18/12/18 21:47:30.11 e1oKVpnI.net
【不等式の和書】
[1] 不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸
3:善出版，2003年 http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566 [2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版） [3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年 http://amazon.jp/dp/4844372661 [4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898 [5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494 [6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812 [7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740 [8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年 http://amazon.jp/dp/4903342700、（正誤表+補遺）http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ [9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年 http://amazon.jp/dp/4254111371 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091 【不等式のpdf】 [1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities. http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php [2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど. http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html 【おもな埋蔵地】 [1] JIPAM https://www.emis.de/journals/JIPAM/ [2] MIA http://mia.ele-math.com/volume/20 [3] AoPS https://artofproblemsolving.com/community [4] Maths problems http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/index.html [5] IMO http://www.imo-official.org/problems.aspx [6] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html ※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
4:不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
18/12/18 21:47:58.79 e1oKVpnI.net
諸君 私は不等式が好きだ
諸君 私は不等式が大好きだ
改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ
AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで
Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで
Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで
この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ
大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える
糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ
君達は一体何を望んでいる？ 更なる不等式を望むか？
『不等式！ 不等式！ 不等式！』
よろしい ならば証明だ！
rv―v―､ r-v-v
r､ ﾉ も（ ﾉ ま ( ,ｨx
(＼＼(＾} ) !! 厳. っ ( ） だ ( /)///7
{＾ヽ＾ヽ { ） し. と ( ） だ ( / 'ヽ /
＼ ｀Y ﾉ}_ ﾊ く ﾉ 乂 ノ {. 〈 /
〉,r彡ﾊ _＞ ＜ / ま ( 人＿ノ〉
V ∨ !! 改 も （) !! だ（ / 7 /
'v V 良 っ （). だ(/ /
'v V .を と 人＿,ノ〈 /
V V rfﾃ弐ミk / }'
'v ',仔r＝r弌ﾘ' /
'v '({ ヾ二ﾌ,j' /
} j个ー‐个ﾄ, /
}> ／ /＞ｭ<ﾄ､＼ノ{
＿j／ / | / :| | ＼＼
_,＞､__, イ＞＼／ _｣/＼￣{_
/ /:::::| ＼／＿_,＞|:::::∧ {
/| ./:::::/ 厂 |::::::::∧ |＼
/ :| /:::::/ |o 〔::::::::::::∧.| ＼
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5:１３２人目の素数さん
18/12/18 21:55:19.66 e1oKVpnI.net
前スレ967の不等式、(3)が2019年度中国数学オリンピック第一問
(1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
---------------------------------------
(1)の証明
a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
---------------------------------------
〔予想〕
a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき
・n：奇数 (n≧5) ならば
-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),
・n:偶数 ならば
-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2.
6:１３２人目の素数さん
18/12/19 01:42:03.32 01wf4Nsj.net
削除依頼を出しました
7:１３２人目の素数さん
18/12/19 05:34:28.01 5zoTD2o3.net
>>1
スレ立て乙
ついに２桁に到達したでござるな。
・次スレ用のメモ。
【過去スレ】
～.2ch.net/ → ～.5ch.net/
・過去スレのミラー置き場
URLﾘﾝｸ(onedrive.live.com)
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
8:１３２人目の素数さん
18/12/19 05:36:05.68 5zoTD2o3.net
>>2
次スレ用のメモ
【不等式の和書】
[1] 不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p.
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
[2] 不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p.
ASIN B000JA494Y,
[3] 不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太，近代科学社，1992年, 162p.
ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0,
URLﾘﾝｸ(www.kindaikagaku.co.jp)
[4] 不等式入門 (数学のかんどころシリーズ9), 大関清太, 共立出版, 2012年, 186p.
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
[5] 不等式入門 (数学ライブラリー教養篇4), 渡部隆一，森北出版，2005年, 154p.
ASIN 4627010494, ISBN 978-4-627-01049-9,
URLﾘﾝｸ(www.morikita.co.jp)
[6] 不等式の工学への応用, 海津 聰(訳), 森北出版，2004年, 160p.
ASIN 4627075812, ISBN 978-4-627-07581-8,
URLﾘﾝｸ(www.morikita.co.jp)
[7] 不等式 (モノグラフ4), 梁取 弘(著)、矢野健太郎(監修), 科学新興新社, 1998年, 118p.
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～, 安藤哲哉, 数学書房, 2012年, 280p.
ASIN 4903342700, ISBN 978-4-903-34270-2,
URLﾘﾝｸ(www.sugakushobo.co.jp)
（正誤表+補遺) URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として, 佐藤淳郎(訳), 朝倉書店, 2013年, 260p.
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
[10] 思考力を鍛える不等式 (大学への数学・別冊), 栗田哲也, 東京出版, 2014年, 135p,
ASIN 4887422091, ISBN 978-4-887-42209-4,
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-s.jp)
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 URLﾘﾝｸ(seesaawiki.jp)
9:１３２人目の素数さん
18/12/19 06:39:43.21 K5b8go44.net
>>6-7
乙。修正すべきことがたくさんあるね。
10:１３２人目の素数さん
18/12/19 09:51:30.85 K5b8go44.net
>>4
> (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。
また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。
結局、次の3つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a.
(iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16.
(ii)のとき、4<b+c≦6に注意して
0 ≦ -27(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {3(a+b)+(b+c)+3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b+c)^4 ≦1296,.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≧-48.
(iii)のとき、-1≦d<b≦7に注意して
0 ≦ 9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b-d-2)^4 ≦1296.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
( ﾟ∀ﾟ) こんなものかな。次は(5)か…
11:１３２人目の素数さん
18/12/19 16:49:09.59 K5b8go44.net
>>9
蛇足 ： (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。
12:１３２人目の素数さん
18/12/19 18:10:46.72 K5b8go44.net
>>10
アホだ。ちゃんと書いとったわ。
13:１３２人目の素数さん
18/12/19 20:38:59.29 K5b8go44.net
>>4
> (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。
また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。
結局、次の5つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a.
(iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a.
(iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a.
(v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦32.
(ii)のとき、-2≦e+a<0 に注意して
0 ≦ -(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)-(e+a)}/5]^5
＝ {2 - (2/5)*(e+a)}^5
≦ (14/5)^5
＜ 512.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)>-512.
(iii)のとき、-1≦e≦5, 5<b+c-e≦9 に注意して
0 ≦ 27648(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {8(a+b)+3(b+c)+8(c+d)-12(d+e)-12(e+a)}/5]^5
＝ {3(b+c-e)-e-4}^5
≦ 24^5.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
(iv)のとき、5<b≦9 に注意して
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(d+e)}/3]^3 * [ {-(c+d)-(e+a)}/2]^2
＝ {(b+5)/3}^3 * {(b-5)/2}^2
≦ (14/3)^3 * 2^2
＜ 288.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)<288.
(v)のとき、-1≦d,e<b≦9 に注意して
0 ≦ -64(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)-4(c+d)-4(d+e)-4(e+a)}/5]^5
＝ (b-d-e-3)^5
≦ 8^5.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≧-512.
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 残りは一般のnの場合だが、こんなやり方じゃ場合分けで死ぬ…
14:１３２人目の素数さん
18/12/22 04:43:23.11 PuO49N5y.net
〔問題A-3〕
a, b ≧1 のとき不等式
(1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
が成り立つことを証明して下さい。
(近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03)
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp) → 第21回(H30年)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 不等式２-327
15:１３２人目の素数さん
18/12/22 05:40:15.79 v/6AAPaR.net
>>4
一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。
16:１３２人目の素数さん
18/12/22 22:59:48.76 fXYd5inn.net
正整数t,k,mがあって、t^2>kmを満たす。
このとき次の不等式が成立
Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k
17:１３２人目の素数さん
18/12/25 00:39:01.84 VHyUt/tL.net
迫力満点なのを…
URLﾘﾝｸ(mobile.twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
18:１３２人目の素数さん
18/12/25 01:38:05.87 AdUIceWu.net
変なのが住み着いたな
19:１３２人目の素数さん
18/12/25 01:39:21.03 AdUIceWu.net
そういうのは自分のブロクの中だけに留めとけよ
20:１３２人目の素数さん
18/12/26 09:35:55.89 2DcmDNkQ.net
〔補題〕
自然数mについて
4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),
(略解)
a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
a_m < b_m,
(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1 より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
a_m は単調増加。
(3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m より
b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1,
b_m は単調減少。
よって
a_1 < a_2 < ････ < a_m < ････ < b_m < ････ < b_2 < b_1
ゆえ収束する。
極限値 １
21:１３２人目の素数さん
18/12/26 23:29:50.65 2DcmDNkQ.net
>>19 (続き)
3<π<4 √(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3)) より a_0 < 1 < b_0
3<π<3.2 √(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3)) より a_1 < 1 < b_1
m>1 のときも a_m < 1 < b_m
22:１３２人目の素数さん
18/12/28 01:30:14.08 NvXV1n10.net
>>19
極限値はウォリスの公式
C[2m,m] = (2m)! / (m!)^2 ～ 4^m / √(πm),
またはスターリングの公式
log(n!) = (n+1/2)log(n) - n + (1/2)log(2π) + 1/(12n) + O(1/n^3)
log{C[2m,m]} = log{(2m)!} - 2log(m!) = m log(4) - (1/2)log{π(m+1/4)} + O(1/m^3)
から出る。
23:１３２人目の素数さん
18/12/29 11:48:56.87 Ca6iUqF7T
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d が任意の実数 x (resp. 任意の x>=0)に対して
f(x)>=0 を満たす条件を a,b,c,d の式で表せ、という古典的な問題
解けたけど、昔から答は知られている気もする。
答の書いてある本とか論文とかWEBを知ってる人いる?
自分の解は複雑で5chには書けないけど、誰も知らないなら論文に投稿する。
24:１３２人目の素数さん
19/01/01 00:06:21.22 HV303Epp.net
∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) ≧ 9 (abc)^(4/3),
[第９章.395, 397]
25:１３２人目の素数さん
19/01/01 08:18:44.24 xFQI3nN2.net
botの104が面白いな
26:１３２人目の素数さん
19/01/01 11:28:11.24 HV303Epp.net
Inequalitybot [104]
(aa+bb+cc)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|,
[前スレ.574, 576]
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式２-196
じゅー君 (作)
27:１３２人目の素数さん
19/01/01 12:27:27.17 HV303Epp.net
>>23
x^2019 - x^31 + 3 ≧ 2．08319787624644064040 x^(4/3),
等号成立は x = 0．99794707802373850618 のとき。
(6053x^2019 - 89x^31 - 12 = 0 の正根)
最良値 9．040481720894526247626
人
／⌒＼ （＿_）
＼●／（＿＿）／⌒＼
∩ （・∀・ ）＼●／ あけおめでござる。
Y ￣ ||ｙ|| ￣`''φ
Lノ /ニ|| ! ソ >
乂/ﾉ ﾊ ヽー´
`ー-、＿_|
28:１３２人目の素数さん
19/01/07 14:07:43.34 nTHVJaxN.net
>>23
〔問題390〕
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 - a^31 + 3) (b^2019 - b^31 + 3) (c^2019 - c^31 + 3) > 3 (a^4 + b^4 + c^4),
[前スレ.390]
29:１３２人目の素数さん
19/01/08 01:02:25.62 WdFpB4mR.net
>>27
x0 = 0．99794707802373850618 とおく。 >>26
(x^2019 - x^31 + 3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 + 1 + 1} ≧ 3k (x/x0)^4,
ここに k = 2．98882413327445720383
(左辺) = (a^2019 - a^31 + 3)(b^2019 - b^31 + 3)(c^2019 - c^31 + 3)
≧ k [{(a/x0)^12 + 1 + 1} {1 + (b/x0)^12 + 1} {1 + 1 + (c/x0)^12}]^{1/3}
≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4} (←コーシー)
= (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3．01349390694842082546 (a^4 + b^4 + c^4)
等号成立は a=b=c=x0.
30:１３２人目の素数さん
19/01/08 23:08:11.82 WdFpB4mR.net
>>28 訂正ｽﾏｿ
k/(x0^4) = 3．0134939069６484208254
31:１３２人目の素数さん
19/01/09 15:53:33.07 Cl/0e+Ah.net
ｘ はn次元ベクトル
||x||_p はp-norm
p>q>0に対して、||x||_p ≦ ||x||_q ≦ n^(1/q - 1/p)*||x||_p.
今年もよろしくお願いします ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
32:１３２人目の素数さん
19/01/10 04:13:48.85 4mlVGqNc.net
>>30
||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ････ + |x_n|^p)^{1/p}
p次平均ノルム
p≧1
33:１３２人目の素数さん
19/01/10 06:11:46.62 4mlVGqNc.net
>>28
x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば
(x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ････},
(x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ････},
(x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ････},
34:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
19/01/16 00:31:34.87 YX5hCMKx/
a(0)=b(0)=1, ∀n(nが自然数ならばa(n+1)=a(n)+2b(n)かつb(n+1)=a(n)+b(n)) が成り立つとすると,
自然数 n に対して m が 2n より大きい自然数ならば a(2n)/b(2n)<a(m)/b(m) が成り立ち,
自然数 n に対して m が (2n+1) より大きい自然数ならば a(2n+1)/b(2n+1)>a(m)/b(m) が成り立つ.
35:１３２人目の素数さん
19/01/20 05:29:41.07 3c2tpFSV.net
>>13
左:
0 < t < 1/2 ⇒ 1-t > t,
1/2 < t < 1 ⇒ t > 1-t,
(中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
= [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1)
= (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
= (1/2)^{a+b-2},
右:
ヤングの不等式より
t^{a-1}･(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),
(中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2)
= [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
= 1,
36:１３２人目の素数さん
19/01/22 05:49:20.92 hfoTnJ0x.net
〔前スレ.950〕
a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 325, 336 )
( //suseum.jp/gq/question/3013 )
37:１３２人目の素数さん
19/01/22 06:04:00.30 hfoTnJ0x.net
>>35
bはaとcの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c) ≧ 0,
(c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,
s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺 - 右辺)･ssu
= [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
= (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
= [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)･2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
= 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
≧ 0,
(b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
(a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,
38:１３２人目の素数さん
19/01/25 08:47:28.94 dfwh8WQW.net
a,b,c >0 のとき
(1) (abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2･(a^3 +b^3 +c^3)
バルカンMO-2015、P1
(2) a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)･√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)},
セルビアMO-2017、P1改
(3) (a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a),
クロアチアMO-2018、A1改
ｶﾞｲｼｭﾂかも知れませんが････
39:１３２人目の素数さん
19/02/04 16:57:27.17 KxBFZY2a.net
a,b,c>0に対して、1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≧ (3√3)/{2√(aa+bb+cc)}.
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごきげんよう
40:１３２人目の素数さん
19/02/05 12:41:14.63 xI3EwwZt.net
とりあえず改造････
a,b,c>0 に対して
1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}.
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごぶさたでござる。
41:１３２人目の素数さん
19/02/05 20:23:14.73 lfo16SY3.net
>>39
なんと！元の不等式はヌルヌルでござったか…
42:１３２人目の素数さん
19/02/11 18:01:27.73 dvi1QDx1.net
等式だけど
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2.
これって何か背景あるのかな？
43:１３２人目の素数さん
19/02/12 17:06:09.82 zTm0tcyX.net
>>41
行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。
44:１３２人目の素数さん
19/02/16 01:12:40.14 fRyCy6GA.net
>>41
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2.
= (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2, (複号同順)
同じことだけど････
45:１３２人目の素数さん
19/02/16 01:20:11.40 fRyCy6GA.net
数セミ3月号 NOTE より
n個の正数 x_1, x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。
それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき
n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}),
[前スレ.866, 872]
ニコニコ大百科
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)の不等式
46:１３２人目の素数さん
19/02/18 01:07:20.81 3W69H09M.net
>>44
NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの？
47:１３２人目の素数さん
19/02/18 18:08:19.89 3JHzAJ6Y.net
>>45
畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れ ましたことやら。
溜池通信
URLﾘﾝｸ(tameike.net)
48:１３２人目の素数さん
19/02/18 23:35:18.28 3W69H09M.net
>>46
いい加減にしろよ馬鹿が
49:１３２人目の素数さん
19/02/20 06:44:03.40 u2k/hpyq.net
>>45
それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。
50:１３２人目の素数さん
19/02/20 07:16:40.17 4ATqaV2Y.net
記事のコメントには、ヤコブスタールの不等式そのものであるとか指摘はなかったけど、ZZZは知らなかったのか？
51:１３２人目の素数さん
19/02/20 23:05:39.15 u2k/hpyq.net
学術誌レベルの新規性を要求されちゃカナワンよなぁ。
雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。
52:１３２人目の素数さん
19/02/21 00:14:53.49 vd6keGE+.net
ヤコブスタールの不等式は、一般人には有名じゃないの？
コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど…
53:１３２人目の素数さん
19/02/22 02:26:44.49 C/jpUJqi.net
読者（一般人）に有名でなければ 再発見でもOK
ということで願いたい。
54:１３２人目の素数さん
19/03/05 01:25:25.02 gNDCshUz.net
〔問題3043〕
A, B, C は正の実数で次式を満たす。
M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1),
n = 1, 2, ････
このとき次式を示せ。
{(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p,
ただし p = 1/(n+1).
by K. Chikaya (2019/Feb)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
55:１３２人目の素数さん
19/03/05 18:54:10.14 jTRcgByS.net
難しいな。
56:１３２人目の素数さん
19/03/08 19:36:03.74 aQYf5MtB.net
bot59の不自然な不等式は何なんですかね？
57:１３２人目の素数さん
19/03/09 06:26:00.80 3JHzAJ6Y.net
〔bot-59〕
x,y,z>0 のとき次を示せ。
4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz,
カナダMO-2012 A.1
左から AM-GM するだけ....
4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw,
58:１３２人目の素数さん
19/03/09 07:57:40.75 Vpcwz/ga.net
なるほど！
カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。
59:１３２人目の素数さん
19/03/09 23:16:13.39 Vpcwz/ga.net
a,b,c,d,e>0 に対して、
(abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3
60:１３２人目の素数さん
19/03/11 00:59:41.06 gRQ8L5Xj.net
>>58
abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H,
a+b+c+d+e = 5A,
abcde = G^5,
だから
A^(n-1)･H ≧ G^n ≧ A･H^(n-1) … Sierpinskiの不等式
の右側でござるか。
・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80
61:１３２人目の素数さん
19/03/11 10:40:22.46 gRQ8L5Xj.net
>>58
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。 与式は
(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。 左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(4,1) (3,1,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
(4,1) A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
(3,1) 4(A^3)(B+C+D+E) + …
(2,2) 6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
(2,1,1) 12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
(1,1,1,1) 24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,
AM-GM より (A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
(3,1) ≧ 16v,
(2,2) ≧ 12v,
(2,1,1) ≧ 72v,
(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),
62:１３２人目の素数さん
19/03/11 10:43:09.35 gRQ8L5Xj.net
>>60
訂正ｽﾏｿ
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(４) (3,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
63:１３２人目の素数さん
19/03/12 00:28:15.75 iP2fXkuo.net
>>60
Muirhead から
(4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v,
ですね。
一般のnについても、同様に成立。
64:１３２人目の素数さん
19/03/13 08:42:52.77 fplJdFRX.net
奥が深いですね。勉強になります。
65:１３２人目の素数さん
19/03/13 08:51:11.62 fplJdFRX.net
B.5009
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
C.1511
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4980
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
C.1493, B.4968の分数の取りうる値は？
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
66:１３２人目の素数さん
19/03/14 04:36:47.63 QG1K7uiM.net
〔B.5009〕
Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that
2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6, (2019/Feb)
(略証)
コーシーで
(xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27,
あるいは AM-HM で
1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3,
AM-GM で
(左辺) ≧ 3･2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3･2 = 6,
等号成立は x=y=z=1.
67:１３２人目の素数さん
19/03/14 05:04:01.19 QG1K7uiM.net
〔C.1511〕
B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD.
Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane. (2018/Dec)
(略証)
・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。
ADの中点 = BCの中点 をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。
問題図は点Fに関して対称である。
⊿PAF ≡ ⊿QDF、 ⊿PBF ≡ ⊿QCF
PA = QD、 PB = QC
ここで、⊿PDQ ⊃ ⊿PCQ だから
QD + PD ≧ QC + PC,
∴ PA + PD ≧ PB + PC,
・B=C の場合は△不等式となる。
・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。
68:１３２人目の素数さん
19/03/14 05:10:51.33 QG1K7uiM.net
〔B.4980〕
Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ････, a_n be positive real numbers. Prove that
1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ････ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2]
where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number.
( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.) (2018/Oct)
(左側)
(分母) < a_1+a_2+････+a_n により成立。
また ε>0, a_i = ε^(i-1) とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε,
ε→0 とすれば1に近づく。
(右側)
nが偶数のとき、隣合うペアについて
a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1,
だから成立。
nが奇数のときは、分母（a_{j-1}+a_j+a_{j+1}）が最小となるような j に対して
a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1,
残った偶数項を隣合うペアに分ける。 後略
69:１３２人目の素数さん
19/03/14 05:30:26.45 QG1K7uiM.net
〔C.1493〕
A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c.
Show that b ≧ √2. (2018/Sep)
(略解)
2⊿ = bc･sin(A) ≦ bc ≦ bb,
b ≧ √(2⊿),
等号成立は直角2等辺⊿
70:１３２人目の素数さん
19/03/14 05:33:39.14 QG1K7uiM.net
〔B.4968〕
Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers:
1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1,
a+b+c+d = 4. (2018/Sep)
(略解)
abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1, (← GM-AM)
1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1),
1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a),
1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab),
(左辺) ≧ 1,
等号条件から a=b=c=d=1.
71:１３２人目の素数さん
19/03/15 05:38:56.61 dNAYt8q7.net
72:arget="_blank" class="reply_link">>>68 bを底辺としたときの高さ（辺bに下した垂線の長さ）m はc以下だから 2⊿ = bm ≦ bc ≦ bb,
73:１３２人目の素数さん
19/03/15 06:08:30.13 3VSzAGCU.net
>>69
ワクワクするね
74:１３２人目の素数さん
19/03/15 07:03:09.00 3VSzAGCU.net
a,b,c>0 に対して、
3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}.
75:１３２人目の素数さん
19/03/25 11:16:31.87 PVNNz8L/.net
n番目の素数をp(n)とおくとき、n≧5に対して、
p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k).
76:１３２人目の素数さん
19/03/28 19:15:24.33 dISuNBxT.net
Crux (2018年度)から。
4302, 4304, 4308, 4309, 4310
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4311, 4316, 4319, 4320
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4321, 4322, 4327, 4329
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4335, 4336, 4340
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4348, 4349, 4350
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4353, 4359, 4360
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4367
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4376、4377, 4380 ←ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4388, 4389
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4398, 4399
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
春ですな ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
77:１３２人目の素数さん
19/03/31 20:44:10.54 cXTAnoiE.net
>>73
nについての帰納法で････
・n=5 のとき
(左辺) = p(6)^3 = 13^3 = 2197,
(右辺) = p(1)p(2)p(3)p(4)p(5) = 2･3･5･7･11 = 2310,
により成立。
・n>5 のとき
ベルトラン予想（チェビシェフの定理）より p(n+2)/p(n+1) < 2,
∴ {p(n+2)/p(n+1)}^3 < 8 < p(n+1),
n について成立すれば n+1 のついても成立する。(終)
さくら、さくら、今 咲き誇る
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
78:１３２人目の素数さん
19/04/01 04:26:16.64 Ga8zedWm.net
>>74
crux/v44/n1/Problems_44_1
4304
Evaluate
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) + {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3,
4306-改
Prove that
√(16n+24) > √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) > √(16n+20),
4308.
Let a,b & c be positive real numbers. Prove that
27abc(aab+bbc+cca) ≦ (a+b+c)^2･(ab+bc+ca)^2,
4309.
Let a,b & c be real numbers such that a+b+c=3. Prove that
2(a^4 + b^4 + c^4) ≧ ab(ab+1) + bc(bc+1) + ca(ca+1).
79:１３２人目の素数さん
19/04/01 04:35:08.54 Ga8zedWm.net
>>76
4304.
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) = √7,
{cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3 = 18/√7,
∴ 25/√7.
4306-改
右)
√n + √(n+3) = √{(2n+3) + 2√(n(n+3))} ≧ √{(2n+3) + 2(n+1)} = √(4n+5),
{√(n+1) - √n} - {√(n+3) - √(n+2)} = 1/{√(n+1) + √n} - 1/{√(n+3) + √(n+2)} > 0,
√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≧ 2√(4n+5),
左) GM-AM より
√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≦ 4√(n+3/2) = √(16n+24),
4308.
A = aab+bbc+cca, B = abb+bcc+caa, C = 3abc とおくと与式は
9CA ≦ (A+B+C)^2,
(u+v+w)^2 ≧ 3(uv+vw+wu) より
B^2 ≧ 3abc(aab+bbc+cca) = CA,
A+B+C ≧ A + √(CA
80:) + C ≧ 3√(CA), 4309. (解1) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/9)(aa+bb+cc)(a+b+c)^2 = aa+bb+cc ≧ ab+bc+ca, a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2, 辺々たす。 (解2) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/27)(a+b+c)^4 = (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca, a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2, 辺々たす。 http://cms.math.ca/crux/v45/n1/Solutions_45_1.pdf
81:１３２人目の素数さん
19/04/01 04:41:05.15 Ga8zedWm.net
>>74
crux/v44/n2/Problems_44_2
4316.
Let f:[0,11] be an integrable and convex function. Prove that
∫[3,5] f(x)dx + ∫[6,8] f(x)dx ≦ ∫[0,2] f(x)dx + ∫[9,11] f(x)dx,
(略解)
下に凸だから
f(3+t) ≦ {f(t) + f(t) + f(9+t)}/3,
f(6+t) ≦ {f(t) + f(9+t) + f(9+t)}/3,
辺々たす。
f(3+t) + f(6+t) ≦ f(t) + f(9+t),
0≦t≦2 で積分する。
4317.
Solve the following system of equations over reals:
a+b+c+d = 4,
abc + bcd+ cda + dab = 2,
abcd = -1/4,
(略解)
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3,
となるから a～d は↓の実根。
0 = t^4 -4t^3 +(3√3)t^2 -2t -1/4 = {t-(1+√3)/2}^3 {t-(5-3√3)/2},
∴ a～d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根)
(5-3√3)/2 = -0.0980762113533
4320.
For positive real numbers a,b,c,d, prove that
(a+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+d)(c+d) ≧ (a+b+c+d)(abcd)^(5/4),
82:１３２人目の素数さん
19/04/01 05:03:32.28 Ga8zedWm.net
矢島美容室「SAKURA - ハルヲウタワネバダ」
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
83:１３２人目の素数さん
19/04/01 21:13:27.29 2IqqjnJM.net
整理して頂き、有難う御座いまする。
最近の数オリに不等式が少ないのは、ネタ切れなのかな？
84:１３２人目の素数さん
19/04/03 07:14:05.62 /TkvX91f.net
>>74
crux/v44/n3/Problems_44_3
4321.
Find the greatest positive real number k such that
(aa + bb + cc + dd + ee)^2 ≧ k(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4)
for all real numbers a,b,c,d & e satisfying a+b+c+d+e=0.
k = 20/13, 等号成立は {1,1,1,1,-4} のとき。
4325.
Solve in real numbers the system of equations:
x^4 -2y^3 -x^2 +2y = -1 +2√5,
y^4 -2x^3 -y^2 +2x = -1 -2√5,
x = (1+√5)/2 = φ = 1.61803399
y = (1-√5)/2 = -1/φ = - 0.61803399
(x, y) ≒ (1.8 1.5) 付近では接触しないようでござる。
4327.
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}.
4330.
Let a & b be integers such that aa -20b +24 = 0.
Find the complete set of solutions of the following equation over integers:
5xx + axy + byy = 11.
a = 2(5n+7), b = 5nn+14n+11
(x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n+4, -3) (-3n-4, 3)
a = 2(5n-7), b = 5nn-14n+11
(x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n-4, -3) (-3n+4, 3)
85:１３２人目の素数さん
19/04/05 17:34:49.40 Exv120OS.net
>>72
s,t,u と schur で何とかなりそうな伊予柑…
86:１３２人目の素数さん
19/04/07 06:46:37.06 d5M1c3zz.net
>>81
4327-改
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < πx/{2(xx+1)},
(略解)
x⇔1/x としても不変だから、0<x≦1 としてよい。
arctan(x) < x,
arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
辺々掛ける。
〔補題〕
0<x≦1 のとき
arctan(x) > πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
(略証)
・0 < x < 2/π のとき
arctan(x) = ∫[0,x] 1/(tt+1) dt > x/(xx+1) > πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) < π/{2(xx+1)},
・(4-π)/π < x ≦ 1 のとき
arctan(x) = (π/4) - ∫[x,1] 1/(tt+1)dt
≧ (π/4) - (1-x)/(xx+1)
= πxx/{2(xx+1)} + (1-x){πx - (4-π)}/{4(xx+1)}
≧ πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) ≦ π/{2(xx+1)},
87:１３２人目の素数さん
19/04/07 08:12:11.85 d5M1c3zz.net
>>74
crux/v44/n4/Problems_44_4
4335.
Let a & b be fixed positive real numbers and let n≧2 be an integer.
Prove that for any non-negative real numbers x_i, (i=1,2,････,n) such that x1 + x2 + ････ + xn = 1, we have
(a･x_1 + b)^(1/3) + (a･x_2 + b)^(1/3) + ････ + (a･x_n + b)^(1/3) ≧ (a+b)^(1/3) + (n-1)b^(1/3).
f(x) = (ax+b)^(1/3) は上に凸だから、Jensenで
f(x) ≧ x･f(0) + (1-x)･f(1),
4336.
For non-negative integers m & n, evaluate in closed form
Σ[k=0,n] Σ[j=0,m] (j+k+1)C[j+k,j]
1 + (mn+m+n)(m+n+3)!/{(m+2)! (n+2)!},
4340.
Let a,b,c & d be positive real numbers such that
a + b + c + d = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d.
Show that
a + b + c + d ≧ max{ 4√(abcd), 4/√(abcd) }.
88:１３２人目の素数さん
19/04/07 09:02:34.31 d5M1c3zz.net
>>74
crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf
4346.
Find all x,y,z ∈ (0,∞) such that
64(x+y+z)^2 = 27(xx+1)(yy+1)(zz+1),
x+y+z = xyz.
(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i
より
(xx+1)(yy+1)(zz+1) = (xyz-x-y-z)^2 + (xy+yz+zx-1)^2,
与式より
x+y+z = xyz = ±(3√3)/8･(xy+yz+zx-1)
ξ^3 -s･ξ^2 +{1±(8/3√3)s}･ξ -s = 0 の3根。
x = y = z = √3,
4348.
Let p∈[0,1]. Then for each n>1, prove that
(1-p)^n + p^n ≧ (2pp-2p+1)^n + (2p-2pp)^n.
4349.
Let x,y & z be positive real numbers such that x+y+z = 3.
Find the minimum value of
(x^3)/{y√(x^3 +8)} + (y^3)/{z√(y^3 +8)} + (z^3)/{x√(z^3 +8)}.
4350.
Let f:[0,1]→R be a decreasing, differentiable and concave function.
Prove that
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≦ 3f(0) + f(d-c+b-a),
for any real numbers a,b,c,d such that 0≦a≦b≦c≦d≦1.
単調減少 だから
f(a) ≦ f(0),
f(b) ≦ f(b-a),
f(c) ≦ f(0),
f(d) ≦ f(d-c),
下に凸 だから
f(b-a) + f(d-c) ≦ f(0) + f(d-c+b-a),
辺々たす。
89:１３２人目の素数さん
19/04/07 11:19:48.06 d5M1c3zz.net
>>74
crux/v44/n6/Problems_44_6
4353.
Evaluate
lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1,∞) Σ[j=1,n] 1/{k C[j+k-1,j]}.
・k=1
Σ[j=1,n] 1/C[j,j] = n
・k=2
Σ[j=1,n] 1/{2 C[j+1,j] = Σ[j=1,n] 1/{2(j+1)} ～ (1/2)log(n),
・k>2
1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/C[j+k-1,j] - 1/C[j+k,j+1]},
Σ[j=1,n] 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/k - 1/C[n+k,n+1]}.
4356.
Solve the following system over reals:
a + b + c + d = 6,
aa + bb + cc + dd = 12,
abc + bcd + cda + dab = 8 + abcd.
これらより
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12,
abc + bcd + cda + dab = 8,
abcd = 0,
0 = t^4 -6t^3 +12t^2 -8t = t(t-2)^3,
{a,b,c,d} = {0,2,2,2}
4359.
Let a,b & c be positive real numbers.
Prove that
3 ln(a^b + b^c + c^a) + a/c + b/a + c/b ≧ a+b+c + ln(27).
4360.
Let a,b,c be non-negative real numbers such that a+b+c = 1.
Find the minimum and the maximum values of the expression
(a+b)/(1+ab) + (b+c)/(1+bc) + (c+a)/(1+ca).
When do these extreme values occur ?
min. = 9/5, {a,b,c} = {1/2,1/2,0} {1/3,1/3,1/3}
max. = 2, {a,b,c} = {1,0,0}
90:１３２人目の素数さん
19/04/07 12:06:02.16 d5M1c3zz.net
>>74
crux/v44/n6/Problems_44_7
4367.
Let a, b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1 and |a+b+c| ≦ 1.
Prove that
|(a+b)/(a-b)||(b+c)/(b-c)| + |(b+c)/(b-c)||(c+a)/(c-a)| + |(c+a)/(c-a)||(a+b)/(a-b)| = 1,
4370.
Solve the following system of equations:
a + b + c + d = 4,
aa + bb + cc + dd = 7,
abc + bcd + cda + dab - abcd = 5/16.
これらより
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 9/2,
abc + bcd + cda + dab = 1,
abcd = 1/16,
0 = t^4 -4t^3 +(9/2)t^2 -t +(1/16) = (tt-2t+1/4)^2,
t = 1 ±(√3)/2, (重根)
91:１３２人目の素数さん
19/04/08 05:42:05.41 QMWP0bri.net
4368.
Calculate
Σ[n=2,∞) (2^n)[ζ(n) -1 -1/(2^n)]
（与式) = Σ[n=2,∞) Σ[k=3,∞) (2/k)^n
= Σ[k=3,∞) (2/k)^2 /(1 - 2/k)
= Σ[k=3,∞) 4/{k(k-2)}
= Σ[k=3,∞) {2/(k-2) - 2/k}
= 2/1 + 2/2
= 3,
-----------------------------------
crux/v44/n8/Problems_44_8
4377.
Let x≧y≧z >0 such that x+y+z + xy+yz+zx = 1 + xyz.
Find min x
92:. 与式より xy+yz+zx -1 = xyz-x-y-z = A, (x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)ｉ = A(1+i), (x,y,z；A) = (7,3,3；50) (8,5,2；65) (13,4,2；85) 4378. Find all k such that the following limit exists. lim[n→∞) {k・F_(n+1) - Σ[i=0,n] φ^i} = 0, where F_n is the n-th Fibonacci number and φ is the golden ratio. F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/√5, (Binetの公式) k = (√5)φ,
93:１３２人目の素数さん
19/04/08 08:43:35.55 QMWP0bri.net
>>74
crux/v44/n9/Problems_44_9
4383.
Evaluate the inegral
∫[0,1] (ln x)・√{x/(1-x)} dx.
4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
8abc(aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ (27/64){(a+b)(b+c)(c+a)}^3.
4389.
Considerthe real numbers a,b,c & d.
Prove that
a(c+d) - b(c-d) ≦ √{2(aa+bb)(cc+dd)}.
{a(c+d) - b(c-d)}^2 + {a(c-d) + b(c+d)}^2 = 2(aa+bb)(cc+dd),
あるいは
(a+bi)(c-di)(1+i) = {a(c+d) - b(c-d)} + {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
(a-bi)(c+di)(1-i) = {a(c+d) - b(c-d)} - {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
辺々掛ける。
4390.
Let x,y & z be positive real numbers with x+y+z = m.
Find the minimum value of the expression
1/(1+xx) + 1/(1+yy) + 1/(1+zz).
94:１３２人目の素数さん
19/04/09 00:51:03.91 sDGeXCoR.net
>>89
4383.
(略解)
x = (sinθ)^2 とおくと
dx = 2 sinθ cosθ dθ
(与式) = 4∫[0,π/2] log(sinθ) (sinθ)^2 dθ
= 2∫[0,π/2] log(sinθ) {1 - cos(2θ)} dθ
= 2I - ∫[0,π/2] log(sinθ) 2cos(2θ) dθ
= 2I - [ log(sinθ) sin(2θ) ](0,π/2) + ∫[0,π/2] {cos(2θ)+1} dθ
= 2I + [ {-log(sinθ) + 1/2} sin(2θ) + θ ](0,π/2)
= 2I + π/2
= -π{log(2) - 1/2} (*)
-----------------------------------------------
*) 次を使った。
[例3]
∫[0,π/2] log(sinθ) dθ = - (π/2)log(2). (Euler)
被積分函数は θ→0 のとき -∞ になるが、θ^a log(sinθ) = (θ^a)logθ + (θ^a)log(sinθ/θ) → 0 (a>0) だから、
積分は収束する。(定理36)
この積分を I とすれば θ を π-θ に，また π/2-θ に変換して
I = ∫[π/2, π] log(sinθ) dθ, I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ.
故に
2I = ∫[0,π] log(sinθ) dθ.
ここで θ=2φ とすれば
I = ∫[0,π/2] log(2φ) dφ = ∫[0,π/2] log(2 sinφ cosφ) dφ
= ∫[0,π/2] log(2) dφ + ∫[0,π/2] log(sinφ) dφ + ∫[0,π/2] log(cosφ) dφ,
= (π/2)log(2) + I + I.
よって標記の結果を得る。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.113
第3章 積分法、§34. 積分変数の変換、[例3]
95:１３２人目の素数さん
19/04/10 11:48:38.47 x+zqr5Tw.net
>>89
4390.
0 < m < √2 のとき
1 + 1 + 1/(1+mm) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
√2 < m < √3 のとき
1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
√3 < m < √6 のとき
1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
√6 < m のとき
3/(1+mm/9) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
>>74
crux/v44/n10/Problems_44_10
4398.
Prove that for n∈N, we have
1/(2n-1) + ∫[0,1] {sin(x^n)}^2 dx ≧ (2/n){1-cos(1)}.
4399.
Let ABCDE be a pentagon. Prove that
|AB||EC||ED| + |BC|ED||EA| + |CD||EA||EB| ≧ |AD||EB||EC|.
When does equality hold ?
96:１３２人目の素数さん
19/04/10 12:33:36.53 x+zqr5Tw.net
>>.76
crux/v44/n2/Problems_44_2
4317.
他にもまだあった。
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3 のとき
a～d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根)
(5-3√3)/2 = -0.09807621135332
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = -3√3 のとき
a～d = (1-√3)/2 = -0.36602540378444 (3重根)
(5+3√3)/2 = 5.09807621135332
4320.
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) = (ac-bd)^2 ≧ 0,
より
(左辺)^2 ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^3,
(左辺) ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^(3/2)
≧ 8(a+b+c+d)^(3/2)･(abcd)^(9/8)
≧ 16(a+b+c+d)･(abcd)^(5/4),
右辺の係数16が抜けてました。ｽﾏｿ
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
97:１３２人目の素数さん
19/04/11 01:59:40.35 Ue9ZzVLN.net
>>92
〔補題〕
(1/16) (a+b+c+d)^4
�
98:� (4/9) (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2 ≧ { (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) + (a+c)(c+d)(d+b)(b+a) + (a+d)(d+b)(b+c)(c+a) } /3 ≧ (a+b+c+d) (abc+bcd+cda+dab) ≧ 16 abcd, (略証) s = a+b+c+d, t = ab+ac+ad+bc+bd+cd, u = abc+bcd+cda+dab, v = abcd とおく。 3ss - 8t = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0, 8tt - 6(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - 6(a+c)(c+d)(d+b)(b+a) - 6(a+d)(d+b)(b+c)(c+a)} = {(a-b)(c-d)}^2 + {(a-c)(b-d)}^2 + {(a-d)(b-c)}^2 ≧ 0, (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - su = (ac-bd)^2 ≧ 0, su - 16v = ab(c-d)^2 + ac(b-d)^2 + ad(b-c)^2 + bc(a-d)^2 + bd(a-c)^2 + cd(a-b)^2 ≧ 0,
99:１３２人目の素数さん
19/04/19 07:57:02.99 mM9/LvYY.net
>>89
訂正
4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
8abc (aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ {(a+b)(b+c)(c+a)}^3.
100:１３２人目の素数さん
19/04/23 01:29:57.35 7u2F758f.net
>>81
crux/v44/n3/Problems_44_3
4325.
与式を辺々たす。
0 = (x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1) + (y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1)
= (xx-x-1)^2 + (yy-y-1)^2
よって
xx -x -1 = 0 かつ yy -y -1 = 0,
>>83
やっぱり、そうだ。
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
101:１３２人目の素数さん
19/04/23 17:56:42.13 7u2F758f.net
>>78 (追加)
4319.
Let x_1,x_2,････,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2,
such that (x_1)^α + (x_2)^α + ････ +(x_n)^α = n.
Prove the following inequality:
Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n.
(略証)
x ≦ (α-1 +x^α)/α より
1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α
= 1 + (1+X)(α-1 +X)/α
= 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2
≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2･(X-1)^2 (← α≧3/2)
= 3{1 +y +(3/8)yy}
≦ 3 e^y, (←補題)
ここに X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1),
題意により
y_1 +y_2 + ････ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+････+X_n -n) = 0,
(左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+････+y_n) = 3^n.
〔補題〕
y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y.
x>0, X>0, α≧3/2 のとき y > -7/9 > -0.9323381774
さて、補題をどう示すか････
102:１３２人目の素数さん
19/04/24 00:49:44.98 vK+1FJs+.net
>>87
4367.
O(0), A(a), B(b), C(c) とおく。
題意より A,B,Cは単位円上にあり、⊿ABC は鋭角三角形。
∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ とおくと tanα>0, tanβ>0, tanγ>0,
(a+b)/(a-b) = -i/tan(∠AOB/2) = -i/tanγ, etc.
(左辺) = 1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ)
= (tanβ + tanγ + tanα)/(tanα･tanβ･tanγ)
= 1, (α+β+γ=π より)
103:１３２人目の素数さん
19/04/24 13:53:15.76 vK+1FJs+.net
>>95
4325.
xx-x-1 = 0, yy-y-1 = 0
を元の式に入れて
2√5 = x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1 = (xx+x+1)(xx-x-1) -2(y+1)(yy-y-1) +2(x-y) = 2(x-y),
-2√5 = y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1 = (yy+y+1)(yy-y-1) -2(x+1)(xx-x-1) +2(y-x) = 2(y-x),
これから x,y が出る。
104:１３２人目の素数さん
19/04/25 15:23:38.86 4OvWo35u.net
>>96
模範解答は････
4319.
X = x^α,
f(X) = log{1 + X^(1/α) + X^(1+1/α)}
とおくと
f "(X)･αα･X^(2-1/α)･exp{2f(X)} = -α(α+1)X^(2+1/α) -2αX^(1+1/α) -αX^(1/α) +(α+1)X -(α-1)
< -2αX^(1+1/α) + (α+1)X - (α-1)
< -α[2X^(α+1)]^(1/α) + (α+1)X - 1/2 (← α≧3/2)
< 0,
より f(X) は X>0で上に凸。
∵ (α/(α+1))･2X^(1+1/α) + (α-1)/(α+1)
> (α/(α+1))[2X^(α+1)]^(1/α) + (1/(α+1))･(1/2) (← α≧3/2)
> X (← Jensen)
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
105:１３２人目の素数さん
19/05/01 06:57:59.14 bWsqQfPq.net
>>81
4321.
|a| ≧ |b|,|c|,|d|,|e| としてもよい。このとき
5aa - S_2 = 5aa - (aa+bb+cc+dd+ee) ≧ 0,
aa = (-b-c-d-e)^2 ≦ 4(bb+cc+dd+ee) = 4(S_2-aa),
∴ 4S_2 -5aa ≧ 0, (等号は b=c=d=e のとき)
2aa -S_2 = (-b-c-d-e)^2 -bb -cc -dd -ee = 2(bc+bd+be+cd+ce+de),
よって
S_4 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4
= a^4 + (S_2 -aa)^2 -2(bbcc+bbdd+bbee+ccdd+ccee+ddee)
≦ a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/3)(bc+bd+be+cd+ce+de)^2
= a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/12)(2aa -S_2)^2
= (13/20)(S_2)^2 - (1/15)(5aa -S_2)(4S_2 -5aa)
≦ (13/20)(S_2)^2,
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
106:１３２人目の素数さん
19/05/09 01:31:57.01 7Q6cd3gq.net
>>87
4367-改.
Let a,b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1.
Prove that
((a+b)/(a-b))((b+c)/(b-c)) + ((b+c)/(b-c))((c+a)/(c-a)) + ((c+a)/(c-a))((a+b)/(a-b)) = -1.
>>97
(略証)
指数関数の加法公式より
sin(α+β+γ) = Im{e^(i(α+β+γ))}
= Im{e^(iα)･e^(iβ)･e^(iγ)}
= Im{(cosα+i･sinα)(cosβ+i･sinβ)(cosγ+i･sinγ)}
= cosα･sinβ･cosγ + cosα･cosβ･sinγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ
= sinα･sinβ･sinγ{1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ) - 1},
107:１３２人目の素数さん
19/05/18 13:58:35.67 SPl7kJbB.net
〔補題〕
0<θ<π/2 のとき
sinθ < H < θ < G < A < tanθ,
ここで H = 3sinθ/(2+cosθ), G = {(sinθ)^2･tanθ}^(1/3), A = (2sinθ+tanθ)/3 である。
(略証)
cos(x) < 3{1+2cos(x)}/{2+cos(x)}^2 < 1 < {2cos(x)^2 +1}/{3cos(x)^(4/3)} < {2cos(x) + 1/cos(x)^2}/3 < 1/cos(x)^2,
をxで積分する。(0→θ)
H < θ を B.C.Carlson と呼び、θ < A を Snellius-Huygens と呼ぶ。
[第２章.196-199,679]
[第３章.565,591]
[第６章.610-613,634,641]
[第７章.156-157,929]
[第９章.762-763]
108:１３２人目の素数さん
19/05/18 14:27:46.32 SPl7kJbB.net
θ = π/12 = π/3 - π/4 = π/4 - π/6 とおくと
加法公式により
sinθ = (√6 - √2)/4,
cosθ = (√6 + √2)/4,
tanθ = 2 - √3,
より
12H = 36(√3 -1)/(1+4√2 +√3) = 3.14150999
12G = 6(√3 -1)/(1+√3)^(1/3) = 3.141927918
12A = 2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234913
一方、
√2 + √3 = 3.1462643699
109:１３２人目の素数さん
19/05/18 15:56:23.58 SPl7kJbB.net
>>103
√2 + √3 = 12A + (2-√3)^2･(√3 -√2)･(√2 -1)^2 > 12A > 12G > π,
110:１３２人目の素数さん
19/05/19 12:44:34.35 9g/K/0vL.net
〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
(不等式ぢゃねぇが、バーゼル問題に関連あり)
111:１３２人目の素数さん
19/05/19 12:51:11.72 9g/K/0vL.net
>>105
マクローリン展開
Σ[k=1,∞] (1/k)x^(k-1) = -(1/x)log(1-x),
より
Σ[k=1,∞] 1/(kk･2^k) = -∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx,
Σ[k=1,∞] {1/kk - 1/(kk･2^k)} = -∫[1/2～1] (1/y)log(1-y) dy,
辺々引く。
ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
= -∫[1/2～1] log(1-y)/y dy + ∫[0～1/2] (1/x)log(x) dx,
= -∫[0～1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx
= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
= (log 1/2)^2
= (log 2)^2
= 0.4804530139182
URLﾘﾝｸ(club.informatix.co.jp)
・数列総合スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:203番)-205
・オイラーの贈物スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:244番)-247
・円周率について語り合おう【π】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:304番)-306
112:１３２人目の素数さん
19/05/19 16:33:59.17 FEiCVf4L.net
実数 x,y が x^2 + y^2 = 1 をみたすとき、f(x,y) = 15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値を求めよ。
何通りのやり方があるかな？
113:１３２人目の素数さん
19/05/19 19:02:51.22 9g/K/0vL.net
解Ｉ．
f(x,y) = 16(xx+yy) - (-x+5y)^2 ≦ 16(xx+yy) = 16,
なお、最小値は
f(x,y) = (5x+y)^2 - 10(xx+yy) ≧ -10(xx+yy) = -10,
解ＩＩ．
軸を回して
114:(5x+y)/√26 = u, (-x+5y)/√26 = v, とおく。 f(x,y) = {16(5x+y)^2 - 10(-x+5y)^2}/26 = 16uu - 10vv,
115:１３２人目の素数さん
19/05/20 00:59:07.00 zfRpln9i.net
解III．
ラグランジュの未定乗数法
F(x,y;λ) = f(x,y) - λ(xx+yy-1)
とおく。
∂F/∂x = ∂f/∂x -2λx = 30x +10y -2λx = 0,
∂F/∂y = ∂f/∂y -2λy = 10x -18y -2λy = 0,
これらが自明でない解（x,y)≠(0,0) をもつことから
(30-2λ)(-18-2λ) = 10^2,
λ = -10, 16
116:１３２人目の素数さん
19/05/20 01:02:30.53 jCxCQMBM.net
条件式から、三角関数に置き換えるのしか思いつかぬ…
117:１３２人目の素数さん
19/05/20 16:03:36.60 jCxCQMBM.net
( ﾟ∀ﾟ)つ URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
不等式がらみ
2018-9、2018-10、2019-3
あと気になる問題
2018-1、2018-6、2018-7
118:１３２人目の素数さん
19/05/20 23:48:57.47 zfRpln9i.net
〔問題〕 2018-09
正の整数nに対し、|xx-yy| がn以下の奇数であるような整数x,yの組の個数をf(n), |xx-yy| がn以下の偶数であるような整数x,yの組の個数をg(n)で表わす。このとき
| f(n) - g(n) - (4log2)n | < 12√n,
が成り立つことを示せ。
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
〔問題〕 2018-10
[0,1] で定義された連続な実数値関数ｆが（0,1）で連続な導関数ｆ' をもち、f(0)=0, f(1)=1 を満たすとき、
∫[0,1] {ｆ(x)}^2 dx + ∫[0,1] {ｆ'(x)}^2 dx
のとり得る最小値を求めよ。
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
〔問題〕 2019-03
nを正の整数、sを1より大きい実数とする。
0以上の実数 a1,a2,････,an が a1+a2+････+an = s を満たすとき、
Σ[k=1,n] (ak)^(k+1) を最大、および最小にする a1,a2,････,an の組（a1,a2,････,an）がそれぞれ一つずつ存在することを示せ。
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
119:１３２人目の素数さん
19/05/21 01:04:52.11 GJ4Ie8EK.net
2018-10
f(x) を微小変化させる。
f(x) → f(x) + ⊿(x) ただし ⊿(0) = ⊿(1) = 0,
f '(x) → f '(x) + ⊿ '(x)
与式の変化分は
∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + ∫[0,1] 2f '(x) ⊿ '(x) dx
= ∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + 2f '(1)⊿(1) - 2f '(0)⊿(0) - ∫[0,1] 2(d/dx)f '(x) ⊿(x) dx
= ∫[0,1] 2{f(x) - (d/dx)f '(x)}⊿(x)dx,
任意の微小変化⊿に対して非減少だから
f(x) - (d/dx)f '(x) = 0, ････ Euler-Lagrange 方程式
これを解くと
f(x) = a･e^x - b･e^(-x),
f(0)=0, f(1)=1 より a,bを求める。
f(x) = sinh(x)/sinh(1),
これを与式に入れて
1/tanh(1) = (e+1/e)/(e-1/e) = 1.3130353
120:１３２人目の素数さん
19/05/21 21:17:26.14 GJ4Ie8EK.net
例１
f(x) = tan(πx/4) のとき
f '(x) = π/{4･cos(πx/4)^2},
積分値 π/3 - 1 + 4/π = 1.3204371
例２
f(x) = x^c (c>1/2) のとき
f '(x) = c x^(c-1)
積分値 1/(2c+1) + cc/(2c-1) ≧ 1.32015717
等号は c = 1.132557 (4c^4 -7cc +3c -1 = 0 の根) のとき
たしかに 1.3130353 より大きい。
121:１３２人目の素数さん
19/05/21 21:23:37.75 TfDD7bUD.net
a,b,c,d >0 に対して、
(a^3+b^3)(a^3+c^3)(a^3+d^3)(b^3+c^3)(b^3+d^3)(c^3+d^3)
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
122:１３２人目の素数さん
19/05/22 11:07:06.07 7SUOfge7.net
>>113
例３
f(x) = mx + (1-m)x^3 (0<m<1) のとき
f '(x) = m + 3(1-m)xx,
積分値 4(51-39m+23mm)/105 ≧ 151/115 = 1.313043478
等号は m = 39/46 = 0.8478261 のとき。
m = 1/sinh(1) = 0.8509181 のときは 1.31305185
123:１３２人目の素数さん
19/05/23 00:14:12.95 pMxXR6IF.net
例４
f(x) = a
124:rcsin(sin(1)･x) のとき f '(x) = sin(1)/√{1 - sin(1)^2･xx}, 積分値 2/tan(1) -1 + sin(1)arctanh(sin(1)) = 1.31599 例５ f(x) = {e^(cx) - 1}/(e^c - 1), (c>0) のとき f '(x) = c･e^(cx)/(e^c - 1), 積分値 {(c+2)cosh(c) + (cc-c-1)sinh(c) -2}/{2c[cosh(c)-1]} ≧ 1.31387 等号は c = 0.46729 のとき。
125:１３２人目の素数さん
19/05/23 01:25:06.19 pMxXR6IF.net
>>115
(a^3+b^3)(c^3+d^3) = (AA+BB)(CC+DD)
= {(AA+BB)/2}CC + BB{(CC+DD)/2} + AA{(CC+DD)/2} + {(AA+BB)/2}DD
≧ ABCC + BBCD + AACD + ABDD,
同様にして
(a^3+c^3)(b^3+d^3) ≧ ACBB + CCBD + ACDD + AABD,
(a^3+d^3)(b^3+c^3) ≧ AABC + DDBC + ADCC + ADBB,
辺々掛けてコーシーで
(左辺) ≧ {(ABC)^(4/3) + (BCD)^(4/3) + (CDA)^(4/3) + (DAB)^(4/3)}^3
= {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
126:１３２人目の素数さん
19/05/25 12:43:50.50 PUxT0Cfi.net
( ﾟ∀ﾟ)つ Crux (2019年度)前期から。
4408, 4410, (4403)
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
OC418, 4411, 4417, 4418
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4428, 4429
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
4431, 4432, 4433
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
127:１３２人目の素数さん
19/05/26 08:56:15.60 ijxfgc+2.net
crux/v45/n1/Problems_45_1
4403.
Let m be an integer with m>1. Evaluate in closed form
Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) C[n+1,k+1] k/(m+k) = {1 - m!(n+1)!/(m+n)!} /(m-1),
4408.
Let α∈(0,1]∪[2,∞) be a positive real number and let a,b & c be non-negative real numbers.
Prove that
a^α + b^α + c^α + (a+b+c)^α ≧ (a+b)^α + (b+c)^α + (c+a)^α.
4410.
Prove that
∫[0,π/4] √sin(2x) dx < √2 - π/4 = 0.6288154
(解答例)
sin(2x) ≦ min{2x, 1} より
(与式) < ∫[0,1/2] √(2x) dx + ∫[1/2,π/4] dx = π/4 - 1/6 = 0.6187315
128:１３２人目の素数さん
19/05/26 11:11:36.98 ijxfgc+2.net
//cms.math.ca/crux/v45/n2/Problems_45_2.pdf
OC418.
Three sequences (a_0,a_1,････,a_n), (b_0,b_1,････,b_n), (c_0,c_1,････,c_2n) of non-negative real numbers are given such that for all 0≦i,j≦n we have a_i･b_j≦{c_(i+j)}^2.
Prove that
Σ[i=0,n] a_i・Σ[j=0,n] b_j ≦ (Σ[k=0,2n] c_k)^2
4417.
Let a,b & c be positive real numbers.
Further, let x,y & z be real numbers such that xy+yz+zx > 0.
Prove that
(yy+zz)a + (zz+xx)b + (xx+yy)c ≧ 2(xy+yz+zx)(abc)^(1/3).
(解答例) AM-GM で
(yy+zz)(zz+xx)(xx+yy) = (Y+Z)(Z+X)(X+Y)
= (X+Y+Z)(XY+YZ+ZX) - XYZ
≧ (8/9)(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)
≧ {(2/3)(xy+yz+zx)}^3.
4418.
Consider a convex cyclic quadrilateral with sides a,b,c,d & area S.
Prove that
(a+b)^5 /(c+d) + (b+c)^5 /(d+a) + (c+d)^5 /(a+b) + (d+a)^5 /(b+c) ≧ 64SS.
(解答例)
(ab+cd)/2 ≧ S,
(bc+da)/2 ≧ S,
(左辺) ≧ (a+b)^4 + (b+c)^4 + (c+d)^4 + (d+a)^2
≧ (4ab)^2 + (4bc)^2 + (4cd)^2 + (4da)^2
≧ 8(ab+cd)^2 + 8(bc+da)^2
≧ 8(2S)^2 + 8(2S)^2
= 64SS.
129:１３２人目の素数さん
19/05/26 15:48:57.31 ijxfgc+2.net
//cms.math.ca/crux/v45/n3/Problems_45_3.pdf
4429.
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
√{(aa+bb+cc)/2(ab+bc+ca)} ≧ (a+b+c)/{√(a(b+c)) + √(b(c+a)) + √(c(a+b))}.
130:１３２人目の素数さん
19/05/26 16:13:40.74 ijxfgc+2.net
//cms.math.ca/crux/v45/n4/Problems_45_4.pdf
4431.
Let x,y≧0 and x+y=2. Prove that
√(xx+8) + √(yy+8) + √(xy+8) ≧ 9.
(解答例)
{√(xx+8) + √(yy+8)}^2 = (xx) + (yy+8) + 2√(xx+8)√(yy+8)
= 14 + (x+y)^2 + 2(1-xy) + 2√{49 + 8(x+y)^2 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
= 18 + 2(1-xy) + 2√{81 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
≧ 18 + 2(1-xy) + 2{9 + (7/9)(1-xy)}
= 36 + (32/9)(1-xy),
∴ √(xx+8) + √(yy+8) ≧ 6 + (2/9)(1-xy)
(
131:xy+8) = 9 - (1-xy) ≧ {3 - (2/9)(1-xy)}^2, よって (左辺) ≧ {6 + (2/9)(1-xy)} + {3 - (2/9)(1-xy)} = 9,
132:１３２人目の素数さん
19/05/26 19:12:28.07 ijxfgc+2.net
〔類題〕
x, y≧0 かつ x+y = 2 のとき
√(xx+8) + √(yy+8) + 2√(xy+8) ≦ 12,
133:１３２人目の素数さん
19/05/27 00:02:09.94 EyPYWN4T.net
>>116
例６
f(x) = mx + nx^3 + (1-m-n)x^5 (0<m, 0<n, m+n<1) のとき
f '(x) = m + 3nxx + 5(1-m-n)x^4,
積分値 (4/3465)(1660mm +1164mn +263nn -2990m -1065n +2485) ≧ 15331/11676 = 1.31303528606
等号は m = 3785/4448 = 0.850944245 n = 630/4448 = 0.14163669 1-m-n = 33/4448 = 0.007419065 のとき。
これは 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1) = 1.31303528550 より大きい。
なお m = 1/sinh(1) = 0.850918128 n = 1/{6sinh(1)} = 0.14181969 1-m-n = 0.0072621837 のとき 1.31303529111
134:１３２人目の素数さん
19/05/27 14:10:31.73 EyPYWN4T.net
>>124
√z は 上に凸だから Jensen ですね。
135:１３２人目の素数さん
19/05/28 06:11:55.41 xWwuUG0H.net
>>115
(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+d^3)(d^3+a^3) = (A+B)(B+C)(C+D)(D+A)
= (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB) + (AC-BD)^2
≧ (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB), >>92
(左辺) ≧ (A+B+C+D)^(3/2)･(ABC+BCD+CDA+DAB)^(3/2)
≧ 4 (ABC + BCD + CDA + DAB)^2
= 4 {(abc)^3 + (bcd)^3 + (cda)^3 + (dab)^3}^2
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3,
136:１３２人目の素数さん
19/05/29 14:50:44.53 pVbDo3+L.net
>>120
4408.
α-1 ≦ 0 または α-1 ≧ 1 ゆえ
x^(α-1) は下に凸。
a^(α-1) + (a+b+c)^(α-1) ≧ (a+b)^(α-1) + (c+a)^(α-1),
a^α + a(a+b+c)^(α-1) ≧ a(a+b)^(α-1) + a(c+a)^(α-1),
循環的にたす。
α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
α≦1 のとき
(左辺) - (右辺) = (-α)(1-α)(2-α)∫[a,∞] ∫[b,∞] ∫[c,∞] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
137:１３２人目の素数さん
19/05/30 00:23:28.75 S7fbSkoD.net
>>94
4388.
u = abc,
p = aab +bbc +cca,
q = abb +bcc +caa,
とおくと
p+q+2u = (a+b)(b+c)(c+a),
q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
4u ≦ p+u, 4u ≦ q+u,
また
b(aa+2ca+bc) = p+2u -cca,
c(bb+2ab+ca) = p+2u -aab,
a(cc+2bc+ab) = p+2u -bbc,
より
(左辺) = 8(p+2u -cca)(p+2u -aab)(p+2u -bbc)
= 8{(p+2u)^3 -p(p+2u)^2 +(p+2u)qu -u^3}
= 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + 3(p+u)u + (q+u)u}
≦ 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + (p+u)(q+u)}
≦ 16u(p+u)(p+q+2u)
= 4(p+u)(q+u)(p+q+2u)
= (p+q+2u)^3 - (p+q+2u)(p-q)^2
= {(a+b)(b+c)(c+a)}^3 - (a+b)(b+c)(c+a)⊿⊿,
138:１３２人目の素数さん
19/05/30 11:42:57.13 S7fbSkoD.net
>>85
4348.
q = 2p(1-p) とおくと
1/2 - q = 2(1/2 - p)^2 ≦ |1/2 - p|,
∴ 1-q, q は 1-pとpの間にある。Jensen より
(1-p)^n + p^n ≧ (1-q)^n + q^n,
4349.
t/√(t+8) は単調増加だからチェビシェフにより
(与式) ≧ xx/√(x^3 +8) + yy/√(y^3 +8) + zz/√(z^3 +8),
Max{x,y,z} = X ≧2 のとき
X^4 - (X^3 +8) = (X-2)(X^3 +XX+2X+4) ≧ 0,
(与式) > 1,
x,y,z ≦ 2.7945 のとき
xx/√(x^3 +8) ≧ (11x-5)/18, etc.
(与式) ≧ {11(x+y+z)-15}/18 = 1,
等号は x=y=z=1 のとき。
139:１３２人目の素数さん
19/06/01 02:44:07.56 6xVHiY/M.net
〔問題074〕
△ABCが鋭角三角形のとき
{sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {cos(A)+cos(B)+cos(C)}
の取りうる値の範囲を求めよ。
大学への数学 2012年/Dec. 宿題
[第６章.872-873]
Inequalitybot [074]
140:１３２人目の素数さん
19/06/01 03:20:03.90 6xVHiY/M.net
古い問題だ････
(略解)
x = cos((A-B)/2) ∈ [cos(C/2), 1] とおく。
(与式) = {2cos(C/2)･x + sin(C)} / {2sin(C/2)･x + cos(C)}
= tan(C) + 2cos(3C/2)･x / {[2sin(C/2)･x + cos(C)]cos(C)} = g(x),
g(cos(C/2)) = 1 + 1/{sin(C)+cos(C)} ∈ [1 + 1/√2, 2)
A+B+C=180ﾟ ゆえ (0, 60ﾟ] の角と [60ﾟ, 90ﾟ] の角がある。
0<C≦60ﾟ とすれば cos(3C/2) ≧ 0, g(x)は単調増加,
g(x) ≧ g(cos(C/2)) ≧ 1 + 1/√2, (最小)
等号は x = cos(C/2) = 1, {A, B} = {45ﾟ, 90ﾟ}, C=45ﾟ のとき
60ﾟ≦C≦90ﾟ とすれば cos(3C/2) ≦ 0, g(x)は単調減少,
g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2, (上限)
等号は x = cos(C/2) = 1, A=B→90ﾟ, C→0ﾟ のとき
141:１３２人目の素数さん
19/06/01 03:27:51.68 6xVHiY/M.net
最後は
g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2, (上限)
等号は x = cos(C/2) = 1/√2, {A, B}→{0ﾟ,90ﾟ}, C=90ﾟ のとき
でした。
142:１３２人目の素数さん
19/06/05 03:41:46.20 +pVPgegT.net
〔補題555〕
X,Y,Z ≧ 0, X+Y+Z = S のとき
S/(1 + S/3) ≧ X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z) ≧ S/(1 + S),
分かスレ４７８-555
143:１３２人目の素数さん
19/06/05 05:08:45.40 huLv9E9/.net
>>134
面白い不等式でつね、ｳﾋｯ
144:１３２人目の素数さん
19/06/10 06:36:27.58 0ZLkhJ7v.net
>>85
4346.
x = tan(A), y = tan(B), z = tan(C) とおくと
sin(A+B+C) = cos(A)cos(B)cos(C){tan(A) + tan(B) + tan(C) - tan(A)tan(B)tan(C)}
= cos(A)cos(B)cos(C)(x+y+z-xyz) = 0 (← 与式)
∴ A+B+C = π,
{A,B,C} は三角形の頂角をなす。
フランダースの不等式から
sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(√3)/2}^3,
一方、与式から
8tan(A)tan(B)tan(C) = 8xyz = 8(x+y+z) = (3√3)/{cos(A)cos(B)cos(C),
より
sin(A)sin(B)sin(C) = {(√3)/2}^3,
等号成立条件から A=B=C =π/3, x=y=z = √3,
>>130
4349.
コーシーで
(左辺) ≧ {f(x)+f(y)+f(z)}^2 /(xy+yz+zx) ≧ (1/3){f(x)+f(y)+f(z)}^2, (←題意)
ここに
f(t) = tt/(t^3 +8)^(1/4)
f "(t) = (1/32){9t^6 + (t^3 -64)^2}/(t^3 +8)^(9/4) > 0, (t>-2)
f(t) は t>-2 で下に凸。
f(t) ≧ (23t-11)/(12√3),
f(x)+f(y)+f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1) = √3,
(左辺) ≧ 1,
URLﾘﾝｸ(cms.math.ca)
145:１３２人目の素数さん
19/06/10 06:42:18.15 0ZLkhJ7v.net
>>120
4410.
y = √x は上に凸だから
1 + √sin(2x) ≦ (√2)√{1+sin(2x)} = (√2)[sin(x)+cos(x)],
よって
(与式) ≦ ∫[0,π/4] {(√2)[sin(x)+cos(x)] - 1} dx = √2 - π/4,
なお、 (与式) = Γ(3/4)^2 / √(2π) = 0.5990701173678
>>136
フランダースぢゃなかった･･･
146:１３２人目の素数さん
19/06/10 07:17:01.72 0ZLkhJ7v.net
>>120 >>137
4410.
√sin(2x) < √(2x) (0<x<π/12)
√sin(2x) < (√2)[sin(x)+cos(x)] - 1 (π/12<x<π/4)
とすると
(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {(√2)[cos(x)+sin(x)] -1} dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + (1 - π/6)
= 0.602693468
(与式) = 0.599070117
147:１３２人目の素数さん
19/06/10 17:22:10.92 0ZLkhJ7v.net
>>120
4410.
ジョルダンの不等式
(√2)|sin(x -π/4)| ≧ |1 - 4x/π| (0≦x≦π/2)
から
yy = sin(2x) = cos(2x-π/2) = 1 - 2sin(x-π/4)^2 ≦ 1 - (1-4x/π)^2,
これは楕円の1/4
・中心 (π/4, 0)
・長半径１, 短半径π/4
・面積 (π/4)^2 = 0.616850275
148:１３２人目の素数さん
19/06/11 00:54:55.96 a3rUuuK+.net
>>120 >>139
4410.
ジョルダンの不等式
|sin(π/4 - x)| ≧ (3/π)|π/4 - x| (π/12 < x < 5π/12)
から
yy = sin(2x) = cos(π/2 - 2x) = 1 - 2sin(π/4 - x)^2 ≧ 1 - (1/bb)(π/4 - x)^2,
これは楕円の一部
・中心 (π/4,0)
・長半径 a=1, 短半径 b=π/(3√2),
・面積 ab(π+2)/8,
(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] a√{1 - (1/bb)(π/4 - x)^2} dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + ab･(π+2)/8
= (1/3)(π/6)^(3/2) + π(π+2)/(24√2)
= 0.12629224364 + 0.47590613074
= 0.60219837438
149:１３２人目の素数さん
19/06/11 07:27:30.94 a3rUuuK+.net
>>120 >>139 >>140
4410.
√sin(2x) < √(2x), (0<x<π/12)
√sin(2x) < {1 + sin(2x)}/2, (π/12<x<π/4) GM-AM
とすると
(与式) < ∫［0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {1+sin(2x)}/2 dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + [ x/2 - cos(2x)/4 ](x=π/12,π/4)
150: = (1/3)(π/6)^(3/2) + π/12 + (1/8)√3 = 0.1262922436 + 0.2617993878 + 0.2165063510 = 0.6045979824
151:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:03:00.11 SNdqfAoO.net
a,b,c >0 に対して、
Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2} ≦ 3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc).
既出でおぢゃるかな？
152:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:05:30.12 SNdqfAoO.net
a,b,c∈R、a+b+c=1 のとき、
9abc + (1/a + 1/b + 1/c) ≧ 7(ab+bc+ca+1).
153:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:06:18.37 SNdqfAoO.net
>>143
訂正 a,b,c>0
154:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:09:36.73 SNdqfAoO.net
a,b,c>0 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) + √{(ab+bc+ca)/aa+bb+cc} ≧ 5/2
155:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:12:01.88 SNdqfAoO.net
三角形の辺長 a,b,c に対して、
a^3/(b+c-a) + b^3/(c+a-b) + c^3/(a+b-c) ≧ 4*(2R-r)^2
156:１３２人目の素数さん
19/06/14 22:16:48.22 SNdqfAoO.net
0≦a,b,c≦1に対して、
aa + bb +cc ≦ aab + bbc + cca + 1.
157:１３２人目の素数さん
19/06/15 01:54:41.88 0c/9SYr+.net
Komal の C.1552 が面白すぎて困るなり。
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
158:１３２人目の素数さん
19/06/15 08:30:02.99 d+NNwnLK.net
>>147
(aab+bbc+cca +1) - (aa+bb+cc) = 1 - aa(1-b) - bb(1-c) - cc(1-a)
≧ 1 - a(1-b) - b(1-c) - c(1-a)
= (1-a)(1-b)(1-c) + abc
≧ 0,
>>148
そりゃ、KoMaL
C.1552
Prove that if 0<a<1 and 0<b<1 then log_a{2ab/(a+b)}・log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1,
A = log(a) < 0, B = log(b) < 0,
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log_a{2ab/(a+b)} = log{2ab/(a+b)}/ log(a) ≧ log(ab)/{2log(a)} = (A+B)/(2A) > 0,
log_b{2ab/(a+b)} ≧ (A+B)/(2B) > 0,
辺々掛けて
(左辺) ≧ (A+B)^2 /(4AB) ≧ 1,
159:１３２人目の素数さん
19/06/15 15:16:11.47 0c/9SYr+.net
>>149
さすがでござるな。難しくてkomal.
160:１３２人目の素数さん
19/06/16 07:07:43.58 HwIhVDIU.net
>>112 (下)
〔問題〕 2019-03
・最大は a_1 = ････ = a_(n-1) = 0, a_n = s のときで (s>1)
最大値 s^(n+1).
・極小点では
(k+1)(a_k)^k = 2t (未定乗数)
より
a_1 = t, a_k = {2t/(k+1)}^(1/k),
このとき
f(t) = t + Σ[k=2,n] {2t/(k+1)}^(1/k)
は単調増加で f(0)=0, f(s) > s だから
f(t)=s は 0<t<s にただ一つの解をもつ。
n=2のとき t = s - {√(1+6s) - 1}/3,
161:１３２人目の素数さん
19/06/16 10:38:35.53 HwIhVDIU.net
〔補題554〕
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(2) E(k) = ∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
E(k)は第二種の完全楕円積分
分かスレ４５３－554,555
162:１３２人目の素数さん
19/06/16 20:46:24.95 HwIhVDIU.net
〔補題559〕
0<k<1 のとき
(1') 2√(1-kk/2) ≧ √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 - (k･cosφ)^2} ≧ 1 + √(1-kk),
(2') (π/2)√(1-kk/2) ≧ Ｅ(k) ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
163:１３２人目の素数さん
19/06/18 06:37:15.80 1unLBUnb.net
〔問題541〕
長半径a, 短半径a√(1-kk) である楕円の周長を K,
半径 a の円周の長さを L,
半径 a√(1-kk) の円周の長さを M とする。すなわち
K = 4a E(k),
L = 2πa,
M = 2πa√(1-kk),
とするとき
√{(LL+MM)/2} ≧ K ≧ (L+M)/2,
等号成立は K=L=M (k=0) のとき。
分かスレ４５３-541
〔問題537〕
zは複素数で |z|≦1 のとき
|(1+z)exp(-z) - 1| ≦ |z|^2
等号成立は z=-1 のとき。
分かスレ４５３-537
164:１３２人目の素数さん
19/06/18 07:17:42.66 1unLBUnb.net
>>111
〔問題〕 2018-07改
任意の実数 x,y に対して
F(2xx,2yy) = F((x+y)^2,(x-y)^2)
が成立するような、実数係数のxとyの多項式 F(x,y) は
ある実数係数のuとvの多項式G(u,v)により
F(x,y) = G(x+y, xy
165:(x-y)^2), と表わされることを示せ。 http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180620.jpg
166:１３２人目の素数さん
19/06/20 01:05:37.07 WxweZeE5.net
>>154 (下)
(左辺) = |∫[0,z] (-z') exp(-z') dz'|
≦ ∫(0,|z|) |z'| exp(|z'|) |dz'|
= ∫(0,|z|) r exp(r) dr (r=|z'|)
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|) (|z|≦1)
= |z|^2,
167:１３２人目の素数さん
19/06/20 03:01:03.41 WxweZeE5.net
>>143 >>144
(左辺) - (右辺) = 9abc + (1/a+1/b+1/c) -7 - 7(ab+bc+ca)
≧ 9abc + 9/(a+b+c) -7 - 7(ab+bc+ca) (AM-HM)
= 9abc + 2(a+b+c)^3 - 7(a+b+c)(ab+bc+ca)
= (a+b+c){(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)} + {(a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc}
= (a+b+c)F_0(a,b,c) + F_1(a,b,c)
≧ 0,
〔Schurの不等式〕
a,b,c≧0 または n:偶数のとき
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,
(略証)
bはaとcの中間にあるとして
(a-b)(b-c) ≧ 0, a^n - b^n + c^n ≧ 0,
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n - b^n + c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 ≧ 0,
168:１３２人目の素数さん
19/06/20 04:06:49.82 WxweZeE5.net
>>145
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} (コーシー)
= 1 + (1/2) (aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)
= 1 + (1/2)XX
≧ (1/2) + X,
∴ (左辺) ≧ (1/2) + X + 1/X ≧ 5/2,
169:１３２人目の素数さん
19/06/25 08:56:15.44 4AX2BJg5.net
>>120
4408. a,b & c がベクトルのとき
α=2
Sq．= |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2 = 0, (← 内積)
α=1 (Hlawka)
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| - |a+b| - |b+c| - |c+a| ≧ 0,
(略証)
(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|) (左辺)
= Sq. + (|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|) + (|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|) + (|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)
≧ 0.
[初代スレ.354-360, 364]
[第８章.388 (5), 450, 708, 795]
文献[3] 大関、p.33-34 例題8.
170:１３２人目の素数さん
19/06/26 07:40:18.60 jPrPUfqH.net
>>72 >>142
コーシーで
(a+b)^2 / {(a+c)^2 + (b+c)^2} ≦ aa/(a+c)^2 + bb/(b+c)^2,
よって
(左辺) ≦ (aa+bb)/(a+b)^2 + cyclic
= 3/2 + (1/2){(a-b)/(a+b)}^2 + cyclic
≦ 3/2 + (a-b)^2 /(8ab) + cyclic
= 3/2 + {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/(8abc)
= 1/2 + (a+b)(b+c)(c+a)/(8abc),
171:１３２人目の素数さん
19/07/04 10:49:31.64 6zAehVNK.net
〔問題3078〕
Let a,b,c be nonzero real numbers such that 1/a + 1/b + 1/c = -4.
Prove that:
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 24(aa + bb + cc + a + b + c) + 4 -(a+b+c)/abc ≧ 0,
When does equality hold ? (K.Chikaya / Apr.29, 2019)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 352
172:１３２人目の素数さん
19/07/04 13:49:42.14 p6o04ivF.net
Wirtinger型不等式に関する一考察
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
173:１３２人目の素数さん
19/07/04 15:50:01.53 o768/cqk.net
>>162
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
174:１３２人目の素数さん
19/07/04 17:05:59.72 Nrnon5wS.net
>>162
これ論文？
175:１３２人目の素数さん
19/07/04 22:49:17.62 NQIpUmMW.net
ASU 128 All Soviet Union MO 1969 URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
正の実数a_1,…,a_nに対して次の不等式が成立
a_1/(a_2+a_3)+a_2/(a_3+a_4)+…+a_n/(a_1+a_2)>n/4
176:１３２人目の素数さん
19/07/04 23:03:38.04 6zAehVNK.net
>>161
〔類題〕
a,b,c は0でない実数で 1/a + 1/b + 1/c = -2 を満たす。 次を示せ。
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 8(8k-1)･(aa + bb + cc) - 64k･(a+b+c) + 16k(4k-3) - 16kk･(a+b+c)/abc ≧ 0,
k
177:≧0 とする。等号が成立するのはいつか ?
178:１３２人目の素数さん
19/07/05 00:07:26.17 g7vswyLm.net
>>165
左辺をSとおく。
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
3 S > 2Σ[k=1,n] {a_k + a_(k+1)}/{a_(k+1) + a_(k+2)} - n > 2n - n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ S ≧ n/3.
[初代.497, 501-502] [第２章.284]
179:１３２人目の素数さん
19/07/05 02:15:12.85 g7vswyLm.net
>>165
S > (√2 -1)n
(略証)
(a+b+c)(b+c+d) > (b+c)(a+b+c+d),
より
{a/(b+c) + 1}{b/(c+d) + 1} > (a+b+c+d)/(c+d) = (a+b)/(c+d) + 1 ≧ 2√{(a+b)/(c+d)},
AM-GM より
{a/(b+c) + b/(c+d)}/2 > (√2){(a+b)/(c+d)}^(1/4) - 1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
S > (√2 -1)n,
(mahanmath および abch42 による。2011/May/08)
URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
180:１３２人目の素数さん
19/07/06 12:04:07.65 oiEnJ4mP.net
>>165
S_n > (γ/2)n = 0.494566817223496526 n
γ は Drinfel'd 定数。
(文献)
・V. G. Drinfel'd: Math. Zametki, ９ (2), p.113-119 (1971) "A cyclic inequality"
・安藤哲哉： 「不等式」 数学書房 (2012) §5.2.8
181:１３２人目の素数さん
19/07/07 04:01:49.63 NQih2PzA.net
>>166
(略解)
(与式) = 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2 - (1/2)(1/a+1/b+1/c +2)^2
= 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2
≧ 0,
等号成立は k>0 かつ {a,b,c} = { -1/2, -√k, √k} のとき。
182:１３２人目の素数さん
19/07/07 18:48:35.43 NQih2PzA.net
>>169
f(x) = e^(-x),
g(x) = 2/{exp(x) + exp(x/2)},
は下に凸である。
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共通接線は1本だけ存在する。それを
y = m･x + γ
とおく。、
m = -0.8562482144492661168
γ = (-m){1 - log(-m)},
183:１３２人目の素数さん
19/07/09 02:35:03.06 96Oo9tpn.net
>>169
nを固定して考える。
S_n < (λ_n)･n,
n≦13 または n=15,17,19,21,23 のとき λ_n = 1/2,
一方、n=14 ｛0, 1+4δ, 2δ, 1+4δ, 4δ, 1+3δ, 5δ, 1+δ, 4δ, 1, 2δ, 1, 0, 1+2δ}
δ=1/60 のとき 0.4999880721 n
λ_14 < 0.4999880721
λ_24 < 0.499197
A.Zulauf: Math. Gazette, ４３, p.182-184 (1959) "On a conjecture of L.J.Mordell II!
λ_111 < 0.49656
D.E.Daykin: J. London Math. Soc.(2), ３, p.453-462 (1971) "Inequalities for functions of cyclic nature"
γ/2 = 0.4945668172235
V.G.Drinfel'd: Math Notes, ９, p.68-71 (1971) "A cyclic inequality" (>>169 の英訳)
λ_{n+2} ≦ λ_n (?)
184:１３２人目の素数さん
19/07/09 22:57:04.96 96Oo9tpn.net
|ａ| = √{(a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2} とおく。
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0 のとき
Σ[k=1,n] {√(n+1-k) - √(n-k)} a_k ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 不等式２-357
185:１３２人目の素数さん
19/07/09 23:39:12.04 96Oo9tpn.net
↑を修正....
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0 のとき
( a_1 + a_2 + ････ + a_n) / √n ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 不等式２-358
186:１３２人目の素数さん
19/07/14 15:04:25.43 Xfj84fYJ.net
>>86
4353.
S(j) = (1/j)Σ[k=1,∞] 1/{k･C(j+k-1,j)}
= (j-1)!Σ[k=1,∞] (k-1)!/{(k+j-1)!･k},
とおくと階差は
S(j) - S(j+1) = 1/jj,
また
S(1) = Σ[k=1,∞] 1/kk = ζ(2),
より
S(j) = ζ(2) - Σ[k=1,j-1] 1/kk ～ 1/(j - 1/2),
lim[n→∞] (1/n)Σ[j=1,n] j･S(j) = lim[n→∞] n･S(n) = 1,
4359.
log(x) は上に凸だから Jensen で
3log((a^b+b^c+c^a)/3) ≧ b･log(a) + c･log(b) + a･log(c),
log(x) は上に凸だから
log(x) = - log(1/x) ≧ - (1/x - 1) = 1 - 1/x,
187:１３２人目の素数さん
19/07/14 15:09:52.59 Xfj84fYJ.net
〔問題〕
f(x) = e^(-x) とおくとき次を示せ。
f(f(f(1))) > 1/2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ casphy!-高校数学-不等式２-359)
188:１３２人目の素数さん
19/07/15 12:26:35.29 hmERs5gh.net
π ≒ 22/7 (約率)
7π/2 = 11 - 0.0044257124
nが奇数のとき
|sin(11n)| > 1 - (1/2)(0.0044257124 n)^2 = 1 - 0.0000098nn,
nが偶数のとき
|sin(11n)| < 0.0044257124 n,
(分かスレ４５４-178,188)
189:１３２人目の素数さん
19/07/20 11:09:50.76 bSAoQnjE.net
1000
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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190:１３２人目の素数さん
19/07/20 17:29:12.98 E2uDcqfM.net
(1)
a,b,c≧0 に対して、
√(1+aa+bb+cc-ab-bc-ca) ≧ (a+b+c-abc)/2.
(2)
a,b,c>0 に対して、
{(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3) + (a+b+c)/9 ≧ 4/3.
(3)
a,b,c>0 に対して、
5(a/b + b/c + c/a)^2 ≧ 2(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) + 27.
(4)
a,b,c>0, a+b+c=3 に対して、
(a^3+b^3)/(1+a) + (b^3+c^3)/(1+b) + (c^3+a^3)/(1+c) ≧ a^(5/2) + b^(5/2) + c^(5/2).
/////
/////＿＿＿＿＿＿＿＿_
///// ￣￣￣￣￣￣|￣￣
///// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
///// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
///// |::::: (● (● |
///// ヽ::::... .ワ.....ノ お久しぶりです
///// ( つ且 ~ つ 不等式の夏ですね
191:１３２人目の素数さん
19/07/21 05:49:41.51 4k/Gtesi.net
>>177
π ≒ 355/113 (密率)
355 = 113π + 0.00003014435
|sin(355n)| < 0.00003014435･n
|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435･n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn