170:前786
18/05/28 17:29:14.11 juv57CZY.net
>>161
私が考えているのは
「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
というのがどんな n, k についても成り立つか、という問題です。
それを証明するための一つの手段として、
「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで n で割って k 余る数に到達できる」
を示そうと思っています。
ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、何の話でしょうか。
Z/pqZ 上では「根である 1 まで下がって、また上がってくりゃいいだけの話じゃん？」、というのも意味がよく分かりません。
171:Mb
18/05/28 19:08:02.21 DIMEHMYY.net
>>162
要するに、
> 「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
> というのがどんな n, k についても成り立つか
というのは、
「コラッツ予想は、x ≡ k(mod n) だけ考えれば十分であるというのが、
どんな n, k についても成り立つか？」っつーのと同じことを謂っているように
思うのだが、うちらは「そのあたりに関しては、mod 3 と mod 4 の絡み合いに
関係していそうなので、なんだかんだで場合分けがややこしいことになりそうだ」
という話をしているだけなのだ。
そこで、
> それを証明するための一つの手段として、
> 「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで
> n で割って k 余る数に到達できる」
> を示そうと思っています。
というのが、「コラッツ操作」と「コラッツ逆操作」を混在させてしまうと、
なんとなく迷走してしまいそうで、心配しているだけだ。
その発想だと、「共通の“節点”であるどこか」を経由しないと いかんような気が
するので、「根であるところの 1 へのルートをそれぞれについて求めて、
その差分を取る」みたいなアプローチが成功しそうに思う。
あくまで個人的な感想なのだが。
172:Mb
18/05/28 19:28:33.47 DIMEHMYY.net
>>162
> ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、
> 何の話でしょうか。
原始根は複数個ありうるので、巡回群（剰余系における、全部の要素を辿る乗数系）も
複数個ありうるのだが、「一部の要素」をフォローする（単一の）乗数と、「その他の
要素」をフォローする乗数（その他大勢）が、全体として Z/pZ を隈なく覆う、
という「グループとしての、木の集まり」というものを考えて、「その集まりを
考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを
謂っているんだろうと思っているのだ。
それを考えると、「どこかの木に属している」ということは、「他の木に属していない」
という意味になりそうな気がするわけで、そうした「排他的な木」としての
「mod p の木」とか 「mod q の木」という概念はあっていいような気がするし、
それぞれの木が排他的に「すべての自然数」を所有しているとすると、
「グループとしての、木の集まり」がコラッツ問題をカバーしていることになり、
Z/(全部の木の基数の積)Z の存在を示すことができれば、コラッツ予想が肯定的に
証明できることになるような気がする。
173:前786
18/05/28 21:38:47.13 juv57CZY.net
>>163
mod 3 と mod 4 の絡み合いでややこしくなるとか、コラッツ操作とコラッツ逆操作を混在させて迷走しそうとか
心配はありがたいのですが、既に多数の n や k について証明できているのは見ていただけてるでしょうか。
「なんとなく」の印象だけで話されても困ります。
>>164
>「一部の要素」をフォローする（単一の）乗数
原始根にならない元のことでしょうか。よく分かりません。
数学の言葉でお願いします。
>「その他の要素」をフォローする乗数（その他大勢）
ここはもっとよく分かりません。
>Z/pZ を隈なく覆う、という「グループとしての、木の集まり」
軌道のことでしょうか。
>「その集まりを考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを謂っている
なんのことでしょうか。
174:righ1113
18/05/28 22:20:56.19 7MfED6re.net
>>144-147
説明ありがとうございます。完全に理解したとは言えないのですが……
このプログラムの実行には12時間以上かかったので、無駄にならなくて良かったです。
175:１３２人目の素数さん
18/05/28 22:30:29.54 vACmorEE.net
若干スレが荒れぎみですがこれも2chの華ですかね？
176:前786
18/05/29 08:17:04.68 uipUXNvy.net
>>166
よく粘りましたねｗ
逆
177:に言えば、プログラムで数千、数万回計算して得られた結論がたった３レスで説明できた訳ですから、 この考え方をうまくプログラムに落としこめれば計算量を大幅に削減できる可能性も…… >>167 私の発言でそう思わせてしまったなら申し訳ありません。
178:１３２人目の素数さん
18/05/29 14:20:35.00 hqRqM8Wt.net
「すべての自然数 N に対して、偶数は（素因数分解したときの 2 の乗数について
割ったら）奇数に帰着する。
「『４で割って３余る奇数』は、ビット列で表現したときに、下位のオンビット列
（一個以上のビット列が並んでいるビットパターン）」に帰着するので、
「４で割って３余る奇数」に帰着する。
そうすると、「４で割って１余る奇数」に帰着するすべての自然数が、3n + 1 操作に
対して、「４で割って１余る奇数」に帰着するかどうかが問題になるわけだから、
「ある『n ≡ 1(mod 4)の数が、(3n + 1)/2 操作によって、『n' ≡ 1(mod 4)の数』に
なるとき、n' が単調増加して無限大に発散するかどうか？」という話に帰着する。
そんなわけで、そのとき、2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」という話になる。
自分は数学屋ではないので、数式を追っかけて解決する自信がない。
数値実験で見当をつけようと思う。
ロジックに穴があったら指摘していただきたい。m(_ _)m
179:righ1113
18/05/29 18:52:19.94 MoZwWLVJ.net
>>169
最後がよく分からないです。
> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」
詳しい説明が欲しいです。
例えば、ビット列で言うとこう、とか
プログラム(アルゴリズム)で書くとこう、とか。
180:１３２人目の素数さん
18/05/29 19:02:13.73 4lgsCN3f.net
>>168
まあここまでが順調過ぎましたからね
今の方が本来の2chの姿に近いかも
あまりガッカリせずに気長に行きましょう
181:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:09:33.77 hqRqM8Wt.net
>>169
> 最後がよく分からないです。
>> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか？」
> 詳しい説明が欲しいです。
あ、ごめん。言葉が足りなかった。
最下位に「連続した２個以上のオンビットがある」というのが
n ≡ 3(mod 4)
ということなわけで、
その場合は「下位のメルセンヌ部分を除去したビット列に、
3n + 2 操作を行ないつづけることで、n ≡ 1(mod 4) に帰着する」
ということが謂える。
だから、「メルセンヌ部分を除いた本体が、増えるか減るか」が
肝心なところであって、「最下位に一個以上の 0 があって、本体の長さが
減る」のか、「最下位に二個以上の 1 が現れて、本体の長さが増える」のかが
問題になるわけだ。
その部分に着目すると、コラッツ操作の逆操作を考えたときに、かなり計算量が
減るように思うので、「コラッツ予想は 5 × 2^60 までは成り立つ」みたいな
ショボい話（IEEE の long よりも小さい）ではなくて、メルセンヌ素数的な
デカい数まで（たとえば 10^100 とかまで）コラッツ予想は成り立つことが、
“数値実験的に”ではなく、“数学的に”（といっても、コンピュータによる
実験的な検証が入っているので、数学的な厳密性に欠けているという点については
完璧ではないのだが）「コラッツ予想は成立する」と断言しちゃっていい、
みたいな話になると思うのだ。
182:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:10:17.02 hqRqM8Wt.net
少なくとも、「フツーにプログラムを動かしていたら、例外が見つかった」とか、
飛行機が堕ちて死ぬとか巨大彗星が堕ちてきて人類が滅亡するとか、そういった
確率の何百万分の１以下のところまで絞りこめれば、「実用的には、コラッツ問題は
解決した」（とはいえ、コラッツ問題の実用性というのが、あるとは思えないが）と
言っちゃっていいと思う。
暗号理論だって、「偶然、解読のための鍵が見つかっちゃう確率は 0 ではない」という
意味では完璧ではないわけで、「じゃあ、具体的には、コラッツ予想は、どこまでの
範囲で成り立つのか？」という限界を、「可能性がありそうな部分を、一個づつ
ブルート・フォース・アプローチによって潰してゆく」より効率のよさそうな方法で
ツブしてゆ�
183:ｭというアプローチがありそうに思う。 で、その過程で、「なんか、こっから先には なんにもなさそうな気がする」という 限界が うっすらと見えてきたら、そこから逆に「じゃあ、このあたりには何があるの？」とかいった見当がつくのかもしれない、と思う。 コラッツ予想はメルセンヌ素数 8,191 に絡んで、2^8191 - 1 あたりで組合せ論的には 頭打ちになると思う。実際にメルセンヌ数から出発してメルセンヌ数に落ちるケースは 127 かなんかが最高だったので、あとは「メルセンヌ数ではない数から出発して、 3n + 1 操作“のみ”によってメルセンヌ数に落ちる」ケースを潰してゆけば、 コラッツ予想が成立する限界点は もっと先まで確認できるように思うし、 ひょっとしたら（四色問題や有限群の分類みたいに）「この先は、組合せ論的にいって ありえない」みたいなコトになるかもしれない（とはいえ、私は数学の専門家では ないので、数学者の誰かが証明できたとしても、その証明を理解できる自信は まったくないのだが(-_-!)）。 てなワケで、現在探索を続行中。
184:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:15:32.62 f2WjLLel.net
>>173
探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
なんなら>>1みたいに晒してくれてもいいのよ？
185:１３２人目の素数さん
18/05/29 21:38:00.75 hqRqM8Wt.net
>>170
ごちゃごちゃ長文を書いてしまって申し訳ない。m(_ _)m
要するに、「いままで、『n 以下までにはコラッツ予想の
反例はない』というのを示すのに O(n) の手間がかかって
いたのだが、それを O(lon(n)) に持ってくことができたら、
5*2^60 とかいう ショボい話じゃなくて、 2^127 くらい
までは（できれば 2^4095 くらいまでは）持ってけねぇか？」
っつー話。
>>174
> 探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと？
『Java の宿題ここで答えます』の回答者側の常連だったので、
「とりあえず動く」レベルのものはあるのだが、やっつけで
書いたもんだから（これが Hacker というものだ）あんまり
フツーのプログラマが見て分かりやすいモンじゃねぇんだよな(-_-!)
自前でやってる WebLog のほうに、近々さらすことにして、
ソーズは もうちょっと洗濯させてくれ m(_ _)m
186:righ1113
18/05/29 22:09:23.31 HdpfadtL.net
>>175
今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
187:１３２人目の素数さん
18/05/29 22:34:19.60 f2WjLLel.net
やはり>>786が論理を構築し>>1がその論理をプログラムで実装するというのがこのスレのベストプラクティス。
なにかいいネタはないかな。
188:righ1113
18/05/29 22:53:33.64 HdpfadtL.net
>>177
>>113とか、どうですかね?
189:１３２人目の素数さん
18/05/29 23:17:54.07 f2WjLLel.net
いまいちよくわかってないんだが>>113の①②③はそれぞれ別々に証明する必要があるってこと？
で①②③がいえれば④がいえるってこと？
190:前786
18/05/29 23:19:19.88 z3i0m55/.net
>>177
プログラムの結果を参考にして証明を進める、までできれば私としてはベストですね。
今は>>168で書いた案について考え中。
>>178
>>113の①はなんとかなるかもしれません。
「繰り返すと１つになる」というよりは「繰り返しても集合の個数が増えない」という論法になりそうです。
ちょうど>>168のアイデアにも関連します。
このあと軽く説明します。
191:righ1113
18/05/29 23:30:01.77 HdpfadtL.net
>>179
①と②は対偶関係なので、
①を証明する→③を証明する→④が言える
です。
192:前786
18/05/29 23:38:41.79 z3i0m55/.net
そもそも>>94の説明がなぜあれだけで済んだのかというと
・mod 7*19 で考えるところを、mod 7 と mod19 に分けた。
・mod 7*19^2 で考えるところを mod 7 と mod 19^2 に分け、
さらに mod 19^2 で考えるところは実質 mod 19 で考えるだけで済んだ。
ということが効いているんじゃないかと思います。
それで、一�
193:ﾂ目はおいといて二つ目の mod 19^2 で考えるところが mod 19 で済む という部分がポイントで、 こういうのが許されるのはちょうど「C を繰り返して集合が増えないとき」になりそうなんです。 さらに、プログラムを進めていくとどこかで「繰り返しても集合が増えない」となることも証明できそうなので、 これを利用してプログラムの計算量を減らせそう、という考えです。 時間があるときにちゃんと考えようと思います。
194:前786
18/05/29 23:51:01.24 z3i0m55/.net
（実際のところ、>>156が分かる人がどのくらいるのかちょっと気になる）
195:righ1113
18/05/30 00:00:21.34 SjK0M6Ur.net
>>183
自分は分かっている……つもりです……
196:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:29:09.70 BsxBoGmV.net
2倍の繰り返しで
1→2→4→8→16≡7→14≡5→10≡1
0→1
3の倍数が残るけど2で割り続けて奇数になったあと
3n→3n×3+1≡1
でおしまい
2倍は「好きなだけ遡れる」ところがポイントかね
197:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:45:42.08 pjE9OVg/.net
13 だったらまだ理解できるんだがな。
1 → 2 → 4 → 8 → 16 ≡ 3 → 6 → 12 → 11 → 9
→ 18 ≡ 5 → 10 → 20 ≡ 7
つーても、これがコラッツ予想の解決とどう結びつくのかがわからんが。
198:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:53.88 pjE9OVg/.net
あ、
×
199:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:48:45.57 pjE9OVg/.net
あ、
× 12 → 11 → 9
〇 12 → 24 ≡ 11 → 22 ≡ 9
だった。
200:１３２人目の素数さん
18/05/30 08:09:47.45 pjE9OVg/.net
mod 7、三倍（原始根は 3）
1 → 3 → 9 ≡2 → 6 → 18 ≡ 4 → 12 ≡ 5 → 15 ≡ 1
mod 19、二倍（原始根は 2）
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 ≡ 13 → 26 ≡ 7 → 14 →
28 ≡ 9 → 18 → 36 ≡ 10 → 20 ≡ 1
あたりが関係してくるらしいのは見当がつくんだが、
3n + 1 で巡回することを考えてみたらいいのか、
それとも 3 で割って 2 余る数について逆操作の (2n - 1)/3 を
考えたらいいのか …… わからん。
201:前786
18/05/30 08:32:25.52 8DwWThhE.net
>>185
残念
Z/9Z において 0→1 (3倍して1を足す) は可逆でないので、これだと不十分です。
実際、この方針で例えば 16 から 9 の倍数を作ろうとすると、
2 を 2 回かけて 16→32→64
1 を引いて 3 で割って 64→21
で、9 の倍数になりません。
>>186
確かに私の予想が証明できてもすぐにはコラッツ予想に繋がりませんが、
まあ外堀を埋めるような感覚です。
それに、もし万が一私の予想に反例が見つかれば、その時点でコラッツ予想も不成立となるので、
そういう意味ではコラッツ予想を直接攻めていると言えなくもないかなと。
202:１３２人目の素数さん
18/05/30 15:44:56.54 pjE9OVg/.net
>> 174
> 今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
ただ待たせっぱなしにするのも気づまりなので、
「メルセンヌ数から 1 に落ちる途中で メルセンヌ数を経由する」
という例は挙げておこうと思う。
7 <- メルセンヌ素数の 2 番
31 <- メルセンヌ素数の 3 番
127 <- 1 メルセンヌ素数の 4 番
511: 7 を経由
2047: 127 を経由
4095: 127 を経由
8191: 127 を経由
16383: 127 を経由
131071 <- メルセンヌ素数の 6 番。経由せず。
262143: メルセンヌ素数の 7 番。経由せず。
524287: 7 を経由
1048575: 7 を経由
2097151: 31 を経由
4194303: 31 を経由
でもって、
2^61 - 1 -> 31
2^62 - 1 -> 31
2^63 - 1 -> 31
2^64 - 1 -> 31
とかいう話になっているので、「コラッツ予想は数値実験によって
5*2^60 まで正しいことが確認されている」とかいった WikiPedia の
記述は、このあたりに絡んでいるのかもしれないと思う。
203:righ1113
18/05/30 18:37:06.75 0W4YjiD/.net
>>191
下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
ますます分からなくなる(>_<)
204:１３２人目の素数さん
18/05/30 19:01:13.88 pjE9OVg/.net
>>192
> 下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
> ますます分からなくなる(>_<)
だからコラッツ問題は面白いんじゃないですか (^_^)v
205:１３２人目の素数さん
18/05/30 21:14:57.31 fCXVi6t2.net
そういえば剰余コラッツ予想(前>>786の予想)の反例が見つかったと仮定して、
その反例から元のコラッツ予想の反例を求めることは簡単なの？
206:前786
18/05/30 23:24:08.24 8DwWThhE.net
>>194
（その名前使ってくれてありがとう）
これは簡単です。
剰余コラッツ予想の反例があるということは、
ある自然数 a,n,k が存在して
「a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返しても、n で割って k 余る数に到達できない」
ということです。
このとき特に、a から k に到達することができません。
ここで、もし a,k が共にコラッツ操作で 1 になるとすると、
a→1→k のルートで a から k に到達できてしまい矛盾します。
したがって、a,k のいずれかがコラッツ予想の反例となります。
207:１３２人目の素数さん
18/05/30 23:43:24.81 fCXVi6t2.net
え、じゃあa,kのいずれかは5*2^60より大きくなきゃいけないってことか
208:前786
18/05/31 00:03:29.44 sTlF47Ao.net
>>196
あ、ほんとだ
素で気づいてませんでした。
ちょっとこれは認識を改めないといけないかもしれない
209:righ1113
18/05/31 00:15:22.71 hTYeS4Jm.net
プログラムもそこまでとか、ムリだからねっ
210:righ1113
18/05/31 00:24:01.59 hTYeS4Jm.net
>>197
ちなみに今のプログラムで反例が見つかっても>>195に繋げられる?
211:前786
18/05/31 00:41:52.06 sTlF47Ao.net
>>199
ちょっとまだ分かりません。
反例が見つかったら考えようと思っていました。
ちなみに今のプログラムは剰余コラッツ予想を完全に確かめられるものではない（>>103の話）ので、
5*2^60 以下でもプログラムでの反例が見つかる可能性はあります。
212:righ1113
18/05/31 00:46:19.98 hTYeS4Jm.net
弱い成果が得られるやつですよね。
213:前786
18/05/31 00:58:27.40 sTlF47Ao.net
そうですそうです。
214:１３２人目の素数さん
18/06/02 21:15:03.31 2LuxVRMt.net
n ≡ 1 (mod 4) に 3n + 2 操作を（連続して）行なったときに
何が出てくるかと、
n ≡ 1 (mod 4)に 3n + 1 操作を行なったときに、
n ≡ 0 (mod 2) と 1 ≡ 3 (mod 4) がどんなふうに
出てくるかと、
四進法で 11111 …… がどんなふうに出てくるかで
（これはどっちかというと効率上の問題）、
どうやら 2^63 の壁は突破できそう。
ただ、アルゴリズムの効率がいまひとつなので計算機パワーに
頼っているのと、数学的に理解しやすい表現に落ちないんだよな ……
連分数による無理数の近似を行なおうとすると、φがいちばん
誤差が収束しづらいとか、そんな話になりそうなんだよな。
遠山 啓先生の『初等整数論』の終わりのほうにもそんな話が
出てきてて、「うーん、オレが求めているのは、
そういう結果じゃないんだけどな」と思ってはいるんだが。
215:１３２人目の素数さん
18/06/07 19:47:31.27 ddCD53Qi.net
スレが止まってるが大丈夫か？
216:righ1113
18/06/07 21:30:24.45 hy9kJ5h9.net
特に進展がないのです……
217:１３２人目の素数さん
18/06/07 21:38:46.18 GMXTgnWv.net
>>204
「大丈夫だ。問題ない」… とは言えんな。
いまのところ２つのアプローチを考えている。
「下位のオンビット列を切り離して、3n + 2 操作を繰り返したあとに
残った 1(mod 4) に 3n + 1 操作を加えたときに
下位に何が（オンの連続かオフの連続か）出るか（そこで 0(mod 4) が
出るまではいいとしても）」、数学的に考えると「下位のオンビット列を
切り離す」操作をどう考えたらいいかとか、操作が複数になるので
理論的にややこしくなるという問題がある。
かといってそれを素直にビット列で考えてコンピュータで
処理しようと思うと、桁数が多くなる（2^63 を超えたあたり）と
31（2^5 - 1）とかが出てきて収拾がつかなくなりそうな
気がする。
数学的素養にしろコンピュータの性能にしろ、
「そんな装備で大丈夫か？」的な不安はある。
218:１３２人目の素数さん
18/06/08 13:40:04.11 gOsCxwff.net
数学板でこれを言ったらボロクソに叩かれるのは承知しているが、
「1 ビットに収束する という制約を外して、セルオートマトンで表現する」
とかいった形で画像にしてみて、
その画像に FFT とか ウェーブレット変換とかをかけて挙動を推測する、
とかいうアプローチは あるんじゃねぇ？
画像で表現したときに、「最終的にONな 1 ビットが移動するだけ」になるのは
（実験的には）確認されているんだから、画像的に逆三角形が「どん」という
感じで出現するかどうか、っつー話なわけだから。
219:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:05:54.99 ID4JGGod.net
アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
220:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:12:20.69 gOsCxwff.net
>>208
> アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
解ってる。問題は「他にできる奴がいねぇ」っつー点なんだわ。
やんなくていいから、せめて まともなツッコミくらい
入れてくれないと、気分が萎えるんだよ。
221:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:43:30.22 ID4JGGod.net
まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
まだ突っ込み云々の段階じゃないだろ。
222:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:15:37.98 gOsCxwff.net
>>210
> まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
わかった。要するにお前は
「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
至る数の性質を明らかにしろ」っつーコトだな？
そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
223:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:50:50.71 gOsCxwff.net
>>211
> そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
いや待て。ちょっと待て。
> 「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
> 3n + 1 の逆操作を（偶数を経由せずに）1(mod 4) に
> 至る数の性質を明らかにしろ」
っつても、「偶数を経由せずに」じゃなくて、
「1(mod 4)を経由せずに」なんじゃねぇの？
（末尾が二進数で 00 とか 01 とか 11 だったら、
別のケースに帰着しちゃうんだから）
これだったら結構 効率よく追っかけられそうな
気はするんだよな
頑張ってみる。サンクス。>>210
224:１３２人目の素数さん
18/06/09 09:51:12.21 12rdjGpD.net
>>212
× 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)を経由せずに」
〇 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)だけを経由して」
225:righ1113
18/06/09 19:25:47.19 3gm5u4YA.net
プログラムを使って、
n=3037から6367までの素数396個、全て正常終了を確認しました。
オールNothing出ないですね……
226:１３２人目の素数さん
18/06/09 19:32:18.47 XXNgJp1+.net
ほほう。
>>1乙です。
227:１３２人目の素数さん
18/06/09 19:39:31.39 XXNgJp1+.net
ちなみに素数に絞ったのはなにか根拠があるんですか？
それともなんとなくですか？
228:righ1113
18/06/09 19:59:06.87 3gm5u4YA.net
本当はむしろ合成数をやりたかったのです。
素数なら30分で終わるところが、合成数だと2時間かかったり。
ほんで素数にしました。
229:１３２人目の素数さん
18/06/09 20:20:31.16 12rdjGpD.net
>>214
とりあえずコラッツ予想の反例が出なかった、という意味では
順当な結果だと思います。ともあれご苦労様ですm(_ _)m
そうすると、現時点で「コラッツ予想が成立する数の上限値」と
いうのは、どの程度なんでしょうか。
IEEE の 64 bit INT（＝Java の long）までは反例がない、
とかいった話ではあるんでしょうか。
230:righ1113
18/06/09 20:48:37.47 3gm5u4YA.net
>>218
>>191の後半に
>「コラッツ予想は数値実験によって
>5*2^60 まで正しいことが確認されている」
>とかいった WikiPedia の記述
があるからそれだと思います。
231:１３２人目の素数さん
18/06/10 02:56:21.72 tquT+eik.net
>130ですが、また別のアプローチを試みてみたところ、少し面白い結果が得られたのでご報告。既知の情報だったら申し訳ないですが…
「ある奇数にコラッツ操作(3n+1→奇数になるまで2で割る)を試みた結果どんな数になるか」をまとめたところ、以下のような規則性があるのに気づきました。
操作後の数をＡとして、Ａを３で割った余りが
○1(1.7.13…)の場合：(Ａ*4-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる
(1
232:←1.5.21.85…)(7←9.37.149.597…) ○2(5.11.17…)の場合：(Ａ*2-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がＡとなる (5←3.13.53.213…)(11←7.29.117.469…) ○0(3.9.15…)の場合：コラッツ操作でＡになる数は存在しない 一旦切ります。
233:218
18/06/10 03:30:20.71 tquT+eik.net
続きです。
で、余り0はほっといて、余り1と余り2をそれぞれまとめてみました。
1： 1. 5. 21. 85. 341. 1365…
7： 9. 37.149. 597. 2389. 9557…
13：17. 69.277.1109. 4437.17749…
19：25.101.405.1621. 6485.25941…
25：33.133.533.2133. 8533.34133…
31：41.165.661.2645.10581.42325…
5： 3.13. 53. 213. 853. 3413…
11： 7.29.117. 469.1877. 7509…
17：11.45.181. 725.2901.11605…
23：15.61.245. 981.3925.15701…
29：19.77.309.1237.4949.19797…
35：23.93.373.1493.5973.23893…
…縦と横を入れ替えると、全部等差数列になってるんですよね、これ。
もう少し続きます。
234:218
18/06/10 03:41:04.40 tquT+eik.net
続きです。長くなってしまって申し訳ない。
3.7.11.5.19.23 初項3 公差4
1.9.17.25.33.41 初項1 公差8
13.29.45.61.77.93 初項13 公差16
5.37.69.101.133.165 初項5 公差32
53.117.181.245.309.373 初項53 公差64
21.149.277.405.533.661 初項21 公差128
213.469.725.981.1237.1493 初項213 公差256
85.597.1109.1621.2133.2645 初項85 公差512
853.1877.2901.3925.4949.5973 初項853 公差1024
341.2389.4437.6485.8533.10581 初項341 公差2048
3413.7509.11605.15701.19797.23893 初項3413 公差4096
1365.9557.17749.25941.34133.42325 初項1365 公差8192
…。
1+2=3
3+2=5
5+8=13
13+8=21
21+32=53
53+32=85
85+128=213
213+128=341
341+512=853
853+512=1365
1365+2048=3413
なんていう分布を見ると、「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
以上、気づいた点のご報告でした。
スレ汚し失礼いたしました。
235:１３２人目の素数さん
18/06/10 08:07:49.10 GkYmcQpB.net
初項2x+1 (x:整数)
漸化式 a_(n+1)=4 a_n+1
で与えられる数列の各項はコラッツ予想の操作で合流する
(2x+1)×3+1=6x+4
(4(2x+1)+1)×3+1=24x+16=4(6x+4)
一般項a_n=((6x+4)/3)^n-1/3
236:１３２人目の素数さん
18/06/10 08:29:53.23 GkYmcQpB.net
重ならないように、というのは、
×4+1した隙間の奇数が次々に出てくるのかな
237:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:11:07.49 gH+TEyZw.net
>>204
> 「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。
コラッツ予想は、言い方を変えると「４で割って３余るすべての奇数は、
『３倍して１を足す』『２で割る』という二つの操作によって、
１を根とした二分木上に一意に配置される」ということだから、
その認識は正しいと思います。
> 素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
まぁまぁ、そうおっしゃらずに。数学者は数学的な道具の取り扱いに長けているので、
つい自分の使い慣れた道具で扱おうとして、結果的に灯下探索症候群に
陥ることもあるようですから、素人目線も重要ですよ。
行列を使って永らく未解決だった問題が、連分数や図的解法（古代メソポタミアでは
普通に使われていましたが、二十一世紀に再評価されるまで、ほとんど博物�
238:ﾙの 展示物扱いでした）で あっさり解けちゃった例もありますし。 ヘヴィサイドの演算子法みたいに、「とにかく解けるんだからいいじゃないか」と いうのに後から数学的なリクツがついてきた、という例もあるので。
239:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:27:08.31 gH+TEyZw.net
>>220 の指摘は、「二分木上に一意に配置される」という観点からいうと、
ある「４で割って1 余る奇数」を d （odd の d です。o だとゼロと紛らわしい
ので）としたとき、「d が d≡0(mod 3)のときには、そこより先に（次の数 d' が
出てくるような）枝はない」「d が d≡1(mod 3)のときには、奇数枝が出ないので、
あるとすれば偶数枝の先に d' がある」「d が d≡2(mod 3)のときには奇数枝も
出るので、奇数枝と偶数枝の両方の先に d' （とか d'' とか）がある可能性がある」という
話になるんじゃないか、と思います。ですから、非常に納得のゆく視点です。
等差級数うんぬんの話というのは、そこから自然に導かれる帰結なのでは
ないでしょうか。
240:１３２人目の素数さん
18/06/10 09:38:45.60 gH+TEyZw.net
>>226
ごめんなさい。「奇数枝」というのは、「(3n + 1) / 2 操作によって
奇数に至るルート」なので、途中で偶数を経由しています。したがって、
「3n + 1 操作」ベースで考えると、「それは偶数枝として一般的に
扱ったほうが適切なんじゃねぇんの？」という批判は（たぶん）
あるかと思います。
241:１３２人目の素数さん
18/06/10 11:33:20.33 GkYmcQpB.net
1
2
4←1
8
16←5
32
64←21
128
256←85
512
…
5
10←3
20
40←13
80
160←53
320
640←213
1280
…
242:１３２人目の素数さん
18/06/10 11:48:45.88 GkYmcQpB.net
一般化するとこんな感じで枝分かれを繰り返してくわけだが
6n+1
12n+2
24n+4←8n+1
48n+8
96n+16←16n+5
192n+32
384n+64←128n+13
…
6n+5
12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
24n+20
48n+40←16n+13
96n+80
192n+160←64n+53
…
243:１３２人目の素数さん
18/06/10 13:29:24.03 gH+TEyZw.net
>>229
> 12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな？
よく分からんが、たぶんそうだと思う。
>>116 の再録になるが、
> 242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
> 728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
> 1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
> 1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
> 2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
> 2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
> 3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
> 3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
> 4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
> 4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
> 5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
> 5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
> 6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
> 6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
> 7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
> 7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
> 8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
> 8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
> 8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
> 9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
> 9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
みたいな系列だ。
244:１３２人目の素数さん
18/06/10 13:37:00.64 gH+TEyZw.net
あ、念のため。
このスレに集っている方々にとっては常識だろうけれど、
‘☆’
245:がついてるのは、三の倍数（n ≡ 0 (mod 3)）の場合な？ 「偉そうに」とか「上から目線」とか、そう思われるのは 不本意なので。
246:righ1113
18/06/10 15:13:02.69 FdIQbMom.net
>>220
自分も昔似たような事を考えていました。
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
でも後が続かないのですよね……
同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
247:１３２人目の素数さん
18/06/10 16:52:17.37 gH+TEyZw.net
>>232
> 同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
つーか、似たようなことを考えてる輩（やから）が
このスレに集まってるんだろうがよ（笑）。
248:218
18/06/11 07:22:40.87 l+PAssIA.net
>224
>222を初項の小さい順に並べ直してみると、
1.9.17.25.33.41…a
3.7.11.15.19.23…b
5.37.69.101.133.165…c
13.29.45.61.77.93…d
21.149.277.405.533.661…e
53.117.181.245.309.373…f
a___a___a___a___a___a___a___a___a
_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_
__c_______________c______________
______d_______d_______d_______d__
__________e______________________
__________________________f______
と、フラクタル的な配置が出現しているように思います。
言い換えれば、全ての奇数がこの配置のどこかに格納される事が証明できれば、「とんでもなく大きな数で例外が現れる」可能性を除去できるのではないかと考えたんですが、いかがでしょうか？
あとは、この数列が例外なくコラッツ操作後1に繋がる(1.5.21.85.341.1365…)の数列に帰結する事が証明できれば、コラッツ予想を証明したと言えるのではないかと。
(「そんなんできねーよw」と自分では思ってたんですが、>223が糸口になりそう？)
頓珍漢な事を言ってたら申し訳ないです。
249:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:14:51.55 CCISXKIi.net
>>234
いや、発想としては順当だろうと思う。>>207 も発想としては同じだろう。
下向きの三角形というのは、一次元セルオートマトンではしょっちゅう
出てくるパターンだし、タガヤサンミナシ（イモガイの一種）の模様にも
あるような普遍的なパターンなので、シェルピンスキーの三角形みたいに
大きな三角形が「ずどん」と出るケースをうまく避けられれば
証明に結びつくと思う。
…… つーか、そのネタはウラムも思いついていて、ノイマンあたりと一緒に
追いかけてたかもしれない。それでコラッツ→ウラム→ノイマン→角谷と
伝わって、ここでこうして議論されているという話はありうる。
250:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:16:22.58 CCISXKIi.net
×シェルピンスキーの三角形
〇シェルピンスキーのギャスケット
251:１３２人目の素数さん
18/06/11 08:42:28.48 CCISXKIi.net
あと、厳密な（解析的な）解決には結びつきそうもないが、
セルオートマトン → チューリング → 二重勾配 → 形態形成
→ フィボナッチ螺旋 → 互除法 → 連分数 みたいなルートは
なんとなく臭い、と思う。「二重勾配」あたりに位置するのが、
「ビットシフト」と「算術演算」（2n + n + 1 ＝ 3n + 1）
であり（こっちが速い過程）、結果的に起きるキャリー（繰上り）の
連鎖とビットパターンの分布の相互作用（こっちが遅い過程）
ではないかと。そのあたりが話をややこしくしているように思う。
252:１３２人目の素数さん
18/06/12 07:21:50.27 /TgiGIzK.net
オートマトンといえば昔考えた、
×3+1を計算する有限オートマトン
文字: 0,1,空白
先頭が下位の2進数、後は空白のテープを考える
状態: 0(×3+0), 1(×3+1, 初期状態), 2(×3+2), 3(停止).
遷移表:(移動は常に右)
遷移|0 |1 |空
s0|0/s0|1/s1|空/s3|
s1|1/s0|0/s2|1/s3|
s2|0/s1|1/s2|0/s1|
253: 例:7×3+1=22 s1: [1]11空空空 s2: 0[1]1空空空 s2: 01[1]空空空 s2: 011[空]空空 s1: 0110[空]空 s3: 01101[空] 停止せずに折り返して先頭の0を空白に置き換えるように改造すればコラッツ問題を再現するけど、停止しなくなる 1…10と0…01が状態s1を保つので、これでうまく分類できないかなぁ、まで考えた
254:１３２人目の素数さん
18/06/12 13:08:59.15 B3CrVbdR.net
>>238
> まで考えた
Java の開発環境があるなら、前にも「それなりに頑張ってるんだけど」
的な話をしたので、 Java のソース貼るけど？
ただ、ム板（プログラム技術板）でも「ソース貼られると
読んでて邪魔だ」と言われて嫌われて、
「どっかいけ」みたいな感じで追い出されたのだが。
『★★ Java の宿題ここで答えます Part 74 ★★』とかに
“出題”してくれれば、名目が立つんだが。
255:１３２人目の素数さん
18/06/12 19:25:58.43 psqSBNTM.net
>>1みたいにgithub使えばよろし
まあ、無理にとは言わんが
256:１３２人目の素数さん
18/06/12 21:30:52.62 B3CrVbdR.net
>>240
> github使えばよろし
> まあ、無理にとは言わんが
WikiPedia によれば、GitHub は
> 2018年にマイクロソフトによる買収が発表されている
そうだ。
ゲイツが死んで三十年くらい経ったら考えてみてもいい。
257:１３２人目の素数さん
18/06/12 21:33:17.05 psqSBNTM.net
もしかして言語がJavaなのもアンチゲイツのせいなのか？ｗ
258:１３２人目の素数さん
18/06/13 09:31:54.51 86YPnV22.net
>>242
Eclipse を使ってるのもアンチゲイツのせいだw
Eclipse の原型は OS/2 で動いてた VisualAge C/C++ なんだぜ。
259:１３２人目の素数さん
18/06/13 19:07:29.31 86YPnV22.net
ところで、このスレはコンピュータ使いが多いと思うんだが、
・計算器で限界に挑戦するなら C 言語
・プログラマが本業だったら、仕事にも使える Java
・研究とかも含めて、ロジックとか そっちの方にも視野を
向けてるんだったら Lisp 系
・教育のほうに向いているんなら N-BASIC とか Mathematica とか
みたいな言語ごとの棲み分けみたいなのがありそうに思うんだが、
お前ら何（＝どんな言語）使ってる？
260:１３２人目の素数さん
18/06/13 20:27:07.06 9eZXXRM3.net
そういやコラッツてプッシュダウンオートマトンとかで実装できるの？
261:１３２人目の素数さん
18/06/13 21:21:20.83 86YPnV22.net
>>245
なんかしら Wolfram がチューリングマシンをどうこうして、
どっかの学生が証明したのなんだの、という話が
二三日前の新聞にあったような。
ggrks 、とセルフつっこみ。
262:righ1113
18/06/13 21:27:55.75 RdFyYz3+.net
>>245
チューリングマシンなら、あるんだがなあ。
URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)
263:１３２人目の素数さん
18/06/13 21:33:44.48 9eZXXRM3.net
そりゃチューリングマシンはあるだろうさ
264:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:05:18.39 6aITicNF.net
JavaScript で実装してみた
たぶん新しめのブラウザでないと動かない
最上位の1は暗黙の存在とし、内部的には全部'_'になって止まる
第1引数は下位を先頭とする2進数の文字列
(※最上位の1は入力からは除外する)
第2引数は途中で止めたい時用に処理する最大桁数
出力は途中経過の配列(最上位の1は補完)
function collatz(a,m){
const STT=[
['___','___','___'], // 停止
['10L','11L','6_R'], // 最
265:下位まで戻る ['___','___','10L'], // 繰り上がり処理 ['30R','41R','11L'], // ×3+0 ['31R','50R','20R'], // ×3+1 ['40R','51R','21R'], // ×3+2 ['6_R','5_R','0_R'], // 割る2 ]; let s=6, i=0, r=[a+1]; a=[...a]; while(s>0&&i<m){ let c='01'[a[i]]||'2'; let n=STT[s][c]; s=n[0]; // 状態 a[i]=n[1]; // 文字 i+=(n[2]=='R')?1:-1; // 移動 if(s==6)r.push(a.join('')+1); } return r; }
266:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:08:23.72 xW9095UW.net
>>249
ん、これコラッツのプッシュダウンオートマトンなの？
267:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:12:54.50 6aITicNF.net
なお出力の途中経過は×3+1,÷2のいずれかが完了したところだけ出してる
268:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:13:28.53 6aITicNF.net
あ、プッシュダウンではないね
ただのオートマトン
269:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:14:59.61 xW9095UW.net
有限オートマトンのこと？
コラッツってそんな弱いの？
270:１３２人目の素数さん
18/06/13 22:25:22.86 6aITicNF.net
弱い強いはよくわからんが
「ある整数からコラッツ問題の通りに計算を続けて1に到達する」と
「ある整数に対応する初期状態から開始すると止まる」が同値になるオートマトンは作れるかな？
というわけで作ってみたのだが
271:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:07:39.84 xW9095UW.net
うーん、プログラムが正しくオートマトンの制限を守ってるかどうか判断できない orz
パッと見、チューリングマシンのようにも見える。LとかRとかあるし。
272:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:23:40.12 6aITicNF.net
オートマトンは進む一方か……
チューリングマシンだったねこれ
273:１３２人目の素数さん
18/06/13 23:34:57.10 6aITicNF.net
とりあえずwikipediaで定義を見直してきましたが、チューリングマシンと呼ぶべきですね
チューリングマシンをオートマトンの一種とするならオートマトンといえなくもないかもですが……
有限オートマトンではありません
なんかごっちゃになってましたねー
274:１３２人目の素数さん
18/06/15 19:53:54.10 uqoBws9V.net
まあ、プッシュダウンオートマトンでコラッツを実装で来たらそれはそれで一定の成果なのかな？
コラッツ予想が真なら究極的には1状態有限オートマトンでもおｋなわけだから無い話ではないはず。
275:１３２人目の素数さん
18/06/15 21:09:22.84 uqoBws9V.net
プッシュダウンオートマトンで実装で来たら無限に発散しないことが言えてしまう？
276:１３２人目の素数さん
18/06/15 21:10:02.85 uqoBws9V.net
いや、そうともかぎらんか。スマソ
277:前786
18/06/18 00:49:33.21 R9ITlpR3.net
すっかり別の話が進んでいるようですし、
私の方はなかなか次の話ができる見込みがないので、
私から剰余コラッツ予想についての話題を出すのは一旦休みたいと思います。
ここまでお付き合い下さった皆様、ありがとうございました。
278:righ1113
18/06/18 03:15:08.94 WdqZRIIM.net
残念ですぅ
279:１３２人目の素数さん
18/06/18 08:13:14.97 M5JNYBjP.net
解決に結びつくような話ではないのでスレ違いなんだが、
アラン・チューリングがチューリング・マシンの論文を
発表したのが一九三六年で、ローター・コラッツが
コラッツ予想を提出したのが一九三七年だろ？
なんかしらの関係はあったんだろうかね？
280:１３２人目の素数さん
18/06/18 08:44:33.72 M5JNYBjP.net
やべぇ。コラッツ予想は連続体仮説や選択公理みたいに、
証明不能であるかもしれないという疑惑が出てきた。
>>246 >>247
で話題になってたのは Wolfram が提出した問題なんだが
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
（>>247 の動画は、その実行例のデモ）。
そうなると、コラッツ予想は万能チューリングマシンの
停止性問題に帰着しそうな気がするんだが、どうだろう。
それとも「遷移規則をうまく構成する」ことで万能チューリングマシンを
実現することができるだけなので、「コラッツ予想を説くための
具体的な遷移規則」を与えたときに停止性が謂えるかどうかは、
まったくの別問題なのかな？
281:righ1113
18/06/18 10:36:46.36 qNaPdH2s.net
>>264
Wolframが提示して学生が解いたチューリングマシンは2状態3色で、8状態3色のコラッツとは別物ですね。
URLﾘﾝｸ(ja.osdn.net)
またおっしゃる通り、万能チューリングマシンに具体的な遷移規則を与えると、ある1つのチューリングマシンと等価になるので、万能性は消失すると思います。
282:１３２人目の素数さん
18/06/18 13:50:07.33 M5JNYBjP.net
>>265
ありがとう。安心した。
283:１３２人目の素数さん
18/06/18 21:39:43.70 mGDl57cN.net
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
（テープ上に、1, 0, -（データなし）の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が１ステップ進む）が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
これソースあるなら教えてくれる？
ひょっとしたら万能性が消失してないという話なのかもしれないので。
可能性は低いと思うけど。
284:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:40:39.47 EReiwMfo.net
>>128
論文はこちら
URLﾘﾝｸ(www.wolframscience.com)
あとはこことか
URLﾘﾝｸ(reference.wolfram.com)
動画はガイシュツだけどこれ
URLﾘﾝｸ(m.youtube.com)
285:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:46:57.18 EReiwMfo.net
あとはこれも
URLﾘﾝｸ(www.wolframscience.com)
286:１３２人目の素数さん
18/06/19 06:53:13.41 EReiwMfo.net
オートマトン関係ないけど、本筋的にはこんなのも
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
287:１３２人目の素数さん
18/06/19 22:10:02.87 3mIZP/N3.net
>>268
コラッツがチューリング完全とは書いてないっぽい
288:１３２人目の素数さん
18/06/21 13:52:02.84 qX+RK+7d.net
「何か進展はあるか？」みたいな話だとスレが進まないだろうけど、
「こういうアプローチはどうだろう？」みたいな
雑談っぽい話はあってもいいように思う。
このスレの住民は、悪戦苦闘したあげくに
このスレにいるわけだから、
たぶんバカにしたりとはしないぞ？
中学生とかが「こんな感じなんですけど、どうでしょうか？」
みたいな話をしたら、たぶん懇切丁寧に説明してくれるはずだ
（逆に、そういう初心者をバカにしたりしたら、総がかりで
ボコられると思う）。
このスレは数学板の中では、かなり優しいスレのうちに
入ると思う。
289:１３２人目の素数さん
18/06/21 19:09:13.28 3VWwsuqs.net
この手の問題は何をしたら証明したことになるのかが難しい
すぐに思いつくのは反例を見つけることだけど見つかる気がしない
この予想が正しかったら証明する方法なくね？って思ってしまう
290:１３２人目の素数さん
18/06/21 20:42:50.94 qX+RK+7d.net
>>273
とりあえず、ルートを逆に辿ることはできるんだから、
一意性は成り立っているわけだ。
だから、「任意の『４で割って１余る数』について、
なんかしらの順序的な保存量が定義できる」というのが表せれば、
証明になるんじゃないか？
現状、コラッツ操作によって値が上がったり下がったりするから、
「順序的な保存量」というのが定義できないわけだから。
291:１３２人目の素数さん
18/06/21 20:46:10.50 qX+RK+7d.net
>>273
あ、保存量として「何ステップで１に到達するか」を取るってのは
ナシだぞ？（笑） 「有限のステップで、必ず１に到達する」って
いうのが証明されてないわけだから。
292:１３２人目の素数さん
18/06/22 09:22:26.66 fZs8skv2.net
>>273
問題構造としては、「原始ピタゴラス数が三分木で表される」って
いうのと、ほぼ逆なんだよな。あっちは「最小の元から初めて、
三つの操作によってすべての元が一意に表せる」ことが解ってて、
「任意の元から最小の元へのルートが求められない」つーのが
293:問題だった。 コラッツ問題の場合は、「任意の元から最小の元へのルートが求められる ことは、かなり確からしい（ただし、本当に最小の元へのルートがあるかは、 不明）」。で、「最小の元に二種類の操作を行なうことによって、 すべての元（任意の自然数）が一意に表される」かどうかは、 いまのところ不明であると。 なんか、自然数域から何か別の空間への写像を考えて、その別空間の なかで、ある量に対する半順序構造が成り立つ、みたいなアプローチに なるのかな？ たとえば f(128) < f(31) とか。
294:１３２人目の素数さん
18/06/22 09:46:11.31 fZs8skv2.net
わかりきったことを雑多に書くので落書きみたいなことに
なってしまうが、いちおう書いてみる。すまぬ。
2^∞＝∞で、「２で割る」操作が無限回必要だから、これは考えない。
したがって、[1, ∞) という自然数の開集合の中で考える。
n が偶数の場合は、n/2 に帰着するので、
「[1, ∞)の中の奇数」（{n|n は奇数かつ n∊[1, ∞)}）について考えれば足りる。
で、たしか
n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
「{n|n ≡ 1(mod 4) ∧ n∊[1, ∞)}」について考えれば足りる。
みたいな話になってたような気がするんだけど、これで議論は
足りてるかな？
295:１３２人目の素数さん
18/06/22 17:03:30.74 fZs8skv2.net
>>277
あ、ぜんぜん足りてねぇな。
n ≡ 0 (mod 3) のケースについての話がなんにもない。
そのあたり、真面目に（高校生にも解るように）書いてると、
なんかしらスレを消費するだけなんだよな。
誰か（スレ主とか）が「やれ」って言ってくれりゃあ、
やるけど。
296:１３２人目の素数さん
18/06/22 20:03:26.94 iMFpB+6q.net
ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
自分で考えてて思いついたのは数学的帰納法くらいで
1～kの自然数が1に収束するならk+1も1に収束する、ということが言えれば証明できるのかなと
k+1が偶数なら次が(k+1)/2 < kだから1に収束する
k+1が4で割って1余るならkは4の倍数で次の3k+4も4の倍数
次の次が(3/4)k+1 < kだから1に収束する
あとはk+1が4で割って3余る場合を考えればいい
でもその先はパターンが無限の組み合わせになりそうだからこの方法では解けなさそう
297:righ1113
18/06/22 20:38:25.49 8OiWJMk5.net
>>277
ここってどういう意味?
> n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
298:１３２人目の素数さん
18/06/22 21:02:12.79 fZs8skv2.net
>>279
> ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
いや、数学的には正確になんというか知らんのだが、
全部の要素が順番に並んでて、
「最初のものについて成り立つ」
「あるものについて成り立つならば、“その次のもの”について成り立つ」
「だったら、全部のものについて成り立つ」
っていうのが、数学的帰納法だろ？
現代数学って、「次の数」ベースで成立してる（ペアノの公準。「数え主義」
あるいは「順序数による」定義）で成り立っているので、「加法が成立する」っていう「量に基づく
考え方」（基数による定義）とは、ちょっと相性が悪いんだ。
「１は自然数である」「自然数＋自然数は自然数である」みたいなやりかたは、
現代数学じゃなくって、むしろ「算数」の考え方なんだよ。
299:１３２人目の素数さん
18/06/22 21:11:12.96 fZs8skv2.net
>>280
すまん。言葉が足りなかった。
そのあたりは、いちおう前のほうのエントリで議論は尽くされて
いると思うので、あらためて整理してからまた書く。
しばらく待っててくれ。
300:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:13:55.05 if8U6rKp.net
話はかなり基礎的な話になる。
コラッツ予想は、“すべての有限な自然数”は、「偶数だったら２で割る」
「奇数だったら三倍して１を足す」という操作を繰り返してゆくと、
“有限回で” “必ず”１に到達する（そして１→４→２→１という
ループに落ちる）という話だ。
コラッツ予想の対偶は、逆操作である「２倍する」「１を引いて３で割る」という
操作を、１に対して有限回おこなうことで、“すべての数”に到達することができる、
というものだ。つまり、有限な自然数は、「２倍する」「１を引いて３で割る」
という二つの操作によって、１を根とした（有限の高さの）二分木構造を
なす、ということだ。
ここまでは、変なことは言ってないと思う。
２^∞を除く2の冪乗数は、プリミティブだから考えなくていい。
すべての偶数は、根のほうから見ると、奇数に2の冪乗数を
乗じたもので表されるから、「奇数の先にある」し
「奇数と奇数の間に出てくる」わけだから、考えなくていい。
このとき、 n が奇数のとき、3n + 1 は必ず偶数になるので、
コラッツ操作 3n + 1 は (3n + 1)/2 とし、逆問題が
「すべての有限な自然数」ではなくて「少なくともすべての有限な
基数（途中に出てくる偶数は、勘定に入れなくていい）」について
証明すれば足りる。
301:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:21:29.24 if8U6rKp.net
ある奇数が 3 の倍数のとき、「×２」の操作を何度行なっても、
3 の倍数になる。そうすると、(3n + 1)/2 の逆操作が行なえない
（結果が自然数でなく分数になってしまう）ので、
「（n ではなく d（odd の d）と表記するとして）3 の剰余群
{0, 1, 2} のうち、d ≡ 1 または 2 のすべての有限な奇数が、1 を
根とした木の上にあることが示されれば、コラッツ予想は肯定的に
証明されることになる」と謂える。
302:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:31:26.76 if8U6rKp.net
これをもう一段絞りこんで、4 の剰余群 {0, 1, 2, 3} のうち、d ≡ 1 (mod 4) の
場合にだけ注目すればいい、という話にならないか？ということ。
d ≡ 0 (mod 4) と d ≡ 2 (mod 4) は偶数なので、（逆操作の途中には
出てくるけれども）、証明の本質にはかかわってこない。
d ≡ 3 (mod 4) ということは、「下位ビットが 2 個以上の連続した
オンビット」なので、途中には出てくるけれど、d ≡ 1 (mod 4) の場合に
帰着する（つまり、d ≡ 1 (mod 4) の場合に吸収される）はずだ。
その結果、コラッツ予想は 3 と 4 の剰余群の直積集合上で考えていいわけで、
mod 12 で考えても一般性を失わないはず。
ただし、それで証明ができるかは別問題なんだが (-_-!)
303:１３２人目の素数さん
18/06/23 07:48:51.66 if8U6rKp.net
>>280
× > n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
〇 > n が n≡0(mod 3) のときは、そこから先に奇数の枝が出てこないので、
304:１３２人目の素数さん
18/06/23 21:10:19.57 kMgEMQAn.net
以下、左が下位の2進表現とする
x→3x+1
10→00 10
01→11 10
10 01→00 11 10
10 01 01→00 11 11 10
10 01 01 01→00 11 11 11 10
…
27みたいなのはこういうパターンを踏んで大きくなるのか
305:１３２人目の素数さん
18/06/24 06:22:55.46 JZQSNXZT.net
最下位に 1 が連続して出てくると、そこからが
厄介なんですよ。
11 11 11 0### みたいなパターンを
[11 11 1 ]+[10###] と分けたとするでしょう？
そうすると、全体に五回 3x+1 操作を加えることは、
[10###] に５回 3x+2 操作を行なうのと等価になる。
それで 1 への収束が遅れるらしい。
だから、コラッツ予想を (m, n) という２変数に対する操作と
考えて、有限回で (0, 1) に到達するかどうか、と
言い換えるのはどうだろうか、と考えたことがある。
306:１３２人目の素数さん
18/06/24 06:32:53.97 JZQSNXZT.net
31 だと、
11111
*111101
**1110001
***1101011
****10000101
（中略）
*****/*/1101101
*****/*/*10010001
*****/*/**/1110011
*****/*/**/*11011001
*****/*/**/**10010111
*****/*/**/***/11110101
*****/*/**/***/*111000001
*****/*/**/***/**110100011
*****/*/**/***/***1000101001
（中略）
*****/*/**/***/****/*//***/**/111111001
*****/*/**/***/****/*//***/**/*111110111
*****/*/**/***/****/*//***/**/**1111001101
*****/*/**/***/****/*//***/**/***11101100001
*****/*/**/***/****/*//***/**/****11001010011
*****/*/**/***/****/*//***/**/*****101111101001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//1111000111
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//*11101010101
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//**110000000001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//***101000000011
と、途中で何度も 1 の連続が出てくるんで、なかなか収束しない。
307:１３２人目の素数さん
18/06/24 09:49:32.99 Ke8Ud7bS.net
f(x):=(3x+1)/2
b_k:=2^k-1 (k>1)
とおくと
f(2^(k+1)x+b_k)
=3 2^(k+1)x+3 2^k-2
=2^(k+1)×(3x+1) + (2^k-1) -1
=2^(k+1)f(x)+b_k-1
k>1の場合は
f(2^(k+1)x+b_k)=2×(2^(k)f(x)+b_(k-1))
2で割って以下繰り返すと最後(k=1)は
2f^k(x)になる、と。
なんというか……振り出しに戻された感が。
308:１３２人目の素数さん
18/06/24 10:36:18.55 JZQSNXZT.net
>>290
> なんというか……振り出しに戻された感が。
あるある（笑）
連分数とかやってると、なんだかんだで
また φ に戻ってくるとかな。
とはいえ数学って、「既存のアイディアの世界から
出る」つーのがエポックメーキングな仕事になる場合が
多いみたいな気がするから、そのあたりは宿命だと
思って諦めるしかないと思う。
309:１３２人目の素数さん
18/06/24 10:45:37.45 JZQSNXZT.net
>>290
ひょっとして、けっこう昔からプログラマやってる方？
「:=」って、Pascal とかでしょ。
数学屋さんだったら、
b_k:=2^k-1 (k>1)
より
Me(n) = 2^n - 1 (n = 0 のとき偶数。0 < n のとき奇数)
とか書きそうな気がした。私も元がプログラミング畑だから、
数学の分野の言い回しに慣れるのに時間がかかったな。
310:１３２人目の素数さん
18/06/24 13:11:45.44 Ke8Ud7bS.net
プログラマでもあるけど、
数学でも定義で:=表記を使うことはあるよ
卒論はどうだったかなー、とレジュメ見たら使ってたし
311:１３２人目の素数さん
18/06/24 14:11:36.72 JZQSNXZT.net
>>293
そうか。深読みしすぎてゴメン。
なんにせよ数学畑の人が、
このスレに興味を持ってくれているのが
嬉しい（個人的な感想だから、そのあたりは
スレ主との合意が必要なんだが）。
312:１３２人目の素数さん
18/06/24 14:38:08.41 JZQSNXZT.net
スレ主の 78righ1113 氏と相談なんだが、
コテハン（＝固定ハンドル）のほうが、たぶん分かりやすいので、
使っちゃっていいかな？
（別板から変なのが来て、荒れると不本意なので）
313:righ1113
18/06/24 14:40:49.97 prj5qOCW.net
>>295
使っても良いですよ
314:M.B.
18/06/24 15:06:01.07 JZQSNXZT.net
>>296
ありがとうございます。
お婆ちゃんだけど、よろしこ。
前のエントリを明らかにしようと思ったら、
「レスアンカーが多すぎます！」とか言われてハネられちゃったわ。
「梅干し婆」と呼ばれるけれど
鶯泣かせた春もある
315:M.B.
18/06/24 19:41:54.78 JZQSNXZT.net
n を普通の二進数で表すときに「(2)」と表記し、
たとえば 10 = 0101(2)と表すことにする。
これを左右ひっくり返したものを 「(r2)」と
表記することにすると、10 = 0101(2) = 1010(r2) と
なる。
Me(k) = 2^k - 1
とおいて、
X(n) = {Me(p) + 2^p × q}
を、
(p, q)
と表記することにする。
q ≡ 3 (mod 4) のとき、q は (r2) で表したときに、
q は 11### … #(r2) で表される。このとき、
操作 A について、A(p, q) は (p + 1, (q - 1)/2) であるとする。
また、q が偶数であるとき、
操作 B について B(p, q) は (p, q / 2) であるとする。
さらに、1 < p のとき、
操作 C について、C(p, q) は (p - 1, (q × 3) + 2) であるとする。
n = 1 のとき、n = (p, q) = (0, 1) である。これをかりに e とおく。
コラッツ予想は、すべての有限の自然数である n について、
n = BBABCAB……e が有限長の記号列である、という主張と
同義である。
― みたいなコトを考えたんだけど、これって方向性として、
どう思います？
316:M.B.
18/06/24 20:12:12.78 JZQSNXZT.net
>>298
あ、ごめんなさい。
q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
D(p, q) = (p, q) = (p, 3×q + 1) = (0, 3×q + 1) っていうのが
抜けてた。
317:M.B.
18/06/24 20:15:43.15 JZQSNXZT.net
>>299
× q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
〇 p = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
318:righ1113
18/06/24 20:30:52.33 DiBEd+/F.net
>>298
う～ん、今の時点では何とも……
剰余コラッツ予想の時みたいに、何か部分的な成果があると良いのですが……
319:M.B.
18/06/24 20:49:40.29 JZQSNXZT.net
>>300
肝心なことを書き忘れていました。
A・B・C・D は、演算子あるいは作用素みたいなものなんです。
これに対して、ノルム（絶対値みたいなものです）を (p, q) に
対して与える関数 N((p, q)) を考えます。
このとき、操作 A・B・C・D に対してノルムが単調減少し、
すべての有限な量 (p, q) に対して N() が有限であるということが
証明されれば、コラッツ予想は肯定的に証明された、と
謂えるように思います。
もっとも、N が実数に対して写像されちゃうと、
「１／２ を何回掛けても 0 にはならない」みたいに
底抜けになってしまうので、N() はあくまで
整数域に対する関数でないと困るわけですが。
320:M.B.
18/06/24 21:00:26.22 JZQSNXZT.net
> 剰余コラッツ予想の時みたいに、
> 何か部分的な成果があると良いのですが……
p は上下しながら 0 に向かっているというのは
数値実験上は傾向として掴んでいるのですが、
メルセンヌ数を与えたときに、初期値の p を超えちゃう
場合があるんですよね。
>>289 における p = 5 から p = 6 とか。
ただ、>>289 を見てもらえれば お分かりになると
思うんですけど、この逆転が起きるのは、q に
(3n + 1) / 2 操作を施した場合に限られていそうに
思うんですよ。
そうなると、「p が増加しない」が謂えて、
「無限ループが存在しない」が謂えれば、
なんとか抑えこめそうな気がしています。
剰余コラッツ予想の場合でも、
「かりに無限ループが存在しても、
その周期は 5×2^60 より長い」みたいな
下限は与えられそうに思うんですが。
321:M.B.
18/06/24 21:11:52.43 JZQSNXZT.net
>>302
なお、仮に N() が具体的に求められたとしても、μ再帰関数である
アッカーマン関数のように、とんでもなく大きい値を与える
関数になってしまい、具体的な上限値が計算できるようなシロモノ
ではなかろう、と予想しています。
だけど有限は有限なので、「少なくとも無限ではない」という意味で、
証明に結びつきうるのではないかと考えています。
322:righ1113
18/06/24 21:18:08.31 DiBEd+/F.net
>>302-304
(上から目線でｽﾏﾅｲ)
いくつかの「思う」を『定理』『補題』として言えれば、もっと素晴らしくなると思います。
323:１３２人目の素数さん
18/06/24 22:21:29.01 fzgyO7V1.net
M.B.さんトリップもつけとけば？
念のため。
324:M.B.
18/06/25 05:43:48.60 i3V6MyI3.net
>>305
じつは、このアイデアは「原始ピタゴラス数は三分木をなす」という
Barning と Hall の定理（小林吹代『ピタゴラス数を生み出す
行列のはなし』参照）が元ネタです。e = {3, 4, 5} に行列
U・D・A を順次掛けてゆくと、すべての原始ピタゴラス数が
一意に表されます。
原始ピタゴラス数は、「互いに素で偶奇が異なる自然数 (m, n)
（0 < m < n）」、または「互いに素な奇数 (p, q)（0 < p < q）」
で表されます。ここで、m × n または p × q が単調減少し、
その減少のしかたが三通りあって、それぞれが U・D・A を掛ける
操作と対応することを示しました。
この定理の “泣きどころ” は、任意の原始ピタゴラス数を与えたときに、
それを e と U・D・A の列の積の形に分解できない（逆問題が解決
されていない）点だったのですが、このアプローチで解決できました。
325:M.B.
18/06/25 05:49:55.64 i3V6MyI3.net
>>307
コラッツ問題は、問題の設定としてはこの逆で、任意の n から
e へのルートがあるのは確からしいのに、それが e に収束するか
どうかが（途中の値が一見カオティックに上下するために）、
「（Barning = Hall 問題のような m × n や p × q のような）
単調減少するノルムに対応させることができていない」という
ところに難関があると考えています。
326:M.B.
18/06/25 05:58
327::56.50 ID:i3V6MyI3.net
328:M.B.
18/06/25 06:11:49.38 i3V6MyI3.net
スレ違いですが、{x, y, z} が原始ピタゴラス数、すなわち
x^2 + y^2 = z^2 のとき、
{x, y, z} = {n^2 - m^2, 2× m × n, m^2 + n^2}
がいえて、
{m, ABS(n - 2m)} が新しい m, n の値（順不同。小さいほうが m）に
なります。
なお、e = {3, 4, 5} = (1, 2) です。2 - 1×2 が 0 になっちゃうので、
行きどまりになり、ここが三分木の根になります。
329:M.B.
18/06/25 06:43:11.89 i3V6MyI3.net
あまり見込みはありませんが、「二つの逆コラッツ操作
（「２倍する」と「２倍して１を引いてから３で割る」）が
実質的に同じものと見なせる」ことを示す、というアプローチも
考えられます。
(m, ABS(n - 2m)) → (m, n)
がなぜ三分木に対応するかというと、この操作の逆操作が
・m に n の二倍を足す
・n に m の二倍を足す
・n の二倍から m を引く
という三つの操作に対応するからです（m × n の長方形を
考えるとわかりやすいです。互除法の変形です。互除法
なので、連分数とかかわってきます）。
ただ、このアプローチはせめて「コラッツ操作によって、
任意の n についての中間値が最大どこまで大きくなるか」の
上限値を n の関数として表せないと無理筋なので、
攻めるとすればここかな？と思っています。つまり、「最下位の
オンビット列の連鎖が、どう現れるのか」です。
連投ごめんなさい。m(_ _)m
330:M.B.
18/06/25 17:53:09.88 i3V6MyI3.net
ついでながら、なんでこのスレでのたくっているかというと、
佐藤 郁郎先生（URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)）に
「コラッツ予想も、Barning = Hall 問題のノリで
解けるかもしれない」みたいな話をしちゃったのが
きっかけなんですよ。
みなさん、期待されてます。
331:１３２人目の素数さん
18/06/25 20:22:13.67 /XT/YqNK.net
俺予想
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする
あるnとcが存在しn<xならばlog(collatz_max(x))/log(x)<=cが言える。
332:M.B.
18/06/25 20:46:18.33 i3V6MyI3.net
>>313
それって、かなり確からしいけど、
リーマン予想みたいに「例外がない」ことを示すのが
難しいっていうのが泣きどころなのよねぇ ……
333:１３２人目の素数さん
18/06/25 21:05:06.15 /XT/YqNK.net
>>314
コテ名乗るならトリつけたほうがよくない？
ひょっとしたらこのスレから世紀の発見ってこともかんがえられるしｗ
334:M.B.
18/06/25 21:17:21.66 i3V6MyI3.net
すでに「コラッツむし」という名前で話題に出ているのですが、
蒸し返しです。
オートマトンに関連する話題なんだけど、
「一斉射撃の問題」というのがあって、これはいろいろ研究されてて
コラッツ問題の解決のヒントになるかもしれないな、と思っています。
「オートマトンが 0 番から m 番まで (m + 1) 個並んでいる。左端の
A0 から、時刻 0 で、ある信号が発せられた。一定の時間後に (m + 1)個が
すべてのオートマトンが同時に特別の状態（「射撃」状態）にはいるように、
オートマトンの動作表を設計せよ。」
335: これを変形すると、「0 から、ある状態にセットされたオートマトンが あったときに、その状態は無限遠（m が無限）まで到達できない」ことが 示されるかどうかという話に持ってゆけます。これだと、「２で割る」という 操作は「先頭位置がズレてゆく」ことになりますので、また違った面から 議論できそうに思います。 「歴史的な背景などについては、後藤英一：一斉射撃の問題。数理科学 １１－１０、４２－４６（１９７３）を参照のこと。また、小林考次郎： オートマトン理論のパズル、数理科学１９７６年１１月増刊「パズルＩ」にも 解説がある。」とのこと。 出典は 有澤誠『プログラミング レクリエーション ー ソフトウェア実習の ガイド』（近代科学社）、p.132。
336:M.B.
18/06/25 21:20:40.37 i3V6MyI3.net
>>315
べつにいいじゃない。このスレがきっかけになるんなら。
だいたい、独立に発見された定理なんか、山ほどあるでしょうに。
337:１３２人目の素数さん
18/06/25 21:30:29.74 /XT/YqNK.net
ふむ？コテ名乗るような奴はトリもつけたがるものだとおもってたが。
まあ無理強いはしませんがね。
338:M.B.
18/06/25 21:36:29.09 i3V6MyI3.net
「コラッツ予想の解決」、つまり「コラッツ予想が正しい／間違って
いる」とはおそらく関係しないけど、「先頭位置が、必ずしも
「一回一回の操作が終了する」まで待たなくてよくて、先頭から
次々とシグナルが送られてゆく、と考えてもいいわけですよね？
だったら、テープワームみたいな形でネットに放して、
空いてるコンピュータ・リソースを総動員して「どこまで正しいか」を
検証するという手はあるかと思います（犯罪っぽいけど）。
339:M.B.
18/06/25 21:39:48.99 i3V6MyI3.net
>>318
数学板だと、誰が喋ってんのかわかんないと文脈っつーか
脈絡っつーか、そういうのが分かりにくいんじゃないかなー、という
配慮です。
だいたい、あたしの騙りとかって、難しいと思うよ？
340:１３２人目の素数さん
18/06/25 22:22:25.93 /XT/YqNK.net
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする。
n以下の自然数の中にlog(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxが存在するか？
という問いはNP問題になると思う。
これをSATとしてあらわしてSATソルバに食わせて一気にデカいnについて解くというのはどうだろうか？
341:１３２人目の素数さん
18/06/25 22:25:29.22 /XT/YqNK.net
いやにNPならないか。
コラッツの過程を計算するのに指数リソース食うかも
342:１３２人目の素数さん
18/06/25 23:08:39.50 /XT/YqNK.net
xからコラッツ逆操作で到達できる数のうち最小のものをcollatz_inverse_min(x)とする。
xを入力としてxとcollatz_inverse_min(x)が等しいかどうかは多項式時間で判定できるか？
343:M.B.
18/06/26 08:03:44.37 0z6GeZu4.net
縦軸に (3n+1)/2、横軸に /2 の回数を取って、
Me(k) についてプロットしてみる、とかいうのも
面白そう。
344:１３２人目の素数さん
18/06/27 20:13:28.48 JI1+mB/E.net
M.Bさんはjava使いなの？
345:M.B.
18/06/27 20:36:49.75 dy3jMf1T.net
>>325
『【好調】Java の宿題ここで答えます【三巡目】』
（ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)）
＞＞38 以降とか。
兄者は件のサーバーアプリを再興しようと、
マ板でのさばっておりますわん。
346:righ1113
18/06/29 00:06:15.82 iQFgCDGa.net
剰余コラッツ予想の例のプログラムですが、
Coqに移植できました。
Coqの関数は全て停止するので、例のプログラムも停止する事になって、
『剰余コラッツ予想は真！』
……と言いたいところですが、怪しさ満載ですので、今しばらく調査します。
347:前786
2018/06/
348:29(金) 01:00:09.65 ID:CMkNZo9B.net
349:righ1113
18/06/29 01:15:11.78 iQFgCDGa.net
おーお久しぶりです。
Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
手伝って欲しいことは後々出てくると思うので、よろしくお願いします。
350:１３２人目の素数さん
18/06/29 03:51:44.66 iREabCnd.net
>>329
> Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。
最近のCoqの現状は全く知らないのですが、そもそもCoqの文法に従って（チェックされなければ）停止しない関数を書けるような構文になってましたっけ？
Coqは構成的型理論と呼ばれるものに属する形式的体系の１つに基づいているので、その基づいている型理論に即して素直に項の構文（関数はこの構文を使って定義することになるので
この構文がその構成的型理論の体系が与えるプログラミング言語に相当する）を作ると、そもそも停止するか否かがわからないような関数を定義することは構文的に不可能だと理解しているのですが
それとも最近のCoqは書きやすさとかのためにgeneral recursionのような書き方を許す構文も導入しているのかなあ
351:M.B.
18/06/29 06:56:09.36 bG5MqPr9.net
>>327 >>328
おかえりなさ～い！
352:righ1113
18/06/29 07:10:56.55 iQFgCDGa.net
>>330
質問の答えになっているか分からないですが、
今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
URLﾘﾝｸ(www.google.com)URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
353:１３２人目の素数さん
18/06/29 19:22:32.47 PBV1h0j5.net
もし本当なら相当な成果？
354:righ1113
18/06/29 19:58:55.32 IWPhIwZs.net
いや、待って下さい。なんかダメっぽいんです。詳細はこの後書きます。
355:１３２人目の素数さん
18/06/29 21:27:05.32 KSe/m9fx.net
それにしてもCoq使えるのは凄いな。
あれは高度な数学力とプログラミング力を要するからな。
356:righ1113
18/06/29 21:29:41.42 R9VAP49J.net
>>335
前スレで教えてもらいました。
357:１３２人目の素数さん
18/06/29 22:20:51.29 iREabCnd.net
>>332
レスありがとうございます。
> 今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
> 具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
例を拝見しました。なるほど、関数そのものは構文としては文字通りのfixpointつまりgeneral recursionで定義するのを許す代わりに
停止性を保証するmeasureを自分で与えて停止性証明を正しく構成しなければ関数定義として認めないということですか。
構造帰納法で上手く定義できない関数を扱う上では強引な印象もありますが、実用的にはとても役に立ちそうなアプローチですね。
御教示どうもありがとうございました。
358:１３２人目の素数さん
18/06/29 23:49:39.74 KSe/m9fx.net
はよはよｗ
359:righ1113
18/06/30 00:17:51.21 ePd1LYGC.net
>>334
問題点は、19x+1版にしても、Coqは「停止する」って言っているのです。
19x+1版は、>>94で反例が出ています。
以下が考えられます。
・Coqの
360:停止性の証明が間違っている ・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない これらを調査しないといけないのですが、 すみませんがマイペースでやらせて下さいf(^_^;
361:１３２人目の素数さん
18/06/30 00:31:00.91 P0VnQOuD.net
つか、Coqが間違ってないとすれば計算が進むたびに減少するなにがしかの量を>>1が見つけたってことだよね？
>>274が言ってたことだよね？
ホントならかなりすごいよね？
362:righ1113
18/06/30 00:44:28.49 ePd1LYGC.net
>>328
>>786氏に見て欲しいことがあるのです。
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
オールNothingが出た後、本当に無限走行するのか、アルゴリズムで見ていただけないでしょうか。
363:前786
18/06/30 08:42:24.23 f79gd0NI.net
>>341
なるほど了解です。考えてみます。
>>340
これは剰余コラッツ予想(>>2)についての話なので>>274は関係ないかと…
364:前786
18/06/30 10:23:33.09 f79gd0NI.net
って、これはほとんど明らかのように思います。
例えば
「C の元を 3 倍して 1 を加えて C' のどのグループに属するか調べる」
のときにオールNothingが出たとします。
この後に「上の作業で得られた C' のグループ」を用いて組を探すことになりますが、
これは空集合なので再びオールNothingとなります。
以下同様に繰り返し、延々とオールNothingが繰り返さることになります。
365:righ1113
18/06/30 13:47:05.15 LW37VaWU.net
>>343
ありがとうございます。
ということは、僕のCoqの証明がどこか間違っているのですね。お騒がせしました。
366:M.B.
18/06/30 19:28:50.32 ckl4mAPG.net
>>342
剰余系で考えると関係ないですねぇ。順序性が成り立たないので。
ちなみに >>274 は私。
367:１３２人目の素数さん
18/06/30 21:37:24.40 P0VnQOuD.net
うーん、残念。
移植の際になにかアルゴリズム変えたとか考えられないの。
368:righ1113
18/07/01 10:37:15.78 EGw3ladd.net
いや～
369:M.B.
18/07/03 21:20:35.06 E9NFMLeH.net
マジスレは伸びが遅いからツラいわぁ～。
これは「あんたが真面目にプログラム書いて、結果を出して書け」って
いうことなのよね？
雑談レベルでもいいから、進捗でも聞きたいわぁ。
370:１３２人目の素数さん
18/07/03 22:16:57.74 k+GYaRHt.net
雑談のネタすら出尽くした感あるからな。
371:前786
18/07/04 00:59:10.40 5hzvz8Kq.net
最近思いついた小ネタ
"コラッツ操作を3進法で考えると計算しやすい"
多分証明には役立たない。
そもそも3進法なら「3 倍する」という操作が楽になるというのはすぐわかるが、
さらに手間を減らす方法を見つけた。
3進法では、コラッツ操作は次の操作で代用できる。
「2 で割った商と余りを求め、余りが 0 なら商を次の数とする。余りが 1 なら商の末尾に 2 を付け加えたものを次の数とする。」
この操作により、偶数は 2 で割った数に、奇数は 3 倍して 1 足して 2 で割った数になる(証明略)。
例えば奇数 212 (十進法では 23) でやってみる。
まず普通のコラッツ操作では
212→(3倍して1を足す)→2121→(2で割る)→1022
となる。
上の操作をすると
212→(2で割る)→102あまり1→(商の末尾に2)→1022
で、同じ結果になる。
3 進法では奇数か偶数かの判定がしづらいが、この方法なら判定の必要がなくなる。
ひたすら数を 2 で割っていくだけで操作が進むので、なかなか楽。
372:M.B.
18/07/04 09:28:44.07 j9YYwXR+.net
>>349
根から辿ってくときに mod 3 で考えるのはやったけど、
正の操作で三進法で考えるっていうのは盲点だったわ。
373:１３２人目の素数さん
18/07/04 11:07:08.33 tkaOgGjn.net
374:三進法だと２を除するのが簡単でないのよね 全部の桁を見ないと偶奇が判断できないわけだし。
375:前786
18/07/04 12:32:19.99 T5pAcVUI.net
>>352
偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
2 で割るのはまあ……慣れですかね
376:M.B.
18/07/04 14:25:09.10 j9YYwXR+.net
あのさぁ、そろそろ夏休みも近いんだよね。
最近は義務教育でもプログラミングとか教えてるんだよね。
「夏休みの自由研究」的な感じで、コラッツ問題について
基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？
スレも伸びてるし、このスレには解ってるヒトがいるわけだし。
うちらとしても、「いっぺん基礎から見直す」っていうのは
大事なことだと思うのね？
昔の『Java の宿題ここで答えます』みたいに、ソースコードを
ベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？
ム板じゃなくて数学板だから遠慮してたけどさぁ。
377:M.B.
18/07/04 14:43:49.52 j9YYwXR+.net
>>353
> 偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー！
「オンドゥルルラギッタンディスカー！」
「（笑）」ってつけなかったから許してね。
ネタ元は自分でググッてちょうだい。
378:M.B.
18/07/04 14:47:29.20 j9YYwXR+.net
>>352
そこで六進法ですよ。
379:righ1113
18/07/04 14:51:32.25 s2K0d62t.net
>>354
ソース貼ってもいいっすよ。
380:前786
18/07/04 18:58:15.26 eTkck1YB.net
なるほど六進法……って、それだと ×3 も ÷2 も面倒になって本末転倒なような。
(>>353はどちらかというと「梅雨明けてないじゃないですかー！」を意識して……ってどうでもいいですね)
(ｵﾝﾄﾞｩﾙ語は半角がジャスティス)
コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね
381:M.B.
18/07/04 19:14:40.38 j9YYwXR+.net
>>358
> コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね
それ言ったら、ラザフォードじゃないけど
> 剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)
ってどういう概念なのよ？ってウェイトレスに説明できないと
ダメなんじゃないの？っていう話に戻ってきちゃいそうに
思うんですが。
「２で割る」「三倍して１を足す」っていう操作は、
「小学生にも理解できる」っていうのがコラッツ問題の
醍醐味なんだから。
382:前786
18/07/04 19:43:54.51 eTkck1YB.net
>>359
いや、貴方が>>354で仰った案について具体的に話を進めようと思っただけなんですが……
今は剰余コラッツ予想の話をするつもりはありませんよ。
383:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:04:35.43 tkaOgGjn.net
>>353
済まんね
偶奇の判断をする事と２で割った余りを求める事の違いが良くわからなかったよ
今もわからん
なお３進数なら全体に含まれる１の数を数えれば事足りるが、いずれにしても全体を見る必要がある事に違いはない
384:M.B.
18/07/04 20:08:45.05 j9YYwXR+.net
>>361
いや、ここで敬語を使われても気まずいので、せめて
タメ口でお願いします(^_^!)。罵倒されるのは
慣れてるんですけど。
少なくとも、「奇数について証明すれば足りる」
「n ≡ 1 (mod 4) について言えれば足りる」
みたいな話は、参考文献とか、とりあえずの証明とかは
示しておいたほうがよさそうだなー、と。
コラッツ問題に関する、まとまった文献というのは、
おそらく簡単に入手できるような形では、出回ってないと
思うんですよ。
だったら、ネット上で簡単に見つかるような形で
提示しておくのが親切かなー、と。そういう話です。
WikiPedia に書いておく、というのも ひとつの手ですが、
あそこは「要出典」とか「独自研究？」とか
言われちゃいそうなので。
385:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:16:46.82 tkaOgGjn.net
まあ
３進法で２で割る操作を先にしてしまえば計算が省けるという点はよいと思う
ただ
セルオートマトンで考えたとき、次の世代のパターンが周辺のいくつかのセルから求まると都合がいいので、セル全体を見る必要がある表現には問題ある、ということを言いたかった
その意味では６進法は意外と良い発想かもしれない
386:M.B.
18/07/04 20:26:25.59 j9YYwXR+.net
>>362
いま見たら、WikiPedia の「プリンプトン３２２」の項目が
だいぶ変わってた（笑）
あれは、うちの上司と同僚の功績のような気がします。
このスレの住人はプログラムを書けるヒトが多いと思うので
言っちゃうけど、あれは「0 < p < q < 180」の奇数について、
「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」からなる長方形（縦横の
辺と対角線が自然数の比で表される長方形）のうち、
正方形と黄金長方形の間にあるもので、縦横比を六十進数で
表現したときに有限小数になるもの、があの十五個だというので
ほぼ決着したようです。
387:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:28:10.22 ek6yEHt4.net
>>363
コラッツ予想については、次の世代のパターンに必要なのは「セル全体」だよ。
これはどんな表現を使っても同じこと。
・ オートマトンで考えるなら、パターンに必要なのは「セル全体」。
・ コラッツ予想を漸化式の形で表すなら、漸化式を弄っていくと式自体が爆発的に複雑になって手に負えなくなる。
・ 剰余コラッツ予想にしても、単純なステップの組み合わせで予想全体が証明できるということがなく、
チェック項目が際限なく爆発していく。
どんな手段を使っても、結局はコラッツ予想が持っている本来の爆発的な複雑さが
大きな壁となって出現する。だからコラッツ予想は難しいわけ。
388:M.B.
18/07/04 20:32:06.42 j9YYwXR+.net
>>363
六進法の泣きどころは、「六進数」っていうのが、あんまり普及して
いないところなんですよね。
『ベッドルームで群論を ― 数学的思考の愉しみ方』なんかだと、
三進法とかだったら、意外に筋がいい、みたいな話はあるんですけど。
個人的には、古代メソポタミアまで戻って六十進法とかで
議論したほうが、話が通じやすいような気はします。
389:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:34:16.63 ek6yEHt4.net
結局何が言いたいかというと、
「セル全体を見る必要がある表現には問題ある」(>>363)
という認識の仕方はズレていて、
「どう転んでもセル全体を見るしかない構造のバケモノ問題にどうやって向き合えばいいのか」
という認識の仕方をしないと前進しないってこと。
もちろん、正しい向き合い方が誰も分からないから未解決問題なのだが。
390:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:34:53.65 tkaOgGjn.net
>>363
６進数で数を表現した場合
コラッツ操作とは：
まず３を掛けて、
・１の位が３ならそれを４に置き換える
・１の位が０なら右に１つシフトする
３を掛けるとは：
その桁とひとつ下の桁を見て
・00 01 20 21 40 41 のいずれかなら ０
・02 03 22 23 42 43 のいずれかなら １
・04 05 24 25 44 45 のいずれかなら ２
・10 11 30 31 50 51 のいずれかなら ３
・12 13 32 33 52 53 のいずれかなら ４
・14 15 34 35 54 55 のいずれかなら ５
とすれば良いので、セルオートマトン向きの問題になるかなと。
391:M.B.
18/07/04 20:37:16.91 j9YYwXR+.net
>>364
あ、ごめん。
×「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」
〇「(q^2 - p^2) / 2, p*q, (p^2 + p^2) / 2」
テヘッ。
392:１３２人目の素数さん
18/07/04 20:46:06.70 x4dIsVJo.net
空気を読まずに2進法ネタ。
正整数xの2進表現を下位から
1から最初の0 または 0から最初の1
で区切っていく
3x+1の2進表現は
区切られた各々の最下位を反転(0⇔1)して、
全体の上位に1を付け加えたものになる
393:前786
18/07/04 21:10:13.60 eTkck1YB.net
>>361
確かに余りを見ることで偶奇の判定をしていると言えますが……
「わざわざ偶奇の判定のためだけに割く労力が(ほぼ)ない」とか言った方が適切だったかもしれません。
2 で割った商を求めるのは必要な計算で、その副産物として余りが求まるので。
394:１３２人目の素数さん
18/07/04 21:48:46.13 G1SbPY+q.net
ぶっちゃけ何進数にしようが計算機で回すときにネイティブ２進数より速度が出るとは思えないがな。
ネイティブ２進数より速度アップするならそれはそれで一定の成果といえるかも。
395:M.B.
18/07/04 21:55:59.01 j9YYwXR+.net
>>361 >>371
現在のコンピュータのアーキテクチャは二進法ベースなので、
偶奇を判定するには最下位ビットのオンオフだけ見ればいいという
利点はあるのよね。
三相のアーキテクチャのマシンもそれなりに現実性があるので、
コラッツ問題が解決するときに（解決したとして）、「どっちが
貢献したか」という話には、なるかもしれないと思いますけど。
396:M.B.
18/07/04 22:03:07.75 j9YYwXR+.net
>>372
そのあたりの議論は、ノーバート・ウィーナーの『サイバネティクス』あたりが
起源なんだけど、「二進法と三進法のどっちがいいか」については、「どうやって
実装するか」の問題もあって、まだ結論は出てないのよね。
お婆ちゃんが口出ししてごめんね。
397:M.B.
18/07/04 22:11:28.76 j9YYwXR+.net
>>372
そのあたりの議論は、>>366 の文献を参照してねぇ～
398:１３２人目の素数さん
18/07/04 22:39:56.95 tkaOgGjn.net
>>368
４入力１出力のセルを用意し、その状態遷移関数fを以下のように定義する
f(E,I,X,E)=f(X,E,I,F)=0
f(E,J,X,E)=f(X,E,J,F)=1
f(E,K,X,E)=f(X,E,K,F)=2
f(F,I,X,E)=f(X,F,I,F)=3
f(F,J,X,E)=f(X,F,J,F)=4
f(F,K,X,E)=f(X,F,K,F)=5
但し上の表現で
Eは0,2,4のいずれか、Fは1,3,5のいずれか、
Iは0,1のいずれか、Jは2,3のいずれか、Kは4,5のいずれか、
Xは0,1,2,3,4,5のいずれかを指す
現在の状態{S_k}(k≧0,S_kは0,1,2,3,4,5のいずれか)に対して次の状態{S'_k}を
S'_k=f(S_(k+1),S_k,S_(k-1),S_0) k＞0のとき
S'_0=f(S_1,S_0,0,S_0)
で定義する
どんな正整数mについても k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) からは必ず k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に遷移するのか、
あるいはその否定で
ある正整数mが存在して k＞m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) のうち k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に決して遷移しないものが存在するのか
という問題を考えたらコラッツ予想と同じ問題を扱っていることにならないか
399:M.B.
18/07/04 22:51:00.84 j9YYwXR+.net
>>376
なんかマッチョな方がいらっしゃって頼もしいわぁ～
だけど、アルゴリズム系の話の証明は、単調減少する
加算無限量に落としこまないと、なかなか数学的な
証明に結びつかないのよね。
そういう意味では、「二で割る」っていう操作が
けっこうクセモノのように思うんだけど、
そのあたりの意見は聞きたいと思う。
400:M.B.
18/07/05 18:11:01.74 G+U/rWyk.net
>>377
×加算無限量
〇可算無限量
要するに、アレフ・ゼロ（自然数とか整数とか有理数とか）と、
アレフ１（実数とか）の違いね？
そういえば、高校のときに、「アレフ 0 は『すけすけぎっちり』
（稠密だけど連続じゃない）で、アレフ 1 は『べったり』（稠密かつ
連続）」だというのを教わったけど、「そんなのが何の役に立つんだ」
とか思ってなかったのよね。大学に入って解析の時間に（微積分とかの
絡みで）ε＝δ とか使ってコリゴリやらされるとは思わなかったわぁ。
401:M.B.
18/07/06 17:24:33.58 mC4p97C0.net
>>386
このあたりの話は、自然数だったら単調減少すれば 1 に収束するのは
確実なんだけど、実数だと、単調減少しても必ずしも一定値（だいたい
ゼロだけど）に収束するとは限らないところに問題があるのよね。
そのあたり
402:、数学屋さんに念入りにツッコミを入れてもらえると、 たぶん、このスレも伸びがいいと思うんだけど。
403:１３２人目の素数さん
18/07/08 01:21:38.13 BpK1sXCu.net
単調減少すれば１に収束するといえばM.B.さんはグッドスタインの定理ってご存知？
404:M.B.
18/07/08 09:25:12.51 v0TMFGoL.net
>>380
いま初めて知ってググってみたら、
スタインハウスの多角形表記とか
竹内 郁雄さんの tarai 関数とか思い出した。
「たかだか有限個」っても侮りがたくデカい
数というのがあるんだよなぁ ……
405:M.B.
18/07/08 09:44:20.18 v0TMFGoL.net
ちょっとスレ汚しさせていただきます。
その１）
航空宇宙工学科と数学科は、日大ではどちらも理工学部である。
航宇「レポートが１９個もたまっちまったよ！」
数学「フン、たかだか有限個」
その２）
理工学部の二人の学生が試験を受けた。空のヤカンとガスコンロがあって、
「湯を沸かしなさい」という。二人とも、流しにいってヤカンに水を入れ、
コンロに載せて火をつけた。
次に、コンロの上に水の入ったヤカンが載っていて、「湯を沸かしなさい」
という。
航宇の学生は、コンロに火をつけた。
数学の学生は、流しにいってヤカンの水を捨てた。「これで前問に帰着した」
406:M.B.
18/07/08 13:24:34.43 v0TMFGoL.net
「なんか次のレスとか上がってないかなー」とか
思って、このスレを覗いてるヒトがいるかもしれないので、
スレ汚しは承知の上でヒマネタ（スレ主さんごめんなさいm(_ _)m）。
弟子「ε＝δ が理解できません。一言で言えば、要するになんですか」
師匠「“矢でも鉄砲でも持ってこい”だ」
逆数で考えると、「山より大きい猪は出ない」になりそうな気がします。
>>380 さん、グッドスタインの定理はいろいろ面白いので感謝してます。
とくにペアノの公準が通用しなそうだ、という話は、数学基礎論の
関連で面白いと思いました。
だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、０を自然数に
含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな？とは思ったりします。
「0 と ∞を含む閉集合と、含まない開集合で考えてるだけじゃない！」と
思うんですけど。このあたり、数学畑のひとは、どういう意見をお持ちなんで
しょうか。トポロジー（とくにカタストロフィ理論とか）なんかでは、
「閉集合と開集合の関係」に関して、かなり厳密に研究されているので、
そのあたりの話は聞きたいと思ってるんですけど。
407:１３２人目の素数さん
18/07/08 13:57:22.60 qI7WVHvt.net
偏見？闘う？なに言ってるんだこのアホは。
グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係。
グッドスタインの定理で対象となっている数は
0,1,2,3,…
という数である。これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
対象となっている 0,1,2,3,… をどのような総称(自然数 or 非負整数 or etc)で
表記するのかを気にしているのが M.B. とかいうアホ。
しかし、そんなものはグッドスタインの定理とは全く関係がない。
書いている内容がトンチンカンすぎて話にならない。
408:１３２人目の素数さん
18/07/08 14:23:10.26 qI7WVHvt.net
トンチンカンと言えば、ついでだからもう1つ。
M.B.「ソースコードをベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ？」(>>354)
↑このレスよりも前から貼る貼る言ってた気がするが、未だに何も貼る気配が無い。
そもそも何を貼りたいのかも意味不明。
M.B.「コラッツ問題について基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの？ 」(>>354)
前786「コラッツ問題の基礎ってどういう内容ですか？」(>>358)
M.B.「(返答に窮するので話題逸らしのために) それ言ったら剰余コラッツ予想ってどういう概念なの？」(>>359)
前786「アホかてめーは。話を逸らすな。お前の話に乗ってやってるんだろうが。」(>>360)
↑このやりとりでの M.B. は特に酷い。
総評：M.B.は浅はかな思い付きで独りでおしゃべりしてるだけのアホ。
レスの内容も「言葉のサラダ」の一歩手前で、意味が通るギリギリのラインを攻めた
おかしな文章ばかりであり、何かの病気にかかってるように見える。
前々から気になってはいたが、いい加減にウザったいので もう書き込まないでほしい。
誰もいないクソスレだからって、下らないおしゃべりで埋めていいわけではない。
409:M.B.
18/07/08 14:35:50.69 v0TMFGoL.net
>>384 >>385
なんかヘンなのが来ちゃったなぁ。
みなさん、ごめんなさい。 m(_ _)m
410:M.B.
18/07/08 14:47:21.04 v0TMFGoL.net
>>284
ひとつ謂っておくと、
空集合というのは、「すべての空集合は同一な空集合」なんですよね。
たとえば、「空のみかん箱」も、「空のりんご箱」も、
「空のトントカ芋の箱」も、基本的にはまったく同じものであって、
Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。
411:M.B.
18/07/08 15:12:54.47 v0TMFGoL.net
>>387
× >>284
〇 >>384
ごめんなさい。
412:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:13:00.75 qI7WVHvt.net
>>387
これもトンチンカン。
なぜいきなり空集合が出てくるのか意味不明。
グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない。
ペアノ算術における「0」を空集合と勘違いしているのかもしれないが、
ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係である。
なぜなら、ペアノ算術は集合論とは無関係に定義されるからだ。
集合論と無関係に記述できる時点で、ペアノ算術における「0」は空集合と無関係である。
ペアノ算術に相当するものをZF集合論の中で実装しようとしたときには、
標準的な実装のもとでは空集合を 0 に割り当てることが多いが、
それは 0 が空集合を意味することにならない。なぜなら、実装の一例として空集合を
利用しているだけだからだ(実際、空集合以外の集合を割り当ててペアノ算術を実装することも可能である)。
413:１３２人目の素数さん
18/07/08 15:24:55.18 qI7WVHvt.net
>>387
＞Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
＞「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
＞このあたりをニコラ・ブルバキ（まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
＞合同ペンネームなんですけど）あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
＞ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
＞数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。
ここに関しては「言葉のサラダ」としか言いようがない。意味が通ってない。
基礎論的には何かが未解決問題であると読めるが、
では一体「なにが」未解決問題なのかきちんと書かれていない。
また、グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
Java で記述される定理ではない。仮に Java で記述したとしても、その Java の上で
「==」や「equals()」によってナニカを比較したときの両者の "差異" に関する話は、
Java 言語の内部的な実装の話もしくは Java 言語の意味論に関する話であり、
グッドスタインの定理とは何の関係もない。
414:M.B.
18/07/08 15:37:03.15 v0TMFGoL.net
>>389
そのあたりは >>299 あたりの議論を把握してから来てほしいように
思います。べつに、好きなことを仰っても、誰にも止める権利は
ありませんけどね（そのかわり、あたしたちにも好きなことを
言っていい権利はありますけど）。