18/08/20 02:21:50.10 YECN/pCz.net
おっちゃんです。
>>435
＞>log|p_1|, …, log|p_n|, 1 は実数の代数的数全体の体上一次独立。
＞そんなことは無条件には言えないよ。
log|p_1|, …, log|p_n|, 1 が実数の代数的数全体の体F上一次独立でないとしよう。
lすると、og|p_1|, …, log|p_n|, 1 は体F上一次従属(線型従属)だから、何れも0ではないような、
或る a_1, …, ,a_n, a_{n+1}∈F が存在して、a_1・log|p_1|＋…＋a_1・log|p_1|＋a_{n+1}＝0、
従って、i＝√(-1) とすると、ii・( a_1・log|p_1|＋…＋a_1・log|p_1|＋a_{n+1} )＝0、
故に、(1＋i)・a_1・log|p_1|＋…＋(1＋i)・a_ｎ・log|p_n|＋(1＋i)・a_{n+1}＝0。
各 k＝1,,…, n, n+1 に対して b_k＝(1＋i)・a_k とおくと、b_1・log|p_1|＋…＋b_ｎ・log|p_n|＋b_{n+1}＝0。
{1, i} は体F上の線型空間である複素平面Cにおける有理数体Qの代数的閉包 Cl(Q) ( Cl(Q) は体でもあり代数的数の全体)
の基底だから、各 k＝1,,…, n, n+1 に対して b_k∈Cl(Q)。点 (a_1, …,a_n, a_{n+1})∈F^{n+1} について
(a_1, …,a_n, a_{n+1})≠(0, …, 0, 0) 0は n+1 個 だったから、(b_1, …, b_n, b_{n+1})∈(Cl(Q) )^{n+1} について
(b_1, …, b_n, b_{n+1})≠(0, …, 0, 0) 0は n+1 個。しかし、p_1, …, p_n は相異なるどれも0でも1でもない実数の代数的数であり、
log|p_1|, …, log|p_n|, 1 は体Q上線型独立だから、ベイカーの定理の対数関数の一次形式の線形独立性についての結果から、
log|p_1|, …, log|p_n|, 1 は代数的数の全体の体 Cl(Q) 上線型独立なることから、(b_1, …, b_n, b_{n+1})＝(0, …, 0, 0) 0は n+1 個。
従って、矛盾が生じる。この矛盾はlog|p_1|, …, log|p_n|, 1 が実数の代数的数全体の体F上一次独立でないとしたことから生じたから、
背理法により、log|p_1|, …, log|p_n|, 1 が実数の代数的数全体の体F上一次独立である。