18/05/12 12:57:09.32 GJayoGcj.net
(1)
x > 0 で定義された以下の関数 g を考える。
g(x) := x - exp(-exp(-x))
g'(x) = 1 - exp(-x) * exp(-exp(-x)) = 1 - exp(-(x + exp(-x)))
-(x + exp(-x)) < 0 だから exp(-(x + exp(-x))) < exp(0) = 1
∴ g'(x) > 0
したがって、 g(x) は x > 0 で狭義単調増加関数である。
g(x_0) = x_0 - exp(-exp(-x_0)) = x_0 - exp(-x_0) = x_0 - x_0 = 0
だから、
x < x_0 ⇒ g(x) < g(x_0) = 0
x_0 < x ⇒ 0 = g(x_0) < g(x)
である。
すなわち、
x < x_0 ⇒ x < exp(-exp(-x))
x_0 < x ⇒ exp(-exp(-x)) < x
である。
∴a_n < x_0 ⇒ a_n < exp(-exp(-a_n)) = exp(-a_(n+1)) = a_(n+2)
(2)
a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) < exp(-x_0) = x_0
a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) > exp(-x_0) = x_0
である。
∴a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) > x_0 ⇒ a_(n+2) < x_0
∴a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) < x_0 ⇒ a_(n+2) > x_0
a_1 < x_0 であるとき、
(1), (2)より、
0 < a_1 < a_3 < a_5 < … < x_0 < a_2 < a_4 < a_6 < …
が成り立つ。
x_0 < a_1 であるとき、
(1), (2) より
0 < a_2 < a_4 < a_6 < … < x_0 < a_1 < a_3 < a_5 < …
が成り立つ。