172,213),(173,370),(176,277),(177,278),(178,135),(179,136),(182,43),(183,200),
(184,201),(186,227),(187,48),(189,386),(191,292),(192,233),(193,150),(194,391),
(196,57),(197,298),(198,215),(199,156),(201,62),(203,400),(204,221),(206,247),
(207,248),(208,405),(211,312),(212,313),(213,170),(214,171),(217,78),(218,235),
(219,236),(221,262),(222,83),(224,1),(226,327),(227,268),(228,185),(229,6),(231,92),
(232,333),(233,250),(234,191),(236,97),(238,15),(239,256),(241,282),(242,283),(243,20),
(246,347),(247,348),(248,205),(249,206),(252,113),(253,270),(254,271),(256,297),
(257,118),(259,36),(261,362),(262,303),(263,220),(264,41),(266,127),(267,368),
(268,285),(269,226),(271,132),(273,50),(274,291),(276,317),(277,318),(278,55),
(281,382),(282,383),(283,240),(284,241),(287,148),(288,305),(289,306),(291,332),
(292,153),(294,71),(296,397),(297,338),(298,255),(299,76),(301,162),(302,403),
(303,320),(304,261),(306,167),(308,85),(309,326),(311,352),(312,353),(313,90),
(316,417),(317,418),(318,275),(319,276),(322,183),(323,340),(324,341),(326,367),
(327,188),(329,106),(331,12),(332,373),(333,290),(334,111),(336,197),(337,18),
(338,355),(339,296),(341,202),(343,120),(344,361),(346,387),(347,388),(348,125),
(351,32),(352,33),(353,310),(354,311),(357,218),(358,375),(359,376),(361,402),
(362,223),(364,141),(366,47),(367,408),(368,325),(369,146),(371,232),(372,53),
(373,390),(374,331),(376,237),(378,155),(379,396),(381,2),(382,3),(383,160),(386,67),
(387,68),(388,345),(389,346),(392,253),(393,410),(394,411),(396,17),(397,258),
(399,176),(401,82),(402,23),(403,360),(404,181),(406,267),(407,88),(408,5),(409,366),
(411,272),(413,190),(414,11),(416,37),(417,38),(418,195)]
6:１３２人目の素数さん
18/12/31 06:03:25.69 7lD5urXw.net
>>4
早速のレスありがとうございます。
私も計算機は試しましたが、解答は一つになるはずなんです。
この>>4の結果は、恐らく420個くらいあると思うのですが、
これは12x7x5=420個と関連があると思います。
つまり、元の式を2倍すれば、解答の個数も2倍になり、
候補が膨張していきます。
そのため、一つに絞るためには最小レベルでまとめる必要があり、
今回の場合ではa=3+4mになるかもしれないし、b=2+3nになるかもしれません。
これは答えではないですが、イメージとしてはこのような形式の解答になり、
これくらい小さくまとまる可能性があるということです。
せっかく計算機でループしてもらってすいませんが、
少し期待する解答とは異なります。
ちなみに、>>4さんの解答の中には本当の答えが一つだけ存在します。
解答の形式としては、小さくまとまったa=3+4mのような形式と、
a=100、b=200というような形式の二つがあるということです。
後者の形式はmodが12のように低く設定されているので
求まらないのではないかと考えられます。
7:１３２人目の素数さん
18/12/31 07:17:20.76 FKhPkZl9.net
>>6
>解答は一つになるはずなんです。
そう考える根拠はなんなん？
どっかの問題なん？
短くするなら 5(b-a) ≡ 1 (mod 12) b-a ≡ 5 (mod12)となり
b = a+5+12k
とおける。
a^2 + 12(k+1)a -1 ≡ 0 (mod 5)
により
a ≡ -6(k+1) ± √(36k^2+72k+35) (mod 5)
であるから (k,a) ≡ (1,3),(2,2),(4,1),(4,4) (mod 5)。
それぞれのケースを12ab+5b≡5 (mod 7)に代入すれば短い表現はできるけど数学的には意味ある作業じゃない。
しょうもないだけ。
8:１３２人目の素数さん
18/12/31 07:40:08.73 5Zpn8kIg.net
>>6
＞解答は一つになるはずなんです。
もしそういう前提なら問題を写し間違えてるのかもね
7にもあるように>>3の問題を簡単化すると
b-a≡5 (mod 12) → 解は12を法として12通り (a,b)≡(0,5),(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10),(6,11),(7,0),(8,1),(9,2),(10,3),(11,4) (mod 12)
b(a+1)≡1 (mod 7) → 解は7を法として6通り (a,b)≡(0,1),(1,4),(2,5),(3,2),(4,3),(5,6) (mod 7)
a(b+1)≡3 (mod 5) → 解は5を法として4通り (a,b)≡(1,2),(2,3),(3,0),(4,1) (mod 5)
よって大雑把に言うと、解は12*7*5=420を法として12*6*4=288通り
4～5 の回答とも一致するはず
9:１３２人目の素数さん
18/12/31 10:53:25.54 yaS+NxvF.net
うーん。やっぱりわかる人はいないか。
>>7
a ≡ -6(k+1) ± √(36k^2+72k+35) (mod 5)
であるから (k,a) ≡ (1,3),(2,2),(4,1),(4,4) (mod 5)。
kを平方根部分に代入しても整数にはならないみたいです。
√(36x1x1+72x1+35)=11.9582
イメージとしては12通り、6通り、4通りの3つのグループで共通する一つの解を見つける感じです。
だから、それぞれのグループで異なる形式をしていても、本質的には共通する一つの解を見出す必要があります。
modの数値を大きくして、候補を多くするのではなく、
反対にmodの数値を小さくして候補を一つに絞ります。
答えがmodを含む形でもいいのは、それが科学的に重要な意味があるからです。
数学的意味があるかどうかは関係ありません。
とはいえ、これは数学の問題なので、こちらに投稿させていただきました。
しかし、期待する回答は得られませんでした。残念。
10:１３２人目の素数さん
18/12/31 10:55:17.35 yaS+NxvF.net
書き忘れましたが、この問題について考えて頂いた勇志の方、
しょーもない問題に付き合わせてしまってすみませんでした。
もう一度自分の頭で考えてみます。
ありがとうございました。ではでは。
11:学術
18/12/31 12:36:43.96 O82e6c+A.net
数学を振り返ってみると、数学時代は一番いい時代だった。
12:１３２人目の素数さん
18/12/31 12:58:40.00 WhJD0x31.net
>>9
そら数学が論理的帰結を無視して期待通りにできたら、宇宙の法則だって乱れるさ
13:１３２人目の素数さん
18/12/31 14:06:29.11 d13PIu5N.net
いや、おそらく>>9が言いたいのは、mod420 で表される288通りの解を1通りの式で表しなさい、ってことかと。
例えば
st≡1 (mod 5)
uv≡1 (mod 7)
となるような媒介変数 s,t,u,v を使って
a≡f(s,u) (mod 420)
b≡g(t,v) (mod 420)
の形で表すことができたら>>9は満足なのかも。
14:１３２人目の素数さん
18/12/31 14:43:37.00 vrdFuapL.net
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15:１３２人目の素数さん
18/12/31 17:05:09.25 8viLx2WK.net
>>13
なにがいいたいのかわからないではないが
>>9
>kを平方根部分に代入しても整数にはならないみたいです。
>√(36x1x1+72x1+35)=11.9582
とか言ってるようではねぇ？
mod 5 での平方根の処理まで解説してられない。
16:１３２人目の素数さん
18/12/31 17:38:20.13 jfNleUVx.net
数学板のコテを集めてランク付けしようぜwwwww
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
17:１３２人目の素数さん
18/12/31 17:56:26.39 +vCode2O.net
K, E1, E2 を体とする。
K は E1, E2 の部分体とする。
E1 ∩ E2 は体になることを示せ。
18:１３２人目の素数さん
18/12/31 18:26:24.42 EoFdYV+L.net
松坂くんに聞かせてやりたいねw
19:１３２人目の素数さん
18/12/31 19:23:34.05 lZNtWIEW.net
■速報■
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、１７３２７０２９桁目で割り切れたという
１７３２７０２９桁目の最後の数
20:字は「７」だった 千葉電波大学の研究グループの発表によると、 円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを 点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に 誤りがあることに気が付いた この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、 円周率は１７３２７０２９桁で割り切れたという
21:１３２人目の素数さん
18/12/31 19:44:36.28 +vCode2O.net
部分環について質問です。
「
R を単位元をもつ環とする。
R' が単位元をもつ環であるとき、 R の部分環という。
」
とはなぜ定義しないのでしょうか？
つまり、 R' が単位元をもつ環であって、かつ、 R の単位元を含まない場合に、
R' を部分環からなぜ排除するのでしょうか？
22:１３２人目の素数さん
18/12/31 19:45:49.38 +vCode2O.net
訂正します：
部分環について質問です。
「
R を単位元をもつ環とする。
R の部分集合 R' が単位元をもつ環であるとき、 R の部分環という。
」
とはなぜ定義しないのでしょうか？
つまり、 R の部分集合 R' が単位元をもつ環であって、かつ、 R の単位元を含まない場合に、
R' を部分環からなぜ排除するのでしょうか？
23:１３２人目の素数さん
18/12/31 20:14:42.14 +vCode2O.net
今、上野さんのことだから「もしや？」と思い、上野健爾著『代数入門』を調べてみました。
「可換環 R が与えられたとき、 R の部分集合 S が R の和と積に関して閉じていて、この和と
積に関して可換環になるとき、 S を R の部分環（subring）であるという。」
などと書いてありました。
上野さんの本での「可換環」は乗法に関する単位元をもちます。
上野健爾さんは大丈夫な人なんでしょうか？
24:１３２人目の素数さん
18/12/31 21:12:31.33 AWqsdek+.net
これ解ける方おりますか？
nを自然数とする。A,Bはn次実正方対称行列でAの全ての固有値は正で、Bの全ての固有値は非負であると仮定する。
u=u(t)をR^n値の未知関数とする方程式
d^2u/dt^2+B*du/dt+Au=0
を考える。Aの任意の固有値λに対してKer(B)∩Ker(A-λI)={0}を仮定する。このとき上の方程式の任意の解u=u(t)はt→∞でu(t)=0となることを示せ。
25:１３２人目の素数さん
18/12/31 23:56:19.67 bZtX71gd.net
こんな質問するのもあれなんだが、気になったから質問する。
司法試験に合格するのと東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻博士課程修了するのはどっちの方が難しい？
ちなみに両方とも学部は東大。
26:１３２人目の素数さん
19/01/01 00:37:34.61 ZjsXOY9q.net
でもヒマラヤさんは東大生じゃないから関係ないんじゃないですか？
27:１３２人目の素数さん
19/01/01 03:41:02.73 31JmtpX8.net
>>21
圏論における部分対象の定義を考えれば当たり前のことです
28:１３２人目の素数さん
19/01/01 06:22:07.65 i9MWj87p.net
ナンバーズ４は当たる確率が10000の一。
0000から9999の番号を買ったとしても当たる確率は10000の一。
1枚200円だから、ぜ～んぶ買うと2,000,000円。
賞金の最高金額が100万円。当たっても、100万円の損。
何回も買うと確率論に組み込まれてしまう。
何とかの法則？ 定理？で、最初の数枚買うなら当たる確率がある。
(ビギナーズラック）。たった一回で当たる確率は一億分の一。
日本人1億人が、ナンバーズ４を買うとして、
たった一人がたった一回で100万円を手にする確率。
だが、毎回一億人もナンバーズ4を買っていない。とてもあほらしい
以上が、自分が投稿しようと思っていた文章ですが、計算、あってますか？
29:１３２人目の素数さん
19/01/01 10:12:36.08 /kCNEN/H.net
寺田文行訳『ガロア理論入門』を読んでいます。
K, E1, E2 を体とする。
K は E1, E2 の部分体とする。
ある問題の中で、寺田さんは、 E1 ∩ E2 が体になるということを使っています。
E1, E2 を部分体として含む体 E が存在すれば、
E1 ∩ E2 が体になることは簡単に分かります。
そのような体 E の存在を仮定しない場合、
a, b ∈ E1 ∩ E2 としたとき、
a *1 b ∈ E1
a *2 b ∈ E2
ですが、
a *1 b = a *2 b
でないとまずいですよね？
このあたりはどう考えればいいのでしょうか？
30:１３２人目の素数さん
19/01/01 10:55:46.24 bylOGYZS.net
三角形の形状決定問題は辺の関係式に直してまとめていくと思うんですが、写真のような二倍して因数分解の方式に落とし込んで、=より、正三角形と出せるのはどういった考えを念頭に置いて計算してるのでしょうか？
こういった類いの計算は暗記しておくべきですか？
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
31:１３２人目の素数さん
19/01/01 12:15:58.08 pKc5cC4D.net
>>29
この変形は、よく使う変形なので覚えておくと便利。
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)
a=b=cの時に両辺とも0になるから、因数定理じゃないけど直観的におもいつきやすいかも。
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
の右辺にも出てくる
32:１３２人目の素数さん
19/01/01 12:24:21.27 /kCNEN/H.net
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)
2 * [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]
[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca] + [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]
=
[a^2 - 2*a*b + b^2] +[b^2 - 2*b*c + c^2] + [ c^2 - 2*c*a +a^2]
=
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
∴ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (1/2) * [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]
33:１３２人目の素数さん
19/01/01 20:32:32.38 bylOGYZS.net
>>23がムズイ…
34:１３２人目の素数さん
19/01/01 20:46:47.99 hB2NEMBr.net
これの証明がわかる方いましたらお願いしたいです。
k[x]はq次有限体です。よろしくお願いします。
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
35:１３２人目の素数さん
19/01/01 21:35:45.40 bylOGYZS.net
>>33
素数が無限の証明と同じちゃうの？
theorem2 が何か分からんから知らんけど。
Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) div.s⇔ Σ [f:irr] q^(-deg f) div.s
を示しておく。
左辺は Σ [f] q^(-deg f) とおなじだから←は明らか。
Σ [f:irr] q^(-deg f が収束するとすれば
-Σ [f:irr] log(1-q^(-deg f))はそれより小さいから収束し、よって Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) も収束する。
36:１３２人目の素数さん
19/01/01 21:39:04.29 bylOGYZS.net
あ、下の方のリンクがTheorem 2 へのリンクなのか。
反転公式使う証明ね。
37:１３２人目の素数さん
19/01/01 22:08:44.27 zweBPVgg.net
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ラファエルに直接会ってディスる歌「ラファエルクッキング最高」
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ
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38:１３２人目の素数さん
19/01/01 22:10:47.68 zweBPVgg.net
URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp) URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp)
URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp) URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp)
URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp) URLﾘﾝｸ(idea.db.aist.go.jp)
39:１３２人目の素数さん
19/01/01 22:11:12.47 zweBPVgg.net
⊞ ⊟ ⊠ 〼 ⊡ ◆
⊕ ⊖ ⊗ ⊘ ⦿ ●
40:１３２人目の素数さん
19/01/01 22:11:40.22 zweBPVgg.net
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net) URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
URLﾘﾝｸ(eman-physics.net)
41:１３２人目の素数さん
19/01/01 22:57:26.85 hB2NEMBr.net
>>34
うーん、それと同じですかね
定理2(メビウスの反転公式)のやつを使えとあったのでそこが引っかかっています
42:１３２人目の素数さん
19/01/01 23:05:55.26 hB2NEMBr.net
>>34
定理2というのが誤植な気がしてきました。
解説ありがとうございます。
素数が無限にある証明がどんなやつなのかわかってないので調べてきます。ありがとうございます。
43:１３２人目の素数さん
19/01/01 23:40:22.96 XKtNhiWs.net
位相空間の問題が分からない。解ける人がいたら頼む。
(X,d)をコンパクトな距離空間とする。連続写像f：X→Xがあるとする。いま互いに交わらない空でない閉集合K_1、K_2があって
f(K_1)⊃K_2、f(K_2)⊃K_1∪K_2
が成立しているとする。
(1)集合列M_1、M_2、M_3、・・・、M_m、・・・が２条件
(i)各自然数mに対してM_m=K_1またはM_m=K_2
(ii)もしM_k=K_1ならばM_(k+1)=K_2
を満たすとする。この時、あるx∈K_1∪K_2があってf^n(x)∈M_n(nは自然数)とできることを示せ。
(2)(1)の集合列{M_m}_m=1^∞の取り方の全体の濃度は♯(R)となることを示せ。
f^2(x)=f(f(x))、f^3(x)=f(f(f(x)))のように、f^n(x)は自分自身との合成写像を示しています。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
44:１３２人目の素数さん
19/01/02 00:26:54.92 ozp04/Hn.net
>>42
まず列が有限の場合には帰納法。
列の長さ1で明らか。
長さ<Nで成立として長さがNのとき
y∈K_1∪K_2があってf^n(y)∈M_(n+1) 2≦n≦N をみたすものがとれる。
(i) M_1 = K_1 のとき
仮定により f(y)∈M_2 = K_2 であるから z∈K_1 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
(ii) M_1 = K_2 のとき
仮定により f(y)∈M_2 ⊂ K_1∪K_2 であるから z∈K_2 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
以上により長さ有限の場合の証明が終わった。
次にx[N]を
f^n(x[N])∈M_n (1≦n≦N)
を満たすようにとれる。
K_1∪K_2 はコンパクト距離空間だから、必要なら部分列をとってlim x[N]=xが存在するとして良い。
この x が条件を満たす。
45:１３２人目の素数さん
19/01/02 01:29:14.53 kmE/oyRb.net
ルービック・立方体(キューブ）の組み合わせ数は
1801439850948198で、あってる？ 正しい？
46:１３２人目の素数さん
19/01/02 01:29:39.24 nsTEkruF.net
すいません
方べき定理で出てきた答えって結局なんなんですか？
47:１３２人目の素数さん
19/01/02 01:34:48.64 1XTwIlaG.net
答えです
48:１３２人目の素数さん
19/01/02 01:53:56.86 nsTEkruF.net
そういうことじゃ無い
結局その答えはなんの答えなんですか？
問題の答えとか言う回答は待ってません
49:１３２人目の素数さん
19/01/02 03:02:24.95 7wxHl3VN.net
そういうことじゃないならどういうことなのかはっきり説明してくれ
定理には答えなんて存在しない
そう答えればいいのか？
50:１３２人目の素数さん
19/01/02 09:26:20.21 UKsYtLJs.net
f_1(x)=x^2 とし、n=1,2,3,...に対して
f_(n+1)(x)=|f_n(x)-1|
と定める。
(1)y=f_2(x), y=f_3(x)の概形を書き,
(2)0≦x≦√(n-1) において 0≦f_n(x)≦1 を,
√(n-1)≦x において f_n(x)=x^2 -(n-1) を示せ。
また,
(3) n≧2 として, y=f_n(x) のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をS_nとした時に S_n + S_(n+1) を求めよ。
これを教えてください。
51:１３２人目の素数さん
19/01/02 11:15:50.98 3rBsZ6cK.net
∫(1/1+x^2)dx = arctan xですよね？
tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2
この式変形の手順自体は理解できるのですが
でもtanxは周期2πの周期関数だからy=arctan x はxに対して無限個のyを返す多値関数ですよね？
そうすると例えば定積分は定まらなくないですか？
これはどう解釈したらいいのでしょうか？
2πの周期は積分定数のようなものだから～という説明も考えたのですがやはり納得いきません。
どなたかスッキリ解決できる方はいらっしゃらないでしょうか？
52:１３２人目の素数さん
19/01/02 11:31:35.20 GvDO1SFm.net
>>29
１３７
次の等式が成り立つとき、△ABCはどのような形の三角形か
aa+bb+cc = bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C)),
(略解)
第二余弦定理
cos(A) = (bb+cc-aa)/(2bc),
cos(B) = (cc+aa-bb)/(2ca),
cos(C) = (aa+bb-cc)/(2ab),
を与えられた式の右辺に代入すると
bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C))
= ････
= ････
= (1/2)(bc+bb+cc-aa) + (1/2)(ca+cc+aa-bb) + (1/2)(ab+aa+bb-cc)
= (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
よって
aa+bb+cc = (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
整理すると aa+bb+cc -ab -bc -ca = 0,
しかし
aa+bb+cc -ab -bc -ca = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
であるから
(1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} = 0,
よって a-b = b-c = c-a = 0,
すなわち a = b = c,
ゆえに，△ABC は正三角形。 ････ 答
53:１３２人目の素数さん
19/01/02 11:32:40.25 cKCL6IJm.net
この飛行機までのおよその距離を知りたい
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
トリミング無し
レンズ35mm版換算3000mmの水平画角0.687541°
35mm版の横幅を36mmとする
飛行機はB737-800 全長39.5mとする
進行方向への角度やセンサーサイズの誤差は無視でお願いします
計算のしかたと答えを教えて下さい（飛行機の全長から距離を測る計算）
よろしくお願いします
54:１３２人目の素数さん
19/01/02 11:40:30.97 AxFvgQf4.net
>>50
連続成分が答になるだけの話
55:１３２人目の素数さん
19/01/02 11:55:44.76 GvDO1SFm.net
>>33
qが素数の場合は上の画像のとおり。
qが合成数の場合は素因数に分解してTheorem2(メビウス反転公式)を使え、ということか？
56:１３２人目の素数さん
19/01/02 12:06:24.63 3rBsZ6cK.net
>>53
置換したらそうなるのは理解できるのですが、
最初の逆関数の微分の変形だけでtan-1 xなのは導出できますよね？
そこからなぜ連続した部分に対応するものを選ばなければならないというのが分かるのでしょうか？
57:１３２人目の素数さん
19/01/02 12:16:09.63 1XTwIlaG.net
>>55
＞∫(1/1+x^2)dx
定積分できないとか言ってますけど、これは定積分ではないですね
これは何を意味しているつもりなんですか？
58:１３２人目の素数さん
19/01/02 12:46:07.76 3rBsZ6cK.net
>>56
原始関数の導出のつもりでした。
aからbまでの定積分って原始関数(b)-原始関数(a)ですよね？
原始関数が多値関数ってどういうことなんだろうと思ったのです
59:１３２人目の素数さん
19/01/02 13:10:01.29 1XTwIlaG.net
>>57
原始関数とはなんですか？
60:１３２人目の素数さん
19/01/02 13:22:47.17 5hoS1qxn.net
>>52
飛行機の長さが画像の水平方向の長さに対してどれだけに
なるか比率を測ればいいだけだろ。中学生でもわかる問題。
tan(水平画角×比率) = 飛行機長÷距離
なんだから、
距離=飛行機長/tan(水平画角×比率）
この写真だと、比率は260px/1200px =0.217なので
距離=39.5m/tan(0.687541° x 0.217)=15200m
61:１３２人目の素数さん
19/01/02 14:33:11.23 cKCL6IJm.net
>>59
画面の横幅＝0.687541°と考えるのですね
ありがとうございました
62:１３２人目の素数さん
19/01/02 14:37:44.74 dpB9xwpW.net
>>50
値域を選択すれば(例えば(-π/2,π/2)など)arctan(x)は多価でない関数になります
(一般にarctan(x)を使うときは多価関数と見なすよりもこのようにして普通の関数として扱うことが多いと思います)
値域の選択によって関数は変わりますが、定数しかズレないので、原始関数としては同じものを表しています
多価関数といってもmonodromyがあるわけではないので、それほど複雑な話ではありません
63:１３２人目の素数さん
19/01/02 14:42:07.13 ppDCuzQe.net
Qの条件の曲線と直線x+y=aで囲まれる図形を直線を軸に回転させた時の回転体の体積を求めよという問題なのですが、
この解答はどこが間違っていますでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
64:１３２人目の素数さん
19/01/02 14:45:08.93 3rBsZ6cK.net
>>61
回答ありがとうございます。
最初の原始関数の導出は値域とかについてなんの仮定も置いてないですよね？
なのになぜarctanxのとりうる値はどこか適当な幅πの間であることにすると限定してしまうことができるのでしょうか？
65:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:09:30.89 3j9fwFeq.net
>>62
最後から5行目の積分の中身
(a - a sin^4θ)^2
の左の定数aって何？
66:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:13:30.58 Tjk3JLSV.net
>>63
（少なくとも各点の周りの適当な連結開集合上で）引数を連続的に変化させれば値も連続的に変化するから
67:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:18:16.94 ne8HBguh.net
>>63
原始関数とはなんですかと聞いてますね
なぜ答えないのですか？
68:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:43:31.88 7wxHl3VN.net
>>63
最後の最後で計算ミスしてるやん…
目が悪いんだからこんな細かい計算チェックやらさんといて…
69:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:45:14.89 7wxHl3VN.net
あーしかも悪態ついたあとやんか
70:１３２人目の素数さん
19/01/02 15:57:09.00 dpB9xwpW.net
>>63
「tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2」
2行目でdy/dxとありますが、この時点で暗にx=tan(y)の逆関数の存在を仮定しています
しかし、逆関数が存在する為には単射でないといけません
x=tan(y)は単射ではないので、定義域を(-π/2,π/2)等に制限して単射にしているわけです
71:１３２人目の素数さん
19/01/02 16:06:12.66 3rBsZ6cK.net
>>69
なるほど！ありがとうございます。
頭が悪いので怪しいですが理解できたような気がします
>>67
すみません、よくわかりません
72:１３２人目の素数さん
19/01/02 16:09:44.29 7wxHl3VN.net
>>70
ああ、ごめん
>>67が>>63宛になってるのは間違い
>>67は>>62宛ね
73:１３２人目の素数さん
19/01/02 16:15:42.37 ppDCuzQe.net
>>67
本当だ、とりあえず最後の積分計算で最後に足している1は1/2の誤りですね…ありがとうございます
ただここを修正してもまだ模範解答と答えが合わないのですが、他どこがおかしいか分かる方いらっしゃらないでしょうか
wolframでは複雑すぎて処理できませんでした……早大の過去問です。
74:１３２人目の素数さん
19/01/02 16:18:59.49 ppDCuzQe.net
>>64
上のQの仮定にある正の実数の定数です
x=a*cos^4θ、y=a*sin^4θ、で書く曲線をx+y=aで切り取った部分を軸に回転させています
75:１３２人目の素数さん
19/01/02 16:33:12.66 ppDCuzQe.net
すいません、誤りに気づきました………
スレ汚しすみません死んできます
76:１３２人目の素数さん
19/01/02 19:22:56.44 ohr+DqS6.net
座標平面上の原点をOとし、y軸の正の方向をOから見て真北の方向と定める。
時刻0において点Pは原点にある。
nを自然数とし、各時刻nにおいて4つの数1,2,3,4から無作為に一つを選ぶ。
1が選ばれたときは点Pを東に、2が選ばれたときは西に、3が選ばれたときは南に、4が選ばれたときは北に、それぞれ(1/2^n)だけ移動する。
以下の問に答えよ。
（1）点Pのx座標をa、y座標をbとする。n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。
（2）時刻1において選ばれた数が1であったときの、n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。
77:１３２人目の素数さん
19/01/02 20:18:43.48 y8tZg6lj.net
>>75
一回あたりの期待値を考えればとても簡単
78:１３２人目の素数さん
19/01/02 23:36:32.22 ohr+DqS6.net
aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。
（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。
（2）2解がともに実数でない。
（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
79:１３２人目の素数さん
19/01/03 04:29:59.77 ecNTYs02.net
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
In addition, you are not allowed to add two different n-simplices with the same set of vertices, so that a simplex in a simplicial complex is uniquely determined by its set of vertices
と書かれているのですが、同じ頂点集合を持つ異なる単体って例えばどんなものですか？
80:１３２人目の素数さん
19/01/03 05:04:30.04 ecNTYs02.net
>>78
自己解決しました
もともと単体を三角形や四面体の意味で使っていませんね
81:１３２人目の素数さん
19/01/03 10:18:05.89 clk1Joik.net
多項式について質問です。
(a_0 + a_1*x + … + a_n*x^n) + (b_0 + b_1*x + … + b_m*x^m)
上の式で多項式の項の間にある「+」と多項式と多項式の和の「+」を同じ記号で
表わしていますが、悪い習慣でしょうか？
82:１３２人目の素数さん
19/01/03 10:27:49.62 OtdU9x+Q.net
>>80
違うと言うことがちゃんと理解できているのなら問題ない
83:１３２人目の素数さん
19/01/03 10:35:40.84 1clk5DIm.net
微分方程式の質問です。
以下の問題が分かりません。
Aをd次の正方行列で、g=g(t,ξ)を写像g：R×R^d → R^dでξに関して全微分可能でδg(t,ξ)/δξも連続であるとする。 いま、uをR^d値の未知関数とする方程式
du/dt=Au+g (t,u) (※)
を考える。ある
84:K > 0があって|g(t,ξ)| ≦ K (t ∈ R,ξ ∈ R)が成立するとする。 (１)この時任意のa ∈ Rに対して(※)の－∞ < t < ∞における解でu(0) = aとなるものが存在することを示せ。 (２)さらにAを実対称行列で全ての固有値は負であるとする。このとき、aを適当に選ぶことでu(t)は－∞ < t < ∞で有界になることを示せ。 (1)は解けたけど、(2)がギブアップ。(2)を解ける人、解説お願いします。
85:１３２人目の素数さん
19/01/03 10:58:18.34 q8iRb56J.net
>>82
対角化したらいいんでは？
x'=ax+q
の形になって数学辞典にも解き方載ってる。
86:１３２人目の素数さん
19/01/03 13:50:02.11 clk1Joik.net
>>81
ありがとうございます。
多項式とは何かということに関して、多くの代数学の本では、説明が全くないですよね。
あまり評判は芳しくないようですが、Serge Lang著『Undergraduate Algebra』という本に
ちゃんとした説明がありました。松坂和夫著『代数系入門』にも書いてありますね。
87:１３２人目の素数さん
19/01/03 15:19:51.98 tKhMtALm.net
論理学に詳しい方に質問です。
背理法のネストは数学的に正しいのでしょうか？
例えば、「A(偽な命題)を仮定する。……ここで、B(偽)を仮定すると、矛盾が生じる。よって、Bは誤り。つまりnotBが正しい。……すると、矛盾が生じる。よってAは誤り。」という議論は正しいのでしょうか？
Bを誤りだと断定した矛盾が、本当にBによるものなのかそれともAによるものなのかが分からないし、場合によってはAかBの単体を仮定するだけではその矛盾は導かれないが、A,Bを共に仮定した時にのみその矛盾が導かれる、っていうことがありそうな感じがして…
88:１３２人目の素数さん
19/01/03 15:22:08.65 9wtPVJ3r.net
矛盾というのは、前提が正しいなら何をしても起こらないはずなんです
それが起こったということは前提が間違えだったということで、これが背理法ですね
いいんですよそういうことしても別に
89:１３２人目の素数さん
19/01/03 15:28:30.29 tKhMtALm.net
>>86
すみません、質問の仕方が悪かったんですが、これでnotAが正しいことを示せたのかってことです
これだとnot(A∧B)しか示せてない気がして
すみません、ここまで書いて自己解決しました…お目汚し失礼しました…
90:１３２人目の素数さん
19/01/03 16:26:29.04 rGbJGMG0.net
背理法は、A→B と A→￢B がともに成り立つことを示して、そこから ￢A を導く方法なのかと
91:１３２人目の素数さん
19/01/03 18:46:32.32 FhdwjoyF.net
お願いします
aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。
（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。
（2）2解がともに実数でない。
（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
92:１３２人目の素数さん
19/01/03 20:33:09.11 clk1Joik.net
松坂和夫著『代数系入門』を読んでいます。
「
整数 a の標準分解を
a = p_1^α_1 * p_2^α_2 * … * p_k^α_k
とする。
…
d を a の約数とし、 a = d * q とすれば、 d および q の素因数はもちろん a の素因数であるから、
d = p_1^β_1 * p_2^β_2 * … * p_k^β_k
ｑ = p_1^γ_1 * p_2^γ_2 * … * p_k^γ_k
と書くことができる。
」
と書かれています。
d, q がそのように書けるということを導くのに素因数分解の一意性が使われているのに、そのことが
書いてありませんね。松坂さんは素因数分解の一意性がここでも使われていることに気づいていま
せんね。
↑の下の行で再び素因数分解の一意性が使われているのですが、そこでは、一意性が使われている
ことが書かれています。
93:１３２人目の素数さん
19/01/03 20:40:41.42 AYL6n86W.net
先頭車両から順に1からnまでの番号がついたn両編成の列車がある。ただしnは2以上とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
この問題は漸化式を使わずに解く方法はありますか？
94:１３２人目の素数さん
19/01/03 20:51:05.80 pIVMXPUD.net
虚数階段を螺旋階段状にすると何か得られますか？
95:１３２人目の素数さん
19/01/03 20:58:17.93 q8iRb56J.net
達成感
96:１３２人目の素数さん
19/01/03 21:05:08.81 ZCezKES+.net
以下の曲線の、1<=x<=3の部分の長さを求める問題ですが
積分の仕方を教えて下さい！
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
97:１３２人目の素数さん
19/01/03 21:22:52.83 pIVMXPUD.net
素数階段です
98:１３２人目の素数さん
19/01/03 21:35:01.75 FhdwjoyF.net
>>91
漸化式作って解ける問題なら一般項求めて天下りで帰納法
99:１３２人目の素数さん
19/01/03 21:55:19.91 AYL6n86W.net
>>96
漸化式を「知らない」としたらどうですか？
100:１３２人目の素数さん
19/01/04 01:46:52.79 4y9oavEG.net
>>89
(1) b/a，c/a が実数で、(b/a)^2 - 4(c/a) ≧ 0.
>>91
(n+1)両目に赤を追加すると → 「赤」「青赤」「黄赤」を並べたものになる。
101:１３２人目の素数さん
19/01/04 03:11:46.27 BKdPZt1m.net
>>98
そこから漸化式なしでどうとくのですか？
102:１３２人目の素数さん
19/01/04 07:19:15.51 q8zgNlIj.net
２００
103:１３２人目の素数さん
19/01/04 08:48:11.44 Hwh8opRH.net
1/(1-x-2x^2) = (1/3)(1/(1-2x) - 1(1+x)) をマクローリン展開
104:１３２人目の素数さん
19/01/04 13:45:39.54 4y9oavEG.net
>>98
つまり
x/(1-x-2xx) = x/{(1-2x)(1+x)} = (1/3){1/(1-2x) - 1/(1+x)} = (1/3)納n=1,∞] {2^n - (-1)^n} x^n,
答 {2^n - (-1)^n}/3.
105:１３２人目の素数さん
19/01/04 13:57:39.89 4y9oavEG.net
>>98
nが2つずれた...orz
{1/(1-x-2xx) - 1}/x = (1+2x)/{(1-2x)(1+x)} = (1/3){4/(1-2x) - 1/(1+x)} = (1/3)Σ[n=1,∞] {2^(n+2) - (-1)^n} x^n,
答 {2^(n+2) - (-1)^(n+2)}/3.
106:１３２人目の素数さん
19/01/04 17:29:53.61 xOMYmhWY.net
以下の性質を満たす集合 E は存在するか？
(1)
E ⊂ R × {0} ⊂ R × R
E は R × R で閉集合、 R × {0} で閉集合ではない。
(2)
E ⊂ R × {0} ⊂ R × R
E は R × R で閉集合ではない、 R × {0} で閉集合。
107:１３２人目の素数さん
19/01/04 18:58:57.05 s68Y7dWN.net
リチャード・テイラーっていうイギリスの数学者はどのくらいのレベルの数学者ですか？
現役ではそこそこ上位の方に入るぐらいの学者ですか？
108:１３２人目の素数さん
19/01/04 23:19:10.56 UTaC5hnL.net
>>105
底辺のものが語るべき話題にあらず
109:１３２人目の素数さん
19/01/04 23:23:11.55 N1T5KklW.net
3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691
を一つの式で表すとどうなりますか？
末尾で1 1 3 5を繰り返すようです
110:１３２人目の素数さん
19/01/04 23:30:29.39 wHdLwYsI.net
>>107
ぱっと見、前項の数字を２倍して－１、＋１を繰り返しているような
111:１３２人目の素数さん
19/01/04 23:37:47.72 H2FFTYS5.net
>>107
(2^(n+2)-(-1)^n)/3
112:１３２人目の素数さん
19/01/05 02:07:58.36 vJrRtyuT.net
{2^(n+2) - (-1)^(n+4)}/3
{2^(n+2) - (-1)^(n+664)}/3でも結果は同じ
実部と虚部の関係がわからない
113:１３２人目の素数さん
19/01/05 12:53:50.54 k/cacouY.net
3^30 ≡ 1 + 17*31 (mod 31^2)
を証明せよ。
松坂和夫著『代数系入門』の問題です。
松坂さんの意図として、（直接）計算の練習として出題したのか、何かうまい解法があるのかが判断できません。
うまい解法を思いついた人は解答してください。
114:１３２人目の素数さん
19/01/05 13:01:28.77 PPBLyISP.net
>>89
これの(2)(3)をお願いします
115:１３２人目の素数さん
19/01/05 13:58:50.49 eVKaOM0O.net
x^(p-1) (mod p) の応用だろうなー
116:１３２人目の素数さん
19/01/05 14:07:06.33 k/cacouY.net
>>113
Fermatの小定理はこの問題が出題されたセクションよりも後で登場します。
>>111
の問題は合同式の定義が説明されているセクションの問題です。
「松坂さんの意図として、（直接）計算の練習として出題したのか、何かうまい解法があるのかが判断できません。」
と書きましたが、おそらく単なる計算問題ではないと推測します。
なぜそう推測したかというと、
（１）そのセクションには11問の問題があるのですが、その最後の問題であること。
（２）「証明せよ」と書いていること。（単なる計算問題だったら「示せ」が自然。）
117:１３２人目の素数さん
19/01/05 15:55:52.86 TXJNULY7.net
神ですら無には敵いませんか？
118:１３２人目の素数さん
19/01/05 16:08:07.36 k/cacouY.net
>>111
松坂和夫さんのことなので、おそらくアメリカの初等数論の教科書かなんかに載っている問題を
コピー＆ペーストしたのではないかと思います。
119:１３２人目の素数さん
19/01/05 19:34:30.13 wZ3XBthC.net
冪nの反復合成写像を f^n(x) で表す。
f^({2^(f(x))}+1)(x) ≦ f^(2^x)(x)
f^(2^x) = g(x)
(xは自然数)
のどちらも満たすf(x)を全て求めよ。g(x)は定数でないxの多項式関数とする。
120:１３２人目の素数さん
19/01/05 22:55:30.05 ujon6Ql+.net
3^30
= 243^6
= (31×8 - 5)^6
≡ 31×8×(-5)^5×6 + (-5)^6
= -31×40×30×125 + 125^2
≡ -31×9×(-1)×(31×4 + 1) + (31×4 + 1)^2
≡ 31×9 + 31×4×2 + 1
= 31×17 + 1
121:１３２人目の素数さん
19/01/06 00:09:32.41 2xrPMjAH.net
>>118
ありがとうございます。
やっぱり試行錯誤するしかないということですね。
122:１３２人目の素数さん
19/01/06 01:24:05.51 pYT+uHU8.net
【1】-a-b+(b*q)-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*t)-p-q-r-s-t+(a*p)+(a*q)+(a*r)+(a*s)+(a*t)+(b*p)+(b*q)+(b*r)+(b*s)+(b*t)+(c*p)+(c*q)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*p)+(d*q)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*p)+(e*q)+(e*r)+(e*s)+(e*t)
【2】-b-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*p)+(e*t)-q-r-s-t+(a*t)+(b*q)+(b*r)+(b*s)+(b*t)+(c*q)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*q)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*q)+(e*r)+(e*s)+(e*t)
【3】-c-d+(d*p)+(d*s)-e+(e*p)+(e*q)+(e*t)-r-s-t+(a*s)+(a*t)+(b*t)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*r)+(e*s)+(e*t)
【4】-(a*r)-(c*p)-d-e+(e*p)+(e*q)+(e*r)+(e*t)-s-t+(a*t)+(b*t)+(c*t)+(d*s)+(d*t)+(e*s)+(e*t)
【5】-(a*q)-(a*r)-(a*s)-(b*p)-(b*r)-(b*s)-(c*p)-(c*q)-(c*s)-(d*p)-(d*q)-(d*r)-e-t+(e*t)
【6】-a+(a*p)-b+(b*q)-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*t)-1+a+b+c+d+e
【１】＝【２】＝【３】＝【４】＝【５】＝【６】のときa,b,c,d,e,p,q,r,s,tの値をそれぞれ求めよ。
これって答え出ますかね・・・？
mathematicaとか使ってもエラー出てくるんですよね・・・
123:１３２人目の素数さん
19/01/06 01:28:39.71 9OOjtpXs.net
未知数の数に対して、圧倒的に方程式の数が足りないなあ。
124:１３２人目の素数さん
19/01/06 01:41:05.55 RGE3MgWR.net
微分方程式に詳しい人、これ解説してください。
g = g(ξ) , h = h(ξ)はR上のC1級関数として２階の常微分方程式
d^2w/dt^2 + g(w)(dw/dt) + h(w) = 0
を考える。正定数δ > 0 , κ > 0が存在し
てg , hは次の条件を満たすと仮定する。
g(ξ) ≧ κ , h(0) = 0 , h'(ξ) ≧ δ (ξ ∈ R)
とする。このとき、任意のa,b∈Rに対してw(0) = a , w'(0) = bとなるような解w(t)がt ≧ 0で存在することを示せ。またlim[t→∞]w(t) = 0を示せ。
ヒント：H(ξ) = ∫[0→ξ]h(η)dηとして
(d/dt){(1/2)(dw/dt)^2 + H(w(t))} = (dw/dt)((d^2w/dt^2) + h(w(t)))
125:１３２人目の素数さん
19/01/06 03:18:37.21 XR08xOo7.net
Uをd*d次元のユニタリ行列として，U^a = Iである．
ここに，aは2より大きな整数であり，Iはd*d次元単位行列である．
このとき，Uの固有値はそれぞれどのように表されるか？
Uがユニタリであることから，絶対値が1なのは明らかですが，それ以上に具体的に書き表すことができるようですが，どのように書けるのでしょうか？
126:１３２人目の素数さん
19/01/06 03:32:57.50 tGRzsmjc.net
どすて
b/a ÷ d/c = bxc/axd
なの？ 教えて～
127:M_SHIRAISHI
19/01/06 03:57:50.88 tGRzsmjc.net
>>88
＞背理法は、A→B と A→￢B がともに成り立つことを示して、そこから ￢A を導く方法なのかと
いいや違う。
背理法とは、命題：「Ｐ(x) ならばＱ(x) である」を証明したい場合に、
Ｐ(x) & not-Ｑ(x) から ｘに関しての矛盾を導く方法を言う。
尚、これから論理的に導かれる方法として、命題Ａ(α) を証明したい場合に
not-Ａ(α) から α に関しての矛盾を導く方法もある。
128:１３２人目の素数さん
19/01/06 04:34:36.36 Jxai4k6k.net
ﾌﾞｯ
129:１３２人目の素数さん
19/01/06 13:26:24.10 fEd/vO6H.net
>>123
exp(2nπ i /a)
130:１３２人目の素数さん
19/01/06 16:34:35.86 hAkRPfB2.net
ある一次変換fがある。
どのような整数p,qについても、座標平面上の点(p,q)をfにより移すと、移った先の点のx座標またはy座標が整数であるという。
fとしてあり得るものをすべて、2×2行列の形で表せ。
131:１３２人目の素数さん
19/01/06 17:40:42.16 KhHSkFCq.net
ω>4を定数とする。
u=u(t),v=v(t)を未知関数とする方程式
du/dt=－ωv＋(3－2u^2－v^2)u
dv/dt=ωu+(3－u^2－2v^2)v
を初期条件として(u(0),v(0))=(a,b)≠(0,0)を与える時、t≧0で解が存在することを示せ。また、周期解(U(t),V(t))も存在することを示せ。
132:１３２人目の素数さん
19/01/06 18:24:54.36 U1uFvPRA.net
次の不定方程式の整数解(x,y)を1組求めてください:
(2^2019)*x + ((2^10)-1)*y =1
たくさんありそうですけど、どれくらい解き方ありますかね？
133:１３２人目の素数さん
19/01/06 18:55:52.26 HXfdm1di.net
(2^10-1)(2^9(2^2010-1)/(2^10-1)x + y) + 2^9 x = 1
の整数解を求めればいい。
すなわち z=2^9(2^2010-1)/(2^10-1)x + y とおいて
1023 z + 512 x = 1
の整数解を求めれば良い。
134:１３２人目の素数さん
19/01/06 19:30:06.98 hU1YSmaF.net
２進数で考える。
①2^2019は1の後ろに0が2019個続き、これをa乗すると1の後ろに2019a個の0が続く数を作ることができる。
x=2^2019^(a-1)
②2^10-1は、1が10個続く数である。これにΣ(k=0 to b)(2^(10k))をかけると、1が10(b+1)個続く数を作ることができる。
y=-Σ(k=0 to b)(2^(10k))
そして、1の後ろに0がn個続く数から、1が(n-1)個続く数を引くと1になる。
よって次を満たすa,bを見つける。
2019a=n
10(b+1)=n-1
つまり、2019a-10b=11
a=9,b=1816
x=2^2019^8=2^16152
y=-Σ(k=0 to 1816)(2^(10k))
力技なんだけどね。エレガントな解き方ないの？
135:１３２人目の素数さん
19/01/06 20:11:37.45 AUBxw3Wu.net
f(n)をnの各桁の和として
f(n^2)=f(n)-7となるnは分かりますか？
出典が怪しいので解答可能かはわかりません
136:１３２人目の素数さん
19/01/06 21:06:54.23 /sJPqfyu.net
>>133 JJMO2011(9)
137:１３２人目の素数さん
19/01/06 21:30:02.35 XR08xOo7.net
>>127
なぜそのようになるのでしょうか？
138:１３２人目の素数さん
19/01/07 02:40:02.92 Bh/Ybtbb.net
>>133
n = 149, 179, 389, 449, 548, 749, 899, ････
139:１３２人目の素数さん
19/01/07 03:43:14.26 xeKKji1v.net
>>135
対角化すればいいだけ
140:１３２人目の素数さん
19/01/07 07:49:54.01 LBx6GyyK.net
>>137
すみません
よくわからないです
もう少し詳しくお願いします
141:１３２人目の素数さん
19/01/07 08:01:11.18 LBx6GyyK.net
>>137 >>138
すみません
言葉足らずでした
形として、そのようになるのはわかるのですが、整数mはどこまで動くのでしょうか？
必ず1からaまで動くのでしょうか？
それとも、形としてexp(2πim/a)とはなりますが、mはどのような値をとるのかは分からず、場合によってはm=1がd個重複するということもあるのでしょうか？
142:１３２人目の素数さん
19/01/07 12:51:50.37 ilzso7Q9.net
試してみればスグ分かる
143:１３２人目の素数さん
19/01/07 15:27:50.03 nTHVJ
144:axN.net
145:１３２人目の素数さん
19/01/07 15:36:27.63 nTHVJaxN.net
>>130
(x, y) = (2, P(2^10))
ここに P(t) = 1 + t + t^2 + ････ + t^201,
146:１３２人目の素数さん
19/01/07 22:38:50.09 wWg0R9jm.net
x,yについての連立方程式
(s-t)x-ty=1
tx+(s-t)y=0
が-1<x<1かつ-1<y<1の範囲に解を持つとき、実数s,tが満たすべき条件を述べよ。
147:１３２人目の素数さん
19/01/08 02:26:53.87 WdFpB4mR.net
>>143
x + iy = 1/(s-t +it),
x = (s-t)/[(s-t)^2 + t^2], y = -t/[(s-t)^2 + t^2],
(s-t)^2 ±(s-t) + t^2 > 0, (s-t)^2 + t^2 ±t > 0,
(s-t+1/2)^2 + t^2 > 1/4,
(s-t-1/2)^2 + t^2 > 1/4,
(s-t)^2 + (t+1/2)^2 > 1/4,
(s-t)^2 + (t-1/2)^2 > 1/4,
の共通部分。（4楕円合併領域の外部)
148:１３２人目の素数さん
19/01/08 04:04:55.17 ZNcycGg9.net
煽りじゃなくて本当に疑問なんだけど、>>144の解法で複素数を引っ張り出してきたのはなぜ？
普通に連立方程式でx,yを求めるよりなにかいいことがあるの？
149:１３２人目の素数さん
19/01/08 10:04:30.02 rbZMKSpp.net
複素射影直線とグラスマン多様体G(2,R^4)は同相ですか？
150:１３２人目の素数さん
19/01/08 13:53:30.94 HEKnwTqH.net
複素射影直線てリーマン球のことか？
151:１３２人目の素数さん
19/01/08 16:44:31.80 /70NE4Ur.net
>>144
ありがとうございます。この問題の形がいかにも行列×ベクトルの形をしているのですが、一次変換に関係ある問題なのでしょうか？
152:１３２人目の素数さん
19/01/08 17:11:32.45 iVwpyA+C.net
>>146
P1=S2の(実)次元は2
G_2(R^4)の次元は4
なので同相ではないです
153:１３２人目の素数さん
19/01/08 18:24:44.92 wfVVLLbn.net
広義積分 ∫ 1/(x(log(1+x^2))^β)dx from 1 to ∞ (β>0)
が収束するための条件はβ>1であることを示せ
をどなたか教えてください
154:１３２人目の素数さん
19/01/08 19:27:23.97 5EJbWTrs.net
12345→51234のように、十進表記の末尾一桁を先頭にもってくる操作を考える。
ただし末尾は0ではないとし、全桁が同じ数字からなる数も考えないものとする。
ある数Mをこの操作でLへと置き換えた。
MがLで割り切れるMのうち、桁数が最も小さいものを全て求めよ。
という問題なのですが、20点満点で5点しかもらえませんでした。
解答のどのあたりがまずいでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
155:１３２人目の素数さん
19/01/08 19:29:00.02 5EJbWTrs.net
結構自信あったのですが？で全部バツになってしまいました
言葉が足らずケタ数からの議論だということが伝わらなかったということでしょうか？
議論自体に不備がありますか
156:１３２人目の素数さん
19/01/08 20:54:22.86 iVwpyA+C.net
>>151>>152
t=4のときは互いに素ではないのに除外してるのはなぜ？
結局はt=7と同様の理屈で除外されるけども
どういう意味で同様の議論なのかを明確にすべき
「t=5,6,8,9のとき10-tとt*10^(n-1)-1は互いに素となるので、同様の議論で不適」といった感じに
あとは左端に詰めて書いてないので単純に読みづらい
157:１３２人目の素数さん
19/01/08 21:56:00.85 HcyYoAVi.net
Q上でd_pをp進距離関数、d_QをEuclid距離の部分距離関数として
距離空間(Q,d_p)と(Q,d_Q)を考えたときにこの2つが同相でないことを示せ
感覚的には分かるのですが証明方法が浮かばないのでお願いします……
158:１３２人目の素数さん
19/01/08 22:23:08.41 tzmf51gl
159:.net
160:１３２人目の素数さん
19/01/08 23:34:48.43 lM2d1hEM.net
数論幾何学とブロックチェーン技術ってどっちの方が独学するの難しいですか？
161:１３２人目の素数さん
19/01/09 00:06:19.10 3v0fKymE.net
>>150
log(1+xx) = u, (log(2) < u < ∞)
とおく。
2x/(1+xx) dx = du,
I[β] = ∫[log(2),∞] {(1+xx)/(2xx)} (1/u)^β du
一方、x≧1 より
1/2 < (1+xx)/(2xx) ≦ 1,
(1/2)∫[log(2),∞] (1/u)^β du < I[β] ≦ ∫[log(2),∞] (1/u)^β du,
かな････
162:１３２人目の素数さん
19/01/09 00:27:00.66 h9JOR4rM.net
fはℝ上で定義された十分滑らかな関数とし,
a_n= {n Σ[k=1,n] f((2k-1)/2n)}-{n^2 ∫[0,1] f(x) dx}
について, lim[n→∞] a_nは収束するか？
その場合は極限値を求めよ。
163:１３２人目の素数さん
19/01/09 00:45:31.15 LcIX7qOT.net
>>157
なるほど…
めっちゃ助かります ありがとうございます
164:１３２人目の素数さん
19/01/09 02:38:13.07 nRRCVLX/.net
>>154
(Q,d_p)においては
sup {d(a,x)|d(b,x)≦d(a,b)} = d(a,b) (∀a,b)
だけど(Q,d_Q)においては上は成立しない。
165:１３２人目の素数さん
19/01/09 03:34:34.38 zxxgNHWU.net
数学板利用したことがないのでここで質問させてください。
ボロノイ図のプログラムを組んでいるのですが、ランダムな点9個ほどからドロネー三角形の三点の座標と外接円の中心座上を求めることはできました。
そこからドロネー三角形からボロノイ図をつくりたいのですが、
ドロネー三角形に隣接している（辺を共有している）ドロネー三角形の外接円の中心を結んでいけばいように思ったのですが、あってますかね？
166:１３２人目の素数さん
19/01/09 09:29:08.86 p03RkPfT.net
実はこれからお話しすることは
公にはできない秘匿性の高い秘密なので
一度しかお話しできないということを
予めご理解ください・・・
167:１３２人目の素数さん
19/01/09 09:45:36.07 dSrtERlB.net
>>160
知識不足ですみませんが同相だと成立するんでしたっけ
168:１３２人目の素数さん
19/01/09 10:54:45.97 cftIFBQn.net
>>158
どっかの院試とか？
難しくて解けない
169:１３２人目の素数さん
19/01/09 11:05:09.80 y0UYmX7x.net
んなわけないやん。
出題ミスかなんかしらんけど明らかに発散してる。
答えとしては発散する例あげておしまいだからf(x) = xで終わり。
170:１３２人目の素数さん
19/01/09 11:32:42.98 Iqt0a3E9.net
なんでこのスレって上から目線でレスするやつほど数弱なんだろうね
171:１３２人目の素数さん
19/01/09 12:25:07.86 VGWb
172:LLfc.net
173:１３２人目の素数さん
19/01/09 12:57:05.19 3v0fKymE.net
>>166
万国共通ですが何か？
174:１３２人目の素数さん
19/01/09 13:10:25.97 Ydwhnpwq.net
K_ε(x)平均0、分散εの正規分布の確率密度関数ですにおいて、δ>0とするとき、
∫[|x|≧δ]K_ε(x)dxはε→＋0の時0に収束することを示せ。
ε→0とするとK_ε(x)はディラックのデルタ関数に近づいて感覚的に0になりそうなのは分かりますが、証明の仕方が分かりません。
175:１３２人目の素数さん
19/01/09 13:43:45.43 J7VIp4mr.net
正規分布でなくても積分が有限なだけで自明やん
分布固定で積分範囲を広げて収束するのと同じ
176:１３２人目の素数さん
19/01/09 14:32:12.98 Iqt0a3E9.net
>>169
チェビシェフの不等式を使えば容易に示せます
177:１３２人目の素数さん
19/01/09 16:19:20.96 ENgVnsAP.net
>>158
「区分求積 中点法 誤差」
で検索すると出てくる
愛知工業大学の講義資料に
誤差の評価計算があって
ほぼそのまま使える
結論だけ書くと
収束して値は －(1/2){f'(1)－f'(0)}
178:１３２人目の素数さん
19/01/09 16:20:07.97 hkMGGmBS.net
6x2+39x+54の因数分解
(6x+27)(x+2)
(3x+6)(2x+9)
どちらも正解ですか？それとも何か決まりがあってどちらかになる？
179:１３２人目の素数さん
19/01/09 16:22:47.99 oFfp0/ea.net
>>173
3(x+2)(2x+9)
まで分解しないと不正解とされそう
180:１３２人目の素数さん
19/01/09 17:58:58.38 fz5F2D1Y.net
>>173
じゃあテメエは3x+6を因数分解せよって言われたら3x+6って答えるのかよウスラハゲが。
181:１３２人目の素数さん
19/01/09 20:24:17.82 32+XtSYy.net
Y(ω)を求めるためにsinc関数と三角関数の積をフーリエ変換したいのですが解き方が分かりません。畳み込み積分を使うとは思うのですが、解法(出来れば途中式も)お教え頂けないでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
182:１３２人目の素数さん
19/01/09 20:50:09.20 tWOuRuZ0.net
Pをカントール集合とすると、Pは((3*k+1)/3^m, (3*k+2)/3^m))の形の開区間とは交わらないことを証明せよ。
k, mは正の整数とする。
183:１３２人目の素数さん
19/01/09 22:04:27.74 rw8iXDnQ.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この問題の1、2、3問目の解答どなたかお願いします！
184:１３２人目の素数さん
19/01/10 02:29:32.62 oJqyv59S.net
そんなカス問題できねーのに
なんで生きてやがるんだてめーわ。
185:１３２人目の素数さん
19/01/10 03:23:20.50 4mlVGqNc.net
>>158
x_k = (2k-1)/(2n), とおく。
テイラーの定理
f(x) = f(x_k) + f '(x_k)(x-x_k) + (1/2)f "(x_k)(x-x_k)^2 + (1/6)f '''(ξ)(x-x_k)^3,
を使う。ただし |ξ - x_k| ≦ |x - x_k|, |f '''(ξ)| ≦ M,
∫[x_k -1/(2n), x_k +1/(2n)] f(x)dx
= (1/n)f(x_k) + (1/2)f "(x_k)∫[x_k -1/(2n), x_k +1/(2n)] (x-x_k)^2 dx + O(M/n^4)
= (1/n)f(x_k) + (1/nn)f '(x_k)･0 + (1/24n^3) f "(x_k) + O(M/n^4),
∴ nΣ[k=1,n] f(x_k) - nn∫[0,1] f(x)dx
= - (1/24n)Σ[k=1,n] f "(x_k) + O(M/n)
→ - (1/24)∫[0,1] f "(x)dx (n→∞)
= - (1/24){f '(1) - f '(0)} >>172
>>167
Σ[k=1,n] (2k-1)^2 = (1/3)(4nn -1)
1次の項は消える。
186:１３２人目の素数さん
19/01/10 03:29:48.91 4mlVGqNc.net
>>167 (訂正)
Σ[k=1,n] (2k-1)^2 = (1/3)n(4nn -1),
187:１３２人目の素数さん
19/01/10 08:37:15.01 0TNXVAe/.net
0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189
を一つの数式にするとどうなりますか？
188:１３２人目の素数さん
19/01/10 10:25:06.45 2GD8CjST.net
>>178
こんな問題すら解けないならホモトピーを学ぶ前に位相空間論の勉強をやり直すことをオススメします
189:１３２人目の素数さん
19/01/10 10:52:36.60 k4NkhAPc.net
>>174
そうですね
ありがとうございます
>>175
もう少し大人になりましょう
190:１３２人目の素数さん
19/01/10 11:28:02.02 esm1ke7I.net
Sn=Σ[k=1,n] f((2k-1)/2n)}(2/2n) , S=∫[0,1]f(x)dx
とすると積分の定義から
ε=1/n³ に対して、∃n₀, n>n₀
|S-Sn|<ε=1/n³
a[n]=n²Sn-n²S だから
|a[n]|=n²|S-Sn|<n²ε=1/n
したがって
a[n]→0
>>180
これじゃダメなの？
191:１３２人目の素数さん
19/01/10 12:45:13.67 ViNWiWfk.net
ある本に書いてあった問題です。
この問題を解ける人は居ますか？
>大きな数はごく単純な状況でも簡単に生じる。
一例を挙げよう。
今度何かの退屈な委員会に出たときに考えるとよい問題だ。
その会議に出ている人々で構成しうる下部委員会が何通りあるか、すべて数え上げて、下部委員会にありうる対をすべて考える。
対のそれぞれを、二つの集団の一方に割り当てる。
どういう割り当てにしようと、四つの下部委員会について、すべての対が必ず同じ集団にあるという四つ組が必ずあって、全員が必ず偶数の下部委員会に属するようにする、元の委員会の最小の人数はいくらか。
192:１３２人目の素数さん
19/01/10 13:15:49.10 mS1xfsbs.net
>>182
((-1)^n-1)/16+(13n-n^3)/12+n^2/8
ではどうか
193:１３２人目の素数さん
19/01/10 15:33:53.59 4mlVGqNc.net
>>185
ε = 1/n^3 に対してある自然数 N が存在して
|S_N - S| < ε,
| a[N] | = NN |S_N - S| < NNε = NN/n^3,
N ≦ O(n^{3/2}) なら収束するが…
194:１３２人目の素数さん
19/01/10 15:38:28.42 0aS1RbSq.net
質問です。
平均μ,分散共分散行列狽ﾌ多変量正規分布をN(μ,)としたとき、狽ﾍ非負定値行列であることを示せ
誰かわかる方お願いします。
195:１３２人目の素数さん
19/01/10 17:05:21.82 aFUafC37.net
準対角行列ってどんなものですか？
三角行列とは違うものですか？
196:１３２人目の素数さん
19/01/10 17:15:04.51 oQ6VnKQl.net
>>169
2乗可積分なX1～Xnで分散共分散行列なるもの作ったらいわゆるグラミアンになるからじゃね？
197:１３２人目の素数さん
19/01/10 17:46:34.49 usfuY8n0.net
>>186
4人で成り立つ
証明は全通りを列挙すると場合の数が爆発するので
問題を言い換えてから論理学で解けばよい
例えば以下の問題と同値になる
問：
2進数でN桁以下の数 1, 2, ..., 2^N-1 を、2つの集合
P, Q のいずれかに振り分けて分割する。
どのような分割に対しても P, Q のどちらかに
4つの数 a, b, c, d が存在し、排他的論理和
XOR(a, b, c, d)＝0となるとき、
Nの最小値を求めよ。
198:１３２人目の素数さん
19/01/10 17:50:48.
199:61 ID:dGlyJUHh.net
200:１３２人目の素数さん
19/01/10 18:06:10.66 oQ6VnKQl.net
>>193
f(A)⊂Aを満たすコンパクト部分集合の全体に A≧B iff A⊂B で定める順序では？
201:１３２人目の素数さん
19/01/10 22:26:34.46 zV/mvlYj.net
>>154
どなたかこちら解説して頂けませんか？
202:１３２人目の素数さん
19/01/10 23:00:55.45 FO/lAWLA.net
>>193
禿乙
203:１３２人目の素数さん
19/01/10 23:11:02.22 tEF1rreW.net
NHK教育を見て56751倍賢く会話する
ｽﾚﾘﾝｸ(liveetv板)
204:１３２人目の素数さん
19/01/10 23:29:09.20 4mlVGqNc.net
>>158
（>>180 の改良)
x_k = (2k-1)/(2n), とおく。
テイラーの定理
f(x) = f(x_k) + f '(x_k)(x-x_k) + (1/2)f "(ξ)(x-x_k)^2,
を使う。ただし (k-1)/n < ξ(x) < k/n,
∫[(k-1)/n, k/n] f(x) dx
= (1/n)f(x_k) + (1/2)∫[(k-1)/n, k/n] f "(ξ(x))(x-x_k)^2 dx
= (1/n)f(x_k) + (1/nn)f '(x_k)･0 + (1/2)(1/12n^3) f "(y_k) (←平均値の定理)
ここに (k-1)/n < y_k < k/n,
∴ nΣ[k=1,n] f(x_k) - nn∫[0,1] f(x) dx
= - (1/24n)Σ[k=1,n] f "(y_k)
→ - (1/24)∫[0,1] f "(x) dx (n→∞)
= - (1/24){f '(1) - f '(0)} >>172
205:１３２人目の素数さん
19/01/10 23:33:36.16 2GD8CjST.net
>>195
それぞれの完備化が同相でないから
(実数体とp進数体、前者は連結空間だが後者は完全不連結)
というのはどうでしょうか
206:１３２人目の素数さん
19/01/11 00:28:54.65 6oXTloqV.net
lim[n→∞] Σ(k=1～n) [{k^n}/{n^n}]
を求めたいのですが
Σ(k^a) がnについてのa+1次式(で、最高次の係数が正)になることを示せば(帰納法？)、Σ(k^n)がnについてのn+1次式になるから、求める極限は∞で良いですか？
207:１３２人目の素数さん
19/01/11 01:04:03.42 SKsrg5eA.net
>>192
XOR(a, b, c, d) = 0
⇔
どの桁についても、'0' と '1' が偶数個
208:１３２人目の素数さん
19/01/11 02:01:28.77 lZhNAO4z.net
>>199
ありがとう
納得出来ました
209:１３２人目の素数さん
19/01/11 04:08:34.04 SKsrg5eA.net
>>200
Σ(k=1～n) k^a ～ {1/(a+1)}(n+1/2)^(a+1) ････ Faulhaberの公式
本問では a=n なので分母が 1/(n+1) となり nのn次式です。
それを n^n で割るので有限値に収束しそう。
2項公式から
k^n ≒ {(k+1)^(n+1) - (k-1)^(n+1)}/(2n+2) - (n/12){(k+1)^(n-1) - (k-1)^(n-1)} - ････,
Σ(k=1～n) k^n ≒ {(n+1)^(n+1) + n^(n+1)}/(2n+2) - (n/12)(n+1)^(n-1) - ････
= {(n+1)^n + n^(n+1)/(n+1)}/2 - (n/12)(n+1)^(n-1) - ････,
Σ(k=1～n) (k/n)^n ≒ {(1+1/n)^n + n/(n+1)}/2 - (1/12)(1+1/n)^(n-1) - ････
→ (e+1)/2 - (1/12)e - ････ (n→∞)
= e/(e-1)
= 1.58197670687
∵ (1+1/n)^(n+1/2) → ｅ (n→∞)
210:１３２人目の素数さん
19/01/11 04:25:23.08 SKsrg5eA.net
>>203 訂正
Σ(k=1～n) k^n ≒ {(n+1)^(n+1) + n^(n+1)}/(2n+2) - (n/12){(n+1)^(n-1) + n^(n-1)}- ････
= {(n+1)^n + n^(n+1)/(n+1)}/2 - (1/12){n(n+1)^(n-1) + n^n} - ････,
Σ(k=1～n) (k/n)^n ≒ {(1+1/n)^n + n/(n+1)}/2 - (1/12){(1+1/n)^(n-1) + 1} - ････
≒ (e+1)/2 - (1/12)(e+1) - ････
= e/(e-1)
= 1.58197670687 (n→∞)
211:１３２人目の素数さん
19/01/11 05:21:48.91 SKsrg5eA.net
>>190
quasi-diagonal matrix
固有値に重根がある場合、それに対応するブロックは対角化できないことがある。
その場合でも、対角線上に固有値、その１つ上(下)に１が並ぶ形に変換することは可能。
(ジョルダンの標準形)
互いに複素共役な固有値 a±bi がある場合、それらに対応するブロックを
[a+bi, 0]
[0, a-bi]
から実表示
[a, -b]
[b, a]
に変換することがある。
212:１３２人目の素数さん
19/01/11 06:48:11.97 Dq90IXlW.net
>>201
元の問題の
「全員が偶数の下部委員会に属する」
の偶数は0を含まないのでは、
という指摘と理解しました
自分は0を含むとして解きましたが
これを排除すると
答えが
213:変わるかもしれませんね 投稿者はヤフー知恵袋にも 投稿しているようなので 証明の掲載はいったん控えます
214:１３２人目の素数さん
19/01/11 11:11:26.21 VVnUmry8.net
>>189
どなたかこれお願いします
215:１３２人目の素数さん
19/01/11 11:45:12.82 KwypqMKz.net
二乗可積分な確率変数 X,Y に対して内積 (X,Y) を E(XY) で定めた場合のグラミアンが分散共分散行列。
なので有限次元のヒルベルト空間のグラミアンが任意の基底で固有値正を示せば良い。
216:１３２人目の素数さん
19/01/11 12:50:09.81 bKTQWanC.net
>>182
0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189
a_n=(-4 n^3 + 18 n^2 + 28 n - 3 (-1)^n - 45)/48
217:１３２人目の素数さん
19/01/11 13:22:30.95 xPuURV4g.net
サイコロを振り、1,2,3の目が出たときは文字列AABを書き、4のときは文字Bを、5のときはCを、6のときはDを書く。
このことを繰り返し、既にある文字列の右側につなげて新しい文字列を作る。
例えばサイコロを3回投げ、順に5,1,4の目が出たときは、文字列CAABBが得られる。
（1）nを正整数とし、サイコロをn回投げて文字列を作る。
文字列の一番左からn番目の文字がAとなる確率P_A[n]、文字列の一番左からn番目の文字がBとなる確率P_B[n]をそれぞれ求めよ。
（2）極限 lim[n→∞] P_B[n]/P_A[n] を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
19/01/11 14:16:14.48 1RH5/468.net
>>193
x(1)=f(X), x(n+1)=f(X(n)) として Y=∩{X(n) | n∈N} にすれば
Y≠φ はコンパクトから言えるからZornの補題は要らんだろ
219:１３２人目の素数さん
19/01/11 15:55:34.59 5J5uogTQ.net
>>199
よく考えたらユークリッド距離の(0,1)とRが同相でも完備化して同相でなくなる例でしたね
220:１３２人目の素数さん
19/01/11 16:51:41.30 r1mV13ck.net
n次元アフィン空間の平行でない2つのn-1次元アフィン部分空間の交わりはn-2次元アフィン部分空間になることの証明を教えてください
221:１３２人目の素数さん
19/01/11 16:53:11.58 SKsrg5eA.net
>>182
a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = a_4 = 2, a_5 = 1, ････ とおくと
>>187 は a_{n+1}
>>209 は a_n
同じもの
222:１３２人目の素数さん
19/01/11 17:06:38.12 q6cBcNld.net
>>189
これお願いします
223:１３２人目の素数さん
19/01/11 21:59:51.35 hiaVndzB.net
>>214
先頭から 0,1,2 と続くので、この問題の場合は初項を a_0 としたほうが綺麗かなと個人的には思う
まあ、趣味の問題でしかないですが
224:１３２人目の素数さん
19/01/11 22:17:16.99 jTCjgE7W.net
lim x→0 (1/x)−(1/sinx)
225:１３２人目の素数さん
19/01/11 22:28:08.13 XTVF40zW.net
0
226:１３２人目の素数さん
19/01/11 22:38:52.86 jTCjgE7W.net
>>218
過程お願いします
227:１３２人目の素数さん
19/01/12 00:10:07.71 WbCaxkv8.net
>>219
自己解決しました
228:１３２人目の素数さん
19/01/12 00:11:38.32 V06NzB18.net
>>219
「われは過程をつくらず」 (Hypotheses non fingo)
--- Isaac Newton "Principia Mathematica, Philosophiae Naturalis" 2nd ed.(1713)
229:１３２人目の素数さん
19/01/12 00:14:42.36 V06NzB18.net
>>220
ぢゃあ生姜ねぇ
・解1
sin(x) < x < tan(x) より
0 < 1/sin(x) - 1/x
< 1/sin(x) - 1/tan(x)
= {1-cos(x)}/sin(x)
= sin(x)/{1+cos(x)}
→ 0 (x→0)
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp) (2010/02/15)
・解2
lim (x→0) {1/x - 1/sin(x)}
= lim (x→0) {sin(x)-x}/{x･sin(x)}
= lim (x→0) {cos(x)-1}/{sin(x)+x･cos(x)} (← l'Hospital)
= lim (x→0) {-sin(x)}/{2cos(x)-x･sin(x)} (← l'Hospital)
= 0
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp) (2011/06/01)
230:１３２人目の素数さん
19/01/12 12:02:22.71 cmNbzmeZ.net
病院かよ
231:１３２人目の素数さん
19/01/12 14:02:35.27 2CN4f8o0.net
>>210
誰かこれ解けませんか？
大学入試問題らしいので特別難しくはないと思います
私は漸化式作ろうとして作れませんでした
232:１３２人目の素数さん
19/01/12 14:49:42.19 d767jwN0.net
最初の一投目で分ける
233:１３２人目の素数さん
19/01/12 16:07:25.11 F/0/MLYr.net
高校数学のスレで誰も解いてくれないので誰か教えてください。高校数学の問題です。
xyz空間において
C1, x^2+y^2=1,x≧0,y≧0,z=0
C2, x^2+z^2=1,x≧0,y=0,z≧0
C3, z^2+y^2=1,x=0,y≧0,z≧0 を考える。
点Pがx軸の0≦x≦1の部分を動くとき、Pを通りx軸に垂直な平面とC1,C2の交点を順にQ,R として、三角形PQRが通過してできる立体をK1とする。
同様に、点P' がy軸の0≦y≦1 の部分を動くとき、P'を通りy軸に垂直な平面とC1,C3との交点を順にQ',R'として、三角形P'Q'R'が通過してできる立体をK2とする。
このとき、K1とK2の共通部分K の体積を求めよ。
234:１３２人目の素数さん
19/01/12 21:10:07.56 ilBN4PEM.net
>>226
線分QR, Q'R' が削り出す立体は 平面 x=y に関して対称的である。
例えば QR が削り出す側 ( y ≧ x ) の体積を２倍すればよい。
よって
底辺: a(x) = √(1-x^2) - x
高さ: h(x) = √(1-x^2) - x
この三角形面積を積分して２倍すればよい。
V{K} = 2 ∫ [ 0, 1/√2 ] dx a(x) h(x) / 2 = ∫ [ 0, 1/√2 ] dx ( 1 - 2x √(1-x^2) )
= 1/√2 - ∫ [ 0, 1/2 ] dt √(1-t)
= √2 /2 +2/3 ( (1-1/2)^{3/2} - (1-0)^{3/2} )
= √2 /2 +√2 /6 - 2/3 = 2/3 ( √2 - 1 )
てか本当に高校数学か？
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
235:１３２人目の素数さん
19/01/12 23:30:46.84 F/0/MLYr.net
>>227ありがとうございます。この問題は東大の添削問題として学校で出された問題なのですが全然わからなかった問題です。
236:１３２人目の素数さん
19/01/12 23:32:07.84 AOPo8GCY.net
>>220
URLﾘﾝｸ(www.slideshare.net)
→ slide 51～61
237:１３２人目の素数さん
19/01/12 23:33:21.73 jdMjzZeF.net
>>213
お願いします
238:１３２人目の素数さん
19/01/13 02:33:31.12 RQPCLdmu.net
>>230
原点を選ぶことで全空間をベクトル空間と見なす
適当な平行移動をすることによりアフィン部分空間はどちらも(ベクトル空間としての)部分空間としてよい
こう考えれば主張は明らかでしょう
239:１３２人目の素数さん
19/01/13 03:27:13.69 TdVDXt12.net
-1=i×i
=√(-1)×√(-1)
=√((-1)×(-1))
=√1
=1
つまり、-1=1
240:１３２人目の素数さん
19/01/13 06:17:36.94 FdRKd3dR.net
>>210
どなたかこの問題をお願いします
241:１３２人目の素数さん
19/01/13 09:11:19.89 OlCfPJhH.net
>>210
東大2015に似てる
242:１３２人目の素数さん
19/01/13 09:28:18.41 OocgZ7X3.net
>>210
a_1 = 1
a_2 = 1/2
a_3 = 1/4
a_n = (1/2)*a_(n-3) + (1/2)*a_(n-1)
P_A[n] = (1/2)*a_(n-1)+(1/2)*a_n
じゃ間違いですか？
243:１３２人目の素数さん
19/01/13 15:52:05.16 MydbhMAn.net
>>210
AAB を “A1”, “A2”, “B1” の並びに, 4のときのBを “B2” に解釈するとよさそう
A1[n] = 1/2 . (1 - A1[n-1]-A2[n-1])
A2[n] = 1 . A1[n-1]
B1[n] = 1 . A2[n-1]
B2[n] = 1/6 . (1 - A1[n-1] - A2[n-1]) = 1/3 . A1[n]
C[n] = 1/6 . (1 - A1[n-1] - A2[n-1])
D[n] = 1/6 . (1 - A1[n-1] - A2[n-1])
(総和が1 になる事を確認)
∴ A1[n] = 1/2 . (1-A1[n-1]-A1[n-2])
A1’[n] := A1[n] - 1/4 と置くと
A1’[n] = - 1/2 ( A1’[n-1] + A1’[n-2] ). [漸化式]
二次
244:方程式: 2x^2 + x + 1 = 0 の解 α= {-1 + √(-7) }/4 , β= {-1 - √(-7) }/4 |α| = |β| = 1/√2 < 1 α^n , β^n は漸化式を満たす (特解) [漸化式]が線形なので一般解は a1 [n] = a1’[n] + 1/4 = p α^n + q β^n + 1/4 初期条件 a1[1] = 1/2, a1’[1] = 1/4 a1[2] = 1/4, a1’[2] = 0 p α + q β = 1/4 p α2 + q β2 = 0. より p=…, q = … (略) A[n] = A1[n] + A2[n] =( p α^n+q β^n) + ( p α^{n-1}+q β^{n-1}) + 1/2 → 1/2 B[n] = B1[n] + B2[n] = A2[n-1] + 1/3 . A1[n] = A1[n-2] + 1/3 . A1[n] = ( p α^{n-2}+q β^{n-2} ) + 1/3. ( p α^n + q β^n ) + 1/3 → 1/3 ∴ B[n]/A[n] → 2/3
245:１３２人目の素数さん
19/01/13 15:53:08.32 MydbhMAn.net
後半は単純に見積もる事も可能 (厳密ではない)
n回平均で 1/2. 3n + 1/2. n = (2n)文字が生成される
そのうち (3n/2)文字は {A1,A2,B}のどれか (n/2)文字は {B2,C,D} のどれか
nが大になるほど、およそ中央の n文字目は特徴がなくなるはず.
A[n] → 3/4. 2/3 = 1/2
B[n] → 3/4. 1/3 + 1/4. 1/3 = 1/3
∴ B[n]/A[n] → 2/3
246:１３２人目の素数さん
19/01/13 17:02:38.39 bVbmlIcM.net
>>231
直感的に、部分空間の共通部分の基底を、それぞれの部分空間の基底の同じ方向を向いているやつたちから選べると思いますが、これは厳密に証明として書くにはどのようにすればいいでしょうか？
247:１３２人目の素数さん
19/01/13 17:46:36.88 6TPI0UW2.net
>>189
これお願いします
248:１３２人目の素数さん
19/01/13 21:31:11.63 RQPCLdmu.net
>>238
基底を書き下すことによって証明をするのは不可能ではないと思いますが、手間がかかってしまうと思います
Vを全空間、AとBを部分空間として、線形写像
f:A×B→V ;(a,b)→a-b
に対し次元定理を適用すると楽に示せます
(Im(f)=V, Ker(f)=A∩Bです)
249:１３２人目の素数さん
19/01/13 22:01:28.06 O5mi3gpk.net
初期値問題への帰着わかるひとおる？
250:１３２人目の素数さん
19/01/14 00:15:06.56 RX1IoB2F.net
>>240
なるほど
全く思いつきませんでした
ありがとうございます
251:１３２人目の素数さん
19/01/14 00:19:46.78 61q6TCzp.net
>>189, >>239
> 平均μ,分散共分散行列狽ﾌ多変量正規分布をN(μ,)としたとき、狽ﾍ非負定値行列であることを示せ
狽ﾌ, 狽ﾍ が何だか分からんが
f(x) を確率密度関数とする.
分散共分散行列 M{i,j} := E[ (xi-μi)(xj-μj) ] = ∫ dx1...∫ dxn (xi-μi).(xj-μj). f(x) は対称行列 ★
ゆえに適当な回転行列 R により対角化可能
(R.M.R^t){i,j} = Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn (xk-μk).(xm-μm).R{i,k} R{j,m} f(x) = δ{i,j} λi = Λ{i,j}
λi = Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn (xk-μk).(xm-μm).R{i,k} R{i,m} f(x)
= Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] ∫ dx1...∫ dxn | R.(x-μ) |^2 P(x) ≧ 0
よって Λ = R.M.R^t は非負定値行列 → M は 非負定値行列 ★
あるいは...
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp) この多変量正規分布関数に現れる対称行列 Σ について考える.
適当な対角化により Λ= R.Σ.R^t, y = R.(x-μ )
f(x) ∝ exp( - (1/2). (x-μ)^t. Σ^{-1}. (x-μ) ) = exp( - (1/2). y^t. Λ^{-1}. y ) = exp( - (1/2). Σ[i=1,n] yi^2 / λi )
確率密度関数の積分が有限となるように λi ＞ 0 となっている必要がある.
よって Λ は 正定値行列 → Σ は 非負定値行列 ★
∫ dx1...∫ dxn yi. yj. f(x) = ∫ dy1...∫ dyn yi. yj. f(...y...) = ... = δ{i,j} λi = Λ{i, j}
(∵ det Σ = λ1.λ2....λn , ∫ dy ye^-y^2=0, ∫ dy e^-y^2 = √(π), ∫ dy y^2 e^-y^2 = Γ(3/2) = √(π) /2 )
よって Σ = R^t.Λ.R = ∫ dx1...∫ dxn (R^t.y){i}.(R^t. y){j} f(x) = ∫ dx1...∫ dxn (xi-μi).(xj-μj) f(x)
確かに Σ は "分散共分散" 行列である. ★
252:１３２人目の素数さん
19/01/14 08:36:56.29 iN2QCevu.net
nを自然数とする。
fn(1) = ∫[0 to 1] 1/(1+x^2n) dx
について、n=1,2,...に対する増減を調べよ。
253:１３２人目の素数さん
19/01/14 17:07:24.04 VbLIcfRT.net
>>244
nについて単調増加。
1 - x^(2n) < 1/{1+x^(2n)} < 1
より
1 - 1/(2n+1) < I[n] < 1
∴ I[n] →1 (n→∞)
I[1] = ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx = [ arctan(x) ](x=0,1) = π/4 = 0.7853981634
I[2] = ∫[0,1] 1/(1+x^4) dx = {π + 2log(1+√2)}/(4√2) = 0.86697298734
I[3] = ∫[0,1] 1/(1+x^6) dx = {π + (√3)log(2+√3)} / 6 = 0.90377177375
254:１３２人目の素数さん
19/01/14 19:33:04.92 1ixFLnb2.net
大学入試の過去問程度の問題で、
むちゃくちゃ難しい立体求積の問題を集めたものはありますか？
オンラインで利用できるものを探しております。お願いいたします
255:１３２人目の素数さん
19/01/14 19:38:47.90 1ixFLnb2.net
「むちゃくちゃ難しい」は「平均的受験生にとって、数学がある程度得意でもきつい」というような意味です。
なにとぞよろしくお願いします
256:１３２人目の素数さん
19/01/14 21:13:05.39 JExPOrqO.net
昔質問した内容について、再度教えてください。
●質問内容
(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)とする、n個のxとｙの値が分かっているペアがあります。これらが以下の方程式
y = a * {sinh(bx)}^c
を満たす場合、最小二乗法を使って係数a, b, cを求める方法を教えてください。
●当時の回答
b=b0 を固定する。
log(y) = log(a) + c･log|sinh(bx)|より
X = log(sin(bx))，Y = log(y)
とし、（X，Y）データを最小二乗法で直線回帰する。
Y = log(a) + c･X
ただし、（a，c） は b0 に依存する。
次に、
Z = sinh^(-1){(y/a)^(1/c)}
とし、（x，Z）データを最小二乗法で直線回帰する。
Z = b・x + d,
ただし、（b，d）は（a，c）に依存する。
これを (a，b，c，d) が収束するまで繰り返す。
●質問内容
回答のZ = b・x + dのbとdは、どのように分解され、Y= の式に当てはめればよいのでしょうか。
また、可能であれば、数回繰り返した結果を示していただけないでしょうか(係数a,b,cは任意でかまいません)。
257:１３２人目の素数さん
19/01/14 23:15:18.08 9eUtE+7q.net
初めて来ました。
私立の経済学部に通ってるものです。
画像の例題の解説に疑問があります。
(1)でμをそれぞれ正と置いたため解なしになるのは理解できるのですが、
(4)では解なしにならない理由がわかりません。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)