19/04/11 08:43:35.63 sOi/aYpb.net
無限級数の収束、発散についての質問です。下記の画像の問題の2番(問題2-2)の解き方を教えて下さい。
自分なりに考えた解き方ですが、
与式の第ｎ部分和は、S[n]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)]となるので、
r=1のとき、r≠1のとき(0<r<1、r>1)で場合分けをしてそれぞれ極限（n→∞）を求め、与式の収束、発散を調べる。
(i)r=1のとき
S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=1+2+3+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)]
=(1/2)*n(n+1)
∴ lim(n→∞)S(n)
=lim(n→∞)(1/2)*n(n+1)
=＋∞
よって、r=1のとき、与式は正の無限大に発散する。
↑これで合ってますか？
(ii)r≠1のとき
S(n)=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)]
=(1/r)+{(1/r)+(1/r^2)}+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)}+...+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)+...+(1/r^n)}
0<r<1、r>1で場合分けして与式の収束、発散を求める。
これ以降どのように式を計算し、0<r<1、r>1について、与式の収束、発散をどのように求めればよいか分かりません。
大変長くなりましたが、よろしくお願いします。
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