18/03/13 10:10:23.01 dYBs/a3R.net
>>448
|f(x)-f(y)|の対称性より、f(y)≦f(x) としても一般性を失わない。
|f(x)-f(y)|≦M-m を示す。m≦f(y)≦f(x)≦M より、|f(x)-f(y)|=f(x)-f(y)≦M-m。よって、|f(x)-f(y)|≦M-m。
M-m-ε<|f(x)-f(y)| を示す。M=mのとき、M-m-ε<|f(x)-f(y)|は明らか。M≠mのとき、ε<M-mの場合のみを考えれば十分。
任意の ε>0 (ε<M-m) に対して、あるx,y∈I が存在して、M-ε/2<f(x)、f(y)<m+ε/2 (ε<M-mより、これはf(y)≦f(x)を満たす)。これより、M-m-ε<f(x)-f(y)≦|f(x)-f(y)|。よって、M-m-ε<|f(x)-f(y)|。
よって|f(x)-f(y)|の上限はM-m。