暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch326:{100} からなる有限集合とする。すると、Sの濃度は card(S)＝100 となる。E'をSの有限なσ-集合体とする。card(E')＝2^{100} とする。任意の card(S')＝100 なる有限集合S'とSとの間には全単射が存在するから、各 k＝1,…,100 に対して a_k を I＝(0,1] の部分区間として、k＝1 のときは a_1＝(0,1/100]、各 k＝2,…,99 に対しては a_k＝( (k－1)/100,k/100 ]、k＝100 のときは a_{100}＝(99/100,1] と見なせる。このとき、Sの100個の箱の中の代表元の実数 a_1,…,a_{100} はどの2つも互いに素なIの100個の部分区間からなる集合になるから、∪_{ i=1,…, }(a_i)＝I となる。ここに、各 i＝1,2,…,100 に対して a_i⊂I である。有限集合Sのσ-集合体E'の濃度は card(E')＝2^{100} としている。区間 I＝(0,1] のルベーグ測度は1である。そこで、EをIのσ-集合体とする。ここに、区間Iの濃度は連続体濃度cに等しいから、card(E)＝2^c。そうすると、零集合のときと同様に可測空間 (I,E) が構成されて、card(E')＜card(E) になる。いわゆるSのσ-集合体E'をIのσ-集合体Eで覆うことになる。

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