18/09/26 20:55:15.37 JunfIhlz.net
メモリを動的確保に変えて計算させました
k=8... 407629 (68747)
688:１３２人目の素数さん
18/09/26 23:11:19.44 geJ49fv1.net
x^12+y^12+z^12-2*((xy)^6+(xz)^6+(yz)^6)=0
(x^n-y^n)≠√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)
(y^n-z^n)≠√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)
(x^n-z^n)≠√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)
√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)+√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)+√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)≠0
689:１３２人目の素数さん
18/09/27 00:27:52.60 Ny+jsTgk.net
結局 >>667 は間違ってるの？
でもまぁなんかの足しになるかもしれないから
>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
を導出した過程をうｐして下さりませ。
690:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:09:40.41 Ia/JTFRy.net
>>597
自分は>>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。
回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401
回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825
回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248
691:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:13:11.34 Ia/JTFRy.net
有名問題だと思うけど。
すべての辺の長さが自然数の三角形で周の長さが nのもの(合同を同一視する)の個数を a[n]としたときの
a[n]の生成関数、つまり f(x) = Σ[n=0,∞] a[n] x^n となる関数 f(x)を求めよ。
692:１３２人目の素数さん
18/09/28 09:55:02.92 UYgVuIW1.net
>>673
この計算に使った言語は何でしょうか？
693:１３２人目の素数さん
18/09/28 11:49:51.98 phrHQfEJ.net
>>674
おっしゃる通りです。 Alcuin数列
ｆ（ｘ） = (x^3)/{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
なお、これは周長が n+6 である不等整数辺⊿の数でもある。(辺長≧2 となる。)
a≦b≦c のとき (a,b,c) ⇔ (a+1,b+2,c+3)
694:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:13:54.75 uvbX02Yn.net
>>672お願いします。
695:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:31:47.58 hKwonw3I.net
>>675
Pythonです。プログラムは>>664の改変。
速度は気にせず、楽さとわかりやすさで。
バーンサイドの補題を使うことで並べ方どうしの比較をしないのでメモリーを使わず、
時間さえあればいくらでも求められますが、実際は k=10,11 が時間的限界でしょう。
>>676
難しくないので、導出も書いてくださいな。
696:１３２人目の素数さん
18/09/28 13:06:24.90 uvbX02Yn.net
>>678
横レス。
導出はできるんだけどなにがどうしてこんな綺麗な形になるのかさっぱりわからんから書く気にならない。
なんかもっと美しい方法がありそうで。
697:１３２人目の素数さん
18/09/28 15:43:49.16 phrHQfEJ.net
>>678 >>679
>>676 のf(x) は
a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
Number of partitions of n into parts 2, 3, and 4, with at least one part 3.
- Joerg Arndt, 2013/Feb/03
と同値だが、これをどう出すか…
698:１３２人目の素数さん
18/09/28 16:02:16.14 gDbOCyp+.net
任意の自然数 n に対して、表面積の等しい n種類の直方体が存在することを示せ。
699:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:01:14.65 phrHQfEJ.net
>>681
稜の長さが {2^r, 2^r, 2^(2n-r)-2^(r-1)} である正方形柱 (r=1,2,…,n)
体積は 2^(2n+r) - 2^(3r-1).
700:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:59:15.72 LXsE/mVy.net
>>679 >>680
とりあえず、奇数の場合と偶数の場合にわけて
f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
で導くルートは見つけた。
でも
＞a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
これで一発解決できるルートがいかにもありそうだよね？
701:１３２人目の素数さん
18/09/28 19:28:36.85 JQRujdYG.net
とりあえず奇偶でわけるルート
An = {(u,v,w) | n/2 - u, n/2-v, n/2-wは自然数、u+v+w = n/2、u≦v≦w}
とおけば a[n] = #An。
n が奇数のとき
Bn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-3)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1/2)によってAn,Bnは一対一対応するから#An = #Bn。
∴Σ[n:odd]a[n]x^n = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
n が偶数のとき
Cn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-6)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1)によってAn,Cnは一対一対応するから#An = #Cn。
∴Σ[n:even]a[n]x^n = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
∴f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) = x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))。
702:１３２人目の素数さん
18/09/28 23:23:10.68 cekwbF/M.net
3より大きな正整数nに対し、2^n+1の素因数がどれもn未満であるようなものは存在するか？
703:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:00:31.68 bRb+ZnSw.net
>>685
これムズい。
ヒントおながいします。
結論は存在する？しない？
704:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:19:38.82 rj9LUQDs.net
>>686
すまないが存在しないだろうと予想している
コンピュータで計算してもそれらしきものは見つからなかった
705:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:22:16.58 x/pASdT/.net
>>687
現時点で答えないの？
じゃぁそれ書いといてよ。
706:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:48:36.15 +ZGkjoNR.net
>>685は、未解決問題を出題したのか？
707:１３２人目の素数さん
18/09/29 10:27:52.08 ZjAaeEtu.net
普通に考えたら有限個しかしないだろう
nが大きくなれば小さい素因数を大量に持たないといけなくなるがそんなのは非現実的
708:１３２人目の素数さん
18/09/29 12:57:43.60 +Hfhy7Kj.net
答え持ってない問題を書いていいかどうかは別にしても、現時点で答えがないなら最低でも>>514のように文面から答え持ってない事がわかるようにせんと駄目だよ。
709:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:39:26.89 GXtaiBeF.net
>>674,679,680,683
見た目より簡単だよ。生成関数の標準的な演習問題くらい？
想定解答は以下のようなもの：
合同は同一視するので三角形の成立条件を考慮すれば、
辺の長さが自然数の三角形と 0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)は一対一に対応することがわかる。
a=s+1, b=a+t, c=b+u とおき、 c<a+b ⇔ c-b<a ⇔ u≦s より s=u+v とおくことにより、
関係式 a=u+v+1, b=u+v+t+1, c=2u+v+t+1 で
0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)と任意の非負整数の組(u,v,t)は一対一に対応することがわかる。
したがって、
f(x) = Σ[n-0,∞] a[n] x^n = Σ[0<a≦b≦c<a+b] x^(a+b+c)
= Σ[u,v,t≧0] x^(4u+3v+2t+3) = (x^3)/(1-x^4)(1-x^3)(1-x^2)。
710:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:50:07.13 c/zrVhx6.net
いや、そのu,v,tが思いつかんかった。
これ
0<a≦b≦c<a+b
からうまくu.v.tを見つけてくるのがミソだと思うけどこれなんか一般論で見つけてくる方法があります？慣れの問題？
711:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:37:21.66 GXtaiBeF.net
>>693
一般論というか基本的技法ですね。
・条件のない非負整数の組と対応させることが目標。
・p<q は p+1≦q とする。
・p≦q をみたす整数の組(p,q)は q=p+k とおくことで k≧0 をみたす整数の組(p,k)と一対一に対応することを使う。
>>692では
0<a から a=s+1 とおき（これで a は 非負整数 s で一対一に表せる）
a≦b≦c から b=a+t, c=b+u とおき（ここまでで 0<a≦b≦c をみたす a,b,c が非負整数 s,t,u で一対一に表せる）
そうすることで c<a+b ⇔ u≦s となるので s=u+v とおく（これで条件をみたす a,b,c が非負整数 v,t,u で一対一に表せた）
となります。
712:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:42:36.38 5t2MTazF.net
>>680 と >>692 の関係
(p, q, r) = (t, v+1, u)
713:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:44:28.46 GXtaiBeF.net
>>694
もちろんすべての場合でうまくいくというものではありません。
この場合は運よくうまくいってきれいな形になりましたが。
714:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:52:45.98 GXtaiBeF.net
>>695,680
> a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
は生成関数の形から分かることで、
三角形とその分割が有用な関係を持つとは思えません。
あったら面白いですが。
715:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:33:54.89 RHyq/92m.net
>>696,697
なるほど。
本文の場合は
0<a≦b≦c<a+b
⇔0 ≦ (a-1)≦ (b-1) ≦ (c-1) ≦ (a-1)+(b-1)
でa-1,b-1,c-1について整理するとキレイに定数項消えちゃうんだ。
気づかなかったorz。
716:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:57:25.67 5t2MTazF.net
>>681
稜の長さが { p^(3r), p^(2n+r), p^(2n-r)[p^(2n)-p^(2r)] } である直方体 (r=0,1,…,n-1)
表面積 2p^(6n),
体積 p^(4n+3r)[p^(2n)-p^(2r)],
p>1.
717:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:16:47.45 5t2MTazF.net
>>682 の拡張
稜の長さが { p^r, p^r, [p^(2n-r)-p^r]/2 } である正方形柱 (r=0,1,…,n-1)
表面積 2p^(2n),
体積 (p^r)[p^(2n)-p^(2r)]/2,
p>1.
718:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:43:59.68 +ZGkjoNR.net
どうやって思いつくん？
719:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:12:28.11 sReFGpyG.net
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720:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:15:52.31 uT1RU4nf.net
呪怨キタ
721:１３２人目の素数さん
18/09/30 01:15:04.79 60e7kxgM.net
>>682 >>700
稜の長さを { A, A, (S/2A - A)/2 } とおく。
(S/2A - A)/2 が自然数となるAを n個以上とれるように Sを決める。
稜 … 多面体の辺
722:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:11:30.00 I1AIdvLV.net
{(x,y,z)|x+y+z=n、x,y,z は非負整数、n は1以上の整数}
を満たす格子点の集合をAとする。
Aから異なる三点を選んだとき、それが正三角形を成している確率を n で表せ。
答えは、プログラムを組めば予想可能なものになるので、答えのみの解答は認めないものとする。
723:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:56:56.32 p1KBHVZY.net
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[0]P[1]=P[1]P[2]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n以下の各自然数iに対し、△OP[i-1]P[i]の重心をG[i-1]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[0]P[1]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選べば、2点P[j]とP[k]を通る直線で、その上にG[0],G[1],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗るようにできる。
724:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:31:43.70 p1KBHVZY.net
すいません先程の問題文がおかしかったので訂正します。
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[1]P[2]=P[2]P[3]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n-1以下の各自然数iに対し、△OP[i]P[i+1]の重心をG[i]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[1]P[2]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選んで2点P[j]とP[k]を通る直線を引けば、その上にG[1],G[2],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗る。
725:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:39:36.69 l/U+OsJc.net
>>705
求める確率をp[n]とすると
p[n]=2/(n^2+3n-2)
になると予想した
A[n]={(x,y,z)|x+y+z=n, x,y,zは非負整数}
できる正三角形の個数をT[n]とすると、
最初の方は
T[1]=1, T[2]=5, T[3]=15, T[4]=35, T[5]=70
となった
A[n]と△型・▽型の正三角形の個数は規則的に数えられるけど
傾いてる正三角形が一般の場合にうまくいかないorz
726:１３２人目の素数さん
18/09/30 07:08:48.15 60e7kxgM.net
>>708
辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
>>705
A[1] = 3,
A[n] = A[n-1] + (n+1),
より
A[n] = (n+2)(n+1)/2, … 三角数
A[n]個の点から3点を選ぶ方法は
C[A[n], 3] = A[n] (A[n]-1) (A[n]-2)/6
= {(n+2)(n+1)/2} {(n+3)n/2} {(nn+3n-2)/2},
辺長nの大きい△型の中に
辺長Lの△型が C[n+2-L, 2] 個ある。
傾いている正三角形も含めれば、そのL倍になる。
T[n] = Σ(L=1, n) C[n+2-L, 2]・L
= C[n+3, 4]
= (n+3)(n+2)(n+1)n/24
= A[n](A[n]-1)/6,
よって
T[n]/C[A[n], 3] = 1/(A[n]-2) = 2/(nn+3n-2),
727:１３２人目の素数さん
18/09/30 08:26:01.48 I1AIdvLV.net
ご名答
>> 辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
ここがポイントですね。傾かないものも含めると、
「サイズLの正置な正三角形には、調度L個の正三角形が属す」
と言えます。全ての正三角形は、いずれかの正置な正三角形に属すため、
あとは、正置な正三角形がいくつあるかを調べ、足し合わせるだけです。
728:１３２人目の素数さん
18/09/30 09:33:26.40 p1KBHVZY.net
707おねがいします
729:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:15:57.85 l/U+OsJc.net
>>709,710
なるほど、そうやって考えるんですね
C[n+2-L, 2]の部分ですが、これは
辺長Lの正置な正三角形のいちばん上の辺長1の正三角形に注目して
Σ[k=1,n-(L-1)]k
と数えたものでしょうか？
730:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:53:25.52 I1AIdvLV.net
サイズ n の正置な正三角形は １ (=C[2,2])
サイズ n-1 の正置な正三角形は ３ (=1+2=C[3,2])
サイズ n-2 の正置な正三角形は ６ (=1+2+3=C[4,2])
サイズ n-3 の正置な正三角形は 10 (=1+2+3+4=C[5,2])
．．．
サイズ 1 の正置な正三角形は 1+2+3+...+n=C[n+1,2]
です。では、サイズ L では？ というと、 C[n+2-L,2] という事です。
注目するサイズの正置正三角形のトップの頂点の、可動範囲を数え上げるという考えでもｏｋですね。
731:１３２人目の素数さん
18/09/30 12:10:03.51 +ZX6Gzee.net
>>682
用意していた答え
３辺の長さを (a,b,c) = (1, 2^r-1, 2^{2n-r}-1)、r=1,2,…n とおくと、
表面積 S = 2(ab+bc+ca) = 2(2^{2n}-1).
732:１３２人目の素数さん
18/09/30 17:00:25.87 QXkD3Yad.net
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733:１３２人目の素数さん
18/10/01 00:17:31.81 NFGqB/Wz.net
>>580
山札からダイヤが１２枚出たところまですべて１／４で
１３枚目のみゼロにすることも可能
■箱の中のカードがダイヤである確率は
基本形の式
ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－３ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－７ｎ^2＋４６８）｝に
係数αをｎの各項に掛ける
ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８）｝
３５１と４６８にはそれぞれβ＝４７９００１６００を掛ける
∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１β｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８β）｝
α＝（ｎ^2－13ｎ）^6＋182（ｎ^2－13ｎ）^5＋13468（ｎ^2－13ｎ）^4
＋516360（ｎ^2－13ｎ）^3＋10752768（ｎ^2－13ｎ）^2＋114341760（ｎ^2－13ｎ）
＋479001600
これで出来上がり
734:１３２人目の素数さん
18/10/01 01:58:40.96 e3gl78jP.net
どうして確率や場合の数の問題しか出てこないのかね。
そんなに面白いかい？
735:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:23:19.73 zs2OgFnD.net
AとBが引き分けのないゲームを次々と行い、一回のゲームで勝つ確率はそれぞれa, bである。つまりa+b=1である。
Aが先にn勝に到達する確率を求めよ。
736:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:30:00.57 0Ok3sr+H.net
>>718
これ求まるん？
1/2の時でもバナッハのマッチ箱で超難題なのに。
1/2じゃなくて求まるん？
737:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:33:21.47 lz/dpGRk.net
>>719
続けたまえ
738:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:44:18.11 MPNlhgUM.net
先にn勝というのは、2n-1回やってn勝以上することと同じ
Σ[k=n～2n-1] a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
739:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:22:40.67 WGyB9cPW.net
何も難問じゃない
将棋の番勝負の勝率レーティングから推計したことあるやつなら簡単にわかるはず
740:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:40:31.38 DmLU+xOs.net
あ、失礼。単にAが勝つ確率か。回数の期待値と勝手に思った。勝つ確率だけなら出るかな？
741:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:43:03.18 DmLU+xOs.net
つまりは>>721か。
これ求まるんかな？
742:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:51:24.17 lSP8i6OA.net
707おねがいします
743:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:57:37.32 dDtimu84.net
>>721,724
p(n)=Σ[k=n,2n-1]a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
とおくと、n≧2のとき二項定理より
(a+b)^(2n-1)=2(p(n)-a^n・b^(n-1))+a^n・b^(n-1)
よって
p(n)=(1+a^n・b^(n-1))/2
744:１３２人目の素数さん
18/10/01 14:02:16.70 dDtimu84.net
>>726
二項係数抜けてるしそもそも3行目ダメですね
撤回します
745:１３２人目の素数さん
18/10/01 15:59:39.87 qcAe9ESj.net
とりあえず10項ほど計算させてみたけど
makelist(factor(expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,1,10);
[
a,
－a^2*(2*a－3),
a^3*(6*a^2－15*a+10),
－a^4*(20*a^3－70*a^2+84*a－35),
a^5*(70*a^4－315*a^3+540*a^2－420*a+126),
－a^6*(252*a^5－1386*a^4+3080*a^3－3465*a^2+1980*a－462),
a^7*(924*a^6－6006*a^5+16380*a^4－24024*a^3+20020*a^2－9009*a+1716),
－a^8*(3432*a^7－25740*a^6+83160*a^5－150150*a^4+163800*a^3－108108*a^2+40040*a－6435),
a^9*(12870*a^8－109395*a^7+408408*a^6－875160*a^5+1178100*a^4－1021020*a^3+556920*a^2－175032*a+24310),
－a^10*(48620*a^9－461890*a^8+1956240*a^7－4849845*a^6+7759752*a^5－8314020*a^4+5969040*a^3－2771340*a^2+755820*a－92378)
]
なんにも思いつかんorz。
746:１３２人目の素数さん
18/10/01 16:20:15.25 gVHzs4Q+.net
あかん、いろいろ調べたけどどうしようもなさそう。
>>721で正解なんかな？
747:１３２人目の素数さん
18/10/01 18:00:13.71 lSP8i6OA.net
pを有理数とする。3辺の長さがp,p,1の二等辺三角形をT(p)と書く。
ある自然数kが存在して、k個のT(p)のみに分割できる多角形全体からなる集合をS(k)とする。
k=1,2,3,...に対し、以下の条件を満たすS(k)の要素の多角形の形状をすべて決定せよ。
条件『多角形の任意の2頂点間の距離は有理数である。』
748:
18/10/01 21:00:19.22 yiYUO1B1.net
>>718
Aが先にn勝する確率をPnとすると、
P1=a
P2=a^2+2a^2･b
P3=a^3+3a^3･b+6a^3･b^2
P4=a^4+4a^4･b+(5Ｃ2)a^4b^2+(6Ｃ3)a^4･b^3
=a^4+4a^4･b+10a^4b^2+20a^4･b^3
P5=a^5+5a^5･b+(6Ｃ2)a^5･b^2+(6Ｃ3)a^5･b^3+(6Ｃ4)a^5･b^4
=a^5+5a^5･b+15a^5･b^2+20a^5･b^3+15a^5･b^4
P6=a^6+6a^6･b+(7Ｃ2)a^6･b^2+(7Ｃ3)a^6･b^3+(7Ｃ4)a^6･b^4+(7Ｃ5)a^6･b^5
=a^6+6a^6･b+21a^6･b^2+35a^6･b^3+35a^6･b^4+21a^6･b^5
P7=……
前>>624フィボナッチだな。一般項出るぞ。
749:１３２人目の素数さん
18/10/01 22:20:08.16 NFGqB/Wz.net
■□■■■□■■■□■■■□■■■
■□■□■□■□■□■□■□■□■
■■■□■■■□■■■□■■■□■
750:
18/10/01 23:00:40.25 yiYUO1B1.net
P1=a
P2/a^2=1+2b
P3/a^3=1+3b+6b^2
P4/a^4=1+4b+(5･4/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3
P5/a^5=1+5b+(6･5/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3+(6･5/2･1)b^4
P6/a^6=1+6b+21b^2+35b^3+35b^4+21b^5
P7/a^7=1+7b+28b^2+56b^3+70b^4+56b^5+28b^6
P8/a^8=1+8b+36b^2+84b^3+126b^4+126b^5+84b^6+36b^7
P9/a^9=1+9b+45b^2+120b^3+210b^4+252b^5+210b^6+120b^7+45b^8
P10/a^10=1+10b+55b^2+165b^3+330b^4+462b^5+462b^6+330b^7+165b^8+55b^9
前>>731漸化式ができそう。
nが奇数のとき、
Pn/a^n=
nが偶数のとき、
Pn/a^n=
751:１３２人目の素数さん
18/10/02 02:29:23.68 VNedEoPb.net
>>721
p(n) = Σ[k=n, 2n-1] a^k b^(2n-1-k) C(2n-1, k), (b=1-a)
p(n+1) = p(n) + C[2n-1, n] (a-b)(ab)^n, (b=1-a)
752:１３２人目の素数さん
18/10/02 04:59:51.66 VNedEoPb.net
∂p(n)/∂a = (n/2) C(2n, n) {a(1-a)}^(n-1),
p(n) = (n/2) C(2n, n) Σ[k=0, n-1] (-1)^k C(n-1, k)/(n+k) a^(n+k)
= (n/2) C(2n, n) a^n Σ[k=0, n-1] C(n-1, k)/(n+k) (-a)^k,
753:イナ
18/10/02 05:33:31.15 K+aBpi/A.net
前>>733訂正。
P10/a^10=1+10b+(11Ｃ2)b^2+(12Ｃ3)b^3+(13Ｃ4)b^4+(14Ｃ5)b^5+(15Ｃ6)b^6+(16Ｃ7)b^7+(17Ｃ8)b^8+(18Ｃ9)b^9
=1+10b+55b^2+220b^3+715b^4+2002b^5+5005b^6+11440b^7+24310b^8+48620b^9
P9/a^9=1+9b+(10Ｃ2)b^2+(11Ｃ3)b^3+(12Ｃ4)b^4+(13Ｃ5)b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
=1+9b+45b^2+165b^3+495b^4+1287b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
P8/a^8=1+8b+36b^2+120b^3+(11Ｃ4)b^4+(12Ｃ5)b^5+(13Ｃ6)b^6+(14Ｃ7)b^7
P7/a^7=1+7b+(8Ｃ2)b^2+(9Ｃ3)b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
=1+7b+28b^2+84b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
P6/a^6=1+6b+(7Ｃ2)b^2+(8Ｃ3)b^3+(9Ｃ4)b^4+(10Ｃ5)b^5
P5/a^5=1+5b+(6Ｃ2)b^2+(7Ｃ3)b^3+(8Ｃ4)b^4
=1+5b+15b^2+35b^3+56b^4
754:１３２人目の素数さん
18/10/02 07:32:49.03 +LHY32Zh.net
>>718
Rを使うと 負の二項分布を使ってpnbinom(n-1,n,a)で数値計算はできる。
755:イナ
18/10/02 10:50:51.36 K+aBpi/A.net
>>718
前>>736一般項が出た。
Pn=a^n/(n-1)!Σ[k=1～n-2]{(n+k)!b^(k+1)}/(k+1)!
756:１３２人目の素数さん
18/10/02 12:38:55.19 eO27KDaY.net
>>735
おお、すごい。
流石にこれ以上は無理？
757:１３２人目の素数さん
18/10/02 13:11:05.17 0RVIqaz8.net
>>735
makelist((expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,0,10);
makelist((expand(n/2*a^n*binomial(2*n,n)*sum(binomial(n-1,k)/(n+k)*(-a)^(k),k,0,n-1))),n,0,10);
(%o1) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
(%o2) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
素晴らしい。
758:１３２人目の素数さん
18/10/02 17:12:04.16 xOs+qnbe.net
ｎ＝０，αｎ／βｎ，α＝｛２^ｎ＋２^（ｎ－1）｝，β＝｛２^（ｎ＋2）＋２^（ｎ－1）｝
分母と分子の両方にゼロ掛けているのに
なんで１／３が出力されるねん？(´・ω・`)
759:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:09:37.32 aHJ20R9e.net
(1)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが絶対収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？
(2)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが条件収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？
760:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:18:08.02 zN6Tq8dX.net
(1) a_n > 1 である n は有限個なのでそれらを除いて (a_n)^2 ≦ a_n。よって収束する。
(2) しない。反例：a_n = (-1)^n/√n。
761:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:19:03.50 aHJ20R9e.net
>>743
早すぎワロタ
正解
762:学術
18/10/02 19:49:00.32 qfVJ5oyJ.net
間違ってるものを採点して生徒が伸びた方がいたと思う。
高速通信添削で赤入れるみたいにしちゃうといい。女子美味しいな。
763:学術
18/10/02 19:49:43.60 qfVJ5oyJ.net
フルハウスの意味表象記号観。
764:イナ
18/10/02 23:29:03.26 K+aBpi/A.net
前>>738
Pn(n-1)!/a^n=(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!
Pn={a^n/(n-1)!}{(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)
765:……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!} 通分するのかな。
766:１３２人目の素数さん
18/10/03 01:24:31.41 7h2ip4rW.net
>>743 (2)
S = Σ_{n=1}^{∞} a_n = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^n /√n が収束すること。
S = -1 + 1/√2 - Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m-1) - 1/√(2m) )
> -1 + 1/√2 - (1/2)Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m -3/2) - 1/√(2m +1/2) ) … (*)
= -1 + 1/√2 - 1/√10
= -0.60912098483…
S = -1 + Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m) - 1/√(2m+1) )
< -1 + (1/2)Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m -1/2) - 1/√(2m +3/2) ) … (*)
= -1 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√14
= -0.60298224609…
S = -0.60489864342163…
767:１３２人目の素数さん
18/10/03 02:07:38.39 7h2ip4rW.net
>>748 (補足)
f(n) = 1/√n の平均変化率 {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h) が h>0 と共に増加すること。
{f(n-h) - f(n+h)}/2h = {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h)
= {√(n+h) - √(n-h)}/{2h √(nn-hh)}
= 1 / {√(nn-hh)･(√(n-h) + √(n+h)}
= 1 / {√(nn-hh)･√[2n+2√(nn-hh)]},
あるいは平均値の定理により
f(n-L-h) - f(n+k+h) - {f(n-h) - f(n+h)} - {f(n-L+k-h) - f(n-L+k+h)} + {f(n+k-L) - f(n-L+h)}
= {f(n-L-h) -f(n-h) -f(n-L+k-h) +f(n+k-h)} - {f(n-L+h) -f(n+h) -f(n-L+k+h) +f(n+k+h)}
= -2h {f '(a-L) - f '(a) - f '(a-L+k) + f'(a+k)} (n-h<a<n+h)
= -2h {f '(a-L) - f '(a)} -2h {f '(a-L+k) - f '(a+k)}
= 2hk {f "(b-L) - f "(b)} (a<b<a+k)
= -2hkL f '''(c) (b-L<c<b)
> 0
768:１３２人目の素数さん
18/10/03 05:10:42.84 DaTYnnLD.net
[0,π]上の連続関数fに対して、
lim(n→∞)∫_0^π f(x)cos(nx) dx=0
となることを証明せよ
769:１３２人目の素数さん
18/10/03 13:43:17.24 rOBG/Z0C.net
>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1～N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1～N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1～N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1～N] a[l] cos lx, Σ[m:1～N] a[m] cos mx) = Σ[m:1～N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1～∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。
770:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:09:19.50 sCRZrnTp.net
>>751
正解！
ベッセルの不等式証明してくれた感じかな
771:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:16:20.13 AdKJHB0+.net
【世界教師マⅰトレーヤ】 トランプは現在、ツイートを囮にして、史上最悪の法案にサインする気でいる
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)
山本太郎もブチ切れる、労働者へのゲスい裏切り！
772:１３２人目の素数さん
18/10/04 00:09:55.61 wFWA09/F.net
>>734
p(n+1) - p(n) = (2a-1) C[2n-1, n] (a(1-a))^n, (n≧1)
の両辺に t^n を掛けて和をとると
G(t)/t - p(1) - G(t) = (2a-1)Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] (a(1-a)t)^n
= (1/2)(2a-1) {1/√(1-4a(1-a)t) -1}, … (*)
(2(1-t)/t) G(t) = 1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t),
G(t) = Σ[n=1,∞] p(n) t^n = (t/2(1-t)) {1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t)},
*) 一般化された二項定理
1/√(1-4x) = 1 + 2Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] x^n,
773:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:29:02.41 gUoKrYzL.net
>>718 の答えは今出てる答えで正解でいいのかな？
流石にもうこれ以上はどうしょうもない気がする。
774:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:43:03.87 pCjQRYKm.net
母函数面白いね
カタラン数のそれに近い感じもある
775:イナ
18/10/04 10:21:42.56 jwM/NwpW.net
>>755
>>718の答え、>>747でいいの？
確率をnとaで表せってことだよね？
……があるままでいいってこと？
通分して分子が簡単になったりして。
前>>747
776:イナ
18/10/04 11:08:57.18 jwM/NwpW.net
前>>757
通分すると、
Pn={a^n/(n-1)!(n-1)!}[(n+1)!{(n-1)(n-2)……3}(1-a)^2+(n+2)!{(n-1)(n-2)……4)}(1-a)^3+……+(2n-2)!(1-a)^(n-1)]
簡単にならないなら……を許可するしかないか。それかΣとkを使うか。
777:１３２人目の素数さん
18/10/04 22:51:50.84 wFWA09/F.net
>>756
Catalan(n) = C[2n, n] - C[2n, n-1] = {1/(n+1)} C[2n, n]
Σ[n=0,∞] Catalan(n) t^n = {1 - √(1-4t)}/(2t),
778:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:00:52.73 LFy1EKo2.net
カタラン数を語らん！
779:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:14:12.31 VmTW+2yt.net
このスレで見つけた問題。
[0,n]×[0,n]の格子点の隣接する格子点をむすんで得られるグラフを考える。（図１参照）
このグラフの左下と右上を結ぶグラフ上の経路で長さ2nのもののうちy≦xの部分にある横線をちょうどk回通るものの個数を求めよ。
>>432より
>―図１―(n=6の場合)
>┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼─┼─┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼─┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼＝┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>└＝┴＝┴＝┴＝┴＝┴＝┘
780:１３２人目の素数さん
18/10/08 18:08:41.43 vYJ1GP+F.net
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781:１３２人目の素数さん
18/10/11 17:11:17.49 +nerrO/K.net
不思議な現象に遭遇したけど、よくわからないのでみんなの知恵を借りたい。
a1,a2,…を不定元とし、σをその添字を１だけ大きくする作用素とする。
次で有理式の列{F[n]; n=0,1,2,…}を定める：
F[0] = 1, F[n] = (F[n-1] + σF[n-1])/(a1+a2+…+an) (n≧1)。
F[1] = (1 + 1)/(a1) = 2/a1,
F[2] = (2/a1 + 2/a2)/(a1+a2) = 2/a1a2,
F[3] = (2/a1a2 + 2/a2a3)/(a1+a2+a3) = 2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3),
F[4] = (2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3) + 2(a2+a4)/a2a3a4(a2+a3+a4))/(a1+a2+a3+a4)
= 2(a1a2+a2a3+a3a4)/a1a2a3a4(a1+a2+a3)(a2+a3+a4)
のようになるが、既約分数表示での分母を見ると偶数項の因数は約分で消え、奇数項の因数しか現れていない。
PCで調べるとF[8]まではそうなっている。
なので「F[n]を既約分数で表したとき分母には奇数項の因数しか現れない」と予想するが、
これは正しいだろうか？
また関連しそうなことがあったら教えてください。
782:１３２人目の素数さん
18/10/12 20:40:52.47 PScjLvUl.net
1/a(a+b)(a+b+c)…(a+b+c+…+z) を [a,b,c,…,z] と書くことにする。
[] = 1,[a] = 1/a, [a,b] = 1/a(a+b) など。
次を示せ。
(1) [a][b] = [a,b] + [b,a]
(2) [a,b][x] = [a,b,x] + [a,x,b] + [x,a,b]
(3) [a,b][x,y] = [a,b,x,y] + [a,x,b,y] + [a,x,y,b] + [x,a,b,y] + [x,a,y,b] + [x,y,a,b]
(4) [a][b][c] = [a,b,c] + [a,c,b] + [b,a,c] + [b,c,a] + [c,a,b] + [c,b,a]
また、一般にどのようなことがいえるだろうか？
（>>763 を考えた背景にあるもの）
783:１３２人目の素数さん
18/10/14 10:12:53.96 Rg/i5zok.net
E, A, B を同じ型の正方行列とし、Eを単位行列とする。
E-ABが逆行列Cをもつとき、E-BAが正則であることを示し、その逆行列をE, A, B, Cを用いて表せ。
784:１３２人目の素数さん
18/10/14 11:38:51.05 8dVZheoh.net
>>765
C = (E-AB)^-1 = E + AB + (AB)^2 + … とおもえば
(E-BA)^-1 = E + BA + (BA)^2 + … = E + BA + B(AB)A + B (AB)^2 C + … = E + BCA と予想できて、
あとは計算で (E-BA)(E+BCA) = (E+BCA)(E-BA) = E。
785:１３２人目の素数さん
18/10/14 11:48:27.04 8dVZheoh.net
A,Bがn次行列のとき、ABとBAの固有値は等しいことを示せ。
786:１３２人目の素数さん
18/10/14 18:47:55.39 RPfJW+Db.net
係数環がZで証明できれば十分。
よってさらにCで証明できれば十分。
Aが正則のときABA^(-1)とBの固有多項式が等しく故成立。
一般の場合は等式 ch AB = ch BA がザリスキ開集合 det A≠0 で成立する故一般に成立。
787:１３２人目の素数さん
18/10/14 20:07:46.18 KkBlRZKF.net
■ニャンティホール問題
□□□ ∧,,∧ ∧,,∧
□□□ (,,・∀・) ﾐ,,・∀・ﾐ
□□□～(_ｕ,ｕﾉ ＠ﾐ_ｕ,,ｕﾐ
788:１３２人目の素数さん
18/10/15 11:53:39.52 Cs8TUMYb.net
>>763
それ無理じゃね？
全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
一方でa1 = 1、残りに２をいれると全てのnでF[n]は２進整数。
よって分母に必ず項の数が偶数の因子が出てくると思う。
789:１３２人目の素数さん
18/10/15 12:43:35.59 i7/FRo1V.net
>>770
> 全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
v_2は2進付値だよね。だったら、
v_2(n!) = Σ[k=1,∞] floor(n/2^k) ≦ Σ[k=1,∞] n/2^k ≦ n だから
v_2(F[n]) ≧ 0 だよ。
790:１３２人目の素数さん
18/10/15 14:26:48.59 ArZ1mDJT.net
>>771
あ、ホントだ。
失礼しました。
791:１３２人目の素数さん
18/10/15 17:00:40.06 I979f5xZ.net
平川-松村の定理
792:１３２人目の素数さん
18/10/15 18:23:54.97 Pc4lKaBY.net
p1, p2, Pは素数かつ、
p1 ≧ 3, p2 ≧ 3, P ≧ 7で、
p1 + p2 = ( P + 1 )
が成り立つときの
p1, p2, P がみたす性質って何かありますか？
793:１３２人目の素数さん
18/10/15 18:33:36.53 7e+ZqB9F.net
>>774
mod
794:１３２人目の素数さん
18/10/15 23:27:34.88 TBaDGY4B.net
>>767
Aが正則でないとき…
Eをn次の単位行列、yは実数とする。
|A+yE| はyのn次式だから、|A+yE| = 0 を満たすyの個数は高々n個である。
|A+yE|≠0 となるyに対しては
|xE - (A+yE)B| = |xE - B(A+yE)|,
が成り立つ。|A+yE| = 0 の解をうまく避けながら y→0 とすれば、
|xE-AB| = lim_{y→0} |xE - (A+yE)B| = lim_{y→0} |xE - B(A+yE)| = |xE-BA|,
∴ |xE-AB| = |xE-BA|.
A,B∈Ｍ_n(Ｃ)に対して ABとBAの固有多項式が同じになることを証明せよ。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
任意のn次正方行列A,Bについて ABとBAの固有多項式が同じになることの証明
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
795:１３２人目の素数さん
18/10/15 23:28:12.32 vAwE2iKE.net
777☆
796:１３２人目の素数さん
18/10/16 10:47:22.37 9Iy8NhYm.net
nを自然数として、a_1=3,a_n=n(a_(n-1)-1)+2 (n≧2)でa_nを定める。
ここK村の人口はa_n人で、増えることも減ることもない。
さて、K村から任意の2人を選んだ時、その2人はある｢関係｣を持っているとする。そして、その｢関係｣はn種類にわたって存在する。
この時、どの2人を選んでも同じ｢関係｣で結ばれているような3人組が必ず存在することを示せ。
オリジナルです
考え方自体は既出だと思う
797:１３２人目の素数さん
18/10/16 11:06:57.32 XgKYsVQ3.net
イミフ
798:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:17:31.18 pXbAMmW4.net
a[1]=3人だと1種類
a[2]=6人だと2種類
a[3]=17人だと3種類
・・・
799:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:31:09.15 4hIfQunY.net
>>778
よく分からんけど、ラムゼー数（ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
R_n(3,3,…,3) ≦ a[n] を示せってことか？
800:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:51:55.66 xW+nW6TE.net
>>778
正確に言葉を使え
高卒か？
801:１３２人目の素数さん
18/10/16 16:25:15.98 59lKj0WN.net
>>778が>>781の意味ならそのままwikiに書いてある漸化式で解けちゃうね。R(…)の中の2は自動的に落ちてしまう
802:１３２人目の素数さん
18/10/16 17:30:56.90 5jr9jBpY.net
清書
Claim 1)
R(k1,…,kn)≦R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2
(∵) R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2個の点からなる完全グラフから1点v を選び、そこから残りの点への辺を1～nに彩色する。
このとき、色1に塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn)以上かまたは…�
803:Fnに塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn-1)以上である。 最初の場合（残りの場合も同じように議論できる）、色1に塗られている辺の向かう先の点の個数がR (k -1, k2,…,kn)以上だから、それらの点からk1 -1個の点の、色1のみからなる完全グラフか、ki個の点の色iのみからなる完全グラフがある。 前者の場合、v とあわせればk1 個の点の色1のみからなる完全グラフが得られる。 Claim2) R(k1,…,kn,2) = R(k1,…,kn) (∵) R(k1,…,kn)個以上の頂点からなる完全グラフをn+1色に塗り分ける時、色n+1が使われていればその辺のみからなるグラフが2点完全グラフである。 n+1がつかわれていなければR(k1,…,kn)の定義からいずれかの色 i のみで塗られた完全 ki グラフを含む。 以上により R(3,3,…,3) ≦ a_n。
804:１３２人目の素数さん
18/10/17 12:18:06.75 73t+PGbH.net
>>782
これで理解できへんのはアウトやろ
805:１３２人目の素数さん
18/10/17 12:26:37.27 0tcTzRCF.net
この問題文はあかん
806:１３２人目の素数さん
18/10/17 15:01:02.00 I9IpbIiP.net
問題文かは鳩ノ巣かなと思ってた
807:１３２人目の素数さん
18/10/17 15:40:39.54 0tcTzRCF.net
わかスレの問題改題。
数列 (c[n], d[n]) を
c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2]、c[1] = 0、c[2] = 1、
d[n] = (2n-1)d[n-1] + d[n-2]、d[1] = 1、d[2] = 0
で定める時 lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!!、lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! を求めよ。
808:１３２人目の素数さん
18/10/17 18:50:29.46 PUvZuus0.net
>>788
c[n]の方は組合せ的意味(ｽﾚﾘﾝｸ(math板:494番),510,623)を考えれば、
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^r binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) が分かって、
α(n,r) := n!(2n-r)!2^r/(2n)!(n-r)! が
0 < α(n,r+1) < α(n,r), α(n,r)→1 (n→∞) となるのを使えば
lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] ((-1)^r/r!)α(n,r) = e^(-1)。
809:１３２人目の素数さん
18/10/17 19:18:42.08 LxNRGIwD.net
やっと二重階乗がでてきたのか
810:１３２人目の素数さん
18/10/17 21:40:01.85 RJVJEgsX.net
>>289
おお、なるほど。
素晴らしい。
それなら前スレででてきたベッセル関数もへったくれもなしに証明できますね。
今の所用意している解答はベッセル関数もへったくれもある解答です。
d[n]の方もそんな感じでできるかもしれないですね。
811:１３２人目の素数さん
18/10/17 21:53:46.92 LxNRGIwD.net
ジョーカーを除いたトランプ５２枚を外からは中が
確認できない５２個の箱の中に表を見ないで一枚ずつ入れた
そして、５２個の箱の中から適当に三つの箱を選んで三枚の
カードを取り出すと三枚ともダイヤであった
このあと残りの４９個の箱の中からどの箱を選んでも
箱の中のダイヤの確率は１０／４９である
812:１３２人目の素数さん
18/10/18 03:38:50.93 k/D5nzuI.net
a,b (1≦a≦b) を整数とする。
b階建てビルのエレベーターは1階からb階までを移動している。
a階でエレベータを待つとき、上からやってくる確率を求めよ。
813:１３２人目の素数さん
18/10/18 04:25:18.54 ybZLuwXw.net
>>793
何が同様に確からしいのかわかんねー
814:１３２人目の素数さん
18/10/18 12:33:59.38 EWu4uTz9.net
縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利？
ABCD
EFGH
I JK L
815:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:16:58.60 7YqgJU0i.net
>>795
移動時間とかなんにも条件ないならイーブン。
816:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:36:41.89 7YqgJU0i.net
>>795
以外に自明じゃないけど結局イーブン
P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIKKL
部屋 : ABCDEFGHIKKL
先に入る：△QQQPPQQPPP△
817:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:40:36.12 S3KlGNXW.net
ABCDEFGHIJKLとBCDEFGHIJKLAの争いがえぐい
818:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:54:02.75 7YqgJU0i.net
ETFJKをP部屋と呼ぶ。Pはこの部屋にQより先にこの順に入室する。
BCDGHをQ部屋とよぶ。Qはこの部屋にPより先にこの順に入室する。
Aに宝があれば同着でイーブン。
Aに宝がなくLに宝があれば残りがP部屋か、Q部屋かによるのでイーブン。
２つともP部屋ならP勝ち、２つともQ部屋ならQ勝ちでその確率はイーブン。
のこり２５通りは
EIFJK
B△
C △
D △
G △
H △
と５×５マスからひとつ選ぶ場合だけど△の組み合わせなら同着、
上半分ならQ勝ち、下半分ならP勝ちでイーブン。
以外に思ったより自明じゃないなぁ。
819:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:19:20.33 EWu4uTz9.net
>>795
追記。問題文にあるように、ABCDEFGH…とAEIBFJ…という探索方法をとっています。P君はQ君が先にBを調べていても4ターン目にちゃんと調べることになってますよ。
要するに、相手が調べ終わった部屋も重複して調べる場合が出てきます。
820:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:20:35.68 lUFq+UnC.net
>>797
いや完全に自明だろｗ
全ての箱等価なんだから
くじ引きと同じだぞ
821:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:23:30.73 EWu4uTz9.net
>>801
全く自明じゃないよ、1マスにしか宝がないなら自明だが2マスあれば自明じゃない。
結論はネタバレになるから言わないけど案外面白い結果になる。
822:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:29:52.71 lUFq+UnC.net
>>802
壮絶なバカだなあ
マスを箱と考える。
箱のセットをコピーして、A～Lのセットを2つ用意する
アタリとなっているの箱の文字はどちらも同じ。
P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIJKL
PQはどの順番でハコを開けていくか？が同じだけ。
ハコの中身がランダムで未知なのに開ける順番で差がつきうるとかお笑いだなｗ
823:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:30:20.02 BOAck/eY.net
勝利条件が書いてないのだが
824:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:30:35.44 lUFq+UnC.net
盛大に誤字ったｗ
どの順番でハコを開けていくか？が違うだけ が正しい
825:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:50:03.58 4ou2qq4A.net
>>803
＞箱のセットをコピーして、A～Lのセットを2つ用意する
それ違う問題だろ。
本問の場合片方が先に見つけたお宝は他方の手には入らない
それを踏まえた上で
P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA
これでもイーブンだと思う？
826:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:00:10.11 EWu4uTz9.net
>>804
あーごめん、完全に自分のミスです
先に宝を見つけた方が勝ちです。
いずれか1人が(あるいは同時に2人が)宝を見つけた時点でゲームは終了です。すいません。
827:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:02:08.47 lUFq+UnC.net
>>806
100％イーブンだろｗｗｗｗ
頭悪いんだなｗ
お前の言ってるのは
「クジ引きで後に引くのは不利、先に当たりひかれちゃうかもしれないから！」
これと完全に同レベルな
828:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:04:29.78 lUFq+UnC.net
>>806
マジで分からないのか？
お前の言ってるのは
「どれが当たりか全く分からない12個の箱を、開ける順番を変えるだけで
当たり引くまでの回数の期待値を変えられる」
ってことだぞ？
本気で言ってんならヤバいよｗ
829:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:06:30.41 4ou2qq4A.net
>>808
P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA
この順に部屋を調べるとして、1個だけのお宝が
A～Lにある10の場合それぞれについて
P、Q のどちらが勝つかわかる？
Aにある場合→Pが先に調べるからの勝ち
Bにある場合→同様にPの勝ち
...
のように
830:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:08:01.09 4ou2qq4A.net
>>810
＞Aにある場合→Pが先に調べるからPの勝ち
＞Bにある場合→Qが先に調べるからQの勝ち
の間違いだった
831:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:12:01.94 EWu4uTz9.net
>>809
2マスに宝がそれぞれ置いてあるんですよ？？もちろん1マスにしかないならイーブンですが、2マスに宝がある場合、この2つの宝は互いに独立して配置されるわけではないんですよ。
要するに、宝が1マスに重複して置かれることがないから｢宝Aがあるマスに配置された瞬間、宝Bはそのマス以外に配置されることになる｣わけで、その期待値で考える理屈は通用しませんよね。
832:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:15:24.25 4ou2qq4A.net
>>809
1つの当たりが10個の箱に入っているとして、
P：ABCDEFGHIJKL
Q：BCDEFGHIJKLA
このように片方が開ける順よりも1つ先の箱を開けることによって、
Qが当たりを引くまでの手数は
1/10の確率でPより9増える (当たりがAの場合)
9/10の確率でQより1減る
双方の当たりを引くまでの手数の期待値は変わらないが、
他方より1でも少なければ勝ちなのでQが勝つ確率は9/10となる
833:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:16:18.29 4ou2qq4A.net
>>813
＞9/10の確率でQより1減る
Pより1減る、の間違いだな
なんかグダグダ
834:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:17:46.47 BOAck/eY.net
宝が一つの場合でも>>810>>811みたいなのを考えると単純な期待値の問題にはならないんじゃ？
835:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:19:27.15 EWu4uTz9.net
>>815
その場合は｢相手が調べ終わっている箱を確かめる｣回数が多い方が負けるでしょうね、、
836:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:36:38.92 7YqgJU0i.net
あれ？>>799で終わったと思ってるんだけど？
間違ってる？
837:１３２人目の素数さん
18/10/18 15:55:19.98 7YqgJU0i.net
コレ、直感的には自明にイーブンに見えるけど、ちゃんと考えると少なくとも自明じゃないのが面白い。
けど結局イーブンだからなぁ。
縦横でも
P:AEIJFBCGKLHD
Q:ABCDHGFEIJKL
とかにしてイーブンじゃない設定の方が良かったかも。
838:１３２人目の素数さん
18/10/18 16:15:00.24 7YqgJU0i.net
いや、嘘書いた。>>799の残り25通りイーブンじゃないやん。
BEが宝箱ならQ部屋のBにQが入室すらのが2ターン目、EにPが入室するのが6ターン目だからQの勝ち。
同様にして勝敗を埋めて行くと
EIFJK
B QQQQQ
C QQQQQ
D QQQQQ
G PPQQQ
H PPPPQ
となってQの勝ちですね。
直感に反してて面白い。
839:１３２人目の素数さん
18/10/18 16:25:38.90 7YqgJU0i.net
あかん、まだ嘘書いてる。
残りは50事象だ。
840:１３２人目の素数さん
18/10/18 16:31:58.81 7YqgJU0i.net
いや、合ってる。
やっぱり頭の中だけで考えるとダメだ。
ALは無視して残り10部屋で45通り。
P部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
Q部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
残りは25通り、Q勝ちの方が多い。
841:１３２人目の素数さん
18/10/18 19:14:50.26 y4R+MJMW.net
なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな
Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL
Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL
同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI
842:１３２人目の素数さん
18/10/18 19:46:16.03 AIa0HjDX.net
何を数え上げているのさっぱりわからんが、12C2=121なので121通りないとおかしい。
イーブンだぞ。
843:１３２人目の素数さん
18/10/18 19:50:19.73 Z/pf1+wY.net
>>788,789,791
e[n] = Σ[r=0,n] binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) と置くと、c[n], d[n]と同じ漸化式
e[n] = (2n-1)e[n-1] + e[n-2] が成り立ち、e[1]=2, e[2]=7 であるから d[n] = (e[n]-7c[n])/2。
>>789 と同様にして lim[n→∞] e[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] (1/r!)α(n,r) = e であるから
lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! = (e-7e^(-1))/2。
c[n]などはいろいろな表し方がある：
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r)! / r!2^r
= Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r-1)!! （ただし (-1)!!=1 とする。）
0以下に延長すると:
e[-5]=266, e[-4]=37, e[-3]= 7, e[-2]=2, e[-1]= 1, e[0]= 1, e[1]=2, e[2]=7, e[3]=37, e[4]=266,
c[-5]=-36, c[-4]=-5, c[-3]=-1, c[-2]=0, c[-1]=-1, c[0]= 1, c[1]=0, c[2]=1, c[3]= 5, c[4]= 36,
d[-5]=259, d[-4]=36, d[-3]= 7, d[-2]=1, d[-1]= 4, d[0]=-3, d[1]=1, d[2]=0, d[3]= 1, d[4]= 7.
844:１３２人目の素数さん
18/10/18 19:58:07.26 y4R+MJMW.net
>>823
12C2 = 12! / (2! x 10!) = 12x11 / 2 = 66
845:１３２人目の素数さん
18/10/18 20:01:25.73 AIa0HjDX.net
>>825
俺の頭が湧いてるのか？
12x11/2 = 11x11＝121
846:１３２人目の素数さん
18/10/18 20:02:07.31 AIa0HjDX.net
>>825
ごめん湧いてたwwwwwww
847:１３２人目の素数さん
18/10/18 23:36:54.15 ZLom+Usi.net
わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
この時どちらのボックスを引くのが良いか？または同じか？
848:１３２人目の素数さん
18/10/18 23:48:24.44 7YqgJU0i.net
>>828
> 一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
コレは
X : Aに一等1.二等2.Bは全部ハズレ
Y : Bに一等1,二等2,ハズレ4,Aは全部ハズレ
のいずれかであるという意味？
XとYが同様に確からしいとか、なんか条件ないと答えでないんじゃね？
同様に確からしいなら明らかに Aの方がお得だけど。
849:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:05:07.75 qhs5NzN0.net
>>829
同様に確かと言えるのは3/10が当たりということとどちらかに偏ることは確かだとしか聞いてない
A:1/2 ×3/10=3/20
B:1/2 ×3/7/10=5/7
でBの方がお得になるんだけど感覚として
Aは1/2 ×1/3=1/6で当たり引けるから混乱してる
850:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:11:17.55 vrUAL2J1.net
ランダムに分けるんだけど結果偏っていたという場合の考察
全ての分け方: 10C3通り
うちAに当たりが偏った分け方 : 1通り
うちBに当たりが偏った分け方 : 7C3通り
851:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:12:23.88 vrUAL2J1.net
>>830
＞A:1/2 ×3/10=3/20
この10はどこから出てきたw
852:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:18:34.12 qhs5NzN0.net
>>832
10個からボール1つを選ぶけどAは3個しかない
853:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:33:44.91 0SW2jqO2.net
(a) A に偏っている場合
3つのボックスのどれかを開ければ1/3の確率で1等、2/3の確率で2等
1等、2等のいずれかが当たる確率は100%
(b) B に偏っている場合
7つのボックスのどれかを開ければ1/7の確率で1等、2/7の確率で2等
1 等、2等のいずれかが当たる確率は3/7≒43%
Aに偏っているかBに偏っているかが同様に確からしい
(それぞれ1/2の確率)ならA の箱を開ければ1/2の確率で当たりをひける。
じゃなくて「ランダムに分けたんだけどなんか偏っちゃった！」だと
そもそもAに偏ってる(＝当たりが入っている)確率自体がとても低いのでAを選ぶのは危険
854:１３２人目の素数さん
18/10/19 00:52:26.09 qhs5NzN0.net
>>834
そうかー
そのランダムなんだけどAってどれくらいの確率なの？
855:１３２人目の素数さん
18/10/19 01:11:58.87 qhs5NzN0.net
1/10c3か?そりゃ低いや
大きい箱の方に引っ張られるのかね
856:１３２人目の素数さん
18/10/19 01:24:07.41 5btDxqP5.net
ボックスAに一等が入っているなら
ボックスBに二等が二つ
ボックスBに一等が入っているなら
ボックスAに二等が二つ入っている
という意味だよ
857:BLACKX
18/10/19 01:29:47.49 yLZt/D6J.net
ごちゃごちゃする前に出題者です。
たとえ話でその後の回答ないので私の方から回答しに来ました。
一般的な確率でなくLOTOを計算しております。
10個のボールの中で前提が1等が1個だけで抽選をし、1等の箱が決まった時点でその箱の中で2等が決まるため同じ箱に偏るとしました。
なので834さんがお答えの通りかなり低いです。1等が3つのボールの箱に入らなければ2等はありませんから。
箱自体に当たりのある確率で３０：７０です。
858:１３２人目の素数さん
18/10/19 01:35:33.67 OCs/EBNC.net
>>824
正解です。素晴らしい。
ちなみに用意の解答
―-
f(n,x) = (-1/x d/dx)^n (exp x/x)
とおけば
x^2 f(n,x) = (2n-1)f(n-1,x) + f(n-2,x)。
とくに p[n] = f(n,1)、q[n] = f(n,-1)とおけば
p[n] = (2n-1)p[n-1] + p[n-2]、q[n] = (2n-1)q[n-1] + q[n-2]。
これとp[1] = 0、p[2] = e、q[1] = -2/e、q[2] = -7/eにより
c[n] = p[n]/e、d[n] = (-7p[n]/e + 2e q[n])2。
一方で (-1/x d/dx)^n (exp x/x)をマクローリン展開して lim[n→∞] f(n,±1)/(2n)!! = ±1。
以上により
lim[n→∞] c[n]/(2n)!! = 1/e、lim[n→∞] d[n]/(2n)!! = (-7/e+e)/2。
―
前わかスレに出てた変形ベッセル関数による表示を利用しています。
(本来のベッセル関数だとx=-1を代入できないのでちょっと一工夫してますが。)
859:１３２人目の素数さん
18/10/19 01:39:41.07 T5g/T+ww.net
それなら
Aに1等が入っている確率3/10
Aから選んで1等を当てる確率3/10x1/3＝1/10、2等になる確率3/10x2/3＝2/10
Bに1等が入っている確率7/10
Bから選んで1等を当てる確率7/10x1/7＝1/10、2等になる確率7/10x2/7＝2/10
となるからA、Bのどちらの箱を開けても損得はない
偏りがある。当たる確率は1/10。
流石LOTOどちらも満たしてるね。
860:１３２人目の素数さん
18/10/19 01:42:14.19 OCs/EBNC.net
あ、>>839の分母の (2n)!! の所 (2n-1)!! です。
861:１３２人目の素数さん
18/10/19 02:07:40.86 qhs5NzN0.net
>>838
>>840
回答ありがとうございます。納得しました
あー確率的に同じで偏りがあるから低くなるのか
862:１３２人目の素数さん
18/10/19 02:13:58.97 gzQJ/Bd2.net
・a[1]=2
・a[n+1]=a[n]/(1+a[1]+a[2]+…+a[n])
・b[1]=2
・b[n+1]=b[n]/{a[n]+(b[1]+b[2]+…+b[n])/n}
である数列{a[n]}および{b[n]}について以下の問いに答えよ。
（1）極限 lim[n→∞] a[n] を求めよ。
（2）極限 lim[n→∞] b[n] を求めよ。
863:１３２人目の素数さん
18/10/19 03:59:50.81 UmCMoNsS.net
(1)
エジプトのシエネという町では、年に一度、夏至の日の正午にだけ深い井戸の底まで太陽の光が差し込む。
シエネの北緯は何度か。
hint: 地球の自転軸は公転軸から 23．4°傾いている。
(2)
エジプト第２の都市アレキサンドリアはシエネのほぼ北にあり、その距離は 925 km である。
天文観測から、緯度の差が約 7．2°と分かった。
地球の半径（m）を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。
(実際のアレキサンドリアの緯度 31．22ﾟN、緯度の差 7．82°)
(距離の単位は スタジア = 185 m が使われていた。)
(3)
司天台（浅草天文台）は伊能忠敬の住居（隠宅）のほぼ北にあり、その距離を測量したところ 2482 m だった。
天文観測から、2ヵ所の緯度の差は 約0．025°であることが分かった。
地球の半径（m）を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。
(実際の緯度差は 0．02690°、距離は 3025 m、方位角 9．4ﾟW）
(距離の単位は 町、間が使われている。）
864:１３２人目の素数さん
18/10/19 04:04:12.21 UmCMoNsS.net
>>844
伊能忠敬の住居（隠宅）は
〒135-0048 江東区門前仲町１丁目18-3先
緯度 35．67452ﾟN
経度 139．79422ﾟE
司天台（浅草天文台）は
〒111-0053 台東区浅草橋３丁目20-12
緯度 35．70142ﾟN
経度 139．78876ﾟE
にあった。
・おもしろ地図と測量
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp) → 史跡所在リスト
(4) 地球を「GRS80楕円体」として、この2ヵ所の距離と方位角を計算せよ。
・GRS80楕円体
長半径（赤道半径）a = 6378137（m）
扁平率 f = 1/298．257222101
・測量計算（距離と方位角の計算）- 国土地理院
URLﾘﾝｸ(vldb.gsi.go.jp) → 十進法度単位
865:１３２人目の素数さん
18/10/19 07:22:50.64 UmCMoNsS.net
そうだったのか…
伊能氏が身を削るようにして日本各地の正確な緯度・経度を決めていったのは
地面が曲がっている影響を補正することで、天文予測の精度を画期的に向上するためだった。
日本地図はオマケだった。
866:１３２人目の素数さん
18/10/19 07:46:11.79 UmCMoNsS.net
>>846
毎日新聞・夕刊
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)没後２００年・伊能忠敬を歩く
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)セカンドステージ
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)セカンドステージ/1
867:１３２人目の素数さん
18/10/19 09:33:43.48 hAbKt7Ps.net
>>795
この問題でQの方が有利になるならば、横長い形をしたマス目のうち2マスに宝を埋めた場合縦に沿って探すより横に沿って探した方が勝ちやすいことが一般の場合にも言えるであろうことが容易に想像出来るわけだけど、その証明は出来るだろうか？
868:１３２人目の素数さん
18/10/19 09:34:04.80 hAbKt7Ps.net
分かスレに提出した方がいいかもしれないな
869:１３２人目の素数さん
18/10/19 14:19:39.14 rredQkJV.net
高校数学で解けるであろう問題を2つほど
次の定理を示せ
1. 任意の正の整数は連続しない(則ち,項番号が隣りあわない)フィボナッチ数の和として一意的に表される
2. L_(n+2)=L_(n+1)+L_n, L₁=1, L₂=3
を満たす数列(L_n)は任意の素数pに対してL_p≡1 modpを満たす
序でに1問目は「ゼッケンドルフの定理」,又2問目に出てくる数列は「フィボナッチ数列に付随するリュカ数列」(「ルカス数列」「ルーカス数列とも云う)なる名前が付いているらしい
870:１３２人目の素数さん
18/10/19 14:54:26.57 UmCMoNsS.net
>>843
S = 1 + Σ(k=1,∞) a[n] = 3.91202535564143
(1)
a[n] ～ 11.12728469988 / S^n → 0 (n→∞)
(2)
b[n+1] ≒ n･b[n]/{b[1]+b[2]+…+b[n]} → 1,
871:１３２人目の素数さん
18/10/21 21:14:25.02 l2E3XuiN.net
>>795
シミュレーションしてみた。
1万回からPの方が先に見つける頻度を出すのを1万回繰り返したときの確率は
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.3749 0.3906 0.3939 0.3939 0.3972 0.4132
となって０．５より小さいのでQの方が有利という結果になった
Rでのスクリプトはこれ
x=c(1,1,rep(0,10))
is.P1st <- function(){
Q=sample(x)
z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
P=as.vector(z)
which.max(P) < which.max(Q)
}
re=replicate(1e4,mean(replicate(1e4,is.P1st())))
summary(re)
872:１３２人目の素数さん
18/10/21 21:28:28.30 l2E3XuiN.net
>>852
シミュレーションにバグがある。
同時に見つける場合を考えてなかったわ
873:１３２人目の素数さん
18/10/21 21:45:15.93 l2E3XuiN.net
>>853
シミュレーションしたら >822の通リになりました。
> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909
874:１３２人目の素数さん
18/10/22 02:11:35.13 iMyh9xwO.net
>795
縦ｍマス、横ｎマスのｍ＊ｎマスのうちランダムに選ばれたｋマスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利？
という風に一般化してみた。
>822のカウントをRでやってみた。
例えば
縦５マス、横１０マス、宝３マスだと
P1st Q1st even
8832 9142 1626
（P1stはPが先に宝を発見する宝の配置の数）
Rのコードはここにおいた
Executeのクリックで実行（数値を変えて実行も可能）
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)
875:１３２人目の素数さん
18/10/22 19:03:02.66 N2Ov4rc5.net
ある中学入試の問題だけど
方程式なしで小学生はどうやって解くのだろう？
ある牧場では１００頭の羊を放すと１５日間で牧草がなくなり、１２０頭の羊を放すと１０日間で牧草が食べつくされました。
この牧場で８０頭の羊を１０日間放した後、さらに何頭xかの羊を加えたところ、加えてから４日間で牧草は食べつくされました。 後から加えた羊は何頭ですか。
ただし、牧草は１日に一定量a生え、また、どの羊も１日で同じ量uの牧草を食べるものとします。
方程式を立てていいなら
1500u=15a + b
1200u=10a + b
a=60u
b=600u
80*14u + 4xu = 14a + b =14*60u + 600u
x=(14*60+600-14*80)/4
で俺でも答えられる。
876:１３２人目の素数さん
18/10/22 19:45:49.05 ScrwDgzM.net
>>856
線分図の左がはじめの草の量、
右がそれぞれ14回、9回分増えた草の量
(○の中の数字は1日に草の増える量)
(a) 100頭15日(のべ1500匹)├──┼───┤⑭増える
(b) 120頭10日(のべ1200匹)├──┼──┤⑨増える
するとのべ300匹で⑤だけの草を食べることができる
草を①だけ食べるには60匹必要
(b)を使うと、のべ1200匹が食べた草の総量は1200÷60で⑳と求まる
よってはじめの草の量は⑪
(c) 80頭10日(のべ800匹)├──┼──┤⑨増える
このうち、10日経った時点で(800/60)=(40/3)食べられるので
残りは⑳-(40/3)=(20/3)
あと4日間で全体は(20/3)+④=(32/3)になるので
これを食べるには、4日間でのべ60×32/3=640頭必要
1日あたり160頭必要ということだから、160-80=80頭増やしたことになる
877:１３２人目の素数さん
18/10/22 20:11:53.26 N2Ov4rc5.net
>>857
前日まで生えた分だけでなくその日にリアルタイムで生えているのも食べるから増えるのは15日と10日分では？
878:１３２人目の素数さん
18/10/22 20:20:13.50 ScrwDgzM.net
>>858
確かに
⑭は⑮に、⑨は⑩に訂正すると
はじめの草の量は⑩になって、あとは大丈夫そうですね
879:１３２人目の素数さん
18/10/22 20:55:25.42 N2Ov4rc5.net
>>859
(800/60)=(40/3)は80頭が10日で食べた量は40/3(13.33)日で生えた
草の量だが⑳-(40/3)=(20/3)の意味不明。
はじめあった草の量⑩も出てこないし。
880:１３２人目の素数さん
18/10/22 21:02:44.62 ScrwDgzM.net
>>860
(c)の図(10日目が終わった時点)で
はじめの草の量⑩に、10日間で増える草の量⑩を加えて⑳
80頭の羊はそのうち(40/3)を食べてるので、
10日目が終わった時点で残りの草の量は(20/3)
という意味です
881:１３２人目の素数さん
18/10/22 21:22:18.74 N2Ov4rc5.net
>>861
理解できました。
一匹の羊が1日に食べる量を１unitとして考えた方が易しくないかな。分数も出てこないし。
1日に60unit草が生える、最初の草量は600unit。
882:１３２人目の素数さん
18/10/22 21:24:56.34 UlyuzeXD.net
(100×15-120×10)/5 = 60 だからこの牧場はストック0でも自然増加分で60頭の羊が賄える。
最初のストックは容量を120-60=60頭超過した時10日で食い尽くす量だから600頭日分。
容量超過が80-60=20頭の時10日で減らしたストックは200頭日分だから残りストックは400頭日分。
それを4日で食べ尽くしたので最後の4日の容量超過は100頭。
増えた羊は80頭。
883:１３２人目の素数さん
18/10/22 22:12:55.60 E8LyAx4E.net
大量に入荷したアルヨ
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・）
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ω・）
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ( ・ω・）ω・）
ε ⌒ﾍ⌒ヽﾌ⌒ﾍ⌒ヽﾌﾍ⌒ヽﾌ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ( ・ω・）
884: ・ω・）ω・） しー し─Ｊしー し─Ｊ し─Ｊ ─Ｊ
885:１３２人目の素数さん
18/10/23 00:57:47.42 REh3NVF5.net
■最初からある草の量をbとおく
１５a＋b＝１５００u……①
１０a＋b＝１２００u……②
②からb＝１２００u－１０aこれを①に代入して
１５a＋１２００u－１０a＝１５００u
５a＝３００u
a＝６０u
b＝６００u
８０頭の羊はx頭の羊を加えられた後も牧草を
食べつづけるので ８０ｘ１４u
x頭の羊は４日間牧草を食べるので ４ｘu
１４日間で消費される牧草の量は １４a＋b
８０ｘ１４u＋４ｘu＝１４a＋b
４ｘu＝１４a＋b－８０ｘ１４u
＝１４ｘ６０u＋６００u－８０ｘ１４u
＝８４０u＋６００u－１１２０u
＝１４４０u－１１２０u
＝３２０u
∴ｘ＝３２０u／４u＝８０
886:１３２人目の素数さん
18/10/23 07:48:20.91 L2HgjxkJ.net
>>865
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞｗ
887:１３２人目の素数さん
18/10/23 07:59:42.41 L2HgjxkJ.net
数字の１と２だけを使って整数を作り、小さい方から並べます。１，２，１１，１２，２１，２２・・・このとき、次の問に答えなさい。
（１）１２１２１２１２１２は小さい方から数えて何番目ですか。
888:１３２人目の素数さん
18/10/23 11:34:27.92 QCR0wRAh.net
任意の自然数nに対して、2005^n が、互いに素な２つの整数の平方和で表せることを示せ。
889:１３２人目の素数さん
18/10/23 12:02:39.33 3PnXS1dT.net
>>867
１３６４番め
digi = function(x){ # 1000 -> 4 , 999 -> 3
n=ceiling(log10(x))
ifelse(10^n==x,n+1,n)
}
n2a <- function(num){ # nmu to array 122 -> c(1,2,2)
N=10
r=num%%N
q=num%/%N
while(q>0){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
}
return(r)
}
one2n <- function(x){ # 121 -> 13
a=n2a(x)
k=digi(x)
p=2^((k-1):0)
sum(a*p)
}
x=1212121212
> one2n(x)
[1] 1364
890:１３２人目の素数さん
18/10/23 12:10:36.27 3PnXS1dT.net
>>867
（２）１０００番目にくる数は何ですか？
891:１３２人目の素数さん
18/10/23 12:32:10.52 L2HgjxkJ.net
>>870
このプログラミングに難渋してる
892:１３２人目の素数さん
18/10/23 12:41:03.14 ow6G4yxf.net
Prelude Data.List> let xs = concat $ iterate (¥x->[1:n| n<-x] ++ [2:n|n<-x]) [[1],[2]]
Prelude Data.List> xs !! 999
[2,2,2,2,1,2,1,1,2]
893:１３２人目の素数さん
18/10/23 12:58:41.42 foOj88Cn.net
>>868
2005 = (20^2 + 1)(2^2 + 1) = 41^2 + 18^2 = 39^2 + 22^2,
下の公式により 2005^n は2つの平方の和。
互いに素となるかどうか…
〔公式〕
(aa+bb)(㏄+dd) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (ad+bc)^2 + (ac-bd)^2,
URLﾘﾝｸ(www.quora.com)
894:１３２人目の素数さん
18/10/23 13:00:38.96 3PnXS1dT.net
>>870
library(gtools)
perm=permutations(2,9,v=1:2,rep=T)
onetwo=function(x){
n=length(x)
sum(x*2^((n-1):0))
}
perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
> perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
[1] 2 2 2 2 1 2 1 1 2
と総当たりで出すには出せるが、全くエレガントでない ：（
895:１３２人目の素数さん
18/10/23 13:01:02.40 3PnXS1dT.net
>>872
ありがとうございました。
896:１３２人目の素数さん
18/10/23 13:16:16.58 ow6G4yxf.net
>>868
N(a+bi) = a^2 + b^2 として ((20+i)(2+i))^n = u + vi とおけば
2005^n = (N(20 + i)N(2+i))^n = N(((20+i)(2+i))^n) = u^2 + v^2
ここで (u,v) のZ[i] における素因子 p + qi をとれば p - qi | (u,v) | u + vi でもある。
しかし Z[i] は UFD だから p+qi = (20+i)i^e、(2+i)i^e とおける。
このときいずれにせよ p - qi = (20-i)(-i)^e、(2-i)(-i)^e は u + vi の素因子でないので矛盾。
897:１３２人目の素数さん
18/10/23 13:44:30.07 foOj88Cn.net
>>850
(1)
正整数nについての帰納法で。
・n≦3 のとき
1 = F_2、2 = F_3、3 = F_4
* 「和」は1項だけの場合もある。
・n>3 のとき
nを超えない最大のフィボナッチ数を F_m とする。 F_m ≦ n < F_{m+1}
もしも和が F_m を含まないなら、
Σ(k=0，[(m-2)/2]) F_{m-1-2k} = Σ(k=0，[(m-2)/2]) ( F_{m-2k} - F_{m-2k-2} ) = F_m - 1 < F_m ≦ n,
となり矛盾する。 よって、和は F_m を含む。
帰納法の仮定により、n - F_m は連続しないフィボナッチ数の和である。
n - F_m < F_{m+1} - F_m = F_{m-1}
∴ n - F_m に対する和は F_{m-1} を含まないから F_m と連続しない。
∴ nについても命題が成立する。
898:１３２人目の素数さん
18/10/23 14:17:45.16 vzNHBpki.net
>>867
その数列において、k桁の整数は2^k個含まれる
1212121212は10桁だが、1桁から9桁のすべての数の項数はΣ[j=1,9]2^j=1022
11********台は2^8=256個
1211******台は2^6=64個
121211****台は2^4=16個
12121211**台は2^2=4個
よって
1212121212は1022+256+64+16+4+2=1364項目
>>870
1022項目が222222222なので、これの22項前を考える
2222*****台が32項あるので、
222211111は第991(=1022-32+1)項となる
222211222が第998項なので、第1000項は222212112
899:１３２人目の素数さん
18/10/23 15:06:47.65 SimIKxf4.net
>>867
> １，２，１１，１２，２１，２２・・・
10, 11, 100, 101, 110, 111,...
１→0, ２→1 と置き換え、左端に1を付け加えたものを2進数とみなすと
順序を含め2以上の整数と一対一に対応する。
１２１２１２１２１２ → 10101010101(2) = 1365 であるから、１２１２１２１２１２は1364番目。
>>870
1001 = 1111101001(2) であるから、１０００番目にくる数は ２２２２１２１１２。
900:１３２人目の素数さん
18/10/23 15:26:36.98 3PnXS1dT.net
>>879
お見事です。
２進法に似ているのは気づいたのですが
>左端に1を付け加えたもの
ってどういうとこから思いつくのでしょうか？
901:１３２人目の素数さん
18/10/23 16:06:50.34 3PnXS1dT.net
>>879
お知恵を拝借して １億個めと１兆個めを計算してみました。
> digit12(10^8) # 1億め
12222212122221111211111112
> digit12(10^12) # 1兆め
221211122121211212112121112111111111112
Rのコードはここ
URLﾘﾝｸ(tpcg.io)
902:１３２人目の素数さん
18/10/23 17:08:43.57 xS8rsyai.net
一億一と一兆一を二進数に直すコード……
903:１３２人目の素数さん
18/10/23 19:08:57.29 3PnXS1dT.net
>>882
dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub
where sub 0 = []
sub num = mod num n : sub (div num n)
main = do
let n=2
putStr "Input integer : "
str <- getLine
let num = read str
putStrLn $ dec2n n num
Haskellだと一京一も２進数にしてくれた。
Prelude> main
Input integer : 10000000000000001
100011100001101111001001101111110000010000000000000001
ゆえに一京めは
11122211112212222112112212222221111121111111111111112
904:１３２人目の素数さん
18/10/23 19:34:04.67 t5/873r2.net
f 1 =[1]
f n = reverse $ f' (n-1) 2 0 1
f' 0 _ _ _ = []
f' n k j i | n `mod` k == j = 1: f' (n-j) (k*2) k (k*2)
| otherwise = 2: f' (n-i) (k*2) k (k*2)
f (10^8)
[1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2]
905:１３２人目の素数さん
18/10/23 19:35:27.73 3PnXS1dT.net
>>883
１０の６８乗を無量大数というらしい
無量大数＋１を２進数表示できるかやってみた。
Prelude> :main
Input integer : 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
1110110101100011101000100011000111010100110001001111101100100111010011001010011110101010101010000110001111101110010010111101110101001000010101101100010111000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
さすが不定長整数を扱えるHaskell。
906:１３２人目の素数さん
18/10/23 19:53:24.49 REh3NVF5.net
>>885
１０００不可説不可説転でお願いします
907:１３２人目の素数さん
18/10/23 19:56:16.38 Ar36TC8v.net
>>880
> >左端に1を付け加えたもの
> ってどういうとこから思いつくのでしょうか？
思いつくのは無意識の過程で分からないから、それまでに考えていたことをいうと
１と２の二つの文字 → 2進数に関連か？ → 2進数に対応させよう
・１→0, ２→1 と置き換えるだけでは 0,00,000などが重なる → 区別するには？ → （区別のためのマーカーがあればいい）
・問題の数字列は1桁では2つ、2桁では4つ、n桁では2^n個 → 2進数では？ → （左端の1を除いてn桁で2^n個）
⇒左端に1を付け加えればいいかも？ → あとは検証
（）内はそのとき無意識には考えていたかもしれないけど、意識したのは検証時だったこと。
その前に「左端に1を…」を思いついた。でも無意識でも必要なことだったと思う。
908:１３２人目の素数さん
18/10/23 20:35:36.61 3PnXS1dT.net
>>886
Wikipediaによると10の372183838819776444413065976878496481295乗とのこと
Prelude> dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub where sub 0 = [] ; sub num = mod num n : sub (div num n)
Prelude> putStrLn $ dec2n 2 (100*10^372183838819776444413065976878496481295)
只今、計算中。フリーズするだろうな。
>>887
解説ありがとうございました。その才能は羨ましい限りです。
909:１３２人目の素数さん
18/10/23 20:45:06.91 3PnXS1dT.net
>>888
残念ながら予想どおり
GNU MP: Cannot allocate memory (size=4204265496)
のエラーメッセージがでて終了しました。
910:１３２人目の素数さん
18/10/23 21:38:28.22 L2HgjxkJ.net
これも中学入試の問題
x/6=(510+x)/21で解けるけど
方程式なしだとどうする？
ある列車が５１０ｍの鉄橋を渡るのに２１秒かかりました。また、線路のすぐそばで見ていたＡ子さんの前を列車が通るのに６秒かかりました。 この列車の長さを求めなさい。ただし、列車は鉄橋を渡るときも、Ａ子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。
911:１３２人目の素数さん
18/10/23 21:48:37.47 a43+RGEZ.net
A子さんの代わりに鉄橋の端っこだと考えれば簡単。
912:１３２人目の素数さん
18/10/23 22:47:39.63 L2HgjxkJ.net
これも中学入試
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人である作業をすると、終わるまで１０日かかります。Ａ君、Ｂ君の２人で同じ作業をすると、終わるまで１５日かかります。このとき次の問に答えなさい。
（１）Ｃ君１人で同じ作業をすると、終わるまで何日かかりますか。
（２）Ｂ君、Ｃ君の２人で同じ作業を５日間して、残りをＡ君が１人ですると、さらに１７日かかりました。同じ作業をＢ君１人ですると 何日かかりますか。
方程式を使ってよければ
全作業量をu(適当な単位で30単位とすると計算が楽)として
(a+b)+c)=u/10
(a+b)=u/15
からu/c=30日
5(b+c)+17a=u
5(b+u/30)+17(u/15-b)=uから
u/b=40日
と出せる。
学習塾での特殊訓練も方程式もなしで解く小学生は凄いなと思う。
913:１３２人目の素数さん
18/10/23 22:50:00.21 REh3NVF5.net
『列車が鉄橋を渡る』とは何か？
鉄橋の始点をa、終点をｂとすると
列車の先頭がaを通過してから列車の最後部がｂを
通過するまでである
区間［a，ｂ］に列車の長さｘを足したものを
通過時間で割ると （５１０＋ｘ）／２１……①
ｘが点Aを通過する時間でｘを割ると ｘ／６……②
列車は①と②を同じ速度で走るので
（５１０＋ｘ）／２１＝ｘ／６
６（５１０＋ｘ）＝２１ｘ
３０６０＋６ｘ－２１ｘ＝０
１５ｘ＝３０６０
∴ｘ＝２０４
914:１３２人目の素数さん
18/10/23 22:56:10.69 L2HgjxkJ.net
>>893
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞｗ
915:１３２人目の素数さん
18/10/23 22:57:38.97 vzNHBpki.net
>>890
列車が鉄橋を渡り終わるのは、
鉄橋と自分の長さを合わせた距離を走ったとき
自分の長さは6秒で走れるので、鉄橋の長さ510mは21-6=15秒で走ることができる
よって列車の速さは510/15=34(m/s)
ゆえに列車の長さは34×6=204(m)
916:１３２人目の素数さん
18/10/23 23:12:53.97 REh3NVF5.net
列車の長さｘは６秒、鉄橋の長さ＋ｘは２１秒で通過する
つまり、鉄橋の長さは１５秒で通過する
１５／６＝２．５なので鉄橋の長さは列車の長さの２．５倍
すなわち、鉄橋の長さ５１０ｍの２．５分の１が列車の長さ
∴ｘ＝５１０／２．５＝２０４
917:１３２人目の素数さん
18/10/23 23:16:21.68 xS8rsyai.net
どっちもいいねぇ
918:１３２人目の素数さん
18/10/24 14:53:25.67 V7W4cdgn.net
これも中学の入試問題
図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり, OAの中点をMとする。点Aを中心として点Mを通る円をかき, 円Aとする。円Oの周上に点B, Pが, 円Aの周上に点Qがあり, 次の条件をみたしている。
･∠AOB=45°
･BQと円Aは接している
･OPとBQは平行
このとき, 直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。円周率は3.14とする。
図1 URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図2 URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)