面白い問題おしえて～な 26問目

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面白い問題おしえて～な 26問目 - 暇つぶし2ch873:出た。自信は無い。概略を書くと、 α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。 f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β) Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。 σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ　σ(α)=β,σ(β)=-α 　τ(α)=β,τ(β)=α を満たすものとする。 D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると (1) 4 つの 1 次式 (2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式 (3) 2 つの 2 次式 (4) 1 つの 4 次式の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない）それぞれに対応する Frobenius 共役類は (1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3} 整数解を持つのは (1),(2) のとき。よって、類関数 f を　f(ζ)=0　(ζ=id,στ,σ^3τ) 　f(ζ)=1　(otherwise) で定めれば、求める値は　lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x) に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。 f を x_0,...,x_4 で表すと　f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8 が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8

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