21/05/09 21:00:03.34 KICdmF8d.net
>>930
|λ| = √{q/(1-q)} = 1.9614591767
-cosφ = sin(πθ/2) = √{(1-q)/2} = 0.3211693276
sinφ = cos(πθ/2) = √{(1-q)/2} (√3)/(2q-1) = 0.9470217859
|a|, |b|, |c| の少なくとも一つは１より大きくなり…
995:１３２人目の素数さん
21/05/10 00:23:08.17 i71w++EK.net
>>929
漸化式
a_{n+1} = 2b_n - a_{n-1},
b_{n+1} = 2c_n - b_{n-1},
c_{n+1} = a_n - c_{n-1},
u_{n+6} + 3u_{n+4} - 4u_{n+3} + 3u_{n+2} + u_n = 0,
特性多項式
(tt+1)^3 - 4t^3
= (tt - 2qt + 1){tt + 2qqt + q/(1-q)}{tt + 2q(1-q)t +(1-q)/q}
= (t - e^{iπθ}) (t - e^{-iπθ}) (t - λ) (t - λ') (t - 1/λ) (t - 1/λ')
996:１３２人目の素数さん
21/05/10 23:43:29.27 aNmZ1Qa+.net
6月号問1の(2)なにこれ
997:１３２人目の素数さん
21/05/10 23:56:53.84 B8kGmpeH.net
受験数学ではありえないテーマやな
条件と必要十分になるθの条件を好きになんでも選べって事やろ
もちろん合ってる合ってないなら問題文の条件そのままコピペしても必要十分
正しいか正しいかではない
エディタを1番唸らしたものの勝ち
998:１３２人目の素数さん
21/05/11 00:01:14.29 nf4TeMQU.net
あ、もしかしたら簡単すぎるやんって意味？
それはそうかも
999:１３２人目の素数さん
21/05/11 16:03:18.46 V1E4ia2/.net
やっぱり簡単すぎるよなあ
ただしθは整数度、が抜けてるとかだろうか
ぶっ飛んだ言い換えをして審査員特別賞狙いにいくのは面白いかもと思った
1000:１３２人目の素数さん
21/05/11 23:34:28.62 V7aKcUts.net
この問題を言い換えると、取りうるθを全部求めよってことだと思うけど
1001:１３２人目の素数さん
21/05/20 12:04:28.47 P4oltw8K.net
5月号2番のガロア理論解答は？
1002:１３２人目の素数さん
21/05/20 13:17:32.35 02+d2nOa.net
解1
m,nを互いに素である自然数とする時
[Q[cos(2πm/n):Q]
=φ(n)/2 (n≧3)
=1 (φはeulerのトーシェント関数)
φ(n)/2=3 となるのはn=7,14のみ
何も(1/2)^(1/3)を含まない
解2
任意の有理数θに対しQ(cos(πθ))/Qはガロア拡大
しかしQ((1/2)^(1/3))/Qは(1/2)^(1/3)の共役元(1/2)^(1/3)exp(2πi/3)を含まないのでガロア拡大ではない
1003:１３２人目の素数さん
21/05/30 20:34:22.17 +7Z4asMt.net
今月は穏やかだな
1004:１３２人目の素数さん
21/06/04 10:12:54.79 1f/LdWNr.net
こういうエレガントがどうこう言ってる限りダメだな
どんな問題でも最初解く時は力技だよ
エレガント云々言ってることは
新しい問題に取り組め無くなることと事実上同じでっせ
1005:１３２人目の素数さん
21/06/04 10:14:08.51 1f/LdWNr.net
エレガントで無くていいから
まず解けな
注目する点を間違ってるぞ
1006:１３２人目の素数さん
21/06/07 11:26:46.84 7mnf7YYR.net
7月号の問題はまだ？
1007:１３２人目の素数さん
21/06/07 21:56:25.53 lGSE8Vpn.net
締切まだですから
1008:１３２人目の素数さん
21/06/09 10:16:12.64 W7KpASHn.net
エレガントで無くていいから
まず解けな
注目する点を間違ってるぞ
1009:１３２人目の素数さん
21/06/09 12:14:47.41 muX9ql7V.net
7月の問題キタ
文が長め
1010:１３２人目の素数さん
21/06/10 09:12:11.83 wOdXYdYP.net
2021年６月号
■出題１
(1) は あと回し。
(2)
O以外の格子点
A(a1,a2) B(b1,b2)
に対して
C(c1,0) c1 = (a1)^2 + (a2)^2 = OA^2,
D(d1,d2) d1 = a1b1+a2b2, d2=a1b2-a2b1,
とおくと、3平方の定理より
OC/OA = OD/OB = CD/AB = OA,
∴ ⊿AOB ∽ ⊿COD (相似)
∴ θ = ∠AOB = ∠COD = ∠D'OD,
D'(d1,0) はDからx軸に下した垂線の足。
∴ θ=∠AOB ならば、θを内角とする直角三角形の
直辺の比 (つまり tangent) は整数比をなす。
逆は明らか。
(1) 上手いやり方が見つからない…
格子点 A(x,0) B(x,y) (y≠0)
が ∠AOB=θ を満たすとする。さらに
C(xx-yy, 2xy)
D(x(xx-3yy), (3xx-yy)y)
とおく。
⊿AOB ∽ ⊿BOC ∽ ⊿COD,
∠AOB = ∠BOC = ∠COD,
∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 3θ,
θ=60° とすると Dはx軸上にあるから
(3xx-yy)y = 0 かつ y≠0
∴ 3xx = yy,
左辺の3の指数は奇数、右辺の3の指数は偶数(0も含む)
∴ これを満たす格子点(x,y)は存在しない。
かなり牛刀だなぁ。
1011:１３２人目の素数さん
21/06/10 18:43:37.15 wOdXYdYP.net
2021年６月号
■出題２
・n=2 と n=4 は (1)は可能、(2)は不可能。
タイルの総数m ≦ [nn/3]
奇数行、奇数列のマス目の数 [(n+1)/2]^2 ≦ m,
∴ [(n+1)/2]^2 ≦ [nn/3]
・n=3 と n=5 は不可能。
・n=6n' は 2x3 ブロックを縦横に並べればよいので、全Lで可能。
・n=7 は L +1S で可能。
・n=3n'+1 は 3n'-1 に2行2列(全L)を追加して可能。
・n=3n'+2 は 3n' に2行2列(∋1S)を追加して可能。
・n=6n'+3 は 6n'+1 に2行2列(∋2S)を追加して可能だが、
S型を減らせないので (2)では使えない。
これらより
nが6以上の偶数のときは可能。
nが7以上の奇数のときは (1)は可能、(2)は？
以上まとめて
(1) n=3, n=5 以外のすべて
(2) 6以上の偶数と7と…？
1012:１３２人目の素数さん
21/06/10 22:06:37.52 sXtlFBJ1.net
(2)で不可能なのはn=2,4,5のみ
あとは可能
1013:１３２人目の素数さん
21/06/10 22:07:39.70 q3ojMB7O.net
n=1も不可能
1014:１３２人目の素数さん
21/06/10 22:07:55.83 q3ojMB7O.net
n=3もやorz
1015:１３２人目の素数さん
21/06/10 22:31:55.79 nnbbsZTh.net
タイルの問題(1)の意味あるか？なんかヒントになってた？
1016:１３２人目の素数さん
21/06/10 23:24:44.72 +Ncm1Ku6.net
>>960
難易度下げて敷居低くしただけと思われ
1017:１３２人目の素数さん
21/06/10 23:50:24.63 XvcT0GX9.net
あとn=5の時に不可能である事を示すのは(1)の方が難しい
不可能性の証明は(1)の方が難しくなるけど、そもそも不可能であるのがちょっとしかないからなぁ
1018:１３２人目の素数さん
21/06/11 01:31:27.60 lkMvJv8z.net
(2) の答は 6以上のすべて
ですね
1019:１３２人目の素数さん
21/06/11 06:23:37.51 ti7gUo9H.net
yes
1020:１３２人目の素数さん
21/06/11 06:38:13.23 ti7gUo9H.net
オレ的なキーは
2×5, 7×7, 5×9
が見つけられるかどうかがだった様な気がする
m×nまで解決するには4×7もミソ
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1021:１３２人目の素数さん
21/06/11 20:04:12.04 q8bkQe7j.net
(2)の条件を緩めて
S字ブロックは2個
1022:以内 としてm×nて分割可能てある場合について考える Prop 2×n (n-=3,n≧5)、3×2n (n≧1)は全て可能 ∵ ) 前半は2×3,2×5,2×7可能であることから容易 後半は自明 Prop m≧n≧4のとき(m,n) = (4,4), (5,5), (5,7)を除いて全て可能 ∵ ) (m,n)が分割不可能なら(m-6,n)も分割不可能であるから最小反例があるとすればm≦9であるか、(m,n) = (10,4),(11,5),(13,5),(11,7)のいずれかであるが、コレらの場合は下の計算と分割例で反例足り得ないとわかる (式の意味はエスパーすべし) (4,4) = impossible (4,5) = (2,5)+(2,5) (4,6) = any × 6m (4,7) = (4,7) (4,8) = ((2,3)+(2,5))+((2,3)+(2,5)) (4,9) = even × 3n (5,5) = impossible (5,6) = any × 6n (5,7) = impossible (5,8) = (2,3)+(2,5)+(3,8) (5,9) = (5,9) (6,6) = any × 6n (6,7) = any × 6n (6,8) = any × 6n (6,9) = any × 6n (7,7) = (7,7) (7,8) = (4,7)+(4,7) (7,9) = (2,9)+(5,9) (8,8) = (2,3)+(2,5)+(6,8) (8,9) = even × 3n (9,9) = (4,9)+(5,9) (4,10) = (4,7)+(4,3) (5,11) = (5,2)+(5,9) (5,13) = (5,2)+(5,2)+(5,9) (7,11) = (7,4) + (7,7)
1023:１３２人目の素数さん
21/06/11 20:04:40.00 q8bkQe7j.net
9×5
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7×7
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7×4
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7×2
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5×2
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┃┗┓┗┓┃
┗━┻━┻┛
1024:１３２人目の素数さん
21/06/11 21:42:21.92 q8bkQe7j.net
訂正
(7,8) = (2,7) + (6,7)
ちなみに逆、すなわち(4,4),(5,5),(5,7)のとき不可能の証明はエレガントと呼べる解答は持ってない
使用するSブロックの位置でコツコツ場合わけする方法しか知らない
少なくとも(4,4),(5,5)で不可能は出題されてる内容に含まれてるので答えないと解答としては完成してない
1025:１３２人目の素数さん
21/06/11 21:58:22.65 DBEyODvP.net
5×5の不可能性はこれの最後の図が面白い
4×4は単純そうで難しい…のか？
URLﾘﾝｸ(fushamath.com)
1026:１３２人目の素数さん
21/06/11 23:13:50.42 q8bkQe7j.net
おお、やっぱりこういう解答があったか
５×７だと同じように塗って12枚必要になるから不可能と示せるな
1027:１３２人目の素数さん
21/06/14 20:59:31.06 IKVeisyG.net
m×n の長方形の場合
タイルの総数 ≦ [mn/3]
奇数行目、奇数列目のマスの数 = [(m+1)/2][(n+1)/2]
∴ [(m+1)/2][(n+1)/2] ≦ [mn/3]
m,n とも奇数の場合は
(m+1)(n+1)/4 ≦ mn/3,
(m-3)(n-3) ≧ 12,
∴ m=3 または n=3 または (5,5) (5,7) (7,5) の場合は敷き詰め不可能。
1028:１３２人目の素数さん
21/06/14 21:16:24.45 V4bBAB96.net
オレの答えと違うな
m×nの場合で(2)を同じ向きのSブロック2回までと拡張して
m×n (m≧n)が敷き詰め可能
⇔
n=2, m≠2,4 または
n=3, m:偶数 または
n=4, m≠4 または
n=5, m≠5, 7 または
n≧6
になった
1029:１３２人目の素数さん
21/06/18 19:27:49.77 wKdBkQ65.net
エレガントで無くていいから
まず解けな
注目する点を間違ってるぞ
1030:１３２人目の素数さん
21/06/18 22:04:18.71 yvLS2zTX.net
>>962
ラベルを利用する方法だと難易度は同じかな
1031:１３２人目の素数さん
21/07/03 12:56:19.96 WjJQe4Jt.net
今月の2は超難問
1032:１３２人目の素数さん
21/07/04 17:24:25.46 B6LaWuY8.net
でもないか
微分可能性はわからん
1033:１３２人目の素数さん
21/07/04 18:25:50.01 Bako64+W.net
まぁ超有名問題やからな
1034:１３２人目の素数さん
21/07/04 19:15:51.75 p6dwjwYD.net
>>977
微分可能性は簡単なん？
1035:１３２人目の素数さん
21/07/04 21:48:51.68 cZ2S4pFd.net
まぁ件の対応がどうかけてるのか結果知ってれば
1036:１３２人目の素数さん
21/07/04 23:43:32.89 B6LaWuY8.net
>>979
可微分性は�
1037:繪ｵ 出題1の2でつまる
1038:１３２人目の素数さん
21/07/07 00:09:32.90 kh/fIGyx.net
>>980
出題1の2はなんとか
さて可微分はどすっぺ
1039:１３２人目の素数さん
21/07/08 01:56:41.44 X2FQ/6Vg.net
>>979
これ自力で解ける人いるのかな
1040:１３２人目の素数さん
21/07/10 09:14:08.82 ki6u/ufM.net
猿でも分かる回答求む
1041:１３２人目の素数さん
21/07/10 21:47:46.76 fPqgbzq/.net
エレガントなやつでなくてもいいなら持ってるけど
1042:１３２人目の素数さん
21/07/11 09:12:10.77 cEcS7Pdl.net
>>984
go ahead
1043:１３２人目の素数さん
21/07/11 22:12:01.41 eAUQRtpO.net
とりあえず概略
区間[λ,ρ]に対して中点録Mnを
M0 = {λ,ρ},
M1 = {λ,λ#ρ,ρ},
Mn = {λ,λ#(λ#ρ),λ#ρ,(λ#ρ)#ρ,ρ},
‥
とM0から始めて前のリストの隣接する2数の中点を追加して得られる有理数の集合を考える
あるMnの隣接する2点として現れる２つの有理数をIにおいてある時点で隣接すると呼ぶ
区間I=[b/a,d/c]が|ad-bc|=1の時よい区間と呼ぶ
命題 I=[q/p,s/r]、J=[b/a, d/c]がともによい区間の時
fIJ(x) = (b(rx -s) + d(px-q))/(a(rx-s)+c(px-q))
である
∵) 右辺をf(x)とおく
行列A = [[p,-q],[r,-s]], B=[[d,b],[c,a]]の引き起こす一次変換は格子点の間の全単射を引き起こす
また有理数v/uに対しBA[[v],[u]] = [[v'],[u']]の時f(v/u) = v'/u'であり、v/uが既約分数ならv'/u'も既約分数となる
よってv/u、t/sが既約分数でBA[[v],[u]] = [[v'],[u']]、BA[[t],[s]] = [[t'],[s']]の時BA[[v+t],[u+s]] = [[v'+t'],[u'+s']]でありv'/u'、t'/s'も既約分数で
f(v/u) # f(t/s)
= (v'+t')/(u'+s')
= f((v+t)/(u+s))
=f(v/u # t/s)
により主張が成り立つ
補題
I,Jを区間、λ,ρがある時点でIの隣接する2点でありfIJ(λ) = μ、fIJ(ρ) = νとするとき任意のx∈[λ,ρ]に対してfIJ(x) = f[λ,ρ][μ,ν](x)である
∵) 容易
補題
Jを区間でb/a∈Jが最大元でないとする
この時ある時点でb/aで右側に隣接するd/cが存在して|ad-bc|=1となる
∵)ある時点でb/aと右側で隣接するd/c全体の中で|ad-bc|が最小となるものをとり|ad-bc|>1と仮定する
ad-bcの素因子とすれば(a,b)と(c,d)はFp係数で平行だから正の数kを(c,d)+k(a,b)≡(0,0) (mod p)となるように取れる
d/cから始めてb/aとの中点を取る操作をk回行うと(bk+d)/(ak+c)でありg=(bk+d,ak+c)>0, c'=(ak+c)/g, d'=(bk+d)/gとおけばd'/c'はb/aと左側で隣接し|ad'-bc'|=|ad-bc|/gとなり矛盾する
1044:１３２人目の素数さん
21/07/11 22:12:09.88 eAUQRtpO.net
主張
Iがよい区間、Jを一般の区間にとる
Iの点χが最大元でなければχと右側である時点で右側で隣接するξが存在してfIJは[χ,ρ]において一次分数関数である
同様の主張が最小元でない元の左側で成り立つ
∵) fIJ(χ)=b/aとしてb/aの右側である時点で隣接するd/cをとる
fIJ(ξ)=d/cとなるξをとればよい
主張
Iがよい区間、Jを一般の区間にとる
χ=v/uをIの内点にとりζ、ξ∈IをfIJが[ζ,χ],[χ,ξ]において一次分数関数となるようにとる
この時fIJのx=χにおける左側、右側微分係数は一致する
∵) fIJ = f とおく
I = [0,∞]、χ=1、ζ=0、ξ=∞として一般性を失わない
f(0) =b/a、f(1)=d/c、f(∞)=f/eとする
[0,1]においてf(x)=(b+(d-b)x)/(a+(c-a)x))、
[1∞]においてf(x)=(fx+(d-f))/(ex+(c-e))、
である
上の右辺をg(x)、下の右辺をh(x)とおくときg(1)=h(1)であるよって(log(g))'(1)=(log(h))'(1)を示せばよいが、ともに-/(cd)である
1045:１３２人目の素数さん
21/07/12 11:50:52
1046:.10 ID:SZPGMf+k.net
1047:１３２人目の素数さん
21/07/12 19:01:12.36 nQ2wYZke.net
エレガントな出題をほしいのだが
1048:１３２人目の素数さん
21/07/12 22:27:17.73 /mMRlotm.net
>>986
そのfはどっから出てきたのかっていう
1049:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:13:12.50 rkg/Cex9.net
>>990
要するにこの問題はそこがミソ
有理数b/aを座標平面の格子点(a,b)に対応させて考える
すると1/2と3/1の中点4/3は(2,1)と(1,3)の和(3,4)を対応させていることになる
なので“中点を保存する写像”とは座標平面上では“和を保存する写像”となりすなわち“一時変換”ということになる
なので考えている区間がたとえば[0/1,1/0]から[2/3,3/4]なら(1,0)を(3,2)に、(0,1)を(4,3)に写す線形写像だから行列[[3,4],[2,3]]で表される写像で、y/xを(2x+3y)/(3x+4y)に写す写像だからf(t)=(2+3t)/(3+4t)と求まる
この“一次分数関数”を“行列”で考えるテクニックは超頻出テクニックで最もよく使われるテクニック
有理数近似の理論とか連分数の理論とかで頻出
時々受験数学レベルでも出てくる
ただしこのテクニックがうまく機能するには出てくる行列の行列式が±1出ないとダメで不通その前提条件で考えるけど、この問題はその前提外したらどうなりますかというお話
このテクニック知ってる人間ならその“出題者の意図”が透けて見えるので考えるべきポイントもすぐわかる
逆にコレ知らないと中々手でないかもね
1050:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:47:57.17 /mMRlotm.net
>>991
なんか納得いかないなw
LR表記がミスリードにしかならんよ
1051:１３２人目の素数さん
21/07/12 23:56:56.22 rkg/Cex9.net
知らんがなw
1052:１３２人目の素数さん
21/07/13 00:03:33.18 w61FTnjw.net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1053:１３２人目の素数さん
21/07/17 21:50:50.75 kflQ1m7L.net
>>994
サンキュークリリン
1054:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:14.28 wdJtaXvI.net
こっちもういらねえか
1055:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:20.39 wdJtaXvI.net
うめ
1056:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:28.01 wdJtaXvI.net
うーめ
1057:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:34.33 wdJtaXvI.net
埋め立て
1058:１３２人目の素数さん
21/07/17 23:34:40.53 wdJtaXvI.net
完了
1059:1001
Over 1000 Thread.net
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