現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む53

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609:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 
 18/10/28 05:27:02.97 6dvusTGC.net
>>606 
>何でg(y)なんだろうね。y→xなんだから普通g(x)じゃね 
当時、同じことを思ったね 
いまの場合、ｘを固定しているんだ 
だから、定数aを使って 
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し 
上極限が 
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x－a｜<δ g(x) 
と定義される.” 
と書くのが、普通の数学の書き方だと思った 
なお 
lim sup については、下記を併読してもらうのがいいだろう 
（あるいは検索すれば、もっと分り易いものが見つかるだろう） 
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90 
上極限と下極限

610:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 
 18/10/28 05:30:25.70 6dvusTGC.net
>>605 
えーと、最初は下記引用の話からスタートしたのだがね 
まあ、彼は背理法被害者でしょう 
証明の細部は、素晴らしくレベル高いと思う 
但し、定理の立て方が、いかにも背理法狙いで、かつ定理の持つ意味を深く考えていないことが大問題だね 
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422-423 
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 
(抜粋) 
422 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4] 
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、 
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。 
定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。 
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で 
リプシッツ連続である。 
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」 
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、 
R－Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f 
となるので、 
R－B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) 
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で 
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。 
423 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 18:28:51.02 ID:Brtx3QWc [3/5] 
>>421-422 
あ、まだ詳細な証明を書いて確認してはいなかったんだけど、例えば 
f(0)＝f(1)＝1、 
任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 
超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a 
というようにして区間 [0,1] で定義された実関数 f(x) を考えていたんだけど、x＝0,1 のときはともかく、 
x∈(0,1 )が無理数、b＝p/q∈(0,1) が有理数のときも |(f(x)－f(b))/(x－b)|＝1 となって間違いなのか。 
(引用終り)

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