18/07/23 18
509::49:08.92 ID:Fu1mV0Fm.net
510:１３２人目の素数さん
18/07/23 18:51:32.85 Fu1mV0Fm.net
>>476
数学をやっている人間は、そうやって言葉尻を捕らえて
くだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回るのが仕事なのか？
それがお前の、数学の知識の使い方なのか？
人間性がクズだと、せっかくの数学の知識も
しょうもない運用の仕方しかできないようだな。
511:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:20:57.01 huQMTm13.net
>>479
これも他人のフリか？ID:Fu1mV0Fm が完全に一致してるぞ M.B. 君。
512:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:24:45.36 huQMTm13.net
>>480
レスが続けば続くほど、お前のクズエピソードが増えていくなｗ
＞数学をやっている人間は、そうやって言葉尻を捕らえて
＞くだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回るのが仕事なのか？
＞それがお前の、数学の知識の使い方なのか？
何言ってるんだこいつ。レスの内容が支離滅裂。お前からの謝罪要求は1つも来ていない。
にも関わらず、俺が謝罪から逃げているとは、一体どういうことだね？
考えもなしに表面的にオウム返しをしようとするから、そういう支離滅裂な返答になるんだよ。
これが自然言語処理をやってる人間のレスなのか？あたま悪すぎ。というか人間性がクズすぎる。
何か謝ってほしいことがあったら、何について謝ってほしいのか具体的に書いてみろよ。
俺から先に書くぞ。何度も言っているが、M.B. には
「 t(n) が n^2 に漸近するという主張は、わたくし M.B の勘違いでした。ゴメンナサイ 」
と素直に謝罪してほしい。これが、お前に対する俺からの謝罪要求である。
次はお前の番だ。お前は何に対して謝罪してほしいんだ？
513:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:42:08.59 1ZCqjBw3.net
老害に多いけど、学問で謝罪を要求するのは何なんだろうね。
マウント取るのを学問と考えるのは下衆の極みだわな。
514:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:47:07.09 lLAffdVR.net
ガロアスレで観た
515:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:52:52.01 huQMTm13.net
>>483
間違いを素直に認めない奴が避難されるのは当たり前。
これをマウント取りと混同するのは詭弁。しかも M.B. の場合は
・ 都合が悪くなると自演を始める(自演の内容も詭弁というクズっぷり)。
・ 後出しで別の条件を持ち出して言い逃れしようとする。
・「規制された」とウソをついて一旦逃げ、ほとぼりが冷めた頃に戻ってくることを画策する。
・ 結局、自分の間違いを素直に謝ることをしない。
・ 言葉尻を捕らえてくだらない難癖をつけて謝罪から逃げ回る。
・ 表面的なオウム返しで支離滅裂な返答をしてくる。(new!)
というクズエピソードの目白押し。1ミリも擁護できるところが無い。
516:１３２人目の素数さん
18/07/23 19:53:19.05 Fu1mV0Fm.net
>>484
がロアは二十歳で死んだはずだが。
ガウスも晩節を汚した話も聞かないし。
ベルヌーイか誰かと間違えてはいないんだよな？
517:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:06:54.27 Fu1mV0Fm.net
蛇蔵『決してマネしないでください。』（講談社）
p.43
ニュートンは、その偉大さに反比例して狭量だった。
ニュートン「微分積分を考えたのは私なのに
ライプニッツがパクッた！！
ライプニッツはドロボ―
ライプニッツのうんこ―」
ライプニッツ「あんたとは別ルートで思いついたって
言ってんだろ！！！」（事実）
― まぁ、数学的な才能と品性は別物、っていうコトですかね。
518:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:15:44.69 Fu1mV0Fm.net
蛇蔵『決してマネしないでください。』（講談社）
p.44
ロバート・フック「万有引力の法則を発見したのは、
私のヒントがあったからじゃないか！！ お礼の
一言ぐらいあってもいいだろう？」
ニュートン「絶対に絶対に絶対に絶対に、
お礼なんか言いません ―。むしろ著作からお前の名前を
消してやるわ！！」
フック「私が生きているうちは、学会で自由に
させないよ！！」
ニュートン「お前が死んだら、お前の肖像画を
ぶっ壊してあげるから、よろしく！！」（本当にやった）
数学は心理的にも肉体的にも、人間に無理を強いるものかも
しれない (-_-!)。
519:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:29:47.41 Fu1mV0Fm.net
これは竹内 均先生の証言だが、
サー・ハロルド・ジェフリーズは
アルフレッド・ウェゲナーの大陸移動説を
五十年間にわたって潰しつづけ、
「ただ一人で、地球物理学の進歩を
五十年間止めた男」として知られているという。
で、竹内先生はフレッド・ホイ�
520:汲ﾆ同窓だったので、 毎年クリスマスカードを貰っていたという。その文面が、 「サー・ジェフリースは、まだ生きている」。 九十過ぎてなお、大学まで自転車で通っていたそうだ。
521:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:30:59.74 huQMTm13.net
「 t(n) は n^2 に漸近する」と言い出したのは M.B. の方である。その後の議論でも、
M.B. は普通に t(n) についてレスのやり取りをしていたし、>>458では俺のレスに不満があったのか
＞ ( ´_ゝ`）ﾌｰﾝ
＞ 数学屋さんって、みんな この程度のものなんだ。
＞ 幻滅しちゃうなぁ。
＞ あ、嘘だけどね。真面目に数学してる人が大多数なのは
＞ 存じております m(_ _)m。
＞ あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので。
などと皮肉めいたことまで言っていてやる気マンマンだったのである。
522:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:32:51.63 huQMTm13.net
にも関わらず、>>458 の後に具体的な反例が提示されると一気にトーンダウンして
t(n) の話から逃げるようになり、挙句の果てには >>487-488 で
＞ ― まぁ、数学的な才能と品性は別物、っていうコトですかね。
＞ 数学は心理的にも肉体的にも、人間に無理を強いるものかもしれない (-_-!)。
という新しい詭弁が登場ｗ
どうしたよ M.B. 君。
数学を貶めている半可通は嫌いなんだろ？
俺の方としては、半可通ではないように具体的な反例をキチンと提示して決着をつけてやろうとしているのに、
いざお前が間違っていることが確定すると、M.B. の方が半可通になって決着をつけることから
逃げ回っているじゃないか。ちょっと都合が良すぎませんかね。
523:１３２人目の素数さん
18/07/23 20:43:56.94 huQMTm13.net
上のレスと重複するが、今回のやり取りの中で決定的なのは >>458 である。
この時点での M.B. は明らかにやる気マンマンで、
＞ あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので。
こんなことまで豪語して前のめりで議論に参加していたのである。
よって、マウント取りがどうこうという>>483の批判は全く当てはまらない
(こういう状況でなくても当てはまらないが)。
俺の方としては、半可通ではないように具体的な反例をキチンと提示して決着をつけてやろうと
しているのに、いざ M.B. が間違っていることが確定すると、M.B. の方が半可通になって
決着をつけることから逃げ回っており、現在進行形でクズエピソードが量産されている。
なーにが「あたしは数学を貶めている半可通が嫌いなだけですので」だよ。
自分が不利になった瞬間から保身に走りまくりじゃないか。反例が提示された時点で
「そうなのか。こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と言うだけでこの話は終わっていたのに、何をズルズルと言い訳を重ねて逃げ回っているのだ。
524:M.B.
18/07/23 20:56:03.91 Fu1mV0Fm.net
>>492
もうおねがい ゆるして ゆるしてください おねがいします
ほんとにもう おなじことはしません ゆるしてください ゆるして
きのうぜんぜんできてなかったこと これまでまいにちやってきたことを なおします
525:１３２人目の素数さん
18/07/23 21:30:16.09 huQMTm13.net
>>493
いくら何でも、お前がそこまで地に落ちたクズだとは思わなかったぞ。
URLﾘﾝｸ(www.sankei.com)
この虐待死事件でノートに残されていたメモからの、ほとんど丸コピペじゃないか。
お前自身の言葉ではなく、他人の言葉からのコピペで謝罪を済ませようとする神経が信じられないし、
そもそもコピペ先として選んできたのが上記のノートっていう発想自体が不謹慎でキチガイすぎるし、
それを目立つように age て書き込むという暴挙。
不謹慎というレベルを遥かに超えている。最後の最後の謝罪の場面ですら
こんなクズエピソードが出てくるとは思わなかったぞ。
これが本当に、自然言語処理をやってる人間のレスなのか？
526:１３２人目の素数さん
18/07/23 21:43:47.00 Fu1mV0Fm.net
>>494
「あんたはサディストだ」
「殺してやる！ 殺してやる！」
『十二人の怒れる男』より。
527:１３２人目の素数さん
18/07/23 21:55:57.40 huQMTm13.net
>>495
何が言いたいのか分からない。俺がサディスト(＝虐待者)ということは、
俺が「虐待者の役」で M.B. が「子供の役」で、
皮肉で >>493 のような書き込みをしたということだろうか？
もしそうなら、その発想自体があり得ない。
そういう意図では無かったとしても、虐待死事件のノートから
コピペしてくるという発想自体が既に "終わっている"。
反例が提示された時点で
「そうなのか。こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と言うだけでこの話は終わっていたのに、どうして
528:こんなにも 醜態をさらす方向でレスを重ねていくんだろう。
529:前786
18/07/23 22:36:17.60 a5jAmAvz.net
>>493
これまで一応中立の立場で横から見てましたけど、さすがにこれは無理です。
あなたは異常です。
少なくとも私はもう、あなたと分かり合うことはできません。
私には人を追い出す権限はありませんが、あなたがスレから出ていくことを願います。
以降、私はあなたとは関わりません。
ID:huQMTm13 さんもその辺にしといたらどうでしょう。
荒らしに構うのも荒らしと言いますし、
数学的にはあなたが正しいということはみんな分かってますから。
530:１３２人目の素数さん
18/07/24 00:14:09.39 AgAd74xG.net
>>493を引っ張り続けるのも茶化してる点では同じだろう
531:righ1113
18/07/24 00:26:14.76 Yev9qtsp.net
自分ももう無理だと思いました。
532:１３２人目の素数さん
18/07/24 08:01:55.49 02nFAly/.net
>>492
なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。
533:１３２人目の素数さん
18/07/24 15:07:08.96 39yeaM0t.net
今回の話は、>>493 が投下された時点で全てが消し飛んでしまい、
俺としても、もうやり取りする気は無いのだが、何やら野次馬が
新しいレスをつけているので、昨日の騒動の残り火だと思って、
ちょっとだけ勘弁してくれｗ
534:１３２人目の素数さん
18/07/24 15:17:50.10 39yeaM0t.net
>>500
ID:02nFAly/ 君よ、間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
君には「道徳」が無いのか？しかも、
「こっちの勘違いだったようだ。すまん」
と軽くゴメンナサイするだけでこの話は終わっていたと何度も言っている。
これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りのアスペに
仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。
たぶん、「アスペ」の部分が君の本音で、俺をアスペに仕立て上げるためには、
君はどんな難癖だってつけるんだろう。君のレスに「道徳」が無いのも、
こう考えると筋が通る。だから、君の発言には説得力が1ミリもない。
それとも、本当に君は「挑発レスに対して謝罪を要求していれば満足だった」のかね？
たかがその程度の形式的な差異が、本当に君にとっての不満点なのかね？
…こう考えると、やっぱり君は難癖をつけているようにしか見えないね。
そもそも、この程度の形式的な差異を問答無用で重要視して道徳を完全無視する君の方が、
よっぽどアスペに見えるぞ。
535:１３２人目の素数さん
18/07/24 16:08:26.83 39yeaM0t.net
一応、レスの内容にも返答しておくか(他の住人のみなさん、ゴメンナサイ)。
>>500
＞なら、その挑発について謝罪を要求すべきで、間違いに謝罪を要求するのは筋違い。
同じことだよ。対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は数学的に正しい)」
という意図が込められている。よって、相手からすれば、これについて謝罪することは、
自身の間違いを認めて謝罪するのと ほとんど同じ意味になってしまう。 … (1)
すると、仮に俺が挑発レスの方に謝罪を要求していたとしても、ID:02nFAly/ は
「表面的にはその挑発レスに対して謝罪を要求しているが、上記の(1)のとおり、
実際には間違いに謝罪を要求しているのと同じだから、これは結局マウント取りだ」
などと、もっともらしい理屈で俺に難癖をつけることが可能になってしまう。あるいは、
上記の挑発レスのうち、数学的な意図を取り除いて "煽り成分だけ" を抽出して、
そこにのみ謝罪を要求していたとすると、今度は
「そんなに "挑発されたことそのもの" が悔しいのか？数学の話に集中しろよ」
という別の批判が飛んでくるようになる。結局、この話題はどこまで突っ込んでも
難癖にしかならない。このことからも、ID:02nFAly/ の発言には何の説得力も無い。 以上。
536:１３２人目の素数さん
18/07/24 19:02:23.13 AgAd74xG.net
>>69
＞乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集
537:めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。 (＾～＾)
538:前786
18/07/24 21:29:27.26 O1MfDDEg.net
(・ω・)?
539:１３２人目の素数さん
18/07/24 21:51:30.21 AgAd74xG.net
群論とは、抽象的な研究である。
540:前786
18/07/24 22:38:19.92 O1MfDDEg.net
>>506
あ、そういうことですか。
>>69は>>53や>>66で現れた「乗法群」、すなわち環や体の乗法群について説明したものです。
当時は文脈上この書き方で問題なかったと思いますが、
後からここだけ見ると確かに誤解を生みかねない表現ですね。反省します。
541:M.B.
18/07/25 15:38:46.42 +NKwYrVS.net
炎上しているところを申し訳ないんですけれど、
ちょっと聞き捨てならない NG ワードが出てしまったので復帰しました。
悪意がないのは重々承知しておりますが、
> マウント取ろうとしているアスペにしか見えんわ。
は、
「マウント取ろうとしている反社会性パーソナリティ障害にしか見えんわ。」
に、訂正していただけるとありがたく存じますm(_ _)m
「アスペルガー症候群」というのは、青少年犯罪との絡みで有名になった
言葉ですので、俗称としての「アスペ」っていうのが通用しているのは
ほとんど気にしていませんし、こっち側（はい、あたしもアスペです）
の「高機能広範性発達障礙」の方に「これだからアスペは（笑）」と
いうのは洒落で済むんですが、侮蔑的な表現として使われるのは
不本意なので。
カリフォルニアで仕事をしてたときに、「敵性国民である日本人に対して
“ジャップ”と言うのは当然だけれども、アメリカ市民権を得たアメリカ国民である
日系人を“ジャップ”と呼ぶのはいかがなものか？」みたいな話をしたら、
なんか一目置かれちゃったので居心地が悪うございました(w。
だけど、「ムース（日本人の娘さん）」はやめて欲しかったなぁ。
542:Mr.Moto
18/07/25 15:48:57.24 +NKwYrVS.net
>>502
> 間違ったときにゴメンナサイするのは常識だろ？
> 君には「道徳」が無いのか？
「道の道というべきは、常の道に非ず」。
君は「道徳経」を、ちゃんと読んだことがあるのかい？
543:Mr.Moto
18/07/25 15:57:04.90 +NKwYrVS.net
「これのどこがマウント取りなんだね？俺のことをどうしてもマウント取りの
アスペに仕立て上げたい君の、悪意ある難癖にしか見えないね。」
明らかにマウント取りにしか見えないので、君に自分が「マウント取りの
反社会的パーソナリティ障害者であることを疑ってみることを強く奨めて
いる」だけだと思う。
善意による助言であり、「悪意ある難癖にしか見えない」ならば、
カウンセラーさんに相談したほうがいい。
ついでながら、うちらは『自然言語処理スレッド その４』
（ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)）と
いう過疎ったスレッドでのたくっているので、存分に荒らしてくれると
言語的なデータが取れてうれしい。歓迎する。
544:Mr.Moto
18/07/25 16:02:44.24 +NKwYrVS.net
>>502
> 君の発言には説得力が1ミリもない。
電通 鬼十則の 8
> 自信を持て！ 自信が無いから君の仕事には、迫力も粘りも、そして
> 厚みすらがない。
キミは電通の社員か（笑）
だいたい数学の話で 1 ミリってなんだよ。何の量を基準としてミリを
定義してるんだよ。数学は量の学問じゃないだろ？
545:M.B.
18/07/25 16:16:48.39 +NKwYrVS.net
>>502
> 対象となっている「数学を貶めている半可通が嫌い」という挑発レスには、
> 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は
> 数学的に正しい)」
> という意図が込められている。
連体修飾詞には、「暗黙の主語」が存在するので、「彼は恥ずかしい」は
「彼は私をして“恥ずかしい”と感じせしめる人物である�
546:vを含意する、 という話はしたよね？ あたしは半可通ですけれどもね、数学に対しては敬意をもって接して います。 だからこそ、「(数学を貶めている(半可通))が嫌い」なのであって、 それを、よりにもよって敬愛する数学板の住民（もちろん、このスレ の住民）に「挑発レス」呼ばわりされるっていうのは不本意です。 と、いうわけで、 > 「少なくともこの話題に関しては、自分は半可通ではない(＝わたしの主張は > 数学的に正しい) というのは妄想であって、それこそ「だったら証明しなさいよ！」と言わせて もらいます。
547:１３２人目の素数さん
18/07/25 16:26:43.41 aDXdgazr.net
>>509-512
少なくとも、>>493 を投下するような君が道徳を語る資格は全く無い。
そして、君がどんな道徳の知識を持っていたとしても、
自演やウソばかりの君の見苦しい行動、そして >493 という決定打を見る限り、
君の道徳の知識は全く生かされてないと言える。今回のレスにしたって、
なぜか君は M.B. と Mr.Moto という2つのコテを使い分けている。
が、ID:+NKwYrVS が完全一致しているので同一人物である。
まさかこれも自演ではあるまいな？
また、>>509-512は、俺と野次馬とのレスに君が横やりを入れているだけであり、
これは完全にスレ違いである。無意味に話を長引かせるのはやめたまえ。
(ただし、>>508には文句はつけない。これは内容的に許容しなければならない。)
まあ、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。
548:１３２人目の素数さん
18/07/25 16:45:34.28 aDXdgazr.net
そして、>>501の繰り返しになるが、今回の話は、>>493が投下された時点で
全てが消し飛んでしまった。俺としては、もう君とやり取りする気は全く無い。
なので、君とのやり取りは、このレスで最後とさせてもらう。
なんか>>510で言語処理のスレッドを俺に勧めているようだが、
俺はそういう話題には興味がないので、そのスレに行くことは無い。
ここから先は、君が俺にレスをしてきても、俺の方からは何の反応も無いことを約束する。
もう一度書くが、俺の方もちょっとケンカ腰が過ぎたかなという反省はある。
その点については君に謝るよ。すまなかった。
ではさようなら、M.B. さん。
549:１３２人目の素数さん
18/07/25 20:07:04.90 P28JF8uN.net
分数を小数に展開すると繰り返しになるよね
コラッツの無限に発散する数列も
ある地点からパターンが現れるかどうかは考察できないかな？
550:M.B.
18/07/25 21:05:45.44 +NKwYrVS.net
>>515
循環小数になるか有限小数になるかは、数学板の別スレで議論
されてて、「分母の基数が何で表されるか」と、「分子が分母の
基数の約数の積の形で表されるかどうか」という点に帰着するのよね。
その観点から考えると、群論によるアプローチは有意義だと
思うんだけど、「そんなにうまくゆくんだったら、コラッツ問題は
そろそろ解決されていそうに思うんですけど？」とも思うんですよ。
まぁ、このスレが解決に貢献できたら、「おめでとー！」って
言いますけどね。
551:M.B.
18/07/25 21:22:07.10 +NKwYrVS.net
とりあえず、collatz_max(n) を考えると、少なくとも
（コラッツ予想が正しければ）collatz_max(n) はただ一つ
なんですよね？（でなかったら循環しちゃうので）
そうなると、n から collatz_max(n) までのルートと、
collatz_max(n) から 1 までのルートに分けられると
思うんですよ。で、collatz_max(n) が “何か” と考えると、
2 の冪乗という「下り」系列と、(3n + 1) / 2 という
「上り」系列に引っかからざるを得ないわけです。
それを考えると、collatz_max(n) に着目して、
「どういう上り系列に引っかかって、どういう下り系列に
乗っかれるか？」を考えるというアプローチは、あるかと
思います（「やれ」と言われると困るけど）。
552:前786
18/07/25 22:13:56.25 RKQO4rTt.net
>>515
例えば偶奇について言うと、
ある初期値からコラッツ操作を繰り返してループに到達しないとすると、
「ある地点から先で同じ偶奇のパターンが無限に繰り返される」ということは起こらないことが証明できます。
553:513
18/07/25 22:28:48.00 1xEqj1Ql.net
>>518 へぇ知らなかった
よければ詳しく
554:１３２人目の素数さん
18/07/25 22:50:31.07 yPOp7QnY.net
前786氏は本当は群論が苦手で無理してるような気がす
555:M.B.
18/07/26 12:57:15.46 JRXvy3Hy.net
そのあたりの議論については、たぶん
>>115-118
あたりの話につながりそうに思うので、
そこいらからツッコミをいれてくれると
分かりやすいと思います。
556:前786
18/07/26 17:31:49.36 eprs9+Ti.net
>>518の命題を証明します。
以降、奇数に対しては「3倍して1を足して2で割る」までをひとつの操作とします。
また、面倒な条件付けを避けるため、整数の範囲で考えることにします。(さらに広げることもできますが、省略します)
コラッツ操作を f で表します。
まず、後で使う補題をひとつ用意します。
補題
任意の整数 a,k に対して、f(a+2k)=f(a)+ck, ただし c=1 or 3
証明
a が奇数の場合
f(a+2k) = (3(a+2k)+1)/2 = ((3a+1)/2)+3k =f(a)+3k
a が偶数の場合
f(a+2k) = (a+2k)/2 = (a/2)+k = f(a)+k □
次に「コラッツ展開」を定義します。
（私が勝手に作った言葉であり、一般的な言い方ではありません）
定義
整数 a に対して、数列 {a[n]} を
a[1]=a
a[n+1]=f(a[n]) (n≧1)
によって定める。
次に、0 と 1 からなる無限列を
a[n] が偶数なら第 n 項は 0、a[n] が奇数なら第 n 項は 1
として構成する。
こうしてできる無限列を a のコラッツ展開と呼ぶことにする。
例えば a=5 のとき数列{a[n]} は
5,8,4,2,1,2,1,2,…
となるので、5 のコラッツ展開は
1,0,0,0,1,0,1,0,…
となります。
一般に、f(a) のコラッツ展開は a のコラッツ展開の初項を除いたものになります。
557:前786
18/07/26 17:32:25.15 eprs9+Ti.net
補題
a,b を整数とする。このとき
a と b のコラッツ展開が少なくとも第 n 項まで等しい ⇔ a≡b (mod 2^n)
証明
n=1の場合
コラッツ展開の初項が等しい ⇔ a と b の偶奇が等しい
より成り立つ。
n=m まで成り立つとして、n=m+1 の場合を示す。
左⇒右:
少なくとも第 m 項まで等しいので、ある整数 k を用いて
a=b+2^m*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
a'=b'+3^e*k （e は非負整数）
と表せる。仮定より、a' と b' の偶奇は等しいので k は偶数。
よって a≡b (mod 2^(m+1))
右⇒左:
整数 k を用いて
a=b+2^(m+1)*k
と表せる。a,b にコラッツ操作を m 回施して得られる数を a', b' とすると、前補題より
a'=b'+3^e*2k (e は非負整数)
と表せる。よって、a' と b' の偶奇は等しいので、a と b のコラッツ展開の第 m+1 項は等しい。□
系
整数 a,b に対し、両者のコラッツ展開が一致するならば a=b
558:前786
18/07/26 17:32:59.15 eprs9+Ti.net
>>518の命題の対偶を証明します。
命題
整数 a のコラッツ展開が、有限個の項を除いて循環しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。
証明
a のコラッツ展開が第 n 項から循環しているとし、k 項ずつ繰り返しているとする。
このとき、a にコラッツ操作を n 回施して得られる数を b、
a にコラッツ操作を n+k 回施して得られる数を c とすると、
b と c のコラッツ展開は一致するので、系より b=c
したがって、a にコラッツ操作を繰り返し施すとループに到達する。□
559:１３２人目の素数さん
18/07/26 18:39:32.05 VbgF2ohA.net
ん、なんか上手くいき過ぎな気がするが
かといって間違えを指摘できるわけでもない
ちょっと考えてみます
560:M.B.
18/07/26 19:00:28.10 JRXvy3Hy.net
うん。概念的に理解しやすいのがいい。
久々のビッグウェーブが来た予感。
今後の展開に期待。
561:１３２人目の素数さん
18/07/26 19:09
562::16.60 ID:VbgF2ohA.net
563:１３２人目の素数さん
18/07/26 20:35:49.91 e5fE+xPz.net
たとえばだけど任意の有限長の01列に対してそのコラッツ展開をもつ整数が存在する
とかは言えるの？
564:１３２人目の素数さん
18/07/26 20:45:09.99 e5fE+xPz.net
ちょっと言い方がおかしいか
任意の有限長の０１列（長さｎ）に対してコラッツ展開の初項から第ｎ項が一致する整数が存在する
はいえるの？
なら通じるかな
565:前786
18/07/26 21:30:21.51 eprs9+Ti.net
>>529
これは言えます。
1 から 2^n までの自然数のコラッツ展開を考えます。
どの2つを見ても、>>523の補題より、初項から第 n 項までが一致することはありません。
長さ n の 01 列は全部で 2^n 通りあるので、全てのパターンが現れていることになります。
例えば長さ 3 の場合を考えると、
1→101
2→010
3→110
4→001
5→100
6→011
7→111
8→000
となって、全てのパターンが現れていることが確認できます。
566:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:39:47.97 e5fE+xPz.net
えっなんかすげくね？
ここから対角線論法つかってごにょごにょしたら
なんか出てきそうな気もするけどそんな甘くないかな
567:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:52:15.76 DzfgC6eJ.net
>529
f(x×2+0)=x×1+0
f(x×2+1)=x×3+2
xの係数は奇数なので、この奇偶はxの奇偶によって定まる。
さらに x→x×2+0, x→x×2+1
で置き換えてコラッツ操作を行うと
4x+y(y=0,1,2,3)について長さ2のコラッツ展開は全て異なることがわかる
以下繰り返すことにより
f^k(x×2^n+y)のnの係数は奇数(3の冪)であり、
y=0,1,…,2^n-1に対し長さnのコラッツ展開は全て異なることが示せる
568:１３２人目の素数さん
18/07/26 21:55:10.54 e5fE+xPz.net
いくら場合わけしてもとり尽せない理由もこのへんにあるのかなぁ
569:530
18/07/26 22:03:15.00 DzfgC6eJ.net
これに気づいた時点で「単純な分類でとうにかするのは無理だ」とは考えました
上位ビットを適当に選べば、増加を繰り返すものが必ずあるのか、と
突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね……
570:１３２人目の素数さん
18/07/26 22:21:07.82 e5fE+xPz.net
たとえば√2を2進数で表したとして、
その第n桁までコラッツ展開が一致する数のうち最小のもをa_nとおいて
F(√2)=lim n->∞ a_n
とでもして
F(√2)が有限の値をとるかどうかは考察できる？
571:righ1113
18/07/26 22:24:11.72 oGOxsIYS.net
>>527
異常ありませんでした!
572:１３２人目の素数さん
18/07/26 22:52:09.41 e5fE+xPz.net
>>536
おおう、まじか。
チェックありがとうございます。
ちなみにe5fE+xPzとVbgF2ohAは同一です
573:１３２人目の素数さん
18/07/27 03:28:39.24 Qrst/WBH.net
このスレで証明されたら誰の手柄になるの？
574:M.B.
18/07/27 09:27:20.65 7B8ArIq3.net
>>538
手柄とかは どうでもいいんじゃね？
論文に名前が出るかっていう話なら、
有限群の分類とか新素粒子の発見の論文みたいに、
著者の名前のリストのほうが本文より長かったりするんじゃねーの？
おれの名前は入ってなくていーや。
でなかったら『電車男』の「電車」と「エルメス」みたいに
「righ1113」と「前786」と「その他協力者のみなさん」とか。
575:M.B.
18/07/27 14:01:13.64 7B8ArIq3.net
あー、なんか厭な予感がしてきた。
べつに >>518 以降の議論を尊重しないわけじゃないけど、
>>148 あたりの議論を考えると、たぶん全射にならないんじゃないかと
思うんですけどね。そこを避けるための手当をすればイケる感じは
あると思います。
「コラッツ展開」の精密化と、関数 f() の性質について、さらに検討すれば、
>>532 氏のいう
> 突破するにはパラダイムシフトが必要でしょうね ……
のあたりに到達できそうな気はするんですけど ……
「また元に戻ってきてガックリ」みたいな話は、ありそうに
思うんですけどね。
576:１３２人目の素数さん
18/07/27 19:31:28.11 By0CvhQ2.net
任意の{0,1}無限列に対して、
コラッツ展開が一致する正整数が存在するかと言えば否。
00000…には0,
11111…には-1が対応する。
577:１３２人目の素数さん
18/07/27 19:50:56.29 By0CvhQ2.net
では整数に拡張すれば大丈夫かと言えば、これも否で、
2進整数(2-adic integer)まで拡張する必要がある
任意の{0,1}無限列に対し、
先頭のn項がコラッツ展開と一致する非負整数はZ/2^nZで一意になり、また、nの増加とともに下位を共有しなから伸びていくのはすでに示された通りだけど、
これがちょうど2-進整数の条件を満たしている
578:１３２人目の素数さん
18/07/27 23:23:55.63 MXAhD8nB.net
>>1に頼みたいんだが以下の仕様でプログラム組んでくれない？
n(自然数)を入力とする
nビット以下の01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙する
例 n=3の時
0:{2,4,6,8}
1:{1,3,5,7}
00:{4,8}
01:{2,6}
10:{1,5}
11:{3,7}
000:{8}
001:{4}
010:{2}
011:{6}
100:{5}
101:{1}
110:{3}
111:{7}
お願いします。
579:１３２人目の素数さん
18/07/28 00:41:28.27 7NxoS75W.net
なにかグレイコードっぽい雰囲気を感じる
あくまで雰囲気だけど
580:righ1113
18/07/28 09:07:10.25 lMBBDrWw.net
>>543
しばしお待ちを。
581:前786
18/07/28 11:48:18.14 wb0cTFEt.net
コラッツ展開は 2 進展開に似ていますが、
以下のようにして明確に類似物であることを説明できます。
コラッツ操作 f の代わりに
x が奇数のとき g(x)=(x-1)/2
x が偶数のとき g(x)=x/2
という操作 g を考えます。
操作 g を用いて、整数( 2 進整数でも可)に対してコラッツ展開と同様に 0,1 からなる無限列が得られますが、
この無限列(を逆の順で並べたもの)は初期値の 2 進展開に一致します。
実際の 2 進展開の手順と見比べてみればわかると思います。
同様に、奇数 p,q を固定して
x が奇数のとき h(x)=(px+q)/2
x が偶数のとき h(x)=x/2
という操作 h を考えれば、同じ手順で 01 列への展開が得られ、
>>523>>524で示した事実の類似が成り立ちます。
582:righ1113
18/07/28 17:56:46.51 lMBBDrWw.net
>>543
できたよ～
URLﾘﾝｸ(github.com)
583:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:15:36.05 7NxoS75W.net
>>547
おお、仕事速いっすな。
ありがとうございます。
584:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:04:59.11 FfbExHmU.net
Python版
def collatz_bits(n):
result = [0] * pow(2,n)
for i in range(1, pow(2,n)+1):
x = i
s = ""
for j in range(n):
s += str(x % 2)
x = x // 2 if x % 2 == 0 else (3*x+1) // 2
result[int(s,2)] = i
return result
def print_collatz_bits(n):
for bits, k in enumerate(collatz_bits(n)):
print(f"{bits:0{n}b}:{k}")
>> collatz_bits(3)
[8, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 7]
585:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:12:39.28 7NxoS75W.net
>>547
動かしてみました。
確かになんらかの法則性があるように見えますが、うまく言語化できないorz
うーん。なんだろうこれは
586:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:16:50.85 7NxoS75W.net
前786さんならなにかピンとくるものがあるかも知
587:れませんねぇ
588:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:29:16.09 7NxoS75W.net
>>1へ
とりあえず前786さんにも見ていただきたいのですが、
前見たく出力結果をgithubにあげていただけませんか？
とりあえずn=10位がいいかなぁ
589:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:14:20.24 7NxoS75W.net
あるビット列xに対し対応するコラッツ展開を持つ数を昇順にならべたものを[a_1,a_2,,,,a_2n]
とすると
x+'0'に対応するコラッツ展開をもつ数は[a_1,a_3,a_5,,,a_(2n-1)]
x+'1'に対応するコラッツ展開を持つ数は[a_2,a_4,a_6,,,a_2n]
になる？
590:righ1113
18/07/28 20:14:28.87 lMBBDrWw.net
>>552
n=10を上げました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
591:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:17:08.60 7NxoS75W.net
いや、ちょっとちがうな。
でも添え字が偶数のものと奇数のものに分かれるのは言えそう。
592:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:20:56.40 7NxoS75W.net
>>554
ありがとうございます。
前７８６さんもぜひご覧になってなにか法則性がないか考察お願いします。
593:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:49:43.10 7NxoS75W.net
すいません。また>>1にお願いがあるのですが
今１０進で表示されている数字をnビット先頭0埋め2進数で表示させられませんか？
ひょっとしたら法則性が見えやすくなるかもしれないのですが。
594:righ1113
18/07/28 21:32:38.98 lMBBDrWw.net
あげました～
URLﾘﾝｸ(github.com)
プログラムでやりたい場合は、
最新版のCollatzExpansion.hsの
74行目をコメントアウトして、
75行目のコメントを外すと、バイナリになります。
595:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:00:14.13 7NxoS75W.net
おお、ありがとうございます。
さらに追加で要求でもうしわけないんですが、
１０進版とバイナリ版のexeもgithubに上げてもらえませんか
exeなら前786さんやほかの方も抵抗が少ないだろうし
596:righ1113
18/07/28 22:21:49.34 lMBBDrWw.net
上げました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
CollatzExpansion.exe
CollatzExpansionB.exe
です。
597:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:31:14.58 7NxoS75W.net
おお、何度もありがとうございます。
>>1にも聞いてみたいですが結構法則性ありそうに見えますよね？
598:righ1113
18/07/28 22:36:46.25 lMBBDrWw.net
>>561
2進数で左右反転しているのと、そうでないのとがありますね。
599:前786
18/07/28 22:40:43.24 wb0cTFEt.net
あまり期待はしないで下さいな。
出力の並び順ですが、
00000
10000
01000
11000
:
:
のようにしてもいいかもしれません。可能ならば。
>>546で言ったようにコラッツ展開を2進展開の類似物と捉えると、
コラッツ展開の初項が一の位に対応するので。
もしくは2進展開にならってコラッツ展開も右から左に書くことにするとか。
600:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:51:31.58 7NxoS75W.net
確かに左右反転してるのが結構ありますねぇ…
601:M.B.
18/07/29 00:20:38.47 sLBYc3Xd.net
ぜんぜん関係のない話なんで、スレ汚しスマン。
以前、原始ピタゴラス数の絡みで、直角二等辺三角形に
収束する数列を、スターン＝ブロコット木の上で追いかけていたら、
そこにフィボナッチ数列が出てきたことがある。
どういう境界条件で左右反転が起きるのかは、追いかけてみたら
面白そうな気がする。
（私が面白そうな気がするだけで、結果についてはいっさい責任は
取らないということは、いうまでもないが）
602:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:01:26.47 apdazvkC.net
桁数：左右反転している個数
1: 2
2: 4
3: 6
4: 10
5: 16
6: 22
7: 30
8: 44
9: 58
10: 68
11: 80
12: 96
13: 122
14: 144
15: 162
16: 182
17: 200
18: 212
19: 228
20: 254
603:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:05:24.07 apdazvkC.net
割合的には急激に減る
桁数をnとすると、n*log nくらいのオーダーか？
604:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:06:53.56 oePH1MMB.net
さらに>>１にお願いしたいが
入力ｎに対して丁度nビットの01列とそれに対応するコラッツ展開をもつ2^n以下の自然数を列挙
コラッツ展開と自然数を２進であらわしたものが反転してる関係にあるものは行頭に空白４個入れる
反転ではないものは行頭に空白を入れずに表示
でプログラムお願いできない？
605:１３２人目の素数さん
18/07/29 01:14:15.62 apdazvkC.net
左右反転になるもの
1 [0, 1]
2 [0, 1, 2, 3]
3 [0, 2, 3, 4, 6, 7]
4 [0, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15]
5 [0, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 22, 24, 27, 28, 30, 31]
6 [0, 6, 11, 12, 15, 16, 22, 24, 28, 30, 31, 32, 38, 43, 44, 47, 48, 54, 56, 60, 62, 63]
7 [0, 12, 15, 22, 24, 30, 32, 43, 44, 47, 48, 56, 60, 62, 63, 64, 76, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 108, 111, 112, 120, 124, 126, 127]
8 [0, 15, 24, 30, 43, 44, 48, 60, 63, 64, 79, 86, 88, 94, 96, 107, 111, 112, 120, 124, 126, 127, 128, 143, 152, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 207, 214, 216, 222, 224, 235, 239, 240, 248, 252, 254, 255]
9 [0, 30, 43, 48, 60, 63, 79, 86, 88, 96, 120, 126, 128, 158, 171, 172, 176, 188, 191, 192, 214, 222, 224, 235, 240, 248, 252, 254, 255, 256, 286,
299, 304, 316, 319, 335, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 414, 427, 428, 432, 444, 447, 448, 470, 478, 480, 491, 496, 504, 508, 510, 511]
10 [0, 60, 79, 86, 96, 120, 126, 158, 171, 172, 176, 191, 192, 240, 252, 255, 256, 316, 342, 344, 352, 376, 382, 384, 428, 444, 448, 470, 480, 496,
504, 508, 510, 511, 512, 572, 591, 598, 608, 632, 638, 670, 683, 684, 688, 703, 704, 752, 764, 767, 768, 828, 854, 856, 864, 888, 894, 896,
940, 956, 960, 982, 992, 1008, 1016, 1020, 1022, 1023]
606:前786
18/07/29 12:59:45.00 sVL1UhWV.net
左右反転については考えたことは無かったですね。
とりあえず偶数は奇数に帰着されるので、奇数だけ見るのがいいような気がします。
607:righ1113
18/07/29 14:30:52.71 z6BL7vg2.net
>>568
>>563の案についてはどうしましょうか？
ビット列を左から書くようにすると、
ビット列とコラッツ展開が『左右反転している』 → 『同一である』
になって分かりやすいと思うのですが。
608:566
18/07/29 14:59:40.32 QwhF8wXZ.net
>>571
じゃあ採用してみましょうか
お願いします
609:righ1113
18/07/29 16:26:02.64 z6BL7vg2.net
>>572
できました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
CE02_n=10.txt
CollatzExpansion02.exe
CollatzExpansion02.hs
610:１３２人目の素数さん
18/07/29 16:49:37.95 QwhF8wXZ.net
ありがとうございます
いま外にいるので帰ったらみてみます
611:１３２人目の素数さん
18/07/29 17:29:22.44 oePH1MMB.net
ん、これコラッツ展開のビットのほうを左右反転させたんじゃなくて
コラッツ展開に対応する自然数のビットを反転させたってことですかね？
612:righ1113
18/07/29 17:53:25.69 z6BL7vg2.net
いや、両方反転させてるような......
なのに『同一』？？？
613:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:13:30.45 oePH1MMB.net
>>576
つまりどういうことだってばよ？
614:righ1113
18/07/29 18:15:38.20 z6BL7vg2.net
>>576は無視してください。
コラッツ展開のビット（初項）を反転させています。
615:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:34:34.10 oePH1MMB.net
すまん、まだよくわかってないんだが、
そうするとこの10進で表示してあるのは何を表してるの？
616:righ1113
18/07/29 18:41:19.06 z6BL7vg2.net
>>579
初項がコラッツ展開のビットで、
第二項が初期値（2進数）で、
第三項が初期値（10進数）です。
617:１３２人目の素数さん
18/07/29 18:44:40.84 oePH1MMB.net
第二項は左右反転してません？
618:righ1113
18/07/29 18:53:23.89 z6BL7vg2.net
してますね～ う～ん
619:１３２人目の素数さん
18/07/29 19:20:56.12 oePH1MMB.net
字下げされているデータは、上からｎ番目にあると第三項もnになる
という法則はありそうなきがする
620:righ1113
18/07/29 19:26:26.92 z6BL7vg2.net
>>583
あ、それはコラッツ展開のビットを1から順番に並べているので、
コラッツ展開と初期値が一致するなら、当然そうなると思われます。
621:righ1113
18/07/29 19:31:39.53 z6BL7vg2.net
>>575-582
色々とすみませんでした。
プログラムの説明不足でした。
622:１３２人目の素数さん
18/07/29 19:36:14.28 oePH1MMB.net
どうでもいいことだけど、いま私のメインマシンが壊れていて
古いノートPC（32bit OS)使ってます。
githubにあげてもらったexeは64bit版ですかね？動きませんでした。
私は�
623:\ースのほう使ってるのでそれでも大丈夫ですが。
624:前786
18/07/29 21:59:54.79 sVL1UhWV.net
・コラッツ展開の表記は元のまま。縦の並び順だけを変えている。
・2進数表記は反転させている。
という状態みたいですね。
2進数表記を変えると混乱を招きそうなので
コラッツ展開の方を反転させた方がいいかも？。
つまり
("0000000000","0000000000",1024)
("0000000001","0101010101",341)
("0000000010","1010101010",682)
("0000000011","0011100011",227)
("0000000100","0101010100",340)
：
：
と出力させる感じで。
625:righ1113
18/07/31 21:40:25.63 RSiZq6mC.net
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／ ｀´ ＼
('A`)
ノヽノヽ
くく
626:righ1113
18/07/31 22:16:53.79 RSiZq6mC.net
コラッツ展開の一部が、コラッツ値の2進表示下位nビットと一致するなら、
「コラッツ展開の一部を2進数で覆う」と言う事にします。
例を挙げます。
9',14,7',11,17,26',13,20',10,5,8,4',2,1,...
1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1
9'
1' 0 （0 1） 2進
7'
1' 1 1 2進
26'
0' 1 （0 1 1） 2進
20'
0' 0 1 0 （1） 2進
4'
0' 0 1 2進
繋げると1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1になります。
この後の0,1の繰り返しは2の2進数01で覆えます。
627:righ1113
18/07/31 22:20:11.18 RSiZq6mC.net
そして、
「コラッツ展開を、下位2ビット以上の2進数の連結で覆い尽くせる」→「コラッツ操作で1に辿り着く」
が言えれば良いと思うのです。
628:１３２人目の素数さん
18/07/31 23:08:52.93 M/YYnaxA.net
ん、よくわからん。
前７８６さん、わかります？
629:前786
18/08/01 13:01:17.37 p3PictoW.net
どういう操作をしてるかはなんとなく分かりましたけど、
なんかNGワードがあるとかで書き込めないので画像にて失礼。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
そこからの>>1さんの主張は私もはっきりとはわかりませんが、
「常に 2 ビット以上覆う」ということを利用してコラッツ予想を証明できないか、みたいな感じでしょうか。
630:righ1113
18/08/02 10:26:14.57 dbqVsLkv.net
>>592
そうです、こんな感じです。
（確かに26は3ビット覆えますね）
631:righ1113
18/08/04 14:45:23.85 T94V2xDI.net
うまくいきませんでした。
632:１３２人目の素数さん
18/08/06 20:24:49.16 msOD46p7.net
登って下がってというループで山が四つくらいまでのループは無いらしいが、この方面では難しそうだ
Zudilin あたりが書いた 超越数の≪(3/2)^n≫ あたりからなんか言えんかね
ABC が絡むような話もどこかにあったような気がするのは気がふれたみたいだからさようなら
633:righ1113
18/08/08 20:15:08.57 owzSvaKk.net
ちょっと思い出話でも。
自分がスレを立てる前のコラッツスレに、
「割数列」というものがありました。
コラッツ操作で2で割った回数を並べます。
これを割数列と名付けます。
例えば9の場合は、コラッツ列は
9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
ですから割数列は
[2,1,1,2,3,4]
となります。
初期値が3の倍数の割数列を完全割数列と名付けます。
（コラッツ予想は3の倍数だけ調べれば良いのは周知です）
9[2,1,1,2,3,4]は完全割数列です。
7[1,1,2,3,4]はふつうの割数列です。
634:前786
18/08/08 22:53:01.75 4mjRQHYS.net
(割数列の話を始めたのも私だったり)
635:righ1113
18/08/08 23:11:14.38 owzSvaKk.net
マジっすか!?
636:righ1113
18/08/08 23:29:36.29 owzSvaKk.net
star変換というものがありました。
（名前は勝手に僕がつけました）
長さｎの完全割数列→長さｎ＋１の完全割数列
まず、長さｎの完全割数列を、初項に０
637:をつけたｎ＋１型で表す。 長さｎの完全割数列でできる最終値を９で割ったあまりが・・ ３ ・・ A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける ６ ・・ C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける ０ ・・ E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける 元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。 例 21≡3(mod 9) 21[0,6] このとき、21[6,6-4]と3[1,6-2]が存在する。
638:前786
18/08/08 23:56:36.04 4mjRQHYS.net
いやあ、懐かしいですねぇ
ちなみに割数列とコラッツ展開は密接に関係しています。
実はコラッツ展開は、割数列から派生して得られたものだったりします。
例えば 9 のコラッツ展開は
1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,…
ですが、このとき 1 が現れてから次の 1 が現れるまでの項数を見ていくと
2,1,1,2,3,4
となり、これが割数列に一致します。
639:righ1113
18/08/09 00:04:34.00 h30rXcjy.net
なるほど。そんな歴史があったのですね。
640:righ1113
18/08/09 05:30:13.84 h30rXcjy.net
>>599
前スレで、「全てのstar変換後の完全割数列は、全ての3の倍数の奇数を尽くす」事を証明しました。
しかし、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない
完全割数列を排除できなくて、その時は挫折しました。
641:righ1113
18/08/09 23:59:53.30 h30rXcjy.net
star変換後に、割数列の要素が0や負になる事は禁止していますが、
これを認めたらどうなるでしょうか。
2つほど試してみます。
9[2,1,1,2,3,4]
↓ F[5,-2] y=8x/3-3
21[5,0,1,1,2,3,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->3->2->1->1まででコラッツ値は7だから
(7*2^0-1)/3 = 2
(2*2^5-1)/3 = 21 辻褄は合ってます
15[1,1,1,5,4]
↓ C[4,-4] y=x/3-2
3[4,-3,1,1,5,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->5->1->1まででコラッツ値は23だから
(23*2^-3-1)/3 = 5/8
((5/8)*2^4-1)/3 = 3 辻褄は合ってます
どちらも、コラッツのルールからは外れるけれども、
(3x+1)/2^pの計算自体は出来ているようです。
642:righ1113
18/08/10 00:28:24.11 tK64NAzp.net
全ての場合でうまくいく訳ではありません。
star変換それぞれについて見てみます。
・3 mod 9
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+9t ⇒ y=3(4t-1) t=0は禁止する
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+9t ⇒ y=3t/2 t:奇数は禁止する
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=6+9t ⇒ y=3t t=0は禁止する
D[3,-2] y=2x/3-1 x=6+9t ⇒ y=3(2t+1) オールオッケー
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9t ⇒ y=(3/4)(t-1)
t-1が4の倍数でない時禁止する
F[5,-2] y=8x/3-3 x=9t ⇒ y=3(8t-1) オールオッケー
変換後のコラッツ値が、0や負や分数になるものを禁止すれば、
この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
これで得られる割数列を「拡張完全割数列」「拡張コラッツ予想」と呼ぶ事にします。
643:righ1113
18/08/10 23:41:44.61 tK64NAzp.net
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例を考えます。
この割数列にstar変換を施したものも、後ろの方は変わっていないので、反例です。
この反例が最小反例よりも小さければ、矛盾を引き出すことができます。
こういう目論見です。
644:righ1113
18/08/13 15:49:38.48 7T5v8z4w.net
考えていた物と別の証明が浮かんだので、そっちを書きます。
>>605の最小反例に、コラッツ値が偶数のものはありません。
2で割るとさらに小さくなるからです。
ということは、拡張完全割数列でコラッツ値が偶数のものは有限項です。
これに、star変換を逆に施した、普通の完全割数列も有限項（1に辿り着く）ということです。
645:righ1113
18/08/13 15:53:03.94 7T5v8z4w.net
普通の完全割数列に、star変換を施して、変換後のコラッツ値が偶数になるものを見てみましょう。
・3 mod 9
各star変換 変換関数 返還前 変換後
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+18t ⇒ y=24t-3 偶数はない
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+18t ⇒ y=3t t:偶数でyは偶数 ⇒ x=36t+3は有限項
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=15+18t ⇒ y=6t+3 偶数はない
D[3,-2] y=2x/3-1 x=15+18t ⇒ y=12t+9 偶数はない
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9+18t ⇒ y=(3/2)t t:4の倍数でyは偶数 ⇒ x=72t+9
646:は有限項 F[5,-2] y=8x/3-3 x=9+18t ⇒ y=48t+21 偶数はない
647:righ1113
18/08/13 16:12:32.34 7T5v8z4w.net
コラッツ値x=36t+3とx=72t+9は1にたどり着く事が分かりました。
（3と9は手計算で、ということにしましょう）
ここで思ったのですが、このパターン、剰余コラッツ予想で解かれてなかったっけ！？
>>4
＞前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
＞・n は 83 以下の奇数, k は任意
36は81に帰着されるので有効、
72は243なので今のところout
648:righ1113
18/08/14 15:24:26.87 jD9M+OTo.net
偶数は「最小でない反例」の可能性があるのですね。
失礼しました。
>>606-608は無しでお願いします。
649:righ1113
18/08/15 13:30:28.73 GlbaFw1x.net
>>605を証明します。
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例cを考えます。
「cは奇数」であり、「c≠3」「c≠9」とします。
「c≡3 mod 9」「c≡6 mod 9」「c≡0 mod 9」で場合分けをします。
・c≡3 mod 9のとき
star変換B[1,-2]をおこないます。変換関数はy=c/6-1/2
入力は
c=9t+3 (t≦0) から始めて
cは奇数なので c=18t'+3 (t'≦0)
cは3ではないので c=18t'' +21 (t''≦0)
変換関数に代入すると
y=3t'' +3 < c より小さい反例が得られました。
・c≡6 mod 9のとき
star変換D[3,-2]をおこないます。変換関数はy=(2/3)c-1
入力は
c=9t+6 (t≦0) から始めて
cは奇数なので c=18t'+15 (t'≦0)
変換関数に代入すると
y=12t' +9 < c より小さい反例が得られました。
650:righ1113
18/08/15 13:33:56.44 GlbaFw1x.net
・c≡0 mod 9のとき
star変換E[2,-4]をおこなうと、分数になる場合があります。
なので入力を分割します。
c=9t+9 (t≦0) を
c1=36t'+9 (t'≦0) 9を除いて36t'' +45 (t''≦0)
c2=36t'+18 (t'≦0) 偶数なので除外
c3=36t'+27 (t'≦0)
c4=36t'+36 (t'≦0) 偶数なので除外
・c1のときはE[2,-4]をおこなう
y=c1/12-3/4 = 3t'' +3 < c1 より小さい反例が得られました。
・c3のときは、以下をそれぞれF後のmod9に応じておこないます。
F → C (1/3)((8/3)c3-3)-2 = (8/9)c3 -3 < c3
F → B (1/6)((8/3)c3-3)-1/2 = (4/9)c3 -1 < c3
F → E (1/12)((8/3)c3-3)-3/4 = (2/9)c3 -1 < c3
どの場合も、より小さい反例が得られました。
なお、F → Eのときは循環する可能性がありますが、
y=(8/3)(27+36t')-3 = 72+96t'-3 = 27+ 42+96t'
42+96t' = 36t'' とおくと、一次不定方程式になりますが、
42はgcd(96, 36)=12 の倍数ではないので、この式は整数解を持ちません。
よって、27+36t' ―F→ 27+36t'' になることはありません。
いずれの場合も、より小さい反例が得られたので、
最小反例cは存在しません。
651:righ1113
18/08/15 13:38:16.32 GlbaFw1x.net
拡張完全割数列に対して、無限項のものがないと分かりました。
よって、全ての項が正である、通常の完全割数列に限定しても、無限項のものはありません。
以上より、全ての3の倍数の奇数は、1に辿り着くことが言えました。
652:１３２人目の素数さん
18/08/15 16:53:18.16 GLWugf1o.net
えっ
ちょい待ち
全ての6n-3が1を含む枝に属する事が証明できた？
コラッツ予想の証明完了じゃん
653:righ1113
18/08/15 17:00:20.05 GlbaFw1x.net
>>613
そうなりますねぇ......
654:１３２人目の素数さん
18/08/15 23:30:39.14 kdLKmBaZ.net
マジで？
記念ﾊﾟﾋﾟｺ
655:前786
18/08/16 00:57:42.04 M+raKM1N.net
>>610で、c=18t''+21 から y=3t''+3 への変換で
対応する割数列の変換が本当に B[1,-2] になってるかが怪しいような。
656:righ1113
18/08/16 05:27:05.36 TWEwRPxI.net
>>616
c=18t''+21 ーB[1,-2]→ y=3t''+3 を
先頭5個を手計算してみました。
21[0,6] → 3[1,4]
39[0,1,1,2,1,... → 6[1,-1,1,2,...
57[0,2,1,2,2,... → 9[1,0,1,2,...
75[0,1,2,8] → 12[1,-1,2,8]
93[0,3,1,5,4] → 15[1,1,1,5,4]
ひとまずうまくいっているようです。
657:righ1113
18/08/16 07:46:18.73 SnTp/ir+.net
c≡0 mod 9のときに不備がありそうです。
調査します。
658:前786
18/08/16 10:23:39.87 M+raKM1N.net
0 や負の項を許しているのを失念していました。
ただそうすると、一つの数に対して複数の数列が対応することになります。
c=18t''+21 の割数列に変換 B[1,-2] を施すと、y=3t''+3 の拡張完全割数列の一つが得られますが、
それは y=3t''+3 の通常の割数列と同じとは限らず、通常の割数列が無限に長いとは言い切れない、
すなわち反例になっているとは言い切れないと思います。
659:righ1113
18/08/16 13:10:13.37 1OdknrZ/.net
うーむ……
もうちょっと考えてみます。
660:１３２人目の素数さん
18/08/17 03:14:56.80 vsonpbq1.net
せっかく解けない問題があるんだから、何かに使えないんでしょうか
数独のようなパズルを作る
乱数を作る
暗号システムを作る
661:righ1113
18/08/18 15:11:04.30 D9NuquiS.net
>>619
入力も拡張完全割数列にすればどうでしょう。
図を書いてみました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
反例を、
「ある3の倍数のコラッツ値を表す、拡張完全割数列の少なくとも一つが無限項である」
と定義します。これならどうでしょうか。
662:righ1113
18/08/18 15:15:35.49 D9NuquiS.net
画像が見えませんでした
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
663:前786
18/08/19 13:08:49.21 Nc96juHr.net
最小反例が 3 である可能性がありますね。
その場合、コラッツ値をより小さくすることはできず、矛盾は生じません。
664:righ1113
18/08/19 16:15:52.14 z4KwPURj.net
そうですねぇ、だめですね……
ありがとうございました。
665:righ1113
18/08/20 11:12:57.60 rrcWSjx+.net
もうちょっと粘ってみます。
666:righ1113
18/08/24 21:38:07.63 md4HSYVM.net
レベルというものを導入します。
6x+3のコラッツ値で、全ての項が正の完全割数列のみがあらわす
ものを、レベル0のコラッツ値とします。
レベル0のコラッツ値と、全ての項が正の完全割数列は、
1対1対応しています。
レベル0のコラッツ値を、0,負も認めたstar変換を1,2,3回施した
ものを、レベル1のコラッツ値とします。
レベル1のコラッツ値で、最小反例が無い事を証明します。
・レベル1のコラッツ値3が最小反例でない事
3から、star変換を逆に施していきます。
それぞれ、1,2,3回逆に施したところで、レベル0に戻るので、
1対1対応した割数列を割り当てます。
有限個の割数列が得られるので、1つ1つ有限項か計算すれば良いです。
667:righ1113
18/08/24 21:40:15.28 md4HSYVM.net
プログラムを使って説明します。
コラッツ値をあらわす割数列を列挙する関数allDivSeqを考えます。
第一引数は、コラッツ値です。
第二引数は、star変換を施した回数です。
allDivSeq 3 1を例にとって説明します。
star変換を1回施して、コラッツ値が3になるものを考えて、
allDivSeq 3 1
= B[1,-2] ++ allDivSeq 21 0
, C[4,-4] ++ allDivSeq 15 0
, D[3,-2] ++ allDivSeq 6 0
, E[2,-4] ++ allDivSeq 45 0
と再帰的に表せます。
第二引数が0になった所で、そのコラッツ値があらわす、
全ての項が正の完全割数列を当てはめます。偶数は無視します。
allDivSeq 3 1
= B[1,-2] ++ [6]
, C[4,-4] ++ [1,1,1,5,4]
, D[3,-2] ++ Nothing
, E[2,-4] ++ [3,2,3,4]
と、有限項の割数列で列挙できました。
668:righ1113
18/08/25 07:17:46.04 uY6dzjku.net
レベル1のコラッツ値3x+3に、最小反例が存在しない事を証明します。
3と9はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>610-611を手直ししたものを使います。
669:righ1113
18/08/26 21:21:27.79 Oj7Z7mtg.net
3の倍数に0も含めることにします。
3も9もstar変換で0になって、小さくなるのでOKとします。
レベル1のコラッツ値3xに、最小反例が存在しない事を証明します。（後日）
0はallDivSeqを使って、
残りの数は、>>610-611を手直ししたものを使います。
670:righ1113
18/08/31 10:08:50.31 rYUAgAC8.net
いろいろ見直しています。
時間がかかりそうです。
671:righ1113
18/09/07 00:24:45.25 cStMejnA.net
見直しというか、証明の形式化にチャレンジしています。
Idrisというマニアックな言語を使っています。Coqみたいな事ができます。
型を合わせるのがめんど……いや、難しいですね。
672:righ1113
18/09/10 00:29:04.64 3QK+PA5a.net
場合分けが尽くせてないですが、Ver0.1をリリースします。
URLﾘﾝｸ(github.com)
最終的な�
673:阯揩ﾍProofColDivSeqMain.idrにあって、以下です。 allDivSeqInfFalse : (n:Nat) -> any unLimited (allDivSeq (n+n+n) 0) = False これは、3の倍数の奇数の完全割数列が全て、有限項である（1に辿り着く） 事を示しています。
674:righ1113
18/09/10 17:40:25.69 5z7WrYfQ.net
レベルを下げる関数に不備がありそうです。
675:righ1113
18/09/17 02:46:14.64 bqQZOfDF.net
>>634
関数を変更中です。手こずっています。
676:１３２人目の素数さん
18/09/18 19:02:33.53 pWdQneLm.net
笑
677:１３２人目の素数さん
18/09/18 21:06:42.03 Ww3uzjyt.net
しかし>>1の情熱がすごい
よくあきらめないな
678:righ1113
18/09/18 21:38:11.79 0UzjDC9R.net
>>637
なんというか、諦めきれないのです。
679:１３２人目の素数さん
18/09/19 02:37:49.74 +Q956Ag5.net
数学の60年来の難問を、「不老不死研究」の生物医学者がこうして解き明かした
URLﾘﾝｸ(wired.jp)
押しても引いてもだめなら、まったく違う方面からのほうがいいのかもね
680:righ1113
18/09/19 06:04:16.85 SqxJ5GTm.net
>>639
はー、なるほど。分かったような、分からないような。
681:righ1113
18/09/20 23:55:04.37 pHGNvy1m.net
ひとまずレベルを下げる関数の変更ができました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
682:righ1113
18/09/20 23:58:02.70 pHGNvy1m.net
一つ注意点があります。
プログラムでの証明中に、postulate（無条件の仮定）を使っています。
なので、完全な形式化という訳ではないです。
postulateな命題については、紙の上で証明すれば良いと考えています。
683:righ1113
18/09/22 01:11:42.46 2udthHUG.net
URLﾘﾝｸ(github.com)
こんな感じで紙の証明も作ってってます。
684:１３２人目の素数さん
18/09/22 02:25:57.68 u2bLw4/9.net
なにげに結構なボリュームあるな
普通にすごいわ
内容的にただしいのか俺の実力じゃジャッジできないけど
685:righ1113
18/09/22 04:26:55.20 3m3m4Y8s.net
>>644
ありがとうございます。
686:righ1113
18/09/26 15:54:57.58 oAYpDJEp.net
DIR EN GREYのアルバムを買った。
これを聴いて証明を頑張ろう。
687:righ1113
18/10/01 03:21:47.90 wmcGCB2y.net
紙の証明 第二部が作成完了しました。
良かったら見てみて下さい。
第2部 レベル0のallDivSeqは、全て有限項 （これが言えればコラッツ予想も真）
URLﾘﾝｸ(github.com)
688:１３２人目の素数さん
18/10/02 01:11:28.28 F4M3UZCA.net
糞スレ晒しage
689:１３２人目の素数さん
18/10/02 22:53:15.38 OaloQ4ah.net
コラッツ予想を解くと500ドルもらえるらしい
690:righ1113
18/10/03 11:35:22.75 bBWfQNB+.net
>>649
多いのか、少ないのか……
691:１３２人目の素数さん
18/10/03 20:24:37.00 o70MBvQP.net
正直、１０００万円くらいの懸賞かかっててもいいと思うけどね
692:righ1113
18/10/03 20:30:12.03 nw1H62gV.net
そうですよね。100万でも「おおっ」ってなります。
693:１３２人目の素数さん
18/10/22 02:38:43.53 PnaJVaBQ.net
１０万円でもあればうれしい
694:１３２人目の素数さん
18/10/25 00:10:59.36 3G32divF.net
懸賞かかってなくてもコラッツとけたら年収１０００万の職につけないかなぁ？
695:１３２人目の素数さん
18/10/25 01:11:36.97 cTIjCy05.net
>>654
googleが採用してくれるかも
696:１３２人目の素数さん
18/10/27 00:52:40.01 NYHShEyu.net
証明は出来たのですか？
完全に素人質問で悪いのですが、証明の全容をここに載せたら盗まれる可能性があるのではないでしょうか？
arXivに上げるなどして正式に発表したほうがいいのでは…と思ってしまいます。
697:righ1113
18/10/27 01:22:28.45 3YbEazlL.net
>>656
ありがとうございます。
証明はほぼ完成しています。
URLﾘﾝｸ(github.com)
arXivに投稿するには、endorser裏書人が必要なので、難しいかなと思っています。
698:１３２人目の素数さん
18/10/27 07:43:06.53 4wEgV5jN.net
>>657
そのページは情報が欠けていて論理を追うことができません。
699:１３２人目の素数さん
18/10/27 10:44:44.71 sjLLdu9W.net
／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 芸能人が吹き替えに挑戦というのは
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
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(( ( つ ヽつ、
. 〉 i ))
（__ノ^（＿）
／￣`Y ￣ヽ､
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i ヽ
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Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
700:１３２人目の素数さん
18/10/27 17:09:07.82 4wEgV5jN.net
この証明の鍵は、star変換によってコラッツ列の無限性を維持しつつ元の整数を小さくできるとする主張にあります。
しかし変換の定義から そのようなことが常に可能とは思えない というのが私の直感です。
まず確認ですが、star変換によって割数列に負の項が出てくることを許しているわけではない ですよね？
各chapterを一読しましたが、『計算上は合う』というコメントもあり判然としません。
プログラムを読めば分かるのかもしれませんが素人なのでお許しを。
［chapter3より引用］
> 変換後のコラッツ値が、負数や分数になるものを禁止すれば、
> この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
> これで得られる割数列を 「拡張完全割数列」 と呼ぶ事にします。
割数列の定義から負の項は存在できません。
たとえ最終計算が合っていたとしても、2を掛ける操作はコラッツ列の生成ルールにはありませんから、
負の項が出現するような変換は許されません。『拡張列』としてそれを 考えるだけ なら構いませんが、
拡張列から元の整数を復元する操作を統一的に行うことは許されないはずです。
701:righ1113
18/10/27 18:14:31.31 q47UWgiA.net
>>660
詳細なコメントありがとうございます。
すぐには答えられないので、じっくり考えてみます。
702:１３２人目の素数さん
18/10/27 19:27:37.82 4wEgV5jN.net
例を挙げておきます。
[Chapter7より]
> コラッツ値がcである無限項の割数列を仮定して、コラッツ値が小さくなるようなstar変換を施します。
ここで筆者は、0（mod9）である36t＋9なる整数に対しE[2，-4］（y＝x/12－3/4）を施すと変換後は3t＜36t＋9になると主張する。
t＝1とすれば、36t＋9の割数列は[3，2，3，4］であり、E[2，-4]をそのまま施すと[2，-1，2，3，4］となり負の項が現れる。
この第2項『-1』を『2を掛ける操作』と解釈すれば、[2，-1，2，3，4］が表す整数は確かに3tになる。
しかしコラッツのルールに『2を掛ける操作』は存在しないので、本問題でそのような解釈はできない（※）。
3tに対応する割数列はコラッツのルールで一意に決まる[1，4］であり[2，-1，2，3，4］ではない。
コラッツのルールに則れば、
『負の項を持つ割数列に対応する整数は存在しない』
としか言えない。
（※）
負の項を持ちうる拡張割数列を元の整数に対応づける解釈を行うことは
・2で割る、2を掛ける、3を掛けて1を足すという3つの操作を別のルールに則って行う
703:。 ・各操作後の値は整数とは限らない。 このような拡張されたコラッツ問題を考えることに相当する。 その拡張されたルールを前提とすれば、[1，4]と[2，-1，2，3，4］は共に3tに対応する。 言えるのはこれだけのように思える。
704:righ1113
18/10/27 20:08:48.02 q47UWgiA.net
う～ん困りました……
705:１３２人目の素数さん
18/10/27 23:51:07.91 EnsDGGon.net
そもそもcoq使うなら全部coqにしなきゃ意味ないと思うが
706:１３２人目の素数さん
18/10/28 09:20:08.07 Inuvl635.net
私の指摘（>>660、>>662）は >>616や>>619の焼き直しでした。
707:righ1113
18/10/30 18:48:13.22 kWJk14TU.net
>>660,662
以下3つをおこなえば良いのではないかと考えています。
◆定義1 拡張コラッツ予想
6t+3（t≦0）を用意する。（ここからコラッツ操作すれば通常のコラッツ予想になる）
一度コラッツ操作を施したものをαとおく。
6t+3から1~3回star変換をおこなう。
そこから拡張コラッツ操作をおこなう。αに戻ったところで通常のコラッツ操作に切り替える。
これを拡張コラッツ予想と名付ける。
※拡張コラッツ操作
コラッツ値xに対し、(3x+1)/2^pを施す。pは割数列の初項（0や負も取りうる）。
◆定理1
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
◆定理2
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真
708:righ1113
18/11/01 23:53:32.36 JDsMJ7mn.net
◆定理1
あるコラッツ値（一度コラッツ操作したものをα）からstar変換したものを、
2回拡張コラッツ操作すると、αに戻る
・1つのパターン
x=9t+3 [3, *,...]
を1回コラッツ操作すると、(3(9t+3)+1)/8 = (27t+10)/8 になります。
xに A[6,-4] y=(4/3)x-7 でstar変換すると
12t-3 [6, -1, *,...] になります。
拡張コラッツ操作1回目で (3(12t-3)+1)/2^6 = (9t-2)/2^4
拡張コラッツ操作2回目で (3((9t-2)/2^4)+1)2
= (27t+10)/8 になって二つは一致します。
残りはGitHubでやります。
709:righ1113
18/11/01 23:56:34.87 JDsMJ7mn.net
◆定理2
拡張コラッツ予想が真 ⇒ コラッツ予想も真
star変換したものから拡張コラッツ操作を繰り返すと、
定理1より、全ての6t+3から遷移するαと同じものが、
欠けることなく得られます。
よって、拡張コラッツ予想が真ならば、
後方を共有する、通常のコラッツ予想も真になります。
710:１３２人目の素数さん
18/11/03 10:40:12.37 0X36i8df.net
>>666-668
その方針でこの問題が簡単化されるとは思いませんが。
righ1113さんの腕の見せ所ですね。
がんばってください。
711:righ1113
18/11/03 10:58:34.66 zGxL77aT.net
ありがとうございます。
頑張ります！
712:righ1113
18/11/16 00:08:05.29 rLiEECgK.net
ちょっとお休みします。
713:righ1113
18/11/21 00:38:18.69 5W7Y7t3o.net
完成しました。
URLﾘﾝｸ(github.com)
714:１３２人目の素数さん
18/12/27 21:03:12.26 QsKaQysV.net
突っ込みもなくなってしまったか。
寂しいのう。
715:righ1113
18/12/28 15:02:21.19 vw3Deup+.net
そうですね……
716:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:08:45.05 qXeTVoFa.net
自然数xに対してコラッツ展開に似た数列collatz_array(x)を次のようなrubyプログラムで定義する。
def collatz_array(x)
if(x==1)
then
return []
elsif(x%2==0)
return [0]+col(x/2)
else
return [1]+col((x*3+1)/2)
end
end
collaz_array(x)をビット列とみなして2進数の整数に直したものをcollatz_number(x)とする。
collatz_numberはrubyプログラムで次のように定義される。
def collatz_number(x)
res=0;
x.each_with_index{|v,i|res+=v*(2**i)}
return res
end
3の倍数でない、かつx==collatz_number(x)となるような自然数xは存在するか？
717:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:11:30.83 qXeTVoFa.net
ちょっと言ってることがおかしいかもしれない。
ようするにコラッツ展開に対する不動点みたいなものはあるか？という話をしたいのだが
718:righ1113
19/04/20 06:22:48.34 58m0UT5j.net
なるほど、ちょっと考えてみます
719:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:24:30.09 qXeTVoFa.net
朝の6時にスレチェックかよｗすげえｗ
まあ俺も人のこと言えないけどｗお疲れ様です。
720:１３２人目の素数さん
19/04/20 06:30:30.11 qXeTVoFa.net
新たな不動点が見つかったら新たなループが見つかるみたいな方向に持っていけたらベストなんだけど。
まあまだぼんやりしたイメージがあるだけです。
721:１３２人目の素数さん
19/04/20 07:07:33.52 qXeTVoFa.net
うーん、collatz_arrayの停止条件がx==1だとあんまり意味のない議論になってしまうかもしれないorz
722:righ1113
19/04/20 08:32:56.05 gsPKCWwo.net
x==collatz_number(x)をチェックすると
3*2^tは該当するみたい。そりゃそうか。
あと、「先頭nビットが一致する」だと意味ないかな？
723:１３２人目の素数さん
19/04/20 08:52:09.89 qXeTVoFa.net
>>681
意味ないかどうかはまだわかりませんが、先頭nビットについては>>530のような割とはっきりした規則性があるようなので、
規則性の見えなくなる後ろのほうのビットのふるまいを何とかできないかという思いはあります。
724:１３２人目の素数さん
19/04/20 08:53:34.80 qXeTVoFa.net
あ、でもnを増やしていったらなんか出てくるんだろうか？
725:１３２人目の素数さん
19/04/20 09:20:18.07 qXeTVoFa.net
ちなみに勢いで書いちゃったけど仮に不動点が見つかったとして、それをどう生かせばいいかまだ全然見えてませんｗ
726:１３２人目の素数さん
19/04/20 09:23:37.92 qXeTVoFa.net
不動点というキーワードでコラッツ展開をみたときに、
ちょうど3が不動点になっていたのでこれが1,4,2のループを表しているのでは？
という思い付きというか期待から書き込んでしまいました。
727:１３２人目の素数さん
19/04/20 10:25:47.50 kQapNYTQ.net
コラッツ展開は01の無限列なので2-進整数に対応させるのはどうだろう
整数は2-進整数に埋め込めるし、コラッツ展開は2-進整数に自然に拡張できる
以下、簡略表記として左を下位、繰り返しを()で括る、とすると
0=(0)…
-1=(1)…
はコラッツ展開が自身と一致する
1=1(0)… のコラッツ展開は (10)…
(10)…は×3で(11)… = -1 なので
(10)…のコラッツ展開は 1(0)… で元に戻る
728:１３２人目の素数さん
19/04/20 10:44:40.51 2B/xzIiP.net
見捨てられた過疎スレかと思ってたら
意外とそうでもないのか
729:１３２人目の素数さん
19/04/20 12:02:57.09 2B/xzIiP.net
2進整数とやらを標準ライブラリで持ってるプログラム言語はありますか？
730:righ1113
19/04/20 12:48:56.09 gsPKCWwo.net
>>688
Mapleにありそうだけど
Mapleってフリーじゃないもんね
731:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:09:40.55 kQapNYTQ.net
無限桁の2進数みたいなものだから、プログラムで扱うのは難しいのでは？
有限桁以降が繰り返しのものに限定すれば扱えるのかな
(10)…と-1/3、(100)…と-1/7、みたいに、
理論上は(分母の素因数に2を含まない)有理数に対応するはず
732:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:21:28.65 qXeTVoFa.net
とりあえず、2-進整数の厳密な定義ってどこかにあります？
四則演算とかも含めて。
733:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:27:40.12 qXeTVoFa.net
ハスケルは遅延評価があるんでしたっけ？
ルビーにもあったかな？
734:righ1113
19/04/20 13:45:31.66 gsPKCWwo.net
>>692
Haskellはデフォルトで遅延評価です。
Rubyも遅延評価がありそうですが、僕は詳しくないです。
735:１３２人目の素数さん
19/04/20 13:52:34.74 qXeTVoFa.net
2-進整数、使えそうなら使いたいですね
でも2-進整数にしちゃうと不動点のアイディアをどう扱えばいいかわからなくなるかなぁ？
736:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:00:26.66 kQapNYTQ.net
とりあえずwikipediaよりp進数(p-a
737:dic number) https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0 「定義」の最後にあるp進整数環でpが2のものを考えてるんですが、付値やら完備化や、専門的過ぎてたぶんわけわからんと思います 計算だけなら「略式の解説」のこの辺 > 整数側に無限桁加えたもの、例えば …1246328.125 のようなものが p 進数であると解釈できる。 > p 進数の中でも、小数点以下がない …1246328 のようなものは p 進整数と呼ばれるものに対応する。 > p 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、p 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。
738:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:04:10.33 qXeTVoFa.net
なるほど、わからんｗ
739:１３２人目の素数さん
19/04/20 14:08:48.97 qXeTVoFa.net
自力実装は相当厳しいかなこりゃ。
740:１３２人目の素数さん
19/04/20 15:43:16.25 qXeTVoFa.net
まともにやるとクソ難しそうなのでとりあえずコラッツ展開を分数で表現してみた
def collatz_rational(x)
l=x.length
res=0r
x.reverse.each_with_index{|v,i|res+=v*(1/2r)**(i+1)}
res+=((1/2r)**l)*1/3r
return res
end
def collatz_rational_array(x,l)
res=[]
(0...l).each{|i|
if(x>=1/2r)
then
x-=1/2r
res<<1
else
res<<0
end
x*=2r
}
return res.reverse
end
(1..1000).each{|x|
a=collatz_array(x)
l=a.length
r=collatz_rational(a)
b=collatz_rational_array(r,l)
if(a!=b)
then
print "#{x} #{r} #{a} #{b}\n"
end
}
741:１３２人目の素数さん
19/04/20 15:48:17.01 qXeTVoFa.net
でも分数にしたところで不動点のアイディアとどう結び付けていいかわからぬｗ
まあもともと不動点はそれほど目があるアイディアじゃないかもだけど
742:１３２人目の素数さん
19/04/20 16:03:08.59 qXeTVoFa.net
ありゃ、バグがあるっぽい
すまん、直す
743:１３２人目の素数さん
19/04/20 17:07:12.41 qXeTVoFa.net
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
うーん、こうかな？
744:１３２人目の素数さん
19/04/20 17:09:11.57 qXeTVoFa.net
ちょっと疲れたｗ
休憩ｗ
745:１３２人目の素数さん
19/04/20 18:15:52.88 qXeTVoFa.net
スタートは不動点だったはずだが脱線してしまったなｗ
うーん、どうしよう
746:righ1113
19/04/20 18:43:16.20 gsPKCWwo.net
不動点ではないですが、
x == collatz_number(collatz_array(y))
y == collatz_number(collatz_array(x))
のように、相互に参照しあっているものを考え中です。
ちゃんとしたものは後日upします。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
747:１３２人目の素数さん
19/04/20 19:51:06.44 kQapNYTQ.net
2-進整数の計算についての補足
桁が繰り返しである2-進整数に限ると、
繰り返しが1で埋まれば-1であることを利用して
以下のように有理数との対応がわかります
(1)…=-1/(2^1-1)
(10)…=-1/(2^2-1)
(100)…=-1/(2^3-1)
途中から繰り返す場合についても、例えば
1(100)…=1+2(-1/7)=5/7
のようになります
そして、このようなものに限ると有理数としての加減乗除でまったく問題なかったりします
循環小数=有理数、みたいなもんですね
748:１３２人目の素数さん
19/04/20 21:01:20.91 qXeTVoFa.net
不動点ということは繰り返し処理をかけても変わらないということですが、
コラッツ展開に対してさらにそのコラッツ展開を求めることに何の意味があるのかが不明瞭なのが現状痛いですね。
そこに何らかの意味が見いだせればもう少し面白くなるのですが
749:righ1113
19/04/21 01:05:53.95 eAsDk9Da.net
特に何か得られた訳ではないですが、upします。
URLﾘﾝｸ(github.com)
気がついた事は、（不動点じゃないですが）
例えばxが17~31の奇数の区間で、コラッツ展開先頭5ビットが1~31の奇数を、
コラッツ3x+1と3x-1で分けあうことです。
750:righ1113
19/04/21 01:27:22.72 eAsDk9Da.net
>>707
書いてから思ったのですが、
>>530と関連があるのかどうか、というところですかね。
751:１３２人目の素数さん
19/04/21 07:54:17.77 npoMZDGj.net
負数の3x+1問題は実質3x-1問題(x→-x)なので
負数側の結果がスライドしてきている、と考えればよいのかなと
752:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:02:50.26 pvqV4cbN.net
コラッツ展開が長さnの循環列
⇔xに対し「x→(3x+1)/2」または 「x→x/2」の変換をある順番でn回行ってxに等しくできる
⇔0≦∃k≦n, ∃y∈Z, ((3^k)x+y)/2^n=x.
これは有理数の範囲で一つの解をもつ
753:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:18:37.12 58cJHsba.net
すいません、不動点はあまり実りがなさそうなので撤退します。申し訳ない。
今1～2^nのコラッツ展開の先頭nビットを並べてコラッツ展開のkビット目にどのようなパターンが表れるかというのを見ようかと思ってます。
754:１３２人目の素数さん
19/04/21 21:54:43.91 58cJHsba.net
むむ、綺麗な周期が表れるかと思ったらそうでもない？
755:１３２人目の素数さん
19/04/21 22:53:56.35 58cJHsba.net
いや、周期になるみたい。
でもパターンは凄い複雑。
756:708
19/04/22 06:24:26.02 xqP02tmi.net
p進体Q_pにおいて、分母がpで割り切れない有理数はp進整数環Z_pに含まれることが知られている
(フェルマーの小定理より任意の素数q≠pに対してp^(q-1)≡0(mod q) なので、-1/qのp進展開がq-1桁の循環になる)
コラッツ問題の有理数への拡張は、Z_2への拡張と考えたほうが実は自然なのでは？
というところで2-進整数ネタも一休み
また週末かなー
757:righ1113
19/04/26 08:31:01.99 RlIUNLEW.net
コラッツ展開のコラッツ展開をいくつか計算してみましたが、いまいちでした。
URLﾘﾝｸ(github.com)
-1, 0, 1だけが特別で、（>>686）
これ以外の数は、コラッツ展開を施すごとに、どんどん複雑になっていくようです。
「3x-1」シートは、3x-1にして負値を計算したものです。
758:１３２人目の素数さん
19/04/26 20:39:33.09 xTZynMFI.net
繰り返したら元に戻るとか、そういうことはない感じですかね
フーリエ変換に対する逆変換みたいなものが見つからないか、というのは今のところ夢想かなあ
759:１３２人目の素数さん
19/04/26 20:57:44.06 xTZynMFI.net
>522
の補題を自分の中で整理してたらこうなった。
写像f: Z→Zを次で定義する.
x∈Z に対し,
f(x)=x/2 (x∈0+2Z)
f(x)=(3x+1)/2 (x∈1+2Z)
このとき, 0≦n∈Z, x, y∈Z に対して次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z ⇒ 0≦∃m≦n, s.t.
(2^n)(f^n(x)-f^n(y))=(3^m)(x-y).
(超略証)nに関する帰納法.
定義から0と1の場合がOK.
1とkをあわせてk+1の場合が示される.
760:righ1113
19/04/26 22:52:24.34 edmDBtkV.net
>>716
繰り返したら元に戻るとか、
小さくなる、とかだったら良かったですけどね。
761:１３２人目の素数さん
19/04/27 17:46:18.20 PhPZ0MkR.net
>717 に引き続き, >523 を代数学風に整理.
前述(>717)のf, x∈Z, 0≦i∈Zに対し x_i=f^i(x)+2Z で定まる Z/2Zの列{x_i}(i≧0)を「xのコラッツ展開」と呼ぶことにする.
x,y∈Zとそのコラッツ展開{x_i},{y_i}について次が成り立つ.
x-y∈(2^n)Z⇔x_i=y_i (0≦∀i≦n).
系. コラッツ展開は単射.
762:１３２人目の素数さん
19/05/08 21:48:28.23 U/58yMQ3.net
コラッツ展開はかなりいい線いってるとは思うが、次の一歩が難しい？
763:１３２人目の素数さん
19/05/08 22:07:04.85 U/58yMQ3.net
例えばxのコラッツ展開のyビット目がxのサイズの多項式時間で求まれば
764:大きな前進と言える？
765:１３２人目の素数さん
19/05/08 22:10:31.84 U/58yMQ3.net
ここでいうxのサイズっていうのは自然数xに対してそれを表すのに必要なビット数log(x)のことね
766:righ1113
19/05/09 06:34:48.07 ysyHHFnM.net
>>721
入力サイズに対して、
コラッツ操作で何回2で割るかが分からないので、
難しいと思います。
特殊な場合だと、
2^n±1は、コラッツ展開のnビット目までを
多項式(定数?)時間で求められます。
767:１３２人目の素数さん
19/05/09 07:08:14.74 +tHX/zWL.net
個人的には
・Z(有理整数環)→(Z/2Z)の列 で単射になる
・>523の性質から、Z_2(2-進整数環)上にwell-definedに拡張できる
(環Zと素イデアル2Zの話が環Z_2と素イデアル2Z_2の話になるだけで、まったく同じロジックが展開できる)
・Z_2上全射(よって全単射)になる
ということでZ_2上で考えたらなんか出てこないかなー、とは。
コラッツ展開がループ
→一次方程式の解
→Q∩Z_2
とか。
なお、p-進整数環については、射影極限を経由するルートの方がわかりやすいかもしれません。
768:１３２人目の素数さん
19/05/09 08:06:12.63 +tHX/zWL.net
1ビットでも違うとそこから先は別物というか、カオス的な振る舞いをしますね
2で割ることで折りたたまれたフラクタル構造といいますか……
769:righ1113
19/05/09 08:26:35.55 c2RXSWlw.net
ところで、
>>686から書いている2-進整数とは少し違うものが英語版Wikipediaにあった。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
の"Iterating with odd denominators or 2-adic integers"
例えば、コラッツ展開(1011001)のループを考える。
このコラッツ展開の長さn=7で、"1"の個数m=4。
"1"のビット位置k_0,...k_(m-1)は、0, 2, 3, 6。
これらを元に、
(3^(m-1)*2^k_0 + ... + 3^0*2^k_(m-1))/(2^n - 3^m)
を計算すると、151/47になる。
この数を分数でコラッツ操作すると、
151/47 → 250/47 → 125/47 → 211/47 → 340/47 → 170/47 → 85/47 → 151/47 → ...
となって、確かにループしている。偶奇のコラッツ展開とも一致している。
(10)からは1が得られるし、(110)からは-5が得られる。
一つのループから一つの有理数が得られるようだ。
これも2-進整数って言うのかなあ。
770:１３２人目の素数さん
19/05/09 18:33:29.57 +tHX/zWL.net
2-進整数環Z_2においては、2Z_2の元でなければ可逆元となるので、47の逆元が2-進整数として存在します。
151/47と書くより151・47^-1と書く方が実情を正しく表現しているかもしれません。
また、加法・乗法は有理整数環上のものが延長されているので、分母が奇数の有理数についてはそのまま有理数として計算しても問題が発生することはありません。
771:righ1113
19/05/09 18:39:46.62 ysyHHFnM.net
ありがとうございます。
よく分かってないですが……
精進しますm(_ _)m
772:１３２人目の素数さん
19/05/09 19:13:07.75 yA5UfL3f.net
じゃあxのコラッツ展開のyビット目をもとめるのはNP困難か？
だったらどう？
773:１３２人目の素数さん
19/05/09 19:57:09.94 +tHX/zWL.net
分母が47の2-進整数は、
2^23-1 = 8388607 = 47×178481
であることから、
47^-1 が繰り返しが23桁の2-進整数となることがわかります。
具体的には
23桁の (11…1) = -1
であることから、
23桁の (10…0) = -1 × 47^-1 × 178481^-1
両辺に -1, 178481 をかけるという手順で求まります。
774:727
19/05/09 20:16:04.29 19c66qNB.net
NP困難がむりでも素因数分解とかグラフの同型問題とかに帰着出来たら一定の成果と言えると思う。
775:１３２人目の素数さん
19/05/09 20:21:22.85 19c66qNB.net
あれ、逆か？
素因数分解とかグラフの同型問題をコラッツに帰着できるか？
かな
776:１３２人目の素数さん
19/05/09 21:52:30.09 19c66qNB.net
自然数xのコラッツ展開のxビット目
777:、すなわちコラッツ展開の対角線に着目したら何か出てこないだろうか？
778:１３２人目の素数さん
19/05/09 22:16:54.60 19c66qNB.net
巨大数探索スレでは対角線というのは非常に注目されていて
ゲーデルの不完全性定理とかにもでてくる有用な概念らいしぞ。
779:１３２人目の素数さん
19/05/09 22:21:31.00 19c66qNB.net
例えば自然数xのコラッツ展開のyビット目をcollatz_bit(x,y)と置くとき、
collatz_bit(x,y)をxとyとcollatz_bit(z,z)で表すことが可能であれば、
本質的にコラッツの問題は対角線だけ着目すればいいという結論が出るかもわからない。
そうなったらちょっとすごい。
780:１３２人目の素数さん
19/05/09 23:11:30.02 19c66qNB.net
すまん、また先走ってしまったかもｗ
781:１３２人目の素数さん
19/05/11 00:46:16.20 fcymDsY6.net
>>719 の x-y∈(2^n)Z という式をみて、ユークリッドの互除法みたいにどんどん小さくしていけないかなぁとふと思った。
782:１３２人目の素数さん
19/05/14 16:53:13.29 8Q7VJT2b.net
藁
783:１３２人目の素数さん
19/05/30 21:36:43.15 cLyNr8Oe.net
さすがの>>1もここまで荒らされてしまってはギブアップか？
784:righ1113
19/05/31 07:22:26.05 v8IIjC8x.net
>>739
荒らされてる……?
証明はここにあります。
URLﾘﾝｸ(github.com)
割数列を使っています。
また、定理証明支援系Idrisを使用しています。
785:１３２人目の素数さん
19/07/23 20:59:18.66 9Y319zyX.net
藤林丈司
786:前786
19/07/31 22:27:24.78 IpAiLCvW.net
覗いてみたらコラッツ展開が注目されてて嬉しい。
コラッツ展開については私も色々考えていますが、>>546で書いた通り 3x+1 に限らず任意の px+q (p,q は奇数) で同様のことができるので、
3x+1 の特殊性をどう出すかが悩みどころ。
>>740
プログラムのことは良くわかりませんが、定理7-2 では 0 の全ての拡張完全割数列が有限項であることを示しているのですか？
787:righ1113
19/07/31 23:12:25.82 MdqshjyU.net
>>742
お久しぶりです。
最近プログラムに大きく手を入れたのですが、そこちょっと引っかかっていました。
示せてないです……
788:righ1113
19/07/31 23:36:04.76 MdqshjyU.net
1つ前のバージョンでは、レベルというものを導入していて、
『レベル2の』0の全ての拡張完全割数列が有限項であること
は実際に計算できたので、それを証明としていました。
789:前786
19/08/01 18:21:35.97 VR/ErDyu.net
>>743
やはりそうですか…。
了解です。
ついでに添削
ch01
・コラッツ予想
＞コラッツ操作をおこなう数を 「コラッツ値」 と呼ぶことにする。
既に同じ意味で「初期値」という言葉が使われているので「初期値」で統一してはどうでしょうか。
「コラッツ値」を残すにしても、『初期値のことを「コラッツ値」とも呼ぶ』などと定義した方が意味がはっきりします。
・定義1-1
これも分かりにくいので、
自然数 n を初期値としてコラッツ操作を連続して行ったとき、各操作において 2 で割った回数を並べてできる数列を n の割数列と呼ぶ。
とか。
有限列になる場合、無限列になる場合もここではっきりさせておくべき。
また、「コラッツ列」が未定義なので付け加えるか表現を変えるか。
・定義1-2
＞初期値が3の倍数の…
上で提案した定義に則るなら「初期値が」は不要。
このままにしたければ定義1-1を「初期値が n の割数列」に変更。
・3の倍数だけ調べれば良い
「コラッツ逆操作」が未定義。
ch02
・定義2-1
＞A[6,-4] or B[1,-2]をつける
「つける」では通じないので、
有限または無限数列 [a_1, a_2, a_3, ...] を数列 [6, a_1-4, a_2, a_3, ...] に写す変換を A[6,-4] と書く。
とか。
また、この時点ではまだ完全割数列を完全割数列に写すことが示されていないので、
その旨を削るか、書くとすれば「すぐ後で示すが」などと書き加えた方がいいと思います。
(重要)
・全ての3の倍数の奇数は、完全割数列で表わされる
ある数が完全割数列で表わされる、という文言がそもそもおかしいですが、
なにより 3 の倍数の割数列が完全割数列であるというのは完全割数列の定義そのもので、ここで示されることではありません。。
タイトルを何かしら変えるべきでしょう。ここで示されているのは
「star変換は完全割数列を完全割数列に写す」
「任意の完全割数列は、ある完全割数列にstar変換を施したものとして得られる」
です。
790:righ1113
19/08/01 18:38:18.77 mFTghELa.net
>>745
添削ありがとうございます。
すごく有難いです。
791:前786
19/08/01 18:51:35.06 VR/ErDyu.net
(重要)
ch03
コラッツ値が非負整数にならないものは禁止するのかしないのかはっきりさせて下さい。
禁止するならば、定義3-1は
n≧0 を 3 の倍数とする。整数列 [a_1, a_2, ...] が n の拡張完全割数列であるとは、
ある 3 の倍数 n'≧0 が存在して
・n' の割数列に、0 や負数が現れることも許してstar変換を有限回施すと数列[a_1, a_2, ...] が得られ、かつ
・n' に対応するコラッツ値の変換を施すと n が得られる
を満たすことを言う。
ってところですかね。
(重要)
ch04
「拡張コラッツ予想」とありますが、これは操作を定義しているだけで予想になっていません。
「拡張コラッツ操作」などと呼ぶべきでしょう。また、ここでも「1回の操作」をはっきり定義しておくといいでしょう。
拡張コラッツ予想とは
任意の拡張完全割数列は有限項である。
とかでしょうか。
あとはプログラムが分からないのでパスで
792:righ1113
19/08/10 16:30:41.61 WEEBIQI2.net
>>745
プログラムを変更して、
帰納法のbase caseは、『（拡張でない）完全割数列が有限項』を示せば良いようにしました。
0の完全割数列は[]と定義するので、有限項です。
793:前786
19/08/16 19:31:46.97 2gnceVey.net
どう改善したんです？
794:righ1113
19/08/17 09:46:57.28 /+c7d2Vv.net
すみません、2~3日まってください。
795:righ1113
19/08/18 20:20:16.33 /T55OTnz.net
すみません、もうしばらく時間をください。
796:righ1113
19/08/21 08:04:36.17 1YNIVvH6.net
GitHubのWikiとprogram3は直しかけです。
証明の流れは以下です。
①まず、二つの述語を用意します。
FirstLimited x ： xの完全割数列は有限長である
AllLimited x ： xの完全割数列および拡張完全割数列達は全て有限長である
示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
②次に、パースの法則の述語論理版を用意します。
"∀x::nat. ￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
-> (∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
-> P x"
これは定理証明支援系Isabelleで自動証明したので間違いないと思います。
③(∀z::nat. (P z -> Q z) -> (∀n::nat. P n))
のP, QにFirstLimited, AllLimitedを代入したものを証明します。
無限降下法はやめて、整礎帰納法を使います。
④ (x -> FirstLimited x -> AllLimited x) は、排中律により真か偽のどちらかです。
・真の場合
これと③を使って(a)が証明できます。
・偽の場合
これと③とパースの法則を使って(a)が証明できます。
797:１３２人目の素数さん
19/08/21 19:42:19.19 D7jjX8DP.net
>>752
> 示したい命題は、x -> FirstLimited x です。 ---(a)
？？？
x は単なる自然数でしょ？ なのに、x -> ・・・ と含意命題の仮定部に出て来るとは？？？
示したい命題って、AllLimited x -> FirstLimited x ですか？
798:righ1113
19/08/21 20:01:27.13 1YNIVvH6.net
>>753
プログラムで「x ->」と書いたら、全称量化を意味します。
参考記事です。
URLﾘﾝｸ(mandel59.hateblo.jp)
799:前786
19/08/21 21:08:20.89 fPaJwHz3.net
となると④の命題は
任意の自然数xに対して「FirstLimited x ならば AllLimited x」
ですか。
②
800:は 命題 -> 命題 -> 命題 の形になってるけどどういう意味？
801:righ1113
19/08/21 21:21:49.59 1YNIVvH6.net
②は
「任意の自然数xに対して、α -> β -> P x」
α：￢(∀z::nat. (P z -> Q z))
β：((∀z::nat. (P z -> Q z)) -> (∀n::nat. P n))
です。
802:righ1113
19/08/21 22:11:29.10 1YNIVvH6.net
＞ 命題 -> 命題 -> 命題
は、
十分条件1 -> 十分条件2 -> 命題
と書いても良いと思います。
803:前786
19/08/21 22:37:59.72 fPaJwHz3.net
A -> B -> C は
・「A ならば B」かつ「B ならば C」
・「A ならば B」ならば C
・A ならば 「B ならば C」
のどれかかと思ったけど
・「A かつ B」ならば C
ってこと？
804:前786
19/08/21 22:41:32.77 fPaJwHz3.net
あ、それとも
・「A または B」ならば C
ですか？
805:righ1113
19/08/21 22:44:55.92 1YNIVvH6.net
>>758
・A ならば 「B ならば C」
です。
（右結合といいます）
806:前786
19/08/22 01:12:58.29 giLkMHnx.net
分かりました。
あとは③の証明がちゃんとできてるかどうかですね。
807:１３２人目の素数さん
19/08/22 03:04:34.92 nw1u5r5f.net
>>754
はぁ～、依存型サポートしてる関数プログラミング言語のIdris独特の記法なのね、、、