面白い問題おしえて～な 26問目

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面白い問題おしえて～な 26問目 - 暇つぶし2ch975:`～～～～～～～ a∈V, S⊂V に対して a+S={a+s: s∈S} と定める。適当な x∈X, y∈Y をとれば |-x+X|=|X|, |(-x+X)+(-y+Y)|=|X+Y| 等が成り立つので、 0∈X,Y の場合のみを考えればよい。 X∩(-y+Y)≠X が成り立つような y∈Y が存在する時、次の操作を考える。（操作）「X'=X∩(-y+Y), Y'=X∪(-y+Y) とし、 XをX'に、YをY'に置き換える」この操作により、|X|は減少し、|X|+|Y| は保たれる。また、X'+Y'⊂X+(-y+Y) より、|X+Y| は非増加となる。新しいX,Yはどちらも0を元に持つ。この操作は、|X|の狭義単調減少性により、有限回でできなくなる。このような最終状態のX,YをそれぞれP,Qとおくと、操作ができないことから、任意のq∈Qについて P∩(-q+Q)=P が成り立つ。ゆえに、q+P⊂Q より、 Q+P⊂Q. したがって、Q+=Q. （ただし、はPが張るベクトル空間。）これより、元を足すことによるのQへの作用を考えることができるが、この作用による任意の軌道は||個の元を持つので、|Q| は || の倍数。…[1] また、|Q|+|P| = |X|+|Y| > mp^k より |Q| > mp^k - || となる。 …[2] || ≦ p^k の場合、[1]と[2]より |Q| ≧ ([2]の右辺)+|| = mp^k. || ≧ p^(k+1) の場合、 ⊂Q より |Q|>mp^k. したがって、いずれの場合も |P+Q| ≧ |Q| ≧ mp^k. 操作により|X+Y|は非増加であったから、 |X+Y| ≧ |P+Q| ≧ mp^k. □

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