23/05/23 23:14:14.26 SCZtxDVB.net
必要性
和差積に関して閉じている
1014:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:16:45.38 SCZtxDVB.net
十分性
差∈A⇒Aは加法群Rの部分環
1015:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:17:54.29 SCZtxDVB.net
積∈A⇒Aは半群Rの部分半群
1016:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:18:28.07 SCZtxDVB.net
よってAはRの部分環
1017:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:19:07.14 SCZtxDVB.net
内部演算と外部演算
1018:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:26:00.64 SCZtxDVB.net
分配律はRで成立しているので
1019:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:26:58.13 SCZtxDVB.net
その部分集合Aでも当然成立する内部演算
1020:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:28:31.63 SCZtxDVB.net
aℤはℤの部分環
1021:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:29:50.37 SCZtxDVB.net
ax-ay=a(x-y)≡0
ax･ay=a²xy≡0
1022:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:31:29.24 SCZtxDVB.net
杯数全体の集合aℤ
1023:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:33:32.07 SCZtxDVB.net
剰余環ℤₘはℤの部分環ではない
1024:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:34:59.85 SCZtxDVB.net
ℤₘとℤでは演算が異なるから
1025:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:44:58.85 SCZtxDVB.net
整域Rの部分集合Aが部分整域になる
1026:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:45:36.62 SCZtxDVB.net
単位元eを持つこと
1027:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:50:58.96 SCZtxDVB.net
Rの単位元をa、Aの単位元をbとする
1028:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:53:26.55 SCZtxDVB.net
bb=b
aa=a
ab=b
よってbb=ab
Rは整域なのでAの中の元も含めて簡約律が成り立つ
∴b=a
従って
1029:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:54:01.08 SCZtxDVB.net
Aの単位元はRの単位元と同じものである
1030:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:55:19.85 SCZtxDVB.net
逆にAがRの単位元eを持つならば
1031:１３２人目の素数さん
23/05/23 23:57:25.29 SCZtxDVB.net
Rの部分集合として零因子を持たない可換環であることは保証されているので部分整域となる
1032:1001
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