18/07/29 01:08:06.03 l2yOVkhL.net
削除依頼を出しました
3:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:15:30.20 MbuK+QQd.net
〔前スレ.964〕
log(2) = 0.30103000，log(3) = 0.47712125 が与えられている。
ここから log(11) の小数第2位の値を求めよ。
4:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:22:51.10 MbuK+QQd.net
>>3
(20/9)^3 = 8000/81 < 11 < 100/9 = (10/3)^2,
3 {1+log(2)-2log(3)} < log(11) < 2 {1-log(3)},
これに数値を入れて
3 * 0.346787486 < log(11) < 2 * 0.522878745
1.04036246 < log(11) < 1.04575749
なお log(11) ≒ 1.041392685
5:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:55:52.37 tomArlFn.net
そういえば前スレに貼った画像の閲覧数から、このスレの人口は30人くらいだと分かった
6:１３２人目の素数さん
18/07/29 02:00:46.67 JdwFFF1G.net
前スレ
>>1000
>>>998
>テンソル積でうまく表現できるかもですね。
>いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
>GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
>その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
>それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。
うひゃあ
一挙に一般化しちゃえるのですね素晴らしい
最後のところの証明って付けられますか？
7:１３２人目の素数さん
18/07/29 02:05:57.51 MbuK+QQd.net
>>4 訂正
(20/9)^3 = 8000/729 < 11
でした。
8:１３２人目の素数さん
18/07/29 03:08:53.96 +uIZHiM9.net
前スレ993補足
a_1=7
a_(n+1)=a_n+gcd(n+1, a_n)
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,38,39…
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
b_n=a_(n+1)-a_n
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,1,1…
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
c_1=1
c_(n+1)=c_n+lcm(n+1, c_n)
{c_n}=1,3,6,18,108,216,1728,3456,6912,41472,…
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
d_n=(c_(n+1)/(c_n)-1
d_n=2,1,2,5,1,7,1,1,5,…
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
9:１３２人目の素数さん
18/07/29 03:11:50.71 +uIZHiM9.net
おまけ
パズル
10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,31,100,121,10000,1111111111111111
の16項からなる数列の定義は？
10:１３２人目の素数さん
18/07/29 04:06:12.98 AQS7OXTt.net
A = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k)}/{(3k)!}
B = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k+1)}/{(3k+1)!}
C = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k+2)}/{(3k+2)!}
を簡単な形で表せ。
11:１３２人目の素数さん
18/07/29 06:08:32.46 dOyuex2D.net
>>6
GがZ/2Z×Z/2Zの場合(前スレ>>994)と同じ。
―
g行h列がAghである行列をMとしxをGの指標とする。
n=#Gとする。
g行目(g≠e)をx(g)倍してe行目にたすとe行目はh^(-1) = h^として
Σ[g]x(g)Agh = Σ[k]x(k)x(h^)Ak = x(h^)Σx(k)A(k)
でe行目がすべてΣx(k)A(k)の倍数だからdet MはD(x) = Σx(k)A(k)でわりきれる。
D(x)の全体は一次独立であったからMはΠ[x]D(x)の倍数で(Ae)^nの係数を比較して
det M = Π[x]D(x)
をえる。
―
12:１３２人目の素数さん
18/07/29 06:22:46.24 dOyuex2D.net
>>10
0<t<1の場合、(-∞,0]で切ったlog zの分岐をとって
Σ[k]t^(3k)/(3k)
=(1/3)(Σ[k](t)^k/k + Σ[k](ωt)^k/k + Σ[k](ω^2t)^k/k)
=log (1-t) + log (1-ωt) + log (1-ω^2t)
Σ[k]t^(3k+1)/(3k)
=(1/3)(Σ[k](t)^k/k + ω^2Σ[k](ωt)^k/k + ωΣ[k](ω^2t)^k/k)
=log t + ω^2log ωt + ωlog ωt^2
Σ[k]t^(3k+2)/(3k)
=log t + ωlog ωt + ωl^2og ωt^2
|t|<1の一般の場合はtの偏角に応じて分岐の切り目を変えればいける希ガス。
多分|t|=1でもt≠1ならAbelの定理でいける希ガス。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
13:１３２人目の素数さん
18/07/29 06:46:44.15 AQS7OXTt.net
分母に階乗がついているんだけど。
14:１３２人目の素数さん
18/07/29 07:06:23.08 dOyuex2D.net
>>13
みえてなかった。じゃexpで。
15:１３２人目の素数さん
18/07/29 07:26:47.10 JdwFFF1G.net
>>11
ありがとうございます
16:１３２人目の素数さん
18/07/29 08:02:36.05 vq7B4GjZ.net
自然数nについてn^5-nが5の倍数であることを示せ。（有名問題）
素数pについて一般化できる。
17:１３２人目の素数さん
18/07/29 08:03:23.79 vq7B4GjZ.net
任意の自然数は4個の平方数の和として表せるという。
170以上の自然数はちょうど5個の正の平方数の和として表せることを示せ。
なお、34から169までの自然数もちょうど5個の正の平方数の和として表せることは個別に確認できる。
18:１３２人目の素数さん
18/07/29 16:42:45.72 MbuK+QQd.net
>>10 >>13
ω = exp(i(2π/3)) = (-1+i√3)/2，
ω~ = exp(i(-2π/3)) = (-1-i√3)/2,
とおくと
A(t) = (1/3){exp(t) + exp(ω･t) + exp(ω~･t)}
= (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2),
A '(t) = C(t) = (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2 + 2π/3),
A "(t) = B(t) = (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2 + 4π/3),
A '''(t) = A(t).
簡単ぢゃねぇ？
19:１３２人目の素数さん
18/07/29 16:47:59.43 MbuK+QQd.net
>>16
フェルマーの小定理
20:１３２人目の素数さん
18/07/30 00:57:03.10 rSe3jdja.net
>>3 >>4
(10/3)^2 - 11 = 81/729 = 1/9,
11 - (20/9)^3 = 19/729
直線で近似すると
1.04036246・0.81 + 1.04575749・0.19 = 1.0413875 < log(11)
21:１３２人目の素数さん
18/07/30 16:44:10.74 SUIlNKTF.net
ある整数の五乗となる数を五乗数と呼ぶことにする。
13個の五乗数の和で任意の整数を表せることを示せ。
22:１３２人目の素数さん
18/07/30 17:20:03.54 NLRgC79E.net
3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956
23:１３２人目の素数さん
18/07/30 17:24:44.08 eQIEf3dH.net
>>22
Wiki 情報ではVaughan and Wooleyの結果で17個以内で出来るってのは示されてるらしいけど13個で出来るん？
24:１３２人目の素数さん
18/07/30 17:50:01.03 NLRgC79E.net
(x-1)^3+(x+1)^3+(-x)^3+(-x)^3=6x.
a=a^3+6((a-a^3)/6).
25:１３２人目の素数さん
18/07/30 18:26:16.40 eQIEf3dH.net
あ、整数か、負の数使うのありなのね。
なら頑張って見ます。
26:１３２人目の素数さん
18/07/30 23:48:47.37 aGHmkBcO.net
>>17
できた。
３平方定理は既知とする。
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
以下を除く正の整数は５個の正の平方数の和として表せることを示す。
1,2,3,4,6,7,9,10,12,15,18,33
n≦72のとき。
計算機で確認できる。
以下ではn≧72とする。
n≡0 (mod 8)のとき n-1-1 ≡ 6 (mod 8)よりn-1-1は３個の正の平方数で表せる。
n≡2 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-4は３個の正の平方数で表せる。
n≡3 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 3 (mod 8)よりn-4-4は３個の正の平方数で表せる。
n≡4 (mod 8)のとき n-1-9 ≡ 6 (mod 8)よりn-1-9は３個の正の平方数で表せる。
n≡5 (mod 8)のとき n-9-9 ≡ 3 (mod 8)よりn-9-9は３個の正の平方数で表せる。
n≡6 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-4は３個の正の平方数で表せる。
n≡7 (mod 8)のとき n-4-16 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-16は３個の正の平方数で表せる。
n≡1 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 33 (mod 72)よりn-4-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡17 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡25 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡33 (mod 72)のとき n-36-36 ≡ 33 (mod 72)よりn-36-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡41 (mod 72)のとき n-4-4 ≡ 33 (mod 72)よりn-4-4は３個の正の平方数で表せる。
n≡49 (mod 72)のとき n-16-36 ≡ 69 (mod 72)よりn-16-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡57 (mod 72)のとき n-36-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-36-36は３個の正の平方数で表せる。
n≡65 (mod 72)のとき n-4-4 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-4は３個の正の平方数で表せる。
以上によりnが9の倍数でない場合は示された。
27:１３２人目の素数さん
18/07/30 23:49:21.74 aGHmkBcO.net
>>26
一般のとき。
n = 9^em (mは9の倍数でない)となるe,mをとる。
mは9の倍数でない奇数であるから1,3,7
28:,15,33の場合を除いては５個の正の平方数の和として表せる。 よってnも表せる。 m=1ならn≧73よりe≧4ゆえn=81・9^(e-4)かつ81=1+4+4+36+36ゆえよい。 m=3ならn≧73よりe≧2ゆえn=27・9^(e-1)かつ27=1+4+4+9+9ゆえよい。 m=7ならn≧73よりe≧2ゆえn=63・9^(e-1)かつ63=1+1+9+16+36ゆえよい。 m=15ならn≧73よりe≧1ゆえn=135・9^(e-1)かつ135=1+1+16+36+81ゆえよい。 m=33ならn≧73よりe≧1ゆえn=297・9^(e-1)かつ297=1+4+4+144+144ゆえよい。
29:１３２人目の素数さん
18/07/31 00:04:54.85 Tk7zeIY/.net
>>21
これ>>24がほとんど答えやね。
f:Z/480Z→Z/480Zをf(x) = x^5で定めればこれは全射である。
(∵Z/32Z、Z/3Z,Z/5Z上で言えれば十分である。容易ゆえ略。)
よって整数Nに対しN-a-5= 480nを満たす整数a,nがとれる。
このとき
(-n-1)^5+(1-n)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(n+3)^5+(n-3)^5+n^5+n^5+n^5+n^5=480n
であるから
N = a^5+(-n-1)^5+(1-n)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(n+3)^5+(n-3)^5+n^5+n^5+n^5+n^5
である。
30:１３２人目の素数さん
18/07/31 00:12:49.16 Tk7zeIY/.net
あ、うそいった。
>>28は撤回しまつ
31:１３２人目の素数さん
18/07/31 00:50:51.39 Tk7zeIY/.net
>>21
再挑戦
f:Z/2880→Z/2880は奇数の類かつ３の倍数でない場合に限れば全射である。
(∵Z/64Z、Z/9Z、Z/5Zについてしめせばよい。以下のように計算機でたしかめられる
length $ filter odd $ sort [mod (n^5) 64|n<-[0..63]] -> 32
sort [mod (n^5) 9|n<-[0..8]] -> [0,0,0,1,2,4,5,7,8]
sort [mod (n^5) 5|n<-[0..4]] -> [0,1,2,3,4]。)
与えられたNに対しaを
N≡0 (mod 2)、N≡0 (mod 3)のとき1。
N≡1 (mod 2)、N≡0 (mod 3)のとき2。
N≡0 (mod 2)、N≡1,2 (mod 3)のとき3。
N≡1 (mod 2)、N≡1,2(mod 3)のとき0。
とすればN-a^5は偶数でも3の倍数でもない。
よってN-a^5≡b^5 (mod 2880)を満たす整数bがとれる。
このときN-a^5-b^5=2880nとおけば
N = a^5+b^5+(n+5)^5+(n-5)^5+(-n-4)^5+(-n+4)^5+(-n-3)^5+(-n+3)^5+n^5+n^5
である。□
１０個でいけた？
32:１３２人目の素数さん
18/07/31 01:45:45.06 pRIeupgb.net
>>30
正解です。すごい、越された…想定していたのは
(n+8)^5 + (n-8)^5 - (4n+1)^5 - (4n-1)^5 + 2･(4n)^5 - 2･n^5 = 40920n = 2^3･3･5･11･31n
を利用するものでした。（この式だとmod11,31でどうしても残り５つの五乗数が必要になります）
33:１３２人目の素数さん
18/07/31 03:46:20.91 WJMFWVUG.net
>>17
N-169 が4個の平方数の和のとき
13^2 をたす。
N-169 が3個の平方数の和のとき
5^2 + 12^2 をたす。
N-169 が2個の平方数の和のとき
3^2 + 4^2 + 12^2 をたす。
N-169 が平方数のとき
1^2 + 2^2 + 8^2 + 10^2 をたす。
N-169=0 のとき
1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 + 12^2.
（//ja.wikipedia.org/wiki/四平方定理）
N.C.Ankeny: "Sums of three squares" (1957) は2次形式の理論を使うし、難しそう。
34:１３２人目の素数さん
18/07/31 04:27:11.48 WJMFWVUG.net
>>17 >>32
〔ラグランジュの四平方定理〕（1770)
すべての自然数は高々四個の平方数の和で表わされる。
オイラーの四平方恒等式
(aa+bb+cc+dd) (ww+xx+yy+zz)
= (aw+bx+cy+dz)^2 + (ax-bw+cz-dy)^2 + (ay-bz-cw+dx)^2 + (az+by-cx-dw)^2
により、各々高々四個の平方数の和に表わされる二数の積は、高々四個の平方数の和で表わされる。
従って、全ての素数に関して高々四個の平方数の和で表わされることを証明すれば十分である。
素数2に関しては 2 = 1^2 + 1^2 より明らかであある。
次に奇素数pについて証明する。
p-1 が法pに関して平方剰余であれば、
s^2 ≡ -1 (mod p)
s^2 + 1^2 + 0^2 = f･p
となる {s，f} が存在する。
p-1 が非剰余であれば、1≦k<p-1 で kが平方剰余、k+1が非剰余となるものが存在する。
(-1)
35:(k+1) は二個の非剰余の積であるから平方剰余である。従って、 s^2 ≡ k (mod p) t^2 ≡ -(k+1) (mod p) s^2 + t^2 + 1^2 = f･p は解 {s，t，f} をもつ。 その解の中でfが最小になるものを選ぶと f=1 であることを証明する。（無限降下法？） （以下略
36:１３２人目の素数さん
18/07/31 06:50:19.64 ooP76B0X.net
>>16の正解
（証明1）
mod 5で
n≡0のときn^5-n=0≡0
n≡1のときn^5-n=0≡0
n≡2のときn^5-n=30≡0
n≡3のときn^5-n=240≡0
n≡4のときn^5-n=1020≡0
よってn^5-n≡0 ■
（証明2）
n^5の下1桁とnの下1桁は一致するからn^5-nは10の倍数
よってn^5-nは5の倍数 ■
（証明3）
唐突だがn^5-n+5(-n^3+n)を考えると
n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)
連続する5数のうちいずれかは5の倍数だからn^5-n+5(-n^3+n)は5の倍数
よってn^5-nも5の倍数 ■
（一般化）
素数pについて、nがpと互いに素のときn^(p-1)-1はpの倍数（フェルマーの小定理）
よってn(n^(p-1)-1)は常にpの倍数 ■
37:１３２人目の素数さん
18/07/31 06:54:59.39 ooP76B0X.net
>>32正解
元ネタはWikipediaのその記事
（模範解答）
問題文より、任意の自然数は高々4個の正の平方数の和として表せる。
また、169は
169=13^2=5^2+12^2=3^2+4^2+12^2=1^2+2^2+8^2+10^2
のように1個から4個の正の平方数の和として表せる。
170以上の自然数nについて、
n-169がk個の正の平方数の和として表せるとき、169を4-k個の正の平方数の和として表せば、
nはちょうど5個の正の平方数の和として表せる。 ■
38:１３２人目の素数さん
18/07/31 07:03:27.79 ooP76B0X.net
>>26
Kはちょうど3個の正の平方数の和で表せる⇒8を法としてK≡0,1,2,3,4,5,6
は真だけど
逆は言えないんじゃないかなあ
39:１３２人目の素数さん
18/07/31 07:12:00.49 ooP76B0X.net
>>16の類題
自然数nについてn^8-n^2が9の倍数であることを示せ。
40:１３２人目の素数さん
18/07/31 07:15:46.65 ZGEfiyQY.net
>>36
逆の証明が>>26のリンク先にあるやん。
41:１３２人目の素数さん
18/07/31 07:33:44.94 ooP76B0X.net
>>38
読んでなかった
42:１３２人目の素数さん
18/07/31 14:53:14.62 8XwwroQ1.net
(x^2+4)/(x^2-4)が純虚数になる複素数xとは？
図形的に見ると計算もほとんど無くおわる
43:１３２人目の素数さん
18/07/31 15:38:07.30 i8S2cV5s.net
>>40
X^2が±4にならない絶対値が2の複素数だから
|x|=2、x≠±2、2i
ヒント大杉
44:１３２人目の素数さん
18/08/01 00:26:45.59 I9uVE3Rk.net
>>37
n^8 -n^2 = nn(n^3 +1)(n^3 -1),
n=3m のとき nn = 9mm ≡ 0 (mod 9)
n=3m+1 のとき n^3 -1 = (3m+1)^3 -1 ≡ 0 (mod 9)
n=3m-1 のとき n^3 +1 = (3m-1)^3 +1 ≡ 0 (mod 9)
>>40
0 = 2 Re{ (xx+4)/(xx-4) }
= (xx+4)/(xx-4) + (x~x~+4)/(x~x~-4)
= 2(|x|^4 -16)/{(xx-4)(x~x~-4)}
= 2(|x|^4 -16)/{(x+2)(x-2)(x~+2)(x~-2)}
= 2(|x|^2 +4)(|x|+2)(|x|-2)/(|x+2||x-2|)^2
∴ |x|=2，x≠±2
45:１３２人目の素数さん
18/08/01 00:41:26.55 I9uVE3Rk.net
>>37
n^8 - n^2 = nn(n^6 -1),
n=3m のとき nn = 9mm ≡ 0 (mod 9)
nが9と素であるとき n^6 -1 = n^φ(9) -1 ≡ 0 (mod 9)
ここに、φ(9) = 6 は 1～8 のうち9と素であるものの数（オイラーのtotient函数)
46:１３２人目の素数さん
18/08/01 00:44:44.89 JLGyl1uJ.net
>>42正解
47:１３２人目の素数さん
18/08/01 00:48:27.06 JLGyl1uJ.net
>>37は>>34のように解き方は色々あるが、例えば
mod 9で
n^2≡0,1,4,-2
k≡0のときk^4-k=0≡0
k≡1のときk^4-k=0≡0
k≡4のときk^4-k=252≡0
k≡-2のときk^4-k=18≡0
この形式の問題をどうやって作ったかというと
nが3の倍数のときn^3≡0
その他のときn^3≡1,-1
みたいなのを見つけて来て
n^2(n^3-1)(n^3+1)=n^8-n^2
という式を組み立てた
次数が小さいほど芸術点が高い
48:１３２人目の素数さん
18/08/01 01:10:14.12 JLGyl1uJ.net
>>34
（さらなる一般化）
素数pについて、φ(p^k)=p^k-(p^k)/p=(p^(k-1))(p-1)だから
nがpと互いに素のときn^{(p^(k-1))(p-1)}-1はp^kの倍数（オイラーの定理）
よって[n^k][n^{(p^(k-1))(p-1)}-1]は常にp^kの倍数 ■
49:１３２人目の素数さん
18/08/01 03:16:54.26 I9uVE3Rk.net
>>26
1≦n≦33 のとき
1, -
2, -
3, -
4, -
5, (1,1,1,1,1)
6, -
7, -
8, (1,1,1,1,2)
9, -
10, -
11, (1,1,1,2,2)
12, -
13, (1,1,1,1,3)
14, (1,1,2,2,2)
15, -
16, (1,1,1,2,3)
17, (1,2,2,2,2)
18, -
19, (1,1,2,2,3)
20, (1,1,1,1,4), (2,2,2,2,2)
21, (1,1,1,3,3)
22, (1,2,2,2,3)
23, (1,1,1,2,4)
24, (1,1,2,3,3)
25, (2,2,2,2,3)
26, (1,1,2,2,4)
27, (1,2,2,3,3)
28, (1,1,1,3,4)
29, (1,1,1,1,5), (1,1,3,3,3), (1,2,2,2,4)
30, (2,2,2,3,3)
31, (1,1,2,3,4)
32, (1,1,1,2,5), (1,2,3,3,3), (2,2,2,2,4)
33, -
50:１３２人目の素数さん
18/08/01 03:18:11.48 I9uVE3Rk.net
>>26
34≦n≦72 のとき
34, (1,2,2,3,4)
35, (1,1,1,4,4), (1,1,2,2,5), (2,2,3,3,3)
36, (1,1,3,3,4)
37, (1,1,1,3,5), (1,3,3,3,3), (2,2,2,3,4)
38, (1,1,2,4,4), (1,2,2,2,5)
39, (1,2,3,3,4)
40, (1,1,1,1,6), (1,1,2,3,5), (2,3,3,3,3)
41, (1,2,2,4,4), (2,2,2,2,5)
42, (2,2,3,3,4)
43, (1,1,1,2,6), (1,1,3,4,4), (1,2,2,3,5)
44, (1,1,1,4,5), (1,3,3,3,4), (2,2,2,4,4)
45, (1,1,3,3,5), (3,3,3,3,3)
46, (1,1,2,2,6), (1,2,3,4,4), (2,2,2,3,5)
47, (1,1,2,4,5), (2,3,3,3,4)
48, (1,1,1,3,6), (1,2,3,3,5)
49, (1,2,2,2,6), (2,2,3,4,4)
50, (1,1,4,4,4), (1,2,2,4,5)
51, (1,1,2,3,6), (1,3,3,4,4), (2,2,3,3,5)
52, (1,1,3,4,5), (2,2,2,2,6), (3,3,3,3,4)
53, (1,1,1,1,7), (1,1,1,5,5), (1,2,4,4,4), (1,3,3,3,5), (2,2,2,4,5)
54, (1,2,2,3,6), (2,3,3,4,4)
55, (1,1,1,4,6), (1,2,3,4,5)
56, (1,1,1,2,7), (1,1,2,5,5), (1,1,3,3,6), (2,2,4,4,4), (2,3,3,3,5)
57, (2,2,2,3,6)
58, (1,1,2,4,6), (1,3,4,4,4), (2,2,3,4,5)
59, (1,1,2,2,7), (1,1,4,4,5), (1,2,2,5,5), (1,2,3,3,6), (3,3,3,4,4)
60, (1,3,3,4,5)
61, (1,1,1,3,7), (1,1,3,5,5), (1,2,2,4,6), (2,3,4,4,4), (3,3,3,3,5)
62, (1,2,2,2,7), (1,2,4,4,5), (2,2,2,5,5), (2,2,3,3,6)
63, (1,1,3,4,6), (2,3,3,4,5)
64, (1,1,1,5,6), (1,1,2,3,7), (1,2,3,5,5), (1,3,3,3,6), (2,2,2,4,6)
65, (1,4,4,4,4), (2,2,2,2,7), (2,2,4,4,5)
66, (1,2,3,4,6), (3,3,4,4,4)
67, (1,1,2,5,6), (1,2,2,3,7), (1,3,4,4,5), (2,2,3,5,5), (2,3,3,3,6)
68, (1,1,1,1,8), (1,1,1,4,7), (1,1,4,5,5), (2,4,4,4,4), (3,3,3,4,5)
69, (1,1,3,3,7), (1,3,3,5,5), (2,2,3,4,6)
70, (1,1,4,4,6), (1,2,2,5,6), (2,2,2,3,7), (2,3,4,4,5)
71, (1,1,1,2,8), (1,1,2,4,7), (1,2,4,5,5), (1,3,3,4,6)
72, (1,1,3,5,6), (1,2,3,3,7), (2,3,3,5,5), (3,3,3,3,6)
51:１３２人目の素数さん
18/08/01 03:49:35.79 I9uVE3Rk.net
>>43
1～q-1 のうち qと素であるもの(正則元)の全体は乗法群Gをなす。
単位元は 1、 #G = φ(q)
n∈G が生成する巡回部分群を <n> = H とすると、
#H | #G (←ラグランジュの定理）
n∈G の位数はφ(q)の約数。
∴ n^φ(q) ≡ 1 (mod q)
52:１３２人目の素数さん
18/08/01 13:49:03.29 s7KpG2Ja.net
-1≦α≦1とする.
円の面積を2等分する曲線Cについて、
Cの長さをL、Cにより区切られた円周の短い方の長さをSとする
(1)L+αSが最小となるようなCが存在することを示せ.
(2)L+αSが最小となるとき、Cと円周のなす角はarcsin(α)となることを示せ.
(3)円の半径を1として、L+αSの最小値を求めよ.
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
53:１３２人目の素数さん
18/08/01 13:50:27.75 s7KpG2Ja.net
>>50
(2)については円でなくても一般のC^1曲線でも成り立ちますがそれだとあまりに証明が難しいので円にしました
54:１３２人目の素数さん
18/08/01 14:00:15.66 CziNQBVb.net
α=0のときCは直径じゃないの？
そのときなす角はπ/2だと思うけど、arcsin(0) = 0になってしまう？？
55:１３２人目の素数さん
18/08/01 14:08:22.13 s7KpG2Ja.net
>>52
あーごめんなさいarccos(α)の間違いでした
56:１３２人目の素数さん
18/08/01 14:53:47.27 s7KpG2Ja.net
そしてまた訂正ごめんなさい
0≦α≦1
でした
57:１３２人目の素数さん
18/08/01 19:41:12.55 L9G1MYAK.net
正の整数 n,k について、
n√2の整数部分を数列{an}とする。
また、全体を正の整数として、{an}の補集合を小さいものから順に並べたものを{bk}とする。
このとき、n=kにおいてbk-an=2nとなることを、(1/√2)+1/(2+√2)=1となることを利用して証明せよ。
58:１３２人目の素数さん
18/08/01 23:42:34.87 iuY0Ip
59:qs.net
60:イナ
18/08/02 23:04:17.70 zqKxfWmN.net
>>1解けたよ。前スレの952
正五角形の対角線と正六角形を二分する線が一致するように正五角形内部に正六角形の半分を描くと、
分岐点と頂点を結ぶ線分の長さは(対角線の半分)か(1-対角線の半分)のどちらかになる。
分岐点と分岐点の距離は(対角線の半分)。
5つの頂点を結ぶ曲線(シオマネキのハサミのような)
=1+(対角線の半分)×3+(1-対角線の半分)×2
=1+{(1+√5)/4}×3+{1-(1+√5)/4}×2
=1+(3/4)(1+√5)+(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
=3.8090167……
61:１３２人目の素数さん
18/08/02 23:40:22.76 525L2lOC.net
>>57
それが最小である証明は？
62:１３２人目の素数さん
18/08/03 00:41:53.72 9GctjKwG.net
>>57
分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方の長さは(1-対角線の長さ)にはなりませんよ
A=分岐点と頂点を結ぶ線分の長い方
B=分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方
C=正五角形の一辺
とすると
AとCの挟角が12°ってことが分かって
余弦定理を使えばBの長さは0.30266...になる
そうするとネットワークの長さは4.0323...になって単に辺のみを結ぶよりも長くなってる
63:１３２人目の素数さん
18/08/03 08:25:19.00 aHpLf1sw.net
1,2,3,5,6,9,11,17,29,41を除く4の倍数ではない自然数は4つの正の平方数の和で表される事を示せ。
64:１３２人目の素数さん
18/08/03 10:49:52.69 3AwxCDFf.net
>>59
辺のみの解4より大きくなるのは、分岐点の角ぜんぶが120°になってないからで、そのAとBの角が120°になるように長さを調整すると、正弦定理より
A=0.85810…
B=0.24007…
分岐点と分岐点の距離は 1-B
これらからネットワークの長さは3.95629…
4未満にはなる
65:１３２人目の素数さん
18/08/03 16:45:39.60 tRRMlHHD.net
>>57 >>59
正五角形を P1-P2-P3-P4-P5
正六角形の半分を P1-Q2-Q3-P4 とする。
分岐点の角ぜんぶが 120ﾟ にはなっていない。 >>61
A は対角線 P1-P4 の半分で
A = (1/4)tan(72ﾟ) = (1/4)√(5+2√5) = 0.769420884293813350642572644009227456
P2-Q2，P3-Q3 は第二余弦定理から
B = √{AA -2AC･cos(12ﾟ) +CC} = 0.2946084067614508837941816613267963
P1-P2-P3-P4 は
C = 1
したがってネットワークの長さは
3A + 2B + C = 3.897479466404341819516081254681275 < 4
単に辺のみを結ぶよりも長くなるのは おかしい。
66:１３２人目の素数さん
18/08/03 17:20:37.37 tRRMlHHD.net
>>62 訂正ｽﾏｿ
A は対角線 P1-P4 の半分で
A = 1/{4sin(18ﾟ)} = (1+√5)/4 = 0.809016994374947424102293417182819
P2-Q2，P3-Q3 は
B = √{AA+CC-2AC･cos(12ﾟ)} = 0.2680157330941872201843362931855557
辺 P1-P2-P3-P4 は
C = 1
したがってネットワークの長さは
L = 3A + 2B + C = 3.96308244931321671267555283792 < 4
67:１３２人目の素数さん
18/08/03 18:36:23.63 tRRMlHHD.net
>>57
[前スレ.952] の解は
正五角形 P1-P2-P3-P4-P5 の一辺 P1-P5 に
1×A の長方形P1-Q2-Q4-P5 を貼る。
点Q3 を
∠P1-Q2-Q3 = 120ﾟ
∠Q2-Q3-Q4 = 120ﾟ
∠Q3-Q4-P5 = 120ﾟ
となるようにとる。
分岐点の角ぜんぶが 120ﾟ になるように A，B を決める。
P1-Q2、Q4-P5 は 正弦定理より
A = (2/√3)sin(42ﾟ)
= 0.772645471408608606145454411856338206414855596502316039236
P2-Q2、P4-Q4 は 正弦定理より
B2 = B4 = (2/√3)sin(18ﾟ) = (√5-1)/(2√3)
= 0.356822089773089931941969843046087873981686075246868366421
P3-Q3 は
B3 = tan(72ﾟ)/2 -1/(2√3) - A
= (1/2)√(5+2√5) -1/(2√3) - A
= 0.477521162584205212885116485911137977764694599631516736273
したがって、ネットワークの長さは
2A + (2/√3) + B2 + B3 + B4 =
= 3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956 >>22
68:１３２人目の素数さん
18/08/03 18:52:34.11 6rYEsJmV.net
>>3 の出題者です, 遅くなりました.
私はlog2, log3を小数第4位までしか与えていないのですが, 其れは置いておきまして, 想定解は
11･9<100, 11⁵>160000
此等に常用対数を取って評価するものです.
69:１３２人目の素数さん
18/08/03 21:43:01.83 rUIhDNs6.net
>>9
正解は(17-n)進法で表した16
実際にパズル本を出典としてOEISに登録されている
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
逆順
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
70:イナ
18/08/03 23:35:21.21 hUvbBELI.net
>>64
>>57のほうが小さいよ。
前>>57
最初は大きくなると思ってあきらめてました。が120°に注意して作図しなおしたら実際は小さくなりました。
左右非対称だというヒントにもかなっていると思います。
71:１３２人目の素数さん
18/08/04 01:00:13.76 KdoMpN08.net
>>67
>>57の想定は間違っていると言う話をしている
つまり、角度を120°にしたとき、
２つの分岐点の距離と、分岐点から頂点への距離は異なる
同じと考えてそこから計算するのは間違い
72:１３２人目の素数さん
18/08/04 01:41:02.22 ZD/Bfk7m.net
>>3
20^(4/5) /10 = (8/5)^(1/5) < 11/10 < (4/3)^(1/3),
∴ (8/5)^(1/15)･(4/3)^(2/9) < 11/10 < (8/5)^(1/17)･(4/3)^(4/17),
∴ 1.04137216 < log(11) < 1.0414044
なお log(11) ≒ 1.041392685
73:１３２人目の素数さん
18/08/04 02:12:51.68 ZD/Bfk7m.net
>>67
>>57 の件は別スレでどうぞ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
74:１３２人目の素数さん
18/08/04 06:25:20.11 c00Ag7Bl.net
x1,・・・,xn はすべてm以下の自然数
y1,・・・,ym はすべてn以下の自然数
このとき {xi|1≦i≦n},{yj|1≦j≦m} からそれぞれいくつかの数を選んで
それらの和が等しくなるようにできることを示せ
75:１３２人目の素数さん
18/08/04 07:26:09.87 p07vMUFr.net
>>71
どっかでみたことある問題やな
76:１３２人目の素数さん
18/08/04 08:11:32.71 W7N0ST8g.net
m=nの場合はある本に載ってた。
ほとんどそのままの論法でいけた。
77:１３２人目の素数さん
18/08/04 08:50:23.79 OvmiclLr.net
>>73
> ある本に載ってた。
構わん、続けたまえ！
78:１３２人目の素数さん
18/08/04 10:15:30.89 W7N0ST8g.net
zi=z1+‥+zi、wj=y1+‥+yj とする。
zn≦wmとしてよい。
各1≦i≦nに対して
y j(i-1)＜xi≦yj(i)
をみたすj(i)がとれる。
この時各iに対し0≦y(j(i))-xi≦n-1である。
=0が成立するiがあるときには、主張は正しいから≠0とする。
このときyj(1)～yj(n)は全て1～n-1であるから相異なるi1、i2でyj(i1)=yj(i2)となるものがとれる。以下ry
79:イナ
18/08/04 10:22:48.63 JRpAGFBz.net
>>68圧倒的多数らしい右のハサミが大きい(左利き？)シオマネキのオスを、分岐点が正五角形の下方に水平に並ぶように描きました。
前>>67分岐点の角度を120°にするという発想は当初なかったんですが、前スレの左右対称のカブトガニのような図を見て、(最小値は0.89……)分岐点については理にかなってると考えを改めざるをえませんでした。
左右非対称だというヒントで、シオマネキのオスの形を描きなおしました。
正五角形の中に正六角形の半分を描きます。シオマネキの胴体です。分岐点の角度を120°にしたということは正六角形なんで辺の長さは同じ。
分岐点と分岐点の距離は正五角形の対角線(正六角形を二分する線)の半分です。
分岐点から下方の頂点に引いた短い線は、右下か左下にこの短い線の正三角形ができるように平行線を描くことで、
(1-対角線の半分)
と直感しました。
∴1+(対角線の半分)×3+(1-対角線の半分)×2
=1+(3/4)(1+√5)(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
80:１３２人目の素数さん
18/08/04 12:02:05.27 W7N0ST8g.net
>>75の後半ことごとくzとwがxとyになってる。
エスパーしてちょ
81:１３２人目の素数さん
18/08/04 14:02:27.63 OvmiclLr.net
書き直したまえ
82:１３２人目の素数さん
18/08/04 16:12:09.09 oYRkGrO4.net
次の方程式が持つ整数解の個数は有限か、無限か。
1 + 3x^2 + 4y^3 - 108z^6 = 0
83:１３２人目の素数さん
18/08/04 20:02:22.42 W7N0ST8g.net
>>79
(x,y,z) = (0,3t^2,t)が解だから無限個。
84:１３２人目の素数さん
18/08/04 20:25:50.46 W7N0ST8g.net
(0,3t^2,t)が解だから無限個。
85:１３２人目の素数さん
18/08/04 20:26:41.70 W7N0ST8g.net
ダフッンだorz
86:１３２人目の素数さん
18/08/05 02:39:33.02 rWEeASLy.net
>>55
a_n=a，b_n=b と略す。
{1,2,…,b} のb個のうち {a_k} に含まれるものの数は [(b+1)/√2] 個
{1,2,…,b-1} のb-1個のうち {a_k} に含まれるものの数は [b/√2] 個
∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = n-b,
n-b ≦ b/√2， (b+1)/√2 < n-b+1,
n - (1 -1/√2) < (1 -1/√2)b ≦ n,
(2+√2) を掛けると題意から
n(2+√2) -1 < b ≦ n(2+√2),
一方、定義から
-n√2 ≦ -a < -n√2 +1,
辺々たして
2n-1 < b-a < 2n+1
∴ b-a = 2n.
87:１３２人目の素数さん
18/08/05 02:45:28.74 rWEeASLy.net
>>83 訂正
∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = b-n,
88:１３２人目の素数さん
18/08/05 03:01:58.70 rWEeASLy.net
>>79
(|x|，y，|z|) = (5，2，1) (1，-1，0)
有限っぽい…
89:１３２人目の素数さん
18/08/05 18:36:47.96 UTRYBnUN.net
学部1～2年レベル置いとく
⑴V,Wを有限次元K線形空間とする。f:V→Wの基底ℬ,ℬ'に関する表現行列がAである時、fの双対f *の基底ℬ'*,ℬ*に関する表現行列を求めよ
⑵任意の対称形式b:V×V→Kに対し
て、Kの標数が2でなければ直交基底が存在する事を示せ
⑶L^p[0,1]をp乗可積分な関数全体とする。この時、||f||={∫[0,1]|f|^pdx}^(1/p)でノルムを入れる。このノルムによる単位球面S={f:||f||=1}はコンパクトではない事を示せ。
但し、ここでいう積分は全てリーマン積分で考える
90:１３２人目の素数さん
18/08/05 19:20:01.63 OyR+X+HP.net
１＋３（６ｚ＾２－１）＾２＋４（３ｚ＾２－１）＾３－１０８ｚ＾６＝０。
91:１３２人目の素数さん
18/08/05 20:10:00.41 Bx2Ewg0/.net
>>87
正解です。
abc conjecture のちょっとした一般化に n conjecture なるものがあるのですが、
この式のzに何を代入しても良いことから、強い方の n conjecture の反例"に近いもの"（
すなわち和が0になるような整数の四つ組であって、どの二つ組の最大公約数も高々4であるもの）がいくらでも構成できます。
この最大公約数の最大を4から1にできないかなとは考えてるけどこれがなかなか難しい…
92:１３２人目の素数さん
18/08/05 22:27:57.17 Q/h8gsf+.net
>>86
(3)正の整数nに対して f_n(x) の値を
2^n (2^(-n+1) - 2^(-pn) < x < 2^(-n+1) の時)
0 (それ以外)
と定めたら、f_n∈S かつ ||f_n-f_m||=2 となるので、
{f_n}_n=1,2,… のどの部分列も収束しない。
したがってSは点列コンパクトでないためコンパクトでない
93:。
94:イナ
18/08/06 05:29:38.42 0lzyOGBY.net
前>>76前スレ976のカブトガニが最小ってことか。
URLﾘﾝｸ(www.kyodemo.net)
95:１３２人目の素数さん
18/08/06 07:30:20.00 PDFtrC+O.net
数値ちがう。
そもそも最小性の証明出来てないから話にならん。
96:１３２人目の素数さん
18/08/06 13:19:39.84 v0jMK/82.net
aを1でない実数とする。
[tan(log|log√√√√‥√a|]
において√の数を変化させるとき上式は全ての実数値を取りうることを示せ。
97:１３２人目の素数さん
18/08/06 13:40:49.77 3mj5BX2w.net
>>92
え？これが出来たら自然数から実数への全射が出来ることにならない？ 濃度に反するんだが
稠密の間違いじゃないの？
98:１３２人目の素数さん
18/08/06 14:05:28.47 iZo6oDkQ.net
カッコが対応してないのも気になるが、
一番外側のカッコがガウス記号のつもりなら、「全ての実数値」は「全ての整数値」の間違いだったりするのかな？
99:１３２人目の素数さん
18/08/06 15:44:20.70 KLoNTCQ2.net
>>93
×すべての実数値
○すべての整数値
orz
100:１３２人目の素数さん
18/08/06 16:16:53.28 840AtD1X.net
>>79
1 + 3x^2 + (1/2)(x-1)^3 - (1/2)(x+1)^3 = 0,
1 + 3x^2 + 4{(x-1)/2}^3 - 108{(x+1)/6}^3 = 0,
101:１３２人目の素数さん
18/08/07 04:07:20.36 c5YOeYuN.net
>>92 >>95
a>0，a≠1，√がn個あるとする。
log|log(√√√√…√a)| = log|(1/2^n)log(a)|
= log|log(a)| - log(2^n)
= log|log(a)| - n･log(2),
これはnの等差数列である。
次は tan だから mod π で考えよう。
上式にπ/2 を加えてπで割った ( log|log(a)| - n･log(2) + π/2)/πの小数部分を c_n とおく。
任意の有限区間（α，β）内に或る c_n が存在することを示そう。
〔補題〕
0≦α<β≦1 に対し、α < c_n < β をみたす自然数nが存在する。
(略証)
[ 1/(β-α) ] + 1 = m とおくと、β-α > 1/m
鳩ノ巣原理により
c_1，c_2，…，c_{m+1} の中に |c_i - c_j| < 1/m となる i<j がある。
n を j-i ずつ増減すれば、c_n はある公差（<1/m）で増減する。
∴ m/2回以内にc_nは区間 (α，β) に到達し、補題が成立する。(終)
102:１３２人目の素数さん
18/08/07 08:35:06.26 QCqAGpcR.net
>>97
正解です。いろいろ問題文不備あったけどエスパーしていただいて申し訳ない。
問題は
an = -n (log2)/π + (log | loga |)/πの小数部
がどうなるか？
です。
用意した解答。
―
はLindemannの定理から(log2)/π は無理数。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
よってWeylの一様分布定理
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
により任意の0≦α<β≦1に対し
lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
が成立することから主張が成立。
―
ホントは上のサイトで紹介されているKroneckerの定理でも証明できるのですが、なんといってもWeylの発見したワイルの基準(Weyl's criterion)が美しく素晴らしい。
はじめて見たときはちょっと感動しました。
103:１３２人目の素数さん
18/08/07 08:38:30.86 QCqAGpcR.net
>>98
訂正
× lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
○ lim[N→∞] #{n | α < an < β , n≦N }/N = 1/(β - α)
104:１３２人目の素数さん
18/08/07 16:30:38.97 c5YOeYuN.net
>>97
鳩ノ巣原理のところを、
０ ＜ |c_i - c_j| < 1/m となる i≠j がある。
と訂正。
Lindemann により log(2)/π が無理数だから。
105:イナ
18/08/07 20:33:19.19 O2SKNB5L.net
カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.89115682……
前>>90
106:１３２人目の素数さん
18/08/07 22:36:32.55 CtNA0gf3.net
1-6, 2-5, 3-4が向かい合った, 1～6までの各数を揃えた6面サイコロを作る.
サイコロの1つの角c_nを共有する3面の数を合計した数をS_nとする.
(1)1つの角を共有する3面の数の組合せは何通り取れるか？
(2)S_nの最小値, 最大値を求めよ.
又サイコロを如何に作れど, S_nが最小値, 最大値を取る組み合わせの3面が必ず存在することを示せ.
107:１３２人目の素数さん
18/08/07 23:22:39.52 QCqAGpcR.net
>>102
(1) 8通り
(2) ８つの角に現れる数はいかなるサイコロでも８つの角それぞれの計は
1+2+3=6、 1+2+4=7、 1+5+3=9、 1+5+4=10、
6+2+3=11、6+2+4=12、6+5+3=14、6+5+4=15。
最小値は６，最大値は１５。
108:１３２人目の素数さん
18/08/07 23:55:27.21 CtNA0gf3.net
>>103
正解です.
(ii)は鳩ノ巣原理使った解答想定していたけど, 8通りだと書き出す方が確かに早かった.
109:１３２人目の素数さん
18/08/08 03:15:07.43 ujPEEHfC.net
>>97 >>98
〔Kroneckerの稠密定理〕
c を無理数とする。
0≦α<β≦1 である任意の区間（α，β） に対して α< {nc} <β を満たす自然数nが存在する。
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
110:１３２人目の素数さん
18/08/08 04:15:20.33 /NaPNINC.net
a[1]=1/2
a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2
で与えられる数列について、
（1）極限値lim[n→∞] na[n] を求めよ。
（2）次の極限が0でない有限値に収束するような正の有理数pの値を求めよ。
lim[n→∞] {a[n]-(1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n])}*(n^p)
111:１３２人目の素数さん
18/08/08 09:14:58.65 yP/BCdxN.net
>>106
(2)解無しになるんじゃないの？
(1)は数値実験で1/2っぽいけど、だとすると a[n] ～ 1/(2n) で (1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n]) ～ (log n)/(2n) にならない？
112:１３２人目の素数さん
18/08/08 12:42:52.37 /NaPNINC.net
>>107
（1）は確かに1/2だが証明を与えてほしい
（2）は解無しもありだが本当にそうなのかを説明してほしい
大学入試問題からヒントを得た問題だが高校生には難しすぎるだろうと思ってここに出してみた
113:１３２人目の素数さん
18/08/08 14:21:58.02 tfbAd/iv.net
(1)
lim a[n] = 0 は容易。
e>0 に対しa[n] < e (∀n ≧ N)であるNをとって
1/a[n+1] = 1/a[n] + 2 + a[n]
1/a[n] + 2 < 1/a[n+1] <1/a[n] + 2 + e
∴ 2(n - N) + 1/a[N] < 1/a[n] < (2+e)(n-N) + 1/a[N]
∴ 2 ≦ liminf 1/(na[n]) ≦ limsup 1/(na[n]) ≦ 2 + e
eは任意であったから主張は示された。
(2)
(1)と同様にe,Nをとって
Σ[k:N～n]1/((2+e)(n-N) + 1/a[N]) ≦ Σ[k:N～n]a[k] ≦ Σ[k:N～n] 1/((2+e)(n-N) + 1/a[N])
より
1/(2+e) ≦ liminf Σ[k:1～n]a[k]/log n ≦ limsup Σ[k:1～n]a[k]/log n ≦ 1/2
eは任意であったから
lim Σ[k:1～n]a[k]/log n = 1/2。
∴解無し。
114:１３２人目の素数さん
18/08/08 16:07:37.54 xAaRXHEL.net
R^nの凸集合A,Bについて，A⊂Bならば Aの境界の表面積≦Bの境界の表面積 となることを証明せよ
115:１３２人目の素数さん
18/08/08 23:10:32.02 SNGhFA0V.net
>>110
以下凸体Vに対しその表面積をS(V)と書く。
e>0をとる。
Aにふくまれる凸多面体A'でS(A)<S(A') + eなるものをとる。
A'の各面Fに対しFを底面とする柱で側面が底面と垂直であり、A'の外側に伸びるものをC_Fとする。
C_Fが切り取るBの表面をT_Fとする。
このとき
S(A) - e ≦ S(A') = Σ (Area of F) ≦ Σ (Area of T_F) ≦ S(B)。
eは任意であったから S(A) ≦ SI(B)。
116:１３２人目の素数さん
18/08/09 00:03:46.99 F9re0hqo.net
>>111
なるほど
想定していた解答はガウスの発散定理を使うものでしたがこれでも完璧ですね
正解です
117:１３２人目の素数さん
18/08/09 00:08:45.09 gADyDncP.net
>>112
あざっす。想定解面白そう。教えて下さい。
118:１３２人目の素数さん
18/08/09 01:39:40.80 gADyDncP.net
>>109
訂正
(2)
e>0をとる。
(1)よりn≧Nにたいして(2-e)/n ≦ a[n] ≦ (2+e)/nを満たすNをとる。
Σ[i:1～N]a[i] = Sとおけば
S+(2-e)(log n - log N -1/n) ≦ Σ[i:1～n]a[i] ≦ S+(2+e)(log n - log N)。
2-e ≦ liminf Σ[i:1～n] a[i]/log n ≦ liminf Σ[i:1～n]a[i]/log n ≦ 2+e。
eは任意であったからlim Σ[i:1～n] a[i]/log n = 2。
∴解無し。
119:１３２人目の素数さん
18/08/09 02:01:15.97 gADyDncP.net
>>114まだミスしてる。orz。まぁ解無し。
120:１３２人目の素数さん
18/08/09 02:32:45.03 F9re0hqo.net
>>113
以下想定解答です
Aは滑らかとして十分(軟化などをする)
dを∂Aに対する符号付き距離関数,すなわち
d(x):=dist(x,∂A) (=inf{dist(x,y) | y∈∂A}) (x∈A) , -dist(x,∂A) (x∈A^c) とする
x∈∂Aのとき，∇d(x)は∂Aの外向き単位法線ベクトルとなる
また，∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率となる
また,Aは凸より,任意のt<0に対して,{x∈R^n | d(x)=t}も凸
滑らかな凸集合の平均曲率は正より，△d(x)≧0 (x∈A-B)
A⊂Bより,0≦∫_(B-A) △d(x) dx=∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx
ガウスの発散定理より n_S(x)をSの外向き単位法線べクトルとすれば,
∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx=∫_(∂B) ∇d(x)・n_(∂B)(x) dS-∫_(∂A) ∇d(x)・n_(∂A)(x) dS
≦S(∂B)-S(∂A) (∵∇d(x)・n_(∂A)(x)=n_(∂A)(x)・n_(∂A)(x)=1 (x∈∂A) ,∇d(x)・n_(∂B)(x)≦|∇d(x)||n_(∂B)(x)|≦1 (x∈∂B))
よってS(∂A)≦S(∂B)
121:１３２人目の素数さん
18/08/09 09:49:21.22 /mrDq4Yp.net
>>116
なるへそ。
{x∈R^n | d(x)≦t}が凸。なので△d(x)≧0 (foy x not in A)。
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。
122:１３２人目の素数さん
18/08/09 09:55:49.21 /mrDq4Yp.net
この>>116
>∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率
とかの周辺の話って勉強できるおすすめの教科書ってありますか？
123:１３２人目の素数さん
18/08/09 17:21:51.06 w0c/gBS2.net
なるへそ。有向距離d(x)を
d(x) = (x～∂A の最短距離), x∈A
=－(x～∂A の最短距離), x∈A^c
= 0 x∈∂A
とおく。
∇d(x) = (∂Aの外向き法線単位ベクトル), x∈∂A
∇･∇d(x) = (∂Aの平均曲率), x∈∂A
等距離面 {x∈Ｒ^n | d(x)=t} も凸
滑らかで凸 ⇒ (∂Aの平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0, (x∈A でない)
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。
124:１３２人目の素数さん
18/08/09 17:27:54.87 w0c/gBS2.net
∂Aが滑らかで凸 ⇒ 等距離面も滑らかで凸 ⇒ (等距離面の平均曲率) = ∇･∇d(x) ≧ 0， (x∈A でない)
125:１３２人目の素数さん
18/08/09 20:39:17.79 67QzVCkx.net
>>117
あーごめん間違いをエスパーしてくれてありがとう
そうだね{d≦t}とB-A上だね
>>118
うーんちょっと洋書で申し訳ないんだけど
Carlo MantegazzaのLecture Notes on Mean Curvature Flowなんかには詳しく載ってるよ
126:１３２人目の素数さん
18/08/09 22:12:52.40 1xDyQzpf.net
素晴らしいぞ
これでπが上から抑えられる
127:１３２人目の素数さん
18/08/09 23:51:19.31 CfoTNK1M.net
>>121
あざっす！勉強しときます！！
128:１３２人目の素数さん
18/08/10 02:09:45.51 MxWQLJMW.net
A：単位球（半径=1)
B_n：Aに外接する正n面体
とすると
S(∂A) = 4π,
S(∂B_4) = (√3)(L_4)^2 = 24√3, (L_4 = 2√6)
S(∂B_6) = 6(L_6)^2 = 24, (L_6 = 2)
S(∂B_8) = (2√3)(L_8)^2 = 12√3 = 20.7846097 (L_8 = √6)
S(∂B_12) = 3√(25+10√5)(L_12)^2 = 16.650873 (L_12 = 0.898056)
S(∂B_20) = (5√3)(L_20)^2 = (60√3)/φ^4 = 15.16216843 (L_20 = (2√3)/φ^2 = 1.323169)
π < 3.7905421
129:１３２人目の素数さん
18/08/10 09:08:54.35 MxWQLJMW.net
>>124
単位円と、それに外接する正n角形の面積を比べた方がいいな…
n=6 正6角形
π < 6 tan(π/6) = 2√3 = 3.4641016
n=8 正8角形
π < 8 tan(π/8) = 8(√2 -1) = 3.3137085
n=12 正12角形
π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) = 3.2153903
130:１３２人目の素数さん
18/08/10 10:40:50.87 7pSE0FgU.net
球に外接する多面体のデータなら前スレ642にあるな
数値の信憑性は定かではないが……。
131:学術
18/08/10 14:13:19.38 kjMGeLEi.net
何をどのときに感じてみているかだな。
132:学術
18/08/10 14:20:21.63 kjMGeLEi.net
女体信仰から始まったのか？モノに執着もあるし、怖い自然もある。異種と出会うこともまれながら、愛した思い出もある。
133:１３２人目の素数さん
18/08/10 17:50:06.94 4DZstiab.net
円に内接する正三角形ABCと劣弧AB上の点PについてAP+BP=CPを示せ。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
134:１３２人目の素数さん
18/08/10 18:35:42.66 FohgrxLg.net
>>129
トレミーの定理より
AP・BC + BP・AC = CP・AB。
∴ AP+BP=CP。
135:１３２人目の素数さん
18/08/10 18:45:32.75 docgQ2AT.net
URLﾘﾝｸ(o.8ch.net)
136:１３２人目の素数さん
18/08/10 19:40:42.18 5+P/C2Aj.net
>>130
正解（想定解）
>>131
正三角形CPDを描くと、∠CPB=∠CAB=∠60°だからBは辺PD上
二辺夾角相等より△CAP≡△CBD
AP+BP=BD+BP=DP=CP
正解
137:１３２人目の素数さん
18/08/10 20:44:49.01 apZDSISF.net
別スレで出題したのですがこちらの方が適当かなと思いまして、こちらで出題します。
「問題」
2つの円CとDは相異なる2点で交わっている。これによりCとDの和集合である領域は、CおよびDの円弧により3つの領域に分割される。
すなわち、
Cの内部かつDの外部である領域P、
Cの内部かつDの内部である領域Q、
Cの外部かつDの内部である領域R、
に分割される。
このとき、CとDがどのような交わり方をしていても、次の（条件）を満たすような直線lが必ず存在するか。
（条件）
・lは領域P、Q、Rのどの内部も通る。
・lの領域Kに含まれる部分の長さをL[K]とおくとき、次の等式が成り立つ。
L[P]=L[Q]=L[R]
138:１３２人目の素数さん
18/08/11 10:03:08.35 KjzsAEhK.net
いくつかの赤玉と白玉の入った袋がある。
以下の試行(T)を繰り返す
(T) : 無作為に玉を一つ取り出し赤玉ならその玉と白玉一個を追加して袋にもどし、白玉ならそのまま取り除く。
この試行をn回行った後の白玉の個数をXnとする。
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)を求めよ。
―
別スレの問題を改題。
とりあえずいろいろ収束すると仮定すればlim[n→∞] E(Xn)はさらっと求まりますが、収束証明が難しい。
私、出来なくて知ってる限りのそ関連ありそうな単語でいろいろググったらやっと出きた。
139:１３２人目の素数さん
18/08/11 11:56:17.84 TSBXIcfK.net
>>134
訂正
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)+ E(X(n+1))を求めよ。
140:１３２人目の素数さん
18/08/11 14:04:12.77 /7veEAAF.net
>>134
赤玉の個数は永遠に変わらないa個のまま
Xnの時点で
赤がでる確率a/(Xn+a)
Xn+1=Xn+1
白がでる確率Xn/(Xn+a)
Xn+1=Xn-1
E=lim E(Xn)が存在すれば
E=(E+1)a/(E+a)+(E-1)E/(E+a)=(E^2+(a-1)E+a)/(E+a)=E-(E-a)/(E+a)
E=a
141:１３２人目の素数さん
18/08/11 14:38:11.48 /7veEAAF.net
>>134
最初の時点での白玉の個数をb個とする
n回の試行中x回赤玉がy回白玉がでているときn=x+yで
Xn=b+x-y
しかし
(x,y)→(x+1,y)と遷移する確率はa/(a+b+x-y)
(x,y)→(x,y+1)と遷移する確率は(b+x-y)/(a+b+x-y)
Xn≧0よりy≦x+b
またもちろん0≦x,y
142:１３２人目の素数さん
18/08/11 16:11:27.84 bu/lTCpc.net
ｎ次行列値関数 A(t)、B(t) が、dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t) をみたすとき、
tr(A^k) はtに依らない定数であることを示せ。ただしkは自然数とする。
143:１３２人目の素数さん
18/08/11 17:35:46.41 4h9sumgz.net
>>138
B(t)は任意？ある？
144:１３２人目の素数さん
18/08/11 18:04:00.18 4h9sumgz.net
>>134
数値実験結果(赤玉３個、白玉０個から始めた場合の n :１００１～１０１０の E(Xn))。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
1001 : 6.501239
1002 : 6.498761
1003 : 6.501239
1004 : 6.498761
1005 : 6.501239
1006 : 6.498761
1007 : 6.501239
1008 : 6.498761
1009 : 6.501239
1010 : 6.498761
145:１３２人目の素数さん
18/08/11 18:08:08.85 4h9sumgz.net
>>138
dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t)
の両辺のtraceをとって
d/dt trA(t) = tr (A(t)B(t)-B(t)A(t)) = 0。
146:１３２人目の素数さん
18/08/11 18:32:27.67 4h9sumgz.net
>>140
訂正。
これは玉の総数の期待値。つまりE(赤玉の個数+X_n)でした。
147:１３２人目の素数さん
18/08/12 01:40:01.12 QnRFj99l.net
>>138
dA(t)/dt = A(t)B(t) - B(t)A(t),
d/dt {A(t)^k} = Σ[j=1,k] A(t)^(j-1) {A(t)B(t) - B(t)A(t)} A(t)^(k-j)
= Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
= A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
∴ 任意の多項式 P(x) について
d/dt P(A(t)) = P(A(t))B(t) - B(t)P(A(t)),
∴ tr{P(A(t))} は一定。
148:１３２人目の素数さん
18/08/12 08:52:36.66 QnRFj99l.net
〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。
[前スレ.670，680+684+717]
149:１３２人目の素数さん
18/08/12 08:57:27.11 QnRFj99l.net
>>144
[a+b] = [a] + [b] + [{a}+{b}] ≧ [a] + [b],
j≧2 のとき
S_j = (j-1)･[jx] - 2Σ(k=1,j-1) [kx]
= Σ(k=1,j-1) ( [jx] - [kx] - [(j-k)x] )
≧ 0,
f(x) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k
= Σ(j=2,n-1) (1/j - 1/(j+1))･S_j + (1/n)･S_n
≧ 0,
150:１３２人目の素数さん
18/08/12 12:14:49.53 H5+qPAxA.net
g:ℤ →ℤとして,
∀n; g(g(g(g(n))))=2n
を満足するg(n)を挙げよ.
gは一意的だろうか.
151:１３２人目の素数さん
18/08/12 12:53:01.66 62kxiEQs.net
>>142
赤玉10個、白玉90個で始めた時のシミュレーション
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
Rのコードはここ
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:341番)
152:１３２人目の素数さん
18/08/12 13:23:29.73 ns/pkk0J.net
f=gg
ffn=2n
f2n=fffn=2fn
f(2n+1)を任意に選ぶと
f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
gg2^k(2n+1)=2^kgg(2n+1)
153:１３２人目の素数さん
18/08/12 13:23:48.26 wMzivoP7.net
>>146
奇素数pを任意に固定する。
f(0)=0 とし、 0 でない整数 n = m･p^k (mはpと互いに素な整数) に対して f(n) の値を
2n/(p^3) (kが4で割って3余る時)
pn (それ以外)
と定めれば、f は満たすべき性質を満たす。
また、奇素数 p は任意であったから、一意的ではない。
154:１３２人目の素数さん
18/08/12 14:29:19.77 FG0t7/CX.net
>>146
Sを1と素数の集合し、S=∪Tiを4元ずつのdisjoint unionとする。T={a,b,c,d}をそのうちの一つとして
f(a2^i)=b2^i、f(b2^i)=c2^i、f(c2^i)=d2^i、f(d2^i)=a2^(I+1)、f(0)=0
とすれば良い。
155:１３２人目の素数さん
18/08/12 14:32:38.92 FG0t7/CX.net
>>150
Sは奇数の集合に訂正。
156:１３２人目の素数さん
18/08/12 14:52:42.72 qFRdnMrB.net
はい
157:１３２人目の素数さん
18/08/12 14:59:45.25 YC87Rpxe.net
0337 卵の名無しさん 2018/08/12 08:03:01
数学板にあった問題をこのスレの趣旨に合わせて改変。
あるド底辺シリツ医に
学力考査で入学した学生（学力学生）と任意の寄付や縁故による加点で入学した学生（裏口学生）がいるとする。
無作為に一人選んで調査して以下の「浄化操作」をする。
・調査対象の学生が裏口学生なら退学させる。
・調査対象の学力学生ならそのまま在籍させて裏口学生を一人追加入学させる。
この「浄化操作」を n 回行った後の裏口学生の人数を Un とする。
最初に学力学生１０人、裏口学生９０人がいるとしてn→∞としたときの Un の期待値を求めよ。
158:１３２人目の素数さん
18/08/12 17:15:22.96 Mmw0/nIQ.net
>>141
意味不明。
>>143
> = Σ[j=1,k] A(t)^j･B(t)･A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)･B(t)･A(t)^(k+1-j)
> = A(t)^k･B(t) - B(t)･A(t)^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。
159:１３２人目の素数さん
18/08/12 21:58:42.42 Trl31eBa.net
>>147
一瞬グラフみて「え？10.5近辺に収束するはずなんだけど」と思ってあせりました。
グラフ下の方切れてるんですね。
赤１０，白９０からスタートした場合のCでの数値実験。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
―
1001 : 10.500000
1002 : 10.500000
1003 : 10.500000
1004 : 10.500000
1005 : 10.500000
1006 : 10.500000
1007 : 10.500000
1008 : 10.500000
1009 : 10.500000
1010 : 10.500000
―
ちなみに収束してるようにみえますが±1/(2 exp 20)の幅で奇数項と偶数項で振動するはずです。
しかし奇数項＋偶数項は収束します。
収束性を仮定すると赤１０の場合なぜ奇数項＋偶数項が２１に収束するかは割と簡単に示せると思います。
160:１３２人目の素数さん
18/08/12 23:16:24.06 QnRFj99l.net
>>154 (下)
意味不明。
(t) を略して書くと、
= Σ[j=1,k] {A^j･B･A^(k-j) - A^(j-1)･B･A^(k+1-j)}
= {A^k･B - A^(k-1)･BA} + {A^(k-1)･BA - A^(k-2)･BAA} + ……
+ {AAB･A^(k-2) - AB･A^(k-1)} + {AB･A^(k-1) - B･A^k}
= A^k･B - B･A^k,
一般にA(t)とB(t)は可換でない。
161:１３２人目の素数さん
18/08/12 23:23:50.21 Trl31eBa.net
(1)
d/dt tr A(t) = tr d/dt A(t)
を示せ。
(2)
tr AB = tr BA
を示せ。
162:１３２人目の素数さん
18/08/13 00:04:58.21 hNu7S3fz.net
>>156
すまんこ。
>>157
うむ。
163:１３２人目の素数さん
18/08/13 00:47:12.62 AgeFDqH3.net
>>135
EXn+EXn+1は振動しない？
EX2n+E2n+1とかではなくて？
164:１３２人目の素数さん
18/08/13 01:00:51.11 UXlQxOKj.net
>>159
振動しません。
十分大きいｎでは
……x,y,x,y,x,y,x,y……
のような形になるので。
振動幅ごくわずかですけど。
もっというなら各 i に対し
lim P(X_{2n-1} = i)、lim P(X_{2n} = i)
はすべて収束します。
それを使えば >>135 の答えは割と簡単。
問題は収束性。
ネットで調べまくって、いや～偉い人は偉いなぁとしみじみ思いました。
165:１３２人目の素数さん
18/08/13 01:02:36.69 jcwA1+WY.net
行列の成分表示を使わない trace って、どう定義されるんだっけ？
つまり、-(固有値の総和）のことなんだけど、これを一次変換の変換の性質を表す言葉を使った定義。
166:１３２人目の素数さん
18/08/13 03:23:48.30 1N1Ao5YG.net
>>161
射影変換の場合はその階数だと思うけど…
一般の場合はどうするか？
167:１３２人目の素数さん
18/08/13 13:59:17.88 c6T1rAtc.net
数列{a[n]}は上に有界かつ単調増加である。
この数列の極限値をαとするとき、同じ極限値に収束する定数でない数列{b[n]}で、以下の性質を持つものを考える。
(A)ある自然数kが存在し、m>kであるすべての自然数mに対して、|b[m]-α| < |a[m]-α| が成り立つ。
(B)ある2次多項式f(x)が存在し（2次の係数は0でない）、b[n]=f(a[n])と表される。
（1）性質(A)を持つ{b(n)}が存在することを示せ。
（2）性質(A),(B)をいずれも持つような{b(n)}は存在するか。
168:１３２人目の素数さん
18/08/13 14:05:43.02 k1hBg8fv.net
>>155
これは lim[n→∞] E(Xn)のグラフ。
169:１３２人目の素数さん
18/08/13 14:12:33.40 yjNe5lz4.net
>>163
・f(α) = α
・a1≦x<αにおいてfは単調増加、x<f(x)<α
であるfをとれば良い。
170:１３２人目の素数さん
18/08/13 21:47:45.69 TJ5+5j7R.net
>>155
赤１０，白９０からスタートして
ｎ回試行後のXnの期待値X[n]は
X[0]=90
red=10
X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
で１０に収束するように思えるんだけど。
> Xn <- function(n,red=10,white=90){
+ X=numeric()
+ X[1]=white
+ for(i in 1:n){
+ X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
+ }
+ return(X[n+1])
+ }
> sapply(c(100,200,300,400,500),Xn)
[1] 24.22034 10.17547 10.00105 10.00001 10.00000
171:１３２人目の素数さん
18/08/13 23:36:19.35 AgeFDqH3.net
>>147
コード間違ってない？
172:１３２人目の素数さん
18/08/13 23:37:43.20 D4q3PiWE.net
>>166
その漸化式がおかしい。
X(0) = 90、X(1) = 992/10
までは正しくでるけどその漸化式では
X(2) = 54809 / 620。
でも正しくは
P(２回目で玉98個) = 89/110、
P(２回目で玉100個) = 2011/1111、
P(２回目で玉102個) = 1/101
なので
X(2) = 546621/5555。
173:１３２人目の素数さん
18/08/13 23:50:45.71 N5KGoV58.net
訂正
P(２回目で玉100個) = 2011/11110、
174:１３２人目の素数さん
18/08/14 01:46:43.87 Hv2DfroI.net
>>145
[nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k = Σ(j=2,n) c_j・S_j
とおく。c_2 ～ c_n は定数。
まず [nx] を含むのは S_n だけ。
1 - 1/n = (n-1)c_n,
c_n = 1/n,
次に [(n-1)x] を含むのは S_n と S_{n-1}.
-1/(n-1) = (n-2)c_{n-1} - 2c_n,
c_{n-1} = 1/(n-1) - 1/n,
さらに [jx] を含むのは S_n ～ S_j.
-1/j = (j-1)c_j - 2(c_{j+1} + … + c_n)
= (j-1)c_j - 2/(j+1),
c_j = 1/j - 1/(j+1), (2≦j<n)
175:１３２人目の素数さん
18/08/14 05:48:08.92 9Q8utBMl.net
>>148
>f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
ff(2n+1)=2(2n+1)
f(2n+1)=2^k(2m+1)とすると
ff(2n+1)=f2^k(2m+1)=2^kf(2m+1)=2(2n+1)より
k=1,f(2m+1)=2n+1
または
k=0,f(2m+1)=2(2n+1)
そこで
A={2m+1|f(2m+1)が奇数}
B={2n+1|f(2n+1)が奇数の2倍}
と定めるとABは可算集合ですべての奇数はどちらか一方のみに所属
逆に奇数をどちらも可算のA,Bに分けて
h:A→B:isoを任意に取り
2m+1∈Aに対してf(2m+1)=h(2m+1)=2n+1,f(2n+1)=2(2m+1)と定義し2べき倍に拡張すれば
fは所定の性質ffn=2nを持つ
しかし
gg(2n+1)=2(2m+1)
gg(2m+1)=2n+1
および
gg2n=2ggn
176:１３２人目の素数さん
18/08/14 07:10:34.74 IA4dHF2A.net
>>168
ご指摘通り、
２回めが赤でも
１回めが赤で２回めが赤の場合と
１回めが白で２回めが赤の場合で
期待値は異なりますね
御助言ありがとうございました。
177:１３２人目の素数さん
18/08/14 11:13:55.13 2ZjKXoLF.net
札幌ひばりが丘病院を麻薬取締法違反で書類送検
URLﾘﾝｸ(www.dailymotion.com)
178:１３２人目の素数さん
18/08/14 12:39:36.37 1M/cP5sU.net
>>168
X（n)は球の総数として
P(２回目で玉100個) になるのは99→100の場合と101→100の場合があって
前者は90/100*10/99、後者は10/100*91/101で異なりますね。
御指摘に従ってコードを書き直しました。
X <- function(n,red=10,white=90){
rw=red+white
p=list()
total=list()
total[[1]]=c(rw-1,rw+1)
p[[1]]=c(white/rw,red/rw)
if(n > 1){
for(i in 1:n){
total[[i+1]]=c(total[[i]]-1,total[[i]]+1)
p[[i+1]]=c(p[[i]]*(total[[i]]-red)/total[[i]], p[[i]]*red/total[[i]])
179:r> } } return(sum(p[[n]]*total[[n]])) } 計算結果は合致しました。 > X(2) [1] 98.40162 > 546621/5555 [1] 98.40162 プログラムとしては間違っていないと思うのですが、メモリー不足になって実用性はありませんでした。
180:１３２人目の素数さん
18/08/14 22:12:20.44 AsxK2Ejm.net
f:R^2→R が原点で連続ならば
lim(x→0)lim(y→0)f(x,y)=lim(y→0)lim(x→0)f(x,y)
は成り立つか？
181:１３２人目の素数さん
18/08/14 22:15:51.04 1M/cP5sU.net
>>140
省エネ化してRに移植
# 確率を行列化
rm(list=ls())
X = function(n,r=10,w=90){
# s[i,j]
rw=r+w # 試行前総玉数
J=rw+n # jの上限
s=matrix(0,nrow=n,ncol=J) # i回試行後に総数がj個である確率の行列
s[1,rw-1]=w/rw ; s[1,rw+1]=r/rw # 1回試行後
if(n > 1){
for(i in 2:n){
for(j in r:J){ # jはr未満にはならない
# if(j==1) s[i,j] = s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
if(j==J) s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1)
else s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1) + s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
}
}
}
total=sum((r:J)*s[n,r:J])
white=total-r
return(c(total=total,white=white))
}
X(2)
546621/5555
vX=Vectorize(X)
vX(1000:1010)
> vX=Vectorize(X)
> vX(1000:1010)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
total 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5
white 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5
182:１３２人目の素数さん
18/08/14 23:48:12.60 rkGL5Dow.net
>>175
例えば f(x,y) の値を
|x| (x,yがどちらか一方のみが有理数の時)
0 (それ以外の時)
と定めればfは原点で連続であるが、x≠0 の時に lim(y→0)f(x,y) は定義されないため、二行目の等式が成り立つことはない。
183:１３２人目の素数さん
18/08/15 06:08:02.10 S7PPEbKD.net
{n}=1111...111と定義する（nは自然数であり、10進法表記したときに1がn個並んでいる）。
（1）{n}=3^a（aは自然数）となることはあるか。
さらに、自然数kおよび非負整数mに対し、以下の等式を満たす非負整数a及び整数b（bは1または2である）がただ1つに定まるとき、a,bを決定せよ。
ただ1つに定まらない場合はaの最大値を述べよ。
ただしaは非負であり、bは1または2とする。
（A）{3k}=(3^a)*(3m+b)
（B）{3(k+1)}=(3^a)*(3m+b)
（C）{3(k+2)}=(3^a)*(3m+b)
184:１３２人目の素数さん
18/08/15 08:52:04.11 6OEqz/R6.net
>>167
１０００～１０１０回試行をそれぞれ１００回繰り返して平均をだすシミュレーション結果で１０．５近辺で振動したから
シミュレーションのコードは正しいと思う。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
185:１３２人目の素数さん
18/08/15 10:13:13.78 HKfY+w2Q.net
>>150-151 で
奇数m、(m,p)=1、非負整数j≧0 に対し
T_(m,j) = {m･p^(4j)，m･p^(4j+1)，m･p^(4j+2)，m･p^(4j+3)} = {a，b，c，d}
としたものが >>149
186:１３２人目の素数さん
18/08/15 12:30:17.95 p/Nzh/yc.net
>>140
精度上げて計算。
赤１０，白９０スタート。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573
1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708
1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163
1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060
1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141
1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428
1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812
1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864
1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221
1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700
187:１３２人目の素数さん
18/08/15 16:32:11.26 6OEqz/R6.net
>>176
Rは１６桁が限度
> print(data.frame(total),digits=16)
total
1001 20.50000000103054
1002 20.49999999896938
1003 20.50000000103054
1004 20.49999999896938
1005 20.50000000103054
1006 20.49999999896938
1007 20.50000000103054
1008 20.49999999896938
1009 20.50000000103054
1010 20.49999999896938
188:１３２人目の素数さん
18/08/16 12:47:10.18 vdt1qXMY.net
丁度4個の元から成る, 乗法単位元を持つ可換とも限らない環R=({0,1,x,y},+,×)の演算表を以下に4つ作った.
但し, (1)~(4)で定義される環は互いに同型でないとし, 加法単位元を0, 乗法単位元を1と書いた.
表の残りを埋め, (1)~(4)の環構造を決定せよ.
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
189:１３２人目の素数さん
18/08/16 13:08:49.86 GB9705T4.net
>>183
4元からなる代数をRとしてk={1,1+1,…}のなす環はZ/2Z、Z/4Zのいずれか。
後者のときはR=Z/4Z。
kが2元体のときt∈R＼kをとってR=k[t]はk上の2次元の代数で可換。
Rが零因子を持たないときはRは4元体。
Rが冪零根基をもつときはRはk[x]/(x^2)、持たないときはkΠk。
(2)はkが2元体でないのでZ/4Z。
(4)は残り３つのうちy^2=yがkの元でない解をもつのでkΠk。
(3)は残り２つのうちx^2がkの元でないのでF4。
(1)は残りのひとつk[x]/(x^2)。
190:１３２人目の素数さん
18/08/16 20:15:06.84 j+ZMiWwO.net
整数から複素数への写像 f であって、次を満たすものはいくつ存在するか：
任意の整数 x, y について f(xy+1) = f(x+y) + f(x)f(y) が成り立つ。
191:高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」
18/08/16 21:18:08.93 dZ5ratnn.net
高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
192:１３２人目の素数さん
18/08/17 12:30:16.29 5QyvDwxU.net
>>185
f(x) = 0, x-1, xx-1,
3つ以上
193:１３２人目の素数さん
18/08/17 13:18:28.99 PyFaMZsM.net
誰か>>178を解いてほしい
194:１３２人目の素数さん
18/08/17 14:18:20.52 5QyvDwxU.net
>>178
(1)
{n} = (10^n - 1)/9,
(解1)
nの素因数をpとすると
{p} | {n}
p=2 のとき
{p} = 11、{n}は11の倍数。
p=3 のとき
{p} = 111 = 3･37、{n}は37の倍数。
p>3 のとき
{p} = Σ[k=0,p-1] 10^k ≡ Σ[k=0,p-1] 1 = p ≠ 0 (mod 3)
∴ 3以外の素因数をもつ。
(解2)
題意より
10^n - 3^(a+2) = 1
n=1 のとき
a=0 となり不適。
n≧2 のとき
カタラン予想（ミハイレスクの定理）により、等式は成り立たない。
195:１３２人目の素数さん
18/08/17 15:17:34.90 wEIB7UVm.net
>>187
x^2-1 いけてる？
196:１３２人目の素数さん
18/08/18 02:22:32.06 nZNQvP8k.net
2直線l,mに対してsl+tmで表される直線は確かにl,mの交点を通る直線だが、逆にl,mの交点を通る直線は全て上の形で表されることを初等的に示せ。
(集合っぽくで書けば{sl+tm|s,t:実数}⊂{l,mの交点を通る直線全体}は成り立つが逆向きの包含関係は成り立つことを示せ。)
197:１３２人目の素数さん
18/08/18 02:24:49.62 nZNQvP8k.net
例えば:
2直線l,mの交点をPとし、各々の方向ベクトルをa,bとする。Pを通る任意の直線l'に対し、l,mは一点で交わるのでa,bは一次独立。l'の方向ベクトルcに対しある実数s,tが存在しc=sa+tbと表せる。このs,tに対しsl+tmで表せる直線を考えればこれはl'と一致している。
初等的とは、高校レベルです
Hilbertの零点定理などはやめてください。
背景としては、2直線の交点を通る任意の直線は2直線の(陰関数表示の)実数倍の和で表せる、みたいなことを使った問題を見ました。(つまり逆を使ってる)これって初等的に簡単に示せるのか？というものです
方向ベクトル使うのは良さそうですが、さすがにこれだけだと方向ベクトルの線型結合であって多項式の線型結合ではないけど続ければいけるかな。
198:１３２人目の素数さん
18/08/18 02:44:24.89 +MatSxby.net
0,1,2から無作為に1つの数字を選び、それを左から順に並べたものをa[1],a[2],...,a[n]とする。
このとき、1の位が0で、小数点以下第1位から順にこれらの数を並べ実数
0.a[1]a[2]a[3]...
を作る。このとき以下の確率を求めよ。
P( 1/9 < lim[n→∞] 0.a[1]a[2]a[3]... a[n] < 11/54)
199:１３２人目の素数さん
18/08/18 03:00:01.61 ysEwLX7s.net
ｆ（ａ，ｂ）ｇ（ｘ，ｙ）－ｇ（ａ，ｂ）ｆ（ｘ，ｙ）＝０は（ａ，ｂ）を通る。
200:１３２人目の素数さん
18/08/18 11:30:05.03 nZNQvP8k.net
>>194
逆に...
201:１３２人目の素数さん
18/08/18 12:15:57.37 fvuJFh35.net
続けたまえ
202:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:11:28.62 cjiOCrrL.net
2018×2019×2020×2021+aが平方数となるような最小の自然数aを求めよ
203:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:37:29.17 6ZaBdHKO.net
>>197
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(nn+3n+1)^2
204:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:42:58.22 l/WFHu05.net
>>192
簡単なことをある一定レベルの表記で書けと言う問題は
数学じゃないよ
205:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:45:27.02 l/WFHu05.net
>>198
必要性は簡単だから略？
206:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:45:55.21 l/WFHu05.net
>>198
必要性は簡単だから略？
207:１３２人目の素数さん
18/08/18 18:57:27.70 ZLWLnWSx.net
a=1より小さい自然数はないだろ
208:１３２人目の素数さん
18/08/18 19:13:11.29 CzAEbVuC.net
いいかげん自然数という用語を廃止した方が良いと思う
209:イナ
18/08/18 20:25:38.66 8YqiT/8g.net
>>197
平成31年て四か月だけあるのかな？
2018×2019×2020×2021+a=(2019-1)×2019×2020×(2020+1)+a
=(2019^2-2019)×(2020^2+2020)+a
=(2019×2020)^2-2020･2019･2020+2019･2019･2020-2019･2020+a
=(2019×2020)^2-2･2019･2020+a
a=2･2019･2020
=8076000+80760
=8156760
210:１３２人目の素数さん
18/08/18 20:37:09.89 71FfZJbC.net
>>204
なんで既に答えが出てる問題のしかも間違って答えわざわざのせるん？
211:イナ
18/08/18 21:37:17.38 8YqiT/8g.net
前>>204
2018×2019×2020×2021+a=2018×(2018+1)×(2018+2)×(2018+3)+a
=(2018^2+3･2018)(2018^2+3･2018+2)+a
=(2018^2+3･2018+b)^2
(2+9)2018^2+6･2018+a=(2b+9)2018^2+6b･2018+b^2
b=1
∴a=b^2=1
あってるような。違うかも。
212:１３２人目の素数さん
18/08/18 21:50:37.26 3x7t6dEc.net
非負整数・正整数でいいよね
213:１３２人目の素数さん
18/08/18 22:16:08.97 fh2fHZ6e.net
>>185の答え：7つ。
f(xy+1) = f(x+y) + f(x)f(y) …[0]
x=y=1 とすれば f(1)=0.
x=y=0 とすれば f(0)=0,-1.
f(0)=0 の場合、[0]において y=0 とすれば f(x)=0 が導けるので、以降 f(0)=-1 と仮定する。
y=-1 とすると、 f(-x+1) = f(x-1) + f(x)f(-1). …[1]
この x を 2-x に置き換えれば
f(x-1) = f(1-x) + f(2-x)f(-1).
足しあわせて
f(-1)(f(x)+f(2-x))=0.
(i) f(-1)≠0 の時
f(x)+f(2-x)=0. (特に、f(2)=1.)
これと [1] より f(x+1) + f(-1)f(x) + f(x-1) = 0.
これは三項間漸化式であり、f(0)=-1, f(1)=0 は決定されているので、関数fはf(-1)=:aの値で全て決まる。漸化式より、 f(-2) = 1 - a^2,
f(-3) = a^3 - 2a.
[0] で x=2, y=-2 とすれば、 f(-3) = -1 + f(-2) となるので、
a^3 + a^2 - 2a = 0.
a≠0 より、 a=1,-2.
これに対応するfはそれぞれ
f(x)=(xmod3)-1, (ただしxmod3はxを3で割った余り。以降同様)
f(x)=x-1
となるが、このどちらも[0]を満たす。
(ii)f(-1)=0 の時
[1]よりfは偶関数となるので、
f(m)= f(2m-3) - f(m-2)f(2) ([0]において x=m-2, y=2)
= f(-2m+3) - f(m-2)f(2)
= f(m-3) + f(m-1)f(2) - f(m-2)f(2). (x=m-1, y=-2)
これは四項間漸化式であり、 f(-1)=f(1)=0, f(0)=-1 は全て決定されているので、関数fはf(2)=:bの値で全て決まる。
漸化式よりf(3) = b^2 - 1,
f(4) = b^3 - b^2 - b,
f(5) = b^4 - 2b^3 - b^2 + 2b.
また、[0]でx=y=2を代入すると f(5)=f(4)+b^2 となるから、bについて解くと b=3,1,0,-1 となる。これに対応するfはそれぞれ
f(x)=x^2-1,
f(x)=-cos(πx/2),
f(x)=(x^2 mod3)-1,
f(x)=(xmod2)-1
となり、このいずれも[0]を満たす。
以上より、求めるfの個数は７つである。
214:１３２人目の素数さん
18/08/18 22:48:16.80 Kb8WtIjW.net
>>208
出題者ですか？出展は何？
215:１３２人目の素数さん
18/08/18 23:33:37.30 fh2fHZ6e.net
>>209
そうです、ごめんなさいオリジナルなんです
最近数オリとかの関数方程式にはまってて自分も何か作ってみようかと思って色々いじってたら、
整数値しかとれない制約をつけた時に思いの外難易度が上がったので、試しにと思いついた二乗関連の恒等式から１つ作ってみたものです
216:１３２人目の素数さん
18/08/18 23:46:58.33 O00DZNcd.net
>>210
おお、まじっすか？すばらしい！
217:１３２人目の素数さん
18/08/19 01:07:42.09 zWYbH0EH.net
問題をコピペしてくるしか能が無い出題者は悔い改めて（クソデカブーメラン）
218:１３２人目の素数さん
18/08/19 04:25:51.57 39kF/huC.net
連続した2018個の正整数の和�
219:ﾆして表され、かつ連続した2018個の正整数の積としても表される整数は存在するか。
220:イナ
18/08/19 05:10:40.08 WM7DpM9S.net
>>213存在しないんじゃないの。前>>206
和より積のほうが圧倒的に大きい。
1+2+3+……+2018=2019×1009=2019000+18171=2037171＜1000･1001･1002＜1･2･3･……･2018
2+3+……+2018+2019=2021×1009=2021000+18189=2039189＜1001･1002･1003＜2･3･……･2019
和より積のほうが圧倒的に大きい。宇宙のように膨張する。
221:１３２人目の素数さん
18/08/19 05:29:40.82 oIedIwUK.net
>>203
自然数という用語が問題なのではなく、平然と拡大解釈(誤用)して改めない人たちが問題では？（特に一部の某基礎論…）
>>207
それで用は足りますね。
>>213
連続した2018個の正整数の和は、1009個の奇数を含むから、奇数。
連続した2018個の正整数の積は偶数。
222:１３２人目の素数さん
18/08/19 20:59:34.95 39kF/huC.net
空間において次の不等式を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。
8≦(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦125
223:イナ
18/08/20 01:27:50.42 dUJyFYYV.net
>>216
0≦x、0≦y、0≦zの領域の体積を８倍する。
キッチンのコーナーからゴキブリが顔を出すぐらいのスペースをあけてモルタルを満遍なくなめらかに塗るか蜘蛛の巣を張るイメージ。
y=0のとき、
(7-x^2)/(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+x^2)
x軸、y軸、z軸近辺は、√7から2√31の領域が題意を満たす。
点(1,1,1)と点(2,2,2)のあいだの領域が題意を満たす。
y=tのとき、
(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)
今0≦zなので、
√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}≦z≦√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
lim(t=0→∞)Σ(x=0~∞)√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}-√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
パス。
224:１３２人目の素数さん
18/08/20 02:38:11.43 aqIyIh2S.net
>>218
K(a) = {(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦a}、R(a,t) = K(a) ∩ {z=t}
とおく。
Area of R(a,t)
= Area of {(1+x^2)(1+y^2) ≦ a/(1+t^2)}
= Area of {1+r^2 + (1/4)r^2sin 2θ ≦ a/(1+t^2)}
= (a/(1+t^2) - 1)/2∫[θ]1/(1+(1/4)sin2θ)dθ
= 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5
∴ Vokume of V(a) = 2∫[0,√(a-1)] 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5 dt = …
∴ V(125) - V(8) = …
225:１３２人目の素数さん
18/08/20 03:15:39.45 aqIyIh2S.net
>>218
撤回
226:１３２人目の素数さん
18/08/20 03:16:11.73 OYtnOW7S.net
>>214
2組の「連続した2018個の正整数」が同じとは限らないよ。
>>218
(1+xｘ)(1+yｙ)
= 1 + rr + (xy)^2
= 1 + rr + {(1/2)ｒr sin(2θ)}^2
= 1 + rr + (1/8)ｒ＾４ {1-cos(4θ)},
227:１３２人目の素数さん
18/08/20 03:29:02.87 OYtnOW7S.net
>>198
n(n+3) = (nn+3n+1) - 1,
(n+1)(n+2) = (nn+3n+1) + 1,
辺々掛ける
>>220 下
撤回
228:１３２人目の素数さん
18/08/20 03:45:58.06 OYtnOW7S.net
>>208 >>210
7つとも実の整数解。（とくに周期解は {-1,0,1}のどれか）
複素数を持ち出す理由ないんぢゃね？
229:１３２人目の素数さん
18/08/20 10:54:33.09 7T0qfw2z.net
>>194
今回はl,mの交点Pを通る任意の直線がlとmの定数倍の和で表せる事を示したいです。つまりPを通る任意の直線l'に対してある実数s,tが存在してl'=sl+tmとなる事を示せば良いです。
なのでまずPを通る任意の直線l'を一つとってきてl'=sl+tmを満たす実数s,tの存在を示す…というのがオーソドックスな解法だと私は思いました
230:１３２人目の素数さん
18/08/20 12:03:22.68 OYtnOW7S.net
>>218
a/(1+tt) = 1+1/kk (k>0) とおくと
Area of R(a,t)
= Area of {(1+xx)(1+yy) ≦ 1+1/kk }
= 4∫[0,1/k] √{(1+1/kk)/(1+xx) - 1} dx
= -i(4/k) Ｅ(i･arcsinh(1/k) ； -kk)
= -i(4/k) Ｅ(i･log[1/k + √(1+1/kk)] ； -kk)
= ?
ここに
Ｅ(φ ； kk) = �
231:躰0，φ] √{1 - kk･(sinθ)^2} dθ は第二種の楕円積分 Ｅ(iφ ； -kk) = i∫[0，φ] √{1 + kk･(sin(iθ))^2} dθ = i∫[0，φ] √{1 - kk･(sinhθ)^2} dθ
232:１３２人目の素数さん
18/08/20 13:42:10.32 OYtnOW7S.net
>>216 の近似値
V(125) = 479.6672
V(8) = 33.6566
V(125) - V(8) = 446.0106
233:１３２人目の素数さん
18/08/20 15:24:12.58 SNrKAAqU.net
>>223
まず、等式 l'=sl+tm が何を表す式なのかをはっきりさせないと、誰も答えてくれないだろう。
234:１３２人目の素数さん
18/08/20 16:30:56.17 +/IVnl4B.net
（1）{}内はある無限小数において循環する部分を表す。0.{14159}を互いに素な正整数p,qを用いてq/pの形で表せ。
またその場合のpの桁数Nを求めよ。
（2）分母がN桁の整数である既約分数全体の集合をSとする。Sの要素で|3+r-π|を最小にする有理数rは（1）のq/pかどうか判定せよ。π=3.14159265358979...は既知としてよい。
235:１３２人目の素数さん
18/08/20 19:03:03.28 +ygP34AP.net
Prelude Data.Ratio> (atan 1)*4 - (fromRational $ 208341 % 66317)
1.2235634727630895e-10
236:１３２人目の素数さん
18/08/21 01:28:29.64 oZoclI/8.net
>>227
(1) p=99999，q=14159，N=5
(2) 3+(q/p)-π= -1.237675634×10^(-6)
237:１３２人目の素数さん
18/08/21 11:41:48.66 eP1ELGdp.net
行列の指数関数に対して、以下は成り立つか？成り立たないなら反例を挙げよ。
(1) e^A e^B = e^B e^A ならば、AB = BA.
(2) e^A e^B = e^B e^A ならば、e^(A+B) = e^A e^B.
238:１３２人目の素数さん
18/08/21 12:21:53.39 0VsK5pzR.net
0.1415926535…を連分数展開すると
[0;7,15,1,292,1,1,1,2,…]
深いところで打ち切るほど、より近似的な規約分数を与える
[0;7,15,1]=16/113=0.1415929…
[0;7,15,1,292]=4687/33102=0.1415926530…
[0;7,15,1,292,1]=4703/33215=0.1415926539…
[0;7,15,1,292,1,1]=9390/66317=0.1415926534…
[0;7,15,1,292,1,1,1]=14093/99532=0.1415926536…
[0;7,15,1,292,1,1,1,2]=37576/265381=0.141592653581…
特に|3+14093/99532-π|=2.9…*10^-11
239:１３２人目の素数さん
18/08/21 14:51:01.42 +o5+r4Be.net
>>231
素晴らしい解答です。14159/99999から平均を使って一回だけ近似する方法を考えていましたが、鮮やかです。
240:１３２人目の素数さん
18/08/22 13:11:26.71 NfyFbR8Y.net
3 + 14159/99999 - π = -1.23767563409687122747・10^(-6) >>229
3 + 9390/66317 - π = -1.22356532942188597930・10^(-10) >>228
3 + 14093/99532 - π = 2.91433849348569181311・10^(-11) >>231
241:１３２人目の素数さん
18/08/23 06:05:47.86 3pYC65Id.net
円周率の近似値として355/113より誤差が小さい分数の中で、最も分母が小さいものは何か？
242:１３２人目の素数さん
18/08/23 06:22:20.29 ikVvtxLl.net
*Main> sort [(b,a,abs $ pi - a/b) | a<-[1..400],b<-[1..113],(abs $ pi-a/b) <= (abs $ pi - 355/113)]
[(113.0,355.0,2.667641894049666e-7)]
243:１３２人目の素数さん
18/08/23 14:25:52.00 lIscp1NC.net
3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)
3 + 4495/31746 - π = -1.1997151645821・10^(-8)
3 + 4703/33215 -π = 3.3162780624607・10^(-10)
244:１３２人目の素数さん
18/08/23 15:01:28.60 3pYC65Id.net
>>236
99733/31746 ではありません
245:。
246:イナ
18/08/23 15:58:03.67 bAKOXdaJ.net
34906588/11111111
247:イナ
18/08/23 16:10:46.77 bAKOXdaJ.net
34906585/11111111
≒3.14159268
π≒3.14159265
前>>238
248:１３２人目の素数さん
18/08/23 19:25:50.18 IjH3B28L.net
! Fortran 95
program pi
implicit none
integer :: p,q
real(8) :: a,b,r,s
a=dacos(-1D0)
b=dabs(a-355D0/113D0)
do p=1,40000
do q=1,p
r=3D0+dble(q)/dble(p)
s=dabs(a-r)
if (s<b) then
write(*,*) 3*p+q,"/",p,"=",r,s
stop
end if
end do
end do
stop
end program pi
249:出力
18/08/23 19:26:25.55 IjH3B28L.net
52163 / 16604 = 3.1415923873765359 2.6621325721620792E-007
250:１３２人目の素数さん
18/08/23 19:43:37.30 3pYC65Id.net
>>241
正解
分母がkの分数で、値がπに最も近いものは、[kπ]/k か [kπ+1]/k のどちらか。([x]はガウス記号)
kを1から変化させながら、この近似分数を発生させ、誤差を計る。
最小誤差が更新したときに、出力するようにしたのが、次のプログラム。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
出力結果から分かるように、 52163/16604 が答。
355/113 が桁数のわりに異常に精度が高いことが確認できると思う。
251:１３２人目の素数さん
18/08/23 20:39:33.38 CCij6LL+.net
>>234
2π-355/113から355/113の間にある分数を虱潰しに探させて最初に見つかった分数を出してみた。
options(digits=16)
a=355
b=113
(U=a/b) # 3.141592 92
(L=2*pi-a/b) # 3.141592 39
f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}
n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n
> cat(f(n),'/',n,'\n')
52163 / 16604
> f(n)/n
[1] 3.141592387376536
252:１３２人目の素数さん
18/08/23 22:55:30.81 lIscp1NC.net
3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)
3 + 2351/16604 - π = -2.6621325746395047764・10^(-7)
相加平均すると
3 + 531327/(2･113･16604) - π = 2.75465799235917364424・10^(-10)
253:１３２人目の素数さん
18/08/24 07:50:15.84 EcIJMm6h.net
>>242
正解の出し方ありがとうございました。
Rにはガウス記号にあたるfloorという関数があるのでこれでやってみました。
a=355
b=113
f <- function(k){
dk=abs(floor(k*pi)/k-pi)
dk1=abs(floor(k*pi+1)/k-pi)
min(dk,dk1)
}
d=abs(a/b-pi)
k=1
while(f(k)>=d){
if(f(k)<d) break
k=k+1
}
k
> k
[1] 16604
虱潰しと違って瞬時に答がでました。
254:１３２人目の素数さん
18/08/24 09:00:39.75 6iqaLKp5.net
問題読み間違えた orz
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
main = do
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ floor $ y*pi, x/y > 2*pi -355/113]
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ ceiling $ y*pi, x/y < 355/113]
(16604,52163.0,16604.0)
(33215,104348.0,33215.0)
255:１３２人目の素数さん
18/08/24 12:25:56.70 EcIJMm6h.net
>>242
[kπ-1]/k は 考えなくていい？
256:１３２人目の素数さん
18/08/24 15:30:38.06 hamen4ff.net
二項係数 nCr を C[n,r] で表すとき、
Σ[k=0 to 2n] C[2(n-k),n-k]*C[2k,k] = 4^n を証明せよ。
257:１３２人目の素数さん
18/08/24 16:23:36.35 3NPIIstV.net
f(x)=1/√(1-x)を二項展開してf(x)^2=1/(1-x)の
258:係数比較。
259:１３２人目の素数さん
18/08/24 16:46:34.01 hamen4ff.net
>>248
Lv.1：計算で証明
Lv.2：組合せの考え方で証明
260:１３２人目の素数さん
18/08/24 17:17:37.52 ka/vB1OM.net
>>247
kπ に一番近い整数を求めたい訳ですが、数直線上に kπ を印し、そこから左に進んで
最初に見つかる整数か、そこから、右に進んで最初に見つかる整数 のどちらかです。
ガウス記号を使うと、前者は、[kπ]で表せるし、後者は、[kπ+1]です。
切り捨て関数といえるガウス記号を使う限りでは、[kπ-1]は考慮する必要がありません。
もし、ガウス記号ではなく、四捨五入関数を使うのであれば、それに放り込んだものが、最も近い整数だし、
切り上げ関数Ceil()を使うのであれば、Ceil(kπ)か、Ceil(kπ-1)のどちらかということになります。
>>243
アイデアを拝借して、プログラムを組んでみました。
分数の目標となる範囲をあらかじめ設定し、仮に設定した分数の値が大きすぎれば、分母を大きくし、
小さすぎれば、分子を大きくし、．．．を繰り返し、範囲に収まる分数を探すという方法です。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
242の方法は、分母 n までチェックする場合、2n の候補を調べていましたが、
この方法は、あと、もう一工夫入れることで、(3/2)n 位の候補のチェックで済みそうで、
よりよいアルゴリズムだと思います。
261:１３２人目の素数さん
18/08/24 18:32:28.24 EcIJMm6h.net
>>251
初歩的な質問にご丁寧に解説いただいてありがとうございました。
262:１３２人目の素数さん
18/08/24 20:00:04.56 3MU6nkA5.net
floor(x+1/2).
263:１３２人目の素数さん
18/08/25 00:08:37.01 sHlKLTqi.net
Haskell、テメーはダメだ
264:１３２人目の素数さん
18/08/25 05:19:28.97 FnMpTv1D.net
>>251
虱潰し解の過程でに少数表示から分数表示に変換するスクリプトを書いてみた。
LU2fra <- function(L,U){
f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}
n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n
}
dec2fra <- function(digit,precision=1e-3){
L=digit*(1-precision)
U=digit*(1+precision)
LU2fra(L,U)
}
走らせてみた。
> dec2fra(0.3333)
1 / 3
[1] 0.333333333
> dec2fra(0.1538)
2 / 13
[1] 0.153846154
> dec2fra(0.2040)
10 / 49
[1] 0.204081633
> dec2fra(pi,1e-5)
355 / 113
[1] 3.14159292
そこそこ使える。
265:１３２人目の素数さん
18/08/25 20:13:13.75 uRy96NNz.net
等面四面体の切断面の面積をできる限り手間なく求める方法はないでしょうか。
直方体に埋め込んでもかなりの計算量で困っています。
266:１３２人目の素数さん
18/08/25 20:27:41.39 0HaUtabE.net
>>256
埋め込んで座標設定しても計算が面倒というなら統一的なうまい方法はないんじゃね
267:１３２人目の素数さん
18/08/25 22:49:26.02 B7knys1/.net
当面はない。
268:１３２人目の素数さん
18/08/26 07:04:18.35 bVDU8wDx.net
>>256
三点の座標を入力したら三角形の面積を計算するプログラム組めばいんじゃない？
269:１３２人目の素数さん
18/08/26 07:14:03.46 bVDU8wDx.net
Rで書くとこんな感じ
area3 <- function(A,B,C){
a=sqrt(sum((B-C)^2))
b=sqrt(sum((C-A)^2))
c=sqrt(sum((A-B)^2))
s=(a+b+c)/2
return(sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)))
}
270:１３２人目の素数さん
18/08/27 18:43:17.97 Nbp1l6GT.net
いい加減飽きたわ
271:１３２人目の素数さん
18/08/27 19:08:54.16 asrRAOhi.net
2以上の自然数nに対して、
1+2^(1/2)+3^(1/3)+...+n^(1/n)
は無理数であることを証明せよ
272:１３２人目の素数さん
18/08/27 19:33:24.86 ixJjBx0X.net
>>262
チェビシェフの定理からn
273:/2 より大きく、n以外である素数pがとれる。 KをQにi^(1/i)(1 ≦i≦ n 、i ≠p)を添加して得られる体のガロア閉包、MをQにp^(1/p)を加えたガロア閉包、L=KMとするとGal(K/Q)の位数はpを割らないのでp^(1/p)はKにはふくまれない。 ここで tr[L/M](2^(1/2)+‥n^(1/n) はp^(1/p)[L:K] であるから主張は示された。
274:１３２人目の素数さん
18/08/27 19:56:02.46 5a+trmgU.net
>>263
最後の７文字だけ理解できた。
275:１３２人目の素数さん
18/08/28 00:11:59.49 D6LFOWaI.net
>>216 >>218 >>225
Wolfram先生に訊きました。
K(a) = { (x,y,z) | (xx+1)(yy+1)(zz+1)≦a},
V(a) = 8∫[0，√(a-1)]∫[0，√(a-1)] √{[ a/(xx+1)(yy+1) - 1]/2 + | a/(xx+1)(yy+1) - 1 |/2} dx dy,
V(125) = 479.663
V(8) = 33.657
辺々引いて
V(125) - V(8) = 446.006
276:１３２人目の素数さん
18/08/29 03:22:32.89 gzTBhfMR.net
>>262
最小多項式は
P_1(x) = x -1,
P_2(x) = x^2 -2x -1,
P_3(x) = x^6 -6x^5 +9x^4 -2x^3 +9x^2 -60x +50,
P_n(x) = P(x-a) P(x-aω) P(x-aω^2) …… P(x-aω^{n-1}),
ただし P(x) = P_{n-1}(x), a=n^(1/n), ω = exp(2πi/n).
277:１３２人目の素数さん
18/08/29 04:08:39.23 SegNiKLu.net
空間の原点をO、点(10,0,0)をAとする。
Oからの距離が1以上2以下の点全体からなる領域をD、aを正の数としてAからの距離がa以上(a+1)以下の点全体からなる領域をD_aとおく。
DとD_aとの共通部分の体積が最大となるとき、[a]を求めよ。
ただし[x]でxを超えない最大の整数を表す。
278:１３２人目の素数さん
18/08/29 06:30:54.14 xUvDZPf/.net
共通部分はxy平面で切った図形の回転体だから、7≦a≦9と10≦a≦12の場合の面積（それぞれa=8,a=11で最大）を比較すればいいが
ちょっとめんどくさい
279:１３２人目の素数さん
18/08/29 08:40:23.79 gK8zj4a5.net
>>266
たとえばn=4のとき4^(1/4)=2^(1/2)になるから、それ一般にQ上規約にならんでしょ？
280:１３２人目の素数さん
18/08/29 18:15:10.16 BcwFyR33.net
>>267
(1,2)と(a,a+1)が一致するときじゃないのか？
281:１３２人目の素数さん
18/08/29 18:35:56.47 gzTBhfMR.net
>>267
O (0,0,0)
A (L,0,0)
Aからの距離がa以下、Oからの距離がb以下 である点全体からなる領域の体積をV(a,b) とする。
・a+b ≦ L のとき V(a,b) = 0
・|a-b| ≧ L のとき V(a,b) = (4π/3)･min{a,b}^3
・|a-b| ≦ L ≦ a+b （△条件）のとき
2球面の交差円を含む平面を x=c とすると
c = (LL-aa+bb)/2L,
L-c = (LL+aa-bb)/2L,
V(a,b) = (π/3)(2a+L-c)(a-L+c)^2 + (π/3)(2b+c)(b-c)^2
= (π/12L)(a+b-L)^2 {(a+b+L)^2 -4aa +4ab -4bb)}.
282:１３２人目の素数さん
18/08/29 23:24:13.11 gzTBhfMR.net
>>267
DとD_aとの共通部分の体積は V(a+1,2) - V(a,2) - V(a+1,1) + V(a,1)
283:１３２人目の素数さん
18/08/30 17:26:38.43 TXV3EdOO.net
質問スレの問題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:374番)
くじ引きと料金に関する質問です
1)30%で当たる１回300円のくじ引き
2)60%で当たる１回800円のくじ引き
くじ引きは毎回戻して同じ確率で引く
当たりは一度だけ引けば良い場合
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか？
を少し変えてみた。
くじ引きと料金に関する質問です
1)１００本中３０本当たりの１回1000円のくじ引き
2) ５０本中３０本当たりの１回2000円のくじ引き
くじ引きは戻さないで次のくじを引く
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか？