暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch678:ﾌ違いを理解するためには, 有限の場合に「当然成り立つ」とした根拠を明らかにする必要がある. 実際, 集合論の発展とともに, このような問題が認識され始め, 大論争になった. 結果から言うと, Λ が有限の場合は, ZF 公理系 (と論理) だけから (11.11) が証明される. 大雑把には, 順序対の存在は公理に含まれており, 順序対を繰り返すことで有限列の存在が数学的帰納法で証明される. しかし, Λ が無限集合になると, この議論が通用せず, ZF 公理系の下で (11.11) を証明することができない. したがって, 必要なら証明なしで公理として認めざるを得ない. この公理こそが選択公理である. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 (抜粋) 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。つづく