18/09/07 08:23:18.20 CWn0g6rX.net
これおかしくないすか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
650:１３２人目の素数さん
18/09/07 09:48:30.97 Yxvt+nxW.net
>>624
3P2*4!/6!=0.2だから不正解の判断は正しいでいいんじゃ？
651:１３２人目の素数さん
18/09/07 09:50:39.91 OR7VQKt9.net
選出公理
∀λ ∈ Λ(A_λ ≠ φ) ⇒ Π A_λ ≠ φ
はなぜ必要なのでしょうか？
Λ が有限集合の場合には、全く自明と書いてあります。
Λ が無限集合になるとなぜ自明ではないのでしょうか？
652:１３２人目の素数さん
18/09/07 10:04:10.47 4PGGzpG2.net
ある美術展の入場料は大人1200円、子ども800円である。ある日の入場者のうち80％が大人、20％が子どもで、入場料の合計は392000円だった。この日の入場者のうち子どもは [ ] 人である。
653:イナ
18/09/07 10:37:17.35 mXreSOum.net
>>627
子供をx人とすると、大人は4倍だから4x人。
392000=1200×4x+800x
3920=48x+8x=56x
490=7x
70=x
∴子供は70人
654:１３２人目の素数さん
18/09/07 10:56:46.56 U68TdVzs.net
16時から17時までの間で長針と短針が重なるときの時刻を求めよ。
655:１３２人目の素数さん
18/09/07 11:09:26.72 RoI4Z1e9.net
t/60-t/720=n
11t=720n
t=720n/11
240≦720n/11≦300
4≦12n/11≦5
44≦12n≦55
n=4
t=261.818181…
t-240=21.818181…
0.818181…×60=49.090909…
16時21分49.090909…秒
656:１３２人目の素数さん
18/09/07 11:18:01.67 EcZwD/Yu.net
>>626
前後の文脈を書かないと何を言いたいのか伝わらないよ
657:１３２人目の素数さん
18/09/07 11:48:45.99 U68TdVzs.net
n時から(n+1)時までの間で長針と短針が重なる時刻がただ1つ存在することは、中間値の定理を用いて示す必要がありますか？
また、n時台で重なった時刻の分以下の実数をa_nとするとき、a_nとa_n+1の差の絶対値はnによらず一定ですか？
658:１３２人目の素数さん
18/09/07 12:34:31.35 YhTLMi8a.net
普通の時計は同速で動くわけじゃ無いんだよね
秒ごとだったり分ごとだったり
>>632
針が重なった時に
その位置が上に来るように回転させて
その位置を12時って書き直せば
次なに重なるのは同じ時間
659:１３２人目の素数さん
18/09/07 13:05:38.54 Tm9qmFI0.net
>>626
有限集合の場合に証明してみなよ
660:１３２人目の素数さん
18/09/07 13:44:49.68 U68TdVzs.net
>>633
回転させると対称性で解決するんです�
661:ﾋ。k時m分s秒と書いて式にしていたんですがばからしく見えました
662:１３２人目の素数さん
18/09/07 15:31:16.49 Yxvt+nxW.net
>>623
凄いな。
どうやってそういうのが思いつけるんだろ。
やっぱり、素質なんだろね。
663:１３２人目の素数さん
18/09/07 17:33:12.11 YA7pwD8J.net
岩波数学辞典では Bessel 関数 J_n(z) の母関数を
exp(z(t-1/t)) = Σ[n=-∞,∞] t^n J_n(z)
が載ってるんですが同じことを半 Bessel 関数についてやった
Σ[n=-∞,∞] t^n J_(n+1/2)(z)
は計算できるでしょうか？
664:１３２人目の素数さん
18/09/07 17:33:47.88 IeKE/87s.net
>>623
c[n] = {n,0} / (n!･2^n)
= (2n-1)!! a[n］
= ｉ[Ｉ_{3/2}(-1)･Ｋ_{n+1/2}(1) - Ｋ_{3/2}(1)･Ｉ_{n+1/2}(-1) ],
c[1] = 0 となるのは分かる。 >>609
665:１３２人目の素数さん
18/09/07 19:48:09.02 YA7pwD8J.net
>>638
同じく。ここから lim a[n]の計算がわからない。
そもそも数学辞典にある変形ベッセル関数のまんまの定義だと(-1)代入できない。
そこは元のベッセル関数に i 代入すればかわせるけど、いずれにせよ n→∞ のときの挙動をどうやって調べたらいいのかわからない。
666:１３２人目の素数さん
18/09/07 20:24:26.61 U68TdVzs.net
以下の性質をもつ実数xについての連続関数f(x)の例を挙げるか、または存在しないことを証明せよ。
・各自然数mに対しm-(1/m)≦x≦m+(1/m)の範囲において少なくとも1つの整数値をとる。
・任意の自然数kに対してある自然数a[k]が存在し、a[k]<x<a[k+1]の範囲でf(x)が自然数となるxがちょうどk個ある。
667:１３２人目の素数さん
18/09/08 02:36:14.32 GAn4hSIs.net
全ての三角形は三次元座標上の正三角形の二次元座標への射影として表現できる？
668:１３２人目の素数さん
18/09/08 02:58:48.68 LYybmjpA.net
>>639
I_{3/2}(-1) = -i√(2/π) (1/e),
K_{n+1/2}(1) = √(π/2) b[n]/e,
K_{3/2}(1) = √(π/2) (2/e),
I_{n+1/2}(-1) = i√(2/π) {c[n]e - b[n]/e}/2,
b[0] = 1; b[1] = 2; b[2] = 7; b[3] = 37; b[4] = 266; b[5] = 2431; b[6] = 27007; b[7] = 353522;
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
c[0] = 1; c[1] = 0; c[2] = 1; c[3] = 5; c[4] = 36; c[5] = 329; c[6] = 3655; c[7] = 47844;
c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2] >>623
なお、変形ベッセル函数（小さいn）は
I_{1/2}(z) = √(2/π) sinh(z) z^(-1/2),
I_{3/2}(z) = √(2/π) {z cosh(z) - sinh(z)} z^(-3/2),
I_{5/2}(z) = √(2/π) {(3+zz)sinh(z) - 3z cosh(z)} z^(-5/2),
I_{7/2}(z) = √(2/π) {(15z+z^3)cosh(z) - (15+6zz)sinh(z)} z^(-7/2),
I_{9/2}(z) = √(2/π) {(105+45zz+z^4)sinh(z) - (105z+10z^3)cosh(z)} z^(-9/2),
K_{1/2}(z) = √(π/2) exp(-z) z^(-1/2),
K_{3/2}(z) = √(π/2) exp(-z) (1+z) z^(-3/2),
K_{5/2}(z) = √(π/2) exp(-z) (3+3z+zz) z^(-5/2),
K_{7/2}(z) = √(π/2) exp(-z) (15+15z+6zz+z^3) z^(-7/2),
K_{9/2}(z) = √(π/2) exp(-z) (105+105z+45zz+10z^3+z^4) z^(-9/2),
669:１３２人目の素数さん
18/09/08 05:07:23.30 LYybmjpA.net
>>639
a[n] = a[n-1] + a[n-2]/{(2n-1)(2n-3)},
a[n] ～ (1/e)(8n-5)/(8n-3) → 1/e,
b[n] = (2n-1)b[n-1] + b[n-2],
b[n]/(2n-1)!! ～ e (8n-5)/(8n-3) → ｅ,
c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2],
c[n]/(2n-1)!! ～ (1/e)(8n-5)/(8n-3) → 1/e,
670:１３２人目の素数さん
18/09/08 10:32:24.99 /f0/Th7a.net
>>643
最後の → 1/e とかはどうやって示すんですか？
671:１３２人目の素数さん
18/09/08 10:38:44.57 /f0/Th7a.net
>>643>>644
あ、もちろん最後の→ではなくてその直前の～です。
672:１３２人目の素数さん
18/09/08 11:08:42.13 AS6rFup+.net
インターネットで検索してもよくわからなかったのでスレちがいを知りつつ質問します
血液検査の結果に「＞1.0*10E7」という数値があるのですが、
もしかしてこれは一千万以上という意味ですか？
ご教示ください
673:１３２人目の素数さん
18/09/08 12:08:05.17 5EfdbjtU.net
>>641
できる。
nを射影する平面の単位法線ベクトル、a,bをaa = bb = 2ab = 1であるベクトル、c = b-a、k,l,m を実数値として
674:a,b,c の射影の長さはan、bn、cn(←内積)。 これが k:l:m になるのは k:l:m = an:bn:cn。 ここでk:l = an:bn…①はnについての線形方程式で平面を表す。 同様にk:m = an:cn…②も平面で①、②の交わりからnを作れば3辺の比がk:l:mの三角形が作れる。
675:１３２人目の素数さん
18/09/08 12:15:48.25 5EfdbjtU.net
>>647 うそ書きました。
正しくは
a,b,c の射影の長さは|a×n|、|b×n|、|c×n|(←外積の長さ)。
でした。
よって①、②の交わりが0意外の解を持つかもう一議論必要です。
676:１３２人目の素数さん
18/09/08 13:41:11.90 9uM8YKs6.net
ふと思ったことがあるのでここで質問します
エレベーターの最適配置の問題なのでここで良いかな？
1つのビルにｍ台エレベーターがあるとして、そのいずれのエレベーターも任意の階に停止出来るごく普通のエレベーターとします。
これらｍ台のエレベーターは利用者に使われる度にどの階に停止してスタンバイをしておけば、
利用者の総待ち時間を最低にすることが出来るんですか？
エレベータって利用者に使われた後は、その階に留まり続けます。
1階から乗って10階に行ったら、再度どこかの階でそのエレベーターが呼ばれない限りその階に停止し続けます。
でも、利用者がエレベーターを利用する際には、1階を起点としてどこかの階へ行くと言うことが大半なので
ある程度の台数は1階にスタンバイさせておく方が利用者の総待ち時間を減らすことに資するのでは無いかと、日々の経験で感じます。
その一方で、10階建てのマンションならば7階あたりにも1台常に停止させておいた方が高層階の人の待ち時間減少にもつながると思います。
利用者の利用階･目的階に関する統計データに基づいて考察すべきなのでしょうが、
エレベーターを何階あたりに何台配置するのが良いのでしょうか？
こういった問題は、数学的議論にモデル化して計算出来ると思うのですが、
これを具体的に議論をしているサイトなり書籍なりあれば教えて下さい。
677:１３２人目の素数さん
18/09/08 13:53:46.15 WFiBaON4.net
>>646
統計解析ソフトRだと 1e7が１０００万で10e7は１億になるんだが、
これが一般的な用いられ方かどうかは知らない。
678:１３２人目の素数さん
18/09/08 14:00:30.99 Axo8nQCA.net
>>650
1.0 ってかいてあるじゃん
679:１３２人目の素数さん
18/09/08 16:35:09.77 VMmCPHkm.net
確率１．５で起こる事象とは何ですか？
680:１３２人目の素数さん
18/09/08 18:35:08.93 M4EndEy5.net
>>649
ものすごく単純化したモデルでは一階、もしくは2階で待機がベストな希ガス。
たとえば１１階建てマンション、１Fの住民は無視、２Fだろうがなんだろうが必ずエレベーターをつかう、待機時間は|待機階ー呼ばれた階|に単純に比例。
評価は全住人の待機時間の総和の期待値（←これがKey）。
1Fを待機場所に選んだ場合から2Fを待機場所に選んだ場合の待機時間の変化を考えればすべての住人にとって上がるときの待機時間は1F分長くなるけど、降りるときの待機時間は1F分短くなる。
よって差し引き０。
2Fを待機場所に選んだ場合から3Fを待機場所に選んだ場合の待機時間の変化を考えればすべての住人にとって上がるときの待機時間は1F分長くなるけど、2Fの住人以外は降りるときの待機時間は1F分短くなるが、2Fの住人は1F分長くなる。
よって差し引き2Fの住人の数だけ損。
…
となって階があがるごとに1F、2Fを待機場所に選んだ場合より評価値は下がっていく。
ただし上記モデルは単純に待機時間の和が評価値にしたけど、最大待機時間等々、評価関数のとり方で最適な待機位置はかわる。
最大待機時間を評価関数にしたらど真ん中の6F待機にすべきだろうし。
なにを評価関数に取るべきかは�
681:S理学的な要素の方が強いからなぁ。
682:１３２人目の素数さん
18/09/09 07:28:58.05 g3WrdwRz.net
どうしても分からないので助けてください。
↓の解き方でやると模範解答と違う答えになってしまいます。
↓の答案のどの部分が誤りの原因になっているのか、指摘お願いします……
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
683:１３２人目の素数さん
18/09/09 07:37:03.23 Z25mLw6/.net
2行目が違います
1/θでθ→0にしたら発散してしまいますよね
lim AB=lim A ×lim B
こういうことしていいのは、lim A もlim Bも収束する時でしたね
684:１３２人目の素数さん
18/09/09 08:05:58.69 g3WrdwRz.net
そうなんですか。ありがとうございます
今までは「limは一度に同時に外さないとダメ」とかアバウトな説明しか受けてなかったので
明確な条件がようやく理解できて助かりました
685:１３２人目の素数さん
18/09/09 08:08:34.96 g3WrdwRz.net
一行目の式を仮定して
a(n)がn→∞でいくらに収束するか求めよという問題で
どうやっても証明できそうなのですが模範解答見たら自分のやり方と全然違って怖くなりました
この回答で問題ないでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
686:１３２人目の素数さん
18/09/09 08:09:39.21 g3WrdwRz.net
すいません、a(1)＝2という仮定があります。
687:１３２人目の素数さん
18/09/09 09:01:17.07 2uYgnU1o.net
>>657
問題ない
688:１３２人目の素数さん
18/09/09 09:33:58.66 MH+Fklvu.net
>>657
全く違う模範解答の方に興味が湧いた
689:１３２人目の素数さん
18/09/09 10:22:40.12 82rhCeBw.net
俺もその「全然違う」模範解答が気になる
ただ、解答の b1<1 という条件は不要な条件だと思う
690:１３２人目の素数さん
18/09/09 10:29:31.76 p+giZO8u.net
me too
691:１３２人目の素数さん
18/09/09 13:53:05.15 pvl3eTy/.net
b/3<(b/3)^(2^n).
692:１３２人目の素数さん
18/09/09 15:03:27.80 2uYgnU1o.net
半径1の円に内接する四角形で、隣り合う頂点のそれぞれの内角の和が60°であるもののうち、面積最大のものを求めよ。
693:１３２人目の素数さん
18/09/09 15:33:57.17 Q4Zi3ZCP.net
>>664
>四角形で、隣り合う頂点のそれぞれの内角の和が60°である
意味不明
694:１３２人目の素数さん
18/09/09 16:11:45.74 2uYgnU1o.net
>>665
四角形ABCDにおいて∠A+∠B=60°
と同値
695:１３２人目の素数さん
18/09/09 16:54:09.43 LWxOr0D1.net
>>666
∠Cと∠Dも隣合うけど
どこいった
この変な問題文からして自作問題？
696:１３２人目の素数さん
18/09/09 17:28:47.49 2uYgnU1o.net
>>667
これでどう？
少なくとも一組の隣り合う角の大きさの和が60°であるような四角形のうちで
697:１３２人目の素数さん
18/09/09 17:33:27.67 6jAbTeki.net
変さに磨きが掛かったな
698:１３２人目の素数さん
18/09/09 17:44:08.17 2uYgnU1o.net
以下の条件Cを満たすxの多項式f(x)は存在するか。
存在するならば一組求めよ、存在しないならばそれを証明せよ。
C：xy平面上の曲線y=f(x)とちょうど2点で交わるような直線はただ1つしか存在しない。
699:１３２人目の素数さん
18/09/09 17:47:22.90 2uYgnU1o.net
半径1の円に四角形ABCDを以下の条件のもとで内接させるとき、四角形ABCDの面積を最大にするA,B,C,Dの位置関係を与えよ。
「∠DAB+∠ABC=60°」
ただし∠DABおよび∠ABCは四角形ABCDの内角である。
700:１３２人目の素数さん
18/09/09 17:59:43.96 2uYgnU1o.net
△ABCの内心I、外心O、垂心G、重心H、とするとき、このうちのある3点のみが一致することが分かっている（どの3点が一致するかは不明である）。
このとき、△ABCは必ず正三角形であると言えるか。
701:１３２人目の素数さん
18/09/09 18:06:11.28 2uYgnU1o.net
aを実数とする。数列a[n]を
a[1]=a
a[n+1]=a[n]/{1+(a[n])^2}
で与えるとき、
（1）b[n]=1/a[n]とおく。b[n+1]をb[n]の式で表せ。
（2）lim[n→∞] n*a[n] が0でない有限値に収束するような
702:aの範囲または値を求めよ。
703:１３２人目の素数さん
18/09/09 19:07:37.06 MYGAesBf.net
>>664 >>666
弦CD は 弦ABより外側にある。
中心角は円周角の2倍だから
∠AOC = 2∠B,
∠DOB = 2∠A,
また
∠DOC = θ, (0 ≦ θ ≦ A+B)
とおくと
∠AOD = 2B - θ,
∠COB = 2A - θ,
∠AOB = 2A + 2B - θ,
よって
△AOD + △COB = {sin(2B-θ) + sin(2A-θ)}/2
= sin(A+B-θ) cos(A-B)
≦ sin(A+B-θ), (等号成立は A=B)
△DOC - △AOB = {sinθ - sin(2A+2B-θ)}/2
= - sin(A+B-θ) cos(A+B)
S(θ) = △AOD + △DOC + △COB - △AOB
≦ {1-cos(A+B)} sin(A+B-θ)
≦ {1-cos(A+B)} sin(A+B)
= (√3)/4, (A+B=60ﾟ)
704:１３２人目の素数さん
18/09/09 22:58:19.74 emd7Vn0J.net
数学を学ぶとどんなご利益があるのでしょうか？
705:１３２人目の素数さん
18/09/09 22:59:19.68 p+giZO8u.net
モテる
706:１３２人目の素数さん
18/09/10 00:58:59.15 pnIH7SuR.net
マジかよお前らモテモテじゃねぇか
707:１３２人目の素数さん
18/09/10 01:11:38.29 PFg6xC8z.net
やおいコホモロジー。
708:１３２人目の素数さん
18/09/10 02:14:16.36 2NyESPYH.net
どうしてもわからない問題があるのですが、
例えばガチャガチャで5種類のおもちゃがあり、それをコンプリートするまでの平均回数のやり方はわかるんですが、そこにプラスで10回に1回の確率で出るシークレットが入ってきた場合、コンプリートするまでの平均回数の求め方がイマイチわかりません。
よろしければ式と一緒に教えていただきたいです。
709:１３２人目の素数さん
18/09/10 02:18:17.39 2NyESPYH.net
通常のおもちゃ5種類＋10分の1で出るシークレット1種類の計6種類コンプです。
710:１３２人目の素数さん
18/09/10 03:28:17.68 x5puqLGt.net
>>679
２つ前の過去スレに式が載っていた
711:１３２人目の素数さん
18/09/10 07:10:51.03 3cPf5e0b.net
>>640
f(x) = x(x+1)/2,
・各自然数mに対し、f(m) = m(m+1)/2 = 1+2+…+m は自然数。
・任意の自然数kに対して
k < x < k+1 ⇒ k(k+1)/2 < f(x) < (k+1)(k+2)/2,
f(x) が通る自然数は k(k+1)/2 +1 ～ k(k+3)/2 ちょうどk個ある。
712:１３２人目の素数さん
18/09/10 08:46:57.35 3cPf5e0b.net
>>670
f(x) はn次の多項式で、最高次(n次)の係数が正としてもよい。
n≦1 のとき、交点は
0個(平行にずれている) か 1個(平行でない) か 無数(重なる) のいずれか。
ちょうど2点で交わるような直線は存在しない。
nが偶数（≧2）のとき
f の極大の最大値をMとする。（無いときは極小値)
Mより大きい任意のcに対し、直線 y=c は y=f(x) とちょうど2点で交わる。
ちょうど2点で交わるような直線は無数にある。
nが奇数（≧3）のとき
f ' の極大の最大値をMとする。（無いときは極小値)
ある a<b があって
x<a or b<x ⇒ f '(x) > M,
c<a or b<c なる任意のcに対し f '(c) > M,
x=c での接線 y = f(c) + f'(c)(x-c) は y=f(x) とちょうど2点で交わる。
ちょうど2点で交わるような直線は無数にある。
713:１３２人目の素数さん
18/09/10 08:54:15.81 3cPf5e0b.net
>>683
f ' の極大はすべて (a,b) に含まれるとした。
x<a では f ' は単調減少
b<x では f ' は単調増加
714:１３２人目の素数さん
18/09/10 08:57:11.63 I4WLST4V.net
>>680
通常のおもちゃと無関係に
シークレットというのが出るなら
それぞれの平均回数を求めて多い方
その時までには、少ない方は出ているから
715:１３２人目の素数さん
18/09/10 09:34:11.45 3cPf5e0b.net
>>673
(1) b[n+1] = b[n] + 1/b[n],
b[n] ～ √{2n + (1/2)log(n)},
さて、どうするか…
716:１３２人目の素数さん
18/09/10 12:23:26.48 msy4E1h/.net
m,nを与えられた自然数とし、各自然数kに対し自然数a[k]を以下のように定める。
『b[k]={a[k]/(m+k)}-(n/m)とおくと、a[k]はb[k]≧0かつb[k]の最小値を与える。』
a[k]を求めよ。
717:１３２人目の素数さん
18/09/10 12:26:39.48 msy4E1h/.net
（1）定数でない多項式f(x)で、どのような素数pに対してもf(p)が素数となるものを1つ求めよ。
（2）このような多項式は（1）で求めたもの以外に存在するか。
718:１３２人目の素数さん
18/09/10 12:33:54.25 msy4E1h/.net
mは自然数、pは1≦p≦m-1を満たす自然数とする。数列a[n]を
a[0]=m^2-p
a[n+1]=a[n] -［√(a[n])］
で定めるとき、a[n]=0となる最小のnをmとpで表せ。
ただし［x］でxを超えない最大の整数を表す。
719:１３２人目の素数さん
18/09/10 13:15:48.79 /LGbNafZ.net
>>687
それだけの文字数使って何言いたいのか分からん。
最小値っていって動いてるのkしかありえないけど分子にもkあるし。
720:１３２人目の素数さん
18/09/10 15:46:05.70 msy4E1h/.net
>>690
エスパーして書き換えてくれ
721:１３２人目の素数さん
18/09/10 17:15:20.64 89eIPezd.net
>>679
類題への神投稿をコピペ。
0505 １３２人目の素数さん 2018/06/30 01:48:05
こういう問題だったらどうだろう
いわゆるコンプガチャ問題。
Ａ,Ｏ,Ｂ,ＡＢのカードが比率４：３：２：１で排出されるガチャがあり、カードの枚数に上限はなく、何度引いても排出比率は変わらない
すべての種類のカードが1枚以上出るまで引き続ける場合、引く枚数の平均値(期待値)は何枚か？
ID:PKlduf9+
0508 １３２人目の素数さん 2018/06/30 02:42:25
>>505
問題を一般化して、
カードA,B,C,Dの排出確率をa,b,c,dとする。（a,b,c,d＞0, a+b+c+d≦1)
カードAが1枚出るまで引くときの平均枚数をM(A)とすると、
初回でカードAが出た場合の枚数は 1,出なかった場合の平均枚数は 1+M(A) となる。
よって M(A) = a + (1-a)(1+M(A))
これを解いて M(A)=1/a、同様に M(B)=1/b, M(C)=1/c, M(D)=1/d
カードA,Bがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A)
どちらも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B) となる。
M(A,B) = a(1+M(B)) + b(1+M(A)) + (1-(a+b))(1+M(A,B))
これを解いてM(A,B) = (1 + aM(B) + bM(A)) / (a+b) = (1 + a/b + b/a) / (a+b)
整理して M(A,B) = (1 + ((a+b)/b - 1) + ((a+b)/a - 1)) / (a+b) = ((a+b)/b + (a+b)/a - 1)) / (a+b) = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
同様の計算で、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
M(A,B,C) = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(a+b) - 1/(b+c) - 1/(c+a) + 1/(a+b+c)
カードA,B,C,Dがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C,D)とすると、
M(A,B,C,D) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d) を得る。
a=1/10, b=2/10, c=3/10, d=4/10 を代入すると
M(A,B,C,D)
= 10/1 + 10/2 + 10/3 + 10/4 - 10/3 - 10/4 - 10/5 - 10/5 - 10/6 - 10/7 + 10/6 + 10/7 + 10/8 + 10/9 - 10/10
= 445/36 (= 12 + 13/36)
722:１３２人目の素数さん
18/09/10 17:26:57.37 89eIPezd.net
>>680
おもちゃ出る確率は
9/50 9/50 9/50 9/50 9/50 5/50
でいいのかな？
723:１３２人目の素数さん
18/09/10 17:29:23.43 msy4E1h/.net
等差数列{a[n]}はどの項も非負整数からなり、また公差は0でないとする。
b[n]={(-1)^n}*{1/a[n]}と定めるとき、無限級数
Σ[k=1,2,...] b[n]
について以下の問に答えよ。
（1）この無限級数が収束するかどうかを判定せよ。
（2）pを2以上の自然数とするとき、この無限級数の値が(π/p)*ln[p]の形で表されることはあるか。
724:１３２人目の素数さん
18/09/10 17:54:35.22 8X3EqOMc.net
(a_{i, j}) を非負2重数列とする。
Σ_{i = 1}^{∞} Σ_{j = 1}^{∞} a_{i, j} が収束するとする。
このとき、
a_{1, 1} + a_{2, 1} + a_{1, 2} + a_{3, 1} + a_{2, 2} + a_{1, 3} + …
は収束して、その和が Σ_{i = 1}^{∞} Σ_{j = 1}^{∞} a_{i, j} になることを示せ。
725:１３２人目の素数さん
18/09/10 18:23:32.60 5QS5/GHY.net
>>692
これを６枚に拡張して
確率はシークレットが1/10(=5/50）ででて、残りの確率を５個が均等
5/50 9/50 9/50 9/50 9/50 9/50
とすると。
> sum(re)
[1] 16.03973
数式を書くだけでも大変なのでRで計算させた。
p=c(1/10,rep(9/50,5))
n=6
sum.rev <- function(x){ # i,j,k -> 1/(p[i]+p[j]+p[k])
n=length(x)
s=numeric(n)
for(i in 1:n) s[i]=p[x[i]]
1/sum(s)
}
re=numeric(n)
for(i in 1:n) re[i]=(-1)^(i-1)*sum(apply(combn(n,i),2,sum.rev))
sum(re)
全部が揃うのに必要な回数の期待値は
> sum(re)
[1] 16.03973
となった。
726:１３２人目の素数さん
18/09/10 18:55:38.35 5QS5/GHY.net
シミュレーションプログラムを書いて
sim <- function(p){
p=p/sum(p)
n=length(p)
y=NULL
while(!all(1:n %in% y)){
y=append(y,sample(1:n,1,prob=p))
}
return(length(y))
}
mean(replicate(1e5,sim(c(9,9,9,9,9,5))))
１０万回やったときの平均は
> mean(replicate(1e5,sim(c(9,9,9,9,9,5))))
[1] 16.03997
となったので多分、あっていると思う。
727:１３２人目の素数さん
18/09/10 19:05:20.83 4ZNX2FSU.net
Aをb行a列, Bをc行b列 としてrank(AB)≦rank(A)
を示せ。という問題です。斎藤線形代数の章末問題です。私の解答の誤りを指摘して頂きたいです。
A,Bの標準形をそれぞれF(r_a),F(r_b)とすると、A,Bは正則行列P,Qを用いて
A=PF(r_a) B=F(r_b)Q と表せる。
したがって
AB=PF(r_a)F(r_b)Q
=PF(min{r_a,r_b})Q
である。したがって
rankAB=min{r_a,r_b}
となり示せた。
728:１３２人目の素数さん
18/09/10 19:26:59.03 +y0wxK4G.net
そんな糞問なかったぞ
729:１３２人目の素数さん
18/09/10 19:29:33.88 msy4E1h/.net
xy平面上の曲線y=x^3-xの-1≦x≦1の部分をCとする。
Cをx軸方向にaだけ平行移動したあと、y軸方向にbだけ平行移動する。このようにしてCが移った曲線をC(a,b)とする。
C(a,b)とCがn個（n=0,1,2,3）の共有点を持つときのaとbの条件式を各nに対して求めよ。
730:１３２人目の素数さん
18/09/10 19:33:04.68 3cPf5e0b.net
駄作注意報 → 駄作警報 → 退避勧告 →
731:１３２人目の素数さん
18/09/10 21:31:28.58 msy4E1h/.net
694は難度も程よい傑作ですよ
732:１３２人目の素数さん
18/09/10 21:57:06.95 ck7QQMS0.net
スレタイみたら自分が解けない問題を教えてもらうためのスレのようだけど、ぼくがかんがえたさいきょーのおもしろい問題を披露するのもokなの？
733:１３２人目の素数さん
18/09/10 22:01:40.15 J30rr35o.net
>>703
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
734:１３２人目の素数さん
18/09/10 22:02:17.41 haj3Lto8.net
>>703
＞分からない問題はここに書いてね
わからない問題を書くスレッドですね
教えてもらうために問題を書くスレッドではありません
735:１３２人目の素数さん
18/09/10 22:35:40.13 rsTp1EI+.net
◯、△、△、△の4枚のカードを裏返してから混ぜ、伏せて並べる
A B C D
この初期状態の時、右端Aが◯である確率は1/4
ここでAをめくったら△でした。
この時Dが◯である確率って1/4のままなの？
736:１３２人目の素数さん
18/09/10 22:38:40.02 rsTp1EI+.net
今暇やから、何回目のリピかわからんけど答えたるわ
そやで1/4
Aをめくるという行為は
A）実際にDに◯がある
B）実際にはDには◯はない
この２つの分岐の判明過程にしかすぎんからな
確率は1/4
もしAのカードをめくったあとBCDのカードを再シャッフルするなら1/3
と、某スレで教わったのですがあまり納得いかないのです…
737:１３２人目の素数さん
18/09/10 22:49:20.61 A+phdQRt.net
そりゃ間違ってるからな
ABC3枚めくったら△でした
このときDがまるである確率は1/4だと思う人がいるだろうか
738:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:09:21.06 rsTp1EI+.net
>>708
ご回答ありがとうございます
そのことを伝えましたら、
お前、自分はそれが正しいことを理解できない馬鹿猿でーすという宣伝を
まだ続けてたのかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
どこを何枚めくろうが
1/4の確率であたるものが
・あたったか
・はずれたか
・まだ不明か
そこにあるのはそれだけやで
との指導を受けてしまいました
この方は某板では多くの弟子を抱えるほど高名な人なのです
私は誰を信じれば良いのでしょうか？
739:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:18:18.28 A+phdQRt.net
>>709
じゃあ、そいつは3枚めくって○が出なかったとき残りの一枚がまるである確率は1/4だと言い張ってんの？ｗ
○△△△、△○△△、△△○△、△△△○から○△△△ではないことがわかったんだから確率は変わるんだよ
情報が増えればだんだん可能性が狭められるのは当たり前だろ
てかあんた劣等感？
740:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:19:01.38 C2SnjRQz.net
>>706
右端Aではなくて左端A
Dが◯である確率は初期状態で１／４
この後、A B Cから△が出るほどにDが◯である確率は上がってゆく
Dが◯である確率を求める関数は
△が出る回数をｎとおくと
P(A)＝（７ｎ－ｎ^2＋４）／（１６ｎ－４ｎ^2＋１６）
741:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:20:33.27 rsTp1EI+.net
>>710
いえ、その御人は3枚めくって◯が出なかったら残り1枚が◯である確率は100%だと仰っています
あくまで確定情報が出るまでは確率は1/4で不動だと教わりました
742:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:22:14.30 A+phdQRt.net
>>712
そいつはモンティホール問題との違いがわかってないんだよ
743:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:24:32.38 rsTp1EI+.net
>>713
その御人はモンティ・ホール問題のことをいつも「モンティ」と略して言っています
なんか専門家っぽいですよね、モンティって縮めて言うと
744:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:24:40.36 04oRYKH+.net
信じたい奴を信じろ
745:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:29:22.76 C2SnjRQz.net
>>711修正
Dが◯である確率を求める関数は
△が出る回数をｎとおくと
P(A)＝（７ｎ－ｎ^2＋３）／（１６ｎ－５ｎ^2＋１２）
746:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:30:40.96 koM2hu+M.net
>>710
私はこの程度の問題はわかりますよ？
747:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:32:58.79 A+phdQRt.net
実験してみりゃすぐわかる
○1枚△9枚とかでやって1枚だけよけておき、残りから8枚めくって○が出なかったときに（○が出ちゃったときは除外する）よけておいた1枚が○かどうかを実験する
そいつの言っているとおりなら10回に1回しか○じゃないことになるが実際は2回に1回のペースで○
748:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:33:07.88 J30rr35o.net
じゃあ、そのどこかの板の教祖が間違っているのは分るよね。
749:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:33:25.52 ZYY4OYkH.net
>>712
事前確率は1/4で事後確率は1/3でいいんじゃないの？
750:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:40:15.70 ZYY4OYkH.net
>>713
モンティホールより3人の死刑囚問題で
教えられた死刑囚の確率不変と混同してんじゃないかな？
751:１３２人目の素数さん
18/09/10 23:42:18.61 ZYY4OYkH.net
>>715
ベイズの確率の概念はそれだよね。
752:１３２人目の素数さん
18/09/11 00:14:36.15 LHXb9L0n.net
先ほどは色々と教えて下さりありがとうございました
改めて確認を取ってきましたところ、
377 ノナメ ◆fR1KiTvorM [] 2018/09/10(月) 23:52:18.31 ID:6ju6Xk3h
>>375
誰？
>>376
数学板の馬鹿がどうかしたん？
わざわざみにいかんけど
なぜ参考書の出版社に凸らんの？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
とのことでした
どうやら参考書（？）の方が間違えているようです
お手数をおかけいたしました
753:１３２人目の素数さん
18/09/11 00:16:22.26 LHXb9L0n.net
御人は今このスレで討論中ですのでもし興味がございましたらお立ち寄りください
＊＊＊何切る？統一スレッド 10＊＊＊
ｽﾚﾘﾝｸ(mj板)
754:１３２人目の素数さん
18/09/11 00:19:54.78 R387dlgt.net
ああ、あの麻雀中毒生活保護受給のレベルの低い人ですか
相手するだけ無駄ですよ
755:１３２人目の素数さん
18/09/11 00:20:43.33 w+UDT0OS.net
確率を誤解している人の論述ほど、読んで虚しいものはないので遠慮しておくよ。
756:１３２人目の素数さん
18/09/11 03:34:16.65 cF4T1n2w.net
>>694
(1)
S[n] = Σ[k=1,n] b[k] = Σ[k=1,n] (-1)^k /a[k],
とおく.
a[n] の公差は正だから、b[n] >0 は単調減少。
S[1] < S[3] < …… < S[2m-1] < S[2m+1] < S[2m] < S[2m-2] < …… < S[4] < S[2],
S[2m+1] は単調増加かつ上に有界だから収束する。
S[2m] は単調減少かつ下に有界だから収束する。
それらの差b[n]は 0 に収束するから S[n] も収束する。
757:１３２人目の素数さん
18/09/11 03:44:55.21 cF4T1n2w.net
>>695
Σ{1≦i<∞} Σ{1≦j<∞} a_{i,j} = S とおく。
S_{m,n} = Σ{1≦i≦m} Σ{1≦j≦n} a_{i,j} は S以下でかつ m,nについて広義単調増加。
m→∞ または n→∞ のとき収束する。
題意より
lim{n→∞} S_{m, n} = T_m … (1)
lim{m→∞} T_m = S, … (2)
c_n = Σ[2≦i+j≦n] a_{i,j}
とおくと、 c_n≦S かつ nについて広義単調増加。
∴ c_n は S以下の値に収束する。
次に
∀ε>0: ∃N: S-ε < c_N ≦ S
を示そう。
(2) より
∀ε>0: ∃M: T_M > S - ε/2,
(1) より
∀ε>0, M: ∃n: S_{M, n} > T_M - ε/2,
M+n=N とおけば
c_N = c_{M+n} ≧ S_{M, n} > T_M - ε/2 > (S-ε/2) - ε/2 = S-ε,
758:１３２人目の素数さん
18/09/11 03:55:26.58 nOkYlBcE.net
>>695
■■■■■▲▲▲▲▲
■■■■■▲▲▲▲□
■■■■■▲▲▲□□
■■■■■▲▲□□□
■■■■■▲□□□□
▲▲▲▲▲□□□□□
▲▲▲▲□□□□□□
▲▲▲□□□□□□□
▲▲□□□□□□□□
▲□□□□□□□□□
各項はゼロ以上なので
(■の和) ≦ ((■を含む)▲の和) ≦ ((■,▲を含む)□の和)
このイメージの下にやれば良いんじゃないんですかね
759:１３２人目の素数さん
18/09/11 05:00:29.40 cF4T1n2w.net
>>700
C(0,0): y = x^3 -x, (-1≦x≦1)
C(a,b): y = (x-a)^3 -(x-a) +b, (a-1≦x≦a+1)
点(a/2, b/2) に関して反転対称。
共有点は
3axx -3aax +a^3 -a -b = 3a(x - a/2)^2 + (1/4)a^3 -a -b = 0,
( Max{a,0}-1 ≦ x ≦ min{a,0}+1 )
・a=0, b≠0 ⇒ n=0,
・a≠0 のとき
(x -a/2)^2 + (aa -4 -4b/a)/12 = 0 ゆえ
(判別式) = (-aa +4 +4b/a)/3 < 0 ⇒ n=0,
|a| >2 or |b| > 4/(3√3) ⇒ n=0,
760:１３２人目の素数さん
18/09/11 06:29:08.56 cF4T1n2w.net
>>689
n = m^2 - (m-1)^2 = 2m-1,
√a[n] ≒ √a[0] - n/2 = √(mm-p) - n/2,
761:１３２人目の素数さん
18/09/11 06:53:14.39 cF4T1n2w.net
>>700
n=3 の場合は、2次関数が実根を3つもつことになる。
>>727 訂正
a[n] の公差は正だから、｜b[n]｜= 1/a[n] は単調減少。
762:１３２人目の素数さん
18/09/11 07:56:41.18 n
763:RKpXe4r.net
764:１３２人目の素数さん
18/09/11 08:02:05.19 cF4T1n2w.net
>>730 追加
b/a ≧ y '(±1) = 2 または b/a ≦ y '(0) = -1 ⇒ n=0,
765:１３２人目の素数さん
18/09/11 08:08:16.08 sexvCXOQ.net
>>728-729
ありがとうございました。
下の図のようなイメージですね。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
766:１３２人目の素数さん
18/09/11 08:33:32.93 QUqp/jpE.net
>>726
このスレにもいるな
767:１３２人目の素数さん
18/09/11 10:10:13.84 QUqp/jpE.net
>>726
同様に確からしいというのが人によって解釈が違うからね。
全ての事象は
・起こったか
・起こらなかったか
・まだ不明か
だから確率の答は全て1/3である、
という論もありうる。
768:１３２人目の素数さん
18/09/11 11:32:33.04 4PfwwmB+.net
>>679
おもちゃの出る確率をa b c d e
シークレットの出る確率をｆとすると
1/(a) + 1/(b) + 1/(c) + 1/(d) + 1/(e) + 1/(f) + 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(a+d) + 1/(a+e) + 1/(a+f) + 1/(b+c) + 1/(b+d) + 1/(b+e)
+ 1/(b+f) + 1/(c+d) + 1/(c+e) + 1/(c+f) + 1/(d+e) + 1/(d+f) + 1/(e+f) + 1/(a+b+c) + 1/(a+b+d) + 1/(a+b+e) + 1/(a+b+f) +
1/(a+c+d) + 1/(a+c+e) + 1/(a+c+f) + 1/(a+d+e) + 1/(a+d+f) + 1/(a+e+f) + 1/(b+c+d) + 1/(b+c+e) + 1/(b+c+f) + 1/(b+d+e) +
1/(b+d+f) + 1/(b+e+f) + 1/(c+d+e) + 1/(c+d+f) + 1/(c+e+f) + 1/(d+e+f) + 1/(a+b+c+d) + 1/(a+b+c+e) + 1/(a+b+c+f) + 1/(a+b+d+e)
+ 1/(a+b+d+f) + 1/(a+b+e+f) + 1/(a+c+d+e) + 1/(a+c+d+f) + 1/(a+c+e+f) + 1/(a+d+e+f) + 1/(b+c+d+e) + 1/(b+c+d+f) + 1/(b+c+e+f)
+ 1/(b+d+e+f) + 1/(c+d+e+f) + 1/(a+b+c+d+e) + 1/(a+b+c+d+f) + 1/(a+b+c+e+f) + 1/(a+b+d+e+f) + 1/(a+c+d+e+f) + 1/(b+c+d+e+f) +
1/(a+b+c+d+e+f)
769:１３２人目の素数さん
18/09/11 11:50:33.59 R9BWi9Yc.net
>>738
全部足すのではなく、分母の項数が偶数のときは引き算になる
770:１３２人目の素数さん
18/09/11 12:13:49.90 y95Gl24J.net
>>738
計算式を表示するプログラムを書いてみた。
Gacha.fm <- function(p){
n=length(p)
par=letters[1:n]
fm <- function(v){
nv=length(v)
re=character(nv)
for(j in 1:nv) re[j]=par[v[j]]
s=paste(re,collapse='+')
paste0('1/(',s,')')
}
fm1 <- function(mat){
paste(apply(mat,2,fm),collapse=' + ')
}
re=list()
for(i in 1:n) re[[i]]=fm1(combn(n,i))
output=paste(unlist(re),collapse=' + ')
cat(output,'\n')
write(output,'output.txt')
invisible(output)
}
> Gacha.fm(c(1/10,2/10,3/10,4/10))
1/(a) + 1/(b) + 1/(c) + 1/(d) + 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(a+d) + 1/(b+c) + 1/(b+d) + 1/(c+d) + 1/(a+b+c) + 1/(a+b+d) + 1/(a+c+d) + 1/(b+c+d) + 1/(a+b+c+d)
で神投稿の結果と一致するので動作していると思う。
771:１３２人目の素数さん
18/09/11 12:15:50.71 y95Gl24J.net
>>739
失礼バグがありました。
772:１３２人目の素数さん
18/09/11 12:43:41.19 y95Gl24J.net
バグ修正しました。
Gacha.fm <- function(p){
n=length(p)
par=letters[1:n]
fm <- function(v){
nv=length(v)
re=character(nv)
for(j in 1:nv) re[j]=par[v[j]]
s=paste(re,collapse='+')
paste0('1/(',s,')')
}
fm1 <- function(mat){
paste(apply(mat,2,fm),collapse='+')
}
re=list()
for(i in 1:n) re[[i]]=fm1(combn(n,i))
re1=re[[1]]
re1
for(i in 2:n){
re1=c(re1,ifelse(i%%2,' + ',' - '),'(',re[[i]],')')
}
output=paste(re1,collapse="")
cat(output,'\n')
write(output,'output.txt')
invisible(output)
}
動作確認
> Gacha.fm(c(1/10,2/10,3/10,4/10))
1/(a)+1/(b)+1/(c)+1/(d) - (1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(c+d)) + (1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+c+d)+1/(b+c+d)) - (1/(a+b+c+d))
773:１３２人目の素数さん
18/09/11 12:47:18.19 y95Gl24J.net
>>738
修正
1/(a)+1/(b)+1/(c)+1/(d)+1/(e)+1/(f) - (1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/
(a+e)+1/(a+f)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(b+e)+1/(b+f)+1/(c+d)+1/(c+e)+1/(c
+f)+1/(d+e)+1/(d+f)+1/(e+f)) + (1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+b+e)+1/(a
+b+f)+1/(a+c+d)+1/(a+c+e)+1/(a+c+f)+1/(a+d+e)+1/(a+d+f)+1/(a+e+f)
+1/(b+c+d)+1/(b+c+e)+1/(b+c+f)+1/(b+d+e)+1/(b+d+f)+1/(b+e+f)+1/(c+
d+e)+1/(c+d+f)+1/(c+e+f)+1/(d+e+f)) - (1/(a+b+c+d)+1/(a+b+c+e)+1/
(a+b+c+f)+1/(a+b+d+e)+1/(a+b+d+f)+1/(a+b+e+f)+1/(a+c+d+e)+1/(a+c+d
+f)+1/(a+c+e+f)+1/(a+d+e+f)+1/(b+c+d+e)+1/(b+c+d+f)+1/(b+c+e+f)+1/
(
774:b+d+e+f)+1/(c+d+e+f)) + (1/(a+b+c+d+e)+1/(a+b+c+d+f)+1/(a+b+c+e+ f)+1/(a+b+d+e+f)+1/(a+c+d+e+f)+1/(b+c+d+e+f)) - (1/(a+b+c+d+e+f)) でした。
775:１３２人目の素数さん
18/09/11 13:12:05.72 y95Gl24J.net
最初と最後の過剰な（）を除去するように修正
#
Gacha.fm <- function(p,write=FALSE){
n=length(p)
par=letters[1:n]
fm <- function(v){
nv=length(v)
re=character(nv)
for(j in 1:nv) re[j]=par[v[j]]
s=paste(re,collapse='+')
if(nv==1) paste0('1/',s)
else paste0('1/(',s,')')
}
fm1 <- function(mat){
paste(apply(mat,2,fm),collapse='+')
}
re=list()
for(i in 1:n) re[[i]]=fm1(combn(n,i))
re1=re[[1]]
re1
for(i in 2:(n-1)){
re1=c(re1,ifelse(i%%2,' + ',' - '),'(',re[[i]],')')
}
output=c(paste(re1,collapse=""),ifelse(n%%2,' + ',' - '), re[[n]])
cat(output,'\n')
if(write) write(output,'output.txt')
invisible(output)
}
Gacha.fm(c(1/10,2/10,3/10,4/10))
Gacha.fm(c(9/50,9/50,9/50,9/50,9/50,5/10))
> Gacha.fm(c(1/10,2/10,3/10,4/10))
1/a+1/b+1/c+1/d - (1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(c+d)) + (1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+c+d)+1/(b+c+d)) - 1/(a+b+c+d)
> Gacha.fm(c(9/50,9/50,9/50,9/50,9/50,5/10))
1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f - (1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(a+e)+1/(a+f)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(b+e)+1/(b+f)+1/(c+d)+1/(c+e)+1/(c+f)+1/(d+e)+1/(d+f)+1/(e+f))
+ (1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+b+e)+1/(a+b+f)+1/(a+c+d)+1/(a+c+e)+1/(a+c+f)+1/(a+d+e)+1/(a+d+f)+1/(a+e+f)+1/(b+c+d)+1/(b+c+e)+1/(b+c+f)+1/(b+d+e)+1/(b+d+f)+1/(b+e+f)+1/(c+d+e)+1/(c+d+f)+1/(c+e+f)+1/(d+e+f))
- (1/(a+b+c+d)+1/(a+b+c+e)+1/(a+b+c+f)+1/(a+b+d+e)+1/(a+b+d+f)+1/(a+b+e+f)+1/(a+c+d+e)+1/(a+c+d+f)+1/(a+c+e+f)+1/(a+d+e+f)+1/(b+c+d+e)+1/(b+c+d+f)+1/(b+c+e+f)+1/(b+d+e+f)+1/(c+d+e+f))
+ (1/(a+b+c+d+e)+1/(a+b+c+d+f)+1/(a+b+c+e+f)+1/(a+b+d+e+f)+1/(a+c+d+e+f)+1/(b+c+d+e+f)) - 1/(a+b+c+d+e+f)
776:１３２人目の素数さん
18/09/11 13:21:53.09 gWAEYOXe.net
>>743
>>739
777:１３２人目の素数さん
18/09/11 14:07:18.36 KvhdapkQ.net
間は{}で囲む方が見やすいな。
1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f
- {1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(a+e)+1/(a+f)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(b+e)+1/(b+f)+1/(c+d)+1/(c+e)+1/(c+f)+1/(d+e)+1/(d+f)+1/(e+f)}
+{1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+b+e)+1/(a+b+f)+1/(a+c+d)+1/(a+c+e)+1/(a+c+f)+1/(a+d+e)+1/(a+d+f)+1/(a+e+f)+1/(b+c+d)+1/(b+c+e)+1/(b+c+f)+1/(b+d+e)+1/(b+d+f)+1/(b+e+f)+1/(c+d+e)+1/(c+d+f)+1/(c+e+f)+1/(d+e+f)}
- {1/(a+b+c+d)+1/(a+b+c+e)+1/(a+b+c+f)+1/(a+b+d+e)+1/(a+b+d+f)+1/(a+b+e+f)+1/(a+c+d+e)+1/(a+c+d+f)+1/(a+c+e+f)+1/(a+d+e+f)+1/(b+c+d+e)+1/(b+c+d+f)+1/(b+c+e+f)+1/(b+d+e+f)+1/(c+d+e+f)}
+ {1/(a+b+c+d+e)+1/(a+b+c+d+f)+1/(a+b+c+e+f)+1/(a+b+d+e+f)+1/(a+c+d+e+f)+1/(b+c+d+e+f)}
- 1/(a+b+c+d+e+f)
778:１３２人目の素数さん
18/09/11 15:31:53.90 PAlMzMbD.net
ありがとう！コンプガチャ問題ややこしいんですね…
779:１３２人目の素数さん
18/09/11 15:58:31.92 aWUgUitu.net
>>746 の式は全部書き並べてるから一瞬ビビるけどルールは簡単、単純。
漸化式立てたらとけんのコレと思っちゃうけど >>746 代入して確かめてみると確かに成立してる。
どっちかと言うとこんな簡単で美しい式で計算出来る事に驚く。
780:１３２人目の素数さん
18/09/11 16:20:49.48 4PfwwmB+.net
数値計算のプログラムは簡単だったけど数式表示の方は手こずった。
バグを指摘していただいた方、ありがとうございます。
G <- function(a,b,c,d,e,f) 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f - (1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(a+e)+1/(a+f)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(b+e)+1/(b+f)+1/(c+d)+1/(c+e)+1/(c+f)+1/(d+e)+1/(d+f)+1/(e+f))
+ (1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+b+e)+1/(a+b+f)+1/(a+c+d)+1/(a+c+e)+1/(a+c+f)+1/(a+d+e)+1/(a+d+f)+1/(a+e+f)+1/(b+c+d)+1/(b+c+e)+1/(b+c+f)+1/(b+d+e)+1/(b+d+f)+1/(b+e+f)+1/(c+d+e)+1/(c+d+f)+1/(c+e+f)+1/(d+e+f))
- (1/(a+b+c+d)+1/(a+b+c+e)+1/(a+b+c+f)+1/(a+b+d+e)+1/(a+b+d+f)+1/(a+b+e+f)+1/(a+c+d+e)+1/(a+c+d+f)+1/(a+c+e+f)+1/(a+d+e+f)+1/(b+c+d+e)+1/(b+c+d+f)+1/(b+c+e+f)+1/(b+d+e+f)+1/(c+d+e+f))
+ (1/(a+b+c+d+e)+1/(a+b+c+d+f)+1/(a+b+c+e+f)+1/(a+b+d+e+f)+1/(a+c+d+e+f)+1/(b+c+d+e+f)) - 1/(a+b+c+d+e+f)
G(9/50,9/50,9/50,9/50,9/50,5/10)
の結果が>696と
> G(9/50,9/50,9/50,9/50,9/50,5/50)
[1] 16.03973
同じになってほっとしました。
Wolfram先生に分数表示をお願いしようかと思ったのだけど、使い方がよくわからない。
できる方お願いします。
781:１３２人目の素数さん
18/09/11 17:56:04.93 4PfwwmB+.net
ｎ種類のアイテムの出現確率の比が1,1/2,1/3,...,1/nのとき
全種類を集めるのに必要な購入数の期待値を計算してみた。
期待値
1 1.00
2 3.50
3 7.30
4 12.36
5 18.67
6 26.24
7 35.05
8 45.11
9 56.42
10 68.98
11 82.80
12 97.87
13 114.20
14 131.77
15 150.61
16 170.69
17 192.03
18 214.63
19 238.48
20 263.58
782:１３２人目の素数さん
18/09/11 18:08:34.74 5wZvlX50.net
この問題を解いてください
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
783:１３２人目の素数さん
18/09/11 18:08:46.97 5wZvlX50.net
この問題を解いてください
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
URLﾘﾝｸ(twtter.com)
784:１３２人目の素数さん
18/09/11 19:20:48.53 6YbNn4Ut.net
確率 p,q で当たるカード(p+q ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は
1/p + 1/q - 1/(p+q)
を仮定して
確率 p,q,r で当たるクーポン(p+q+r ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は
1 + p(1/q + 1/r - 1/(q+r))
+ q(1/r + 1/p - 1/(r+p))
+ r(1/p + 1/q - 1/(p+q))
=1 + (q+r)/p + (r+p)/q + (p+q)/r - p/(q+r) - q/(r+p) - r/(p+q)
=1 + 1/p - 1 + 1/q -1 + 1/r - 1 - 1/(q+r) + 1 - 1/(r+p) + 1 - 1/(p+q) + 1
= 1/p + 1/q + 1/r - 1/(q+r) - 1/(r+p) - 1/(p+q) + 1/(p+q+r)
……
以下帰納法でカードが何枚でも成立。
いわゆるクーポンコレクター問題の一般形ですな。
答えが推定できたら最後は理詰めでいかないと。
785:１３２人目の素数さん
18/09/11 19:21:33.47 NktSWtks.net
サムはこれまでにうけたたテストの平均は63 次回98をとり平均を70に上げようと計画立ててます 次回は何回目のテストになりますか
786:１３２人目の素数さん
18/09/11 19:58:59.15 sexvCXOQ.net
吉田洋一著『ルベグ積分入門』ですが、（1次元の）2つの点集合が「合同」ならば…
という記述がありますが、合同の定義がありません。
合同の定義を教えてください。
787:１３２人目の素数さん
18/09/11 20:00:42.15 sexvCXOQ.net
あ、最初は、定義なしで出てきますが、少し後ろに書いてありました。
788:１３２人目の素数さん
18/09/11 20:20:28.91 4PfwwmB+.net
これ入力間違い？
> f1 <- function(p,q,r) 1 + p*(1/q + 1/r - 1/(q+r)) + q*(1/r + 1/p - 1/(r+p)) + r*(1/p + 1/q - 1/(p+q))
> f2 <- function(p,q,r) 1 + (q+r)/p + (r+p)/q + (p+q)/r - p/(q+r) - q/(r+p) - r/(p+q)
> f3 <- function(p,q,r) 1 + 1/p - 1 + 1/q -1 + 1/r - 1 - 1/(q+r) + 1 - 1/(r+p) + 1 - 1/(p+q) + 1
> f4 <- function(p,q,r) 1/p + 1/q + 1/r - 1/(q+r) - 1/(r+p) - 1/(p+q) + 1/(p+q+r)
>
> f1(0.1,0.2,0.3)
[1] 7.3
> f2(0.1,0.2,0.3)
[1] 7.3
> f3(0.1,0.2,0.3)
[1] 11.5
> f4(0.1,0.2,0.3)
[1] 12.16667
789:１３２人目の素数さん
18/09/11 20:31:20.11 KvhdapkQ.net
>>753
3つ目と4つ目の=成立しなくない？
790:１３２人目の素数さん
18/09/11 20:45:19.05 +hriO0iX.net
cで書いてみました。
main(){
double x[6]={9.0/50,9.0/50,9.0/50,9.0/50,9.0/50,5.0/50},s,t;
int i,k,p[]={1,2,4,8,16,32},f;
for(i=1,s=0.0;i<64;i++){
t=0.0;f=-1;
for(k=0;k<6;k++)if((i&p[k])>0){t+=x[k];f*=-1;}
s+=1.0/(f*t);
}
printf("%f\n",s);
return 0;
}
実行結果が次。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
数式表示板も一応作成
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
791:１３２人目の素数さん
18/09/11 21:43:43.98 KvhdapkQ.net
>>759
ビット演算子の勉強になりました。
792:１３２人目の素数さん
18/09/11 22:02:01.16 h/tewyyi.net
行列の階数を求める際、行or列基本変形をしてとくと思うんですけど
質問1 行と列の両方を変形してもいいんでしょうか？
(例えば、ある行と行を入れ替えた後に、ある列とある列をいれかえるみたいに)
質問2 どこまで変形したら、これ以上は変形してもどれかしらの行または列の成分が0にはならないなとわかるんでしょうか？
これ以上は変形しても意味ないという目安みたいなのはないんでしょうか？
793:１３２人目の素数さん
18/09/11 22:08:20.27 R387dlgt.net
>>761
座標形の質問で物理板を荒らした糞ロダ使いの高校生さんこんばんは
いいですね
勘です
794:１３２人目の素数さん
18/09/11 22:21:46.54 FyW6wSaI.net
>>758
ゴメン、それハズレなしバージョンの式。
なのでp+q+r=1。
で、ハズレなしバージョン証明したら、これを薄めてハズレありカード3枚バージョンが証明される。
次はそれ使ってハズレなしカード4枚‥と続ける。
もっとエレガントな方法がいかにもありそうだけど。
795:１３２人目の素数さん
18/09/11 22:45:16.16 R9BWi9Yc.net
＞確率 p,q で当たるカード(p+q ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は
＞1/p + 1/q - 1/(p+q)
を仮定して
＞確率 p,q,r で当たるクーポン(p+q+r ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は
導出はこう
(1+ p(1/q + 1/r - 1/(q+r))
+ q(1/r + 1/p - 1/(r+p))
+ r(1/p + 1/q - 1/(p+q)))/(p+q+r)
=(1+ (q+r)/p + (r+p)/q + (p+q)/r
- p/(q+r) - q/(r+p) - r/(p+q))/(p+q+r)
=(1+ (p+q+r)/p - 1 + (p+q+r)/q - 1 + (p+q+r)/r - 1
- (p+q+r)/(q+r) + 1 - (p+q+r)/(r+p) + 1 - (p+q+r)/(p+q) + 1)/(p+q+r)
=( (p+q+r)/p + (p+q+r)/q + (p+q+r)/r
-(p+q+r)/(q+r) - (p+q+r)/(r+p) - (p+q+r)/(p+q) + 1)/(p+q+r)
= 1/p + 1/q + 1/r - 1/(q+r) - 1/(r+p) - 1/(p+q) + 1/(p+q+r)
796:１３２人目の素数さん
18/09/11 23:43:42.07 w+UDT0OS.net
>>698
> Aをb行a列, Bをc行b列 としてrank(AB)≦rank(A)
ABが普通の行列の積として定義されるためには
Aがa行b列、Bがb行c列 でないとまずい。
行と列を反対に覚えてるんじゃないのか
797:１３２人目の素数さん
18/09/11 23:56:54.55 4PfwwmB+.net
外れは想定していなかったのでシミュレーションプログラムを書き換えた。
sim <- function(p){
n=length(p) # number of items
if(sum(p)>=1){ # no blank and/or rate of probabilities
prob=p/sum(p) # scaling for sum(prob)=1
lot=1:n # no blank lot
}else{
prob=c(p,1-sum(p)) # blank with probability of 1-sum(p)
lot=1:(n+1) # lot[n+1] blank lot
}
y=NULL
while(!all(1:n %in% y)){ # unless all item got
y=append(y,sample(lot,1,prob=prob)) # sample one lot with probabilty prob
}
return(length(y))
}
シミュレーションが１万回程度だといまひとつの近似
> mean(replicate(1e4,sim(1:5/20))) # with blank lot
[1] 25.239
> Gacha(1:5/20)
[1] 24.89805
こういうシミュレーションがお手軽にできるのがR。
Cだと乱数発生から部品製作を始めることになるので俺には無理。
798:１３２人目の素数さん
18/09/12 00:09:27.64 SYUb0qwi.net
>>764
p,q,rで重み付き平均して3個のときの期待値を出しているという理解でいいのかな？
最初の1も()内に入れるか否かがイメージが掴めないや。
799:１３２人目の素数さん
18/09/12 00:31:42.90 XQIxLX5W.net
>>767
考え方は>>692と同じ
変数が３つのときの式を立てて解く
800:１３２人目の素数さん
18/09/12 00:46:24.03 IOoX3yLl.net
>>767
横レス。
おれ＝>>753＝>>763≠>>764
なのでおれは>>764はわからない。
おれのやった方法はp+q=1のときコンプ回数の期待値=1/p+1/q-1/(p+q)が示せたとしてp+q<1とする。
p’=p/(p+q)、q’=q/(p+q)とおいてコンプまでのあたり回数の期待値は1/p’+1/q’-1/(p’+q’)。
よって総回数の期待値は
1/(p+q)(1/p’+1/q’-1/(p’+q’))
=1/(p+q)((p+q)/p+(p+q)/q-(p+q)/(p+q))
=1/p+1/q-1/(p+q)
でハズレがあっても同じ。
それを使ってカード３枚ハズレ無しを証明して…
結論の式がきれいだからもっとウマい導出がありそうなんだけど今んとこコレしか思いつかん。
801:１３２人目の素数さん
18/09/12 01:47:44.47 BTVggcEm.net
>>641
〔補題〕
任意の三角形 △ABC、△DEF は、空間内にうまく置けば、或る射影によって移りあう。
(略証)
平行でない2平面 P'、Q が直線Lで交わっている、とする。
△ABC を EF/BC 倍に拡大/縮小した相似三角形を △A'B'C' とする。
B'C' = EF,
次に △A'B'C' を平面P'に、△DEF を平面Qに置くのだが、
B'=E と C'=F をL上にとる。（A' と D はL上にはない。）
・BC ≧ EF のとき
直線A'D の延長上(D側)の点Sに光源を置く。
Sを中心として △A'B'C' を BC/EF 倍に相似拡大した位置（平面Pとする）に △ABC を置く。
光源S → △DEF (on Q) → △A'B'C' (on P') → △ABC (on P)
・BC ≦ EF のとき、
直線DA' の延長上(A'側)の点Sに光源を置く。
Sを中心として △A'B'C' を BC/EF 倍に相似縮小した位置に △ABC を置く。
光源S → △ABC (on P) → △A'B'C' (on P') → △DEF (on Q)
∴ 射影幾何学では三角形は１つしかない。
802:１３２人目の素数さん
18/09/12 02:56:45.64 STlQc0sA.net
>>766
精度や周期に信用がおけないなら自作してもいいが、
cにも乱数は一応標準装備されています。
シミュレーションをcで書いてみました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
803:１３２人目の素数さん
18/09/12 03:00:41.80 STlQc0sA.net
一千万回は切られてしまいましたが、500万回はこのサイトでもやってくれました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
804:１３２人目の素数さん
18/09/12 03:34:00.68 BTVggcEm.net
>>694 (2) >>727 >>732
a[n] = n, S = -log(2),
a[n] = 2n-1, S = -π/4,
a[n] = 3n-2, S = -π/(3√3) + (1/3)log(2),
a[n] = 3n-1, S = -π/(3√3) - (1/3)log(2),
a[n] = pn+q, S = - {ψ(q/2p +1) - ψ(q/2p +1/2)}/2p,
ψ(z) = Γ'(z)/Γ(z) は digamma 函数。
805:１３２人目の素数さん
18/09/12 03:44:17.40 4zsJ1rlH.net
>>692の「同様の計算」ってのは、同じように考えて、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B,C)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A,C)
初回でカードCが出た場合の平均枚数は 1+M(A,B)
どれも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B,C) となる。
M(A,B,C) = a(1+M(B,C)) + b(1+M(A,C)) + c(1+M(A,C)) + (1-(a+b+c))(1+M(A,B,C))
これを解いて M(A,B,C) = (aM(B,C) + bM(A,C) + cM(A,B) + 1) / (a+b+c)
それぞれ M(*,*) に代入して整理すると
M(A,B,C)
= ( a(1/b + 1/c - 1/(b+c))
+ b(1/c + 1/a - 1/(c+a))
+ c(1/a + 1/b - 1/(a+b)) + 1) / (a+b+c)
= ( a/b + a/c - a/(b+c)
+ b/c + b/a - b/(c+a)
+ c/a + c/b - c/(a+b) + 1) / (a+b+c)
= ( (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c +
- a/(b+c) - b/(c+a) - c/(a+b) + 1) / (a+b+c)
= ( (a+b+c)/a - 1 + (a+b+c)/b - 1 + (a+b+c)/c - 1
- (a+b+c)/(b+c) + 1 - (a+b+c)/(c+a) + 1 - (a+b+c)/(a+b) + 1 + 1) / (a+b+c)
= ( (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + (a+b+c)/c - (a+b+c)/(b+c) - (a+b+c)/(c+a) - (a+b+c)/(a+b) + 1) / (a+b+c)
= 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b) + 1/(a+b+c)
４つの場合は M(A,B,C,D) = (aM(B,C,D) + bM(A,C,D) + cM(A,B,D) + dM(A,B,C) + 1) / (a+b+c+d)
= (略)
= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
+ 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d)
以下同様
ちゃんとやるなら総和とか使ったほうがいいかも
806:１３２人目の素数さん
18/09/12 04:47:37.76 IkEO1mtd.net
可縮な空間が弧状連結であることを定義から示すにはどうすればいいんですか？
807:１３２人目の素数さん
18/09/12 04:58:28.86 STlQc0sA.net
一千万回は切られてしまいましたが、500万回はこのサイトでもやってくれました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
808:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:25:59.28 aBdof8Vx.net
>>771
シミュレーションありがとうございます。
変数kの動作が理解を越えているのですが
一様分布の値が設定上限を超えるかどうかで採用するかを決める
Neumann法で乱数発生の確率を制御しているのでしょう。
Rだとsample(1:6,1,prob=c(9,9,9,9,5,5))ですむので横着者には便利です。遅くて実用的でないこともしばしばです。
809:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:40:02.31 KMIzTyK6.net
吉田洋一著『ルベグ積分入門』を読んでいます。
[a, b) （a ≦ b） を半開区間という。
半開区間の長さ |[a, b)| を |[a, b)| := b - a で定義する。
I, I_p （p = 1, ..., n） を半開区間とする。
I ⊂ ∪_{p = 1}^{n} I_p とする。
このとき、
| I | ≦ Σ_{i = 1}^{n} | I_i | が成り立つ。
こんな自明な命題をわざわざ手の込んだ方法で、証明していますね。
ルベーグ積分の本ではこのようなこともちゃんと証明していくのでしょうか？
他の分野の数学書だったら、「明らかに成りたつ」で終わりですよね。
810:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:52:06.12 kMEtBUPS.net
この問題をこの長さからのアプローチでゴリ押して解けますでしょうか？
（面積を使って考えると秒殺でとけます）
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
811:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:56:43.96 kMEtBUPS.net
こういうので
計算量の差が絶望的なルートに踏み込んでよく詰んでしまうのですが
そういうのでもゴリ押してけば最後にはなんとかなる問題となんとかならない問題がありすよね
いい見分け方はないですか？
あるいはどこで引き返せばいいのでしょうか？
体感だと微積系だと「なんかエレガントな方法ありそうだなあ……」と思いながらの汚いゴリ押しでも最後にはきれいに項が消し合ったり変形できたりしてちゃんと答えが出ることが多くて
こういう辺長求める系は大体詰むんですが
812:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:59:33.83 KMIzTyK6.net
>>778
の命題のフォンノイマンによる証明の後に、
別の証明が載っています。
その証明の最初のところが分かりません。
I = [a, b)
I_i = [a_i, b_i) （i = 1, ..., n）
とする。
必要に応じて番号を付けかえれば、
a_1 ≦ a < b_1
a_n < b ≦ b_n
a_{p+1} < b_p ≦ b){p+1} （p = 1, ..., n-1）
と仮定しても一般性を失わない。
なぜ、一般性を失わずに、このような仮定ができるのでしょうか？
813:１３２人目の素数さん
18/09/12 09:59:47.39 feDtCR3r.net
ごめん…どう見ても△PQBが正三角形なところに目が向いてしまって長さに思い至る解法が出てこない
814:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:01:48.35 kMEtBUPS.net
>>782
PQBは正三角形とは限らないとおもいます。
815:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:04:25.98 kMEtBUPS.net
あと↑の２式だけでは解けないので結局少なくとも30°60°と辺長利用した面積比は使うことになりますね
その和が1/2（t√1-t^2）になることに気づかないで単に比だけ使ってゴリ押したので詰んでしまいました
816:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:12:51.94 KMIzTyK6.net
>>781
半開区間がオーバーラップするような仮定ですね。
817:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:15:41.70 KMIzTyK6.net
無駄な被覆は捨てているということなんでしょうけど、すっきり説明できますか？
818:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:20:30.63 KMIzTyK6.net
訂正します：
>>778
の命題のフォンノイマンによる証明の後に、
別の証明が載っています。
その証明の最初のところが分かりません。
I = [a, b)
I_i = [a_i, b_i) （i = 1, ..., n）
とする。
必要に応じて番号を付けかえれば、
a_1 ≦ a < b_1
a_n < b ≦ b_n
a_{p+1} < b_p ≦ b_{p+1} （p = 1, ..., n-1）
と仮定しても一般性を失わない。
なぜ、一般性を失わずに、このような仮定ができるのでしょうか？
819:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:24:13.19 KMIzTyK6.net
明らかに、
b_1 ≦ b_2 ≦ … ≦ b_n
と仮定しても一般性を失わない。
b ∈ I ⊂ ∪_{p = 1}^{n} I_p
だから、
b ∈ I_p for some p ∈ {1, ..., n}
∴ b ∈ [a_p, b_p)
∴ b < b_p ≦ b_n
820:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:28:15.69 KMIzTyK6.net
吉田洋一著『ルベグ積分入門』って決して親切な本ではないですよね。
この例から分かるように。
821:１３２人目の素数さん
18/09/12 10:31:04.50 KMIzTyK6.net
明らかに、
I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定しても一般性を失わない。
仮定より、 a_p < b_p for all p ∈ {1, ...., n} である。
822:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:20:24.71 Xzf2CHRt.net
バカみたいな質問ですみません
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この問題で
a=22とおいて連立させて解くと、
y=2,-3
という解が導けます
しかしこの解は楕円からはみ出ています
この解はどういう図形的意味を持っているのでしょうか？
連立させて解いて実解２解を持つのに、なぜ図上では交わらないなどということがあるのでしょうか
最後に図形の形による解の範囲の条件を加えなければならない時と、そうでない時があるのもよく分かりません
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
こちらも「交わるように定数を定める」、、上とよく似た問題ですが、こちらでは双曲線の形上の制約である|x|≧2を考慮せずともいいのはなぜですか？
アホですみません、困ってます、よろしくお願いします
823:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:25:28.54 KMIzTyK6.net
最初からやり直します。
I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。
理由：
I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題が証明されたとする。
I_p = φ となるような p ∈ {1, ...., n} が存在したとする。
A := {i | I_i = φ} とおく。
明らかに、
∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = ∪_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない}^{n} I_p
である。
証明された命題により、
| I | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない} | I_i |
が成り立つ。
I_p = φ ⇒ | I_p | = 0 だから、
Σ_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない} | I_i | = Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |
∴| I | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |
このように、 I_p = φ for some p ∈ {1, ...., n} である場合にも命題を証明できる。
824:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:32:17.47 /P+Akzed.net
>>791
その解だとx^2が負になっちゃうだろ
つまり、yの値として出てきたその解は交点を求める問題の解としては不適となる
従って全体として解は無し→交点を持たない
xもyも両方とも実数でなければ出てきた解はxy平面上には存在しないというだけのこと
825:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:37:25.14 /P+Akzed.net
>>791
下の問題はxが実数ならyも実数なのは明らか
826:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:43:47.59 KMIzTyK6.net
I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。
さらに、
異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題を証明すればよい。
理由：
i, j ∈ {1, ..., n} に対して、
I_i = I_j であるときかつそのときに限り、
i ～ j
であるとして、2項関係を定義すると、この2項関係は同値関係である。
この同値関係により、 {1, ..., n} を {1, ..., n} = A_1 ∪ … ∪ A_k と類別し、 i_1, …, i_k を代表元とする。
明らかに、
∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}
が成り立つ。
証明された命題により、
| I | ≦ | I_{i_1} | + … + | I_{i_k} | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |
このように、異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i = I_j である場合にも命題を証明できる。
827:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:45:41.36 KMIzTyK6.net
>>795
訂正します：
I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。
さらに、
異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題を証明すればよい。
理由：
異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題が証明されたとする。
i, j ∈ {1, ..., n} に対して、
I_i = I_j であるときかつそのときに限り、
i ～ j
であるとして、2項関係を定義すると、この2項関係は同値関係である。
この同値関係により、 {1, ..., n} を {1, ..., n} = A_1 ∪ … ∪ A_k と類別し、 i_1, …, i_k を代表元とする。
明らかに、
∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}
が成り立つ。
証明された命題により、
| I | ≦ | I_{i_1} | + … + | I_{i_k} | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |
このように、異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i = I_j である場合にも命題を証明できる。
828:１３２人目の素数さん
18/09/12 11:59:13.53 fr+W7Zdl.net
>>791
＞＞a=22とおいて連立させて解くと、
その22という値はどこから出てきた？
829:１３２人目の素数さん
18/09/12 12:07:15.98 fr+W7Zdl.net
試しにaの値を適当においてやってみたということならちゃんとそう書いとけ
連立方程式なのだからyだけじゃなくてxも見ないと
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
xは虚数解になるのでグラフ上に共有点は存在しない
830:１３２人目の素数さん
18/09/12 12:15:04.05 fr+W7Zdl.net
＞＞こちらでは双曲線の形上の制約である|x|≧2を考慮せずともいいのはなぜですか？
考慮すべきだが本問では
判別式の条件で得られた範囲のkに対してグラフが共有点をもつことはグラフからすぐわかる
ので省略したということ
831:１３２人目の素数さん
18/09/12 12:58:03.28 tIcuc1nN.net
>>779
Qが中心にしか見えない図を書くのやめろや
832:１３２人目の素数さん
18/09/12 15:04:24.09 tIcuc1nN.net
xyz空間の円板Cと円周C[a]を考える。
C: x^2+y^2≦1, z=0
C[a]: x^2+y^2=a, z=1
C[a]上を点Pが一周するとき、以下の問に答えよ。
（1）Cを底面、Pを頂点とする円錐内に含まれる点全体からなる領域をD[P]とする。
どのD[P]にも含まれる点全体からなる領域の体積V[a]を、a=1のときに求めよ。
（2）0<a≦1の範囲でV[a]の増減を調べよ。
833:１３２人目の素数さん
18/09/12 15:56:31.65 d2WqQK/F.net
>>796
>明らかに、
>
>∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}
>
>が成り立つ。
成り立ってないやろ？
834:１３２人目の素数さん
18/09/12 17:15:42.50 F99eHS6N.net
（3）の対象移動の説明が理解できない。バカでも分かるように教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
835:１３２人目の素数さん
18/09/12 18:04:40.39 STlQc0sA.net
>>777
もし、RAND_MAXが50だったら、y[0]=9、y[1]=18、...、y[4]=45、y[5]=50 という様な値が入る事になります。
実際はもっと大きな値ですが、RAND_MAX未満の乱数が発生したとき、その発生させた乱数が、
「どの範囲にあるか」で、「どのカードに対応」とすることになります。その範囲の境界になる値が入ります。
>>while(k!=63){
>> r=rand();
>> if(r<y[2]) k |= 1+(r>y[0]) + 2*(r>y[1]) ;
>> else k |= 8*(1+(r>y[3]) + 2*(r>y[4]));
>> count++;
>>}
kの計算の中に、“(r>y[0])”の様な「条件式」がありますが、
「条件式」は正しければ 1 間違っていれば、 0 という値を取ります。
式の右辺全体で見れば、r<y[0] なら 1、y[0]≦r＜y[1]なら 2、...、y[3]≦r＜y[4]なら 16
y[4]≦r なら 32 という値を取ることになります。
これらの値を、kに繰り返し「論理和」として、追加していきます。
kの値が63になったときは、1,2,4,8,16,32、全ての値を取ったと言うことなので、ループを脱出します。
このような事を通して、全ての種類が出るまで、何度乱数を発生さる必要があったかをカウントしてます。
カード１が出て、かつ、カード２が出て、かつ、．．． という様な判定式を書くより、
上のようにkを制御すれば、kの値が63かどうかの判定だけで済みます。
836:１３２人目の素数さん
18/09/12 22:14:47.94 SYUb0qwi.net
>>804
ご丁寧な解説ありがとうございました。
そういうアルゴリズムを考えて
それをビット演算の高速処理に感心しました。
Rだとわずか
while(!all(1:n %in% y)){
y=append(y,sample(lot,1,prob=prob))
}
で
各カードをprobの確率でlotから1枚サンプルリングしてyに追加
全部が揃ったらwhile loopを抜けるが書けちゃうんで
お手軽なんです。
速度は全く期待できませんが。
837:１３２人目の素数さん
18/09/12 22:41:29.49 SYUb0qwi.net
>>804 発生した乱数が上限を超えたら不採用としていたのでなくて 発生した乱数がどの区分に属するかを判断していたのですね。 全体の流れは理解できました。
839:１３２人目の素数さん
18/09/12 23:54:53.69 STlQc0sA.net
>>805
サンプリング関数は、呼び出されるたびに、確率分布を再設定しなければならないはず。処理が重くなるはずです。
一様乱数を発生させ、手動でカード番号へ変換するようにすれば早くなると思います。
yというリスト(？)に、カード番号をどんどん追加していては、all関数の処理がどんどん遅くなるのは自明。
例えば、今回得たカードは、リストの中にあるかどうかを調べ、無い場合にのみ追加し、
リストのサイズが6になったら終了としたらどうでしょう？
この２点の改良だけでもだいぶ速くなると思います。
840:１３２人目の素数さん
18/09/13 01:31:01.93 YWXJbeW8.net
区分的C^1級関数ではないが、殆ど至るところC^1級ではある関数を教えてください
841:１３２人目の素数さん
18/09/13 06:52:20.75 ZSZpTAeb.net
まずは定義を確認してね
842:１３２人目の素数さん
18/09/13 07:27:43.44 q6vyrgu1.net
>>807
まず、後半の助言に従って
加えてから判定でなくて加えるかを判定することで
速くなりました。
y=NULL
count=0
while(length(y)<n){
z=sample(lot,1,prob=prob)
count=count+1
if(!any(z==y)) y=append(y,z) # append new item only
}
> p=c(9,9,9,9,9,5)/50
> system.time(mean(replicate(1e4,sim(p))))
user system elapsed
13.980 0.020 14.325
> system.time(mean(replicate(1e4,sim2(p))))
user system elapsed
9.230 0.010 10.176
前半はこれから、やってみます。
843:１３２人目の素数さん
18/09/13 11:35:52.22 AFOSs9Mn.net
無限集合の無限集合は何ですか？
844:１３２人目の素数さん
18/09/13 11:57:41.40 IoC5n/n8.net
>>811
∀x∈X ?_0 ≦ |x| かつ ?_0 ≦ |X|
を満たすXは普通にある
例えば、X:={N+n | n∈N}
845:１３２人目の素数さん
18/09/13 11:58:02.71 AAY5KW8W.net
アレフが？に変換されてしまった
846:１３２人目の素数さん
18/09/13 12:22:31.02 Zrk9zOqe.net
>>807
ご助言に従って改造してみました。
sim3 <- function(p){
n=length(p)
sep=cumsum(p)
y=NULL
count=0
while(length(y) < n){
z=sum(runif(1) < sep)
if(!any(z==y)) y=append(y,z)
count=count+1
}
return(count)
}
> system.time(mean(replicate(1e5, sim1(p))))
user system elapsed
86.67 0.11 87.70
> system.time(mean(replicate(1e5, sim3(p))))
user system elapsed
38.81 0.04 39.36
倍速以上になりました。
847:１３２人目の素数さん
18/09/13 12:24:08.69 Zrk9zOqe.net
>>810
先頭が欠落していました。
sim3 <- function(p){
n=length(p)
sep=cumsum(p)
y=NULL
count=0
while(length(y) < n){
z=sum(runif(1) < sep)
if(!any(z==y)) y=append(y,z)
count=count+1
}
return(count)
}
848:１３２人目の素数さん
18/09/13 14:06:04.45 rDekIdaa.net
おめでとうございます。
工夫の成果が目に見える形で返ってくるとうれしいですよね。
後一点、「z=sum(runif(1) < sep) 」のrunif(1)は[0,1]の一様乱数を
発生させるものだと思いますが、今回のような確率分配の場合は、
z=floor(r*runif(1))
で、十分だと思います。（rには、あらかじめ50.0/9.0 の値を入れておく）
849:１３２人目の素数さん
18/09/13 15:37:29.45 YWXJbeW8.net
>>809
定義を見返すと普通に非連続関数がありますね
では有界変動かつ連続であるが、区分的にC^1級とさならない例を教えてください
850:１３２人目の素数さん
18/09/13 15:55:18.55 Zrk9zOqe.net
>>814
外れを含む場合対応版
sim4 <- function(p){ # p : probability of each card
n=length(p) # numbers of non blank card
sep=cumsum(p) # culmalative sum 0.1 0.2, 0.2 => 0.1, 0.3, 0.5
y=NULL # how many kinds of items drawn
count=0 # how many cards drawn
while(length(y) < n){
x=runif(1)
z=sum(x < sep) # allocate how many sep is greater than x to card
if(!any(z==y) & z) y=append(y,z) # append new item only, z=0 if blank lot
count=count+1
}
return(count)
}
851:１３２人目の素数さん
18/09/13 16:17:06.32 OKUkLTsd.net
R より Python のほうがいいのではないでしょうか？
R の利点は何でしょうか？
852:１３２人目の素数さん
18/09/13 16:31:34.03 q6vyrgu1.net
>>819
私には結果が外付けライブリなしで直ぐにグラフ化できること
統計パッケージが豊富なことかな。
掲示板に貼ってインデントが乱れても動作するのもあるかな
()だらけにはなりますが。
853:１３２人目の素数さん
18/09/13 17:04:01.57 9FFoivBG.net
成立学園1-F担任の岩崎柾典先生がヤバイ。
成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
部活は女子テニス部。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたけど、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては？
URLﾘﾝｸ(m.facebook.com)
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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URLﾘﾝｸ(twitter.com)
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URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この人を首にする方法を教えでください！
URLﾘﾝｸ(twitter.com) (5ch newer account)
854:１３２人目の素数さん
18/09/13 17:11:37.48 3bgyVzW3.net
>>821
なんだ、ＪＣとやったのがばれたけど、他校にとばされただけという勝ち組の話か。
自分ごとＮＧしとこｗ
855:１３２人目の素数さん
18/09/13 19:20:20.01 E9LZKsKW.net
無限集合の無限集合が何なのか気になる。
あと、無限集合の無限集合の無限集合は何か？
さらに、無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の・・・・・
（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗回続く）
が何なのか気になる。
856:学術
18/09/13 19:25:14.07 pENUIQIz.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
集合してるところが単一種的でなく。陣形を立てれるとか散開をはらむ
時宜的にということも大事だ。
857:１３２人目の素数さん
18/09/13 20:24:23.11 Fidg5Hkd.net
どの面も出るのが同様に確からしい８面ダイスを
独立に２回振った時に少なくとも一回は４の目が出る
確率はいくらですか？
１..２..３..４..５..６.７..８
１■■■□■■■■
２■■■□■■■■
３■■■□■■■■
４□□□□□□□□
５■■■□■■■■
６■■■□■■■■
７■■■□■■■■
８■■■□■■■■
一回目i，二回目ｊとして
Ω＝｛（i，j）|１≦i≦８，１≦ｊ≦８｝から
#A＝６４－４９＝１５なので
少なくとも一回は４の目が出る確率は
P(A)＝１５／６４ですか？
858:１３２人目の素数さん
18/09/13 20:41:27.39 AAY5KW8W.net
>>823
無限集合の無限集合
って
∀ｚ∈x アレフ_0 ≦ |ｚ| かつ アレフ_0 ≦ |x|
を満たすxのことを言ってるんだよな？
859:１３２人目の素数さん
18/09/13 21:48:31.73 NDpQxb1m.net
>>826
まぁようするに、無限集合があって、それの無限個の集合があるって感じです。
860:１３２人目の素数さん
18/09/13 22:02:47.35 CQMmTxOV.net
>>823
ヒマラヤさんには理解できない難しいお話になります
諦めましょう
861:１３２人目の素数さん
18/09/13 22:46:43.89 J2cV8tQn.net
神々の数学って具体的にどんな感じの体系なのでしょうか？
862:１３２人目の素数さん
18/09/13 23:27:12.97 a1dl8he7.net
ピザ食い過ぎかな？って感じの
863:１３２人目の素数さん
18/09/14 02:16:07.62 vV5WS57g.net
いかなるありとあらゆる全ての考え方をしたり、
いかなるありとあらゆる全ての事象などにも対応し、打ち勝つことができるものを考えているのですが、
それは何でしょうか？
864:１３２人目の素数さん
18/09/14 08:18:42.29 YYNvvG1X.net
>>793
>>794
ありがとうございます！
865:１３２人目の素数さん
18/09/14 08:20:28.94 YYNvvG1X.net
これの(2)、x^3 * √x-3だと思ったらx * (x-3)^1/3だったんですが
これなんか見分け方あるんでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
866:１３２人目の素数さん
18/09/14 08:21:11.00 YYNvvG1X.net
青チャートのⅢなので、これがそのまま入試に出ることがあるということでしょうか
867:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:05:21.74 YYNvvG1X.net
すいません、もう一つ
f'(x)/f(x)を積分すると一般にlog|f(x)|になるようですが、
逆は成立しますか？
つまりlog|f(x)|を微分すると、
f'(x)/f(x)になりますか？
それともどこかに絶対値がつきますか？
絶対値つくと大抵の関数はどこかで滑らかでなくなりそうなので、一般に微分できるとは全くいえない?のでしょうか
868:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:08:37.89 bWmkh+Ts.net
x^3 ・ √(x-3) のつもりなら x^3 と √(x-3) の間に少し隙間があるというかそういうふうに組版すると思う
画像の式をそう読むには両者がくっつき過ぎている（よってそうは読めない）
数研の本の3乗根を表す3はもっと小さかったと記憶してるが変わったのかね
869:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:10:56.17 bWmkh+Ts.net
>>835
(log|x|)’ は公式になってる
君の持ってる本をよく見直せ
870:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:13:57.01 6ks8vWd0.net
>>834
さすがにこの画像には笑った
一応、√記号の上範囲に入ってる数字は指数ということになります。
標準的な試験作成では、三乗の３ならもっと左側に
三乗根の３ならもっと右側、√記号のへこんだところの上のあたりに書かれます。
もしかすると、高校のテストなんかではチャート式と同じように表示されていることもあるかも。
いずれにしろ大学入試レベルでこんなのが出てきたら確認をとっていいと思います。
871:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:14:30.29 YYNvvG1X.net
微分して戻らないなら原始関数の定義がおかしいことになるから多分なりますか……
f(x)が0をまたいでその近辺で|f(x)|がカクッとして微分不可能になるときは
log|f(x)|は-∞まで行ってて全然よく見えないから考えなくていいみたいなかんじなんですかね
872:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:15:09.94 YYNvvG1X.net
>>837
ありがとうございます。
よく見たらありました……
873:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:15:51.07 YYNvvG1X.net
>>838
ありがとうございます。普通はないから安心していいということですね
874:１３２人目の素数さん
18/09/14 09:56:20.95 6ks8vWd0.net
log|f(x)|と言われたら、f(x)=0となるような x は定義域に含みません。なので、f(x)が連続なら
連続したxの定義域でf(x)=0となることはなく、したがって正負が入れ替わることはありません。
つまり、f(x)=0になっちゃだめだから、f(x)の正負が途中で入れ替わるようなことはないです。
なので実質上その絶対値記号は外れてしまうので、あまり変なことはおこりません。
875:１３２人目の素数さん
18/09/14 10:16:42.83 dCVKnTzw.net
S を有限集合とする。
f : S -> S が単射 ⇔ f : S -> S が全射
を厳密に証明するにはどうすればいいのでしょうか？
876:１３２人目の素数さん
18/09/14 10:59:42.01 nLYHzMrr.net
成立学園1-F担任の岩崎柾典先生がヤバイ。
成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
部活は女子テニス部。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたけど、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては？
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URLﾘﾝｸ(twitter.com) (5ch newer account)
877:１３２人目の素数さん
18/09/14 13:48:07.51 YYNvvG1X.net
積分の問題で対数・三角関数が絡み、答えが複雑になるときって
原始関数の表記が色々あって、２つの表記が全然同一に見えないことがありますよね
これって、採点者が正しい回答にバツをつけてしまうということはないんでしょうか？
そうされないためにはどういう回答を書くべきなのでしょうか？
878:１３２人目の素数さん
18/09/14 13:51:19.19 Sm0SXRlJ.net
>>843
有限集合の定義
879:１３２人目の素数さん
18/09/14 14:25:42.30 QaWnJQ/x.net
>>845
本番の入試でそういうのがあったら大問題ですから、そういう別解が生まれないような問題作るとかするんじゃないですか？
丸つける人も人間ですから、楽をしたいはずですから
だからセンターとか私立とかはマーク式を使うんですね
880:１３２人目の素数さん
18/09/14 14:27:31.68 YYNvvG1X.net
>>847
なるほど、ありがとうございます。
青チャートだと頻出で自分でマル付けしててもこれは合ってるのかと思うことがあるので質問させていただきました。
普通はないんですね。
881:１３２人目の素数さん
18/09/14 15:41:42.53 obG5U4N/.net
>>843
単射なら全射は、f(S)とSの濃度が等しいこととf(S)はSの部分集合であることから、
全射なら単射は、単射g:S→Sでfとgの合成が恒等写像となるものが作れることから分かる
882:１３２人目の素数さん
18/09/14 15:42:36.93 dCVKnTzw.net
>>849
証明してください。