18/07/04 04:55:00.37 ZddXGMwZ.net
>>723
>奇数次の有理数係数多項式で、有理数根を1つも持たないものは存在しますか？
x^3-3 (実数体R上或いは複素数C体上での因数分解は省略)
が条件を満たす有理係数多項式の例となって、構成的に存在性が証明出来る。
よって、真。
>また上の有理数を、整数に変えたらどうなりますか？
上の問題と、3の3乗根 3^{1/3} は無理数なること、及び Z⊂Q⊂R から、
1)：奇数次の整数係数多項式で、整数根を1つも持たないものは存在しますか？
2)：奇数次の整数係数多項式で、有理数根を1つも持たないものは存在しますか？
の2つの問題が考えられるが、これらについては、1)、2)の両方共に同時に偽。
1)の反例：整数係数多項式 x^3+x＝x(x^2+1) は整数痕 x＝0 のみを実根に持つ。
2)の反例：1)の反例に同じ。