18/10/29 00:23:17.37 59VF2v6C.net
(*) 3～6問目で「datが存在しません。」が出ます。
削除依頼は不要です。
3:１３２人目の素数さん
18/10/29 01:18:29.19 2uK9eMpf.net
削除依頼を出しました
4:イナ
18/10/29 16:37:23.99 Es1mqcC9.net
過去ログ27の898つづき。
扇形OAB=3.14c㎡
AB^2=(2√2-2)^2+2^2
=8-8√2+4+4
=16-8√2
AB=√(16-8√2)
=2√(4-2√2)
△OAB=(1/2)･2√(4-2√2)･√{(2√2)^2-(4-2√2)}
=√(4-2√2)･√(4+2√2)
=√(16-8)
=2√2
三日月形AB=3.14-2√2
(=3.14-2.8284……
≒0.312)
ABを延長、半直線AB上にP(遠いほう)から垂線PCを下ろす。
ABの中点をNとすると、
ON=2△OAB/AB
=2･2√2/2√(4-2√2)
=√(4+2√2)
扇形PABの高さPC=ON+PH
=√(4+2√2)+PH
扇形PAB=(1/2)AB･PC-三日月形AB
=√(4-2√2)･{√(4+2√2)+PH}
=√8+PH√(4-2√2)
=√8+√(8-OH^2)(4-2√2)
= c㎡
(考え中)
OP//BQ(外側のQ)
中心角∠AOB=45°
円周角∠APB=22.5°
NB=√(4-2√2)
△OPQ∽△BQP
√は消えるはず……
5:
18/10/30 00:26:22.58 rGErkV8r.net
前>>4
図描いたら円Oは一辺4㎝の正方形にすっぽり入るから半径2㎝かもしれない。
OP=2㎝
OM=MA=1㎝
なんで√が要るのかすらももうわからない。
円Aの半径は1㎝のようだ。小学生向けか。
とりあえず前スレのはなんだったんだという感じで、仕切りなおし。
6:
18/10/30 00:55:37.66 rGErkV8r.net
前>>5円の中に一辺4㎝の正方形だった。あってる。
7:１３２人目の素数さん
18/10/30 01:50:09.86 bXAGzjkG.net
〔前スレ．898〕 (再掲)
これも中学の入試問題
図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり、OAの中点をMとする。
点Aを中心として点Mを通る円を描き、円Aとする。
円Oの周上に点B, Pが、円Aの周上に点Qがあり、次の条件を満たしている。
・∠AOB = 45°
・BQと円Aは接している。
・OPとBQは平行
このとき、直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。
円周率は 3．14 とする。
図1 URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図2 URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
8:１３２人目の素数さん
18/10/30 02:20:42.83 XhFYWByL.net
>>7
> 図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
9:イナ
18/10/30 03:00:18.86 rGErkV8r.net
前>>6
>>7-8我々は我々ながらよく気づいた。公立行って日本語勉強したほうがいいと思わせる問題だった。
10:イナ
18/10/30 12:45:59.96 rGErkV8r.net
前>>9
弧AB=円Oの円周/8
=2･3.14･2/8
=1.57㎝
扇形OAB=3.14･2^2/8
=1.57c㎡
AからOBに垂線を引いてできる、弧ABを斜辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
AB^2=(√2)^2+(2-√2)^2
=8-4√2
AB=2√(2-√2)
=1.5307338
≒1.53㎝
△OAB=OB×(AからOBに引いた垂線)×(1/2)
=2×√2×(1/2)
=√2
≒1.41c㎡
三日月形AB≒1.57-1.41
=O.16c㎡
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)
≒0.7653669を掛け、
三日月形AB=O.16を足すと、
4つの扇形PABの値が出ると思う。
11:１３２人目の素数さん
18/10/30 16:00:16.62 KJbkeqHE.net
まだ合わないね。
12:１３２人目の素数さん
18/10/30 16:57:56.36 bXAGzjkG.net
Memo．
cos(22.5ﾟ) = (1/2)√(2+√2) = 0.923879532511
sin(22.5ﾟ) = (1/2)√(2-√2) = 0.382683432365
O = (0，0)
円O： xx + yy = 8,
A = (-(√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = (-√(4-√8)，-√(4+√8) )
B = ( (√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = ( √(4-√8)，-√(4+√8) )
円A： {x + √(4-√8)}^2 + {y + √(4+√8)}^2 = AM^2 = 2,
点Bをとおる円Aの接線は
y = ±m{x -√(4-√8)} - √(4+√8)
m = 1/√(7-4√2) = 0.862856209461
接点Qは
x(Q) = -(1 -1/√2)^(3/2) = -0.1585126677811
y(Q) = -3.68384840 と -1.542403459
13:イナ
18/10/30 21:45:13.29 rGErkV8r.net
前>>10Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±√2)
NB=√(2-√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=2^2-(2-√2)
=2+√2
△PAB=√(2-√2)･{√(2+√2)±√2}
=√2±√(4-2√2)
=2.4966057
または0.3318213
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=1.57-√2
=0.1557865
∴扇形PAB=2.4966057+0.1557865
=2.6523922c㎡(2.65c㎡)
または扇形PAB=0.3318213+0.1557865
=0.4876078c㎡(0.488c㎡)
14:１３２人目の素数さん
18/10/30 23:06:38.55 sol3nzL/.net
まだ違う。
てかもう答え出てるんだから何故それで検算してみてから書き込まないの？
15:イナ
18/10/30 23:38:37.99 rGErkV8r.net
>>14検算はしました。といっても電卓だし。
答えが出てるとは思ってない。
せめて答えは√がなくなると思ったんだけど。
もちろんsinやcosも小学生にそこまで求めないと思うし。
面積だから単位はc㎡だと思うけど、求める図形が2つか4つか、いくつあるかもわからない。
前>>13
16:１３２人目の素数さん
18/10/30 23:45:12.35 xWKyl2U0.net
>>15
> >>14検算はしました。といっても電卓だし。
> 答えが出てるとは思ってない。
出てる答えの何が間違ってると思うん？
17:１３２人目の素数さん
18/10/31 01:11:26.66 MZfORzCN.net
Memo．
cos(22.5ﾟ) = √{[1+cos(45ﾟ)]/2} = 0.9238795325
sin(22.5ﾟ) = √{[1-cos(45ﾟ)]/2} = 0.3826834324
O = (0，0)
円O： x^2 + y^2 = (2r)^2,
A = (-2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(A)，y(A))
B = ( 2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(B)，y(B))
AB = x(B) - x(A) = 4r sin(22.5ﾟ) = 2√(2-√2) r = 1.53073373 r^2,
y(A) = y(B) = -√(2+√2) r,
円A： {x - x(A)}^2 + {y - y(A)}^2 = AM^2 = r^2,
点Bから円Aに曳いた接線は
y = ±m{x -x(B)} + y(B),
m = 1/√(7-4√2) = 0.862856
接点Qは
x(Q) = -(1/4)(2-√2)^(3/2) r = -0.1120854 r
OP//BQ より
y(P) = ±{2m/√(1+mm)} r = ±(1/√2)√(2+√2) r = ±1.306563 r,
y(P1) - y(B) = (1/2)(2+√2)√(2+√2) r,
y(P2) - y(B) = (1/2)(2-√2)√(2+√2) r,
△ABP1 = (1/2)AB{y(P1)-y(B)} = (√2 +1)r^2,
△ABP2 = (1/2)AB{y(P2)-y(B)} = (√2 -1)r^2,
(三日月型AB) = (π/2 - √2)r^2 = 0.15658276 r^2,
∴ S = (π/2 ± 1)r^2,
18:BLACKX
18/10/31 03:27:59.82 5UKLbe5p.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
点Pから点Qに団地の路地を毎秒１ずつ進む。
1)緑の団地脇を抜ける最短経路の長さはいくつか。
2)A君家からB君家まで最短で何秒かかるか。
点Pスレに貼っても無反応だったので
19:１３２人目の素数さん
18/10/31 04:30:04.94 yZNMRVFG.net
>>18
団地一棟の一辺は√5。
1)
P → Q ： 15
P → A → B → Q ： 2 + 5√5 + 4 = 6 + 5√5
P → A → C → Q ： 問題外
P → A → D → Q ： 2 + 4√5 + 3 = 5 + 4√5
P → B → C → Q ： 問題外
P → B → D → Q ： 問題外
P → C → D → Q ： 4 + 4√5 + 3 = 7 + 4√5
より5+4√5。
2)題意がP → A → B → Qと進むという意味なら6 + 5√5。
ーーーー
ABとPQが逆？
1)も緑の団地脇のみを抜けてPからQへは移動できないし。
なんでもいいけど。
20:BLACKX
18/10/31 05:56:19.70 PJ+dgrvi.net
>>19
あってる。ありがと。
そうね、PABQの時間だねごめん
ABが逆だと思ったのは外接を点CDでやったからだと思う
俺想定してたのがC1～C7点でやったから関係なかったねごめん
初めからC点つけとけば良かったな
21:イナ
18/10/31 09:53:18.49 aaz9J1TG.net
前>>15
>>13と>>17の三日月形ABの値が少し違うのは3.14とπの違いかな。
問題に3.14を使えとある。だからここは>>13のほうが正しい。実際より少し小さい値になる。
問題文によると、
>>7一辺4㎝の正方形にちょうど入るってことなんで、
OP=2
OM=MB=1
ただし、図を優先すると値は変わる。
Pが4つか2つか。2つずつ一致するとみて答えを求める。
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)を掛け、
三日月形ABの面積を足す方針。
もしもPが2つずつ一致するなら、
ABの中点をNとして、
△OAB=NB･(ON±√2)
扇形OAB=NB･(ON±√2)+三日月形AB
NB=√(2-√2)
ON=√(OB^2-NB^2)
=2^2-(2-√2)
=√(2+√2)
扇形OAB=√(2-√2)√(2+√2)±√(2-√2)√2
=√2±√(4-2√2)
√は外せないか。
Pは4つあるかもしれない。
22:１３２人目の素数さん
18/10/31 10:08:52.50 iQsFQdVw.net
出てる答えがπr^2/2 + r^2だから
>>15
>答えが出てるとは思ってない。
てか？
まぁじゃ好きにすればいいけど。
いつになったら正解にたどり着くん？
ホントに東大卒？
23:１３２人目の素数さん
18/10/31 10:12:40.56 PPhF82WW.net
>>22
>πr^2/2 + r^2
おっとコレ大きい方の答えね。小さい方の答えはπr^2/2 - r^2。
出てる答えは条件みたすPは４ヶ所、面積は２通り。
まぁ頑張って下さいませ。
24:１３２人目の素数さん
18/10/31 12:26:50.70 DLpd368O.net
ちがった。現在上がってる答えはπr^2/8 ± r^2/4だった。
r = 2 なら π/2 ± 1 = 2.57、0.57。
25:イナ
18/10/31 20:00:52.00 aaz9J1TG.net
前>>21題意の文章のとおりだと、>>13であってると思うんだけど、図を優先すると円Oの半径が2√2となり、値は変わる。面積は2倍になる。
Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±2)
NB=√(4-2√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=(2√2)^2-(4-2√2)
=4+2√2
△PAB=√(4-2√2)･{√(4+2√2)±2}
=√8±2√(4-2√2)
=2√2±2√(4-2√2)
=2.828427±2.1647844
=4.9932114
または0.6636426
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=3.14-2√2
=0.311572875
∴扇形PAB=4.9932114+0.311572875
=5.3047842c㎡(5.30c㎡)
または扇形PAB=0.6636426+0.311572875
=0.9752154c㎡(0.975c㎡)
26:１３２人目の素数さん
18/10/31 21:48:18.01 S59Tt0Nc.net
一応オリジナルなんだけどもしかして有名問題だったりするのかしらと一抹の不安を感じながら投稿
実数から実数への連続関数fは有界であり、任意の実数xに対して
f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2
を満たす。この時、fは定数関数であることを示せ。
27:１３２人目の素数さん
18/11/01 00:37:19.95 B/Irv09c.net
分かすれ447の888より未解決
fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示せ
28:１３２人目の素数さん
18/11/01 01:42:46.87 x6bVfA2R.net
>>27
f(x) = Σc[j]x^j とおき Σ[i] a[i] f(x+s[i]) = 0 とする。
Σa[i] c[j] (x + s[i])^j = 0 である。
n-k次の係数は
Σa[i] c[n] C[n k] s[i]^k
+Σa[i] c[n-1] C[n-1 k-1] s[i]^(k-1)
+Σa[i] c[n-2] C[n-2 k-2] s[i]^(k-2)
……
+Σa[i] c[n-k] C[n-k 0] s[i]^(k-k)
でこれが0であるから帰納的に
Σa[i] s[i]^k = 0 (k=0,1,…,n)
である。
ここでVandelmonde(s[i]^k)の行列式は零でないからa[i] = 0である。
29:１３２人目の素数さん
18/11/01 02:18:37.45 GatmQtrC.net
>>25
もし>>13があってたら
△PAB=√2±√(4-2√2)
三日月AB = π/2-√2
で答えが
π/2±√(4-2√2)
になるやん？
中学受験の答えがこんなんになるはずないでしょ？
半径が2√2でも答え２倍になるだけだからありえへんでしょ？
やり直し。
30:sage
18/11/01 04:00:36.26 xVnRbBm5.net
>>27
nについての帰納法で。
n=1 のとき (略)
n-1 に対して成立したとする。
n次の多項式f(x)に対し、因数定理より
f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,
g(x) は 高々n-1次の多項式で、係数はf(x)の場合と同様。
いま
Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k) = 0,
とする。x^n の係数を比べて
Σ[k=0，n-1] c_k ＋ c_n = 0,
だから
0 = Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k)
= Σ[k=0，n-1] c_k {f(x+s_k) - f(x+s_n)}
= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
帰納法の仮定により g(x+s_k) は1次独立。(k<n)
∴ c_k (s_k - s_n) = 0, (k<n)
題意により s_k - s_n ≠ 0, (k<n)
∴ c_k = 0 (k<n)
∴ c_n = -Σ[k=0,n-1] c_k = 0,
∴ f(x+s_k) も1次独立。(0≦k≦n)
31:１３２人目の素数さん
18/11/01 04:11:28.52 GatmQtrC.net
>>30
>f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,
これあかんやろ？
f(x+⊿) - f(x)は⊿でくくれるけど⊿^2以上の項があるからくくったg(x)にも⊿がのこるからg(x)は⊿に依存する。
つまり正確には
f(x+⊿) - f(x) = g(⊿,x)⊿
になる。
すると
>= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
のところは
Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(s_k-s_n,x+s_k)
になりg(s_k-s_n,x+s_k)は単純に同一のn-1次式をシフトしただけの組ではない。
32:１３２人目の素数さん
18/11/01 06:01:46.13 T2UjLCSb.net
以前に出題された「体積が最大になる表面積1の多面体」(面白いスレ26:420～)について
計算でそれらしい解を出していたのだけど、今回それらを視覚化してみたので投下しておきます。
内接球との接点から頂点までを結んだ線を追加していますが、稜を挟んで向かい合う三角形はそれぞれ対称であるはず。
8面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
9面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
10面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
11面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
12面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
13面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
14面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
15面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
16面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
17～19面体 略
20面体を作ってみたところ、12枚ある五角形が野球ボールの縫い目のように整列しているような形が出てきました。
20面体 URLﾘﾝｸ(imgur.com)
33:１３２人目の素数さん
18/11/01 06:08:04.77 T2UjLCSb.net
なお、>>32 の各図形について最大であるかどうかの証明はしていません。
何回か試行して他に良い解がなく、かつ対称性が高いものを採用しています。
34:１３２人目の素数さん
18/11/01 06:31:27.51 IlhZTSyF.net
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35:イナ
18/11/01 12:26:31.61 BwjvOPT2.net
>>29一瞬√2が消えるのにまた出てくるジレンマ。
前>>25
問題文の「正方形に入る」は、「正方形が入る」なのかな？
いずれにしろ半径が√2倍になったら面積は2倍。出題者の考えを聴こう。これ以上やってもおもんない問題になる。
36:１３２人目の素数さん
18/11/01 12:52:25.04 YxMVM+RV.net
①方程式 x⁴+y⁴=6z⁴+12w⁴ は, (x,y,z,w)=(0,0,0,0)以外の有理数解を持たないことを示せ.
②Xをk+m次正定値エルミート行列とせよ.
X=[[ A, C], [C^*, B] ]
とブロック行列表示せよ.
ここで, Aはk次行列, Bはm次行列, Cはk×m行列であり,
C^*はCの随伴行列である.
このとき,
det(X) ≦ det(A) det(B)
を示せ.
37:１３２人目の素数さん
18/11/01 18:40:47.40 KpoUUvS2.net
>>36
①ても足もでない。
ヒントおながいします。
38:１３２人目の素数さん
18/11/02 00:21:03.79 +UTP9GLJ.net
■■■
□□■
■■■
■■■
□□■
■■■
39:イナ
18/11/02 15:20:39.27 e2MNqGTy.net
■□■
■□■
□■■
前>>35
40:１３２人目の素数さん
18/11/03 02:50:14.57 Ha92ty6K.net
広場に3つの扉がある。
扉の見た目はいずれも同じ。
ひとつは「一瞬で天国に行ける」扉
ひとつは「1日の間ずっと広場から出られない」扉
ひとつは「2日の間ずっと広場から出られない」扉
扉は、開けた瞬間に効果があらわれる。
扉の効果があらわれると、すぐに扉は閉じられ位置がランダムにシャッフルされる。
そのため、前回の位置にある扉が今回も同じとは限らない。
さて、この広場を訪れた者は平均何日で天国にたどり着けるだろうか？
41:１３２人目の素数さん
18/11/03 03:06:50.27 6u03sBH6.net
平均 A 日で天国に行けるとすると
A = 1/3・0 + 1/3・(A + 1) + 1/3・(A + 2)。
∴ A = 3。
42:１３２人目の素数さん
18/11/03 05:56:24.41 /E6xXixt.net
〔問題2926〕
mを正の整数とする。
θを 0≦θ≦π/2 の範囲で動かすとき、次の関数の値域を求めよ。
f_m(θ) = √{1 -(sinθ)^m} + √{1 -(cosθ)^m}.
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
43:１３２人目の素数さん
18/11/03 05:57:53.47 /E6xXixt.net
〔問題2931〕
ΔABCにおいて、
辺ABを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ X，Y
辺BCを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ Z，W
辺CAを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ U，V
とする。（0<f≠g<1）
このとき ΔXZU と ΔYWV が相似であれば、ΔABCは正三角形であることを示せ。
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
44:１３２人目の素数さん
18/11/03 06:00:39.16 /E6xXixt.net
〔問題2937〕
⊿ABCで AB=7，AC=4，また辺BC上の1点Dについて AD=7/2 である。
BD、CD がともに正の整数であるものとして、BDの長さを求めよ。
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
45:１３２人目の素数さん
18/11/03 06:03:25.27 /E6xXixt.net
〔問題2938〕
3個のサイコロA，B，Cをこの順で1度づつ振る。
いちばん小さい出目が2のとき、いちばん大きい出目が4である確率はいくらか？
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
46:１３２人目の素数さん
18/11/03 08:27:56.87 zSMa/Wom.net
>>41
エレガントな解だなぁ。
早速、シミュレーションしてみました。
> door <-function(){
+ stay=x=sample(0:2,1)
+ while(x!=0){
+ x=sample(0:2,1)
+ stay=append(stay,x)
+ }
+ sum(stay)
+ }
> re=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,door())))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.606 2.914 3.003 3.001 3.083 3.427
47:１３２人目の素数さん
18/11/03 09:19:53.97 zSMa/Wom.net
サイコロをふって１の目がでたら終了。 終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？
48:１３２人目の素数さん
18/11/03 10:29:30.90 zSMa/Wom.net
>>47
自信がないけど
x=1/6*1+5/6*(x+4)を解いてx=21でいいんだよな？
49:１３２人目の素数さん
18/11/03 11:35:59.53 zSMa/Wom.net
>>45
3/15=1/5
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[a..6],c<-[b..6],minimum[a,b,c]==2]
length x --15
length $ elemIndices 4 (map maximum x) -- 3
50:１３２人目の素数さん
18/11/03 11:39:29.08 zSMa/Wom.net
>>49
これは間違い、組み合わせじゃなくて順列にしなくちゃいけなかった。
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[1..6],c<-[1..6],minimum[a,b,c]==2]
length x -- 61
length $ elemIndices 4 (map maximum x) --12
12/61
51:１３２人目の素数さん
18/11/03 12:08:51.34 zSMa/Wom.net
>>47
サイコロをふって１の目がでたら終了。
（１）終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？
（２）総和が５０以上になる確率はいくらか？
（２）はどうやって解けばいいんだろ？
場合分けして１～４９まで場合分けして余事象でだすしかないのだろうか？
52:１３２人目の素数さん
18/11/03 15:16:07.91 OVkXWZOI.net
>>51
そうだと思うけど…
SageMath：
,var x
f = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)
1-f.taylor(x,0,49).subs(x=1)
2887816213848518927/28430288029929701376
0.101575341438975
53:１３２人目の素数さん
18/11/03 15:31:30.50 OVkXWZOI.net
>>51-52
おおよそなら、1回1以外の目が出るごとに平均して総和が4大きくなるから、
総和が50以上になるのは12～13回1以外の目がでればいい。
(5/6)^12 = 0.112156654784615
(5/6)^13 = 0.0934638789871792
近似としてはまあまあか？
54:１３２人目の素数さん
18/11/03 16:42:30.14 THzLQZJS.net
>>52
を部分分数分解して無理？
55:１３２人目の素数さん
18/11/03 17:47:45.86 OVkXWZOI.net
>>54
なるほど！ そうすればできるね。
,var n
R.<x> = CC['x']
g = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)/(1-x) #x^nの係数は総和がn以下になる確率
pfd = g.partial_fraction_decomposition()
p = sum(c.numerator()/c.denominator().subs(x=0)*(-1/c.denominator().subs(x=0))^n for c in pfd[1]) #pは総和がn以下になる確率
sage: p
-0.924602908258674*e^(-0.0450727249412852*n)
- (0.0141317451913899 + 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 - 1.18446726809051*I)*n)
- (0.0141317451913899 - 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 + 1.18446726809051*I)*n)
- 0.0172163389039878*e^(-(0.361410021965218 - 3.14159265358979*I)*n)
- (0.0149586312272785 + 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 - 2.18509474953750*I)*n)
- (0.0149586312272785 - 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 + 2.18509474953750*I)*n)
+ 1.00000000000000
sage: 1-p.subs(n=49)
0.101575341438976 + 5.79026428787119e-24*I
56:１３２人目の素数さん
18/11/03 18:27:17.22 zSMa/Wom.net
能力的についていけない、コードと議論なんだけどRでのシミュレーション解（１０００回の頻度の１０００回平均値）と一致しております。
> dice = function(){
+ total=x=sample(6,1)
+ while(x!=1){
+ x=sample(6,1)
+ total=total+x
+ }
+ total
+ }
> re50=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,dice()>=50)))
> summary(re50)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0740 0.0950 0.1010 0.1013 0.1070 0.1350
57:１３２人目の素数さん
18/11/03 21:23:52.08 OVkXWZOI.net
>>56
生成関数をTaylor展開で1を代入は場合分けしているのも同然だし、nが変わるごとn回微分するのはコストがかかる。
部分分数分解すればn乗ですむ、というのが>>54の指摘。
生成関数の部分分数分解は基本ともいえるのにでなかったのが恥ずかしい。
58:１３２人目の素数さん
18/11/04 00:25:20.63 1wP06nNi.net
結局有理関数のテイラー展開の係数だからn項間関係の漸化式とけばいいんだね。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map head $ iterate(¥p -> (++[0] )$ tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%6] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518
59:１３２人目の素数さん
18/11/04 01:08:35.11 1wP06nNi.net
訂正
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map ((/(head d)).head) $ iterate(¥p -> tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%1] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518
60:１３２人目の素数さん
18/11/04 04:19:27.45 RDBCTf5Y.net
答えが1/4じゃなくて10/49なのはトランプ問題
では、答えが4/25じゃなくて20/61なのは何問題？
61:１３２人目の素数さん
18/11/04 08:06:33.61 VDxltAIF.net
>>60
>50は>45の確率
62:１３２人目の素数さん
18/11/04 08:18:37.88 VDxltAIF.net
>>59
>51,56です。
いつも簡潔なHaskellのコードをありがとうございます。
自分にはか初見and/or失念のコマンドを調べながら勉強してます。
63:１３２人目の素数さん
18/11/04 11:05:02.24 5kr3GpiZ.net
>>36の①がムズイ。
どうやるんだろ？
64:１３２人目の素数さん
18/11/04 13:20:58.52 t5LZe7yy.net
>>57
すみません。
そもそもテイラー展開が出てくる理屈からしてわからないものです。
65:イナ
18/11/04 13:38:11.75 eJosweG2.net
前>>39
>>44
BD=5または6または7
66:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:33:37.60 5kr3GpiZ.net
答え載せてるんだから、コレよりいい解答を見つけよが題意じゃね？
答えだけ書いてどうする？
しかも十分性成り立ってないし。
67:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:41:52.33 lTCeMsqQ.net
>>51
総和の分布ってパラメータ1/21の指数分布になるみたいだな。
グラフにするとそんな感じだけど証明はわからんのであしからず。
68:１３２人目の素数さん
18/11/04 16:56:27.49 2EqmTiCY.net
>>44
△ABC∽△DACになるようにしたら相似比2:1だからBC=8, CD=2 となってBD=6。
それしかないかを調べるにはどうするのがよいだろうか？
69:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:03:14.33 2EqmTiCY.net
>>64
生成関数のべき級数展開をx^49の項まで求めているだけです。
ここでの生成関数はx^nの係数が総和がnになる確率です。
70:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:34:30.63 tTiGqsss.net
>>44 AB=7, AC=4, AD=7/2, BC < AB + AC = 7 + 4 = 11, BC = BH + CH = √(AB^2-AH^2) + √(AC^2-AH^2) ≧ √(AB^2-AD^2) + √(AC^2-AD^2) = (7√3 + √15)/2 = 7.99867 ∴ 8 ≦ BC ≦ 10
72:１３２人目の素数さん
18/11/04 17:49:00.39 RDBCTf5Y.net
>>61
>>45の答えは12/61だけど、20/61になるような改題は作れる？
73:イナ
18/11/04 18:41:40.54 eJosweG2.net
前>>65△ABCを描き、BC上にAD=7/2なるDをとると、
x=BDの条件は、
AB-AD＜BD＜AB+AC
7-7/2＜x＜7+4
よってBDは4、5、6、7、8、9、10のいずれか。
AからBCに垂線AHを引くと、
AC^2-CH^2=AB^2-BH^2
=AD^2-DH^2
4^2-(y+z)^2=7^2-(x+y)^2
=(7/2)^2-y^2
16-(y+z)^2=49-(x+y)^2
=49/4-y^2
xとyについて解くと、
196-4(x^2+2xy+y^2)=49-4y^2
196-4x^2-8xy=49
8xy=147-4x^2
y=147/32-2=83/32
yとzについて解くと、
BD=4のとき、y=DH、z=CH-yとすると、
DC=DH+HC=y+z=83/16+z
=83/16+CH-y
―中略―――
BD=4、5、6はいずれもNG
―中略―――
x=BD=7のとき、
49/4-y^2=7^2-(7-y)^2
=49-(49-14y+y^2)
49/4=14y
y=7/8
CH=√{16-(49･15/64)}
={√(1024-735)}/8
=(√289)/8
=17/8
y=DH=√{(7/2)^2-(7√15/8)^2}
=7/8
BH=√{7^2-(7√15/8)^2}
=49/8
BD=BH+DH=49/8+7/8=56/8=7
CD=CH-DH=17/8-7/8=10/8=5/4
BD=7はNG
x=BD=8、9、10は未調査。
この中にある可能性がある。
74:１３２人目の素数さん
18/11/04 18:49:12.73 LooLpWav.net
そもそも答え出すだけなら
(x^2+3.5^2-7^2)/7x=-(y^2+3.5^2-4)^2/7y
3.5<x<10.5, 0.5<y<7.5
の整数解出すだけだから問題としては大して難しいわけでもない。
エレガントなやつを求められてる。
75:１３２人目の素数さん
18/11/04 18:50:32.50 LooLpWav.net
あ、式所々おかしいけどエスパーに期待
76:イナ
18/11/04 19:45:58.67 eJosweG2.net
前>>72
BDが整数のときCDも整数になったらそれが答えなんだが、BD=8、9、10でもならなんだ。
しらみ潰しに調べてしらみを潰しきった。
∴解なし
または計算間違い。
おそらく同じ図を使ったときAH辺り同じ数字を使った可能性がある。
77:１３２人目の素数さん
18/11/04 22:35:51.00 zevnpesP.net
>>75
AB=7,AC=4,AD=7/2,BD=x,CD=y
cos(∠ADB)+cos(∠ADC)=0→(x^2+49/4-49)/(7x)+(y^2+49/4-16)/(7y)=0
正整数解は(x,y)=(6,2)
78:イナ
18/11/04 23:05:37.18 eJosweG2.net
前>>75見落とし、6を。
x=BD=6のとき、
AB^2-BH^2=AD^2-DH^2=AC^2-CH^2
7^2-(x+y)^2=(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2=16-z^2
xとyについて解くと、
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2
(3/4)49-x^2-2xy=0
y=(3/8x)49-x/2
x=6を代入し、
y=49/16-3
=1/16
yとzについて解くと、
(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49/4-y^2=16-z^2
z^2=16-49/4+y^2
z^2=15/4+y^2
y=1/16を代入すると、
z^2=15/4+1/256
=(15･64+1)/256
=(960+1)/256
=961/256
z=31/16
CD=y+z=1/16+31/16=2
BDもCDも整数ゆえOK。
79:イナ
18/11/05 08:02:22.38 2UQFV+Ew.net
前>>77訂正。
整数→正の整数
80:１３２人目の素数さん
18/11/05 15:04:22.76 gJu+KUPZ.net
数列{a_n}は
a_1=1
a_(3n+1)=a_(2n+1)
a_(3n-1)=a_(2n-1)
a_(3n)=-a_n
を満たす。この時、 lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k を求めよ
81:１３２人目の素数さん
18/11/05 16:07:54.33 B1F8UTQM.net
>>70
BC が決まると、ピタゴラスの定理より BH，CH が出る。
2BH - BC = BH - CH = (BH^2 - CH^2)/(BH+CH) = (AB^2 - AC^2)/BC = 33/BC,
BH = (BC + 33/BC)/2,
CH = BC - BH = (BC - 33/BC)/2,
さらに
y = DH = √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = √(BH^2 - 147/4),
x = BD = BH - DH = BH - √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = BH - √(BH^2 - 147/4),
または
x = BD = BC - CH - √(CH^2 + AD^2 - AC^2) = BC - CH - √(CH^2 - 15/4),
これに BC = 8，9，10 を入れる。
82:１３２人目の素数さん
18/11/05 16:55:39.33 NWPSgxHY.net
サイコロを１０００回ふったとき１２３４５６の順に並ぶめがある確率は？
(1000-6+1)/6^6=995/46656= 0.0213263
であってる？
83:１３２人目の素数さん
18/11/05 17:05:06.59 NWPSgxHY.net
>>81
10万回のシミュレーションで
> diseq = function(x) grepl("123456",paste(sample(6,x,rep=T),collapse=''))
> re=mean(replicate(1e5,diseq(k)))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179
なので多分、あってると思う。
84:１３２人目の素数さん
18/11/05 17:49:29.47 wfCkOOVj.net
>>81
24961325273729411157493296049923162050180048167808600668865194878033743728420689
84376099408174097463441629168520294258369368829106815003461566130708953839682920
95221171948291726439658114424799498019097661179266489639765057526270978013345104
76524747032016146895691394753020822407944413722991044460400808243936692906887421
58562789397002085900222149015685484765540355084031630923512566224026716368839141
57709132547009630669030748477906517799741669954712570078185561021427430325179405
72821546368625756251314713494685242945606761774980997529512510098234243941523221
41377931716188773349134288985450150950313965433089387066776103030489204172673462
73213105601812900585824575190324664251243051466881215047349049321238316686313754
951248352723962319494352745433967465925847447405514305001/6^1000
≒0.017620460571654540349...
85:１３２人目の素数さん
18/11/05 18:18:13.85 B1F8UTQM.net
>>81
「123456」を２つ以上含む場合を無視すれば合ってる。
「123456」の前後5回以内に「123456」はないから短時間の負相関があるが、それを無視すると
1 - {1 - 1/(6^6)}^(1000-6+1) = 0.021100729
86:１３２人目の素数さん
18/11/05 18:29:06.48 6Utw5VZV.net
p[n]=n回目までに１２３４５６の並びが無い確率
p[n]=「n-1回目までに１２３４５６の並びが無い確率」-「n-1回目までに１２３４５６の並びが無く、n回目で１２３４５６が現れる確率」
=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
p[0]=p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=1
求める確率は 1-p[1000]
あとは任せた
87:１３２人目の素数さん
18/11/05 19:02:20.70 gJu+KUPZ.net
g[n]はn回目までに123456の並びがある確率
f[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が12345で終わってる確率
e[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1234で終わってる確率
…
b[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1で終わってる確率
a[n]はn回目の時点で上のどれにも当てはまらない確率
とすると、
a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=f[0]=g[0]=0,
a[n+1]=(5/6)a[n]+(2/3)(b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
b[n+1]=(1/6)(a[n]+b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
c[n+1]=(1/6)b[n],
d[n+1]=(1/6)c[n],
e[n+1]=(1/6)d[n],
f[n+1]=(1/6)e[n],
g[n+1]=g[n]+(1/6)f[n]
となるから、あとはがんばる（他力本願）
>>85 も同じになるんかねこれ
88:１３２人目の素数さん
18/11/05 20:53:19.32 wfCkOOVj.net
>>83
変換行列間違えました。
29894670002765580717622018953762664878384906585883227072416001286367327613872462
36176982687935042063489589508768499096701653359496110507628202771697652461481898
158670838629839
89:75849719649919755556602395081603445217810191450771872978378492822 20929434295896536747523490245609702844253652551469152963247478735449528154607738 94897010212340239653386134088594267247751133592603591616944486751154360658915673 06079634567518636788329151870647053752023096491715169208527344676777484044463919 37957902455021334206833507250332593780127396266576899688383930527654264882692836 52659851277089138926126233125349416055818289864095231536195189335702592341232170 57986389166894334399077869160455544669456052004648395254763440350805452857924718 777798944034868387931340048957755897293189482452979797088/6^1000 ≒0.021102960211841870224...
90:１３２人目の素数さん
18/11/05 21:00:04.55 wfCkOOVj.net
>>86 と同等の内容を、行列を使って計算させたのが、87の結果です。
91:１３２人目の素数さん
18/11/05 21:06:03.03 yk5baVV4.net
エレファントな解答を求む。
92:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:15:57.52 1RAsBANL.net
>81と>87の差異はどういう違いでしょうか？
123456を1個含むか複数かの違いでしょうか？
複数許容なら数値の大きい方でいいのでしょうか？
93:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:38:47.29 Pcec+Aw3.net
どかーん！
(⌒⌒⌒)
｜｜
／￣￣￣￣￣＼
| ・ Ｕ |
| |ι |つ
Ｕ｜｜ ￣￣ ｜｜
￣ ￣
呼んだ？
94:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:53:10.54 wfCkOOVj.net
>>90
81の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたときの当選回数の期待値に等しい。
84の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたとき、少なくとも一回当たりくじを引く確率に等しい。
「目的の出目が六回続けて出る」という事が達成される確率が1/6^6。
普通のクジなら、外れを引くとクジ一個分を無駄にする。
しかし、この問題の場合は、いわば途中まで成功していた分のクジも無駄になることになる。
一回の失敗で、無駄になるクジの数が１枚の場合もあれば、複数の場合もある。
チャレンジできる回数が995回固定ということはない。
さらに、失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を
踏み出していたことになるが、それ以外の目で失敗したら、第０歩から
スタートすることになる。単純に「失敗」と言っても、内容が異なることもある。
本来はこのような機微に関わる問題で、厳密な値は、シンプルな式では表せない。
87や86は、6^1000通りある全てのパターンを想定している。
95:１３２人目の素数さん
18/11/05 22:59:51.87 hlCe+j6H.net
チャレンジできる回数が995回固定されないかも
ちょうど1000回使い切ることもありうる
96:１３２人目の素数さん
18/11/05 23:21:44.43 1RAsBANL.net
>>92
解説ありがとうございました。
＞失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を踏み出していたことになる
この理解が私には欠けていました。
97:１３２人目の素数さん
18/11/06 02:48:39.54 jOazYBXJ.net
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型
98:多項式が完成しました 宝の個数を２で固定します P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48 Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48 ■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意 P1st／Q1st =｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1
99:１３２人目の素数さん
18/11/06 03:09:24.93 FZJllfOU.net
>>85
任されたんぢゃ、生姜ねぇ…
線形漸化式は
p[n] = p[n-1] - p[n-6] /(6^6),
特性多項式は
t^6 - t^5 + (1/6)^6
= (t-α) (t-β) {tt -2Re(γ_1) t + |γ_1|^2} {tt -2 Re(γ_2) t + |γ_2|^2},
特性根は
α = 0.9999785642321302281427595561300279367871
= 1 - (1/6)^6 - 5･(1/6)^12 - 40･(1/6)^18 - …
β = 0.11947305512892524659941083415872186721
γ_1 = |γ_1| e^(i θ_1)
|γ_1| = 0.117113316705063892011642575051190099053
θ_1 = 2.5253513177722176449
γ_2 = |γ_2| e^(ｉ θ_2)
|γ_2| = 0.11436934616195511830934529716995273057
θ_2 = 1.279751470687185368
p[n] = 1.00000000689325α^(n-5) + c_0 β^n + c_1 |γ_1|^n cos(n θ_1+ d_1) + c_2 |γ_2|^n cos(n θ_2 + d_2)
= 1.00000000689325α^(n-5) (n>>1)
∵ 0．114 < |β|，|γ_1|，|γ_2| < 0．120 なので
1 - p[1000] = 1 - 1.00000000689325α^995 = 0.021102960211842
1.00000000689325 = 1 + 15 (1/6)^12 + …
100:１３２人目の素数さん
18/11/06 03:39:44.90 FZJllfOU.net
>>84
いったん「123456」が完成すると次の5回はデッド・タイムになるわけか。
GM計数管（放射線測定器）の分解時間、不感時間みたいなものかな？
101:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:08:26.34 FZJllfOU.net
>>44
BD、CD が半整数でいいなら、もう一つ解があるらしい…
102:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:12:24.35 DN0vL5hu.net
haskell先生の答え
*Main> let ps = map (!!6) $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 + 6%(6^6) - (sum $ take 6 x)/6^6]) $ [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,0,0,0,0,0,0]
*Main> fromRational $ ps !! 999
2.110296021184187e-2
103:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:17:27.31 Er8xgC3V.net
>>98
あった
*Main> [(x,y)| x<-[4.0,4.5..10.0],y<-[1.0,1.5..7.0],y*(x^2+(3.5)^2-7^2)== -x*(y^2+(3.5)^2-4^2)]
[(4.5,4.5),(6.0,2.0)]
104:１３２人目の素数さん
18/11/06 05:50:54.52 FZJllfOU.net
>>86
g[n] の漸化式は
g[n] - g[n-1] = (1/6)f[n-1] = (1/6)^2 e[n-2] = (1/6)^3 d[n-3] = (1/6)^4 c[n-4] = (1/6)^5 b[n-5]
= (1/6)^6 (1-g[n-6])
となります。したがって p[n] = 1 - g[n] の漸化式は
p[n] = p[n-1] - (1/6)^6 p[n-6],
これは >>85 と同じです。
Memo．
a[n] = p[n] - (1/6)p[n-1] - (1/6)^2 p[n-2] - (1/6)^3 p[n-3] - (1/6)^4 p[n-4] - (1/6)^5 p[n-5],
b[n] = (1/6) p[n-1],
c[n] = (1/6)^2 p[n-2],
d[n] = (1/6)^3 p[n-3],
e[n] = (1/6)^4 p[n-4],
f[n] = (1/6)^5 p[n-5],
g[n] = 1 - p[n],
105:１３２人目の素数さん
18/11/06 06:21:01.93 L5OqW8l+.net
Haskell 先生に聞いてみました。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ps = map head $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 - 1%(6^6) * x!!0]) [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,1%1-1%(6^6)]
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ 1%1 - (ps !! 999)
2.110296021184187e-2
確かにこっちの方がいいね。
106:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:00:46.22 9NNsjRpE.net
>>102
こんな短いコードで算出できるとは驚きです。
107:計算原理がさっぱりわかりません。 個々のコマンドはなんとかわかります。 1-1/(6^6）は何の数値でしょうか？
108:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:04:21.77 9NNsjRpE.net
>>103
>96の線形漸化式の配列化？
109:１３２人目の素数さん
18/11/06 08:57:44.56 9NNsjRpE.net
>>102
ようやくコードの意味が理解できたのでRに移植。
実数計算なので誤差がでます。
f = function(N){
p=numeric()
p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=p[6]=1
for(n in 7:(N+1)){
p[n]=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
}
1-p[N+1]
}
> f(1000)
[1] 0.02110296
110:１３２人目の素数さん
18/11/06 09:04:09.41 9NNsjRpE.net
>>105
表示桁を増やしてみた。
> options(digits=22)
> f(1000)
[1] 0.0211029602118424364221
111:１３２人目の素数さん
18/11/06 12:59:18.08 poLu8oOg.net
>>103-106
もうわかってるみたいだけど参考までに。
>>102はHaskellで漸化式解くときの定石みたいなやつです。
簡単な例ではFibonacci数列を計算するとき
Prelude> let f x = if x <= 2 then 1 else (f $ x-1) + (f $x-2)
Prelude> [f x|x<-[1..30]]
でも
Prelude> let g = map head $ iterate (¥x-> (tail x) ++ [sum x]) [1,1]
Prelude> take 30 g
でもできますが、やってみると速度が段違いです。
なので速度優先のときは後者使います。
しかし後者のほうが優れてるわけではないんですよ。
計算そのものより理論が正しいかどうかとかの議論をしたい時とか、理論の正しさを明らかにしたい時とかなら可読性を優先して前者のほうがよい時もあります。
実際Haskellはその記述に厳しい “一貫性” を課してるので “書きにくいけど読みやすい” のが売りですからねぇ？
計算の数値だけが目的ならHaskell使う意味ありません。
TPO考えて使い分けないとです。
112:１３２人目の素数さん
18/11/06 15:40:04.34 cDO4b4Dm.net
コインを１０００回投げた。連続して表がでる確率が最も高いのは何回連続するときか？
113:１３２人目の素数さん
18/11/06 17:36:12.86 /OX7Wfwz.net
0<|2x^2-y^3|<100√|y|
を満たす整数の組(x,y)が無限に存在することを示せ
114:１３２人目の素数さん
18/11/06 17:39:00.56 FZJllfOU.net
まとめ（？）
ε = 1/(6^6) とおく。
・「123456]を２つ以上含む場合を無視 >>81
1 - p[n] ≒ (n-5)ε
・複数あり、相関を無視 >>84
1 - p[n] = 1 - (1-ε)^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-5)(n-6)ε^2 + (1/6)(n-5)(n-6)(n-7)ε^3 - …
・複数あり、相関あり >>96
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 - …
1 - p[n] = 1 - (1 + 15ε^2 + …)α^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-10)(n-11)ε^2 + …
Python？ Haskell？
プログラムの作れないオジサンは Excel で1000行 使ってますよ。。。
115:１３２人目の素数さん
18/11/06 19:13:07.74 0/M2gc6l.net
>>108
日本語の微妙なニュアンスは、それで合ってるの？
100回のコイントスで連続表の最大回数は
5回がもっとも起こりやすく確率は26% らしいけど
116:１３２人目の素数さん
18/11/06 19:32:20.35 3z562f7u.net
>>108
1000回コインを振って、11連以上、10連以上、．．．、7連以上の表が出る確率はそれぞれ、
0.215431673
0.385449752
0.624240992
0.861144809
0.981783332
なので、最大連続数が、10連、9連、8連、7連となる確率は、それぞれ、
0.170018079
0.23879124
0.236903817
0.120638523
8連と9連がほぼ等しいが、9連となる確率が最も高い。
参考
https
117:://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/462-465
118:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:00:33.66 cDO4b4Dm.net
>>112
１００回で５
１０００回で９
１００００回で１２
１０万回で１５
１０００万回で１８になった。
119:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:04:45.57 cDO4b4Dm.net
>>113
Rのスクリプトはここに置いた。
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:54番)
有理数表示したかったのでPythonに移植
ここで実行可能
# URLﾘﾝｸ(tpcg.io)
サイコロを１万回ふったときに５回以上 及び、丁度５回１の目が続く確率を算出。数字を変えて実行も可能。
120:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:07:29.69 FZJllfOU.net
a = 2^(1/6) は無理数だから、ディリクレの定理より
|p/q - a| < 1/q^2
（「ディオファントス近似」とかいうらしい。）
x = q^3，y = pp とおくと
0 < | 2xx - y^3 | = | 2q^6 - p^6 | < ?
う～む、近似が足りぬ…
121:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:14:11.95 FZJllfOU.net
>>115
では、ニュートン・ラフソン法を使おう。
f(x) = (x^6 -2) / x^(5/2),
として
x ' = x - f(x) / f '(x) = x - 2x(x^6 -2)/(7x^6 +10) = x(5x^6 +14)/(7x^6 +10),
を繰り返す。このとき
x '- a = (x-a)^3 * (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10)
∴ | x '- a | < C |x-a|^3,
さて…
122:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:32:32.09 cDO4b4Dm.net
>>113
１００万回で１８の間違い。
ちなみに１０００万回で２２回（確率は0.2474）だった。
123:１３２人目の素数さん
18/11/06 20:39:21.84 cDO4b4Dm.net
>>117
URLﾘﾝｸ(www.tutorialspoint.com)
だとタイムアウトしたので、オフラインで算出してみた。
Just 22
4456779119136417/18014398509481984
= 0.2474009396866937
124:１３２人目の素数さん
18/11/06 22:06:22.80 0/M2gc6l.net
ある道路では、30分以内に車が通る確率は99.9%である。
では、10分以内に車が通る確率は？
125:１３２人目の素数さん
18/11/06 22:18:24.46 JyIr9Vjq.net
>>119
1-(1-0.999)^(1/3)
=0.9
126:１３２人目の素数さん
18/11/06 23:36:10.05 08uZxk9P.net
>>115
それを満たすp q が無限にあったとしてもそれらが平方数、立方数になってくれてる保証なんかないでしょ？
127:１３２人目の素数さん
18/11/07 00:32:00.28 p6NUZQ5G.net
>>105
分数表示したいのでPythonに移植した。
from fractions import Fraction
def dice126(N):
P=list()
for n in range(6):
P.append(1)
P.append(1-1/(6**6))
for n in range(7,N+1):
P.append(P[n-1]-P[n-6]/(6**6))
return(1-P[N])
def dice123456(N):
print(Fraction(dice126(N)))
print(" = " + str(dice126(N)))
dice123456(1000)
128:１３２人目の素数さん
18/11/07 00:44:06.23 5PMwby1T.net
>>116 （補足）
a = 2^(1/6) として
0 < (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10) ≦ C,
C = 2.706458005831039532180100595416
等号成立は x = 0.903918268122918428596803223653869
129:１３２人目の素数さん
18/11/07 02:28:28.15 Lk/NCQ39.net
>>81
((1-(5/6)^6)^6)/4
130:１３２人目の素数さん
18/11/07 04:43:16.35 5PMwby1T.net
>>96 (補足)
p[0] = p[1] = p[2] = p[3] = p[4] = p[5] = 1
より
p[n] = 1.00000000689307114563713652919α^(n-5) + c_0 β^n + ……
= (1 + 15ε^2 + 220ε^3 + 320ε^4 +…)α^(n-5) + c_0 β^n + ……
c_0 = -0.02813048468
c_1 = 0.03983999218
d_1 = -0.51407117920
c_2 = -0.05049060128
d_2 = 1.438
131:35771780
132:１３２人目の素数さん
18/11/07 09:16:36.43 5PMwby1T.net
>>110 (補足)
ε = 1/(6^6) とする。
p[n] ≒ (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …) α^(n-5)
= (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …)(1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -…)^(n-5)
= 1 -(n-5)ε +(1/2!)(n-10)(n-11)ε^2 -(1/3!)(n-15)(n-16)(n-17)ε^3 +(1/4!)(n-20)(n-21)(n-22)(n-23)ε^4 - …
133:１３２人目の素数さん
18/11/07 17:50:14.73 fQSBmb6Q.net
今んとこ解かれてないのは >>26 >>36 >>42 >>43 >>79 >>109 かね
真ん中二つはリンク先に答えあるみたいだしあれだけども
134:１３２人目の素数さん
18/11/07 19:51:09.21 5PMwby1T.net
>>110 (補足)
ε = 1/(6^6) とする。
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 - …
p[n] = Σ[k=0,∞] Ｃ[n-1-5k，k] (-ε)^k,
135:１３２人目の素数さん
18/11/07 21:09:24.11 p6NUZQ5G.net
某シリツ医大の裏口入学調査委員会が裏口入学は高々10%と報告したとする。
その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
この検証から裏口入学率が10%であるか否かを有意水準1%で検定せよ。
136:１３２人目の素数さん
18/11/07 21:51:21.02 mEYJ0uIZ.net
>>129
＞その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
これは100件の検証結果の中に
・1度だけ4連続裏口入学があった
・複数回4連続裏口入学があった
・1度だけ4以上連続裏口入学があった
・複数回4以上連続裏口入学があった
のどれを意味していますか？
137:１３２人目の素数さん
18/11/07 22:38:16.40 p6NUZQ5G.net
>>130
情報がないとして全ての場合を含む、
１回以上、4以上の連続裏口入学があった場合を考える。
４連続が１回でもいいし、
４連続が２回の後に５連続が１回でもいいとする。
想定したのは
表のでる確率が0.1のコインを100回投げて表が4回以上連続する確率が1%未満かという問題。
138:１３２人目の素数さん
18/11/07 23:02:36.60 PN+gm2kl.net
>>131
４回以上連続することが複数回あっても構わないとする。
139:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:09:05.40 45SX77TX.net
>>128 (訂正)
p[n] = Σ(k=0, [n/5]) C[n-5k, k] (-ε)^k,
でした。 ...orz >>126 は ok
140:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:34:17.78 45SX77TX.net
>>109 >>116
(x, y) = (q^3, pp) とおくと、求めるものは
0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
を満たす整数 (p, q)
そこで 2^(1/6) = a の近似分数の列 p/q = t を次の漸化式で定める。
t ' = t - 2 t (t^6 - 2)/(7 t^6 + 10) = t (5 t^6 + 14)/(7 t^6 + 10),
(p,q) の漸化式は
p ' = p (5p^6 + 14q^6),
q ' = q (7p^6 + 10q^6),
(p,q) = (1,1) のときは成立するが
(p,q) = (19, 17) のときは 2xx -y^3 = 2･17^6 - 19^6 = 1229257 > 100*19
(p,q) = (10889952049, 9701846569) のときは 2xx -y^3 = 2q^6 - p^6 = 2.31865949E+54 > 100･p
(p,q) = (217953260587942275546675683149407795232019596416934847340158868299331811, 194174280472305108606358058802927185430436427469916728412097502845028473)
のときも絶望的でござる。
141:１３２人目の素数さん
18/11/08 02:59:04.34 45SX77TX.net
>>76
Macedonia の人の解答と同じらしいです。
142:１３２人目の素数さん
18/11/08 04:07:51.53 pDHe6HSd.net
>>134
てかその方針そのものが無理なんじゃないの？
もし
>0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
>を満たす整数 (p, q)
が無限にあったら
0 < 2q^6 - p^6 < 100p 又は -100p < 2q^6 - p^6 < 0
になるけど前者なら t = 100p/q^6、b=(p/q)^(-5/6)とおいて
p/q < 2^(1/6) < (p^6/q^6 + 100/q^6)^(1/6) = p/q + tb/6 - 5tb/72 (bt) + 55tb/1296 (bt)^2 + ……
だけど誤差項がO(q^
143:(-5))なので ＞この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。 に矛盾してしまう。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%AE%9A%E7%90%86 後者でも同様。
144:１３２人目の素数さん
18/11/09 05:17:13.44 pvdoV3Z4.net
>>110 >>126 >>128
ε = 1/(6^6) とする。
p[n] = (1 +15ε^2 +220ε^3 +3060ε^4 +42504ε^5 +593775ε^6 +8347680ε^7 + … )α^(n-5)
α は t^6 - t^5 +ε = 0 の根
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 -6690585ε^8 - …
145:１３２人目の素数さん
18/11/09 07:40:24.37 pvdoV3Z4.net
>>96 >>110 >>126 >>128 >>137
t^6 - t^5 +ε = 0 の根は
α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,
c(5, k) = (5/6)C(6k, k)/(6k-1) = C(6k-2, k)/(5k-1),
を一般化カタラン数とか云うらしい。
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
146:１３２人目の素数さん
18/11/09 14:55:14.01 ds1M8gYh.net
>>79
分からないけど、｛a_n｝の母関数の関数等式ができたので一応書いとく
f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n
g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)
h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)
h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)
h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)
とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x) …①
(f(x)-f(-x))/2=g(x) …②
さらに漸化式より
xh1(x^2)=g(x^3) …③
h2(x^2)=xg(x^3) …④
h3(x)=-f(x^3) …⑤
①に x^2 を代入して x 倍
xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
③④⑤より
g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
②より
(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))
うーん…
147:１３２人目の素数さん
18/11/09 16:11:31.59 u44VxTes.net
>>79はデタラメ詰将棋君の香りがする。
ホントに解けるのかどうかかなり疑問ww
148:１３２人目の素数さん
18/11/09 17:20:59.61 UXVKU4RE.net
デタラメ詰将棋君ってなんだよ？ 説明したまえ
149:１３２人目の素数さん
18/11/09 19:33:26.08 ak/GsOoT.net
しらんの？わかスレでこれ答えでんやろって適当な問題連発してるやつ。
とくに彼がだしてる確率系は殆どとけない。
(というか持ってる答えあるなら出してくれといって出したことないのでそう推定している。)
>>79はいかにも彼が好きそうな形。
本人解けたつもりで出してるだけの可能性あり。
150:１３２人目の素数さん
18/11/09 21:24:51.59 EXq8jHLE.net
でたらめ予定調和君
151:１３２人目の素数さん
18/11/09 22:58:54.45 5AnUTlVm.net
コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、表がでる確率の９５％信頼区間を求めよ。
近似解計算で
lower upper
0.2487456 0.6386493
になったけど、自信がない。
152:１３２人目の素数さん
18/11/10 01:10:06.43 TW6tyhOr.net
>>138
>t^6 - t^5 +ε = 0 の根は
>
>α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,
これどうやって証明するんですか？
Link先にも載ってないですけど？
153:１３２人目の素数さん
18/11/10 01:27:10.71 TW6tyhOr.net
あ、わかった。
G.f.: inverse series of y*(1-y)^5.
これだ。
154:１３２人目の素数さん
18/11/10 02:17:14.74 BjsJwiKs.net
>>79は関数等式が作れたので満足ということにしよう
>>26
これも分からないけど
155:考えたことを書いてみる。 区間 [0,√2] で関数の値を決めれば、 等式 f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2 を満たすように実数全体に一意に拡張することができる。 したがって、[0,√2] 上で定数であることを示すことが必要かつ十分。 [0,√2] 上で定数でないと仮定して、有界でないことを導く感じかなあ。 x を大きくすると平均化されて収束しそうなので、逆に x を -∞ の方に持ってくと有界でなくなりそう。
156:１３２人目の素数さん
18/11/10 02:54:00.82 0LaPCkg7.net
>>89
Henry Mancini - Baby Elephant Walk
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
157:１３２人目の素数さん
18/11/10 03:12:05.12 P9RJEHjc.net
諦め早いなあ じゃヒント
>>79
S(n) = Σ_(k=1,n) a_(2k-1) とおくと
S(3n) = Σ_(k=1,n) a_(6k-5) + a_(6k-3) + a_(6k-1)
= Σ_(k=1,n) a_(4k-3) - a_(2k-1) + a_(4k-1)
= S(2n) - S(n)
158:１３２人目の素数さん
18/11/10 03:46:00.82 P9RJEHjc.net
ちなみに言っとくと
>>142 人違いです 書き込んだことあるのはこの面白スレだけなので
あとついでにもう一問
整数 N に対し、rad(N) を N の互いに異なる素因数の積と定める。
正の整数 n に対して (1+√2)^n を展開した時の √2 の係数を a_n とおくと、
n を奇数の中から適切に選んで rad(a_n)/a_n を任意に小さくできることを示せ。
159:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:01:41.49 QJPqV+Y8.net
ヒントあってもムズい。
存在すれば０までは簡単だけど。
160:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:09:34.22 0LaPCkg7.net
>>150
a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n} / (2√2),
{(1+√2)^m + (1-√2)^m}/2 は自然数。
∴ a_{pq} は a_p および a_q で割り切れる。
さて、どうするか？
161:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:35:01.43 EuCYu9xA.net
>>150
こっちの方はできたかな？
RをQ[√2]の整数環とする。
p≡3.5 (mod 8)である素数をとる。
x^2 - 2 = 0は mod p で解を持たないからQ/Zのpの拡大次数は2でpRはRの素イデアル。
とくにa+b√2∈p^iR ⇔ a∈p^iZ かつ b∈p^iZ である。
ここで n をR/p^2Rの乗法群の位数とするとき(1+√2)^n ≡ 1 (mod p^2R)であるからa≡1 (mod p^2) かつ b≡0 (mod p^2)である。
とくにこのとき rad b ≦ b/p であるから rad b / b ≦ 1/p となる。
p≡3.5 (mod 8)である素数は無数にあるから主張は示された。
162:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:45:34.35 EuCYu9xA.net
あれ？素数取り直す必要ないか。
R/3^iRの乗法群の位数をnとすれば(1+√2)^n = a + b√2 とおくとき同様にしてb ≡ 0 (mod 3^i)だから
b / rad b ≦ 1/3^(i-1)でいいのか。
163:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:57:33.06 P9RJEHjc.net
>>153
その n が奇数になる保証はあるかい？
164:１３２人目の素数さん
18/11/10 05:59:55.44 EuCYu9xA.net
ありゃ？とすると代数的整数論のテクニック使う必要すらないや。
(1+√2)^(8・3^(i-1)) = a[i] + b[i]√2 とおいて a[i] ≡ 1 (mod 3^i)、b[i] ≡ 0 (mod 3^i) を帰納法で示せばいいだけだ。
165:１３２人目の素数さん
18/11/10 06:01:19.90 EuCYu9xA.net
あ、奇数っていう制限もあるのか。
166:１３２人目の素数さん
18/11/10 06:03:33.77 0LaPCkg7.net
>>152
n = (2^r) -1 のとき a_
167:n は 2n-1 で割り切れるらしい。 といっても平方因子じゃないが… a_7 = 13^2, a_15 = 5^2･29･269,
168:１３２人目の素数さん
18/11/10 06:31:54.82 EuCYu9xA.net
>>155
とりあえず代数的整数論つかえば n が奇数もクリアできた。
p ≡ 3、5 (mod 8)にとっておけば p^2 ≡ 9 (mod 16)なのでRの乗法群の位数は16で割り切れない。
とくに 1+√2 + pR がある数の8乗であれば1+√2 + pRの位数は奇数である。
よって 方程式 x^8 - (1+√2) が R/pRで完全分解する素数pをとればよい。
そのような素数はチェボタレフ密度定理により無限にある。
169:１３２人目の素数さん
18/11/10 06:33:49.21 EuCYu9xA.net
かいたあとに気づく。orz。これも初等的にいける。けど、もういいや。これで。
170:１３２人目の素数さん
18/11/10 06:36:20.52 0LaPCkg7.net
>>158
と思ったが、間違えたようだ。ｽﾏｿ
171:１３２人目の素数さん
18/11/10 07:34:42.59 0LaPCkg7.net
>>158
どうやれば平方因子が（無限に）出てくるか、という問題らしいけど、サパーリです。
172:１３２人目の素数さん
18/11/10 11:22:16.94 QJ6NJqU7.net
コインを１００回投げて表が連続した最大数が５のとき、
表がでる確率の期待値と最頻値および９５％信頼区間を求めよ。
173:１３２人目の素数さん
18/11/10 12:31:29.30 8Fs/tUZA.net
>>159
それは題意とは別のことの証明みたい
nを奇数に制限した時に数列 a_n に素因数が無限に出現することの証明 これもこれですごいんだけど
174:１３２人目の素数さん
18/11/10 13:53:36.51 mkbHRdk3.net
>>155
初等的に。
(1+√2)^n = a[n] + b[n]√2 (a[n],b[n]∈Z) として b[3・5^i] ≡ 0 (mod 5^(i+1))をしめす。
i=0のとき(1+√2)^3 = 7+5√2より成立。
i=kで成立するとしてi=k+1のとき
b[3・5^(i+1)] = 5a[3・5^i]^4 b[3・5^i] + 10a[3・5^i]^2 b[3・5^i]^3 + b[3・5^i]^5
だから成立。
これを用いて
rad b[3・5^i]/b[3・5^i] ≦ 1/5^i。
175:１３２人目の素数さん
18/11/10 18:49:11.34 zIdKF+X8.net
>>149
もうちょいおながいします。
176:１３２人目の素数さん
18/11/10 19:05:10.64 0LaPCkg7.net
>>150 >>165
n=3･5^i のとき
a_n = {(1+√2)^n - (1-√2)^n}/(2√2) ≡ 0, (mod 5^(i+1))
(略証)
iについての帰納法で
i=0、n=3 のとき
a_3 = {(1+√2)^3 - (1-√2)^3}/(2√2) = 5 ≡ 0, (mod 5)
m で成立するとして n=5m のとき
a_{5m} / a_m = {(1+√2)^(5m) - (1-√2)^(5m)} / {(1+√2)^m - (1-√2)^m}
= {(1+√2)^(4m) + (1-√2)^(4m)} + (-1)^m･{(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m)} +1
= {64(a_m)^2 + 32(-1)^m}^2 +2} + (-1)^m･{8(a_m)^2 + 2(-1)^m} +1
= 64(a_m)^4 + 40(-1)^m･(a_m)^2 + 5
≡ 0 (mod 5), (← a_m≡0)
だから n=5m でも成立。
ここで
(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m) = {(1+√2)^m - (1-√2)^m}^2 + 2(-1)^m
= 8(a_m)^2 + 2(-1)^m,
(1+√2)^(4m) + (1-√2)^(4m) = {(1+√2)^(2m) + (1-√2)^(2m)}^2 - 2
= {8(a_m)^2 + 2(-1)^m}^2 - 2
= 64(a_m)^2 + 32(-1)^m (a_m)^2 + 2,
を使った。
177:１３２人目の素数さん
18/11/10 22:23:10.80 P9RJEHjc.net
>>165 >>167
正解 実は自分もこのくらい初等的な証明の存在は投稿してから気づいた
>>166
しょうがないなあ
>>149 の続き
a_n の絶対値は全て１であるから n>m の時
|S(n)-S(m)| = |Σ_(k=m+1,n) a_(2k-1)|
≦ Σ_(k=m+1,n) |a_(2k-1)|
= n-m.
したがって、一般の n,m≧1 について
|S(n)-S(m)| ≦ |n-m|
が成り立つ。これと >>149 の式を組み合わせると…？
178:１３２人目の素数さん
18/11/11 00:03:41.56 6OpEPnNJ.net
>>168
|S(3n)|≦nですか？
答え0と予想してるんですけど？
1/3?
179:１３２人目の素数さん
18/11/11 00:17:10.76 6OpEPnNJ.net
あ、いや、なるほど！わかったかも！
でも偶数項もなんとかせねば！
180:１３２人目の素数さん
18/11/11 00:23:46.00 6OpEPnNJ.net
気のせいだった。ムズイ
181:１３２人目の素数さん
18/11/11 02:26:17.27 sLf3laj9.net
>>167 のようにおくと
a_{5m} = 64(a_m)^5 + 40(-1)^m･(a_m)^3 + 5 a_m,
(略証)
mについての帰納法による。
m=1 のとき
a_1 = 1，a_
182:5 = 29 だから成立。 m 以下で成立すれば… a_{m+1} - a_{m-1} = 2a_m = 2a, a_{m+1}a_{m-1} = (a_m)^2 + (-1)^m = aa + (-1)^m, から a_{m+1}^3 - a_{m-1}^3 = 2a[(2a)^2 +3{aa+(-1)^m}] = 14a^3 +6(-1)^m a, a_{m+1}^5 - a_{m-1}^5 = 2a[(2a)^4 +5(4aa){aa+(-1)^m} +5{aa+(-1)^m}^2] = 82a^5 +60(-1)^m a^3 +10a, が出る。また、 64(a_{m+1})^5 + 40(-1)^{m+1}･(a_{m+1})^3 + 5a_{m+1} - a_{5(m-1)} = 64(a_{m+1}^5 - a_{m-1}^5) - 40(-1)^m･(a_{m+1}^3 - a_{m-1}^3) + 5(a_{m+1} - a_{m-1}) = 64{82a^5 + 60(-1)^m･a^3 + 10a} - 40{14(-1)^m a^3 + 6a} ＋ 10a = 82{64a^5 + 40(-1)^m･a^3 + 5a} = 82 a_{5m}, (← 帰納法の仮定) 以上により a_{5(m+1)} = 82a_{5m} + a_{5(m-1)} = 64(a_{m+1})^5 + 40(-1)^{m+1}･(a_{m+1})^3 + 5a_{m+1}, ∴ m+1 でも成立する。
183:１３２人目の素数さん
18/11/11 03:18:51.59 /I0SuFdi.net
>>149
できたかも。
まず>>149を一般化して
S[3N] = S[2N] - S[N]
S[3N-1] = S[2N-1] - S[N]
S[3N+1] = S[2N+1] - S[N]
さらにT[N] = Σ[n≦2N, n:evev] a[n]とおいて
T[3N] = S[2N] - T[N]。
T[3N+1] = S[2N+1] - T[N]。
T[3N-1] = S[2N-1] - T[N]。
まず|S[N]|、|T[N]| ≦ N^(3/4)(log (3*N)))^2を示す。
f(x) = x^(3/4)(log (x+1))^2とおくときx≧1において多分
f(3x)≦f(2x) + f(x)、
f(3x+1)≦f(2x+1) + f(x)、
f(3x-1)≦f(2x-1) + f(x)
である。(∵パソコンでグラフ描いてみた)
よって成立。
よって
lim[n→∞](S[N]+T[N])/N = 0
である。
184:１３２人目の素数さん
18/11/11 04:37:04.53 WkH7Bxld.net
>>173
あれ？なんかおかしい気がする。
ひとまず撤回。
185:１３２人目の素数さん
18/11/11 04:40:28.26 3J0JXQFX.net
今わかった。はっきりおかしい。orz。>>173無視してください。
186:１３２人目の素数さん
18/11/11 05:41:25.27 /oKi5paQ.net
>>26が一応できたけど、証明が長くなった。
もし模範解答が短いなら書くだけ損なので、あまり書きたくないｗ
187:１３２人目の素数さん
18/11/11 05:44:17.33 /oKi5paQ.net
>>79は2種類の証明ができて、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 が証明できた。
1つ目の方法は、正の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k－1) と置いてから、
>>149の類似品を作って、それを展開しまくってたくさんのS(x)の和にしたあとに、
その和を適当に区切ってからそれぞれ評価して、
limsup_x S(x)/x と liminf_x S(x)/x を考える方法。
簡単だけど計算がごちゃごちゃしてて、8レスくらいになった。
計算ミスしてる可能性もある。
2つ目の方法は、>>149の類似品を使いながら、素数定理の簡単な証明
URLﾘﾝｸ(people.mpim-bonn.mpg.de)
と同じやり方を使う方法。実はこっちの方が先にできた。これは7レスくらい。
188:１３２人目の素数さん
18/11/11 10:17:49.16 6OpEPnNJ.net
>>177
おお、素晴らしい。あげてくださりませ。
189:１３２人目の素数さん
18/11/11 10:22:49.91 6OpEPnNJ.net
そうなんだよね～
ディリクレ級数はまず真っ先に思いつくのはつくんだけど、母関数と違って関数等式作れなくてs=1近傍での振る舞いが確定できなかった。
どうやったんですか？
関数等式作れました？
190:１３２人目の素数さん
18/11/11 13:14:33.63 FVh8W5vn.net
>>177
んーなんかできてるっぽいね やや略式ではあるけど一応答え載せときます
（これからも答え複雑になりそうな時はこんくらい省いても問題ないんじゃないかな まあでもこれは個人の感覚か）
>>149 を使って、例えば
S(9n) = S(6n)-S(3n) = S(6n)-S(2n)+S(n) = S(4n)-2S(2n)+S(n)
のように、S(3N) を S(2N)-S(N) に置き換える操作�
191:Jり返していく時、各辺を Σ_(c∈C) σ(c)S(cn) (Cは正整数の有限集合、各cに対してσ(c)は整数) とおいた時の Σ_(c∈C) |σ(c)c| の値は操作により増加しないことがわかる。 （このことは、操作を適用する項だけに着目して、その項の操作前後の変化を考えればわかる） （上の例では 9 ≧ 6+3 ≧ 6+2+1 ≧ 4+2*2+1） したがって、a>b>0 かつaとbの偶奇が一致しない時 S((3^a)n) = S((2^a)n) - S((3^b)n) + (それ以外) と展開することができることから、limsup |S(n)/n|=μ とおくと >>168 から (3^a)μ ≦ |2^a-3^b| + limsup((それ以外)/n) ≦|2^a-3^b| + (3^a-2^a-3^b)μ. よって、μ ≦ |2^a-3^b|/(2^a+3^b). ディリクレのディオファントス近似定理より |mlog_3(2) - (1/2)log_3(2) - m'| (m,m'は十分大きい正の整数) は任意に小さくすることができるので、 a=2m-1, b=2m' とおけば a,b は条件を満たし、|2^a-3^b| も (2^a+3^b) と比べて任意に小さくなる。 ゆえに、μ=0. さらに >>173 の T(n) について limsup|T(n)/n|=ν とおくと、 3ν = limsup|T(3n)/n| ≦ limsup|S(2n)/n| + limsup|T(n)/n| = ν から、ν=0. 以上より、示された。
192:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:15:47.83 FVh8W5vn.net
よければ >>177 の手法ももうちょい詳しく聞いてみたいな
ここからはやや余談。コラッツの問題は
f(n)=n/2 (if 2|n), 3n+1 (otherwise)
とおいた時 f の合成による値の挙動を問う問題でご存知の通りまだ未解決なんだけど、
kを正の整数として『（１に到達するまでの操作の回数）mod k』で自然数を分類した時に何か言えないか？
を考えることができるのではと思い、感触をつかむためまず手始めに
g(n)=n/3 (if 3|n), 2n+1に最も近い3の倍数 (otherwize)
とした時にできる同類の問題を考えてみた、というのが >>79 の問題。
どんな自然数もgの合成でいずれ1に到達することは簡単にわかるけど、
それでもこの問題の（思いつく限り簡単な）解は >>180 のようにやや込み入ったものになっていて、以外、という印象。
本来のコラッツ数列で同類の問題を考えた時にどうなるかは、少なくとも自分には未解決です
あと実は >>26 は >>79 の解からも着想を得てできた問題で、要は
「動き方が制限されている関数（実→実関数の連続性、整数→整数関数のリプシッツ連続性、等）に
非有理的な”漸化式”（f(x),f(x+1),f(x+√2)間、S(n),S(2n),S(3n)間、等）を設けた時の挙動」
を問う問題を他にも作ってみたい、という感じでできたものでした まあ解法は若干違うものになったんだけど…
>>26 の想定解は >>180 と同じぐらいかそれ以下の分量なんだけど、
他の方法も見てみたいし、もしお時間あれば概略だけでも是非書いてみてくださいな
193:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:18:07.45 FVh8W5vn.net
以外、じゃねえ、意外
194:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:23:27.97 FVh8W5vn.net
連投すまん。
g(n)=n/3 (if 3|n), 2nに最も近い3の倍数 (otherwise)
でした
195:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:33:02.52 /oKi5paQ.net
>>79の解答。
正の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k－1) と置く。
ただし、0＜x＜1のときは S(x)＝0 と定義する。
η(x)＝S(3x)－S(2x)＋S(x) (x＞0)
と置くと、>>149と同じような計算をして、η(x)は有界であることが示せる。
α＝limsup_(x→∞)S(x)/x, β＝liminf_(x→∞)S(x)/x と置くと、
－1≦β≦α≦1 である。α＝β＝0 を示したい。
S(3x)＝S(2x)－S(x)＋η(x) をxで割ってlimsup_xを取ると、
3α≦2α－β となるので、α＋β≦0 となる。また、liminf_xを取ると
3β≧2β－α となるので、α＋β≧0 となる。よって、α＋β＝0 となる。
β≦αにより0＝α＋β≦2αとなるので、0≦αとなる。
196:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:36:34.89 /oKi5paQ.net
次に、S(3x)＝S(2x)－S(x)＋η(x) において、x＞0をx/3＞0で置き換えると
S(x)＝S((2/3)x)－S(x/3)＋η(x/3) となるので、n≧1とx＞0に対して、帰納的に
S(x)＝S((2/3)^n x)－Σ(k＝0～n－1)S((2/3)^k x/3)＋Σ(k＝0～n－1)η((2/3)^k x/3)
が成り立つ。特にx＞1のとき、n_x＝[log_{3/2}x]＋1と置けば、
0 ＜ (2/3)^{n_x} x ＜ 1 となるので、S((2/3)^{n_x} x)＝0 であり、
S(x)＝－Σ(k＝0～n_x－1)S((2/3)^k x/3)＋Σ(k＝0～n_x－1)η((2/3)^k x/3)
となる。この式では、Σの部分は n_x－1 までの和なので、
x に依存して和の項数が増えることに注意。
197:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:40:11.70 /oKi5paQ.net
ηが有界であることから、x のオーダーとして
Σ(k＝0～n_x－1)η((2/3)^k x/3)＝O(n_x)＝O([log_{3/2}x]＋1)＝O(log x) (x→∞)
である。よって、
S(x)＝－Σ(k＝0～n_x－1)S((2/3)^k x/3)＋O(log x)
である。次に、s(x)＝S(x)/x (x＞0) と置く。－1≦s(x)≦1である。上の式をxで割って
s(x)＝－Σ(k＝0～n_x－1) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)＋o(1)
となる(o(1)の部分は、こだわるならO((log x)/x)と書いた方が精密だが、ここではo(1)で十分)。
ここで、δ＞1を任意に取って固定する。Σの部分を
Σ(k＝0～n_x－1) ＝ Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ)＋Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ)
と分解する。
198:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:42:57.29 /oKi5paQ.net
Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)
≧Σ(k：(2/3)^k x/3＜δ) (2/3)^k (1/3)(－1)
＝Σ(log_{3/2}(x/(3δ))＜k≦n_x－1) (2/3)^k (1/3)(－1)
≧Σ([log_{3/2}(x/(3δ))]＜k) (2/3)^k (1/3)(－1)
＝(－1/3)(2/3)^{ 1＋[log_{3/2}(x/(3δ))] } * 1/(1－2/3)
＝o(1)
である。
199:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:45:18.55 /oKi5paQ.net
また、
Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)
≧Σ(k：(2/3)^k x/3≧δ) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝Σ(1≦k≦log_{3/2}(x/(3δ))) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝Σ(1≦k≦[log_{3/2}(x/(3δ))]) (2/3)^k (1/3) inf(t≧δ)s(t)
＝(1/3)(2/3)(1－(2/3)^{ [log_{3/2}(x/(3δ))] })/(1－2/3) * inf(t≧δ)s(t)
＝(1/3)(2/3)(1－o(1))/(1－2/3) * inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)(1-o(1)) * inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)inf(t≧δ)s(t)－(2/3)o(1)inf(t≧δ)s(t)
＝(2/3)inf(t≧δ)s(t)＋o(1)
である。
200:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:48:06.02 /oKi5paQ.net
これらの不等式を
s(x)＝－Σ(k＝0～n_x－1) (2/3)^k (1/3) s((2/3)^k x/3)＋o(1)
と合わせて、
s(x) ≦ o(1)－(2/3)inf(t≧δ)s(t)
となるので、limsup_x を取って α≦－(2/3)inf(t≧δ)s(t) となる。
δ＞1は任意だから、δ→∞として、α≦－(2/3)β となる。
よって、3α＋2β≦0 となるので、α＋β＝0によりα≦0となる。
一方でα≧0だったから、α＝0となる。よって、β＝0となる。
よって、lim(x→∞) S(x)/x＝0 である。
201:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:51:36.06 /oKi5paQ.net
次に、正の実数xに対して T(x)＝Σ_(1≦k≦x)a_k と置く。
ただし、0＜x＜1 のときは T(x)＝0 と定義する。
ν(x)＝T(3x)＋T(x)－2S(x) (x＞0) と置くと、ν(x) は有界であることが示せる。
α＝limsup_(x→∞) T(x)/x, β＝liminf_(x→∞) T(x)/x と置く。
－1≦β≦α≦1である。T(3x)＝－T(x)＋2S(x)＋ν(x) をxで割って
limsup_x を取れば、3α＝－β となる。また、liminf_x を取れば、3β＝－α となる。
よって、α＝β＝0となるので、lim_(x→∞) T(x)/x＝0 となる。
よって、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 である。
202:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:55:49.03 /oKi5paQ.net
次は素数定理のやり方。
1以上の実数xに対して S(x)＝Σ(1≦k≦x) a(2k－1) と置く。
η(x)＝S(3x)－S(2x)＋S(x) (x≧1) と置くと、η(x)は有界であることが示せる。
次に、Re(z)＞1を満たす複素数zに対して
f(z)＝∫(1,∞) S(x)/x^{1＋z}dx
と置くと、f(z)はRe(z)＞1の範囲の正則関数である。変数変換で
f(z)＝∫(1/3,∞) S(3x)/(3x)^{1＋z}3dx
としてから S(3x)＝S(2x)－S(x)＋η(x) を使って変形すれば、
面倒くさいので詳細は省略するが、ある具体的なg(z)に対して
(1－(2^z－1)/3^z)f(z)＝g(z)
という形になって、しかもg(z)はRe(z)＞0の範囲の正則関数になることが示せる。
203:１３２人目の素数さん
18/11/11 14:59:42.91 /oKi5paQ.net
次に、Re(z)≧1のとき (1－(2^z－1)/3^z)≠0 となることが示せる(自明ではないが)ので、
h(z)＝g(z)/(1－(2^z－1)/3^z)
が Re(z)≧1 の範囲で定義できて、Re(z)＞1の範囲ではh(z)は正則である。
また、Re(z)＝1上の各点zに対して、(1－(2^z－1)/3^z)≠0 であるから、
zごとに、zを含む十分小さな開円盤B(円の半径はzに依存する)が存在して、
各点 w∈B で (1－(2^w－1)/3^w)≠0 である。
よって、B上でも h(w)＝g(w)/(1－(2^w－1)/3^w) が定義できて、B上でh(w)は正則である。
よって、Re(z)≧1という範囲を包含するある連結開集合Uが存在して、
z∈U のとき h(z)＝g(z)/(1－(2^z－1)/3^z) が定義できて、
hはU上の正則関数である。また、Re(z)＞1のときは f(z)＝h(z) である。
よって、fはU上の正則関数に解析接続され�
204:驕B
205:１３２人目の素数さん
18/11/11 15:02:30.04 /oKi5paQ.net
s(x)＝S(x)/x (x≧1)と置けば、sは有界であり、変数変換により
f(z)＝∫(0,∞) s(e^x)e^{－(z－1)x}dx (Re(z)＞1)
となるので、fがU上の正則関数に解析接続されることから、
>>177のpdfの analytic theorem により、∫(0,∞) s(e^x)dx が存在する。
変数変換して、∫(1,∞) S(t)/t^2dt が存在する。
206:１３２人目の素数さん
18/11/11 15:05:12.24 /oKi5paQ.net
ここで、>>177のpdfの(VI)と似たような計算をする。λ＞1を満たす実数λを任意に取る。
∫(1,∞) S(t)/t^2dt が存在することから、lim_(x→∞)∫(x,λx)S(t)/t^2dt＝0 である。
また、1≦x≦t≦λxのとき｜S(x)－S(t)｜≦[t]－[x] なので、
∫(x,λx)S(t)/t^2dt≧∫(x,λx)(S(x)＋[x]－[t])/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1－1/λ)－∫(x,λx)[t]/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1－1/λ)－∫(x,λx)(t－{t})/t^2dt
＝(S(x)＋[x])(1/x)(1－1/λ)－logλ＋∫(x,λx){t}/t^2dt
≧(S(x)＋[x])(1/x)(1－1/λ)－logλ
となる。limsup_(x→∞)として、0≧(limsup_x S(x)/x＋1)(1－1/λ)－logλ
となるので、limsup_x S(x)/x ≦ (logλ)/(1－1/λ)－1 となる。
λ＞1は任意だから、λ↓1として、limsup_x S(x)/x ≦ 1－1＝0 となる。
207:１３２人目の素数さん
18/11/11 15:07:14.14 /oKi5paQ.net
次に、N(x)＝－S(x) と置くと、∫(1,∞) N(t)/t^2dt が存在して、
1≦x≦yのとき｜N(y)－N(x)｜≦[y]－[x]である。よって、
>>194の計算をN(x)に置き換えても成立して、limsup_x N(x)/x≦0 となる。
よって、liminf_x S(x)/x≧0 となる。よって、
0≦liminf_x S(x)/x≦limsup_x S(x)/x≦0
となったので、lim_(x→∞) S(x)/x＝0 である。
あとは>>190と同じようにして、lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k＝0 が示せる。
208:１３２人目の素数さん
18/11/11 16:01:29.89 oRKvGZPH.net
η有界なの？
計算機で実験したら極めてゆっくりではあるけど(nが6桁くらいで3桁くらいになる)なんかlogオーダーぐらいで揺れてそうだったけど。
多分揺れても高々logオーダーなのでxで割った時点で大丈夫なんだけど。
実験するとηもだけどS本体もlogオーダーの何乗かでは抑えられてそうなんだけどなぁ。