19/08/17 12:42:59.48 tAgMb9rU.net
A>B、AとBの最大公約数をCとし、A=pC,B=qCとおくとpとqが
互いに素であればpCとqCの累乗も素になるので、q=1でしか
ありえない。同様に、pとCが素であれば、pCの累乗とCの
累乗が素となるので、pはCの約数である。したがって、C=pD
とおけば、 A=p^2D, B=pD とおけるので、A^B=B^Aに代入すると
(p^2D)^(pD)=(pD)^(p^2D)
⇔p^(2pD)×D^(pD)=p^(p^2D)×D^(p^2D)
⇔{p^(pD)}^2×D^(pD)={p^(p^D)}^p×(D^pD)^p
⇔ 1 ={p^(p^D)}^(p-2)×(D^pD)^(p-1)
ただし、p≧2, D≧1
p≧3だと右辺は1より大きくなってこの等式は成立しない。
したがってp=2の場合のみ成立するが、このとき、1=D^2D
となりD=1でなければならない。
よって、この等式が成り立つのは A=4, B=2の場合のみ。