18/10/02 22:20:11.19 wZGpXw1O.net
可換体論の本を購入して読んで参考にしました。
Kが無限体の場合、k≠k'であればK(α+kβ)≠K(α+k'β)
∵K(α+kβ)=K(α+k'β)とすると(α+kβ)-(α+k'β)=(k-k')β∈K(α+kβ)。
β∈K(α+kβ)∴α∈K(α+kβ)
K(α+kβ)=K(α,β)となり[K(α+kβ):K]>[K(α):K]となりαの選び方に矛盾する。
よって中間体K(α+kβ)は無限に存在することになる。
中間体は有限個ゆえ、そのようはβは存在しない。
これで良いですか。