18/10/13 09:41:30.49 rwDJbX2Y.net
>>223
>「証明
>定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
ここは、正確には、下記のようにいろいろ難しく、”よって, 定理1.7 が使えて”と書いてあるが
単純に、定理1.7の対偶命題を考えれば、”有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf”は、定理1.7 の条件節を満たさないので、定理1.7の適用外であることは明白
だから、下記の系1.8の証明は不成立
(引用開始)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:184番)
184 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金) 00:08:43.66 ID:miqaDy4s [7/12]
>>183 つづき
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝ は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)