19/07/16 01:41:00.83 eqkPXqPB.net
>>640
>>640
もし環をZに限るならその証明でもいいけど、>>639の命題は任意の可換環で成立するのでやってみましょう。
> ただ、別の疑問として、
> >Iを生成する任意の集合Sに対して、必ずIを生成するSの有限部分集合が存在する
> としても、そういった有限集合を含まないようにSの無限部分集合S'をとってきて、
> S'の生成するイデアルはIに真に含まれ且つ有限生成でないとすることはできないのかと思ったのですが
> これも無理なのでしょうか。
環がZなら無理です。
一般にそのような例が存在しない
⇔任意の有限生成R加群の部分加群が有限生成
⇔可換環Rがnoeter環
です。
R=Zなら、Rはnoether環なので無理です。
norther環でなければ作れます。
作ってみましょう。