18/09/22 10:00:34.86 1l7cVLlo.net
いや、普通に
事象A：箱の中のカードがダイヤ
事象B：残りから3枚引いたら全てダイヤ
P(B)
=(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)+(3/4)*(13/51)*(12/50)*(11/49)
=1320/(4*49*50*51)+5148/(4*49*50*51)
=6468/(4*49*50*51)
P_B(A)
=P(A∧B)/P(B)
={(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)}/{6468/(4*49*50*51)}
=1320/6468
=10/49
んにゃぴ…
605:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:31:45.18 ctBQxeJa.net
>>586
すばらしい。よく見つけましたね。
次の２１個の敷き詰め方があるので、予想の反例とはならないですね。
┏━○┏━○┏━○
┃┏━┃┏━┃○
○┃┏━┃┏━
┏━┃┏━┃
┃┏━┃○
○┃┏━
┏━┃
┃○
○
＞n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
>>568で言ったように、その式は間違いでした。
n=16まで描いてみたところ、次のようになりそうです：
a[1]=0, a[2]=1, a[3]=1, a[4]=4, a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9,
n≧8のとき、a[n] = n(n+3)/6 + 2 (n≡0 mod 3), (n-1)(n+4)/6 (n≡1,2 mod 3)
606:１３２人目の素数さん
18/09/22 10:36:51.84 yCmk73wm.net
D:ダイヤの枚数、H:それ以外のスートの枚数
抜き取ったｎ枚が全部ダイヤのとき
T=D+Hとして
求める確率ｐは （ choose(n,r)は組み合わせｎCr = n!/((n-r)!*r!)
ｐ＝(D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) /((D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) + H/T * choose(D,n)/choose(T-1,n))
展開して整理すると
＝(D-n)/(D+H-n)
D=13 H=39 n=3 なら p= 10/49
607:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:38:21.07 ctBQxeJa.net
>>586,590
n=10で19回（最小）のものが見つかりました。（予想では21回が最小）
よって、>>536の予想は非成立です。残念。
a[10]=19 です。
[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(5,7),(4,5),(7,9),(5,7),(3,5),(2,3),(9,10),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7),(3,5),(5,6)]
608:１３２人目の素数さん
18/09/22 11:58:01.25 Vi+U3TOW.net
>>592
a[10] ≧ 19 は証明済みですか？
あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか？
609:イナ
18/09/22 16:22:13.18 kyhuudxO.net
>>580わかった。13枚ダイヤが出たら箱の中にダイヤがある確率は0。ダイヤ3枚はあとの人のために引かなかったことになる。>>574つまり分母が52-3で、分子が13-3。10/49
＿∥∩∩］∥◇|∩∩_∥
∩（(-｡-)｡∥>/( (`｡)∩
(^)(っ[￣]∥/（υυ(
￣)「￣￣]∥＿υυ/(￣
)_)□/UU[∩∩_/∩∩(＿
~~ ~/＿/(＿＿)(^)＿)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ 前>>579
610:１３２人目の素数さん
18/09/22 16:52:58.88 nx/h/NAd.net
平方数のフィボナッチ数は144しかないことを証明せよ。
611:イナ
18/09/22 22:17:18.43 kyhuudxO.net
>>595
フィボナッチ数列を漸化式、
ａn+1=ａn-1+ａn
ａ1=ａ2=1
(n≧2、Ｚэn nは2以上の整数)とおくと、
ａ1=1=1^2
ａ12=144=12^2
この漸化式のグラフをxy平面に描くと、
y=x^2のグラフは、
(x,y)=(1,1)で漸化式のグラフと一致し、xが増加するにしたがってずっとyの値が上にあり、(x,y)=(12,144)でふたたび一致。以降はxがいくら増加しようとも永遠にyの値が下にあるグラフを描く。
1=1^2であるが、n≧2の整数であるから考えなくてよい。
∴ 12^2=144のみが題意を満たす
612:１３２人目の素数さん
18/09/22 22:36:43.31 xKGCFcHf.net
赤玉、青玉、白玉がk個ずつある。
これら3k個の玉を数珠状に並べるとき、
「どの連続した3個の玉の並びについても、赤玉、青玉、白玉が全て含まれることはない」
ような並べ方の総数をkで表せ。
613:１３２人目の素数さん
18/09/22 22:48:03.03 0FZwTfrH.net
>>597
回転、反転で一致するのは同一視するの？
614:１３２人目の素数さん
18/09/22 23:04:31.64 4iHvTstY.net
>>596
0点。
615:１３２人目の素数さん
18/09/23 00:14:21.34 ovyQ7zqo.net
>>595
α=(1-√5)/2、β=(1+√5)/2とし、Fn = (β^n-α^n)/(β-α)、Ln = β^n+α^n)とおく。
帰納法により
Lnは9の倍数⇔n ≡ 6 (mod 12)。
nが３の倍数でない偶数→Ln ≡ 3 (mod 4)。
また
Fm + Fn = FuLv (u = (m+n)/2、v=(m-n)/2)
であるから m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
である。
nを±1,2,12でない自然数とする。
m = {±1,2,12}をn ≡ m(mod 4)とし、n-m = 2ik (kは2以上の２のべき、i:奇数)とする。
このとき
Fn ≡ (-1)^iFm (mod Lk)
で、Lk ≡ 3 (mod 4)、Fmは平方数であるからFnは平方数でない。
以上によりフィボナッチ数列に現れる平方数は1と144のみである。
616:１３２人目の素数さん
18/09/23 01:11:10.26 vK5MD2zy.net
どうでもいいがF_n=n^2になってるんだね 他の自然数の2乗でもいいのに
617:１３２人目の素数さん
18/09/23 02:38:25.44 U6w99AxU.net
>>600
訂正
n-m = 2ik (kは2以上の２のべき、i:奇数)とする。
kが4以上またはm≠12ならLkは3で割り切れないので>>400のままでよい。
kが2、m=12のとき。
n=12+4k (k:奇数)だからnは8の倍数。
l=n/2として
Fn = FlLl、(Fl,Ll)=1,2
よりFまたはFl/2のいずれかが平方数。
くりかえしてn=ki(kは2べき、iは奇数)とおくとき
Fi,Liがともに平方数、または2Fi,2Liがともに平方数。
Fiが平方数になる奇数 i は>>600よりi = 1。
しかしこのときL1=2は平方数でない。
2Fiが平方数となる奇数iは>>600と同様にしてi=±3。
i>0よりi=3であるがこのとき2L3=8は平方数でない。
618:１３２人目の素数さん
18/09/23 02:38:42.22 C9G/YLzt.net
t+1/t=10 のとき t-1/t の取りうる値は？
619:１３２人目の素数さん
18/09/23 03:01:38.33 mwubyJ5Y.net
>>603
±√((t+1/t)^2-4)=±√96 = ±4√3
620:１３２人目の素数さん
18/09/23 05:01:08.45 V1sXPyjQ.net
621:f="../test/read.cgi/math/1532793672/598" rel="noopener noreferrer" target="_blank" class="reply_link">>>598 同一視する
622:１３２人目の素数さん
18/09/23 06:37:15.84 V1sXPyjQ.net
次の命題の真偽を述べ、それを証明せよ。
「ある正n角形をSnを考える。Snの上にすべての頂点が乗る正k角形の全てからなる集合をA(k)とおくと、A(k)が無限集合になるkはk=nのみである。」
623:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:05:30.23 6r+HqQTq.net
>>596
何の証明にもなってないだろｗ
そもそもFn=n^2を証明しろなんて問題じゃないから
これドヤ顔で回答するやつがコテ付けてこのスレに45レスもしてるのがやばいよ
624:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:07:16.66 6r+HqQTq.net
途中送信した
条件は「Fn=n^2を満たすnを探せ」ではなく「Fn=m^2を満たすnmの組を探せ」だってことね
625:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:43:31.68 mua95mzO.net
イナ ◆/7jUdUKiSM=稲次将人
プロフィール見ると東大出身らしいが
よく>>596みたいなクソ証明もどき載せられるような奴が東大入れたな
626:１３２人目の素数さん
18/09/23 08:59:47.01 n07erhZD.net
>>606
偽
(凡例)
nが合成数で、kがその約数 (k≠1, k≠n) のとき。
Snの周をk等分するk点がなすk角形は、中心の周りにk回対称なので、正k角形となる。
したがって A(k) に含まれる。
∴ A(k) は無限集合
627:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:17:52.13 mwubyJ5Y.net
>>606
S6上にすべての頂点がのる正三角形は無限にあるので偽。
628:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:18:51.71 mwubyJ5Y.net
>>609
出身？？？ということは大学出てるん？？？？
629:１３２人目の素数さん
18/09/23 09:27:29.40 mua95mzO.net
>>612
URLﾘﾝｸ(profile.ameba.jp)
大学院も出てるらしい
こんな酷い数学力でどんな論文書いたのか気になるわ
630:１３２人目の素数さん
18/09/23 11:26:59.61 d+w7eKka.net
まじか……高校生くらいやと思ってた……
631:１３２人目の素数さん
18/09/23 11:49:04.90 JiHXCGH8.net
>>600
m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
ここの証明ができてない
632:１３２人目の素数さん
18/09/23 12:27:55.49 Yv6k7igS.net
高校生でももうちょっとましな証明するぞ
633:１３２人目の素数さん
18/09/23 13:35:28.01 sar49wwC.net
>>536
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
634:１３２人目の素数さん
18/09/23 14:12:35.55 v+jlLp8E.net
G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ(φ(x))=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であることを示せ
635:１３２人目の素数さん
18/09/23 17:47:24.44 uIIfqULX.net
>>615
F[x] + F[y] = F[(x+y)/2]L[(x-y)/2]
により
F[y+2z] + F[y] ≡ 0 (mod L[z])
F[y+2z] ≡ (-1)F[y] (mod L[z])
これを繰り返し用いて
F[y+2iz] ≡ (-1)^i F[y] (mod L[z])。
636:１３２人目の素数さん
18/09/23 17:56:42.06 uIIfqULX.net
>>617
> a(n) = ceiling(n(n+1)/6) for n > 5
おお、これが作れるなら最小性の証明できる。
なら話は違うな。
存在証明か…
637:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:17:25.49 yOcg8Lx3.net
>>597
K=3のときの並びをコンピュータで算出してみました。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤 白 赤 白 白 青 青 赤 青
[2,] 赤 白 赤 白 白 青 青 青 赤
[3,] 赤 白 赤 赤 白 白 青 青 青
[4,] 赤 白 白 青 白 青 青 赤 赤
[5,] 赤 白 白 白 青 青 赤 赤 青
[6,] 赤 白 白 白 青 青 赤 青 赤
[7,] 赤 白 白 白 青 青 青 赤 赤
[8,] 赤 白 白 白 赤 赤 青 青 青
[9,] 白 赤 赤 赤 青 青 白 白 青
[10,] 白 赤 赤 赤 白 白 青 青 青
[11,] 白 赤 白 赤 赤 青 青 白 青
[12,] 白 赤 白 白 赤 赤 青 青 青
[13,] 青 赤 赤 赤 白 白 青 青 白
[14,] 青 赤 赤 赤 青 青 白 白 白
[15,] 青 赤 青 赤 赤 白 白 青 白
[16,] 青 赤 青 青 赤 赤 白 白 白
638:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:30:05.59 6r+HqQTq.net
>>613
いや、オッサンになって数学全く使わない仕事してんならこんなもんだろう。頑張ってる方
639:１３２人目の素数さん
18/09/23 18:40:15.59 VgtK+kEe.net
>>620
あ、いやちがう。
>>617のa[n]は
>Maximal number of points that can be placed on a triangular grid of side n so that there is no pair of adjacent points.
だ。
そのような点の配置から現問題の条件をみたす standard tableaux が作れるかどうかはわからない。
640:イナ
18/09/23 20:34:27.67 uxTCre2F.net
>>614おもに高校生のときに数学をやってたんだからあながち高校生で間違ってない。前>>596いや高校生にちがいない。
641:１３２人目の素数さん
18/09/23 20:37:14.50 cLiFCohn.net
>>593
> a[10] ≧ 19 は証明済みですか？
PCで最小操作数（最短経路）をダイクストラ法で探索した結果です。
> あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか？
これもPCで探索した結果21が最小でした。
また>>617の参考文献で証明されていそうです。
>>617
ありがとう。>>590の訂正した式でよさそうです。
（ときたまOEISを使うのに、使うことを思いつかなかったとは…）
n=11で23回（最小）のものが見つかりました。（すでに間違いだと判明した）予想だと25回です。
操作2だけでは25回になるものでしたが、操作1を混ぜることで小さくなります。
すこし不思議に感じるかもしれませんが、これは操作2が常に転倒数を3だけ変化させるわけではなく、
1だけ変化させることもあることによります。
転倒数の変化を追うことで問題解決のヒントが得られるかもしれません。
(23,[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(4,6),(6,8),(4,6),(8,10),(7,8),(5,7),(3,5),(2,3),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(9,11),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7)])
642:１３２人目の素数さん
18/09/23 20:48:48.84 eh0nZaxt.net
>>625
>PCで最小操作数（最短経路）をダイクストラ法で探索した結果です。
そうなんですか。
じゃあやっぱりこの問題手がかりなしですね。a[n] = ┌n(n-1)/6┐なら最小性が必然になりますが、
┌10・9/6┐=15 ≠ 19 = a[10]
なのであれば下からの評価はほとんど出来る気がしない。
まあ>>617のサイトみたく
n≧✕✕ ⇒ a[n] = ┌n(n-1)/6┐
となってる淡い期待もありますが。
望み薄ですねぇ。
643:１３２人目の素数さん
18/09/23 21:18:21.29 eh0nZaxt.net
>>626
嘘書いた。
nが偶数のときは一般論＋αから一瞬ででてくる下から評価は
a[n] ≧ ┌ n(n-2)/6 ┐+ n/2
であってn=10のときは
┌80/6┐+10/2 = 18
だからもしかしたら、もうちょい議論すれば正しい下から評価でても不思議はないか。
644:１３２人目の素数さん
18/09/24 13:35:23.55 C29H7b6e.net
>>618
x≠e である x∈G が φ(x) を対をなすので、#Gは奇数。
Feit-Thompson の定理より、Gは可解群。
次の補題に帰着した。
〔補題〕
位数が奇数の可解群はつねに可換群か？
645:１３２人目の素数さん
18/09/24 17:30:24.22 C29H7b6e.net
>>597
環状に並べるとする。 ローテーションしてもよい。
・k=1 のとき
なし。
・k=2 のとき
AABBCC → ABBCCA →,
2 x 6 = 12
・k=3 のとき
AAABBBCCC → AABBBCCCA → ABBBCCCAA [7] →,
AAABBCBCC → AABBCBCCA → ABBCBCCAA [4] → AABABBCCC → ABABBCCCA [2] → ABAACCCBB → ABBCCCAAB → AABBBCCAC → ABBBCCACA [6] →,
12 x 6 = 72
646:１３２人目の素数さん
18/09/24 18:23:39.53 C29H7b6e.net
>>628
有限群Gの位数が奇数 ⇒ Gの部分群の位数も奇数。 … ラグランジュの定理（群論）
奇数位数の単純群が巡回群だけなら、「位数が奇数の有限群は可換群」と言いたい所。
これが端緒になって有限単純群の分類研究が始まったのかも知れない。
647:１３２人目の素数さん
18/09/24 18:25:37.79 H+RX+3OI.net
>>597はどうみても出題ミスやろ？
こんなん解けんやろ？
まぁ900くらいになったらみんな答え上げてくるけど>>597は答え上がらんと思う。
648:１３２人目の素数さん
18/09/24 19:05:09.02 XRbxrrvI.net
>>618
とりあえず自分も分かったことを書いてみる。
・主張が正しいとすれば、φは逆元をとる写像である。
G が可換であるとする。
任意の G の元 x に対して、
φ(xφ(x)) = φ(x)x = xφ(x)
であるから、φの条件より xφ(x)=e (e は単位元)。
したがって φ(x)=x^(-1)
・無限群だと反例がある。
G を 2 元生成自由群とする。生成元を a,b とする。
自己同型 φ:G→G を φ(a)=b, φ(b)=a によって定まるものとすれば、
φは条件を満たすが、G は非可換である。
649:１３２人目の素数さん
18/09/24 20:03:17.74 uYmlDx9K.net
>>632
逆に、φが自己同型かつ逆元をとる写像なら、逆元をとる操作を「~」として
xy = φ((xy)~) = φ(y~ x~) = φ(y~) φ(x~) = yx
から可換であることが分かる。
つまり、φが逆元をとる写像であることを位数の有限性を利用して示せばいいわけか。
650:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:26:58.03 ZjPmyjiO.net
>>597
k=4のときをPCで列挙してみた。回転および鏡像で同じになるものは１通りと数える。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 青 白 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 青 白 青 青
[6,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 白 白 青 青
[7,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 青 青 白 白
[8,] 赤 赤 赤 赤 青 青 白 白 白 白 青 青
[9,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 青
[10,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 青
(中略)
[174,] 青 赤 青 青 赤 赤 赤 白 白 青 白 白
[175,] 青 赤 青 青 赤 赤 白 赤 白 白 青 白
[176,] 青 赤 青 青 赤 青 赤 赤 白 白 白 白
[177,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 赤 白 白 白 白
[178,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 白 赤 白 白 白
[179,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 白 白 赤 白 白
[180,] 青 赤 青 青 青 白 白 赤 赤 赤 白 白
１８０通り
651:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:32:28.80 ZjPmyjiO.net
>>634
K=2のときは回転・反転を同一視すると
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤 白 白 青 青 赤
の一通り
652:１３２人目の素数さん
18/09/24 22:33:51.36 ZjPmyjiO.net
>>635
回転・反転を考えなければ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤 白 白 青 青 赤
[2,] 赤 青 青 白 白 赤
[3,] 赤 赤 白 白 青 青
[4,] 赤 赤 青 青 白 白
[5,] 白 赤 赤 青 青 白
[6,] 白 青 青 赤 赤 白
[7,] 白 白 赤 赤 青 青
[8,] 白 白 青 青 赤 赤
[9,] 青 赤 赤 白 白 青
[10,] 青 白 白 赤 赤 青
[11,] 青 青 赤 赤 白 白
[12,] 青 青 白 白 赤 赤
の１２通り
653:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:12:26.71 ZjPmyjiO.net
k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
３個連続に３色含まないのは13194通りまでは出せた。
回転・鏡像を同一視しての計算はR言語では計算が終わりそうにない。
654:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:24:19.06 JXoVVin2.net
>>621
先頭と最後を繋げると３色揃うから間違っているな。
やり直そう。
655:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:39:52.69 ZjPmyjiO.net
>>621
k=3で
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤 白 赤 白 白 青 青 青 赤
[2,] 赤 白 白 青 白 青 青 赤 赤
[3,] 赤 白 白 白 青 青 赤 青 赤
[4,] 赤 白 白 白 青 青 青 赤 赤
の４通り
656:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:42:57.24 ZjPmyjiO.net
>>634
k=4で
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 青 白 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 青 白 青 青
[6,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 白 白 青 青
[7,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 青 青 白 白
[8,] 赤 赤 赤 赤 青 青 白 白 白 白 青 青
[9,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 青
[10,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 青
[11,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 青 白 青 青
[12,] 赤 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 青 青
[13,] 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 青 青
[14,] 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 赤 青
[15,] 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 赤 青
[16,] 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 赤 青
[17,] 赤 赤 赤 白 白 青 青 赤 青 青 白 白
[18,] 赤 赤 赤 青 青 白 白 赤 白 白 青 青
[19,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 白 青 青 青 青
[20,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 青 白 青 青 青
[21,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 青 青 白 青 青
[22,] 赤 赤 白 赤 赤 青 青 白 白 白 青 青
657:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:43:13.27 ZjPmyjiO.net
[23,] 赤 赤 白 赤 白 赤 白 白 青 青 青 青
[24,] 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 赤 青 青
[25,] 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 赤 青
[26,] 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 赤 青
[27,] 赤 赤 白 白 赤 赤 白 白 青 青 青 青
[28,] 赤 赤 白 白 赤 赤 青 青 白 白 青 青
[29,] 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 赤 青 青
[30,] 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 青 赤 青
[31,] 赤 赤 白 白 白 赤 赤 青 青 白 青 青
[32,] 赤 赤 白 白 白 白 赤 赤 青 青 青 青
[33,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 赤 青 青
[34,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 青 赤 青
[35,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 赤 赤 青
[36,] 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 赤 赤 青
[37,] 赤 赤 白 白 青 白 白 赤 赤 青 青 青
[38,] 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 赤 赤 青
[39,] 赤 赤 白 白 青 青 赤 赤 白 白 青 青
[40,] 赤 赤 白 白 青 青 赤 赤 青 青 白 白
[41,] 赤 赤 白 白 青 青 白 白 赤 赤 青 青
[42,] 赤 赤 白 白 青 青 青 白 白 赤 赤 青
４２通り
658:１３２人目の素数さん
18/09/24 23:57:20.85 ZjPmyjiO.net
>>637
修正
k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
３個連続に３色含まないのは10050通りまでは出せた
659:１３２人目の素数さん
18/09/25 00:43:05.05 lW3vMOXE.net
>>618
これは使えるだろうか…
次の場合に示せれば十分である。
「ある元 x∈G が存在して、G は x,φ(x) で生成される。」 …(*)
∵
任意に x∈G をとる。
>>633より、φ(x)=x^(-1) を示せばよい。
x,φ(x) で生成される部分群を H とおく。
φ(H)⊂H が成り立つ。
H が有限群であることとφの単射性から、φ は H の自己同型を誘導する。
φ の H への制限を φ_H とおく。
H と φ_H は問題の条件および (*) を満たす。
もし H において>>618が成り立てば、>>632より φ(x)=x^(-1) である。□
660:１３２人目の素数さん
18/09/25 02:49:43.86 Mf+IIU9l.net
>>640 >>641
k=4 のとき
[ 1] AAAABBBBCCCC → 4
[ 8] AAAACCBBBBCC → [32] AABBBBAACCCC → [ 7] AAAABBCCCCBB → 6
[ 2] AAAABBBCBCCC → [14] AAABBBBCCCAC → [ 9] AAABABBBCCCC → 12
[ 3] AAAABBBCCBCC → [35] AABBBBCCCAAC → [12] AAABBABBCCCC → 12
[ 4] AAAABBCBBCCC → [13] AAABBBBCCACC → [19] AABAABBBCCCC → 12
[ 5] AAAABBCBCBCC → [34] AABBBBCCACAC → [23] AABABABBCCCC → 12
[ 6] AAAABBCCBBCC → [33] AABBBBCCAACC → [27] AABBAABBCCCC → 12
[10] AAABABBCBCCC → [15] AAABBBCBCCAC → [25] AABABBBCCCAC → 12
[11] AAABABBCCBCC → [36] AABBBCBCCAAC → [30] AABBABBCCCAC → 12
[16] AAABBCBBCCAC → [24] AABABBBCCACC → [20] AABAABBCBCCC → 12
[17] AAABBCCACCBB → [31] AABBBAACCBCC → [22] AABAACCBBBCC → [37] AABBCBBAACCC → [42] AABBCCCBBAAC → 12
[39] AABBCCAABBCC → ABBCCAABBCCA → 2
[40] AABBCCAACCBB → [28] AABBAACCBBCC → [41] AABBCCBBAACC → 6
[29] AABBABBCCACC → [21] AABAABBCCBCC → [38] AABBCBBCCAAC → 12
[26] AABABBCBCCAC → 4
661:１３２人目の素数さん
18/09/25 03:09:21.14 Mf+IIU9l.net
>>628 >>630
φはGの自己同型である。
e以外の元x∈Gを2個1組の対 {x，φ(x)} に分けたもの。
逆元でなくてもいいと思うけど・・・・
662:１３２人目の素数さん
18/09/25 07:01:02.48 rGkYItR+.net
>>597
朝になったらk=5の計算が終わってた。
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 白 青 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 白 青 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 白 青 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 白 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 白 青 青 青 青
中略
[331,] 赤 赤 白 白 青 白 白 白 青 青 赤 青 赤 赤 青
[332,] 赤 赤 白 白 青 白 青 白 白 赤 赤 青 赤 青 青
[333,] 赤 赤 白 白 青 白 青 青 白 白 赤 赤 青 赤 青
[334,] 赤 赤 青 赤 赤 青 青 白 白 赤 白 白 白 青 青
[335,] 赤 赤 青 赤 青 青 白 白 赤 白 赤 白 白 青 青
３３５通りと算出。
全列挙はここにあげた
URLﾘﾝｸ(fast-uploader.com)
663:１３２人目の素数さん
18/09/25 12:06:32.28 jg+qtJMH.net
>>618
f：G→Gをf(x)＝x^{-1}φ(x)∈Gと定義する。
まず、fは単射であることを示す。f(x)＝f(y)ならば、
x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)だから、式変形していけば
x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)
yx^{-1}φ(x)＝φ(y)
yx^{-1}＝φ(y)φ(x)^{-1}
yx^{-1}＝φ(yx^{-1})
仮定により、yx^{-1}＝eでなければならない。よって、y＝xとなるので、fは単射である。
Gは有限集合だから、fは全射である。次に、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)を示す。
f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x)^{-1}x＝e
よって、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)である。fは全射だから、
φ(y)＝y^{-1} (∀y∈G)が成り立つ。よって、x,y∈Gに対して、
φ(xy)＝φ(x)φ(y)＝x^{-1}y^{-1},
φ(xy)＝(xy)^{-1}＝y^{-1}x^{-1}
となるので、x^{-1}y^{-1}＝y^{-1}x^{-1}である。両辺の ^{-1} を取って
yx＝xyとなる。よって、Gは可換である。
664:１３２人目の素数さん
18/09/25 12:15:24.76 YWtDoB9t.net
>>647
>f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))
は何故？
665:１３２人目の素数さん
18/09/25 13:27:08.29 jg+qtJMH.net
>>648
f(x)φ(f(x))の2つのf(x)にf(x)＝x^{-1}φ(x)を代入すれば
f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))
666:１３２人目の素数さん
18/09/25 13:56:33.88 OlBAWD/P.net
>>649
thx
667:１３２人目の素数さん
18/09/25 15:04:15.54 Mf+IIU9l.net
>>597
a_{kk+4} ？
k=0 a_4 = 0,
k=1 a_5 = 0,
k=2 a_8 = 1, >>635
k=3 a_13 = 4, >>639
k=4 a_20 = 42, >>640 >>641
k=5 a_29 = 335, >>646
k=6 a_40 = 3154,
k=7 a_53 = 30196,
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
(Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)
668:１３２人目の素数さん
18/09/25 15:47:18.03 OlBAWD/P.net
>>651
>Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)
の意味すらわからんorz。
669:１３２人目の素数さん
18/09/25 16:39:58.35 OlBAWD/P.net
lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)
って python? R?
どういう計算してるんですか？
670:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:02:48.30 k/07D+i/.net
>>653
> って python? R?
Sage(SageMath) URLﾘﾝｸ(www.sagemath.org)
Pythonを使った数式処理ソフト
> lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)
> どういう計算してるんですか？
Also number of occurrences of 6 in all partitions of n that do not contain 1 as a part.
671:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:18:39.16 wYx6NI6B.net
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{(b+c)^2, c^2, b^2}, {c^2, (c+a)^2, a^2}, {b^2, a^2, (a+b)^2}}
俺には手計算できないんだけど、できる？
672:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:39:41.43 FzreliLu.net
>>651
Rで列挙してみたけど、
k=6にすると
順列候補が17,153,136
csvにしたら600Mバイトを越えて
メモリ不足で読み込めず、この計算は断念。
673:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:53:49.84 SXQ8iiU3.net
>>654
6 = 6
8 = 6 + 2
９＝６＋３
10 = 6 + 4 = 6 + 2 + 2
11 = 6 + 5 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 6 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 6 + 2 + 2 + 2
13 = 7 + 6 = 6 + 5 + 2 = 6 + 4 + 3 = 6 + 3 + 2 + 2
14 = 8 + 6 = 6 + 6 + 2 = 6 + 5 + 3 = 6 + 4 + 4 = 6 + 4 + 2 + 2 = 6 + 3 + 3 + 2 = 6 + 2 + 2 + 2
こういう意味かな？
674:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:58:44.85 SXQ8iiU3.net
でもこの意味だと流石に一致する気が全くしないんだけど。
675:１３２人目の素数さん
18/09/25 18:59:57.77 SXQ8iiU3.net
あ、ちがう、a_{k+4}ね。なら可能性あるか……
676:１３２人目の素数さん
18/09/25 21:40:05.35 Eb9fo1bk.net
さすがにたまたま4項あっただけな希ガス
677:１３２人目の素数さん
18/09/25 22:17:32.79 rPFxES/9.net
>>647
お見事
ちなみにf(x)=x^{-1}φ(x)の意味を考えるとしたら
単位元とのズレ、とでもなるのでしょうか
またこのようなf(x)を考えるのはよくあること？
678:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:10:59.85 zomwMvsu.net
>>655
2(ab+bc+ca)^3
679:１３２人目の素数さん
18/09/26 00:18:06.08 bt38Ex19.net
>>618
これは美しい証明を得たが、
それをみると自然に次の問が浮かんでくる
G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ^{n}(x)=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であるか？
ただし、φ^{1}=φ(x)、 φ^{n}(x)=φ(φ^{n-1}(x)) である。
680:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:01:21.81 QBwnT99Q.net
>>651
自分もPCで>>597を数えたら、k=6 で 3501、k=7 で 36820 だった。
def three_letter_nonadjacent_words(counter, word, letters="abc"):
if sum(counter) == 0:
yield word
return
for i,x in enumerate(letters):
if counter[i] > 0:
if len(word) < 2 or {x,word[-1],word[-2]} != set(letters):
c = list(counter)
c[i] -= 1
yield from three_letter_nonadjacent_words(tuple(c), word + x)
def circularly_legal(word, letters=set("abc")):
return {word[0],word[-1],word[-2]} != letters \
and {word[1],word[0],word[-1]} != letters
def circular_three_letter_nonajacent_words(k):
for word in three_letter_nonadjacent_words((k,)*3,""):
if not circularly_legal(word):
continue
yield word
def num_fixed_perms(word):
n = len(word)
r = 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == word[:-i] and word[:i] == word[-i:]:
r += 1
rev = word[::-1]
if word == rev:
r += 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == rev[:-i] and word[:i] == rev[-i:]:
r += 1
return r
def num_circular_three_letter_nonajacent_words(k):
#used Burnside's lemma
return sum(num_fixed_perms(word) for word in \
circular_three_letter_nonajacent_words(k)) // (6*k)
for k in range(1,7):
print(k, num_circular_three_letter_nonajacent_words(k))
681:１３２人目の素数さん
18/09/26 01:20:57.38 bjLF+FF2.net
やっぱり>>597は無理やろ？
せいぜい計算機でプログラミングの練習位にしかならんと思う。
682:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:02:25.87 JunfIhlz.net
私もチャレンジしたところ、同じ結果が得られました。
当初、色の入れ替えも同一視するプログラムを作ってしまっていたため、
その結果があります。それも添えます。
k=8は、重複チェック用のメモリが確保できないとのメッセージが出たため、
実行できませんでした。(色入替同一視版は可能でした)
k=2... １ (1)
k=3... ４ (2)
k=4... ４２ (13)
k=5... ３３５ (67)
k=6... ３５０１ (651)
k=7... ３６８２０ (6258)
k=8... ？？？？？？ (68747)
683:１３２人目の素数さん
18/09/26 10:51:16.17 zomwMvsu.net
>>598 >>605 のせいで難しい…
回転・反転を区別すれば a_{k-1}
ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
k=1 a_0 = 0,
k=2 a_1 = 2 パターン >>629 >>636
k=3 a_2 = 12 パターン >>629
k=4 a_3 = 142 パターン >>629
k=5 a_4 = 3192
684: パターン k=6 a_5 = 116282 パターン a_n ～ 2 sinh(π/2) (2n)! (2/π)^(2n+1), (n>>1) http://oeis.org/A009747 （Exponential generating function = tan(x)sinh(x) )
685:１３２人目の素数さん
18/09/26 11:36:44.96 CV990pYj.net
>>667
＞回転・反転を区別すれば a_{k-1}
＞ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
おお、これだけでも十分素晴らしい！
それで十分だから解答のせてたも！
686:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:52:50.98 kMXjNQ4p.net
>>667
？
回転・反転を区別して、色の入れ替えを同一視するなら次になるけど：
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
687:１３２人目の素数さん
18/09/26 20:55:15.37 JunfIhlz.net
メモリを動的確保に変えて計算させました
k=8... 407629 (68747)
688:１３２人目の素数さん
18/09/26 23:11:19.44 geJ49fv1.net
x^12+y^12+z^12-2*((xy)^6+(xz)^6+(yz)^6)=0
(x^n-y^n)≠√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)
(y^n-z^n)≠√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)
(x^n-z^n)≠√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)
√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)+√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)+√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)≠0
689:１３２人目の素数さん
18/09/27 00:27:52.60 Ny+jsTgk.net
結局 >>667 は間違ってるの？
でもまぁなんかの足しになるかもしれないから
>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0，∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},
を導出した過程をうｐして下さりませ。
690:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:09:40.41 Ia/JTFRy.net
>>597
自分は>>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。
回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401
回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825
回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248
691:１３２人目の素数さん
18/09/27 19:13:11.34 Ia/JTFRy.net
有名問題だと思うけど。
すべての辺の長さが自然数の三角形で周の長さが nのもの(合同を同一視する)の個数を a[n]としたときの
a[n]の生成関数、つまり f(x) = Σ[n=0,∞] a[n] x^n となる関数 f(x)を求めよ。
692:１３２人目の素数さん
18/09/28 09:55:02.92 UYgVuIW1.net
>>673
この計算に使った言語は何でしょうか？
693:１３２人目の素数さん
18/09/28 11:49:51.98 phrHQfEJ.net
>>674
おっしゃる通りです。 Alcuin数列
ｆ（ｘ） = (x^3)/{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
なお、これは周長が n+6 である不等整数辺⊿の数でもある。(辺長≧2 となる。)
a≦b≦c のとき (a,b,c) ⇔ (a+1,b+2,c+3)
694:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:13:54.75 uvbX02Yn.net
>>672お願いします。
695:１３２人目の素数さん
18/09/28 12:31:47.58 hKwonw3I.net
>>675
Pythonです。プログラムは>>664の改変。
速度は気にせず、楽さとわかりやすさで。
バーンサイドの補題を使うことで並べ方どうしの比較をしないのでメモリーを使わず、
時間さえあればいくらでも求められますが、実際は k=10,11 が時間的限界でしょう。
>>676
難しくないので、導出も書いてくださいな。
696:１３２人目の素数さん
18/09/28 13:06:24.90 uvbX02Yn.net
>>678
横レス。
導出はできるんだけどなにがどうしてこんな綺麗な形になるのかさっぱりわからんから書く気にならない。
なんかもっと美しい方法がありそうで。
697:１３２人目の素数さん
18/09/28 15:43:49.16 phrHQfEJ.net
>>678 >>679
>>676 のf(x) は
a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
Number of partitions of n into parts 2, 3, and 4, with at least one part 3.
- Joerg Arndt, 2013/Feb/03
と同値だが、これをどう出すか…
698:１３２人目の素数さん
18/09/28 16:02:16.14 gDbOCyp+.net
任意の自然数 n に対して、表面積の等しい n種類の直方体が存在することを示せ。
699:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:01:14.65 phrHQfEJ.net
>>681
稜の長さが {2^r, 2^r, 2^(2n-r)-2^(r-1)} である正方形柱 (r=1,2,…,n)
体積は 2^(2n+r) - 2^(3r-1).
700:１３２人目の素数さん
18/09/28 17:59:15.72 LXsE/mVy.net
>>679 >>680
とりあえず、奇数の場合と偶数の場合にわけて
f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))
で導くルートは見つけた。
でも
＞a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
これで一発解決できるルートがいかにもありそうだよね？
701:１３２人目の素数さん
18/09/28 19:28:36.85 JQRujdYG.net
とりあえず奇偶でわけるルート
An = {(u,v,w) | n/2 - u, n/2-v, n/2-wは自然数、u+v+w = n/2、u≦v≦w}
とおけば a[n] = #An。
n が奇数のとき
Bn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-3)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1/2)によってAn,Bnは一対一対応するから#An = #Bn。
∴Σ[n:odd]a[n]x^n = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
n が偶数のとき
Cn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-6)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1)によってAn,Cnは一対一対応するから#An = #Cn。
∴Σ[n:even]a[n]x^n = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
∴f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) = x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))。
702:１３２人目の素数さん
18/09/28 23:23:10.68 cekwbF/M.net
3より大きな正整数nに対し、2^n+1の素因数がどれもn未満であるようなものは存在するか？
703:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:00:31.68 bRb+ZnSw.net
>>685
これムズい。
ヒントおながいします。
結論は存在する？しない？
704:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:19:38.82 rj9LUQDs.net
>>686
すまないが存在しないだろうと予想している
コンピュータで計算してもそれらしきものは見つからなかった
705:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:22:16.58 x/pASdT/.net
>>687
現時点で答えないの？
じゃぁそれ書いといてよ。
706:１３２人目の素数さん
18/09/29 09:48:36.15 +ZGkjoNR.net
>>685は、未解決問題を出題したのか？
707:１３２人目の素数さん
18/09/29 10:27:52.08 ZjAaeEtu.net
普通に考えたら有限個しかしないだろう
nが大きくなれば小さい素因数を大量に持たないといけなくなるがそんなのは非現実的
708:１３２人目の素数さん
18/09/29 12:57:43.60 +Hfhy7Kj.net
答え持ってない問題を書いていいかどうかは別にしても、現時点で答えがないなら最低でも>>514のように文面から答え持ってない事がわかるようにせんと駄目だよ。
709:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:39:26.89 GXtaiBeF.net
>>674,679,680,683
見た目より簡単だよ。生成関数の標準的な演習問題くらい？
想定解答は以下のようなもの：
合同は同一視するので三角形の成立条件を考慮すれば、
辺の長さが自然数の三角形と 0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)は一対一に対応することがわかる。
a=s+1, b=a+t, c=b+u とおき、 c<a+b ⇔ c-b<a ⇔ u≦s より s=u+v とおくことにより、
関係式 a=u+v+1, b=u+v+t+1, c=2u+v+t+1 で
0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)と任意の非負整数の組(u,v,t)は一対一に対応することがわかる。
したがって、
f(x) = Σ[n-0,∞] a[n] x^n = Σ[0<a≦b≦c<a+b] x^(a+b+c)
= Σ[u,v,t≧0] x^(4u+3v+2t+3) = (x^3)/(1-x^4)(1-x^3)(1-x^2)。
710:１３２人目の素数さん
18/09/29 15:50:07.13 c/zrVhx6.net
いや、そのu,v,tが思いつかんかった。
これ
0<a≦b≦c<a+b
からうまくu.v.tを見つけてくるのがミソだと思うけどこれなんか一般論で見つけてくる方法があります？慣れの問題？
711:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:37:21.66 GXtaiBeF.net
>>693
一般論というか基本的技法ですね。
・条件のない非負整数の組と対応させることが目標。
・p<q は p+1≦q とする。
・p≦q をみたす整数の組(p,q)は q=p+k とおくことで k≧0 をみたす整数の組(p,k)と一対一に対応することを使う。
>>692では
0<a から a=s+1 とおき（これで a は 非負整数 s で一対一に表せる）
a≦b≦c から b=a+t, c=b+u とおき（ここまでで 0<a≦b≦c をみたす a,b,c が非負整数 s,t,u で一対一に表せる）
そうすることで c<a+b ⇔ u≦s となるので s=u+v とおく（これで条件をみたす a,b,c が非負整数 v,t,u で一対一に表せた）
となります。
712:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:42:36.38 5t2MTazF.net
>>680 と >>692 の関係
(p, q, r) = (t, v+1, u)
713:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:44:28.46 GXtaiBeF.net
>>694
もちろんすべての場合でうまくいくというものではありません。
この場合は運よくうまくいってきれいな形になりましたが。
714:１３２人目の素数さん
18/09/29 16:52:45.98 GXtaiBeF.net
>>695,680
> a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
は生成関数の形から分かることで、
三角形とその分割が有用な関係を持つとは思えません。
あったら面白いですが。
715:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:33:54.89 RHyq/92m.net
>>696,697
なるほど。
本文の場合は
0<a≦b≦c<a+b
⇔0 ≦ (a-1)≦ (b-1) ≦ (c-1) ≦ (a-1)+(b-1)
でa-1,b-1,c-1について整理するとキレイに定数項消えちゃうんだ。
気づかなかったorz。
716:１３２人目の素数さん
18/09/29 17:57:25.67 5t2MTazF.net
>>681
稜の長さが { p^(3r), p^(2n+r), p^(2n-r)[p^(2n)-p^(2r)] } である直方体 (r=0,1,…,n-1)
表面積 2p^(6n),
体積 p^(4n+3r)[p^(2n)-p^(2r)],
p>1.
717:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:16:47.45 5t2MTazF.net
>>682 の拡張
稜の長さが { p^r, p^r, [p^(2n-r)-p^r]/2 } である正方形柱 (r=0,1,…,n-1)
表面積 2p^(2n),
体積 (p^r)[p^(2n)-p^(2r)]/2,
p>1.
718:１３２人目の素数さん
18/09/29 18:43:59.68 +ZGkjoNR.net
どうやって思いつくん？
719:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:12:28.11 sReFGpyG.net
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720:１３２人目の素数さん
18/09/29 20:15:52.31 uT1RU4nf.net
呪怨キタ
721:１３２人目の素数さん
18/09/30 01:15:04.79 60e7kxgM.net
>>682 >>700
稜の長さを { A, A, (S/2A - A)/2 } とおく。
(S/2A - A)/2 が自然数となるAを n個以上とれるように Sを決める。
稜 … 多面体の辺
722:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:11:30.00 I1AIdvLV.net
{(x,y,z)|x+y+z=n、x,y,z は非負整数、n は1以上の整数}
を満たす格子点の集合をAとする。
Aから異なる三点を選んだとき、それが正三角形を成している確率を n で表せ。
答えは、プログラムを組めば予想可能なものになるので、答えのみの解答は認めないものとする。
723:１３２人目の素数さん
18/09/30 04:56:56.32 p1KBHVZY.net
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[0]P[1]=P[1]P[2]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n以下の各自然数iに対し、△OP[i-1]P[i]の重心をG[i-1]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[0]P[1]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選べば、2点P[j]とP[k]を通る直線で、その上にG[0],G[1],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗るようにできる。
724:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:31:43.70 p1KBHVZY.net
すいません先程の問題文がおかしかったので訂正します。
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。
（ア）各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[1]P[2]=P[2]P[3]=...=P[n-1]P[n]である。
（イ）0°<∠P[1]OP[n]≦180°
n-1以下の各自然数iに対し、△OP[i]P[i+1]の重心をG[i]とおく。
このとき、以下の（A）が成り立つように辺P[1]P[2]の長さを定めることができるか。
（A）相異なる整数jとkをうまく選んで2点P[j]とP[k]を通る直線を引けば、その上にG[1],G[2],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗る。
725:１３２人目の素数さん
18/09/30 05:39:36.69 l/U+OsJc.net
>>705
求める確率をp[n]とすると
p[n]=2/(n^2+3n-2)
になると予想した
A[n]={(x,y,z)|x+y+z=n, x,y,zは非負整数}
できる正三角形の個数をT[n]とすると、
最初の方は
T[1]=1, T[2]=5, T[3]=15, T[4]=35, T[5]=70
となった
A[n]と△型・▽型の正三角形の個数は規則的に数えられるけど
傾いてる正三角形が一般の場合にうまくいかないorz
726:１３２人目の素数さん
18/09/30 07:08:48.15 60e7kxgM.net
>>708
辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
>>705
A[1] = 3,
A[n] = A[n-1] + (n+1),
より
A[n] = (n+2)(n+1)/2, … 三角数
A[n]個の点から3点を選ぶ方法は
C[A[n], 3] = A[n] (A[n]-1) (A[n]-2)/6
= {(n+2)(n+1)/2} {(n+3)n/2} {(nn+3n-2)/2},
辺長nの大きい△型の中に
辺長Lの△型が C[n+2-L, 2] 個ある。
傾いている正三角形も含めれば、そのL倍になる。
T[n] = Σ(L=1, n) C[n+2-L, 2]・L
= C[n+3, 4]
= (n+3)(n+2)(n+1)n/24
= A[n](A[n]-1)/6,
よって
T[n]/C[A[n], 3] = 1/(A[n]-2) = 2/(nn+3n-2),
727:１３２人目の素数さん
18/09/30 08:26:01.48 I1AIdvLV.net
ご名答
>> 辺長L（≧2）の△型には、傾いた正三角形（L-1）個が内接する。(▽も含む)
ここがポイントですね。傾かないものも含めると、
「サイズLの正置な正三角形には、調度L個の正三角形が属す」
と言えます。全ての正三角形は、いずれかの正置な正三角形に属すため、
あとは、正置な正三角形がいくつあるかを調べ、足し合わせるだけです。
728:１３２人目の素数さん
18/09/30 09:33:26.40 p1KBHVZY.net
707おねがいします
729:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:15:57.85 l/U+OsJc.net
>>709,710
なるほど、そうやって考えるんですね
C[n+2-L, 2]の部分ですが、これは
辺長Lの正置な正三角形のいちばん上の辺長1の正三角形に注目して
Σ[k=1,n-(L-1)]k
と数えたものでしょうか？
730:１３２人目の素数さん
18/09/30 10:53:25.52 I1AIdvLV.net
サイズ n の正置な正三角形は １ (=C[2,2])
サイズ n-1 の正置な正三角形は ３ (=1+2=C[3,2])
サイズ n-2 の正置な正三角形は ６ (=1+2+3=C[4,2])
サイズ n-3 の正置な正三角形は 10 (=1+2+3+4=C[5,2])
．．．
サイズ 1 の正置な正三角形は 1+2+3+...+n=C[n+1,2]
です。では、サイズ L では？ というと、 C[n+2-L,2] という事です。
注目するサイズの正置正三角形のトップの頂点の、可動範囲を数え上げるという考えでもｏｋですね。
731:１３２人目の素数さん
18/09/30 12:10:03.51 +ZX6Gzee.net
>>682
用意していた答え
３辺の長さを (a,b,c) = (1, 2^r-1, 2^{2n-r}-1)、r=1,2,…n とおくと、
表面積 S = 2(ab+bc+ca) = 2(2^{2n}-1).
732:１３２人目の素数さん
18/09/30 17:00:25.87 QXkD3Yad.net
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733:１３２人目の素数さん
18/10/01 00:17:31.81 NFGqB/Wz.net
>>580
山札からダイヤが１２枚出たところまですべて１／４で
１３枚目のみゼロにすることも可能
■箱の中のカードがダイヤである確率は
基本形の式
ｑ＝１－｛｛１６５ｎ－３ｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎ－７ｎ^2＋４６８）｝に
係数αをｎの各項に掛ける
ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８）｝
３５１と４６８にはそれぞれβ＝４７９００１６００を掛ける
∵ｑ＝１－｛｛１６５ｎα－３αｎ^2＋３５１β｝／（２０８ｎα－７αｎ^2＋４６８β）｝
α＝（ｎ^2－13ｎ）^6＋182（ｎ^2－13ｎ）^5＋13468（ｎ^2－13ｎ）^4
＋516360（ｎ^2－13ｎ）^3＋10752768（ｎ^2－13ｎ）^2＋114341760（ｎ^2－13ｎ）
＋479001600
これで出来上がり
734:１３２人目の素数さん
18/10/01 01:58:40.96 e3gl78jP.net
どうして確率や場合の数の問題しか出てこないのかね。
そんなに面白いかい？
735:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:23:19.73 zs2OgFnD.net
AとBが引き分けのないゲームを次々と行い、一回のゲームで勝つ確率はそれぞれa, bである。つまりa+b=1である。
Aが先にn勝に到達する確率を求めよ。
736:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:30:00.57 0Ok3sr+H.net
>>718
これ求まるん？
1/2の時でもバナッハのマッチ箱で超難題なのに。
1/2じゃなくて求まるん？
737:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:33:21.47 lz/dpGRk.net
>>719
続けたまえ
738:１３２人目の素数さん
18/10/01 11:44:18.11 MPNlhgUM.net
先にn勝というのは、2n-1回やってn勝以上することと同じ
Σ[k=n～2n-1] a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
739:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:22:40.67 WGyB9cPW.net
何も難問じゃない
将棋の番勝負の勝率レーティングから推計したことあるやつなら簡単にわかるはず
740:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:40:31.38 DmLU+xOs.net
あ、失礼。単にAが勝つ確率か。回数の期待値と勝手に思った。勝つ確率だけなら出るかな？
741:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:43:03.18 DmLU+xOs.net
つまりは>>721か。
これ求まるんかな？
742:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:51:24.17 lSP8i6OA.net
707おねがいします
743:１３２人目の素数さん
18/10/01 13:57:37.32 dDtimu84.net
>>721,724
p(n)=Σ[k=n,2n-1]a^k･b^(2n-1-k)･C(k,2n-1)
とおくと、n≧2のとき二項定理より
(a+b)^(2n-1)=2(p(n)-a^n・b^(n-1))+a^n・b^(n-1)
よって
p(n)=(1+a^n・b^(n-1))/2
744:１３２人目の素数さん
18/10/01 14:02:16.70 dDtimu84.net
>>726
二項係数抜けてるしそもそも3行目ダメですね
撤回します
745:１３２人目の素数さん
18/10/01 15:59:39.87 qcAe9ESj.net
とりあえず10項ほど計算させてみたけど
makelist(factor(expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,1,10);
[
a,
－a^2*(2*a－3),
a^3*(6*a^2－15*a+10),
－a^4*(20*a^3－70*a^2+84*a－35),
a^5*(70*a^4－315*a^3+540*a^2－420*a+126),
－a^6*(252*a^5－1386*a^4+3080*a^3－3465*a^2+1980*a－462),
a^7*(924*a^6－6006*a^5+16380*a^4－24024*a^3+20020*a^2－9009*a+1716),
－a^8*(3432*a^7－25740*a^6+83160*a^5－150150*a^4+163800*a^3－108108*a^2+40040*a－6435),
a^9*(12870*a^8－109395*a^7+408408*a^6－875160*a^5+1178100*a^4－1021020*a^3+556920*a^2－175032*a+24310),
－a^10*(48620*a^9－461890*a^8+1956240*a^7－4849845*a^6+7759752*a^5－8314020*a^4+5969040*a^3－2771340*a^2+755820*a－92378)
]
なんにも思いつかんorz。
746:１３２人目の素数さん
18/10/01 16:20:15.25 gVHzs4Q+.net
あかん、いろいろ調べたけどどうしようもなさそう。
>>721で正解なんかな？
747:１３２人目の素数さん
18/10/01 18:00:13.71 lSP8i6OA.net
pを有理数とする。3辺の長さがp,p,1の二等辺三角形をT(p)と書く。
ある自然数kが存在して、k個のT(p)のみに分割できる多角形全体からなる集合をS(k)とする。
k=1,2,3,...に対し、以下の条件を満たすS(k)の要素の多角形の形状をすべて決定せよ。
条件『多角形の任意の2頂点間の距離は有理数である。』
748:
18/10/01 21:00:19.22 yiYUO1B1.net
>>718
Aが先にn勝する確率をPnとすると、
P1=a
P2=a^2+2a^2･b
P3=a^3+3a^3･b+6a^3･b^2
P4=a^4+4a^4･b+(5Ｃ2)a^4b^2+(6Ｃ3)a^4･b^3
=a^4+4a^4･b+10a^4b^2+20a^4･b^3
P5=a^5+5a^5･b+(6Ｃ2)a^5･b^2+(6Ｃ3)a^5･b^3+(6Ｃ4)a^5･b^4
=a^5+5a^5･b+15a^5･b^2+20a^5･b^3+15a^5･b^4
P6=a^6+6a^6･b+(7Ｃ2)a^6･b^2+(7Ｃ3)a^6･b^3+(7Ｃ4)a^6･b^4+(7Ｃ5)a^6･b^5
=a^6+6a^6･b+21a^6･b^2+35a^6･b^3+35a^6･b^4+21a^6･b^5
P7=……
前>>624フィボナッチだな。一般項出るぞ。
749:１３２人目の素数さん
18/10/01 22:20:08.16 NFGqB/Wz.net
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■□■□■□■□■□■□■□■□■
■■■□■■■□■■■□■■■□■
750:
18/10/01 23:00:40.25 yiYUO1B1.net
P1=a
P2/a^2=1+2b
P3/a^3=1+3b+6b^2
P4/a^4=1+4b+(5･4/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3
P5/a^5=1+5b+(6･5/2･1)b^2+(6･5･4/3･2･1)b^3+(6･5/2･1)b^4
P6/a^6=1+6b+21b^2+35b^3+35b^4+21b^5
P7/a^7=1+7b+28b^2+56b^3+70b^4+56b^5+28b^6
P8/a^8=1+8b+36b^2+84b^3+126b^4+126b^5+84b^6+36b^7
P9/a^9=1+9b+45b^2+120b^3+210b^4+252b^5+210b^6+120b^7+45b^8
P10/a^10=1+10b+55b^2+165b^3+330b^4+462b^5+462b^6+330b^7+165b^8+55b^9
前>>731漸化式ができそう。
nが奇数のとき、
Pn/a^n=
nが偶数のとき、
Pn/a^n=
751:１３２人目の素数さん
18/10/02 02:29:23.68 VNedEoPb.net
>>721
p(n) = Σ[k=n, 2n-1] a^k b^(2n-1-k) C(2n-1, k), (b=1-a)
p(n+1) = p(n) + C[2n-1, n] (a-b)(ab)^n, (b=1-a)
752:１３２人目の素数さん
18/10/02 04:59:51.66 VNedEoPb.net
∂p(n)/∂a = (n/2) C(2n, n) {a(1-a)}^(n-1),
p(n) = (n/2) C(2n, n) Σ[k=0, n-1] (-1)^k C(n-1, k)/(n+k) a^(n+k)
= (n/2) C(2n, n) a^n Σ[k=0, n-1] C(n-1, k)/(n+k) (-a)^k,
753:イナ
18/10/02 05:33:31.15 K+aBpi/A.net
前>>733訂正。
P10/a^10=1+10b+(11Ｃ2)b^2+(12Ｃ3)b^3+(13Ｃ4)b^4+(14Ｃ5)b^5+(15Ｃ6)b^6+(16Ｃ7)b^7+(17Ｃ8)b^8+(18Ｃ9)b^9
=1+10b+55b^2+220b^3+715b^4+2002b^5+5005b^6+11440b^7+24310b^8+48620b^9
P9/a^9=1+9b+(10Ｃ2)b^2+(11Ｃ3)b^3+(12Ｃ4)b^4+(13Ｃ5)b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
=1+9b+45b^2+165b^3+495b^4+1287b^5+(14Ｃ6)b^6+(15Ｃ7)b^7+(16Ｃ8)b^8
P8/a^8=1+8b+36b^2+120b^3+(11Ｃ4)b^4+(12Ｃ5)b^5+(13Ｃ6)b^6+(14Ｃ7)b^7
P7/a^7=1+7b+(8Ｃ2)b^2+(9Ｃ3)b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
=1+7b+28b^2+84b^3+(10Ｃ4)b^4+(11Ｃ5)b^5+(12Ｃ6)b^6
P6/a^6=1+6b+(7Ｃ2)b^2+(8Ｃ3)b^3+(9Ｃ4)b^4+(10Ｃ5)b^5
P5/a^5=1+5b+(6Ｃ2)b^2+(7Ｃ3)b^3+(8Ｃ4)b^4
=1+5b+15b^2+35b^3+56b^4
754:１３２人目の素数さん
18/10/02 07:32:49.03 +LHY32Zh.net
>>718
Rを使うと 負の二項分布を使ってpnbinom(n-1,n,a)で数値計算はできる。
755:イナ
18/10/02 10:50:51.36 K+aBpi/A.net
>>718
前>>736一般項が出た。
Pn=a^n/(n-1)!Σ[k=1～n-2]{(n+k)!b^(k+1)}/(k+1)!
756:１３２人目の素数さん
18/10/02 12:38:55.19 eO27KDaY.net
>>735
おお、すごい。
流石にこれ以上は無理？
757:１３２人目の素数さん
18/10/02 13:11:05.17 0RVIqaz8.net
>>735
makelist((expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,0,10);
makelist((expand(n/2*a^n*binomial(2*n,n)*sum(binomial(n-1,k)/(n+k)*(-a)^(k),k,0,n-1))),n,0,10);
(%o1) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
(%o2) [0,a,3*a^2－2*a^3,6*a^5－15*a^4+10*a^3,－20*a^7+70*a^6－84*a^5+35*a^4,70*a^9－315*a^8+540*a^7－420*a^6+126*a^5,－252*a^11+1386*a^10－3080
*a^9+3465*a^8－1980*a^7+462*a^6,924*a^13－6006*a^12+16380*a^11－24024*a^10+20020*a^9－9009*a^8+1716*a^7,－3432*a^15+25740*a^14－83160*a^13+
150150*a^12－163800*a^11+108108*a^10－40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17－109395*a^16+408408*a^15－875160*a^14+1178100*a^13－1021020*a^12+556920*
a^11－175032*a^10+24310*a^9,－48620*a^19+461890*a^18－1956240*a^17+4849845*a^16－7759752*a^15+8314020*a^14－5969040*a^13+2771340*a^12－
755820*a^11+92378*a^10]
素晴らしい。
758:１３２人目の素数さん
18/10/02 17:12:04.16 xOs+qnbe.net
ｎ＝０，αｎ／βｎ，α＝｛２^ｎ＋２^（ｎ－1）｝，β＝｛２^（ｎ＋2）＋２^（ｎ－1）｝
分母と分子の両方にゼロ掛けているのに
なんで１／３が出力されるねん？(´・ω・`)
759:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:09:37.32 aHJ20R9e.net
(1)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが絶対収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？
(2)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが条件収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか？
760:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:18:08.02 zN6Tq8dX.net
(1) a_n > 1 である n は有限個なのでそれらを除いて (a_n)^2 ≦ a_n。よって収束する。
(2) しない。反例：a_n = (-1)^n/√n。
761:１３２人目の素数さん
18/10/02 18:19:03.50 aHJ20R9e.net
>>743
早すぎワロタ
正解
762:学術
18/10/02 19:49:00.32 qfVJ5oyJ.net
間違ってるものを採点して生徒が伸びた方がいたと思う。
高速通信添削で赤入れるみたいにしちゃうといい。女子美味しいな。
763:学術
18/10/02 19:49:43.60 qfVJ5oyJ.net
フルハウスの意味表象記号観。
764:イナ
18/10/02 23:29:03.26 K+aBpi/A.net
前>>738
Pn(n-1)!/a^n=(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!
Pn={a^n/(n-1)!}{(n+1)n(1-a)^2/2･1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3･2･1+……+(2n-2)(2n-3)
765:……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!} 通分するのかな。
766:１３２人目の素数さん
18/10/03 01:24:31.41 7h2ip4rW.net
>>743 (2)
S = Σ_{n=1}^{∞} a_n = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^n /√n が収束すること。
S = -1 + 1/√2 - Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m-1) - 1/√(2m) )
> -1 + 1/√2 - (1/2)Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m -3/2) - 1/√(2m +1/2) ) … (*)
= -1 + 1/√2 - 1/√10
= -0.60912098483…
S = -1 + Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m) - 1/√(2m+1) )
< -1 + (1/2)Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m -1/2) - 1/√(2m +3/2) ) … (*)
= -1 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√14
= -0.60298224609…
S = -0.60489864342163…
767:１３２人目の素数さん
18/10/03 02:07:38.39 7h2ip4rW.net
>>748 (補足)
f(n) = 1/√n の平均変化率 {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h) が h>0 と共に増加すること。
{f(n-h) - f(n+h)}/2h = {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h)
= {√(n+h) - √(n-h)}/{2h √(nn-hh)}
= 1 / {√(nn-hh)･(√(n-h) + √(n+h)}
= 1 / {√(nn-hh)･√[2n+2√(nn-hh)]},
あるいは平均値の定理により
f(n-L-h) - f(n+k+h) - {f(n-h) - f(n+h)} - {f(n-L+k-h) - f(n-L+k+h)} + {f(n+k-L) - f(n-L+h)}
= {f(n-L-h) -f(n-h) -f(n-L+k-h) +f(n+k-h)} - {f(n-L+h) -f(n+h) -f(n-L+k+h) +f(n+k+h)}
= -2h {f '(a-L) - f '(a) - f '(a-L+k) + f'(a+k)} (n-h<a<n+h)
= -2h {f '(a-L) - f '(a)} -2h {f '(a-L+k) - f '(a+k)}
= 2hk {f "(b-L) - f "(b)} (a<b<a+k)
= -2hkL f '''(c) (b-L<c<b)
> 0
768:１３２人目の素数さん
18/10/03 05:10:42.84 DaTYnnLD.net
[0,π]上の連続関数fに対して、
lim(n→∞)∫_0^π f(x)cos(nx) dx=0
となることを証明せよ
769:１３２人目の素数さん
18/10/03 13:43:17.24 rOBG/Z0C.net
>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1～N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1～N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1～N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1～N] a[l] cos lx, Σ[m:1～N] a[m] cos mx) = Σ[m:1～N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1～∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。
770:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:09:19.50 sCRZrnTp.net
>>751
正解！
ベッセルの不等式証明してくれた感じかな
771:１３２人目の素数さん
18/10/03 15:16:20.13 AdKJHB0+.net
【世界教師マⅰトレーヤ】 トランプは現在、ツイートを囮にして、史上最悪の法案にサインする気でいる
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)
山本太郎もブチ切れる、労働者へのゲスい裏切り！
772:１３２人目の素数さん
18/10/04 00:09:55.61 wFWA09/F.net
>>734
p(n+1) - p(n) = (2a-1) C[2n-1, n] (a(1-a))^n, (n≧1)
の両辺に t^n を掛けて和をとると
G(t)/t - p(1) - G(t) = (2a-1)Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] (a(1-a)t)^n
= (1/2)(2a-1) {1/√(1-4a(1-a)t) -1}, … (*)
(2(1-t)/t) G(t) = 1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t),
G(t) = Σ[n=1,∞] p(n) t^n = (t/2(1-t)) {1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t)},
*) 一般化された二項定理
1/√(1-4x) = 1 + 2Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] x^n,
773:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:29:02.41 gUoKrYzL.net
>>718 の答えは今出てる答えで正解でいいのかな？
流石にもうこれ以上はどうしょうもない気がする。
774:１３２人目の素数さん
18/10/04 02:43:03.87 pCjQRYKm.net
母函数面白いね
カタラン数のそれに近い感じもある
775:イナ
18/10/04 10:21:42.56 jwM/NwpW.net
>>755
>>718の答え、>>747でいいの？
確率をnとaで表せってことだよね？
……があるままでいいってこと？
通分して分子が簡単になったりして。
前>>747
776:イナ
18/10/04 11:08:57.18 jwM/NwpW.net
前>>757
通分すると、
Pn={a^n/(n-1)!(n-1)!}[(n+1)!{(n-1)(n-2)……3}(1-a)^2+(n+2)!{(n-1)(n-2)……4)}(1-a)^3+……+(2n-2)!(1-a)^(n-1)]
簡単にならないなら……を許可するしかないか。それかΣとkを使うか。
777:１３２人目の素数さん
18/10/04 22:51:50.84 wFWA09/F.net
>>756
Catalan(n) = C[2n, n] - C[2n, n-1] = {1/(n+1)} C[2n, n]
Σ[n=0,∞] Catalan(n) t^n = {1 - √(1-4t)}/(2t),
778:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:00:52.73 LFy1EKo2.net
カタラン数を語らん！
779:１３２人目の素数さん
18/10/04 23:14:12.31 VmTW+2yt.net
このスレで見つけた問題。
[0,n]×[0,n]の格子点の隣接する格子点をむすんで得られるグラフを考える。（図１参照）
このグラフの左下と右上を結ぶグラフ上の経路で長さ2nのもののうちy≦xの部分にある横線をちょうどk回通るものの個数を求めよ。
>>432より
>―図１―(n=6の場合)
>┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼─┼─┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼─┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼─┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼─┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>├─┼＝┼＝┼＝┼＝┼＝┤
>│ │ │ │ │ │ │
>└＝┴＝┴＝┴＝┴＝┴＝┘
780:１３２人目の素数さん
18/10/08 18:08:41.43 vYJ1GP+F.net
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781:１３２人目の素数さん
18/10/11 17:11:17.49 +nerrO/K.net
不思議な現象に遭遇したけど、よくわからないのでみんなの知恵を借りたい。
a1,a2,…を不定元とし、σをその添字を１だけ大きくする作用素とする。
次で有理式の列{F[n]; n=0,1,2,…}を定める：
F[0] = 1, F[n] = (F[n-1] + σF[n-1])/(a1+a2+…+an) (n≧1)。
F[1] = (1 + 1)/(a1) = 2/a1,
F[2] = (2/a1 + 2/a2)/(a1+a2) = 2/a1a2,
F[3] = (2/a1a2 + 2/a2a3)/(a1+a2+a3) = 2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3),
F[4] = (2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3) + 2(a2+a4)/a2a3a4(a2+a3+a4))/(a1+a2+a3+a4)
= 2(a1a2+a2a3+a3a4)/a1a2a3a4(a1+a2+a3)(a2+a3+a4)
のようになるが、既約分数表示での分母を見ると偶数項の因数は約分で消え、奇数項の因数しか現れていない。
PCで調べるとF[8]まではそうなっている。
なので「F[n]を既約分数で表したとき分母には奇数項の因数しか現れない」と予想するが、
これは正しいだろうか？
また関連しそうなことがあったら教えてください。
782:１３２人目の素数さん
18/10/12 20:40:52.47 PScjLvUl.net
1/a(a+b)(a+b+c)…(a+b+c+…+z) を [a,b,c,…,z] と書くことにする。
[] = 1,[a] = 1/a, [a,b] = 1/a(a+b) など。
次を示せ。
(1) [a][b] = [a,b] + [b,a]
(2) [a,b][x] = [a,b,x] + [a,x,b] + [x,a,b]
(3) [a,b][x,y] = [a,b,x,y] + [a,x,b,y] + [a,x,y,b] + [x,a,b,y] + [x,a,y,b] + [x,y,a,b]
(4) [a][b][c] = [a,b,c] + [a,c,b] + [b,a,c] + [b,c,a] + [c,a,b] + [c,b,a]
また、一般にどのようなことがいえるだろうか？
（>>763 を考えた背景にあるもの）
783:１３２人目の素数さん
18/10/14 10:12:53.96 Rg/i5zok.net
E, A, B を同じ型の正方行列とし、Eを単位行列とする。
E-ABが逆行列Cをもつとき、E-BAが正則であることを示し、その逆行列をE, A, B, Cを用いて表せ。
784:１３２人目の素数さん
18/10/14 11:38:51.05 8dVZheoh.net
>>765
C = (E-AB)^-1 = E + AB + (AB)^2 + … とおもえば
(E-BA)^-1 = E + BA + (BA)^2 + … = E + BA + B(AB)A + B (AB)^2 C + … = E + BCA と予想できて、
あとは計算で (E-BA)(E+BCA) = (E+BCA)(E-BA) = E。
785:１３２人目の素数さん
18/10/14 11:48:27.04 8dVZheoh.net
A,Bがn次行列のとき、ABとBAの固有値は等しいことを示せ。
786:１３２人目の素数さん
18/10/14 18:47:55.39 RPfJW+Db.net
係数環がZで証明できれば十分。
よってさらにCで証明できれば十分。
Aが正則のときABA^(-1)とBの固有多項式が等しく故成立。
一般の場合は等式 ch AB = ch BA がザリスキ開集合 det A≠0 で成立する故一般に成立。
787:１３２人目の素数さん
18/10/14 20:07:46.18 KkBlRZKF.net
■ニャンティホール問題
□□□ ∧,,∧ ∧,,∧
□□□ (,,・∀・) ﾐ,,・∀・ﾐ
□□□～(_ｕ,ｕﾉ ＠ﾐ_ｕ,,ｕﾐ
788:１３２人目の素数さん
18/10/15 11:53:39.52 Cs8TUMYb.net
>>763
それ無理じゃね？
全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
一方でa1 = 1、残りに２をいれると全てのnでF[n]は２進整数。
よって分母に必ず項の数が偶数の因子が出てくると思う。
789:１３２人目の素数さん
18/10/15 12:43:35.59 i7/FRo1V.net
>>770
> 全変数に１をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
v_2は2進付値だよね。だったら、
v_2(n!) = Σ[k=1,∞] floor(n/2^k) ≦ Σ[k=1,∞] n/2^k ≦ n だから
v_2(F[n]) ≧ 0 だよ。
790:１３２人目の素数さん
18/10/15 14:26:48.59 ArZ1mDJT.net
>>771
あ、ホントだ。
失礼しました。
791:１３２人目の素数さん
18/10/15 17:00:40.06 I979f5xZ.net
平川-松村の定理
792:１３２人目の素数さん
18/10/15 18:23:54.97 Pc4lKaBY.net
p1, p2, Pは素数かつ、
p1 ≧ 3, p2 ≧ 3, P ≧ 7で、
p1 + p2 = ( P + 1 )
が成り立つときの
p1, p2, P がみたす性質って何かありますか？
793:１３２人目の素数さん
18/10/15 18:33:36.53 7e+ZqB9F.net
>>774
mod
794:１３２人目の素数さん
18/10/15 23:27:34.88 TBaDGY4B.net
>>767
Aが正則でないとき…
Eをn次の単位行列、yは実数とする。
|A+yE| はyのn次式だから、|A+yE| = 0 を満たすyの個数は高々n個である。
|A+yE|≠0 となるyに対しては
|xE - (A+yE)B| = |xE - B(A+yE)|,
が成り立つ。|A+yE| = 0 の解をうまく避けながら y→0 とすれば、
|xE-AB| = lim_{y→0} |xE - (A+yE)B| = lim_{y→0} |xE - B(A+yE)| = |xE-BA|,
∴ |xE-AB| = |xE-BA|.
A,B∈Ｍ_n(Ｃ)に対して ABとBAの固有多項式が同じになることを証明せよ。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
任意のn次正方行列A,Bについて ABとBAの固有多項式が同じになることの証明
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
795:１３２人目の素数さん
18/10/15 23:28:12.32 vAwE2iKE.net
777☆
796:１３２人目の素数さん
18/10/16 10:47:22.37 9Iy8NhYm.net
nを自然数として、a_1=3,a_n=n(a_(n-1)-1)+2 (n≧2)でa_nを定める。
ここK村の人口はa_n人で、増えることも減ることもない。
さて、K村から任意の2人を選んだ時、その2人はある｢関係｣を持っているとする。そして、その｢関係｣はn種類にわたって存在する。
この時、どの2人を選んでも同じ｢関係｣で結ばれているような3人組が必ず存在することを示せ。
オリジナルです
考え方自体は既出だと思う
797:１３２人目の素数さん
18/10/16 11:06:57.32 XgKYsVQ3.net
イミフ
798:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:17:31.18 pXbAMmW4.net
a[1]=3人だと1種類
a[2]=6人だと2種類
a[3]=17人だと3種類
・・・
799:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:31:09.15 4hIfQunY.net
>>778
よく分からんけど、ラムゼー数（ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
R_n(3,3,…,3) ≦ a[n] を示せってことか？
800:１３２人目の素数さん
18/10/16 15:51:55.66 xW+nW6TE.net
>>778
正確に言葉を使え
高卒か？
801:１３２人目の素数さん
18/10/16 16:25:15.98 59lKj0WN.net
>>778が>>781の意味ならそのままwikiに書いてある漸化式で解けちゃうね。R(…)の中の2は自動的に落ちてしまう
802:１３２人目の素数さん
18/10/16 17:30:56.90 5jr9jBpY.net
清書
Claim 1)
R(k1,…,kn)≦R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2
(∵) R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2個の点からなる完全グラフから1点v を選び、そこから残りの点への辺を1～nに彩色する。
このとき、色1に塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn)以上かまたは…�
803:Fnに塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn-1)以上である。 最初の場合（残りの場合も同じように議論できる）、色1に塗られている辺の向かう先の点の個数がR (k -1, k2,…,kn)以上だから、それらの点からk1 -1個の点の、色1のみからなる完全グラフか、ki個の点の色iのみからなる完全グラフがある。 前者の場合、v とあわせればk1 個の点の色1のみからなる完全グラフが得られる。 Claim2) R(k1,…,kn,2) = R(k1,…,kn) (∵) R(k1,…,kn)個以上の頂点からなる完全グラフをn+1色に塗り分ける時、色n+1が使われていればその辺のみからなるグラフが2点完全グラフである。 n+1がつかわれていなければR(k1,…,kn)の定義からいずれかの色 i のみで塗られた完全 ki グラフを含む。 以上により R(3,3,…,3) ≦ a_n。
804:１３２人目の素数さん
18/10/17 12:18:06.75 73t+PGbH.net
>>782
これで理解できへんのはアウトやろ
805:１３２人目の素数さん
18/10/17 12:26:37.27 0tcTzRCF.net
この問題文はあかん
806:１３２人目の素数さん
18/10/17 15:01:02.00 I9IpbIiP.net
問題文かは鳩ノ巣かなと思ってた
807:１３２人目の素数さん
18/10/17 15:40:39.54 0tcTzRCF.net
わかスレの問題改題。
数列 (c[n], d[n]) を
c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2]、c[1] = 0、c[2] = 1、
d[n] = (2n-1)d[n-1] + d[n-2]、d[1] = 1、d[2] = 0
で定める時 lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!!、lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! を求めよ。
808:１３２人目の素数さん
18/10/17 18:50:29.46 PUvZuus0.net
>>788
c[n]の方は組合せ的意味(ｽﾚﾘﾝｸ(math板:494番),510,623)を考えれば、
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^r binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) が分かって、
α(n,r) := n!(2n-r)!2^r/(2n)!(n-r)! が
0 < α(n,r+1) < α(n,r), α(n,r)→1 (n→∞) となるのを使えば
lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] ((-1)^r/r!)α(n,r) = e^(-1)。
809:１３２人目の素数さん
18/10/17 19:18:42.08 LxNRGIwD.net
やっと二重階乗がでてきたのか
810:１３２人目の素数さん
18/10/17 21:40:01.85 RJVJEgsX.net
>>289
おお、なるほど。
素晴らしい。
それなら前スレででてきたベッセル関数もへったくれもなしに証明できますね。
今の所用意している解答はベッセル関数もへったくれもある解答です。
d[n]の方もそんな感じでできるかもしれないですね。
811:１３２人目の素数さん
18/10/17 21:53:46.92 LxNRGIwD.net
ジョーカーを除いたトランプ５２枚を外からは中が
確認できない５２個の箱の中に表を見ないで一枚ずつ入れた
そして、５２個の箱の中から適当に三つの箱を選んで三枚の
カードを取り出すと三枚ともダイヤであった
このあと残りの４９個の箱の中からどの箱を選んでも
箱の中のダイヤの確率は１０／４９である
812:１３２人目の素数さん
18/10/18 03:38:50.93 k/D5nzuI.net
a,b (1≦a≦b) を整数とする。
b階建てビルのエレベーターは1階からb階までを移動している。
a階でエレベータを待つとき、上からやってくる確率を求めよ。
813:１３２人目の素数さん
18/10/18 04:25:18.54 ybZLuwXw.net
>>793
何が同様に確からしいのかわかんねー
814:１３２人目の素数さん
18/10/18 12:33:59.38 EWu4uTz9.net
縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利？
ABCD
EFGH
I JK L
815:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:16:58.60 7YqgJU0i.net
>>795
移動時間とかなんにも条件ないならイーブン。
816:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:36:41.89 7YqgJU0i.net
>>795
以外に自明じゃないけど結局イーブン
P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIKKL
部屋 : ABCDEFGHIKKL
先に入る：△QQQPPQQPPP△
817:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:40:36.12 S3KlGNXW.net
ABCDEFGHIJKLとBCDEFGHIJKLAの争いがえぐい
818:１３２人目の素数さん
18/10/18 13:54:02.75 7YqgJU0i.net
ETFJKをP部屋と呼ぶ。Pはこの部屋にQより先にこの順に入室する。
BCDGHをQ部屋とよぶ。Qはこの部屋にPより先にこの順に入室する。
Aに宝があれば同着でイーブン。
Aに宝がなくLに宝があれば残りがP部屋か、Q部屋かによるのでイーブン。
２つともP部屋ならP勝ち、２つともQ部屋ならQ勝ちでその確率はイーブン。
のこり２５通りは
EIFJK
B△
C △
D △
G △
H △
と５×５マスからひとつ選ぶ場合だけど△の組み合わせなら同着、
上半分ならQ勝ち、下半分ならP勝ちでイーブン。
以外に思ったより自明じゃないなぁ。
819:１３２人目の素数さん
18/10/18 14:19:20.33 EWu4uTz9.net
>>795
追記。問題文にあるように、ABCDEFGH…とAEIBFJ…という探索方法をとっています。P君はQ君が先にBを調べていても4ターン目にちゃんと調べることになってますよ。
要するに、相手が調べ終わった部屋も重複して調べる場合が出てきます。