21/07/10 09:14:08.82 ki6u/ufM.net
猿でも分かる回答求む
1041:１３２人目の素数さん
21/07/10 21:47:46.76 fPqgbzq/.net
エレガントなやつでなくてもいいなら持ってるけど
1042:１３２人目の素数さん
21/07/11 09:12:10.77 cEcS7Pdl.net
>>984
go ahead
1043:１３２人目の素数さん
21/07/11 22:12:01.41 eAUQRtpO.net
とりあえず概略
区間[λ,ρ]に対して中点録Mnを
M0 = {λ,ρ},
M1 = {λ,λ#ρ,ρ},
Mn = {λ,λ#(λ#ρ),λ#ρ,(λ#ρ)#ρ,ρ},
‥
とM0から始めて前のリストの隣接する2数の中点を追加して得られる有理数の集合を考える
あるMnの隣接する2点として現れる２つの有理数をIにおいてある時点で隣接すると呼ぶ
区間I=[b/a,d/c]が|ad-bc|=1の時よい区間と呼ぶ
命題 I=[q/p,s/r]、J=[b/a, d/c]がともによい区間の時
fIJ(x) = (b(rx -s) + d(px-q))/(a(rx-s)+c(px-q))
である
∵) 右辺をf(x)とおく
行列A = [[p,-q],[r,-s]], B=[[d,b],[c,a]]の引き起こす一次変換は格子点の間の全単射を引き起こす
また有理数v/uに対しBA[[v],[u]] = [[v'],[u']]の時f(v/u) = v'/u'であり、v/uが既約分数ならv'/u'も既約分数となる
よってv/u、t/sが既約分数でBA[[v],[u]] = [[v'],[u']]、BA[[t],[s]] = [[t'],[s']]の時BA[[v+t],[u+s]] = [[v'+t'],[u'+s']]でありv'/u'、t'/s'も既約分数で
f(v/u) # f(t/s)
= (v'+t')/(u'+s')
= f((v+t)/(u+s))
=f(v/u # t/s)
により主張が成り立つ
補題
I,Jを区間、λ,ρがある時点でIの隣接する2点でありfIJ(λ) = μ、fIJ(ρ) = νとするとき任意のx∈[λ,ρ]に対してfIJ(x) = f[λ,ρ][μ,ν](x)である
∵) 容易
補題
Jを区間でb/a∈Jが最大元でないとする
この時ある時点でb/aで右側に隣接するd/cが存在して|ad-bc|=1となる
∵)ある時点でb/aと右側で隣接するd/c全体の中で|ad-bc|が最小となるものをとり|ad-bc|>1と仮定する
ad-bcの素因子とすれば(a,b)と(c,d)はFp係数で平行だから正の数kを(c,d)+k(a,b)≡(0,0) (mod p)となるように取れる
d/cから始めてb/aとの中点を取る操作をk回行うと(bk+d)/(ak+c)でありg=(bk+d,ak+c)>0, c'=(ak+c)/g, d'=(bk+d)/gとおけばd'/c'はb/aと左側で隣接し|ad'-bc'|=|ad-bc|/gとなり矛盾する
1044:１３２人目の素数さん
21/07/11 22:12:09.88 eAUQRtpO.net
主張
Iがよい区間、Jを一般の区間にとる
Iの点χが最大元でなければχと右側である時点で右側で隣接するξが存在してfIJは[χ,ρ]において一次分数関数である
同様の主張が最小元でない元の左側で成り立つ
∵) fIJ(χ)=b/aとしてb/aの右側である時点で隣接するd/cをとる
fIJ(ξ)=d/cとなるξをとればよい
主張
Iがよい区間、Jを一般の区間にとる
χ=v/uをIの内点にとりζ、ξ∈IをfIJが[ζ,χ],[χ,ξ]において一次分数関数となるようにとる
この時fIJのx=χにおける左側、右側微分係数は一致する
∵) fIJ = f とおく
I = [0,∞]、χ=1、ζ=0、ξ=∞として一般性を失わない
f(0) =b/a、f(1)=d/c、f(∞)=f/eとする
[0,1]においてf(x)=(b+(d-b)x)/(a+(c-a)x))、
[1∞]においてf(x)=(fx+(d-f))/(ex+(c-e))、
である
上の右辺をg(x)、下の右辺をh(x)とおくときg(1)=h(1)であるよって(log(g))'(1)=(log(h))'(1)を示せばよいが、ともに-/(cd)である
1045:１３２人目の素数さん
21/07/12 11:50:52
1046:.10 ID:SZPGMf+k.net
1047:１３２人目の素数さん
21/07/12 19:01:12.36 nQ2wYZke.net
エレガントな出題をほしいのだが
1048:１３２人目の素数さん
21/07/12 22:27:17.73 /mMRlotm.net
>>986
そのfはどっから出てきたのかっていう
1049:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:13:12.50 rkg/Cex9.net
>>990
要するにこの問題はそこがミソ
有理数b/aを座標平面の格子点(a,b)に対応させて考える
すると1/2と3/1の中点4/3は(2,1)と(1,3)の和(3,4)を対応させていることになる
なので“中点を保存する写像”とは座標平面上では“和を保存する写像”となりすなわち“一時変換”ということになる
なので考えている区間がたとえば[0/1,1/0]から[2/3,3/4]なら(1,0)を(3,2)に、(0,1)を(4,3)に写す線形写像だから行列[[3,4],[2,3]]で表される写像で、y/xを(2x+3y)/(3x+4y)に写す写像だからf(t)=(2+3t)/(3+4t)と求まる
この“一次分数関数”を“行列”で考えるテクニックは超頻出テクニックで最もよく使われるテクニック
有理数近似の理論とか連分数の理論とかで頻出
時々受験数学レベルでも出てくる
ただしこのテクニックがうまく機能するには出てくる行列の行列式が±1出ないとダメで不通その前提条件で考えるけど、この問題はその前提外したらどうなりますかというお話
このテクニック知ってる人間ならその“出題者の意図”が透けて見えるので考えるべきポイントもすぐわかる
逆にコレ知らないと中々手でないかもね
1050:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:47:57.17 /mMRlotm.net
>>991
なんか納得いかないなw
LR表記がミスリードにしかならんよ
1051:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:56:56.22 rkg/Cex9.net
知らんがなw
1052:１３２人目の素数さん
21/07/13 00:03:33.18 w61FTnjw.net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1053:１３２人目の素数さん
21/07/17 21:50:50.75 kflQ1m7L.net
>>994
サンキュークリリン
1054:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:14.28 wdJtaXvI.net
こっちもういらねえか
1055:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:20.39 wdJtaXvI.net
うめ
1056:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:28.01 wdJtaXvI.net
うーめ
1057:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:34.33 wdJtaXvI.net
埋め立て
1058:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:40.53 wdJtaXvI.net
完了
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