面白い問題おしえて～な 26問目

面白い問題おしえて～な 26問目at MATH

面白い問題おしえて～な 26問目 - 暇つぶし2ch875:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:30:00.48 vTy8qTeq.net
>>824
ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。
通らない部分は円Iの内部です。
直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。

876:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:47:55.75 hjCo+mDv.net
難問です.
一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う.
今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？

877:１３２人目の素数さん
18/07/14 17:15:23.44 vTy8qTeq.net
>>826
φ(1) は0ちゃうん？

878:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:46:36.87 hjCo+mDv.net
ヒントとしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します.

879:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:47:17.58 hjCo+mDv.net
ℚの代数閉包までなら自明だから

880:１３２人目の素数さん
18/07/14 19:07:11.95 hjCo+mDv.net
>>827
それはそうw
しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw

881:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:23:25.61 SCz7cUJu.net
Kを微分体とします(標数0)
K(x)をその純超越拡大とします
a∈K(x)を固定します
Kの導分DがK(x)上の導分でD(x)=aを満たすように一意拡張されますよね？

882:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:46:51.85 vPo4n2qv.net
>>830
ああ、R射であることは要求されてないのね。
一般論はよくしらないけど以下の議論でGrand Field Kは標数0として
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは超越拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) Σp_iα^i ∈ K[α]に対しては、φ(Σp_iα^i) = Σ( φ(p_i) α^i + i p_i α^(i-1) x ) 定め、p(α),q(α)∈ K[α]に対しては
φ(p(α)/q(α)) = (φ(p(α))q(α) - p(α)φ(q(α)/q(α))) / q(α)^2と定めればよい。
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは単項代数拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) F(x_0,x_1,…,x_n) ∈ K(x_0,x_1,…,x_n)とβ_1,…,β_nをF(x,β_1,…,β_n)がαの最小多項式となるようにとる。∂F/∂x_i = Fiとして
φ(α) = - ΣF_i(α,β_1,…,β_n)φ(β_i)/F_0(α,β_1,…,β_n)と定めれば良い.
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
で結局
― 補題 ―
任意の導分 K→L は L→L に拡張される。
からQ[x] → Q[x] ⊂ R ⊂ R(x)の導分φをφ(x)≠0となるように定めておいてからR(x)まで拡張すればよい。
煩雑な計算を回避する方法がありそうでなさそうで………

883:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:14:40.55 vPo4n2qv.net
>>823
すばらしい！正解！(ホントいうと f の展開のとこチェックしてませんが信じます。)
まさに期待通りの解答です！！
ちなみに>>792のヒントは>>774さんや>>777さんのカキコをみて後付けで思いついて作ったものです。
後日こちらが用意した解答もあげようと思いますけど……いや、すごい！！！

884:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:28:26.61 SCz7cUJu.net
>>828
わざわざAを設定したからにはそれ使って示すことを想定してるんかな
ちょい気になるから書いて

885:１３２人目の素数さん
18/07/15 00:06:50.68 q2k7b01c.net
書きたまえ

886:１３２人目の素数さん
18/07/15 02:16:45.42 8ME/vsb7.net
今日のことわざ
Ground Field にチャンスは落ちてない。
チャンスは Pitch に落ちている。それを全力で探そう。

887:１３２人目の素数さん
18/07/15 09:14:23.66 DcTFeZo6.net
>>833
お、あってたか。良かった。
>>777の結果が 5/8 にあまり近くなかったのが不安で……
こちらも勉強になった。
ちょうど自分の知識の少し先って感じだったんで楽しかった。
答えを出してから気づいたんだけど、直感的に考えて
　-5 が平方非剰余…1/2 の割合
　-5 が平方剰余かつ 1+√(-5), 1-√(-5) が共に平方非剰余…1/8 の割合
で、合わせて 5/8 っていう結果と一致するのね。
f の展開をチェックをしてないってことは、元々の解答では f の展開を使わないってことですかね。
楽しみです。

888:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:39:30.12 0Uh0l9mr.net
>>837
もうすでに解答が出てるのであれなんですが参考までに用意していた解答を紹介します。
一般にGal(L/K)の部分集合Sとその特性関数(すなわちf(x) = 1 iff x∈S,f(x) = 0 otherwise)についてf(x)が類関数であるものを取ります。
d = lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S}
を計算したい、もちろんそれは>>792をみとめれば
f = Σ[x]c_x x
と展開するときのc_x0です。
ここで有限群の表現論から一般の類関数 f について得られる結果
c_x = (f,x) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x^(σ) 　(x^ はxの複素共役による指標)
(URLﾘﾝｸ(gauss.ms.u-tokyo.ac.jp))
を用いれば今のfについては
c_x0 = (f,x0) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x0^(σ) = #S/#G
が得られます。結局この設定のもとにおいては
----定理( チェボタレフの密度定理)----
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#G
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
が得られます。
本文においてはGal(L/K) = D4、(4つの解への作用は４次２面体の４頂点に対するそれと同じ)
Z/pZで解がない⇔Fr(p) ∈ {(1234),(4321),(13)(24),(12)(34),(14)(23)} (= Sとおく）
なので結局
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#D4 = 5/8
となります。
別の例f(x) = x^4 - 2x+6の場合にするとガロア群はS_4で
解０個⇔Fr(p) ∈ {(1234)...} ← 9個
解１個⇔Fr(p) ∈ {(123)...} ← ８個
解２個⇔Fr(p) ∈ {(12)...}　 ← 6個
解４個⇔Fr(p) ∈ {e} 　　　 ← 1個
なのでmod pで解を０個、１個、２個、４個もつ比率は
9:8:6:1
となります。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)

889:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:43:37.83 J7bEvDWH.net
>>816
半径rのn次元球の体積を　Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1)　となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn　;　n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2]　n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y]　y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n　なので　
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了

890:１３２人目の素数さん
18/07/16 22:42:48.81 MFtB88ty.net
>>838
乙です。
またゆっくり読もうと思います。

891:１３２人目の素数さん
18/07/17 07:36:12.46 Aegngsr/.net
>>839
Γ(n/2+1)の値を求めるのに漸化式使うんでなくて？

892:１３２人目の素数さん
18/07/17 08:14:11.22 8QchSL46.net
問題文読んでから発言してね

893:１３２人目の素数さん
18/07/17 10:48:14.93 6M1FJ0j2.net
1はできましたが誘導がわかりません A,B,CがD,E,Fに対応しているのはわかりますが
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

894:１３２人目の素数さん
18/07/17 22:02:28.41 qLE42k1Y.net
Peter Winklerのパズル本より
―
３つの非負整数の組(a,b,c)に対して次の操作を考える。
(※) (a,b,c)から２つの数 (x,y) (x≧y)を選び、その２数を(x-y,2y)に置き換える。
この操作を何回か繰り返すことにより３数のいずれかを0にできることを示せ。
―

895:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:15:11.43 6M2SJbed.net
>>844
任意の自然数nは、正の奇数aと非負整数bを用いてn=a*2^bの形でただ１通りに表せる。
このとき自然数nについての関数fをf(n)=bと定義する。
また、問題で与えられた操作を以下操作Xと呼ぶ。
非負整数の組(a,b,c)に対し操作Xを施してもa+b+cの値は不変であるので、
その値をSとおく。
証明の基本方針：まず以下の命題１，２を示す
命題１
a,b,cがいずれも0でないとき、
min(f(a),f(b),f(c))＜f(S)ならば、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、min(f(A),f(B),f(C))=f(S)とすることができる。
命題２
a,b,cがいずれも0でなく、
f(a),f(b),f(c)を小さい方から順に並べたものをm,n,lとしてm=f(S)のとき、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてM=f(S)かつN＞nとすることができる。
ここで、S≠0のとき、2^k≦S＜2^(k+1)を満たす非負整数kを考えて、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができないと仮定すると、
命題１，２より，(a,b,c)に対して操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)とし、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてN＞kとすることができる。
このときA,B,Cのうちの１つxが x＞Sを満たすこととなり、矛盾。
よって、仮定は誤りであり、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができる。
以下、命題１，命題２を証明する。

896:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:56:29.33 6M2SJbed.net
>>844
>>845の続き
命題１の証明
以下、a,b,cはいずれも0でなく、(a,b,c)に操作Xを有限回数繰り返しても0は
出現しないものとする。
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とすると
p,q,rを奇数として
S=p*2^m + q*2^n + r*2^l = (p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m))*2^m
ここで、m＜sのとき
m＜nとすると、p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なのでf(S)=mとなり、矛盾
m=n=lとしても、やはりp+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なので矛盾。
よって、m＜sならば必ずm=n＜lとなる。
このとき、x,yを大きい方からx',y'とおくと�

897:A f(x'-y')≧m+1，f(2y')=m+1となるので、 (a,b,c)を１回の操作Xにより(x'-y',2y',z)を並べ替えたものにすることができて、このときmin(f(x'-y'),f(2y'),f(z))=m+1 このような操作を繰り返すことで、 min(f(a),f(b),f(c))＜sのとき、操作Xをs-min(f(a),f(b),f(c))回繰り返すことで、操作後の組(A,B,C)についてmin(f(A),f(B),f(C))=sとすることができる。以上より、操作の途中で0が出現するケースも含め、命題１が示された。

898:１３２人目の素数さん
18/07/18 17:17:13.64 6M2SJbed.net
>>844
>>845，>>846の続き
補題３
非負整数の非順序対{a,b}について、操作ＹをＹ:{a,b}→{|a-b|,2*min(a,b)}とする。
いま、a,bがいずれも0でなく、M=min(f(a),f(b))，N=max(f(a),f(b))として
N≧M+2とすると、
{a,b}に操作Ｙを有限回施したものを{A,B}として、
min(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1とすることができる。
証明：Ｙ：{a,b}→{A,B}として、
a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mのとき、
A,Bもともに0でなく、f(A)≠f(B)、min(f(A),f(B))=mとなることは容易に示される（略）。
よって、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mとなるような{a,b}から始めて、
操作Ｙにより、同じ条件を満たす非負整数の非順序対の列を無限に続けることができる。
一方、操作Ｙは２つの非負整数の和を変えないので、そのような非負整数の非順序対は
有限個しか存在しない。したがって、その列は必ず循環する。
ここで、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対について、
操作Ｚを、以下のように定義する。
　　a,bを並べ替えたものをx,yとし、f(x)＜f(y)とするとき、Ｚ:{a,b}→{y/2，y/2+x}
このとき、
f(y)≧f(x)+2のとき、f(y/2)=f(y)-1，f(y/2+x)=f(x)より、f(y/2)＞f(y/2+x)=f(x)であり、
f(y)=f(x)+1のとき、f(y/2)=f(x)，f(y/2+x)≧f(x)+1より、f(y/2+x)＞f(y/2)=f(x)となるので、
明らかに操作Ｚは、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対
の中で閉じた操作Ｙの逆操作となる。
逆操作が存在するため、前述の{a,b}から始まる無限列はその途中のどこから見ても
逆順に辿って出発点まで遡ることができ、循環節には必ず{a,b}が含まれる。
ここで、補題の設定の{a,b}について、Ｚ：{a,b}→{A,B}とすると、{A,B}は{a,b}から始まる
操作Ｙによる無限列の循環節に含まれることになるので、{a,b}から有限回の操作Ｙで
{A,B}にすることができる。このとき，明らかにmin(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1を
満たすので、補題３は成立する。

899:１３２人目の素数さん
18/07/18 17:44:07.41 6M2SJbed.net
>>844
>>845，>>846，>>847の続き
命題２の証明
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とする。
m=sのとき、s=m＜n≦lまたはs=m=n=lのいずれかとなる。
s=m＜n=lまたはs=m=n=lのとき、
(a,b,c)から１回の操作Ｘで(x,|y-z|,2*min(y,z))とすることができ、
このとき、|y-z|=0となるか、
f(x)=m=s，f(|y-z|)≧n+1＞n，2*min(y,z)=n+1＞nとなる。
s=m＜n＜lのとき、補題３より
{x,z}に対して操作Ｙを有限回繰り返すことで
f(x')=f(x)=m，f(z')=f(z)-1=l-1とすることができる、
すなわち、(a,b,c)に対して操作Ｘを有限回繰り返すことで
f(x')=m，f(y)=n，f(z')=l-1となる(x',y,z')を並べ替えたものにすることができる。
さらに、それを繰り返すことで、
f(x'')=m，f(y)=f(z'')=nとなる(x'',y,z'')を並べ替えたものにすることができる。
そこからさらに１回の操作で(x'',|y-z''|,2*min(y,z''))とすることができ、
このとき、|y-z''|=0となるか、
f(x'')=m=s，f(|y-z''|)≧n+1＞n，2*min(y,z'')=n+1＞nとなる。
以上より、命題２は示された。

900:１３２人目の素数さん
18/07/18 22:16:47.18 6M2SJbed.net
手順としては
(1) まずmin(f(a),f(b),f(c))=sとなるまで、fの値の小さい2つを対象に操作Ｘを行う
(2) min(f(a),f(b),f(c))=sとなったら、fの値の大きい方から2つが一致してない場合は
　　fの値の一番大きいものと一番小さいものを対象に
　　fの値の大きい方から2つが一致するまで操作Ｘを繰り返す。
(3) fの値の大きい方から2つが一致していたら、
　　その2つを対象に操作Ｘを行う。この結果fの値の上から2番目が1増える。
(4) (2)(3)を繰り返す
この流れのどこかで、必ずa,b,cのいずれかが0になる。
たとえば、
(a,b,c)=(13,42,69)からスタートする。このとき
[f(a),f(b),f(c)]=[0,1,0]であり、
S=a+b+c=124、s=f(S)=2
手順(1)
　(13,42,69)[0,1,0]
→(26,42,56)[1,1,3]
→(52,16,56)[2,4,3]
手順(2)
→(36,32,56)[2,5,3]
→(4,64,56)[2,6,3]
→(8,60,56)[3,2,3]
手順(3)
→(16,60,48)[4,2,4]
手順(3)
→(32,60,32)[5,2,5]
手順(3)
→(64,60,0)[6,2,-]

901:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:06:36.41 s/ikFyeC.net
パズル本だからもっと

902:シンプルな証明があるんじゃないの？

903:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:55:04.71 0gAQHTX9.net
うむ、そうだな

904:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:58:33.34 Tmnw4mMS.net
>>843やってくださいお願いします
面白い問題スレなので面白く思えるように問題を言うと、
半径1のリングを空間中に配置する
一辺の長さが十分に長い大立方体のある頂点Xを通る3辺がつねにリングに接するように立方体をゴリゴリ動かすこのときXの通過する面とリング面により囲まれる立体の体積を求めよ

905:１３２人目の素数さん
18/07/19 01:32:19.16 jz3wZoKD.net
>>844 です。>>845 さん。お見事！正解です。もちろん本に載ってる証明はもっと洗練されてますが解答用意する時間とか全然ちがいますからねぇ。
何より人の作ったエレ解より自力の解答です。
以下は本の解答です。
----
補題 (>>847の補題３に相当)
(a,b,c)がa:奇数、b:偶数のとき何回か操作をして(a+b/2,b/2,c)にできる。
(∵) a,bに対して操作を行い得られる列を(a1,b1),(a2,b2),…とする。
ただし(a1,b1)=(a,b)。
ai+biが不変で正の整数だから(ai,bi)=(aj,bj) (i<j)となるi,jがとれる。
iが最小となるものをとる。
i>1とすると操作によって(a(i-1),b(i-1)) → (ai,bi)、(a(j-1),b(j-1)) → (aj,bj)となったこととai+biが奇数であることと、(ai,bi) = (aj,bj)により(a(i-1),b(i-1)) = (a(j-1),b(j-1))となる。
これはiの最小性にはんするからi=1である。
よって(aj,bj)→(a1,b1)と変化したこおｔになるが、このとき(aj,bj) = (a1+b1/2,b1/2)である。□
----
これを用いて示します。
----
(a,b,c)からいかなる操作によっても0が作れないとする。
奇数が２つ以上あればそれに対して操作を行い奇数は１個以下としてよい。
全部偶数ならすべてを2でわってよい。
この作業を繰り返してa:奇数、b,c：偶数としてよい。
操作を繰り返して発生する最大の奇数をMとする。
a=Mとしてよい。
b,cがともに４の倍数でないならb,cに対して操作を行えば４の倍数となるので、bは４の倍数としてよい。
以上の設定ののち補題を適用すれば操作によって(a+b/2,b/2,c)が得られるが、仮定によりa+b/2は奇数。
これはMの最大性に矛盾。□

906:１３２人目の素数さん
18/07/19 03:15:34.88 NBL3eCRb.net
組み合わせ数学面白い
他の問題も見てみたいね

907:１３２人目の素数さん
18/07/19 04:41:24.56 hEddS4yd.net
うむ、続けたまえ！

908:１３２人目の素数さん
18/07/19 06:52:48.44 uK3KKpwz.net
円Cに内接する四角形PQRSにおいてP,Q,R,SにおけるCの接線を結んで得られる四角形は円に内接している。
このとき四角形PQRSの４辺の中点は同一円周上にあることを示せ。

909:１３２人目の素数さん
18/07/19 08:08:18.42 hEddS4yd.net
z^4 - 3 \bar{z} z^2 + \bar{z}^2 + 2z = 0 (z∈C) を解け

910:１３２人目の素数さん
18/07/19 10:21:43.92 zkAGwq9m.net
実数解は
z=－sqrt(5)－1/2,z=(sqrt(5)+1)/2,z=2,z=0
みたいだけどこれしかないのかな？

911:１３２人目の素数さん
18/07/19 11:28:54.79 QaNCXAoL.net
この4つしかないっぽいんだけどなぁ。
z≠0としてz'を複素共役として
Z^3-3zz'+z’^2/z+2=0
z=r cisθ としてrを固定してθを動かす。
r>>0 では原点周りを、大きく3回周り、r→+0で2に収束していくからその過程で原点を通る回数は高々3回っぽい。
うーん、しかし厳密には示めせてないなぁ？
輪っかが戻ってくる可能性あるしなぁ？
改めて因数定理の偉大さを感じる。

912:１３２人目の素数さん
18/07/19 13:11:57.68 TH9tCNDf.net
>>8

913:57 zの共役をz'とする。 zが実数のときは、z=z'なので、z^4-3z^3+z^2+2z=0、z(z-2)(z^2-z-1)=0より z=0,2,(1±√5)/2 （>>858はちょっと違う） zが虚数のときは、与方程式と、それの両辺の共役をとったものを(1)(2)として (1)+(2)と(1)-(2)の２つの方程式を作る。 (1)-(2)はz-z'でくくれるが、z≠z'なので割って良い。その結果、2つの左辺が対称式の方程式が得られるので、 z+z'=a，zz'=bとして、a,bについての連立方程式を作り、それを実数の範囲で解けばよい。（解けるかどうかはまだやってない）

914:１３２人目の素数さん
18/07/19 14:04:13.48 TH9tCNDf.net
>>860
aについての6次方程式が出てきた。
途中計算に全く自信はないが、
4a^6+12a^5-5a^4-48a^3-24a^2+20a+8=0
とかになったので
Wolfram先生に訊いてみたら実数解は４つ。
それぞれの実数解に対応するa,bのペアからは
それぞれzの虚数解（共役ペア）が得られるようなので、
実数解4つと虚数解8つ？

915:イナ
18/07/19 14:21:00.04 4JvpUq38.net
半径1の円を底面とする半球の表面積は、
π+4π/2=3π
おもしろいですね。
ちょうど球面が円盤の二倍の面積。

916:イナ
18/07/19 15:08:49.11 4JvpUq38.net
三点でしたね。訂正です。前>>862

>>852
半径1の円周上のある点から物体の頂点までの斜辺は、物体が半径1の円の中心の真上に来たとき、
√3/√2
半径1の円の中心からの頂点の高さは、三平方の定理より、
√{(3/2)-1}=1/√2
頂点の通過部分と半径1の円盤とで囲まれる部分の体積は、
(4π/3)(1/√2)(1/2)
=(π√2)/3

917:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:38:03.49 nPcIIs+O.net
>>857-861
実根(2つ)
z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ
虚数根(12個?)
z = (1+√5)(-1±i√3)/4 = φω，φω~,
z = (1-√5)(-1±i√3)/4 = (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~
z = -1±i√3 = 2ω，2ω~
z = -0.7660444431189780352 ± 0.6427876096865393263 ｉ
z = -0.1736481776669303489 ± 0.9848077530122080594 ｉ
z = 0.9396926207859083841 ± 0.34202014332566873304 ｉ
ただし
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034
　ω = (-1+i√3)/2 = e^(ｉ(2π/3)),
　ω~ = (-1-i√3)/2 = e^(-ｉ(2π/3)),

918:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:49:09.07 nPcIIs+O.net
>>864 訂正
実根（4つ)
z = 0,
z = 2,
z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ

919:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:57:10.91 QaNCXAoL.net
へぇ、解16個になるのか。
4^2になる事となんか関係あるのかな？

920:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:59:29.95 QaNCXAoL.net
なんか日本語変だけど察してチョンマゲ。
zとbar{z}の絡み方から解の個数パッと出せたりするのかな？

921:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:04:53.01 u5A76+YW.net
正n角形の各頂点に実数が配置されている。
負の頂点を選び、その数を辺でつながった2つの頂点に足し、それ自身の符号を反転する
（[…, p, q, r, …] -> […, p+q, -q, r+q, …]）という操作を、負の頂点がなくなるまで行う。
頂点上の数の総和が正である初期状態から始めたとき、次が成り立つことを示してほしい。
１．操作は有限回で終わる。
２．操作の回数は、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。
３．最終状態も、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。

また、以上のことは一般の有限グラフに自然に一般化されるが、
どのようなグラフが上記のような性質を持つだろうか？
パズルのようだけど、意外に深い数学につながっている問題です。

922:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:20:48.38 QaNCXAoL.net
あれ？Winkler本の？これ答え知ってるからやめとこ。
ちょっと感動するよね。

923:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:28:32.54 u5A76+YW.net
Winklerの本は見たことないけど、>>844を見て思い出したから、書いてみた
ほとんど、ある論文の丸写し

924:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:37:14.65 NBL3eCRb.net
正５角形の各頂点の１つずつ整数を割り当て、それら５つの整数の和が正になるようにする.
連続する３個の頂点に割り当てられた整数をそれぞれ x, y, z とする.
このとき y < 0 ならば次の操作を行う
「３つの数 x, y, z をそれぞれ x + y, −y, z + y で置き換える.」
５つの整数のうち少なくとも１つが負である限り、上述の操作を繰り返し実行する.
有限回の操作の後、この手続きが完了するか否か決定せよ.
数学オリンピックに似た問題あるね

925:１３２人目の素数さん
18/07/19 18:27:11.49 QaNCXAoL.net
数オリでも出てるんだ。有名なんやね。この解答は中々感動した。

926:１３２人目の素数さん
18/07/19 20:53:20.77 QaNCXAoL.net
>>868
一般のグラフのときはどういう操作をするんですか？やっぱり真ん中を-1倍して残りに同じ数加えるんですか？
それとも変化量の総和が0になるようにするんですか？

927:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:17:53.45 u5A76+YW.net
>>873
>真ん中を-1倍して残りに同じ数加える
です。そのため、総和が変化します。
また、初期状態の条件もグラフによって違ってきます。
例えば、
・―・―・―・―・
　　　　 |　（下の点は上の中央の点とつながっている）
　　　　・
の場合は、どんな実数を配置しても（総和が正でなくても）有限回の操作で終わります。

928:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:26:53.44 QaNCXAoL.net
有限型‥‥なんか二次形式がらみなのか？？？

929:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:35:52.63 QaNCXAoL.net
もしかして長さ2の枝が３またに分かれてると総和正からだと有限で終わりで、どこかの枝がも一つ長いと終わらないとかになったりします？

930:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:59:31.78 mUU9PVxG.net
∫[0,2π]cos(mx)(cosx-1+2/n)(cosx-1+4/n)…(cosx-1+(2n-2)/n) dx≧0

931:１３２人目の素数さん
18/07/20 00:31:50.12 dYh8+g4F.net
>>874
>真ん中を-1倍して残りに同じ数加える
よく読んだら、なんか変？残り？
ちゃんと書くと、一般のグラフの場合も「負の頂点を選び、その数を辺でつながった各頂点に足し、それ自身の符号を反転する」です。
>>876
すごい。挙げた例から分かっちゃいましたか。専門分野によってはよく見かけるグラフですね。
だいたいあってますが、総和が正という条件は違います。
どんなグラフでも初期状態さえ制限すれば性質を満たすようにできるので、
論文は特別にうまくいくグラフのクラスを挙げるものです。

932:１３２人目の素数さん
18/07/20 02:01:25.14 +Kx7eSAL.net
やっぱり >>861 の計算は間違ってた。
正しい６次方程式は
a^6+3a^5-2a^4-12a^3-6a^2+5a+2=0
因数分解すると
(a+2)(a^2+a-1)(a^3-3a-1)=0
これは６つの実数解を持ち
a=-2，(-1±√5)/2，2cos(π/9)，2cos(5π/9)，2cos(7π/9)
(a,b) = (-2,4)，((-1±√5)/2,(3∓√5)/2)，(2cos(π/9),1)，(2cos(5π/9),1)，(2cos(7π/9),1)
ここから出てくる12個の虚数解は、>>864と同じだけど、
後半のものは
cos(π/9)±isin(π/9)，cos(5π/9)±isin(5π/9)，cos(7π/9)±isin(7π/9)
と書ける。

933:１３２人目の素数さん
18/07/20 02:17:37.41 smLQGUhz.net
>>857
z≠0 に対して
f(z) = z^3 - 3(z~)z + (1/z)(z~)^2 + 2,
とおくと、
f(zω) = f(zω~) = f(z),
3つ組×5個と {0} か？

934:１３２人目の素数さん
18/07/20 03:36:25.83 smLQGUhz.net
>>864
・実数解（4個）
0，2，φ，-1/φ　�

935:c…　z(z-2)(zz-z-1) ・虚数解（12個） φω，φω~　　……　(zz +φz+φ^2) (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~　　……　(zz-(1/φ)z +1/φ^2) 　　　　　　これらの積：(z^4 +z^3 +2zz -z+1) 2ω，2ω~　……　(zz+2z+4) 残りの虚数解（6個）　……　(z^6-z^3+1)

936:１３２人目の素数さん
18/07/20 03:59:51.98 +Kx7eSAL.net
>>857
やっと題意が見えた。
以下、zの共役をz'で表す。
z≠0のとき、r=|z|，z=rwとおくと、
w'=1/w，z'=r/w
与式をzで割って
z^3-3z'z+z'^2/z+2=0より
r^3・w^3 + rw'^3 - 3r^2+2 = 0
w^3が実数でないとき，r^3=r　∴ r=1
このとき、w^3 = αとおくと
α + 1/α -1 = 0
α^2 - α + 1 = 0
∴ α = e^(±πi/3)
∴ z = w = e^(±πi/9)，e^(±7πi/9)，e^(±13πi/9)
一方、w^3が実数のとき，w^3=±1
w^3=1のとき，r^3-3r^2+r+2 = 0
r＞0より，r=2,(1+√5)/2
w=1,ω,ω'
z = rw = …
w^3=-1のとき，-r^3-3r^2-r+2 = 0
r＞0より，r=(-1+√5)/2
w=-1,-ω,-ω'
z = rw = …

937:１３２人目の素数さん
18/07/20 04:29:19.98 +Kx7eSAL.net
z'z^2とzが、ガウス平面上で0からみて同じ向きにあることに気づいて
4項あるようで実は3方向のベクトルの和が0というようなイメージから入れば
わりとすんなりたどり着いたんだろうな。

938:１３２人目の素数さん
18/07/20 07:43:49.38 J1ODn3P8.net
>>878
う～む、特別にうまくいくクラスはAn、Dn、E6、E7、E8？
long とか short とかの議論混じらないだろうし。
いわゆる “こういうグラフを含む→うまくいかない” となる “こういうグラフ” を列挙しといて
“そういうのを含まないのは××…” 的な攻め方するやつかな。
で、その “こういうグラフ” のリストが Dynkin Diagram 導く場合のやつと一致するんかな？
>>868 の前半は答え知ってるから後半考えてみる。
でも論文レベルの話だと流石に無理かな？

939:１３２人目の素数さん
18/07/20 10:39:33.47 GloVKkCh.net
グラフ系でもう少しやさしいやつ。
周期n>0の実数列 ‥‥,a[(-1),a(0),a(1),‥‥に対して一斉に
a(i)を[a(I)/2]+[a(i-1)/2]に置き換える。ただし[]はガウス記号。
つまりふたつにわって端数は切り捨て片方を次の人に一斉に渡す。
この操作を有限回行えば定数列になる事を示めせ。
これも例のパズル本の問題です。

940:１３２人目の素数さん
18/07/20 12:18:56.91 +Kx7eSAL.net
>>885
グラフで考えるのはよくわからないけど…
k回操作後（初期状態ではk=0）の
１周期の中でのa(i)の最大値をA_k，最小値をB_kとし，C_k=2*[B_k /2]とおく。
さらに、１周期の中でA_kと一致するa(i)の個数をN_kとすると
以下のことが言える。
・A_k≧C_k
・C_{k+1}≧C_k
・A_{k+1}≦A_k（A_kが奇数のときはA_{k+1}＜A_k）
・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k
よって、C_kは減ることはなく、{a(i)}が定数列にならない限り
A_kは着実に減っていく（n回以下の操作で1以上減る）が、
A_kはC_kを下回ることはできないので、いつか必ず{a(i)}は（偶数の）定数列となる。
＞・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k
のあたりの説明でグラフを使うのかな？

941:１３２人目の素数さん
18/07/20 14:27:26.49 smLQGUhz.net
>>880-881
F(z) = z(z^3 -8)(z^6 -4z^3 -1)(z^6 -z^3 +1)
　= z(z^3 -8)(z^3 - φ^3)(z^3 + 1/φ^3)(z^3 +ω)(z^3 +ω~)

942:１３２人目の素数さん
18/07/20 17:32:04.98 GloVKkCh.net
>>886
正解です。グラフはあんまり気にしないでください。
原題が周期列でなく円状に並んだ数列として出題されてただけです。
―本の解答

943:―― 必要なら最初の列の全てに同じ偶数を足して全て非負の実数としてよい。2番目の列以降は全て整数の列ゆえ、全て整数の列としてよい。総和は各項を2で割った後、切り捨てを行なった分発生するが、非負の整数の列だから総和が無限に減少することはない。よって十分大きい操作の後に現れる列は偶数の列であるので、列に奇数は現れないとしてよい。よって置き換えはa(i)→a(i)+a(i-1)であるとしてよい。 k番目の列の1項からn項を縦に並べた列ベクトルをvk、Aをn次正方行列でA1nとA(i+1)iが1で残りは0の行列、Iをn次の単位行列とするとき v(k+1) = (1/2)(A + I)vkである。 ζを1の原始n乗根とするときA+Iの固有値は(1+ζ^m)/2の形であり、m=0の時を除いてその絶対値は1未満である。よってvkはk→∞のときA+Iの1に対する固有ベクトルの定数倍に収束するが、それは全ての成分が同じ値からなるベクトルである。vkは整数値からなるベクトルゆえ主張は示された□

944:１３２人目の素数さん
18/07/20 20:10:49.35 +Kx7eSAL.net
>>857のすべての答えを解とするn次方程式を後付けで作っても
意味ないと思うんだよな…
元の問題からなんらかの手続きによりその方程式が得られるという話ならわかるのだが。

945:１３２人目の素数さん
18/07/20 23:44:33.17 RMS2vK39.net
またまたWinkler本から。囚人と看守のやつです。
----
あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。
ある日看守からあるゲームに参加することを指示された。
勝てば全員釈放、負ければ全員死刑である。
ゲームの内容は以下のようなものである。
まず看守は秘密裏に囚人に順序付けを行う。
囚人は全員独居房に入れられた後、一人ずつ呼び出され、自分以外のn-1人の並びについて教えられる。
その情報のみに基づいて各囚人は赤か青の帽子を選択できる。
帽子を選択した後、囚人は独居房に戻される。
この作業を全員について行ったのち、囚人全員が集められ、先の決められた順に応じて整列させられる。
その際、囚人のかぶっている帽子の色が赤青交互になっていれば（一人目は赤でも青でもよい）囚人の勝ち、なっていなければ看守の勝ちである。
囚人に許されているのは、このルール説明の後、独居房に移される前に一度だけ全員が集まって選ぶ帽子の色についての取り決めをしておくことだけである。
それ以降には囚人は互いに情報を交換する機会は一切与えられない。
全員が釈放されるための取り決めを考えてほしい。
----
答え見て「へぇ、こんなシンプルな取り決めでうまくいくもんだなぁ」とちょっと感心しました。
取り決め自身はシンプルなんですが、その取り決めでうまくいく部分の証明がややてこずるかもしれません。
一つ解を見つければ正解です。
当方も別解があるのかどうか知りません。

946:１３２人目の素数さん
18/07/21 00:02:23.48 1aHwZ8/O.net
>>890
訂正。問題文一行目
×：あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。
○：あなたは他のn-1人と共にある牢獄に収監されている。

947:１３２人目の素数さん
18/07/21 01:14:39.48 9U7inpZN.net
>>890
こんな感じ？
あらかじめ全員の仮の並び順（並び順Ａ）を決めておく。
各囚人は、看守に教えられた自分以外の並び順の最後尾に自分がいるような
並び順を考え（並び順Ｂ）、ＡをＢに並べかえる置換が偶置換か奇置換かを調べる。
偶置換なら赤、奇置換なら青をかぶる。
実際にはもう１つ正しい並び順Ｃが存在するので、ＡからＢへの置換は
Ａ→Ｃ→Ｂとみなすことができ、
Ａ→Ｃの置換は固定なので、Ｂ→Ｃの置換、すなわち
正しい並び順から自分自身を最後尾に回す並べ替えが偶置換か奇置換かにより
赤か青かが変わるからくりになっている。

パズルに出てくる囚人はみんな数学が得意だな

948:１３２人目の素数さん
18/07/21 03:25:53.00 4/chbJgW.net
>>844
ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July)
　296p．2592円　坂井・岩沢・小副川（訳)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
（§4．9の問題が数セミ・エレ解に出題された：2018/Jan/出題1）
ピーター・ウィンクラー「続・とっておきの数学パズル」日本評論社（2012/July)
　256p．2160円
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

949:１３２人目の素数さん
18/07/21 08:16:38.20 m9Eu8Sym.net
>>892
すばらしい！正解です。証明も用意してあった物とほぼ同じです。
看守の順でk番目、(k+1)番目の囚人をとり、Cのk番目の囚人をn番目に回した順列をBk、k+1番めの囚人のそれをB(k+1)とすれば
A→B(k+1)と写す置換hはA→B(k+1)と写す置換gに(k k+1)をつなげたものになるので
sgn(h) = sgn((k k+1) g) = (-1) sgn(g)
となることを利用すればよいというものです。
答え聞くと簡単なんですけどねぇ。
>>893
それです。
なかなか楽しい本です。
おすすめ。

950:１３２人目の素数さん
18/07/21 09:21:56.27 FMy4cnA/.net
>>868
とりあえずグラフがAn、Dn、E6、E7、E8の場合有限回で終わることはわかった。
―-
グラフGが上記のいずれかとする。
点vに対して>>868の操作をする変換をgvとする。
隣接する２点v、wについて(gw・gv)^3 = e、gv^2 = eからこれらの操作のなす群はワイル群の商群。
とくに各頂点に現れうる実数は有限個しかない。
端点に対する変換の回数が有限回しかなければ点数に対する帰納法の仮定に矛盾。
端点に対する変換の回数が無限回であるなら総和は無限に増大するが、各頂点に現れうる実数は有限個しかない事に矛盾。
―
あとは上記でないグラフでないもののうちの極小であるものそれぞれで無限回操作が続きうる事示せばいいはずだけどどんなグラフだったか忘れたorz。

951:１３２人目の素数さん
18/07/21 13:06:12.95 bUyrGG79.net
整数k,nは 0≦k≦n を満たすとする。
A⊂(Z/2Z)^n が 2|A|>2^k を満たすならば |2A|≧2^k が成り立つことを示せ。
ただし、2A={a+a': a,a'∈A} とする。

952:１３２人目の素数さん
18/07/21 13:14:22.58 zqilyAfN.net
2Aの定義がステキ

953:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:12:43.39 /1x1unFr.net
{2a|a∈A}ではないところがイイね

954:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:20:03.71 OnYnrjHv.net
|A|の定義が分からん。

955:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:28:27.77 OnYnrjHv.net
元の個数？

956:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:39:19.69 vXT4z2wi.net
面白い問題といえば、和算の本にはいろいろと
面白そうというか難しい問題が掲載されていますよ。
もっともほとんどすべてが円に関する問題ですが。

957:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:59:08.89 7HCB/VB4.net
>>896
Fを2元体とする。
Aは0を含むとしてよい。
この時2AはFベクトル空間となる。
|2A|＜2^kとする。
この時dim 2A＜kであるからF^nのベクトル空間の自己同型φをφ(2A)が第k成分以降が全て0の元からなる部分空間Vに含まれるようにとれる。
この時φ(A)もVに含まれるがVの元数は2^(k-1)であるので仮定に反する。
簡単に

958:見えて案外難しい‥‥まぁもっと楽な方法もあるかもだけど。

959:１３２人目の素数さん
18/07/21 15:30:02.92 OnYnrjHv.net
あ、2A加法について閉じてない。orz.

960:１３２人目の素数さん
18/07/21 17:13:05.39 oD6UOuI2.net
>>899 >>900
言い忘れてた、そうです元の個数です

961:イナ
18/07/21 19:06:13.60 g6r8bf/f.net
>>901関孝和？
縦9寸、横12寸の直角三角形に内接する同じ大きさの二個の円の直径を求める問題みつけた。
/＿/＿/_人＿/＿/＿/＿
/＿/＿（＿）/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（(^｡^)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿
/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/なかなかやりおる。

962:１３２人目の素数さん
18/07/21 23:30:10.14 4/chbJgW.net
>>905
3頂点を O(0,0)　A(0,9)　B(12,0)　とする。
(x,y) と直線ABの距離は (1/5)|36-3x-4y|
P（r，9-2r) を中心とする半径rの円pはOA，ABに接する。
Q（3(4-r)，r) を中心とする半径rの円qはOB，BAに接する
　PQ = 5(3-r),
また、2円p,qが外接する。
　PQ = 2r,
∴ r = 15/7

963:１３２人目の素数さん
18/07/21 23:47:24.24 4/chbJgW.net
>>905
∴直径は　2r = 30/7
P(15/7, 33/7)　Q(39/7,15/7)

964:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:11:59.89 1DdlAJLc.net
>>896
一応できたような気がするが、長い。
以下では、{ a＋a'｜a,a'∈A } のことを A＋A と書くことにする(個人的に 2A と書きたくないので)。
Fを2元体とする。次の定理を示せば十分である。
定理：Vは有限次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。
このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。
証明：n≧0に関する命題P(n)を以下のように定義する。
P(n)：Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は
｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。
任意のn≧0に対してP(n)が真であることを、nに関する数学的帰納法で示す。
P(0)について：Vは0次元のFベクトル空間とする(自動的にV＝{o}である)。
k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。
まず、1＝｜V｜≧｜A｜＞2^{k－1} より 1＞2^{k－1} となるので、自動的に k＝0 となる。
次に、｜A｜＞2^{k－1}＞0 より A≠φであり、よって A＋A≠φであり、よって
｜A＋A｜≧1＝2^0＝2^k である。よって、P(0)は真である。
次に、n≧1を任意に取る。P(n－1)は真とする。P(n)も真であることを示す。
Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。
示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。

965:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:14:30.08 1DdlAJLc.net
簡単のため、B：＝A＋A と置く。示すべきは｜B｜≧2^k である。
まず、Fが2元体であることから｜V｜＝2^n となることが分かる。これと
｜V｜≧｜A｜＞2^{k－1} より 2^n＞2^{k－1} となるので、自動的に n≧k である。
次に、|A|＞2^{k－1}＞0よりA≠φである。よって、a∈A が1つ取れる。
このとき a＋a∈A＋A＝B すなわち o∈B である(Fは2元体なので a＋a＝o である)。
さて、｜B｜≧2^k を示したいのだった。もし V－B＝φ ならば、
V＝B となるので、｜B｜＝｜V｜＝2^n≧2^k である(n≧kに注意)。
よって、この場合は成立。以下では、V－B≠φ としてよい。
そこで、x∈V－B を1つ取る。o∈B だったから、自動的に x≠o である。
W：＝{λx｜λ∈F} (＝{o,x}) と置けば、W は V の部分空間である。
また、x≠o に注意して dim(W)＝1 である。
この W を利用して、s,t∈V に対して s～t ⇔ s－t∈W と定義すれば、～は V 上の同値関係になることが分かる。
s∈V の同値類を [s] と書くことにする。商集合 V/～：＝{ [s]｜s∈V } は自然な定義でFベクトル空間となる。
また、ベクトル空間の商空間の一般論から dim(V/～)＝dim(V)－dim(W) ＝ n－1 となることが分かる。

966:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:15:31.44 VK+pnI6w.net
つまんな

967:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:17:45.51 1DdlAJLc.net
さて、
A'：＝{ [a]｜a∈A } ⊂ V/～
と置くと、｜A'｜＝｜A｜である。実際、f：A→A' を f(a)：＝

968:[a] で定義すれば、これは明らかに well-defined かつ全射である。また、f は単射である。実際、 f(a_1)＝f(a_2), a_i∈A とすると、[a_1]＝[a_2] であるから a_1～a_2 となる。よって、a_1－a_2∈W＝{o,x} すなわち a_1－a_2＝o,x である。a_1－a_2＝x のときは、 x＝a_1－a_2＝a_1＋a_2∈A＋A＝B となる(Fは2元体なので－a_2＝a_2 である)。しかし、x∈V－B だったから矛盾する。よって、a_1－a_2＝o となるしかない。よって、a_1＝a_2 となるので、f は単射である。よって、fは全単射となったので、｜A｜＝｜A'｜である。｜A｜＞2^{k－1} だったから、｜A'｜＞2^{k－1} となる。今の段階で、次が成り立っている。・ V/～は(n－1)次元のFベクトル空間, k≧0, A' ⊂ V/～, ｜A'｜＞2^{k－1}. よって、P(n－1)が真であることから、｜A'＋A'｜≧2^k である。

969:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:21:20.07 1DdlAJLc.net
次に、｜B｜≧｜A'＋A'｜が成り立つことを示す。g：B → A'＋A' を g(b)：＝[b] で定義すると、
これは well-defined である。実際、b∈B を任意に取ると、b＝a_1＋a_2, a_i∈A と表せるので、
このような表示を何でもいいから1つ取れば
g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]∈A'＋A'
であり、よって well-defined である。また、g は全射である。実際、c∈A'＋A' を任意に取ると、
A' の定義から、c＝[a_1]＋[a_2] なる a_i∈A が取れる。このような a_1,a_2 を何でもいいから
1つずつ取って b：＝ a_1＋a_2∈B と置けば、g(b)が定義できて
g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]＝c
となるので、確かに g は全射である。g：B → A'＋A' だったから、以上より、｜B｜≧｜A'＋A'｜である。
｜A'＋A'｜≧2^k だったから、以上より、｜B｜≧2^k である。
よって、いずれの場合も｜B｜≧2^kとなったので、P(n)は真である。
数学的に帰納法により、任意のn≧0に対してP(n)は真である。よって、題意が成り立つ。

970:
18/07/22 00:56:01.57 SEmuhAob.net
前>>905
三平方の定理より、
直角三角形の斜辺は、
√(9^2+12^2)=15(寸)
円の直径を2rとすると、
二つの円の中心間の距離も2rなので、直角三角形の辺の比は、
3:4:5=3(2r/5):4(2r/5):2r
=(6r/5):(8r/5):2r
直角三角形の斜辺は、
{9寸-(6r/5)-r}+2r+{12寸-(8r/5)-r}=15寸
6寸=14r/5
2r=30/7(寸)

971:１３２人目の素数さん
18/07/22 01:38:28.55 41rzkBcX.net
>>912
正解です素晴らしい！実はより一般に
X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
を示してからその系として導く解法を想定していたのですが、本質的にかなり簡単になっていて驚きました。V＼(A+A) から元をとる発想はなかったです。。

972:１３２人目の素数さん
18/07/22 01:53:47.71 1DdlAJLc.net
>>914
＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
なんと、そんな定理も成り立つのか (＾o＾)
実は、>>896 の F_p バージョンである次の定理が、>>908 と同じやり方で証明できる。
――――――――――――――――
定理：p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。
k≧0 と A⊂V は｜A｜＞ p^{k－1} を満たすとする。このとき、
｜Σ[i＝1～p] A｜≧ p^k
が成り立つ。ただし、Σ[i＝1～p] A ：＝ { Σ[i＝1～p] a_i｜a_1,…,a_p∈A }
と定義する。
――――――――――――――――
この定理を
＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
と見比べると、たぶん次の定理も成り立つのかな (＾o＾)
――――――――――――――――
定理(？)： p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。
k≧0 と空でない X_1,X_2,…,X_p⊂V は Σ[i＝1～p]｜X_i｜＞ p^k を
満たすとする。このとき、｜Σ[i＝1～p] X_i｜≧ p^k が成り立つ。
――――――――――――――――

973:１３２人目の素数さん
18/07/22 07:30:28.29 aGAY8syr.net
>>856
誰かやってたも……

974:１３２人目の素数さん
18/07/22 12:19:45.04 U4aZuyBV.net
>>915
情報ありがとうございます。色々考えてみました。
上の定理(？)には、残念ながら反例があるようです。W⊂VをVのk次元部分空間として、
X_1=W∪{a} (ただしa∈VはWに属さない元)
X_i=W (i=2,…,p)
代わりに次の定理が成り立つようです。
（定理）pを素数、整数、 1≦mmp^k を満たすならば |X+Y|≧mp^k が成り立つ。□
折角なので証明の概略だけ置いときますね
�

975:`～～～～～～～ a∈V, S⊂V に対して a+S={a+s: s∈S} と定める。適当な x∈X, y∈Y をとれば |-x+X|=|X|, |(-x+X)+(-y+Y)|=|X+Y| 等が成り立つので、 0∈X,Y の場合のみを考えればよい。 X∩(-y+Y)≠X が成り立つような y∈Y が存在する時、次の操作を考える。（操作）「X'=X∩(-y+Y), Y'=X∪(-y+Y) とし、 XをX'に、YをY'に置き換える」この操作により、|X|は減少し、|X|+|Y| は保たれる。また、X'+Y'⊂X+(-y+Y) より、|X+Y| は非増加となる。新しいX,Yはどちらも0を元に持つ。この操作は、|X|の狭義単調減少性により、有限回でできなくなる。このような最終状態のX,YをそれぞれP,Qとおくと、操作ができないことから、任意のq∈Qについて P∩(-q+Q)=P が成り立つ。ゆえに、q+P⊂Q より、 Q+P⊂Q. したがって、Q+=Q. （ただし、はPが張るベクトル空間。）これより、元を足すことによるのQへの作用を考えることができるが、この作用による任意の軌道は||個の元を持つので、|Q| は || の倍数。…[1] また、|Q|+|P| = |X|+|Y| > mp^k より |Q| > mp^k - || となる。 …[2] || ≦ p^k の場合、[1]と[2]より |Q| ≧ ([2]の右辺)+|| = mp^k. || ≧ p^(k+1) の場合、 ⊂Q より |Q|>mp^k. したがって、いずれの場合も |P+Q| ≧ |Q| ≧ mp^k. 操作により|X+Y|は非増加であったから、 |X+Y| ≧ |P+Q| ≧ mp^k. □

976:１３２人目の素数さん
18/07/22 16:50:21.14 X11xpoqn.net
和算の問題です。
一つの円があります。
その円の中に、大、中、小の円を内接させます。
條件は、大、中、小の円は、一番外側の円に内接します。
大円は、中円と小円に外接します。
中円は大円と小円に外接します。
小円は、大円と中円に外接します
この場合、この4つの円の関係を求めてください。
出典」三上義夫「日本数学史」（この本は、「科学図書館」という
サイトに全文がPDFファイルとしてアップされています）

977:イナ
18/07/22 20:03:51.82 SEmuhAob.net
>>918
外側の円の半径:Я
大円の半径:Ｒ
中円の半径:Ｒ㊥
小円の半径:r
とすると、
Я>Ｒ+Ｒ㊥>Ｒ>Ｒ㊥>r

978:１３２人目の素数さん
18/07/22 20:53:32.75 XHMrpicM.net
大円の半径が3
中円の半径が2
小円の半径が1
のときの内側の円の半径は？
とかにしないと問題としては答えにくくね？
まぁこのケースはそんなに難しくないかもしれないけど。
この3円に外接するの方が難しいのかな？
数値もへぇって値になった記憶が

979:１３２人目の素数さん
18/07/22 20:57:42.67 XHMrpicM.net
>>920
この3円が内接する円の間違い。
確かへぇって値になったような。

980:１３２人目の素数さん
18/07/22 23:51:55.24 8X1Zeg9C.net
反転法使えばそんな難しくなさそうだけど、暗算できるほど簡単ではないな。

981:１３２人目の素数さん
18/07/23 00:45:50.63 rgc2cWMb.net
>>844
似た設定の問題がかなり昔の数オリにあったような。。

982:１３２人目の素数さん
18/07/23 07:31:23.87 wuj51AEp.net
>>923
>>871のこと？

983:イナ
18/07/23 08:16:34.35 7/0/1MEy.net
よって四つの円の包含関係は、
外側の円⊃大円
外側の円⊃中円
外側の円⊃小円
但し、大円、中円、小円はたがいに外接する。
前>>919

984:１３２人目の素数さん
18/07/23 10:11:04.09 +uNFdt3Z.net
デカルトの円定理

985:１３２人目の素数さん
18/07/23 10:15:09.77 8uzM1Baw.net
その単語が出てしまうと終了だな。

986:１３２人目の素数さん
18/07/23 12:19:19.88 BhRl/p7g.net
複素係数一変数多項式 f, g であって {f(x)}^2 + {g(x)}^2 = x を満たすものは存在するか。

987:１３２人目の素数さん
18/07/23 14:15:04.98 3TWNdk8g.net
>>928
たとえば f(x)=x+1/4, g(x)=ix-i/4

988:１３２人目の素数さん
18/07/23 17:17:16.75 KhSOAKcF.net
ごめん間違えた、
f^2 + g^3 = x を満たす多項式は存在するか
でした

989:１３２人目の素数さん
18/07/23 21:21:51.05 7FS8HckQ.net
>>930
できたか？
存在すると仮定する。
f(x)がxを因子に持てばg(x)もxを因子にもちv_x(左辺) ≧ 2、v_x(右辺) = 1により矛盾。
よってf(x)はxを因子に持たない。よってf(t^2)もtを因子に持たない。
与式より
g(t^2)^3 = (t - f(t^2)) (t + f(t^2))
であるが、(t-f(t^2),t+f(t^2)) = (2t,t+f(t^2)) = 1によりt-f(t^2)とt+f(t^2)は互いに素である。
よってg(t^2)の因子のうちt-f(t^2)の因子になっているものの積をh(t)、t+f(t^2)の因子になっているものの積をk(t)とおけば
h(t)^3 = c(t - f(t^2))、k(t)^3 = d(t + f(t^2))、cd = 1
となる定数c,dがとれる。
h,kをc,dの3乗根で割ったものに取り替えれば
h(t)^3 = t - f(t^2)、k(t)^3 = t + f(t^2)
となるとしてよい。
一方t-αがh(t)の因子なら-t-αはk(t)の因子であるからk(t) = e h(-t)となる定数eがとれる。
このとき
h(t)^3 - t = - f(t^2) = t - k(t)^3 = t - e^3 h(-t)^3
により
h(t)^3 + e^3 h(-t)^3 = 2t
となる。
ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、h(t)とk(t)の次数は等しいからh(t)の次数も偶数である。
よって上の式の最高次からe^3 = -1がわかる。
よって
h(t) + h(-t) = 2t
を得るが左辺は偶関数により矛盾。

990:１３２人目の素数さん
18/07/23 23:46:59.29 jsKLvMqB.net
>>931
まちごうた。最後から２行目
h(t)^3 - h(-t)^3 = 2t
で左辺の次数は3(deg h)-1で5以上より矛盾。

991:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:11:19.24 v83j+alb.net
>>931-932
改めて清書するとミスや余計な議論のオンパレードだけど、もう修正のせるとスレ汚しになるのでやめときます。
ホントはC(x)上の楕円曲線
　Y^2 = - X^3 + x
の有理点についての議論でかっこよくやるのが通なんだろうけどオラには無理。
なんか数オリの解答みたいになってヤだけどこれしか思いつかん。

992:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:17:52.25 rRTBzOQ4.net
>>930
メーソン・ストーサーズの定理(ABC予想の多項式版)を使ったら凄く簡単に出たｗ
もちろん、「存在しない」が答え。

993:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:19:39.68 v83j+alb.net
>>930
なんかすごそう。
書いてたも。

994:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:26:08.67 v83j+alb.net
>>934
>メーソン・ストーサーズの定理
これか！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
すげぇ！ホントにあっという間にとける！！すばらしい！！

995:１３２人目の素数さん
18/07/24 04:25:23.69 lehQeRGl.net
>>931
レス遅くなりました。２３時頃に一度投稿しようとして投稿規制くらった文章をそのまま載せときます。
最後の定理は既出でしたね
～～～～～～～～
＞ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、
以降がちょっと難しいですがその直前の式でほぼ矛盾が示せているので正解とします。
（直前の式の左辺を因数分解して、両辺の次数を比べ、左辺の３つの因数のうち少なくとも二つが次数0でなければならないことからも矛盾が示せます）
実はABC予想の多項式版の類似であるメーソン・ストーサーズの定理を使えば比較的簡単に解くことができるので、よければ調べてみてください

996:１３２人目の素数さん
18/07/24 06:21:54.98 bmjGlIcJ.net
>>937
ありがとうございます。
比較的どころかメーソン・ストーサーズの定理使えば瞬殺ですね。勉強しときます。

997:１３２人目の素数さん
18/07/24 17:51:22.07 xg2

998:jMb4Q.net

999:１３２人目の素数さん
18/07/26 04:23:17.15 gCZSgyqq.net
群Gの正規部分群NはZ(整数)と同型
G/NはZ/nZと同型
nは1より大きい整数
Gの構造を決定しろ

1000:１３２人目の素数さん
18/07/26 04:25:40.27 Si+0HJ5D.net
口の利き方に気を付けたまえ！

1001:１３２人目の素数さん
18/07/26 09:42:15.39 r9ee9dZW.net
>>940
以下x’:=x^(-1)とする。
N=<a>とし、b∈G＼NをbNがG/Nの生成元となるようにとる。
準同型x→bxb’は同型N→Nを引き起こすがこのときaの像はa,a’のいずれかである。
(i) bab’ = aのとき。
このときG≌Z⊕Z/nZである。
(ii) bab’ = a’ のとき。
nが奇数とするとn = 2q + 1とおくとき
a = b^(2q+1)ab^(-(2q+1)) = bab’ = -a
となって矛盾するからnは偶数である。
逆にnが偶数のとき
<a,b|bab’ = a’,b^n=e>
はZのsemi trivial extensionであり、条件を満たす。

1002:１３２人目の素数さん
18/07/26 11:06:27.02 g7KCpv5X.net
>>832
返信遅くなって申し訳ない (>>826です)
超越基底を用いれば簡単になるであろうということ。
――――
何か鳩ノ巣原理を使う難問が欲しい
此れだけでは申し訳ないので幾つか投下:
(難問ではなく何も既知の筈)
・長さNの正整数から為る数列が2つ存在し, 数列を構成する数は1以上N以下である.
A, Bから其々空でない部分数列を適当に選ぶとき, 其々の総和を等しく出来るか.
・αが無理数の時, 次の不等式を満たす整数の組(p,q)が無限に存在することを示せ:
|α-p/q|<1/q²
序でに右辺をk/q²として不等式を満たす組が無限に存在する様な最小のkを求めると, k=1/√5になることが知られてる
母関数を使うらしく, 序でにk=1でも分母の自乗はx(>2)乗に変えた瞬間成り立たないそうだ(知ってるのは此処まで).

1003:１３２人目の素数さん
18/07/26 12:19:01.89 B8nOkJxx.net
【何故シヌの、〝ＪＫ″】　島津論文「安倍とオウムに接点」　露国防相「気づかれてないと思うな晋三」
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)

地震多すぎ！　日本は地震大国だから、は大ウソだった！　ほら吹きの安倍が、地下核実験をやっている！

1004:１３２人目の素数さん
18/07/27 06:49:09.69 0WjqahXc.net
>>940
Zの自己同型は±1のみ
Zn→Z2はnが偶数なら0と全射nが奇数なら0のみ
よって
Z+Znか偶数ならZとZnの半直積

1005:82
18/07/27 07:59:20.49 sps923Uv.net
>>82の正解発表
>>87 (A)正解
>>85 (B)正解

1006:82
18/07/27 08:00:12.73 sps923Uv.net
【>>82(A)の模範解答】
以下、図形の内部には周も含める。
[補a]
幅1のルーローの三角形は、内部の任意の2点間の距離が1以下である。
半径1、中心角60°以下の扇形は、幅1のルーローの三角形の一部である。よって、内部の任意の2点間の距離が1以下である。　■
[A]
5点ならば、円に内接する正五角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1より大きくなる。
どの2点間の距離も1より大きくなるような6点の配置を考える。
円の中心に1点Aを配置すると、円の中心と内部の任意の点との距離は1以下だから、Aと他の5点との距離は全て1以下になる。よって、円の中心以外にAを配置する。
円を扇形で6等分すると、Aが2つの扇形X,Yの境界に乗るようにすることができる。別の点をX,Yに配置すると、[補a]より、Aとその点との距離は1以下になる。よって、X,Y以外の4つの扇形に残りの5点を配置する。
鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じ扇形の内部になる。[補a]より、その2点間の距離は1以下になる。
したがって、どのように6点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。
最小のmは6である。　■

1007:82
18/07/27 08:02:00.38 sps923Uv.net
【>>82(B)の模範解答】
以下、図形の内部には周も含める。
[補b]
半径1/2の円の内部の2点間の距離は、直径の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。
一辺1/2の正六角形は、半径1/2の円に内接する。よって、内部の2点間の距離は、最も遠い頂点どうし（3組ある）のときは1、それ以外のときは1未満である。
カップケーキ形（図の黄色部分）は、一辺1/2の正六角形の一部である。よって、内部の2点間の距離は、弧の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。
弧の片側の端点を欠いたカップケーキ形（以下、単に「図形」）は、元のカップケーキ形の一部である。よって、内部の2点間の距離は1未満である。　■
[B]
7点ならば、円の中心と、円に内接する正六角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1以上になる。
どのような8点の配置も、ある2点間の距離が1未満であることを背理法で示す。
どの2点間の距離も1以上であるような8点の配置が存在すると仮定する。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
半径1の円は、7つのパーツ
一辺1/2の正六角形ABCDEF、図形HBA(G)、図形ICB(H)、図形JDC(I)、図形KED(J)、図形LFE(K)、図形GAF(L)
で覆うことができる。
鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じパーツの内部にある。[補b]より、その2点は正六角形のパーツの内部にある。AとDにあるとして一般性を失わない。
[補b]より、A,Dを含む図形4つには別の点はない。また、[補b]より、図形LFE(K)とICB(H)にはそれぞれ最大で1点しかない。
このとき、合計で最大でも4点しか配置されていないため矛盾。仮定は誤りであった。
したがって、どのように8点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。
最小のnは8である。　■

1008:82
18/07/27 08:03:17.37 sps923Uv.net
出典
(A)
URLﾘﾝｸ(www.cut-the-knot.org)
このサイトに証明が2つ載っている。
1つ目は上記。
2つ目は>>87と同じ方針で最後に[補a]を使わない方法である（三角形の内角の大小関係を使っている）。
(B)
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
1点を欠いた図形を考えるのがミソである。この一工夫で証明はかなり楽になる。クレバーな方法。
(B)の画像はGeoGebraで自作した。
この手の問題は
「定幅図形（またはそれらに内包される図形）で元の図形を被覆／分割して、鳩の巣原理に持ち込む」
のが定石だが、効率の良い被覆や分割は発見に試行錯誤を要することが多い。
「図形Aに、どのようにk個以上の点を配置しても、ある2点間の距離がd以下/未満になる」
みたいな一般化は厳しいだろう。

1009:188
18/07/27 08:05:38.26 sps923Uv.net
>>188の正解
正n角形について、辺AB,BC,CD…の順に鏡映を取っていく操作を
nが偶数ならばn-1回
nが奇数ならば2n-1回
それぞれ繰り返せば、l(n)を「平行な2辺間を結ぶ直線か折れ線の長さ」に帰着することができる。折れ線のときは直線のときより長いことを利用すれば、幾何的にl(n)の最小が求まる。
もちろん>>189みたいに式で解けるならそれに越したことはないが…

1010:１３２人目の素数さん
18/07/27 09:50:50.05 NlkV/5Nh.net
>>856
解答です。
PQRSにおける接線の交点を結んで得られる四角形をXYZWとする。
XからCに引いた２接線の接点の交点をx、y,z,wに対するそれをy,z,wとする。
仮定よりXYZWは円D上にあるしてよい。
このときDのCに関する反転をdとするとxyz

1011:wはd上である。よって主張は成立する。□

1012:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:17:47.94 uXdC9xjt.net
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ

1013:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:19:49.89 uXdC9xjt.net
正n角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さが最小となるとき、分岐点の角度は必ず120°となることを証明せよ

1014:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:22:17.06 uXdC9xjt.net
>>953
ごめんこれ嘘
なんでもない

1015:
18/07/28 00:32:41.08 6VVd4WCT.net
>>952
2π
∵五角形の中に桜の花びらを描くように半径1の弧を各頂点から描くと、
弧の最小単位
2π×(36°/360°)
が十個、頂点と分岐点を交互に通るかたちになる。
前>>925開運!!

1016:１３２人目の素数さん
18/07/28 00:38:05.20 EnyRsA6W.net
>>953
n=3 のときはフェルマー点

1017:535
18/07/28 07:52:44.92 o+vDTN8W.net
>>535の正解発表
【Step 1　与式の分割】
例えば最初の分数式について
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
=(1/2)(a-c)(a-c)/(a+b+c)
+(1/2)(a-c)(a-2b+c)/(a+b+c)
は容易に確認できる。
そこで
s=a+b+c+d
A'=(a-c)(a-c)/(s-d)
A''=(a-c)(a-2b+c)/(s-d)
B'=(b-d)(b-d)/(s-a)
B''=(b-d)(b-2c+d)/(s-a)
C'=(c-a)(c-a)/(s-b)
C''=(c-a)(c-2d+a)/(s-b)
D'=(d-b)(d-b)/(s-c)
D''=(d-b)(d-2a+b)/(s-c)
と置くと
(与式の左辺)
=(1/2)[A'+A''+B'+B''+C'+C''+D'+D'']
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
と分割できる。

1018:535
18/07/28 07:55:37.99 o+vDTN8W.net
【Step 2　A'+B'+C'+D'の評価】
√A',√B',√C',√D',√(s-a),√(s-b),√(s-c),√(s-d)にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると
[A'+B'+C'+D'][(s-a)+(s-b)+(s-c)+(s-d)]
≧[{√A'}*{√(s-a)}+{√B'}*{√(s-b)}+{√C'}*{√(s-c)}+{√D'}*{√(s-d)}]^2　…△
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(|a-c|+|b-d|+|c-a|+|d-b|)^2
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(2|a-c|+2|b-d|)^2
相加相乗平均の不等式より
2|a-c|+2|b-d|≧2√(2|a-c|*2|b-d|)>0
だから
(2|a-c|+2|b-d|)^2≧16|a-c||b-d|　…▲
よって
3s(A'+B'+C'+D')≧16|a-c||b-d|
⇔A'+B'+C'+D'≧16|a-c||b-d|/(3s)　…①

1019:535
18/07/28 08:02:39.32 o+vDTN8W.net
【Step 3　A''+B''+C''+D''の評価】
(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)
=(a-c)[(a+c-2b)(a+c+d)-(a+c-2d)(a+c+b)]
=(a-c)[{(a+c)^2+(d-2b)(a+c)-2bd}-{(a+c)^2+(b-2d)(a+c)-2db}]
=(a-c)[(d-2b-b+2d)(a+c)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)
またM=(s-d)(s-b)とおくと
M=s(s-b-d)+db=s(a+c)+bd
A''+C''
=[(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)]/[(s-d)(s-b)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)/M
同様にN=s(b+d)+acとおくと
B''+D''=3(b-d)(a-c)(b+d)/N
よってW=(b+d)M-(a+c)Nとおくと
W=(b+d){s(a+c)+bd}-(a+c){s(b+d)+ac}=(b+d)s(a+c)+(b+d)bd-(a+c)s(b+d)-(a+c)ac=(b+d)bd-(a+c)ac
A''+C''+B''+D''
=3(a-c)(b-d)[(b+d)/N-(a+c)/M]
=3(a-c)(b-d)[(b+d)M-(a+c)N]/(MN)
=3(a-c)(b-d)W/(MN)
ここで
MN={(a+c)s+bd}{(b+d)s+ac}=(a+c)(b+d)s^2+{(a+c)ac+(b+d)bd}s+bdac
>{(a+c)ac+(b+d)bd}s
x>0,y>0のときx+y>|x-y|より
{(a+c)ac+(b+d)bd}s>|(a+c)ac-(b+d)bd|s=|W|s
よって
MN>|W|s⇔(1/s)>|W|/(MN)
ゆえに
|A''+C''+B''+D''|=3|a-c||b-d||W|/(MN)≦3|a-c||b-d|/s　…▼
したがって
A''+C''+B''+D''≧-3|a-c||b-d|/s　…②

1020:535
18/07/28 08:06:13.82 o+vDTN8W.net
【与式の証明と等号成立条件】
①と②より
(与式の左辺)
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
≧16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s
=16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s
=7|a-c||b-d|/(3s)　…☆
明らかに
7|a-c||b-d|/(3s)≧0=(与式の右辺)　…★
よって
(与式の左辺)≧(与式の右辺)
(与式の等号が成立する)
⇔(☆、★の等号が成立する)
⇔(①、②、★の等号が成立する)
⇔(△、▲、▼、★の等号が成立する)
▲の等号成立条件は
2|a-c|=2|b-d|⇔|a-c|=|b-d|
▼と★の等号成立条件は
|a-c|=0∨|b-d|=0⇔a=c∨b=d
よって
a=c∧b=d
このとき△でも等号が成立している。
したがって、与式の等号成立条件はa=c∧b=d　■

1021:535
18/07/28 08:08:38.70 o+vDTN8W.net
他の

1022:2つの模範解答もどう発想するのか判らない解答であるうえ、ただ煩雑で汚いので省略。リンク先で見てください。出典：IMO2008SL-A7 https://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf

1023:１３２人目の素数さん
18/07/28 08:13:53.49 Sc9m8D2O.net
|a b c d|
|b bx d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
を因数分解せよ

1024:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:35:34.58 pdtqHzrG.net
>>418
解答です。
R=F[T]/(T^2+1)、X1={(x,y,z)∈X | z≠0}、X2={(x,y,z)∈X | z=0}
とおいてR^をRの可逆元のなす群としN:R→Fをノルム写像とする。
またTの類T+(T^2+1)をtとする。
x,y∈FにたいしてN(x+yt) = x^2+y^2である。
x∈Fでx^2+1≠0かつx^2+1がGに属さないものがとれる。
(∵1～q-2のうちa∈G,a+1はGに属さないaをとってx^2=aとなるxをとればよい。)
このときN(x+t)=x^2+1はGに属さず0でもないのでx+tはR^＼N^(-1)(G)に入る。
よってR^/N^(-1)(G)はR^の真部分群であり準同型定理によりZ/2Zであるとわかる。
とくに#N^(-1)(-G) = (1/2)#R^である。
以上により
#X = 2・(1/2)#R^ + (R＼R^) = #R^ = q^2
である。
以下(a/q)を平方剰余記号とする。
(-1/q)=-1のときX2={(0,0,0)}であり#X2=1である。
(-1/q)=1のときu^2=-1となるu∈FをとればX2={(x,±ux,0)}であるから#X2=2q-1である。
以上により
#Y=#X-3#X2+3-1
=q^2-1 (q≡3 mod 4)、=q^2-6q+5 (q ≡ 1 mod 4)
である。
つぎに
Y2={(x,y,z) | x=y,xyz≠0}
とおくとき(-2/q)=-1ならばばY2=∅であり、
(-2/q)=1ならばv^2=-2となるv∈FをとればY2={(x,x,±vx)|x∈F^}であるから#Y2=2q-2である。
また
#Z=#Y-3#Y2
であるから以上と第２補充法則により
#Z=q^2-12q+11 (q ≡ 1 (mod 8))
#Z=q^2-6q+5 (q ≡ 3,5 (mod 8))
#Z=q^2-1 (q ≡ 7 (mod 8))
を得る。

1025:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:38:12.21 z2BC7zek.net
log2=0.3010, log3=0.4771が与えられている.
ここから, log11の小数第2位の値を求めよ.

1026:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:41:05.15 pdtqHzrG.net
>>962
>|a b c d|
>|b bx d cx|
>|c d ay by|
>|d cx by axy|
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,b*x,d,c*x],[c,d,a*y,b*y],[d,c*x,b*y,a*x*y])),factor;
a^3*b*x^2*y^2－a*b^3*x*y^2－a^2*b^2*x*y^2+b^4*y^2－a*b*c^2*x^2*y－a^2*c^2*x^2*y－a*b*d^2*x*y－a^2*d^2*x*y+2*b^2*c*d*x*y+6*a*b*c*d*x*y－2*b^2*c^2*
x*y－2*b^2*d^2*y+c^4*x^2－2*c^2*d^2*x+d^4
？？？？

1027:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:40:19.76 bjlcOHL6.net
>>962
とりあえず２行２列のbはaのまちがいっぽいけどそれでもまだ既約みたいやね。

1028:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:43:17.16 eDTZE8Ag.net
>>962
こう？
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,a*x^2,d,c*x^2],[c,d,a*y^2,b*y^2],[d,c*x^2,b*y^2,a*x^2*y^2])),factor;
(a*x*y－b*y－c*x+d)*(a*x*y－b*y+c*x－d)*(a*x*y+b*y－c*x－d)*(a*x*y+b*y+c*x+d)

1029:１３２人目の素数さん
18/07/28 13:37:27.98 25At2aHe.net
>>955
今更だけど不正解
少なくとも4つの辺を結べば5点を結べるから4より小さくないとおかしい

1030:１３２人目の素数さん
18/07/28 14:57:21.13 z4N8++BV.net
>>953
分岐点に隣接する３点の作る三角形の外心と、分岐点が一致する
ということでいいんでない？

1031:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:11:48.34 z4N8++BV.net
いや、>>969はたぶん違うな……
むしろ分岐点の角がすべて120°のほうが正しい気がしてきた

1032:イナ
18/07/28 15:2

1033:0:45.41 ID:6VVd4WCT.net

1034:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:24:47.07 dqaEH9OC.net
続けたまえ

1035:イナ
18/07/28 15:37:26.36 6VVd4WCT.net
>>972わかった。十個の弧のうち四個は省けるね。
2π×(36ﾟ/360ﾟ)人人
/＿/×6=4π/5（＿^_)
/＿/＿/＿/＿/（＿＿)
/＿/＿/＿/＿/（^｡^))
/＿人人＿/＿/_(＿っ┓
/_(＿)_)_/＿/◎┻υ◎
/_( _＿)_/＿/＿/＿/＿
/_(_（`)_/＿/＿/＿/＿
/_(υ＿)┓＿/＿/__/＿/
/◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/屁でもねえや。前>>971それよかいいワープロねえか。

1036:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:14:37.96 Sc9m8D2O.net
>>966
axの間違い

1037:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:15:36.89 Sc9m8D2O.net
>>967
も1つ
abcdの多項式でxyについては2次拡大まで使うと1次4つの積に

1038:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:21:20.32 RosE4Rin.net
>>952
角度120度の前提で 3.891156823 って数値が出たけど、これより良い結果ある？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

1039:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:24:52.44 EnyRsA6W.net
ax = f, cx = g とおくと

|a, b, c, d|
|b, f, d, g|
|c, d, ayy, byy|
|d, g, byy, fyy|
= {(af-bb)yy + (cg-dd)}^2 - (ag+cf-2bd)^2 yy
= {(af-bb)yy +(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)}{(af-bb)y^2 -(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)},

1040:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:40:58.48 Sc9m8D2O.net
>>977
もひとつ

1041:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:56:48.40 zqnKg1oN.net
>>971
そう、一つの頂点を一回通ればいいってこと
あと直線も曲線の一部
>>969,970
正7角形の場合、周をなぞるのが一番短いから角度は120°じゃないって言おうとしたけどジャンクションではないね
ジャンクションに限定するなら120°は成り立ちます
「プラトーの法則」
>>976
不正解です
実は左右非対称になる

1042:イナ
18/07/28 17:37:50.18 6VVd4WCT.net
直線も曲線のうち!?
;;;;;;;;;;;人人;;;;;;
;;;;;;;;;;(_;^_);;;;;
;;;;;;;;;;(_^;_);;;;;
;;;人人;;;(^｡^;);;;;;
;;(＿)_);;(＿っ┓;;;;
;;(_(＿);◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;
;;(_（`);;;;;ｷｺｷｺ……
;;(υ＿)┓;;;;;;;;;;;
◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/__/＿/
/＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/きっといい地境がみつかる。前>>973

1043:イナ
18/07/28 18:05:00.89 6VVd4WCT.net
前>>980
対角線2つ=1+√5
対角線の一つに残りの頂点から引いた垂線={√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4
分割線=1+√5+{√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4

1044:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:38:01.92 Sc9m8D2O.net
>>967
正解だったどもスマン

1045:１３２人目の素数さん
18/07/28 18:40:27.16 Sc9m8D2O.net
ちなみに8次でも同じような問題できる
2＾n次でできるのかも

1046:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:32:48.35 57kIc8+e.net
>>2
7+8-5=10
俺の勝ち
ちなみに
ID:AT99r3l3(>>24,29)　→　9+9/(3*3)=10

1047:１３２人目の素数さん
18/07/28 19:33:18.55 57kIc8+e.net
そろそろ次スレを

1048:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:56:04.78 zqnKg1oN.net
>>981
不正解
>>979でも言ったけど左右対称じゃない

1049:１３２人目の素数さん
18/07/28 20:58:42.11 zqnKg1oN.net
>>981
しかもそれ4より大きいじゃん

1050:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:04:35.57 5RD8Md9I.net
数列{a_n}を以下のように定める。
a_1 = 3
a_(n+1) = (a_n)^2 - 2
この時、 a_n が合成数になるような n は存在するか。

1051:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:36:52.34 Nf1txf93.net
>>988
mod 1087で考えると
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡33
a_5≡0
明らかにa_5>1087なのでa_5は合成数

1052:

1053:１３２人目の素数さん
18/07/28 21:46:55.05 boOQAkuB.net
ちなみにmod 127でも
a_1≡3
a_2≡7
a_3≡47
a_4≡48
a_5≡16
a_6≡0
a_6>127よりa_6は合成数
1087も127も勘で見つけた

1054:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:05:52.09 ttDOnSiN.net
>>990
正解、1087は見つけられんかったわ　すごい
pがメルセンヌ素数の時にフィボナッチ数列がmodpでp+1を周期に持つ条件やら何やらを考えてて127を偶然見つけたけど、
メルセンヌ素数かどうかの判定法でリュカテストというのがあって、殆ど同じことやってたのを問題出してから知った…

1055:イナ
18/07/28 22:32:30.32 6VVd4WCT.net
前>>981対角線2つのほかに、あえて対称じゃない分割線を一本引いたのに、対称と言われた。
―――――
①対角線1つ=(1+√5)/2
②対角線から最寄りの頂点への垂線=(1/4)√(10-2√5)
③中心角72°の扇形の弧=2π/5
④扇形の弧から残りの頂点への垂線={(1+√5)/2}-1
―――――
①+②+③+④=√5+2π/5+(1/4)√(10-2√5)
=4.08049029……ぉしい!!

1056:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:40:01.22 boOQAkuB.net
まあa_5, a_6をwolframに因数分解してもらって、modで書き直しただけなんだけど

余談だが、素数を無限に生成する関数
強い順に
f(n)=p_n
{f(n)}=Pかつf(m)≠f(n)
{f(n)}=P
{f(n)>0}=P
は存在するが、いずれも人為的なものであり実用性は乏しい（下の論文では"engineered"と表現している）
漸化式で定義された数列では
a_1=7
a_n=a_(n-1)+gcd(n, a_(n-1))
の階差数列b_nは1か奇素数になる
しかも全ての奇素数が現れるという
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,…
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,…
URLﾘﾝｸ(cs.uwaterloo.ca)

1057:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:45:27.23 XEewS8qw.net
>>983
そりゃできるんじゃね？
|a b c d|
|b ax d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
なら行列は０行０列から数えるとして
1の位が0の行、つまり0行目と2行目に√xをかけ、1の位が１の列、つまり１列目と３列目を√xで割る。
同じことを２の位について√yで行えば√x=u、√y=vとして
|auv bv cu d|
|bv auv d cu|
|cu d auv bv|
|d cu bv auy|
となって結局
|A B C D|
|B A D C|
|C D A B|
|D C B A|
を考えることになる。
2行目＋３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B+C+Dだからdetは(A+B+C+D)で割り切れる。
ー2行目＋３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B+C-Dだからdetは(A-B+C-D)で割り切れる。
2行目ー３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B-C-Dだからdetは(A+B-C-D)で割り切れる。
ー2行目ー３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B-C+Dだからdetは(A-B-C+D)で割り切れる。
A^の係数は１だからdet = (A+B+C+D)(A-B+C-D)(A+B-C-D)(A-B-C+D)。
これ2^2でやったけど2^nでもできると思う。

1058:１３２人目の素数さん
18/07/28 22:58:36.93 Sc9m8D2O.net
>>994
なるほど

1059:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:00:35.26 Sc9m8D2O.net
2^nだとどう並べたら良いかな

1060:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:17:01.50 XEewS8qw.net
とりあえず2^2のパターンを２つつかって2^3は
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
でこのパターンをまた文字変えて並べて…でいけると。
1,-1のパターンは
n=1のとき1,1と1,-1
n=2のとき1,1,1,1と1,-1,1-1と1,1,-1,-1と1,-1,-1,1 (２つコピペして並べたものとそのままと-1倍したものを並べたもの)
n=3のとき1,1,1,1,1,1,1,1,と1,1,-1-1,1,1,-1-1と1,-1,1,-1,1,-1,1,-1と1,-1,-1,1,1,-1,-1,1と…
でいけると思う。このパターンで各行を足したり引いたりしたら全成分同じ値が並ぶ行が出てくると思う。

1061:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:46:15.45 Sc9m8D2O.net
A=[[a,b],[b,a]]という形式の行列でテンソル積を取っていけばよいのかな>>997
A*A=[[aA,bA],[bA,aA]]
A*A*A=[[aA*A,bA*A],[bA*A,aA*A]]
みたいな
ただし
aA=[[aa,ab],[ba,bb]]
の成分は非可換でA*^nの成分はaaa…aからbbb…bまでの2^n通りで

1062:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:54:37.19 Sc9m8D2O.net
そしたら
|A*^(n+1)|=|[(a+b)A*^n,(a+b)A*^n],[bA*^n,aA*^n]|=|[a+b)A*^n,O],[bA*^n,(a-b)A*^n]|=|(a+b)A*^n||(a-b)A*^n|
から上手く因数分解した形で求められそう

1063:１３２人目の素数さん
18/07/28 23:58:12.29 XEewS8qw.net
>>998
テンソル積でうまく表現できるかもですね。
いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。

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