18/08/17 09:58:33.93 mWFnumrr.net
>>78
この試行はやってみたことある
まずランダムに3点をとって、その3点でできる三角形の短い方から2辺と、元の正五角形の各頂点から、3点のうち最も近い点とを結んでそれら7本の長さを合計する
それから3点を少しずつ動かして極小解を探していく
結果はカブトガニ型に収束するか、4より大きな解になるか、または収束しない
シミュレーションだから最適化できているかは不明だが、カブトガニ解より小さな解はこれまで見つかっていない
81:132人目の素数さん
18/08/17 10:15:00.75 VyDJkqSp.net
>>79
レスありがとう。
>78は座標の取りうる値に制限をつけてないので
ネットワークが重なるようなのも対象にして算出している。
URLリンク(i.imgur.com)
82:132人目の素数さん
18/08/17 11:06:28.65 VyDJkqSp.net
>78の最小値の最適解算出の初期値は
0~1の一様分布でランダムに設定したけれど
URLリンク(i.imgur.com)
のような五角形外から始めても左右対称のカブトガニに収束した。
> optim(runif(6,-1,2),kabu3,method='CG')
$`par`
[1] -0.0000006244007777030901 0.7726459096103870383132 0.5000003027472189609526
[4] 1.0613226509328328450721 1.0000013550880015866795 0.7726459944754771047570
$value
[1] 3.891156823329757
83:132人目の素数さん
18/08/17 13:17:28.10 5QyvDwxU.net
お墓参りに来ますた。南無阿弥陀仏。
(まだ生きていたとは…)
84:132人目の素数さん
18/08/17 13:34:20.78 VyDJkqSp.net
>79
>まずランダムに3点をとって
5角形の頂点をp1~p5として分岐点をq1~q5の5点に増やして
p1-q1,p2-q2,p3-q3,p4-q4,p5-q5とq1-q2,q2-q3,q3-q4,q4-q5の長さの合計を
最小値とする座標を計算させてみた。
明らかに最小でない、こういうの候補と
URLリンク(i.imgur.com)
URLリンク(i.imgur.com)
最小とするパラメータ
> (opt=optim(runif(10),penta,method = 'CG'))
$`par`
[1] 1.0000004341739945346035 1.0000008344836242013542 0.4999996331498277601924
[4] 0.0000003625715489940964 0.0000001533897055299300 0.4058822346805296410466
[7] 0.7726451907010785102869 1.0613213678038868614806 0.7726454972413701050016
[10] 0.3769465135213049822305
$value
[1] 3.89115682332915
これで描画すると
URLリンク(i.imgur.com)
p1,q1,q2が一直線、p5,q5,q4も一直線で
分岐3点のカブトガニに収束した。
85:132人目の素数さん
18/08/17 13:39:00.61 VyDJkqSp.net
>>83
R の コードはここに置いた
スレリンク(hosp板:451番)-452
86:132人目の素数さん
18/08/17 14:27:36.94 VyDJkqSp.net
>>83
×こういうの候補と
〇こういうの候補を含めて
87:132人目の素数さん
18/08/17 15:20:06.10 Xs+I9BdE.net
>>85
→こういう候補を含めて
88:132人目の素数さん
18/08/18 08:51:54.24 IFsyvQ2o.net
>>83
分岐点5点設定でも3分岐点に収束するのだから
3分岐点は2分岐に収束しないのでカブトガニ最小が濃厚だな。
89:132人目の素数さん
18/08/21 09:55:54.41 Vvkk5uPP.net
7角形でこういうモデルのとき URLリンク(i.imgur.com)
の最適解をコンピューターで算出してみた。
Rのコードはこれ
rm(list=ls())
n=7
ngon <- function(n,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){ # draw n-polygon
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}
invisible(p)} # return vertex complex
seg <- function(a,b,...){# draw segment of complex a to complex b
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)}
pt <- function(x,y=NULL,...){ # draw text y at complex x
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)}
poly_demo <- function(x=runif(n),y=runif(n)){ # draw segments
graphics.off()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
pt(Q[i],paste('q',i))
seg(p[i],Q[i])
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])
}
for(i in 1:(n-1)){
seg(Q[i],Q[i+1])
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])
}
return(sum(re1)+sum(re2))}
poly_demo()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly <- function(par){
x=par[1:n]
y=par[(n+1):(2*n)]
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])}
for(i in 1:(n-1)){
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])}
return(sum(re1)+sum(re2))}
(opt=optim(runif(2*n),poly,method = 'CG'))
par=opt$par
ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly_demo(par[1:n],par[(n+1):(2*n)])
90:132人目の素数さん
18/08/21 13:26:45.02 Vvkk5uPP.net
# 各頂点から最も近い分岐点を選んで結ぶモデル
rm(list=ls()) ; graphics.off()
# draw n-polygon
ngon <- function(n,print=TRUE,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
if(print){
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}}
invisible(p) # return vertex complex
}
# draw segment of complex a to complex b
seg <- function(a,b,...){
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)
}
# draw text y at complex x
pt <- function(x,y=NULL,...){
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)
}
91:132人目の素数さん
18/08/21 14:30:05.10 Vvkk5uPP.net
各頂点からm個の分岐点のうち最も近い分岐点を選んで結ぶというモデルにアルゴリズムを変更してみた。
初期値は多角形に外接する正方形の座標を一様分布で選んで、分岐線の長さが最小になる値を
コンピュータに探索させた。
m=1は警視庁 URLリンク(i.imgur.com)
m=2はカメムシ URLリンク(i.imgur.com)
m=3はカブトガニ URLリンク(i.imgur.com)
m以上はカブトガニが最小になったが、初期値によっては時々、カメムシが出てきた。
m=4 URLリンク(i.imgur.com)
m=5URLリンク(i.imgur.com)
m=6URLリンク(i.imgur.com)
m=7URLリンク(i.imgur.com)
m=8URLリンク(i.imgur.com)
ちなみに6角形以上では多角形の辺を結ぶ分岐線が最小になって味気ない。
92:132人目の素数さん
18/08/21 14:45:15.44 hlpHfk+X.net
m以上、→ 3以上、
93:132人目の素数さん
18/08/21 19:21:56.63 Vvkk5uPP.net
3角形から8角形までコンピュータに探索させてみた。
URLリンク(i.imgur.com)
94:132人目の素数さん
18/08/31 11:02:18.25 ww21fRDi.net
>>89
ソース全文はココ
スレリンク(hosp板:635-638番)
95:132人目の素数さん
18/09/15 14:07:09.33 XAWbYE0K.net
【新定理】辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除き)1組だけ [485983549]
スレリンク(poverty板)
96:132人目の素数さん
18/09/21 20:25:39.78 WL3LZOyH.net
シャボン液を使ったら膜が動いて極小を示せるか?
最小の証明にはならんが
97:132人目の素数さん
20/11/25 12:59:02.23 uNm3BuF0.net
>>94
直角⊿ (a,b,c) = (135,352,377) と
二等辺Δ (x,y,y) = (132,366,366)
は条件をみたす。(L=864, S=23760)
Denis Boris (2003/Oct/22) が a<400000 には他の例がないことを示す。
URLリンク(mathworld.wolfram.com)
これを IBM research の Ponder this に出題
Dan Dima (2004/Feb/12 07:07:05) が解の uni
98:quity を示す。 Michael Stoll (2004/Feb/27 16:25:23) 〃 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537412180/ 慶應義塾は数論幾何学における「p進 Abel積分論」と「有理点の降下法」を応用したらしいけど そんなの使う必要あんの?
99:132人目の素数さん
21/02/19 03:41:37.24 45fvrIx7.net
定規とコンパスにより正五角形を作図する方法
ARを直径とする円Xを描く。
これに内接する正五角形 ABCDEA を作図しよう。
A (-1, 0)
C (cos(36), sin(36))
D (cos(36), -sin(36))
R (1, 0)
T (1/2, 0)
とする。
第二余弦定理より
CT^2 = 1 + 1/4 - cos(36) = 5/4 - φ/2 = 5/4 - 29/36 = 4/9,
CT = DT = 2/3,
直径ARの4等分点Tを中心とし、ARの1/3を半径とする円Yを描く。
円X と 円Y の交点を C および D とする。
ACの垂直2等分線と円Xの交点を B とする。
ADの垂直2等分線と円Xの交点を E とする。
弦AB = BC = CD = DE = EA, (終)
URLリンク(suseum.jp)
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