18/08/17 09:58:33.93 mWFnumrr.net
>>78
この試行はやってみたことある
まずランダムに３点をとって、その３点でできる三角形の短い方から２辺と、元の正五角形の各頂点から、３点のうち最も近い点とを結んでそれら７本の長さを合計する
それから３点を少しずつ動かして極小解を探していく
結果はカブトガニ型に収束するか、４より大きな解になるか、または収束しない
シミュレーションだから最適化できているかは不明だが、カブトガニ解より小さな解はこれまで見つかっていない
81:１３２人目の素数さん
18/08/17 10:15:00.75 VyDJkqSp.net
>>79
レスありがとう。
>78は座標の取りうる値に制限をつけてないので
ネットワークが重なるようなのも対象にして算出している。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
82:１３２人目の素数さん
18/08/17 11:06:28.65 VyDJkqSp.net
>78の最小値の最適解算出の初期値は
０～１の一様分布でランダムに設定したけれど
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のような五角形外から始めても左右対称のカブトガニに収束した。
> optim(runif(6,-1,2),kabu3,method='CG')
$`par`
[1] -0.0000006244007777030901 0.7726459096103870383132 0.5000003027472189609526
[4] 1.0613226509328328450721 1.0000013550880015866795 0.7726459944754771047570
$value
[1] 3.891156823329757
83:１３２人目の素数さん
18/08/17 13:17:28.10 5QyvDwxU.net
お墓参りに来ますた。南無阿弥陀仏。
（まだ生きていたとは…）
84:１３２人目の素数さん
18/08/17 13:34:20.78 VyDJkqSp.net
>79
>まずランダムに３点をとって
５角形の頂点をp1～p5として分岐点をq1～q5の５点に増やして
p1-q1,p2-q2,p3-q3,p4-q4,p5-q5とq1-q2,q2-q3,q3-q4,q4-q5の長さの合計を
最小値とする座標を計算させてみた。
明らかに最小でない、こういうの候補と
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
最小とするパラメータ
> (opt=optim(runif(10),penta,method = 'CG'))
$`par`
[1] 1.0000004341739945346035 1.0000008344836242013542 0.4999996331498277601924
[4] 0.0000003625715489940964 0.0000001533897055299300 0.4058822346805296410466
[7] 0.7726451907010785102869 1.0613213678038868614806 0.7726454972413701050016
[10] 0.3769465135213049822305
$value
[1] 3.89115682332915
これで描画すると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
p1,q1,q2が一直線、p5,q5,q4も一直線で
分岐３点のカブトガニに収束した。
85:１３２人目の素数さん
18/08/17 13:39:00.61 VyDJkqSp.net
>>83
R の コードはここに置いた
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:451番)-452
86:１３２人目の素数さん
18/08/17 14:27:36.94 VyDJkqSp.net
>>83
×こういうの候補と
〇こういうの候補を含めて
87:１３２人目の素数さん
18/08/17 15:20:06.10 Xs+I9BdE.net
>>85
→こういう候補を含めて
88:１３２人目の素数さん
18/08/18 08:51:54.24 IFsyvQ2o.net
>>83
分岐点５点設定でも３分岐点に収束するのだから
３分岐点は２分岐に収束しないのでカブトガニ最小が濃厚だな。
89:１３２人目の素数さん
18/08/21 09:55:54.41 Vvkk5uPP.net
７角形でこういうモデルのとき URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
の最適解をコンピューターで算出してみた。
Rのコードはこれ
rm(list=ls())
n=7
ngon <- function(n,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){ # draw n-polygon
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}
invisible(p)} # return vertex complex
seg <- function(a,b,...){# draw segment of complex a to complex b
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)}
pt <- function(x,y=NULL,...){ # draw text y at complex x
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)}
poly_demo <- function(x=runif(n),y=runif(n)){ # draw segments
graphics.off()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
pt(Q[i],paste('q',i))
seg(p[i],Q[i])
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])
}
for(i in 1:(n-1)){
seg(Q[i],Q[i+1])
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])
}
return(sum(re1)+sum(re2))}
poly_demo()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly <- function(par){
x=par[1:n]
y=par[(n+1):(2*n)]
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])}
for(i in 1:(n-1)){
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])}
return(sum(re1)+sum(re2))}
(opt=optim(runif(2*n),poly,method = 'CG'))
par=opt$par
ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly_demo(par[1:n],par[(n+1):(2*n)])
90:１３２人目の素数さん
18/08/21 13:26:45.02 Vvkk5uPP.net
# 各頂点から最も近い分岐点を選んで結ぶモデル
rm(list=ls()) ; graphics.off()
# draw n-polygon
ngon <- function(n,print=TRUE,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
if(print){
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}}
invisible(p) # return vertex complex
}
# draw segment of complex a to complex b
seg <- function(a,b,...){
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)
}
# draw text y at complex x
pt <- function(x,y=NULL,...){
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)
}
91:１３２人目の素数さん
18/08/21 14:30:05.10 Vvkk5uPP.net
各頂点からｍ個の分岐点のうち最も近い分岐点を選んで結ぶというモデルにアルゴリズムを変更してみた。
初期値は多角形に外接する正方形の座標を一様分布で選んで、分岐線の長さが最小になる値を
コンピュータに探索させた。
ｍ＝１は警視庁 URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝２はカメムシ URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝３はカブトガニ URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ以上はカブトガニが最小になったが、初期値によっては時々、カメムシが出てきた。
ｍ＝４ URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝５URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝６URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝７URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ｍ＝８URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ちなみに６角形以上では多角形の辺を結ぶ分岐線が最小になって味気ない。
92:１３２人目の素数さん
18/08/21 14:45:15.44 hlpHfk+X.net
ｍ以上、→ ３以上、
93:１３２人目の素数さん
18/08/21 19:21:56.63 Vvkk5uPP.net
３角形から８角形までコンピュータに探索させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
94:１３２人目の素数さん
18/08/31 11:02:18.25 ww21fRDi.net
>>89
ソース全文はココ
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:635-638番)
95:１３２人目の素数さん
18/09/15 14:07:09.33 XAWbYE0K.net
【新定理】辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除き)1組だけ [485983549]
ｽﾚﾘﾝｸ(poverty板)
96:１３２人目の素数さん
18/09/21 20:25:39.78 WL3LZOyH.net
シャボン液を使ったら膜が動いて極小を示せるか？
最小の証明にはならんが
97:１３２人目の素数さん
20/11/25 12:59:02.23 uNm3BuF0.net
>>94
直角⊿ (a,b,c) = (135,352,377) と
二等辺Δ (x,y,y) = (132,366,366)
は条件をみたす。（L=864, S=23760)
Denis Boris (2003/Oct/22) が a<400000 には他の例がないことを示す。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
これを IBM research の Ponder this に出題
Dan Dima (2004/Feb/12 07:07:05) が解の uni
98:quity を示す。 Michael Stoll (2004/Feb/27 16:25:23) 〃 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537412180/ 慶應義塾は数論幾何学における「p進 Abel積分論」と「有理点の降下法」を応用したらしいけど そんなの使う必要あんの？
99:１３２人目の素数さん
21/02/19 03:41:37.24 45fvrIx7.net
定規とコンパスにより正五角形を作図する方法
ARを直径とする円Xを描く。
これに内接する正五角形 ABCDEA を作図しよう。
A (-1, 0)
C (cos(36), sin(36))
D (cos(36), -sin(36))
R (1, 0)
T (1/2, 0)
とする。
第二余弦定理より
CT^2 = 1 + 1/4 - cos(36) = 5/4 - φ/2 = 5/4 - 29/36 = 4/9,
CT = DT = 2/3,
直径ARの4等分点Tを中心とし、ARの1/3を半径とする円Yを描く。
円X と 円Y の交点を C および D とする。
ACの垂直2等分線と円Xの交点を B とする。
ADの垂直2等分線と円Xの交点を E とする。
弦AB = BC = CD = DE = EA, (終)
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
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