18/10/17 18:35:04.96 2tWO+ewo.net
スレ主の>>334の屁理屈は、ベールのカテゴリ定理の証明そのものにも通用してしまうので、
ベールのカテゴリ定理で同じことをしてみよう。まずは、ベールのカテゴリ定理とその証明を復習。
――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
Rの閉集合列{E_n}_nがR⊂∪_nE_nを満たすなら、あるE_nは開区間を含んでいる。
――――――――――――――――
――――――――――――――――
[ベールのカテゴリ定理の証明]
Rの閉集合列{E_n}_nは、R⊂∪_nE_nを満たすとする。
(1) どのR－E_nもRの中で稠密
(2) それ以外
で場合分けする。
(1)の場合は、～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるnに対してR－E_nはRの中で稠密でない。
つまり、あるE_nは開区間を含んでいる。
――――――――――――――――
351:１３２人目の素数さん
18/10/17 18:37:26.55 2tWO+ewo.net
ベールのカテゴリ定理を証明しようと思ったら、ベールのカテゴリ定理の反例となるケースは、
証明の中でその存在性が否定されなければならない。例えば、どのR－E_nもRの中で稠密であるケースは
ベールのカテゴリ定理の反例になるので、証明の中でそのようなケースの存在性が否定されなければならない。
そのような記述が出来ていないなら、原理的には、反例となるケースが存在性を否定されずに
証明を通過できてしまうので、それでは反例の可能性が潰しきれておらず、ベールのカテゴリ定理の証明にならない。
>>350の証明では、反例となるケースは必ず(1)に流れ込んで消滅するようになっている。
だから、反例となるケースを提案するたびに、そのようなケースは(1)に流れ込んで消滅する。
試しに、反例となるケースを1つ提案してみよう。ここでは、
「閉集合列{E_n}_nであって、R⊂∪_nE_nが成り立ち、どのR－E_nもRの中で稠密であるもの」
を提案してみよう。このような閉集合列{E_n}_nはベールのカテゴリ定理の反例になるので、
証明の中で、このような閉集合列{E_n}_nの存在性が否定されなければならない。
実際、これは>>350の(1)のケースに流れ込むので、そのあと矛盾し、よって存在性が否定される。
352:１３２人目の素数さん
18/10/17 18:39:14.08 2tWO+ewo.net
すると、スレ主の>>334の屁理屈によれば、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――
「証明の中の(1)によって、存在性が否定されている」 なら、それを定理に含めてはいけない！
含めると、「白いクロネコ」 になるよ！
『”「閉集合列{E_n}_nであって、R⊂∪_nE_nが成り立ち、どのR－E_nもRの中で稠密であるもの」”は、あるE_nが開区間を含んでいる』
という命題を、ベールのカテゴリ定理は含んでいる
”それで良いの？ いいんです！” ということを、ベールのカテゴリ定理は主張しているんだ～～（＾＾；
―――――――――――――――――――――――――――
この男は一体なにがしたいのだろう。
これで何を批判したつもりになっているのだろう。
ベールのカテゴリ定理は間違っていると言いたいのだろうか？
いや、ベールのカテゴリ定理は正しい定理だから、それはない。
では、ベールのカテゴリ定理の証明には不備があると言いたいのだろうか？
いや、この証明は既存の証明をコピペしているだけだから、証明に不備はない。
では、この男は一体なにを批判したつもりになっているのだろう。
353:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/17 20:49:48.48 4iQdHcJt.net
>>352
数学において定理とは・・、
一般的に「まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている」
”前提条件→結論”の形な
で、いまどき中学生でも知っていることだが、数学の定理は”前提条件を満たせば、必ず結論が成り立たなければならない”
（数学は、そうして定理の連鎖の積み重ねで理論体系を成す。「前提条件を満たせば必ず結論が成り立つ」の例外を許せば、定理の連鎖ができないでしょ？（下記） （＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定理
(抜粋)
定理（ていり、英: theorem）とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。
一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。
前提条件：f(X) は複素数係数の定数でない多項式である。
結論：f(X) は複素数の根を持つ。
ある一定の条件（公理系）下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。
(引用終り)
つづく
354:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/17 20:51:24.38 4iQdHcJt.net
>>353
つづき
さて、例をあげよう。
ある数の集合Uで、ｘ∈Uで、結論：ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)を、考えよう
複素数Cでは、これは成り立たない
反例として純虚数をとると ｉ^2 = -1 < 0 となるからである
しかし、このような反例を除くべく、実数Rに限定して
定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
は数学の定理として、完全に正しい
つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”というのが私の主張であり
定理1.7の条件節への批判である
以上
355:１３２人目の素数さん
18/10/17 21:48:26.57 2tWO+ewo.net
>>354
＞定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
＞は数学の定理として、完全に正しい
スレ主がそこで「定理」と書いているように、
x∈Rのときにx^2≧0が成り立つことは証明が必要だよ。
証明がない状態では、「x∈R」という条件節だけで果たして本当に
x^2＜0となる反例が存在しないのかは確定しないよ。
そのことが確定するのは、証明を通過した後の話だよ。
つまり、証明の中で反例の存在性を潰した後になって初めて、
「ああ、この条件節で問題ないんだな」
ということが確定するんだよ。つまり、スレ主の詭弁を使えば、
「x∈R」でさえも「反例を除いた形の条件節になってない」ってことが言えてしまうよ。
356:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:06:20.10 2tWO+ewo.net
俺からの反論は>>355で十分なのだが、一応レスしておく。
＞つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”というのが私の主張であり
＞定理1.7の条件節への批判である
つまり、現状のままの条件節では、「反例を除いた形の条件節になってない」と言いたいわけだな？では、
「現状のままの条件節では除ききれていない反例」
を、具体的に1つ提案してみてくれよ。その反例は、日本語としてどのように表現されるんだ？
現状の条件節は「R－B_fは第一類集合」というものだから、提案すべき反例は、日本語としては
「R－B_fが第一類集合で、かつ〇〇を満たす関数」
という形で表現するしかないよな？このような形で表現される何らかの関数が、
現状のままの条件節では除ききれていない反例になるんだよな？
357:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:08:33.33 2tWO+ewo.net
じゃあ、俺の方から
「R－B_fが第一類集合で、かつトマエ型になっている関数」
を提案してみようか。これは、現状のままの条件節では除ききれてないのかな？
いや、除ききれている。なぜなら、定理1.7の証明の中で、このような関数の存在性が否定されるからだ。
同様にして、どんな反例を提案してみても、定理1.7の証明の中で、そのような関数の存在性が否定される。
よって、現状のままの条件節できちんと除ききれている。
358:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:10:29.01 2tWO+ewo.net
しかし、ここでスレ主は、次のように主張している。
「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！その定理の証明を使うことなく、
その定理の条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」
しかし、その定理の証明を使ってはいけないのであれば、
「その定理が未証明の状態から出発して、しかも何の証明も使うことなく消滅させろ」
と言っているのと同じことである。つまり、
「その定理が成り立つか否かは不明の状態から出発して、しかも何の証明も使うことなく消滅させろ」
と言っているのと同じことである。
359:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:12:17.32 2tWO+ewo.net
よって、スレ主は次のように言っていることになる。
「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！
その定理が成立するか否かは不明の状態で、その定理の条件節とバッティングした時点で、
何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」
これはとんでもない制限ルールである。
しかし、スレ主はそのような制限ルールを課しているのである。
このルールを突破できた条件節のみが、スレ主が認める条件節なのである。
360:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:17:14.31 2tWO+ewo.net
ではここで、ベールのカテゴリ定理に再登場していただこう。
もっとこの話題に適した定理があるかもしれないが、とりあえずはベールのカテゴリ定理で。
――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たすとする。
このとき、あるE_nは開区間を含んでいる。
――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理の条件節は
「E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たす」
というものである。この条件節は果たして、スレ主が言うところの
「反例を除いた形の条件節になっている」のだろうか？
もしそうなっているなら、反例の候補を日本語で書いてみたところで、
条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に、
そのような反例が消滅するはずである。
361:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:21:01.64 2tWO+ewo.net
じゃあ、俺の方から
(☆)「E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たし、どのR－E_nもRの中で稠密である」
という{E_n}_nを提案してみよう。このような閉集合列{E_n}_nはベールのカテゴリ定理の反例になるので、
もしベールのカテゴリ定理の条件節が「反例を除いた形の条件節になっている」のならば、
(☆)の文章を書いた時点で自動的に、何の証明もなしに、(☆)のような{E_n}_nが消滅するはずである。
もし、"先にベールのカテゴリ定理を利用していいのであれば"、ベールのカテゴリ定理により、
(☆)のような{E_n}_nは自動的に消滅してくれる。しかし、ここで>>359の制限ルールを思い出そう。
スレ主は次のように言っているのだ。
「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！
その定理が 成 立 す る か 否 か は 不 明 の 状 態 で、
その定理の条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」
362:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:24:53.00 2tWO+ewo.net
よって、(☆)を消滅させるのにベールのカテゴリ定理を利用することはできない。そもそも、
スレ主の制限ルールによれば、ベールのカテゴリ定理が成り立つかどうかは不明の状態から
出発しなければならない。
しかし、ベールのカテゴリ定理が成り立つかどうかが不明の状態から出発するなら、
(☆)が消滅するための理由が欠落した状態から出発することになるので、
しかも何の証明もしてはいけないのだから、これでは絶対に(☆)は消えないｗ
それでも「消える」と言い張るのであれば、それはつまり、
「知識としてベールのカテゴリ定理を全く知らない人間であっても、
(☆)を見ただけで何の証明もなしに、(☆)を自明に消滅させることができる」
と言っているのと同じことである。
つまり、ベールのカテゴリ定理の存在意義がなくなるｗ
363:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:27:11.43 2tWO+ewo.net
もったいぶってもしょうがないので結論に入るが、
このような制限ルールのもとでは、(☆)のような{E_n}_nは絶対に消滅しない。
なぜなら、(☆)のようなケースが存在しないことと、ベールのカテゴリ定理が成立することは同値だからだ。
言い換えれば、ベールのカテゴリ定理が成り立つか否かが不明の状態で何の証明もなしに自動的に
勝手に(☆)が消えるのであれば、それは
「ベールのカテゴリ定理は自明に成立する」
と言っているのと同じことになってしまうのだ。
しかし、ベールのカテゴリ定理は証明が必要な定理であるから、これはない。
つまり、スレ主の制限ルールのもとでは、(☆)は自動的には消えてくれない。
つまり、ベールのカテゴリ定理の条件節でさえも、スレ主は
「反例を除いた形の条件節になってない」
と批判していることになる。
この男は一体なにがしたいのだろうか。
364:１３２人目の素数さん
18/10/17 23:31:36.12 SLv+6EN1.net
スレ主は命題とは何か、証明とは何かまったくわかってない
これ程のアホにはめったに遭遇しない
365:
18/10/17 23:45:44.73 ziXorXVX.net
>>364
それを示す具体例を明示していただけませんか？
366:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 07:04:18.64 eA8byOul.net
>>364-365
◆QZaw55cn4c=C++さん、どもありがとう（＾＾
（C++さんが登場したのは、１年以上前だから、突然”C++さん”書いても分らないだろうから）
ID:SLv+6EN1さん（>>364）は、運営の人で、数学はからっきしなんだ。ただ、煽るだけの人
「つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”」（>>354）
が理解できない人でしょう
で、ID:2tWO+ewoさん（>>363）は、
分ってはいるが”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”
を受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）人なのだ（＾＾；
367:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 07:47:59.08 eA8byOul.net
>>366 つづき
>分ってはいるが”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”
>を受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）人なのだ（＾＾；
なぜ”受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）”のか？
（>>13より）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
だった
これを場合分けすると
(A)R－Bfが、R中で稠密でない場合
(B)R－Bfが、R中で稠密である場合
に分けられる
(A)を書き直すと、「R中のどこかに稠密でない区間が存在する」と書ける
その区間は、Bfを満たす
Bfの定義がリプシッツ連続を意味するなら、定理の結論成立は自明
つづく
368:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 07:54:12.55 eA8byOul.net
>>367
つづき
(B)R－Bfが、R中で稠密である場合
この部分こそが、定理1.7 の核心部分で、証明もここに核心部分があり、ここにフォーカスして厚く書くべきだ ＊）
なので、稠密である場合は、開区間は存在しないから
結論部分は、（定理1.7が正しいとして）”このような関数は存在しない”となる
（＊）注：フォーカスして厚く書いた証明を見てみたいね。多分、元の証明より、しっかり書かないとだめと思うよ。それが分っているんだろうね）
くどいが(B)は
「もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中で稠密である場合、このような関数ｆは存在しない」
となる
これを言い換えると、
「もしリプシッツ連続でない点が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中で稠密である場合、このような関数ｆは存在しない」
となる ＊＊）
（＊＊）注：ここは、（分っていると思うが）類似の既存の定理があり、”高々可算和にならない”（Each co-meager set has c points in every interval.（下記））ようだ。
（参考 >>16より）
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
URLﾘﾝｸ(mathforum.org) （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.）
(引用終り)）
つづく
369:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 07:58:47.34 eA8byOul.net
>>368
つづき
（>>13より）
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
だったから
これは、（上記）書き直した定理1.7の（B）の場合の
（B）「リプシッツ連続でない点が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき かつ R中稠密な場合、
それ以外の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない」
となって、これはまさに系1.8の拡張になっているので、定理1.7（B）より直ちに系1.8が出る
ただ、ID:2tWO+ewoさん（>>363）は、それをしたくないんだ
多分、定理1.7（B）の証明を厚くかくと、上記の
”THEOREM:
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.）”
と同じ程度のボリュームの証明になるだろうと分っているんじゃないかな？（＾＾；
（ID:2tWO+ewoさんは、実力あるからね）
以上
370:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 11:49:15.20 iaTtGtuu.net
>>369
>(Each co-meager set has c points in every interval.）”
>と同じ程度のボリュームの証明になるだろうと分っているんじゃないかな？（＾＾；
＜前振り開始＞
（>>252より再録）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディリクレの関数
(抜粋)
式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
トマエ関数
(抜粋)
この関数はディリクレの関数を修正したものである。
URLﾘﾝｸ(mathforum.org)
Topic: Differentiability of the Ruler Function
The Math Forum
Dave L. Renfro Registered: 12/3/04
(抜粋)
Differentiability of the Ruler Function
Posted: Dec 13, 2006 5:20 PM
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Here is a summary of the main results below.
In this summary, f always refers to the ruler
function as defined above.
** f is nowhere differentiable.
We would expect higher powers of f to be smoother,
and this is what we find. Note that for each r > 0,
the sets where f^r is continuous and discontinuous
is the same as for f.
（注：つまりf^r(x) = (1/q)^r if x = p/q）
** For each 0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
つづく
371:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 11:49:57.25 iaTtGtuu.net
>>370
つづき
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
つづく
372:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 11:51:00.58 iaTtGtuu.net
>>371
つづき
（簡単に要約すると）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で
１）r=0 は、ディリクレの関数で、いたるところで不連続
２）r=1 は、トマエ数で、有理数Qで不連続、無理数で連続
３）0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable
４）For each r > 2, f^r is differentiable on a set that has c many points in every interval.
５）For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition.
６）For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals
７）For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r
８）Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
（increasing function that eventually majorizes every power function）
f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero.
９）Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
（要約終わり）
＜前振り終わり＞
つづく
373:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 12:02:08.37 iaTtGtuu.net
age
374:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 12:04:46.58 iaTtGtuu.net
>>372
つづき
なので、
ある整数区間[n,m]において、ディリクレの関数であり、それ以外の区間で、ｆ＝0を考えると
区間[n,m]では不連続、それ以外の区間では微分可能となる
つまり、区間[n,m]の全てでリプシッツ連続でなく、それ以外の区間ではリプシッツ連続となる
なので、”リプシッツ連続でない”集合として、連続な区間[n,m]を取れる
よって、>>367の場合分けで
(A)R－Bfが、R中で稠密でない場合
において、条件「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば」は外せる（拡張できる）
R－Bf は内点を持ってもいい（例 区間[n,m]が取れるから）
要するに、「R中のどこかに”R－Bfが稠密でない”区間が存在すれば」、その部分で、Bfの開区間が取れることになるから
では、(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
↓
「系1.8’ 有理数の点でリプシッツ連続でなく、 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在するか？」
が、問題となる。
系1.8は、上記Dave L. Renfro氏要約に示すように、既存定理で論文がある。
もし、系1.8’ で”存在しない”が言えれば、
既存の系1.8の”不連続と、微分可能”を、”リプシッツ連続でない、リプシッツ連続”に拡張できたことになるのだ
つづく
375:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 12:10:53.79 iaTtGtuu.net
>>374
つづき
ところで、上記要約の６）
”For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals ”
に注目しよう
これは、The ruler function の類似が前提で、有理数Qで不連続なのだ
要約６）で、有理数Qで不連続を、”有理数Qでリプシッツ連続でない”に条件を緩めたときに、
”satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals”の部分がどうなるか？
系1.8’の関数が存在するのか、はたまた存在しないのか？
そこは、私の数学の力ではわからない
どなたか、ご存知なら教えてほしい
ともかく、定理1.7を>>367のように（A）（B）の二つに場合分けして
定理1.7の（B）がきちんと証明できれば、既存の系1.8 の拡張になるだろう
それが、新規な定理なのか、すでに知られているのかは、寡聞にして分からない
ともかく、定理1.7の（B）をきちんと証明することは、わーわー言っているほど簡単じゃないと思う
（もし、簡単に証明できるなら、既にだれかがやっていそうだし、
上記のDave L. Renfro さんのまとめなどでも、取り上げられていそうに思う
まあ、簡単にできそうもないから、わーわー言っているんだろうと思うがね）
言いたいことは以上です
376:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/18 15:28:42.26 iaTtGtuu.net
>>355
>＞定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
>＞は数学の定理として、完全に正しい
>
>スレ主がそこで「定理」と書いているように、
>x∈Rのときにx^2≧0が成り立つことは証明が必要だよ。
（パロディーの レス）
・完全な証明を書くには、このスレの余白は狭すぎる（フェルマー）
・証明はおもいつくであろう（ガロア）
（まじレス）
本一冊分書けば、下記のように自然数wikipediaの公理から説き起こして
和と積を定義して、和の逆演算としての差、積の逆演算としての商・・と定義して、負数や有理数を定義して
有理数を完備化して、実数を構成して・・
さらに、無限集合を扱うために、ZFC公理系を書いて・・（それらは種本をカンニングしながらだが）
結局、実数とは、正と０（ゼロ）と負の数から成っているこを示せば、あとはこの３通りを場合分けして、「ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0」が証明できるのだった
まあ、ε－δについての論を真似れば、（高校教師）「高校生の君たちは、実数とは何かをスルーして、数学をやっているのだ」ということだね
だが、一般に数学においては、既存の定理として認められていることは、つどつど証明する必要はないのだ！！
そうしないと、上記のように、簡単な命題でもすべての証明はZFCから書き起こさなければならなくなるよ （＾＾；
（もっとも上記は、試験レベルにもより、大学入試で、大学レベルの定理を証明なしに適用して、簡単に答えを出すと、減点の場合もあるのだが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
377:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:23:50.09 FRX6HLIy.net
>>376
＞だが、一般に数学においては、既存の定理として認められていることは、つどつど証明する必要はないのだ！！
つまり、「x∈Rならばx^2≧0」という定理は既知としてよいと。
そうすれば、この定理の条件節は「反例を除いた形の条件節になっている」と。
この男は一体なにを言っているのだ？先に定理の方を既知としてしまうなら、
「その定理の条件節を見ただけで、既に反例が除かれているように見える」
のは当たり前だろ。でも、それでは循環論法だろ。
378:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:25:57.08 FRX6HLIy.net
定理1.7で同じことをやってみようか？
―――――――――――――――
先に定理1.7を既知とせよ。すると、R－B_fが題意一類集合なら
必ずリプシッツ連続な開区間が取れるのだから、
「 "R－B_fは第一類集合" という条件節を見ただけで、既に反例が除かれている」
ことが分かる。
―――――――――――――――
どうだ。定理1.7だって、スレ主が目標としている条件節になってるじゃないか。
379:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:28:28.60 FRX6HLIy.net
もちろん、これでは循環論法なので、こんなことは許されない。
それと全く同じように、定理Xの方だって、これを先に既知とすることで
「反例を除いた形の条件節になっている」
と結論づけることは許されない。つまり、スレ主の言い分は通らない。
定理Xの条件節が「反例を除いた形の条件節になっている」と言いたいのであれば、
「定理Xを既知としない状態で、そのことを立証しなければならない」
のである。
380:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:31:11.16 FRX6HLIy.net
言い換えれば、定理Xを証明してない状態の、
「x∈Rであっても、必ずしもx^2≧0となるかどうかは不明」
という状態から出発して、「x∈R」という条件節が
「反例を除いた形の条件節になっている」ことを
立証しなければならないのである。しかし、この状態から出発することは、
「x∈Rなのにx^2＜0となる反例が存在する可能性を秘めたままの状態で出発する」
ということを意味するので、結局この状況下では、「x∈R」という条件節は、
「条件節を見ただけでは反例を除ききれてない(余計な証明を経由しなければ反例が潰せない)」
ことになる。つまり、スレ主が言うところの
「反例を除いた形の条件節になってない」
ことになる。結局、スレ主が言うところの「反例を除いた形の条件節」とは、
先に定理の方を既知としなければ意味を成さない詭弁なのである。
381:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:34:43.15 FRX6HLIy.net
>>374
＞では、(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？
だから、そういうケースは>>282の(1)に流れ込んで消滅するのである。スレ主は
「(B)のケースがまだ否定できていない。これが否定できたら既存の定理の拡張になる」
と考えているようだが、既 に 否 定 で き て い る のである。
「(B)R－Bfが、R中で稠密である」というケースの場合、
fがリプシッツ連続になるような開区間は取れないので、
どのB_{N,M}も開区間を含みようがない。言い換えれば、
どのR－B_{N,M}もRの中で稠密である。
また、R－A_iは最初からRの中で稠密であることが分かっている。
よって、どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密となる。
これは>>282の(1)のケースなので、(1)に流れ込んで消滅する。
つまり、スレ主が考案した(B)のケースは、より一般的な形である>>282の(1)によって、
その存在性が既に否定されているのである。
382:１３２人目の素数さん
18/10/18 18:37:49.78 FRX6HLIy.net
このように、どのような反例を提案しても、その反例が消滅することが
「より一般的な形で」(1)によって既に示されてるんだよ。
なにが「厚く書かなければならない」だよ。書き直す必要はないんだよ。
現状のままで証明になってるんだよ。どうしても「(B)専用の証明が欲しい」のであれば、
・ (B)のケースでは、どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密である。
という一文を書いたあとに、>>282の(1)の議論をコピペしてくれば、(B)専用の証明が完成する。
(1)によって一般的に書けているのだから、わざわざ(B)に特化させるメリットは全くないのだが、
あくまでも(B)専用の証明が欲しいのであれば、このようにすれば十分である。
これで満足か？
383:１３２人目の素数さん
18/10/18 22:44:41.63 3FN6oOkA.net
>>366
＞数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである
反例があったらそもそも定理ではないｗ
アホ丸出しｗ
384:１３２人目の素数さん
18/10/18 23:00:12.22 3FN6oOkA.net
何かスレ主は以前より退化してないか？
いや以前も相当アホだったが、最近の発言は度を越している
385:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 19:50:57.14 j/UlGw8y.net
>>383-384
運営、あおりご苦労さん（＾＾
386:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 20:41:41.87 j/UlGw8y.net
>>378
（＾＾；
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
↓
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
さて、
１）定理1.7で、集合Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }は、”R中リプシッツ連続な点の集合”と言い換えることができる
２）そうすると、”R－Bf”は、”R中リプシッツ連続でない点の集合”の集合と言い換えることができる
３）定理1.7の条件節は、「”R中リプシッツ連続でない点の集合”が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば」と書ける
つづく
387:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 20:45:46.24 j/UlGw8y.net
>>386
つづき
４）ここで、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、整数の集合Zを考えよう
・Zは、加算無限集合ではあるけれども、R中で稠密ではない。だから、ある整数ｎに対して開区間(ｎ，ｎ＋１)∈Bfとできるので、定理1.7を満たす
・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れて
R-Z ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
（∵R-Zは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
つまり、BN,Mが閉区間になるとしても、R-Zで任意にある区間[a,b]を取っても、[a,b]が整数点を含むなら、R-Z中[a,b]は閉区間ではないということ）
５）次ぎに、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、有理数の集合Qを考えよう
・Qは、加算無限集合ではあり、R中で稠密である。だから、どんな開区間(a,b) (ここに、a,bは a<b なる実数) を取っても、その中に必ず有理数を含む
有理数は、”リプシッツ連続でない点”としたのだから、”R中で稠密”の下では、リプシッツ連続な開区間(a,b)は存在せず、定理1.7を満たすことはできない
・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れても
R-Q ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
（∵R-Qは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
つまり、BN,Mが閉区間になるとしても、R-Qで任意にある区間[a,b]を取っても、[a,b]が有理数点を含むなら、R-Q中[a,b]は閉区間ではない。そして、 a<b なら必ず、有理数点を含む）
つづく
388:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 20:48:28.62 j/UlGw8y.net
>>387
つづき
６）さて、定理1.7の条件節のおかしさと、それに伴う証明のおかしさは以上として、
系1.8について考える
・系1.8では、有理数の点で不連続とおいたので、有理Qは稠密であるから、上記の５）の場合が該当することは明らか
・よって、系1.8の証明中において、定理1.7の上記４）の ”稠密でない”場合 を適用することは、もともと論理が破綻していると思う
・よって、矛盾が導かれるのは当然としか言いようがない（証明になっていないでしょ）
以上
389:１３２人目の素数さん
18/10/19 20:50:34.26 cG0+cd+N.net
>>384
心身機能の加齢性変化だと当時思ったが2年前ぐらいにガクっときた印象がある
こういうのは本人はなかなか自覚できないからしょうがない
約2年前のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
約3年前のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
390:１３２人目の素数さん
18/10/19 21:33:13.72 NVsTxDYJ.net
>>385
あのレスを煽りと捉えるということは「私は馬鹿です」と言ってるのと同じことだと気付かないアホ主ｗ
391:１３２人目の素数さん
18/10/19 21:37:25.64 u9i4L80Q.net
>>387
＞閉区間BN,Mが作れて
どういうこと？B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？
＞R-Z ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
仮に等号が成り立たないのだとして、だから何？
もし、その部分が等号でなければ使えないような議論を
証明の中で使ってるなら「証明の不備を見つけたぞ」ということになるが、
実際には、その部分が等号でなければ使えないような議論は1つも使ってないよ？
だから、何の批判にもなってないよ？何を批判したつもりになってるの？
＞５）次ぎに、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、有理数の集合Qを考えよう
つまり、R－B_fがQであるケースを考えよう、という話でしょ？
その場合はスレ主が昨日言っていた「(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？ 」というケースの
部分ケースなので、昨日指摘したように、>>282の(1)に流れ込んで消滅する。
つまり、そのケースは存在しないことが証明できている。
＞・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れても
だからさ、閉区間BN,Mってどういうこと？
B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？
＞R-Q ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
だからさ、仮に等号が成り立たないのだとして、だから何？
何を批判したつもりになってるの？
392:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 21:41:04.02 j/UlGw8y.net
>>387 訂正
（∵R-Qは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
↓
（∵R-Qは、実数から有理点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
な。分ると思うが（＾＾
393:１３２人目の素数さん
18/10/19 21:42:40.06 u9i4L80Q.net
>>388
＞６）さて、定理1.7の条件節のおかしさと、それに伴う証明のおかしさは以上として、
定理1.7の条件節のどこがおかしいの？
証明のどこがおかしいの？
おかしなところが1つも指摘されてないんだけど。
この男は一体なにがしたいんだ？何を批判したつもりになってるんだ？
＞系1.8について考える
定理1.7を系1.8に適用する話は後回しだと言っている。
定理1.7そのものの話を優先している。
定理1.7を系1.8に適用する話が「おかしい」と感じられてしまうのは、
スレ主が定理1.7とその証明を正しく理解していないことが原因の1つ。
なので、今の時点でそっちの話までやり始めると収集がつかなくなる。
394:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 21:46:01.72 j/UlGw8y.net
>>391
>＞閉区間BN,Mが作れて
>どういうこと？B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？
ああ、ごめん
閉区間は、閉集合と読み替えて貰って結構だ
まあ、要するに、「無理数の部分集合としては、閉集合も閉区間も、取れない」ってこと
395:１３２人目の素数さん
18/10/19 21:47:15.18 u9i4L80Q.net
>>394
うん、それで？結局、あなたは何を批判したつもりになってるの？
396:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 21:52:45.71 j/UlGw8y.net
>>393
ついでだから書いておくが
>定理1.7の条件節のどこがおかしいの？
>おかしなところが1つも指摘されてないんだけど。
定理1.7で
条件節：R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
ここで、
１）内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、整数の集合Zの場合は、”ある開区間の上でリプシッツ連続”は成り立つが
２）内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、有理数の集合Qの場合は、”ある開区間の上でリプシッツ連続”は不成立
定理1.7って、おかしいよ
397:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/19 21:54:02.00 j/UlGw8y.net
>>395
運営ご苦労さん >>396な（＾＾；
398:１３２人目の素数さん
18/10/19 21:59:54.11 u9i4L80Q.net
>>397
(2)が間違っている。なぜなら、
・ 内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「なる」
からだ。なぜかって？
R－B_fがRの中で稠密なケースは存在しないので、
このケースは仮定が偽のケースを考えていることになり、
よって命題全体は真だからだ。
399:１３２人目の素数さん
18/10/19 22:08:00.40 u9i4L80Q.net
いや、そうか。
細かいことだが、仮定が偽であるがゆえに、
次の2つは両方とも正しいことになる。
・内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「なる」
・内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「ならない」
両者は相反する主張をしているが、仮定が偽なので両方とも正しい。
だから、この意味においては、>>397の(2)は間違ってはいないことになる。だから、
「>>397の(2)を使っても定理1.7への批判にはならない」
というのが正確な返答になる。
400:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 07:53:53.07 qNBXE6JD.net
>>399
同意です
(引用開始)
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(引用終り)
１）
定理1.7で
条件節 A：
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
とおきます
２）
くどいが
定理1.7は、条件節 A→結論 B ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”です
で対偶を考えると
￢（結論 B ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”）→ ￢（条件節 A） です
（注：￢は否定の記号）
３）
対偶の条件節を言い換えると
￢結論 B：￢ ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”＝ ”f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない”
となります
４）
よって
￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない
↓
￢（条件節 A） ：条件節 Aを満たさない
となります
５）
よって
R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
「f は、条件節 Aを満たさない」となります
QED
補足
なお、これは”証明以前の論理の問題”ですね
ようやく正しい理解に、一歩近づきましたね
401:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 08:00:18.29 qNBXE6JD.net
>>389-390
ご苦労さん、ご指摘は正しいと思うが（スレ主はあほばか）
しかし、それが正しくない方の肩を持ちながらでは、説得力がないね
（>>400を、ご参照）
402:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 09:56:52.05 qNBXE6JD.net
見つけたから貼っておく（＾＾
URLﾘﾝｸ(study-guide.hatenablog.jp)
URLﾘﾝｸ(study-guide.hatenablog.jp)
「圏論」は関数プログラミングの「モナド」に役立つ。入門PDF等のリンク集 2014-04-03
圏論を学ぶ目的は，HaskellやScalaなどの関数型プログラミング言語をよく理解するため，としてよい。
モナドを実装するために必要という応用がある。
オンラインで圏論を学ぶための教科書：
役に立つ読み物
関数プログラミングと関連が深い
とくに，モナドを考えるために圏論が必須！
本格的に学ぶには？
オンラインで圏論を学ぶための教科書：
オンラインで圏論を学ぶための教科書：
「圏と関手入門」
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
100ページ以上あるオンライン入門書
圏論は面白い（１） メタグラフ : tnomuraのブログ
圏論は面白い(3) メタ圏 : tnomuraのブログ（2は存在しない）
圏論は面白い(4) メタ圏(2) モノイド : tnomuraのブログ
圏論は面白い(5) 関手 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(6) 自然変換 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(7) 随伴 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(8) モナド : tnomuraのブログ
圏論の攻略法 : tnomuraのブログ（オブジェクトが何か、射がなにかということは置いておいて、オブジェクトと射の代数を学ぶつもりで）
プログラマのための圏論攻略法 : tnomuraのブログ（プログラマが圏論を学習したいと思う理由の第一はIOモナドを理解したいという欲求）
圏論の言葉 : tnomuraのブログ（Haskell の記法は圏を記述するのに便利）
圏論の言葉 その２ : tnomuraのブログ（point は集合の要素の一個を関数で表現したものだが、集合の全射や、単射を圏論の言葉で扱うときに重要）
つづく
403:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 09:57:23.40 qNBXE6JD.net
>>402
つづき
役に立つ読み物
圏論の初歩を理解するためのWeb上での無料の読み物：
圏論を小学生にも分かるように説明するスレ | 2ch勉強・学問まとめ
URLﾘﾝｸ(gakumon-matomeread.doorblog.jp...)<)
「"あ";"あか" = "あか"」の例から分かるように、1文字だけからなる文字列（長さ1の列）は単位のような働きを持ちます。
Modegramming Style: 圏論デザインパターン
URLﾘﾝｸ(modegramming.blogspot.jp)
関手(functor)：2つの圏間の構造保持するマッピング
(引用終り) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:f2c519fe5384e767e1c9e99abdcfc293)
404:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 10:00:47.74 qNBXE6JD.net
ついで
一応ガロアすれなのでね（＾＾
URLﾘﾝｸ(study-guide.hatenablog.jp)
慶応大の「ガロア理論講義」の動画と，講義ノートPDF 2014-04-06
慶応大でのガロア理論の講義の実況ビデオ。
無料でYoutubeでガロア理論をここまで詳しく学べるのはありがたい。
線型代数に続く多項式論や，代数的数論，また群論の導出される必然性などを学ぶのに最適。
動画の一覧
1. 【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
2. 【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
3. 【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
4. 【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
5. 【ガロア理論・第５回】作図可能性
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
6. 【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
7. 【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
対応する講義ノート
講義ノートのPDF：
2013年度・代数学第２ 代数学第２ 2013年度・秋学期
alg2-S01.pdf 代数学第２
alg2-02.pdf 体の拡大・代数拡大
alg2-03.pdf 分解体・代数閉体
alg2-04.pdf 分離拡大
alg2-05.pdf 分離拡大
alg2-06.pdf ガロア拡大
alg2-07.pdf ガロアの基本定理
名称未設定 - Galois2013.pdf ガロア理論の圏論的定式化
405:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 10:55:09.14 qNBXE6JD.net
これもついでに
/ quantum-classic2016 /pages/15.html
(抜粋)
松久勝彦（東京大学）(仮)圏による操作的理論と量子論
近年の圏論ブーム(？)によるものか、量子論の基礎理論研究に圏論の語法を持ち込む試みが幾つかなされている。いずれも「Quantum Foundation」すなわち量子基礎論を志向してはいるものの、既存の理論体系をあるクラスの圏で再定義したり、上位の一般理論の可能性を示唆したりと、ナイーブな実証科学からは位置付けの難しい話題が多い。
これらの話題から幾つかを多少の私感を交えて紹介するとともに、そもそもの話として、物理理論の基礎において、圏論がどんな役割を果たうるのかということについて議論/意見交換などを行いたい。
/ attach/15/2/QR PG_C at_phys_sld.pdf
圏による操作的理論と量子論 松久 勝彦 KEK 筒井研究室 2016/04/30/QRPG
406:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 10:58:03.60 qNBXE6JD.net
>>405
これね、URLがNGワードで通らないんだ
なので、URLを削っていって、残骸だけになったときに通った
キーワード 圏による操作的理論と量子論 松久 勝彦、 あるいは、quantum-classic2016 なども加えて、検索から直接飛んでください（＾＾
407:
18/10/20 11:28:45.13 64vguqSG.net
>>402
＞圏論を学ぶ目的は，HaskellやScalaなどの関数型プログラミング言語をよく理解するため
プログラム屋から一言いわせていただきますと、順序が逆でして、圏論を理解するために haskell を学んでいるのが実態です
あと scala はオブジェクトオリエンテッドな要素も濃厚で、関数型というよりは「マルチパラダイム」という妥協の産物、みかたによっては唾棄すべき産物です
関数型言語の最も古くかつ最も有力なカテゴリーは間違いなく lisp 族であり、lisp は fortran・cobol と同時期でありながら、今も成長し続けかつそのアイディアを他言語に供給し続ける不死の存在です
408:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 15:40:56.58 qNBXE6JD.net
>>407
C++さん、どもありがとう
数学で、数式処理などは、LISPで記述されることが多かったそうですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
LISP
(抜粋)
1958年にはじめて設計されたLISPは、現在広範囲に使用されている高水準プログラミング言語の中でもFORTRANに次いで2番目に古い[1]。ただし、FORTRANと同様に、現在のLISPは初期のものから非常に大きく変化している。
(引用終り)
>あと scala はオブジェクトオリエンテッドな要素も濃厚で、関数型というよりは「マルチパラダイム」という妥協の産物、みかたによっては唾棄すべき産物です
昔っから、最初は高級言語で書いても、
実用化されると、処理速度向上とメモリー容量圧縮のために、中心部分はアセンブラで書き直すと言う話は多かったですね
409:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 15:44:05.38 qNBXE6JD.net
>>408
余談ですが、Prolog（プロログ）なんてのもありましたね。 IBMはワトソンか。ソフトバンクのPepperね。ここに使われているのか・・（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
Prolog（プロログ）は、非手続き型プログラミング言語の一つ。論理型言語に分類される。名称は、「論理を使ったプログラミング」を意味するフランス語「programmation en logique」に由来している[1][2]。
2.3 新世代コンピュータ技術開発機構とProlog
1970年代終り頃、日本では通産省の電子技術総合研究所の淵一博を中心とするグループが論理プログラミングの重要性を認識して、日本のコンピュータ技術の基礎技術としてこれを取り上げることを提案する。
これが最終的に1980年代の新世代コンピュータ技術開発機構の発足と活動につながった。総額約570億円の国家予算を約束されて1982年に新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）は活動を開始する。Prolog を含む論理型言語はこの研究の核言語と位置づけられ世界的な注目を浴びることとなる。
2.5 人工知能ブームとProlog
日本において、ICOT の活動時期から1990年代前半に掛けては、いわゆる人工知能ブームの時期であり、人工知能研究への期待はこの時期再び異様に高まった。LISP マシンによる医療情報エキスパートシステムでの成果は、人工知能の研究の成果の一部は情報処理に於いても利用可能なのではないかとの夢を抱かせた。このような評価の中で Prolog は人工知能のアセンブリ言語的な位置づけを期待された。
2.7 今日
2013年 IBMはワトソンの商用化を積極的に進めることとし、研究開発要員を2000名に増強することを発表した。さらに2014年秋、ソフトバンクとの間でワトソンの日本語化で提携することが発表された。
ソフトバンクは既にADSLの故障診断をPrologで開発して利用してきた実績があり、既に公開され、2015年春出荷が予定されている感情認識パーソナルロボットPepperでも中核部にPrologを採用することが予想されている。
同社がワトソンと強く結びつくことによって、Pepperが将来ワトソンから情報を受け取ることによって、どのように強化されて、変化していくのかということが俄然興味深い問題に浮上した。
同時に、その二つのシステムに跨って、Prologがどのような関わりを持つのか、役割を担うのかということも注目されている。
410:１３２人目の素数さん
18/10/20 18:22:16.54 yRqr5003.net
>>407
Lispはλ計算が起源というのは本当ですか？
411:
18/10/20 18:26:44.07 64vguqSG.net
>>410
私にはわかりません、なぜなら、今 URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp) を読んでいる最中ですので
412:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 18:28:56.50 qNBXE6JD.net
>>410
ども
そんなことを書いてあるね（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
元々、LISPは、アロンゾ・チャーチのラムダ計算表記法に影響を受け、コンピュータープログラムのための実用的かつ数学的な表記法として作られた。そして、すぐに人工知能研究に好まれるプログラミング言語になった。
目次
1 LISPの歴史
LISPの歴史
LISPは1958年にジョン・マッカーシーがMITにいた期間に考案された[3]。
マッカーシーは1960年にACMの学会誌Communications of the ACMに「Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I」[4]という題名の論文（「パートII」が発表されることはなかった）を発表した。
この論文において、M-expression（Meta expression）と呼ばれる少数の単純な演算子と関数の表記法で、自分自身を評価するeval関数（超循環評価器）を記述できることが示された。
1955年または1956年からはじまった、IPLは、最初の人工知能言語で、リスト処理や再帰などの多くの概念をすでに含んでいたが、その後すぐにそういった分野ではLISPが使われるようになった。
前述の超循環評価器はLISP自身で実装されているが、ひとたびLISP以外の言語で実装すればそれは実際にLISPを解釈実行できるインタプリタとなる。
マッカーシーは自分の論文中にある評価器は単なる理論上の存在で、そのようにしてインタプリタを実装可能であると考えていなかった。
しかし、マッカーシーのもとで大学院生であったスティーブ・ラッセルは論文を読んだ後、機械語でそれを実装してみせ、マッカーシーを驚かせた。そうしてLISPインタプリタが生まれた。
(引用終り)
413:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 18:31:57.45 qNBXE6JD.net
>>411
C++さん、ども
かぶったー（＾＾
けど、wikipediaは便利だね
414:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 18:37:45.96 qNBXE6JD.net
>>412
>マッカーシーは1960年にACMの学会誌Communications of the ACMに「Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I」[4]という題名の論文（「パートII」が発表されることはなかった）を発表した。
リンクを辿るとPDFが読めるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
LISP
脚注・出典
４^ John McCarthy. “Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I”. 2015年10月30日閲覧。
URLﾘﾝｸ(www-formal.stanford.edu)
RECURSIVE FUNCTIONS OF SYMBOLIC EXPRESSIONS AND THEIR COMPUTATION BY MACHINE (Part I)
This paper appeared in Communications of the ACM in April 1960. It is the original paper on Lisp.
There are html, dvi, pdf and Postscript versions of the paper.
URLﾘﾝｸ(www-formal.stanford.edu)
415:１３２人目の素数さん
18/10/20 18:42:35.04 Tm0SaDnU.net
>>400
そのレスの意図が分からない。>>399の2つは、両方とも命題としては真であるがゆえに、
「スレ主のやり方では定理1.7の批判にならない」
と言っているのである。その>>399に「同意した」ということは、
スレ主は定理1.7の批判を撤回したことになる。
批判を撤回して、それで何がしたいのだ？
416:１３２人目の素数さん
18/10/20 18:44:43.43 Tm0SaDnU.net
>>400
＞R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
＞「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
＞「f は、条件節 Aを満たさない」となります
＞QED
何が言いたいのか分からない。何がQEDなんだ？
「R－B_f＝Q は明らかに定理1.7の条件節を満たすが、
しかし>>400の議論によって "満たさない" ことになる。
"満たす" のに "満たさない" のはおかしい」
とでも言いたいのか？R－B_f＝Qというケースは存在しないのだから、
・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たす"
・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たさない"
の両方とも仮定が偽の命題であり、よって両方とも命題全体としては真である。
両者は相反する結論を導いているのに、仮定が偽だから両方とも正しいのである。
つまり、「 "満たす" のに "満たさない" のはおかしい」という批判は通用しない。
「 "満たす" のに "満たさない" のは一見するとおかしいように見えるが、
実際に両方とも成立しているので、何もおかしくない」
というのが正しい見方である。
では、この男は>>400で一体何を批判したつもりになっているのか？
417:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 19:28:36.52 qNBXE6JD.net
>>414
PDFで下記にのように
given by Church [3].
by Church’s λ-notation.
3. A. CHURCH, The Calculi of Lambda-Conversion
と出てくるね（＾＾
(引用開始)
P6
e. Functions and Forms. It is usual in mathematics?outside of mathe-
matical logic?to use the word “function” imprecisely and to apply it to forms
such as y2 +x. Because we shall later compute with expressions for functions,
we need a distinction between functions and forms and a notation for express-
ing this distinction. This distinction and a notation for describing it, from
which we deviate trivially, is given by Church [3].
Let f be an expression that stands for a function of two integer variables.
It should make sense to write f(3, 4) and the value of this expression should be
determined. The expression y2+x does not meet this requirement; y2+x(3, 4)
is not a conventional notation, and if we attempted to define it we would be
uncertain whether its value would turn out to be 13 or 19. Church calls an
expression like y2 + x, a form. A form can be converted into a function if we
can determine the correspondence between the variables occurring in the form
and the ordered list of arguments of the desired function. This is accomplished
by Church’s λ-notation.
P34
REFERENCES
3. A. CHURCH, The Calculi of Lambda-Conversion (Princeton University
Press, Princeton, N. J., 1941).
(引用終り)
418:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/20 19:35:33.26 qNBXE6JD.net
>>415-416
言いたいことが分らないのか？（＾＾
あんたのは、反論になってないし
論理が破綻している
まあ、忙しいので、一晩自分で考えてみな
いいか、言いたいこと（>>400）
”R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
「f は、条件節 Aを満たさない」となります”
ってこと
それだけだよ
一晩自分で考えてみな
419:１３２人目の素数さん
18/10/20 19:38:36.54 Tm0SaDnU.net
>>418
スレ主の言い分が反論になってない理由は既に提示した。
＞つまり、「 "満たす" のに "満たさない" のはおかしい」という批判は通用しない。
これがその理由である。これが反論になっておらず論理が破綻しているのであれば、
どこが破綻しているのか、スレ主には再反論の義務がある。
スレ主は今回、再反論をせずに逃げている。
420:１３２人目の素数さん
18/10/20 19:41:50.84 Tm0SaDnU.net
>>418
＞一晩自分で考えてみな
何日経っても、こちらからの返答は変わらない。
スレ主の言い分が反論になってない理由は既に提示した。
今度はスレ主が再反論する番である。
421:１３２人目の素数さん
18/10/20 19:50:03.33 Tm0SaDnU.net
スレ主の再反論というか、そもそもスレ主が>>400によって
何を批判したつもりになっているのか、そのことすらスレ主は
明示してないのだから、まずそこからスレ主は説明しなければならない。
422:１３２人目の素数さん
18/10/20 21:46:51.21 Tm0SaDnU.net
もしかして、こういうことが言いたいのか？
―――――――――――――――――
R－B_f＝Q のケースを「定理1.7の対偶」に適用すると、
R－B_f は条件節Aを満たさないという結論が得られる。
しかし、R－B_f＝Q は明らかに条件節Aを満たす。
よって、R－B_f＝Q は、条件節Aを満たし、かつ、条件節Aを満たさない。
これは矛盾である。よって、「定理1.7の対偶」は間違っている。
よって、定理1.7それ自身も間違っている。
―――――――――――――――――
423:１３２人目の素数さん
18/10/20 22:10:56.41 A4TIHKT9.net
スレ主が何をしたいのか？
アホ自慢をしたいのである
「どうだ？この世に俺様ほどのアホがいようか？」と
それ以外にこの状況を解釈し様が無い
424:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 07:43:18.89 8Bzz+Eyk.net
>>423
運営あおりおつ（＾＾
425:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 09:33:58.28 8Bzz+Eyk.net
>>420-421
>何を批判したつもりになっているのか
要は、自分の書いた証明を守りたい一心で、クソ粘りしているとしか思えないね
あなたくらい力があれば、自得すると思ったがね
では、初等レベルから説明しよう
１）えーと、まず
（>>416）
”R－B_f＝Qというケースは存在しないのだから、
・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たす"
・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たさない"
の両方とも仮定が偽の命題であり、よって両方とも命題全体としては真である。
両者は相反する結論を導いているのに、仮定が偽だから両方とも正しいのである。
つまり、「 "満たす" のに "満たさない" のはおかしい」という批判は通用しない。
「 "満たす" のに "満たさない" のは一見するとおかしいように見えるが、
実際に両方とも成立しているので、何もおかしくない」
というのが正しい見方である。”
(引用終り)
まず、ここから（＾＾
「何もおかしくない」って？それ 勘違いでなければ、クソ詭弁でしょ？
論理において、仮定を満たさないときの正しい見方は、下記だな
（下記参考より）
・”仮定pが成り立たないときは，結論qが何であっても（pならばq）の命題は真になる”
・”バートランド・ラッセルは，「仮定が間違っていればどんなことでも証明できる」という話をした
もし，2=1ならば異なる２人の人，ラッセルとローマ法王は同一の人に等しいから，ラッセルはローマ法王であることになる．”
・なので、数学では、（pならばq）の命題において、「仮定を満たさない命題を、用いて議論することはできない」ということだな
・初等向けの例で言えば、下記カラスについての命題使うのに、その命題をカラス以外に適用することは、数学では御法度（ごはっと）ですよ
・さらに重ねて言えば、「アメリカ人については、q」という命題を、アメリカ人以外に適用してはいけないということ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.geisya.or.jp)
集合と条件 「p → q」 ( p ならば q ) の真偽
(抜粋)
【例３】
（p：カラス）ならば（q：黒い）
という学説があるものとする
つづく
426:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 09:34:40.96 8Bzz+Eyk.net
>>425
つづき
【注目すべき点】
この問題では，（カラスでない鳥）が（黒い）場合でも（白い）場合でも，命題（カラスならば黒い）が成り立つことになります．今までのどの例でもＣもＤも真となっています．このことは，次のようにまとめることができます．
○ 仮定pが成り立たないときは，結論qが何であっても（pならばq）の命題は真になる．
※次のような逸話と結びつけて覚えると忘れにくくなります．
論理学者バートランド・ラッセルは，「仮定が間違っていればどんなことでも証明できる」という話をしたときに「それではあなたがローマ法王であることを証明してください」と言われて，直ちに次のように答えたと言われています．
もし，2=1ならば異なる２人の人，ラッセルとローマ法王は同一の人に等しいから，ラッセルはローマ法王であることになる．
(引用終り)
つづく
427:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 09:35:54.87 8Bzz+Eyk.net
>>426
つづき
２）さらに、「p → q」 ( p ならば q ) の集合を使った説明下記
・「p → q」 ( p ならば q ) は、集合の包含関係で書けば、P⊂Q
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.geisya.or.jp)
集合と条件 「p → q」 ( p ならば q ) の真偽
(抜粋)
・「つねにpならばqが成り立つ」という命題の真偽
（pであってかつqでないもの）がなければ真
（pであってかつqでないもの）があれば偽
（注：集合の図が下記にあるので見て下さい）
URLﾘﾝｸ(www.geisya.or.jp)
（注：集合の包含関係で書けば、P⊂Q）
(引用終り)
つづく
428:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 09:37:23.41 8Bzz+Eyk.net
>>427
つづき
３）上記、「p → q」 集合の包含関係 P⊂Q を踏まえて
・（>>400より）
定理1.7 において
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ } と置く。もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
となる
・ここで、簡単に条件節 Aを満たす関数の集合をA、結論 Bを満たす関数の集合をBとする
A⊂B である
（対偶とは、単純に”￢A ⊃ ￢B”のことである）
・￢B：”f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない”
であるから
そのような関数は、￢Aに含まれる（Aではない）
・よって、そのような関数は、定理1.7で扱ってはいけない
（∵条件節 Aを満たさない関数は、定理1.7の範囲外。
無理に扱えば、上記１）のバートランド・ラッセルの逸話になる）
つづく
429:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 09:38:15.57 8Bzz+Eyk.net
>>428
つづき
４）（>>386より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
この系1.8の証明で、”定理1.7 が使えて”の部分がおかしい。
”有理数の点で不連続”ならば、定理1.7の条件節 Aを満たさないので、使えない
使えば、バートランド・ラッセルの逸話になる
以上
（これ以上の低レベル向け説明を書くには、このスレの余白は狭すぎる。本一冊分必要だろう）
430:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:16:17.04 PDyPLXa6.net
スレ主は思考の迷路にハマっているので、
正攻法でスレ主の間違いを理解させることはもはや不可能だと思われる。
そこで、複素関数論における「一致の定理」をアナロジーにして、スレ主の間違いを説明する。
しばらくお付き合い頂きたい。
431:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:18:32.84 PDyPLXa6.net
まずは定義から。ここでは "零点集合" を定義する。
定義
複素数全体をCと置く。
写像 f：C→C に対して、{ z∈C｜f(z)＝0 } という集合のことを、f の零点集合と呼ぶ。
定義
写像 f：C→C に対して、C_f：＝{ z∈C｜f(z)≠0 } と定義する。
このとき、C－C_f＝{ z∈C｜f(z)＝0 } であるから、f の零点集合は C－C_f と表現できる。
たとえば、f：C→C を f(z)＝z(z－1)(z－2) と定義すると、
fの零点集合は {0,1,2} だから、C－C_f＝{0,1,2} となる。
432:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:18:36.22 Vo6ehPbN.net
>>430
いやいや、ただスレを伸ばして自慢したいだけだと思うぞw
君もそれを分かっているだろうが、あまりにこの茶番に力を使い過ぎていて心配になる
433:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:20:25.59 PDyPLXa6.net
次は集積点の定義。
定義
D⊂C とする。z∈Dが「Dの集積点である」とは、D内のある点列 {z_n}_n⊂D が存在して、
z_n≠z (n∈N) かつ lim[n→∞]z_n＝z が成り立つときを言う。
定義
D⊂Cが少なくとも1つ集積点を含むとき、Dのことを「第A類集合」と呼ぶ。
D⊂Cが全く集積点を含まないとき、Dのことを「第B類集合」と呼ぶ。
このような名称は広く流通しているようなものではなく、今ここで適当に名前を作っただけである。
定理1.7に似せた記述をしたいので、このような名前を作ってみた。
たとえば、虚数単位を i として、{i/n｜n∈N} という集合を考えると、この集合には集積点がない。
よって、この集合は第B類集合である。次に、{0}∪{i/n｜n∈N} という集合を考えると、
点0はこの集合の集積点なので、この集合は第A類集合である。
この集合は後で再登場するので、ここでもう一度、目立つように書いておく。
・ {0}∪{i/n｜n∈N} という集合は、点0が集積点になっているので「第A類集合」である。
434:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:23:47.93 PDyPLXa6.net
次に、一致の定理(の簡易版)を掲載する。
――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もしfの零点集合が集積点を持つならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――
ここで、>>431により、fの零点集合は C－C_f と書ける。
また、集積点を持つ集合は「第A類集合」と呼ぶことにしてある(>>433)。
よって、一致の定理は次のように書き換えできる。
――――――――――――――
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C－C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――
このように、一致の定理は、定理1.7に似せた文体で記述できる。
かえって分かりにくいかもしれないが、あしからず。
435:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:26:32.87 PDyPLXa6.net
比較のために、定理1.7と一致の定理を並べると、次のようになっている。
――――――――――――――
定理1.7
f：R→Rとする。
もし R－B_f が第一類集合ならば、fはある開区間の上でリプシッツ連続である。
一致の定理
f：C→Cは正則関数とする。
もし C－C_f が第A類集合ならば、fは恒等的に0である。
――――――――――――――
このように、両者は似せた文体で記述できる。
436:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:29:42.25 PDyPLXa6.net
この一致の定理に対して、スレ主の>>428の真似をすると、
たとえば次のようなアナロジーが得られる。長いので2レスに分ける。
―――――――――――――――――――――
証明以前に論理の問題として考えよう。
一致の定理では、正則関数 f：C→C について、C－C_f が第A類集合でありさえすれば、
だったそれだけで必ず、fは恒等的に0であると主張している。
だったら、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースを考えよう。
・ {0}∪{i/n｜n∈N} は第A類集合だから、C－C_f は第A類集合である。
よって、一致の定理の条件節を満たすので、一致の定理が適用できて、fは恒等的に0になる。
しかし、fの零点集合は C－C_f であり、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} なのだから、
fの零点集合は {0}∪{i/n｜n∈N} ということになる。だったら、そこ以外の点では
f(z)≠0である。つまり、このケースでは、f は恒等的に0ではない！
[続く]
437:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:32:50.04 PDyPLXa6.net
つまり、
３）「p → q」 集合の包含関係 P⊂Q を踏まえて
・ 一致の定理において、
f：R → R は正則関数とする
条件節 A：C－C_f が第A類集合ならば
結論 B：f は恒等的に0である
となる
・ここで、簡単に条件節 Aを満たす正則関数の集合をA、結論 Bを満たす正則関数の集合をBとする
A⊂B である
（対偶とは、単純に”￢A ⊃ ￢B”のことである）
・￢B：”fは恒等的に0ではない”
であるから
そのような正則関数は、￢Aに含まれる（Aではない）
・よって、そのような正則関数は、一致の定理で扱ってはいけない
（∵条件節 Aを満たさない正則関数は、一致の定理の範囲外。
無理に扱えば、上記１）のバートランド・ラッセルの逸話になる）
C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースでは、fは恒等的に0ではないのだから、このような正則関数は
￢Bに含まれる。よって、そのような正則関数は￢Aに含まれる。￢Aに含まれる正則関数は、
一致の定理で扱ってはいけないのだったが、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} は第A類集合なのだから、
条件節Aを満たしており、一致の定理で扱える。つまり、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} のケースでは、
"一致の定理で扱ってはいけないのに一致の定理で扱える"。ということは、一致の定理は間違っている！！
―――――――――――――――――――――
438:１３２人目の素数さん
18/10/21 10:38:37.14 PDyPLXa6.net
このように、スレ主の詭弁を使うと、一致の定理ですら
スレ主は「マチガッテイル」と主張できてしまうのである。
一致の定理は正しい定理なので、>>436-437に書かれている屁理屈は、
どこかが自動的に間違っている。定理1.7に対する批判の方も、
同じ箇所が自動的に間違っている。
439:１３２人目の素数さん
18/10/21 14:15:33.45 DKzku4jZ.net
数学そのものに難癖付けるスレ主の愚行
440:学術
18/10/21 17:08:38.14 OCo5216O.net
続けてください。興味深い。完全理解なんてカリキュラムの違いから目指さないけど、
刺激が続いてはいったら、読みやすく参加しやすくなる人もいいいと思う。
441:学術
18/10/21 17:10:16.30 OCo5216O.net
公立中 私学 人文学 とわたったから、数学は粗が出ていて、面白いけど
苦手意識はない事はない。高校ぐらいまでは数学やってたけど、人文科学に
数学を持ち込んで新しい試みをやってみたいなあ。
442:学術
18/10/21 17:11:35.62 OCo5216O.net
ラッセルとヴィトの集合論はやってたけど、数学はマジで実学だというところから
ああそうね、あの時の事ねと振り返るのも楽しいです。
443:
18/10/21 18:41:41.68 R8z4ZxUB.net
＞人文科学に数学を持ち込んで新しい試み
興味深いですね
444:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 19:00:27.61 8Bzz+Eyk.net
>>440-442
学術さん、どもありがとう
あなたは面白い人ですね（＾＾
445:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 19:00:51.79 8Bzz+Eyk.net
>>443
C++さん、どもありがとう（＾＾
446:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 19:40:02.62 8Bzz+Eyk.net
>>438
なるほど
あなたとのスレ違いがどこにあるか良く分かったよ
仰る通りだね
１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される
しかし、その定理が正しくない場合は、バートランド・ラッセルの逸話になる
現実にありえないことが、証明される
あるいは、（その定理に矛盾する）適用する対象が実際に数学的に存在し、かつ適用する定理と矛盾するなら、反例が存在することになるってことだね
問題は、定理1.7において、リプシッツ連続でない集合が、有理数QのようなR中稠密な集合の場合に、どうなるか？
この場合、リプシッツ連続でない集合がR中稠密に存在するから、開区間(a, b) など取りようがない（存在しない）
では、定理1.7において「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」
を拡張して、「拡張系1.8 有理数の点＊）でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない.」が言えるかどうか？
（注＊）この有理数を、もっと抽象化した、R中で稠密な集合に拡張できればもっとうれしい）
つづく
447:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 19:57:39.39 8Bzz+Eyk.net
>>446
つづく
「拡張 系1.8 有理数の点でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない.」
に対し
「拡張 系1.9 有理数の点でリプシッツ連続でなく, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R が存在する」
が考えられるが、拡張 系1.9 が成立するのではないかと、私見だが、考えている
（定理1.7の証明では、拡張 系1.8をきちんと証明したとは言えないと思うよ）
残念ながら、これに関する文献は見つけることができなかった
もし、ご存知の方がいれば教えて欲しい
拡張 系1.9が成立するなら、定理1.7は場合分けし、稠密でない場合のみ、開区間(a, b)が取れるとすべき
拡張 系1.8においても、定理1.7が拡張 系1.8 を含むならば、きちんと場合分けすべきと思う（結論の文が異なるのだから）
そして、
拡張 系1.8が成立すれば、これを使うことができ、系1.8を証明できるが
もし
拡張 系1.9が成立するなら、定理1.7では系1.8を証明することできない
どうぞ、拡張 系1.8をきちんと証明してください
（いまの定理1.7で十分証明できていると思うなら、そう仰って下さい。
私は、定理1.7ではその証明も含めて、稠密の場合には一言も触れられていないので、拡張 系1.8は未証明と思っています）
以上
448:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 20:04:15.01 8Bzz+Eyk.net
>>446 余談
”仰る通りだね
１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される”
ここらの例外扱いが、背理法反対派の一つの根拠かもしれないと思う今日この頃（＾＾
ただ、ある対象が存在しない（あるいは矛盾する存在）ということを証明しようとすると、
背理法で「存在すると仮定して・・」とやりたくなりますよね（＾＾
449:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:23:11.95 PDyPLXa6.net
>>446
＞１）適用する定理が正しく ＆ ２）（その定理に矛盾する）適用する対象が空（空集合）
＞の場合は例外的に、１）と２）の組み合わせが、数学として許容される
(2)は必要ない。適用する定理が正しいなら、その定理に矛盾する対象は
自動的に空集合だからだ(もしこれが空でないなら、適用する定理に
反例が存在することになり、その定理は正しくない)。
だから、単純に(1)だけで判断すればいいだけの話。
450:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:26:29.82 PDyPLXa6.net
>>446
＞問題は、定理1.7において、リプシッツ連続でない集合が、有理数QのようなR中稠密な集合の場合に、どうなるか？
だから、そのようなケースが存在しないことは既に証明済みである。
そのようなケースは、>>282の(1)に流れ込んで消滅するのである。
「R－B_fが第一類集合であり、かつR－B_fがRの中で稠密である」
というケースは、スレ主がこの間提案した>>374の(B)のケースそのものである。
そして、このケースは>>282の(1)の部分ケースにすぎない。このことは、
>>381-382で既に指摘済みである。
そして、(1)で矛盾が示せているのだから、(1)の部分ケースである(B)のケースも自動的に消滅する。
つまり、「R－B_fが第一類集合であり、かつR－B_fがRの中で稠密である」というケースは
存在しないことが、定理1.7の証明の中で既に示されている。
451:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:31:16.65 PDyPLXa6.net
スレ主は稠密かどうかの場合分けにこだわっており、
定理1.7で稠密ケースに触れていないことに不満があるようだが、
これは的外れである。
>>381-382で指摘したように、稠密ケースは(1)の部分ケースにすぎないので、
わざわざ稠密ケースに 触 れ る 必 要 が な い のである。
(1)で矛盾を引き出せさえすれば、それだけで、
(1)の部分ケースにすぎない稠密ケースも一緒に消滅するのだ。
452:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:34:56.63 PDyPLXa6.net
大切なことなので、言葉を変えてもう一度書く。
いちいち部分ケースに触れることをしなくても、それらのケースを全て包含した
「超一般的なケース」で矛盾することが示せているのであれば、個々の部分ケースは
一緒に全滅するのであり、結局最後まで部分ケースには全く言及することなく、
証明が終了するのである。この現象を後から見返したときに、
「この証明では、俺が想定している部分ケースには触れてないから、
その部分ケースについては何も証明していない」
と勘違いしてしまっているのがスレ主である。そうではないのだ。
触れてない＝証明されてない
ではないのだ。スレ主はここを勘違いしている。
個々の部分ケースを全て包含した超一般的なケースで矛盾することが
示せているのだから、個々の部分ケースは自動的に全滅しているのだ。
なぜわざわざ部分ケースに言及しなければならないのだ。
それでは証明がダウングレードしてしまうじゃないか。
453:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:38:00.43 PDyPLXa6.net
これも>>382の繰り返しになるが、どうしても稠密ケースへの言及が欲しくて、
どうしても(B)のケースに特化した証明が欲しいのなら、>>382のようにすれば
(B)専用の証明が完成する。それで満足だろう？
454:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:51:31.78 DKzku4jZ.net
これほど手取り足取り教えてやっても一向に理解が進まないスレ主だったとさ
455:１３２人目の素数さん
18/10/21 20:55:46.96 DKzku4jZ.net
結局スレ主がやりたいことって「俺は『稠密』って言葉を理解してるぞ～すごいだろ！」って自慢したいだけ
アホかと
456:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 22:44:52.32 8Bzz+Eyk.net
>>448 補足
ちょっと、良い説明を思いついたので、補足しておく
・（>>428より再引用）
定理1.7 において
f：R → R とする
条件節 A：Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ } と置く。もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
となる
・ここで、定理1.7を、二つに場合分けすると
１）定理1.7-1：R－BfがR中稠密でない場合で、結論 B-1：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
２）定理1.7-2：R－BfがR中稠密な場合(＝拡張 系1.8)）で、 結論 B-2：そのようなfは、存在しない
となるべき
・（繰返すが）”ある開区間の上でリプシッツ連続である”という結論は、R－BfがR中稠密でない場合しか成り立たない
・よって、
系1.8 「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>386より）
を証明するために適用すべきは、定理1.7-2(＝拡張 系1.8)であるべき
・定理1.7-1を適用して、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」として矛盾（”ある開区間の上でリプシッツ連続”）を導くことはできない
（∵R－Bfが、R中稠密でない場合の定理1.7-1を、R－BfがR中稠密な場合の系1.8に適用することは誤りである）
・それはあたかも、一致の定理の類似で言えば、解析函数でない対象に解析函数の定理をぶつけて矛盾を導くがごとし
・矛盾を導くにも、適用して良い定理と適用できない定理があるってことだ
（ここは、元の定理1.7の表現ままだと、稠密か否かが隠れ条件になっていて、分かり難くなっているんだね（＾＾； ）
以上
457:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 22:47:25.46 8Bzz+Eyk.net
>>449-453
どもありがとう
>>456な（＾＾
458:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/10/21 22:50:49.01 8Bzz+Eyk.net
>>454
運営ごくろう（＾＾
459:１３２人目の素数さん
18/10/22 00:04:52.87 UGM0RjZB.net
>>456
定理1.7を系1.8に適用する話をしているんだよな？
何度も言うが、系1.8の証明は今のままで完全に正しい。
わざわざ定理1.7-1, 定理1.7-2に分解する必要はない。
分解したときの「定理1.7-2」を系1.8に適用するのは正しい論法であり、
そのような方法でも系1.8の証明にはなるが、そんなことしなくても、
今のままで完全に正しい。
460:１３２人目の素数さん
18/10/22 00:06:45.95 UGM0RjZB.net
たとえば、>>431-435で書いた一致の定理で説明する。ご存知のとおり、
(☆)「正則関数 f：C→Cであって、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものは存在しない」
わけだが、この(☆)は、一致の定理を適用することで証明できる。
461:１３２人目の素数さん
18/10/22 00:09:14.10 UGM0RjZB.net
たとえば、次のようにすればよい。
―――――――――――――――――――――
(☆)の証明
正則関数 f：C→Cであって、C－C_f＝{0}∪{i/n｜n∈N} を満たすものが存在するとする。
このとき、C－C_f は第A類集合になるので、一致の定理が適用できて、fは恒等的に0である。
しかし、fの零点集合は {0}∪{i/n｜n∈N} なのだから、それ以外の点ではf(z)≠0であり、
fは恒等的に0ではない。よって、
「fは恒等的に0であり、fは恒等的に0ではない」
となるので、矛盾する。よって、このようなfは存在しない。
―――――――――――――――――――――
この証明は、定理1.7を系1.8に適用するのと(本質的に)同じやり方である。
462:１３２人目の素数さん
18/10/22 00:13:10.98 UGM0RjZB.net
比較のために、系1.8の証明(の簡略版)を掲載しておく。
―――――――――――――――――――――
系1.8の証明
f：R→Rであって、有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるものが存在するとする。
このとき、R－B_f は第一類集合になるので、定理1.7が適用できて、fはある開区間でリプシッツ連続である。
しかし、fは有理数の点で不連続なのだから、リプシッツ連続な開区間は取れない。よって、
「fはリプシッツ連続な開区間が取れて、fはリプシッツ連続な開区間が取れない」
となるので、矛盾する。よって、このようなfは存在しない。
―――――――――――――――――――――
現状での系1.8の証明とは少し違う書き方になっているが、
やっていることは同じであり、>>461と対応するように書いてみた。
両者を見比べてみるとよい。