18/07/05 16:18:09.19 yvviDF5N.net
>>741
x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？
切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。
aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。
もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。
787:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:21:57.29 yvviDF5N.net
あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。
なるほど。ならL_2の計算は難しそうww
信じることとしよう！！
788:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:36:58.34 aa26gjJX.net
lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても
Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので
それで計算しても多分大丈夫。
そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、
lim_{a→∞}(L_1/a)については
放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ
∫_{-1～1}√(2y^2+1)dyとして求まる。
そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。
789:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:38:25.37 aa26gjJX.net
>>745
あ、まちがった
lim_{a→∞}(L_1/a)については
のところは
lim_{a→∞}(L_2/a)については
に修正
790:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:41:23.15 aa26gjJX.net
>>744
すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので
そんなに無茶な計算をしているわけではないです。
791:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:39:19.05 izfpNop0.net
某映画より（全編を観たわけではない）
表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。
「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。
この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。
792:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:45:54.86 sQOol2Jk.net
一番右のカードに１
右から2番目のカードに２
．．．
右からn番目のカードに２^(n-1)
というポイントを与える。
表になっているカードの合計を、．．．以下略
793:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:59:52.69 hOZQWVuc.net
>>748
カードが1枚のときは自明。
カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。
n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。
2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。
一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。
よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。
あと一回はできないと駄目だから前者。
しかしその最後の一回で全裏。矛盾。
で桶？
794:１３２人目の素数さん
18/07/05 18:00:34.58 hOZQWVuc.net
>>749
かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz
795:１３２人目の素数さん
18/07/05 18:42:42.13 izfpNop0.net
映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少）
高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる(
796:>>750) 黒板での実演 https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8
797:１３２人目の素数さん
18/07/05 19:00:01.42 hLSyGNAr.net
右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。
最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。
798:１３２人目の素数さん
18/07/06 01:29:11.26 26sRDPd7.net
長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。
隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。
さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。
799:１３２人目の素数さん
18/07/06 09:42:24.03 KpmZzWMr.net
>>754
コインの半径をrとする。
もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても
他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、
いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。
したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに）
半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は
その円盤で被覆される。
テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、
テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、
あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで
覆えばよい。
800:１３２人目の素数さん
18/07/06 12:37:14.13 rNvMJVFD.net
>>741
これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？
801:１３２人目の素数さん
18/07/06 16:30:41.30 w9FHNO82.net
>>755
素晴らしい！正解‼︎
802:１３２人目の素数さん
18/07/06 17:39:11.01 jaUkHhY3.net
半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？
803:１３２人目の素数さん
18/07/06 19:16:43.11 jaUkHhY3.net
あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。
804:１３２人目の素数さん
18/07/07 00:13:12.37 U4/1+k2M.net
>>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど
θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))
….orz
805:イナ
18/07/07 02:27:38.43 0Vd5Kb4Y.net
>>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π―①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}
通分はあるいは必要かと。
806:１３２人目の素数さん
18/07/07 02:32:14.98 U4/1+k2M.net
>>761
�
807:ｽ勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？
808:イナ
18/07/07 03:27:26.25 0Vd5Kb4Y.net
前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263
黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。
809:１３２人目の素数さん
18/07/07 05:58:50.00 BXrd5bzu.net
サッカーボール は多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？
810:１３２人目の素数さん
18/07/07 06:51:22.31 8oKVVrfK.net
「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。
811:１３２人目の素数さん
18/07/07 08:11:54.48 ny1i6sPl.net
多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。
812:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:32:01.90 nRjTFKp9.net
acos((9-r5)/12).
813:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:43:39.52 VCaMax+U.net
>>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。
球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、
「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」
みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。
814:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:45:47.54 VCaMax+U.net
結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて
「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」
みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、
「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」
みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。
815:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:48:11.23 VCaMax+U.net
で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、
やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、
ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで
「球になってねーじゃーーーん！」
みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。
学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら
満足にこなせないんだなって かわいそうになったのを覚えている。
816:１３２人目の素数さん
18/07/07 12:58:04.04 CT2M6a2y.net
イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな
サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ
817:１３２人目の素数さん
18/07/07 13:01:21.42 QlJ5hxgi.net
>>756
有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体
818:１３２人目の素数さん
18/07/07 13:56:16.14
819:DOx4W0Fk.net
820:１３２人目の素数さん
18/07/08 11:54:50.48 rpQNxWJy.net
>>773
f(x) = (xx-1)^2 + 5 だから
(※) (xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。
(1) -5が平方非剰余
または
(2) ｛1±√(-5)｝が平方非剰余
(1) 平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から
((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5)
p≡1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5)
または
p≡3 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)
のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。
p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,…
(2) はどうするか
p x √(-5)
-----------------------------
p=2 0 1
p=3 0 ±1
p=5 ±1 0
p=7 ±2 ±3
p=23 ±3，±4 ±8
p=29 なし ±13
p=41 ±6 ±6
p=43 ±11，±15 ±9
p=47 なし ±18
p=61 ±9 ±19
p=67 ±11，±22 ±14
p=83 ±5 ±24
p=89 ±44 ±23
p=101 ±37，±42 ±46
p=103 ±24 ±43
821:１３２人目の素数さん
18/07/08 20:46:41.23 du/lqCAV.net
考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
上の方の
#define NPRIMES 3200
#define DEG 4
long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6};
のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。
この場合の結果は
1998 2 801 0 399
Exited: ExitFailure 10
？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？
C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。
計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。
対処方法ご存知なら教えて下さい。
次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。
複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。
それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。
822:１３２人目の素数さん
18/07/08 21:01:06.63 du/lqCAV.net
わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
823:１３２人目の素数さん
18/07/08 23:31:55.79 68ZF08lK.net
>>774
7以上の奇素数について
p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (13,17,37,53,73,97,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (11,19,31,59,71,…)
のとき、-5 は平方非剰余
p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (29,61,89,101,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (7,23,67,83,103,…)
のとき、-5 は平方剰余
(1) -5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?)
(2) {1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？
x π(x) N(x)
-----------------
2 1 1
3 2 2
5 3 3
7 4 4
11 5 4
13 6 4
17 7 4
19 8 4
23 9 5
29 10 5
31 11 5
37 12 5
41 13 6
43 14 7
47 15 7
53 16 7
59 17 7
61 18 8
67 19 9
71 20 9
73 21 9
79 22 9
83 23 10
89 24 11
97 25 11
101 26 12
103 27 13
824:１３２人目の素数さん
18/07/09 15:28:48.27 9xh3iFPU.net
２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです
(1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。
(2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。
825:１３２人目の素数さん
18/07/09 19:07:23.34 Al3hwPmB.net
>>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています：
A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、
Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。
一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。
両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。
826:１３２人目の素数さん
18/07/10 11:30:55.37 8lYR3TJ8.net
>>763
正20面体の外接球の半径Roは
Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長)
= 0.9510565163・(辺長)
各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体)
正六角形が残るように３等分すると（r=r')
Ro = 0.9510565163・(2r+r')
= 2.8531695489 r
このときの外接球の半径Rは
R = √{(Ro)^2 -r(r+r')}
= 2.478018659 r
R=1 とおくと r = 0.4035482123
12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088
827:１３２人目の素数さん
18/07/10 12:22:30.13 8lYR3TJ8.net
>>780
フラーレン(Ｃ_60)分子では
r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm
r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2)
R = 0.355 nm
らしい。
(1) J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991)
"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework"
(2) W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991)
"Crystal structure and bonding of ordered C_60"
828:１３２人目の素数さん
18/07/10 17:28:53.54 9e2HIdsC.net
昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。
「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」
だれか情報を…
829:１３２人目の素数さん
18/07/10 17:39:15.40 znafurMV.net
nとkに制限ないならなんでもできるやん
2=1!+1
3=1!+2
5=1!+4
‥‥
830:１３２人目の素数さん
18/07/10 18:33:12.92 kWjM72mK.net
簡単な問題設定の割に難しい問題
長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。
棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。
地面が滑らかな場合はどうか？
831:１３２人目の素数さん
18/07/10 18:41:25.72 okqgU0Wa.net
階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題
832:１３２人目の素数さん
18/07/10 23:10:21.90 CaZJMDCE.net
n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。
833:１３２人目の素数さん
18/07/11 00:19:16.07 t4/7pAv5.net
(m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し
(2n+1)^2+3≡0 (mod p)
⇒(-3 / p) = 1
⇒(p / 3) = 1
⇒p ≡ 1 (mod 3)
834:１３２人目の素数さん
18/07/11 04:46:
835:20.24 ID:P+BTNckt.net
836:１３２人目の素数さん
18/07/11 06:42:33.69 P+BTNckt.net
>>780
球の中心 ～ 六角形の中心 の距離（垂線の長さ）
{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro
球の中心 ～ 正五角形の中心 の距離（垂線の長さ）
Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r,
r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376
のとき、これらは一致し、
内接球の半径 2.03449563343785 r
837:１３２人目の素数さん
18/07/11 07:21:29.64 P+BTNckt.net
>>784
・根本が動かないとき
(1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2,
v_S = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
・地面が滑らかな場合
(1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2
φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
838:１３２人目の素数さん
18/07/11 08:00:21.98 P+BTNckt.net
>>780 >>789
r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき
内接球の半径 0.794654472291766 Ro
外接球の半径 R = 0.861318645 Ro
比 1.0838907666
839:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:27:42.24 LEvJsMim.net
>>773
ヒントです。
というかこれ知らないと多分自力では解けません。
逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。
ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。
よかったら挑戦してみて下さい。
-----
Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。
L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。
このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。
すなわち任意のx∈Sにたいして
σ(x) + w = F(x+w)
を満たすものが存在する。
またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。
またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。
すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。
この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。
-----
Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。
G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について常に等しい値をとる関数とする。
任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。
----
Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。
vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。
f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを
f = Σ[x]c_x x
と分解するとき次が成立する。
lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0
とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。
840:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:34:57.73 xru3WaBg.net
>>792
π(x) = #{v | p(v) ≦ x }
です。
841:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:58:00.78 VOQaSRny.net
イメージしやすいように例を
K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ}
である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。)
―
v=3Rのとき
w=3Sとなる。
このとき
F(i + w) = i^3 + w = -i + w。
故にこのときはFr(v) = �
842:ﾐ。 v=5Rのとき w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。 いずれにせよ、このとき F(i + w) = i^5 + w = i + w。 故にこのときはFr(v) = id。 ―― この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。)
843:１３２人目の素数さん
18/07/11 19:42:36.04 zWguNjBa.net
>>778
(2) は、
URLﾘﾝｸ(cybozushiki.cybozu.co.jp)
の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。
記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には
選択公理＆超限帰納法 あるいは 選択公理＆超限再帰 のテクニックのことを
指していると思われる。
こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する
マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。
しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。
超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、
結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で
やることがほとんど同じで面倒くさかった。
選択公理を使わずに構成できるかは知らない。
844:１３２人目の素数さん
18/07/11 23:13:11.73 t4/7pAv5.net
なるほど、超限帰納法使うとできるね。
まぁマニアックかな？
全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。
なるほど。
言われたらわかるんだけどなぁ。
845:１３２人目の素数さん
18/07/12 01:18:11.20 huavq4lx.net
>>792
F はフロベニウス写像？
846:778
18/07/12 02:22:48.22 /Z2aWdzi.net
>>795 >>796
ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね…
まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。
有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？
847:１３２人目の素数さん
18/07/12 03:07:48.58 cnnq5teh.net
>>798
できる
848:１３２人目の素数さん
18/07/12 12:42:01.87 /doAfL4Z.net
>>797
Yes!
849:１３２人目の素数さん
18/07/12 13:45:35.27 j/yfJD6O.net
>>800
了解
ちょっと考えてみよう
あと>>792のことが載ってる文献とかある？
850:１３２人目の素数さん
18/07/12 16:26:03.85 sQqagqbK.net
>>792
森田先生の東大出版の整数論とか
加藤先生の岩波出版の整数論Iとかには載ってると思う。
ただしどっちも証明完全にはのってなかった希ガス。
確実に証明まで含めてのってるのは
Lang の Algebraic number theory。
池原 Winner Landau の定理を使う証明で若干妙な証明だけどのってます。
まぁ森田先生のはLangの訳本に近い。
間違ってるとこもそのままちゃんと間違ってますwww
851:１３２人目の素数さん
18/07/12 18:36:36.53 2xf9EIWs.net
Σ[k=2 to n-1] n!/(n-k)! + n! の値を求めよ
852:１３２人目の素数さん
18/07/12 19:51:18.89 L192+njn.net
>>803
これはムズい。見たことない。答え！とか出てくる？
853:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:33:04.82 sQqagqbK.net
てか
n!(1/(n-2)! + 1/(n-3)! + ... + 1/1! + 1)
=n!(1/0! + 1/1! + ... + 1/(n-2)!)
こんなんもたまらん希ガス。
854:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:34:18.22 uedcuzUI.net
二項定理で微分してみる？
855:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:57:58.27 xzK6jvxq.net
>>805
+n!が
856:完全蛇足になるとおかしいから分母にくるでしょ
857:１３２人目の素数さん
18/07/12 21:36:53.55 Os9QSTcU.net
>>807
分母なんぞに来た日には目も当てられんやん。
858:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:12:02.43 Os9QSTcU.net
>>803 >>807
分母でやってみた
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
6 % 7
612 % 325
453800 % 155001
3861634830 % 976314031
481961256261492 % 96969788815873
1054761729394054912664 % 176420776601977522329
9379220392541459116676859552 % 1342977541299460819153297325
6871627232977971685604791983162107670 % 860310167933842952793421619070619213
なんのルールも見えん。
ほんまに解けんのこれ？？？？
859:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:15:25.17 FNY0485u.net
>>803
ガウス記号使えるなら [e･n!]-n-1 という表示は可能だけど、もしかしてこれが答え？
860:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:46:37.28 sQqagqbK.net
>>810
それか！
861:１３２人目の素数さん
18/07/13 00:27:41.14 3AgF2Wt2.net
>>802
サンクス
>>773はのんびり考え中
862:778
18/07/13 00:58:20.39 J3lC7G1w.net
>>778 (2)ですが自己解決しました。ヒントくださった方ありがとうございました。
863:１３２人目の素数さん
18/07/13 12:00:38.73 btBhB1qs.net
>>803
元ネタは、たまたま書庫で見た数学セミナーの連載記事 「算私語録」 で、答えは書いてなかったのだ。
続けたまえ！
864:１３２人目の素数さん
18/07/13 14:19:55.91 j1khqgOs.net
ハゲのくせになまいきだぞ
865:１３２人目の素数さん
18/07/14 00:32:30.12 kfXPO9Dw.net
半径1のn次元球D^nの体積はπ^[n/2]/(n/2)!
ただし半整数の階乗は1ずつ減らして1/2までの積
これを帰納法使わず証明して欲しい
866:１３２人目の素数さん
18/07/14 02:32:04.17 5VRLgysv.net
>>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了
867:１３２人目の素数さん
18/07/14 03:43:23.92 +LT1qx/t.net
>>817
この証明のdrって面積素、つまりはハウスドルフ測度のことだよね？だとしたらハウスドルフ測度の定義にはn次元球の体積が必要だから循環論法になるんじゃないの？
868:１３２人目の素数さん
18/07/14 03:45:07.12 +LT1qx/t.net
>>818
ごめんdrは半径か失礼しました
その前段階で表面積分してるよね？
869:１３２人目の素数さん
18/07/14 05:21:45.18 kfXPO9Dw.net
>>817
漸化式も使わないではできない？
870:１３２人目の素数さん
18/07/14 05:23:31.56 kfXPO9Dw.net
>>817
使ってないか失礼
871:１３２人目の素数さん
18/07/14 09:09:04.02 MrcE29He.net
△ABCはAB=3,BC=4,CA=5を満たすとする。
△ABCの外接円をO、内接円をIとする。
異なる3点P,Q,RがO上をPQ,PRがIと接するようにうごくとき、直線QRが通過しない部分の面積を求めよ。
872:１３２人目の素数さん
18/07/14 14:38:08.75 2fMgdkQ3.net
>>773
5/8 と
873:出た。自信は無い。 概略を書くと、 α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。 f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β) Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。 σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ σ(α)=β,σ(β)=-α τ(α)=β,τ(β)=α を満たすものとする。 D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。 それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。 有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると (1) 4 つの 1 次式 (2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式 (3) 2 つの 2 次式 (4) 1 つの 4 次式 の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない） それぞれに対応する Frobenius 共役類は (1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3} 整数解を持つのは (1),(2) のとき。 よって、類関数 f を f(ζ)=0 (ζ=id,στ,σ^3τ) f(ζ)=1 (otherwise) で定めれば、求める値は lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x) に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。 f を x_0,...,x_4 で表すと f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8 が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8
874:イナ
18/07/14 15:44:20.32 +kVDeoWP.net
>>822
△ABCの外接円Oの半径:5/2
△ABCの内接円Iの半径:1
Pが円Oの周上を一回動くときQRは円Iに接しながら円Oの中かつ円Iの外の領域をくまなく動くので、QRが通らない部分は円Iの中と円Oの外である。
(円Iの面積)=π
(円Oの面積)=25π/4
(QRが通る部分の面積)=(円Oの面積)-(円Iの面積)
21π/4
(QRが通らない部分の面積)=∞+π
→∞
875:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:30:00.48 vTy8qTeq.net
>>824
ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。
通らない部分は円Iの内部です。
直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。
876:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:47:55.75 hjCo+mDv.net
難問です.
一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う.
今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？
877:１３２人目の素数さん
18/07/14 17:15:23.44 vTy8qTeq.net
>>826
φ(1) は0ちゃうん？
878:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:46:36.87 hjCo+mDv.net
ヒントとしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します.
879:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:47:17.58 hjCo+mDv.net
ℚの代数閉包までなら自明だから
880:１３２人目の素数さん
18/07/14 19:07:11.95 hjCo+mDv.net
>>827
それはそうw
しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw
881:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:23:25.61 SCz7cUJu.net
Kを微分体とします(標数0)
K(x)をその純超越拡大とします
a∈K(x)を固定します
Kの導分DがK(x)上の導分でD(x)=aを満たすように一意拡張されますよね？
882:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:46:51.85 vPo4n2qv.net
>>830
ああ、R射であることは要求されてないのね。
一般論はよくしらないけど以下の議論でGrand Field Kは標数0として
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは超越拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) Σp_iα^i ∈ K[α]に対しては、φ(Σp_iα^i) = Σ( φ(p_i) α^i + i p_i α^(i-1) x ) 定め、p(α),q(α)∈ K[α]に対しては
φ(p(α)/q(α)) = (φ(p(α))q(α) - p(α)φ(q(α)/q(α))) / q(α)^2と定めればよい。
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは単項代数拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) F(x_0,x_1,…,x_n) ∈ K(x_0,x_1,…,x_n)とβ_1,…,β_nをF(x,β_1,…,β_n)がαの最小多項式となるようにとる。∂F/∂x_i = Fiとして
φ(α) = - ΣF_i(α,β_1,…,β_n)φ(β_i)/F_0(α,β_1,…,β_n)と定めれば良い.
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
で結局
― 補題 ―
任意の導分 K→L は L→L に拡張される。
からQ[x] → Q[x] ⊂ R ⊂ R(x)の導分φをφ(x)≠0となるように定めておいてからR(x)まで拡張すればよい。
煩雑な計算を回避する方法がありそうでなさそうで………
883:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:14:40.55 vPo4n2qv.net
>>823
すばらしい！正解！(ホントいうと f の展開のとこチェックしてませんが信じます。)
まさに期待通りの解答です！！
ちなみに>>792のヒントは>>774さんや>>777さんのカキコをみて後付けで思いついて作ったものです。
後日こちらが用意した解答もあげようと思いますけど……いや、すごい！！！
884:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:28:26.61 SCz7cUJu.net
>>828
わざわざAを設定したからにはそれ使って示すことを想定してるんかな
ちょい気になるから書いて
885:１３２人目の素数さん
18/07/15 00:06:50.68 q2k7b01c.net
書きたまえ
886:１３２人目の素数さん
18/07/15 02:16:45.42 8ME/vsb7.net
今日のことわざ
Ground Field にチャンスは落ちてない。
チャンスは Pitch に落ちている。それを全力で探そう。
887:１３２人目の素数さん
18/07/15 09:14:23.66 DcTFeZo6.net
>>833
お、あってたか。良かった。
>>777の結果が 5/8 にあまり近くなかったのが不安で……
こちらも勉強になった。
ちょうど自分の知識の少し先って感じだったんで楽しかった。
答えを出してから気づいたんだけど、直感的に考えて
-5 が平方非剰余…1/2 の割合
-5 が平方剰余かつ 1+√(-5), 1-√(-5) が共に平方非剰余…1/8 の割合
で、合わせて 5/8 っていう結果と一致するのね。
f の展開をチェックをしてないってことは、元々の解答では f の展開を使わないってことですかね。
楽しみです。
888:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:39:30.12 0Uh0l9mr.net
>>837
もうすでに解答が出てるのであれなんですが参考までに用意していた解答を紹介します。
一般にGal(L/K)の部分集合Sとその特性関数(すなわちf(x) = 1 iff x∈S,f(x) = 0 otherwise)についてf(x)が類関数であるものを取ります。
d = lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S}
を計算したい、もちろんそれは>>792をみとめれば
f = Σ[x]c_x x
と展開するときのc_x0です。
ここで有限群の表現論から一般の類関数 f について得られる結果
c_x = (f,x) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x^(σ) (x^ はxの複素共役による指標)
(URLﾘﾝｸ(gauss.ms.u-tokyo.ac.jp))
を用いれば今のfについては
c_x0 = (f,x0) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x0^(σ) = #S/#G
が得られます。結局この設定のもとにおいては
----定理( チェボタレフの密度定理)----
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#G
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
が得られます。
本文においてはGal(L/K) = D4、(4つの解への作用は４次２面体の４頂点に対するそれと同じ)
Z/pZで解がない⇔Fr(p) ∈ {(1234),(4321),(13)(24),(12)(34),(14)(23)} (= Sとおく）
なので結局
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#D4 = 5/8
となります。
別の例f(x) = x^4 - 2x+6の場合にするとガロア群はS_4で
解０個⇔Fr(p) ∈ {(1234)...} ← 9個
解１個⇔Fr(p) ∈ {(123)...} ← ８個
解２個⇔Fr(p) ∈ {(12)...} ← 6個
解４個⇔Fr(p) ∈ {e} ← 1個
なのでmod pで解を０個、１個、２個、４個もつ比率は
9:8:6:1
となります。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
889:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:43:37.83 J7bEvDWH.net
>>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了
890:１３２人目の素数さん
18/07/16 22:42:48.81 MFtB88ty.net
>>838
乙です。
またゆっくり読もうと思います。
891:１３２人目の素数さん
18/07/17 07:36:12.46 Aegngsr/.net
>>839
Γ(n/2+1)の値を求めるのに漸化式使うんでなくて？
892:１３２人目の素数さん
18/07/17 08:14:11.22 8QchSL46.net
問題文読んでから発言してね
893:１３２人目の素数さん
18/07/17 10:48:14.93 6M1FJ0j2.net
1はできましたが誘導がわかりません A,B,CがD,E,Fに対応しているのはわかりますが
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
894:１３２人目の素数さん
18/07/17 22:02:28.41 qLE42k1Y.net
Peter Winklerのパズル本より
―
３つの非負整数の組(a,b,c)に対して次の操作を考える。
(※) (a,b,c)から２つの数 (x,y) (x≧y)を選び、その２数を(x-y,2y)に置き換える。
この操作を何回か繰り返すことにより３数のいずれかを0にできることを示せ。
―
895:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:15:11.43 6M2SJbed.net
>>844
任意の自然数nは、正の奇数aと非負整数bを用いてn=a*2^bの形でただ１通りに表せる。
このとき自然数nについての関数fをf(n)=bと定義する。
また、問題で与えられた操作を以下操作Xと呼ぶ。
非負整数の組(a,b,c)に対し操作Xを施してもa+b+cの値は不変であるので、
その値をSとおく。
証明の基本方針：まず以下の命題１，２を示す
命題１
a,b,cがいずれも0でないとき、
min(f(a),f(b),f(c))＜f(S)ならば、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、min(f(A),f(B),f(C))=f(S)とすることができる。
命題２
a,b,cがいずれも0でなく、
f(a),f(b),f(c)を小さい方から順に並べたものをm,n,lとしてm=f(S)のとき、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてM=f(S)かつN＞nとすることができる。
ここで、S≠0のとき、2^k≦S＜2^(k+1)を満たす非負整数kを考えて、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができないと仮定すると、
命題１，２より，(a,b,c)に対して操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)とし、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてN＞kとすることができる。
このときA,B,Cのうちの１つxが x＞Sを満たすこととなり、矛盾。
よって、仮定は誤りであり、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができる。
以下、命題１，命題２を証明する。
896:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:56:29.33 6M2SJbed.net
>>844
>>845の続き
命題１の証明
以下、a,b,cはいずれも0でなく、(a,b,c)に操作Xを有限回数繰り返しても0は
出現しないものとする。
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とすると
p,q,rを奇数として
S=p*2^m + q*2^n + r*2^l = (p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m))*2^m
ここで、m＜sのとき
m＜nとすると、p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なのでf(S)=mとなり、矛盾
m=n=lとしても、やはりp+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なので矛盾。
よって、m＜sならば必ずm=n＜lとなる。
このとき、x,yを大きい方からx',y'とおくと�
897:A f(x'-y')≧m+1，f(2y')=m+1となるので、 (a,b,c)を１回の操作Xにより(x'-y',2y',z)を並べ替えたものにすることができて、 このときmin(f(x'-y'),f(2y'),f(z))=m+1 このような操作を繰り返すことで、 min(f(a),f(b),f(c))＜sのとき、操作Xをs-min(f(a),f(b),f(c))回繰り返すことで、 操作後の組(A,B,C)についてmin(f(A),f(B),f(C))=sとすることができる。 以上より、操作の途中で0が出現するケースも含め、命題１が示された。
898:１３２人目の素数さん
18/07/18 17:17:13.64 6M2SJbed.net
>>844
>>845，>>846の続き
補題３
非負整数の非順序対{a,b}について、操作ＹをＹ:{a,b}→{|a-b|,2*min(a,b)}とする。
いま、a,bがいずれも0でなく、M=min(f(a),f(b))，N=max(f(a),f(b))として
N≧M+2とすると、
{a,b}に操作Ｙを有限回施したものを{A,B}として、
min(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1とすることができる。
証明：Ｙ：{a,b}→{A,B}として、
a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mのとき、
A,Bもともに0でなく、f(A)≠f(B)、min(f(A),f(B))=mとなることは容易に示される（略）。
よって、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mとなるような{a,b}から始めて、
操作Ｙにより、同じ条件を満たす非負整数の非順序対の列を無限に続けることができる。
一方、操作Ｙは２つの非負整数の和を変えないので、そのような非負整数の非順序対は
有限個しか存在しない。したがって、その列は必ず循環する。
ここで、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対について、
操作Ｚを、以下のように定義する。
a,bを並べ替えたものをx,yとし、f(x)＜f(y)とするとき、Ｚ:{a,b}→{y/2，y/2+x}
このとき、
f(y)≧f(x)+2のとき、f(y/2)=f(y)-1，f(y/2+x)=f(x)より、f(y/2)＞f(y/2+x)=f(x)であり、
f(y)=f(x)+1のとき、f(y/2)=f(x)，f(y/2+x)≧f(x)+1より、f(y/2+x)＞f(y/2)=f(x)となるので、
明らかに操作Ｚは、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対
の中で閉じた操作Ｙの逆操作となる。
逆操作が存在するため、前述の{a,b}から始まる無限列はその途中のどこから見ても
逆順に辿って出発点まで遡ることができ、循環節には必ず{a,b}が含まれる。
ここで、補題の設定の{a,b}について、Ｚ：{a,b}→{A,B}とすると、{A,B}は{a,b}から始まる
操作Ｙによる無限列の循環節に含まれることになるので、{a,b}から有限回の操作Ｙで
{A,B}にすることができる。このとき，明らかにmin(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1を
満たすので、補題３は成立する。
899:１３２人目の素数さん
18/07/18 17:44:07.41 6M2SJbed.net
>>844
>>845，>>846，>>847の続き
命題２の証明
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とする。
m=sのとき、s=m＜n≦lまたはs=m=n=lのいずれかとなる。
s=m＜n=lまたはs=m=n=lのとき、
(a,b,c)から１回の操作Ｘで(x,|y-z|,2*min(y,z))とすることができ、
このとき、|y-z|=0となるか、
f(x)=m=s，f(|y-z|)≧n+1＞n，2*min(y,z)=n+1＞nとなる。
s=m＜n＜lのとき、補題３より
{x,z}に対して操作Ｙを有限回繰り返すことで
f(x')=f(x)=m，f(z')=f(z)-1=l-1とすることができる、
すなわち、(a,b,c)に対して操作Ｘを有限回繰り返すことで
f(x')=m，f(y)=n，f(z')=l-1となる(x',y,z')を並べ替えたものにすることができる。
さらに、それを繰り返すことで、
f(x'')=m，f(y)=f(z'')=nとなる(x'',y,z'')を並べ替えたものにすることができる。
そこからさらに１回の操作で(x'',|y-z''|,2*min(y,z''))とすることができ、
このとき、|y-z''|=0となるか、
f(x'')=m=s，f(|y-z''|)≧n+1＞n，2*min(y,z'')=n+1＞nとなる。
以上より、命題２は示された。
900:１３２人目の素数さん
18/07/18 22:16:47.18 6M2SJbed.net
手順としては
(1) まずmin(f(a),f(b),f(c))=sとなるまで、fの値の小さい2つを対象に操作Ｘを行う
(2) min(f(a),f(b),f(c))=sとなったら、fの値の大きい方から2つが一致してない場合は
fの値の一番大きいものと一番小さいものを対象に
fの値の大きい方から2つが一致するまで操作Ｘを繰り返す。
(3) fの値の大きい方から2つが一致していたら、
その2つを対象に操作Ｘを行う。この結果fの値の上から2番目が1増える。
(4) (2)(3)を繰り返す
この流れのどこかで、必ずa,b,cのいずれかが0になる。
たとえば、
(a,b,c)=(13,42,69)からスタートする。このとき
[f(a),f(b),f(c)]=[0,1,0]であり、
S=a+b+c=124、s=f(S)=2
手順(1)
(13,42,69)[0,1,0]
→(26,42,56)[1,1,3]
→(52,16,56)[2,4,3]
手順(2)
→(36,32,56)[2,5,3]
→(4,64,56)[2,6,3]
→(8,60,56)[3,2,3]
手順(3)
→(16,60,48)[4,2,4]
手順(3)
→(32,60,32)[5,2,5]
手順(3)
→(64,60,0)[6,2,-]
901:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:06:36.41 s/ikFyeC.net
パズル本だからもっと
902:シンプルな証明があるんじゃないの？
903:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:55:04.71 0gAQHTX9.net
うむ、そうだな
904:１３２人目の素数さん
18/07/18 23:58:33.34 Tmnw4mMS.net
>>843やってください お願いします
面白い問題スレなので面白く思えるように問題を言うと、
半径1のリングを空間中に配置する
一辺の長さが十分に長い大立方体のある頂点Xを通る3辺がつねにリングに接するように立方体をゴリゴリ動かす このときXの通過する面とリング面により囲まれる立体の体積を求めよ
905:１３２人目の素数さん
18/07/19 01:32:19.16 jz3wZoKD.net
>>844 です。>>845 さん。お見事！正解です。もちろん本に載ってる証明はもっと洗練されてますが解答用意する時間とか全然ちがいますからねぇ。
何より人の作ったエレ解より自力の解答です。
以下は本の解答です。
----
補題 (>>847の補題３に相当)
(a,b,c)がa:奇数、b:偶数のとき何回か操作をして(a+b/2,b/2,c)にできる。
(∵) a,bに対して操作を行い得られる列を(a1,b1),(a2,b2),…とする。
ただし(a1,b1)=(a,b)。
ai+biが不変で正の整数だから(ai,bi)=(aj,bj) (i<j)となるi,jがとれる。
iが最小となるものをとる。
i>1とすると操作によって(a(i-1),b(i-1)) → (ai,bi)、(a(j-1),b(j-1)) → (aj,bj)となったこととai+biが奇数であることと、(ai,bi) = (aj,bj)により(a(i-1),b(i-1)) = (a(j-1),b(j-1))となる。
これはiの最小性にはんするからi=1である。
よって(aj,bj)→(a1,b1)と変化したこおｔになるが、このとき(aj,bj) = (a1+b1/2,b1/2)である。□
----
これを用いて示します。
----
(a,b,c)からいかなる操作によっても0が作れないとする。
奇数が２つ以上あればそれに対して操作を行い奇数は１個以下としてよい。
全部偶数ならすべてを2でわってよい。
この作業を繰り返してa:奇数、b,c：偶数としてよい。
操作を繰り返して発生する最大の奇数をMとする。
a=Mとしてよい。
b,cがともに４の倍数でないならb,cに対して操作を行えば４の倍数となるので、bは４の倍数としてよい。
以上の設定ののち補題を適用すれば操作によって(a+b/2,b/2,c)が得られるが、仮定によりa+b/2は奇数。
これはMの最大性に矛盾。□
906:１３２人目の素数さん
18/07/19 03:15:34.88 NBL3eCRb.net
組み合わせ数学面白い
他の問題も見てみたいね
907:１３２人目の素数さん
18/07/19 04:41:24.56 hEddS4yd.net
うむ、続けたまえ！
908:１３２人目の素数さん
18/07/19 06:52:48.44 uK3KKpwz.net
円Cに内接する四角形PQRSにおいてP,Q,R,SにおけるCの接線を結んで得られる四角形は円に内接している。
このとき四角形PQRSの４辺の中点は同一円周上にあることを示せ。
909:１３２人目の素数さん
18/07/19 08:08:18.42 hEddS4yd.net
z^4 - 3 \bar{z} z^2 + \bar{z}^2 + 2z = 0 (z∈C) を解け
910:１３２人目の素数さん
18/07/19 10:21:43.92 zkAGwq9m.net
実数解は
z=－sqrt(5)－1/2,z=(sqrt(5)+1)/2,z=2,z=0
みたいだけどこれしかないのかな？
911:１３２人目の素数さん
18/07/19 11:28:54.79 QaNCXAoL.net
この4つしかないっぽいんだけどなぁ。
z≠0としてz'を複素共役として
Z^3-3zz'+z’^2/z+2=0
z=r cisθ としてrを固定してθを動かす。
r>>0 では原点周りを、大きく3回周り、r→+0で2に収束していくからその過程で原点を通る回数は高々3回っぽい。
うーん、しかし厳密には示めせてないなぁ？
輪っかが戻ってくる可能性あるしなぁ？
改めて因数定理の偉大さを感じる。
912:１３２人目の素数さん
18/07/19 13:11:57.68 TH9tCNDf.net
>>8
913:57 zの共役をz'とする。 zが実数のときは、z=z'なので、z^4-3z^3+z^2+2z=0、z(z-2)(z^2-z-1)=0より z=0,2,(1±√5)/2 （>>858はちょっと違う） zが虚数のときは、与方程式と、それの両辺の共役をとったものを(1)(2)として (1)+(2)と(1)-(2)の２つの方程式を作る。 (1)-(2)はz-z'でくくれるが、z≠z'なので割って良い。 その結果、2つの左辺が対称式の方程式が得られるので、 z+z'=a，zz'=bとして、a,bについての連立方程式を作り、 それを実数の範囲で解けばよい。 （解けるかどうかはまだやってない）
914:１３２人目の素数さん
18/07/19 14:04:13.48 TH9tCNDf.net
>>860
aについての6次方程式が出てきた。
途中計算に全く自信はないが、
4a^6+12a^5-5a^4-48a^3-24a^2+20a+8=0
とかになったので
Wolfram先生に訊いてみたら実数解は４つ。
それぞれの実数解に対応するa,bのペアからは
それぞれzの虚数解（共役ペア）が得られるようなので、
実数解4つと虚数解8つ？
915:イナ
18/07/19 14:21:00.04 4JvpUq38.net
半径1の円を底面とする半球の表面積は、
π+4π/2=3π
おもしろいですね。
ちょうど球面が円盤の二倍の面積。
916:イナ
18/07/19 15:08:49.11 4JvpUq38.net
三点でしたね。訂正です。前>>862
>>852
半径1の円周上のある点から物体の頂点までの斜辺は、物体が半径1の円の中心の真上に来たとき、
√3/√2
半径1の円の中心からの頂点の高さは、三平方の定理より、
√{(3/2)-1}=1/√2
頂点の通過部分と半径1の円盤とで囲まれる部分の体積は、
(4π/3)(1/√2)(1/2)
=(π√2)/3
917:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:38:03.49 nPcIIs+O.net
>>857-861
実根(2つ)
z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ
虚数根(12個?)
z = (1+√5)(-1±i√3)/4 = φω，φω~,
z = (1-√5)(-1±i√3)/4 = (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~
z = -1±i√3 = 2ω，2ω~
z = -0.7660444431189780352 ± 0.6427876096865393263 ｉ
z = -0.1736481776669303489 ± 0.9848077530122080594 ｉ
z = 0.9396926207859083841 ± 0.34202014332566873304 ｉ
ただし
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
ω = (-1+i√3)/2 = e^(ｉ(2π/3)),
ω~ = (-1-i√3)/2 = e^(-ｉ(2π/3)),
918:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:49:09.07 nPcIIs+O.net
>>864 訂正
実根（4つ)
z = 0,
z = 2,
z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ
919:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:57:10.91 QaNCXAoL.net
へぇ、解16個になるのか。
4^2になる事となんか関係あるのかな？
920:１３２人目の素数さん
18/07/19 16:59:29.95 QaNCXAoL.net
なんか日本語変だけど察してチョンマゲ。
zとbar{z}の絡み方から解の個数パッと出せたりするのかな？
921:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:04:53.01 u5A76+YW.net
正n角形の各頂点に実数が配置されている。
負の頂点を選び、その数を辺でつながった2つの頂点に足し、それ自身の符号を反転する
（[…, p, q, r, …] -> […, p+q, -q, r+q, …]）という操作を、負の頂点がなくなるまで行う。
頂点上の数の総和が正である初期状態から始めたとき、次が成り立つことを示してほしい。
１．操作は有限回で終わる。
２．操作の回数は、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。
３．最終状態も、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。
また、以上のことは一般の有限グラフに自然に一般化されるが、
どのようなグラフが上記のような性質を持つだろうか？
パズルのようだけど、意外に深い数学につながっている問題です。
922:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:20:48.38 QaNCXAoL.net
あれ？Winkler本の？これ答え知ってるからやめとこ。
ちょっと感動するよね。
923:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:28:32.54 u5A76+YW.net
Winklerの本は見たことないけど、>>844を見て思い出したから、書いてみた
ほとんど、ある論文の丸写し
924:１３２人目の素数さん
18/07/19 17:37:14.65 NBL3eCRb.net
正５角形の各頂点の１つずつ整数を割り当て、それら５つの整数の和が正になるようにする.
連続する３個の頂点に割り当てられた整数をそれぞれ x, y, z とする.
このとき y < 0 ならば次の操作を行う
「３つの数 x, y, z をそれぞれ x + y, −y, z + y で置き換える.」
５つの整数のうち少なくとも１つが負である限り、上述の操作を繰り返し実行する.
有限回の操作の後、この手続きが完了するか否か決定せよ.
数学オリンピックに似た問題あるね
925:１３２人目の素数さん
18/07/19 18:27:11.49 QaNCXAoL.net
数オリでも出てるんだ。有名なんやね。この解答は中々感動した。
926:１３２人目の素数さん
18/07/19 20:53:20.77 QaNCXAoL.net
>>868
一般のグラフのときはどういう操作をするんですか？やっぱり真ん中を-1倍して残りに同じ数加えるんですか？
それとも変化量の総和が0になるようにするんですか？
927:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:17:53.45 u5A76+YW.net
>>873
>真ん中を-1倍して残りに同じ数加える
です。そのため、総和が変化します。
また、初期状態の条件もグラフによって違ってきます。
例えば、
・―・―・―・―・
| （下の点は上の中央の点とつながっている）
・
の場合は、どんな実数を配置しても（総和が正でなくても）有限回の操作で終わります。
928:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:26:53.44 QaNCXAoL.net
有限型‥‥なんか二次形式がらみなのか？？？
929:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:35:52.63 QaNCXAoL.net
もしかして長さ2の枝が３またに分かれてると総和正からだと有限で終わりで、どこかの枝がも一つ長いと終わらないとかになったりします？
930:１３２人目の素数さん
18/07/19 22:59:31.78 mUU9PVxG.net
∫[0,2π]cos(mx)(cosx-1+2/n)(cosx-1+4/n)…(cosx-1+(2n-2)/n) dx≧0
931:１３２人目の素数さん
18/07/20 00:31:50.12 dYh8+g4F.net
>>874
>真ん中を-1倍して残りに同じ数加える
よく読んだら、なんか変？残り？
ちゃんと書くと、一般のグラフの場合も「負の頂点を選び、その数を辺でつながった各頂点に足し、それ自身の符号を反転する」です。
>>876
すごい。挙げた例から分かっちゃいましたか。専門分野によってはよく見かけるグラフですね。
だいたいあってますが、総和が正という条件は違います。
どんなグラフでも初期状態さえ制限すれば性質を満たすようにできるので、
論文は特別にうまくいくグラフのクラスを挙げるものです。
932:１３２人目の素数さん
18/07/20 02:01:25.14 +Kx7eSAL.net
やっぱり >>861 の計算は間違ってた。
正しい６次方程式は
a^6+3a^5-2a^4-12a^3-6a^2+5a+2=0
因数分解すると
(a+2)(a^2+a-1)(a^3-3a-1)=0
これは６つの実数解を持ち
a=-2，(-1±√5)/2，2cos(π/9)，2cos(5π/9)，2cos(7π/9)
(a,b) = (-2,4)，((-1±√5)/2,(3∓√5)/2)，(2cos(π/9),1)，(2cos(5π/9),1)，(2cos(7π/9),1)
ここから出てくる12個の虚数解は、>>864と同じだけど、
後半のものは
cos(π/9)±isin(π/9)，cos(5π/9)±isin(5π/9)，cos(7π/9)±isin(7π/9)
と書ける。
933:１３２人目の素数さん
18/07/20 02:17:37.41 smLQGUhz.net
>>857
z≠0 に対して
f(z) = z^3 - 3(z~)z + (1/z)(z~)^2 + 2,
とおくと、
f(zω) = f(zω~) = f(z),
3つ組×5個 と {0} か？
934:１３２人目の素数さん
18/07/20 03:36:25.83 smLQGUhz.net
>>864
・実数解（4個）
0，2，φ，-1/φ �
935:c… z(z-2)(zz-z-1) ・虚数解（12個） φω，φω~ …… (zz +φz+φ^2) (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~ …… (zz-(1/φ)z +1/φ^2) これらの積：(z^4 +z^3 +2zz -z+1) 2ω，2ω~ …… (zz+2z+4) 残りの虚数解（6個） …… (z^6-z^3+1)
936:１３２人目の素数さん
18/07/20 03:59:51.98 +Kx7eSAL.net
>>857
やっと題意が見えた。
以下、zの共役をz'で表す。
z≠0のとき、r=|z|，z=rwとおくと、
w'=1/w，z'=r/w
与式をzで割って
z^3-3z'z+z'^2/z+2=0より
r^3・w^3 + rw'^3 - 3r^2+2 = 0
w^3が実数でないとき，r^3=r ∴ r=1
このとき、w^3 = αとおくと
α + 1/α -1 = 0
α^2 - α + 1 = 0
∴ α = e^(±πi/3)
∴ z = w = e^(±πi/9)，e^(±7πi/9)，e^(±13πi/9)
一方、w^3が実数のとき，w^3=±1
w^3=1のとき，r^3-3r^2+r+2 = 0
r＞0より，r=2,(1+√5)/2
w=1,ω,ω'
z = rw = …
w^3=-1のとき，-r^3-3r^2-r+2 = 0
r＞0より，r=(-1+√5)/2
w=-1,-ω,-ω'
z = rw = …
937:１３２人目の素数さん
18/07/20 04:29:19.98 +Kx7eSAL.net
z'z^2とzが、ガウス平面上で0からみて同じ向きにあることに気づいて
4項あるようで実は3方向のベクトルの和が0というようなイメージから入れば
わりとすんなりたどり着いたんだろうな。
938:１３２人目の素数さん
18/07/20 07:43:49.38 J1ODn3P8.net
>>878
う～む、特別にうまくいくクラスはAn、Dn、E6、E7、E8？
long とか short とかの議論混じらないだろうし。
いわゆる “こういうグラフを含む→うまくいかない” となる “こういうグラフ” を列挙しといて
“そういうのを含まないのは××…” 的な攻め方するやつかな。
で、その “こういうグラフ” のリストが Dynkin Diagram 導く場合のやつと一致するんかな？
>>868 の前半は答え知ってるから後半考えてみる。
でも論文レベルの話だと流石に無理かな？
939:１３２人目の素数さん
18/07/20 10:39:33.47 GloVKkCh.net
グラフ系でもう少しやさしいやつ。
周期n>0の実数列 ‥‥,a[(-1),a(0),a(1),‥‥に対して一斉に
a(i)を[a(I)/2]+[a(i-1)/2]に置き換える。ただし[]はガウス記号。
つまりふたつにわって端数は切り捨て片方を次の人に一斉に渡す。
この操作を有限回行えば定数列になる事を示めせ。
これも例のパズル本の問題です。
940:１３２人目の素数さん
18/07/20 12:18:56.91 +Kx7eSAL.net
>>885
グラフで考えるのはよくわからないけど…
k回操作後（初期状態ではk=0）の
１周期の中でのa(i)の最大値をA_k，最小値をB_kとし，C_k=2*[B_k /2]とおく。
さらに、１周期の中でA_kと一致するa(i)の個数をN_kとすると
以下のことが言える。
・A_k≧C_k
・C_{k+1}≧C_k
・A_{k+1}≦A_k（A_kが奇数のときはA_{k+1}＜A_k）
・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k
よって、C_kは減ることはなく、{a(i)}が定数列にならない限り
A_kは着実に減っていく（n回以下の操作で1以上減る）が、
A_kはC_kを下回ることはできないので、いつか必ず{a(i)}は（偶数の）定数列となる。
＞・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k
のあたりの説明でグラフを使うのかな？
941:１３２人目の素数さん
18/07/20 14:27:26.49 smLQGUhz.net
>>880-881
F(z) = z(z^3 -8)(z^6 -4z^3 -1)(z^6 -z^3 +1)
= z(z^3 -8)(z^3 - φ^3)(z^3 + 1/φ^3)(z^3 +ω)(z^3 +ω~)
942:１３２人目の素数さん
18/07/20 17:32:04.98 GloVKkCh.net
>>886
正解です。グラフはあんまり気にしないでください。
原題が周期列でなく円状に並んだ数列として出題されてただけです。
―本の解答
943:―― 必要なら最初の列の全てに同じ偶数を足して全て非負の実数としてよい。2番目の列以降は全て整数の列ゆえ、全て整数の列としてよい。 総和は各項を2で割った後、切り捨てを行なった分発生するが、非負の整数の列だから総和が無限に減少することはない。 よって十分大きい操作の後に現れる列は偶数の列であるので、列に奇数は現れないとしてよい。 よって置き換えはa(i)→a(i)+a(i-1)であるとしてよい。 k番目の列の1項からn項を縦に並べた列ベクトルをvk、Aをn次正方行列でA1nとA(i+1)iが1で残りは0の行列、Iをn次の単位行列とするとき v(k+1) = (1/2)(A + I)vkである。 ζを1の原始n乗根とするときA+Iの固有値は(1+ζ^m)/2の形であり、m=0の時を除いてその絶対値は1未満である。 よってvkはk→∞のときA+Iの1に対する固有ベクトルの定数倍に収束するが、それは全ての成分が同じ値からなるベクトルである。vkは整数値からなるベクトルゆえ主張は示された□
944:１３２人目の素数さん
18/07/20 20:10:49.35 +Kx7eSAL.net
>>857のすべての答えを解とするn次方程式を後付けで作っても
意味ないと思うんだよな…
元の問題からなんらかの手続きによりその方程式が得られるという話ならわかるのだが。
945:１３２人目の素数さん
18/07/20 23:44:33.17 RMS2vK39.net
またまたWinkler本から。囚人と看守のやつです。
----
あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。
ある日看守からあるゲームに参加することを指示された。
勝てば全員釈放、負ければ全員死刑である。
ゲームの内容は以下のようなものである。
まず看守は秘密裏に囚人に順序付けを行う。
囚人は全員独居房に入れられた後、一人ずつ呼び出され、自分以外のn-1人の並びについて教えられる。
その情報のみに基づいて各囚人は赤か青の帽子を選択できる。
帽子を選択した後、囚人は独居房に戻される。
この作業を全員について行ったのち、囚人全員が集められ、先の決められた順に応じて整列させられる。
その際、囚人のかぶっている帽子の色が赤青交互になっていれば（一人目は赤でも青でもよい）囚人の勝ち、なっていなければ看守の勝ちである。
囚人に許されているのは、このルール説明の後、独居房に移される前に一度だけ全員が集まって選ぶ帽子の色についての取り決めをしておくことだけである。
それ以降には囚人は互いに情報を交換する機会は一切与えられない。
全員が釈放されるための取り決めを考えてほしい。
----
答え見て「へぇ、こんなシンプルな取り決めでうまくいくもんだなぁ」とちょっと感心しました。
取り決め自身はシンプルなんですが、その取り決めでうまくいく部分の証明がややてこずるかもしれません。
一つ解を見つければ正解です。
当方も別解があるのかどうか知りません。
946:１３２人目の素数さん
18/07/21 00:02:23.48 1aHwZ8/O.net
>>890
訂正。問題文一行目
×：あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。
○：あなたは他のn-1人と共にある牢獄に収監されている。
947:１３２人目の素数さん
18/07/21 01:14:39.48 9U7inpZN.net
>>890
こんな感じ？
あらかじめ全員の仮の並び順（並び順Ａ）を決めておく。
各囚人は、看守に教えられた自分以外の並び順の最後尾に自分がいるような
並び順を考え（並び順Ｂ）、ＡをＢに並べかえる置換が偶置換か奇置換かを調べる。
偶置換なら赤、奇置換なら青をかぶる。
実際にはもう１つ正しい並び順Ｃが存在するので、ＡからＢへの置換は
Ａ→Ｃ→Ｂとみなすことができ、
Ａ→Ｃの置換は固定なので、Ｂ→Ｃの置換、すなわち
正しい並び順から自分自身を最後尾に回す並べ替えが偶置換か奇置換かにより
赤か青かが変わるからくりになっている。
パズルに出てくる囚人はみんな数学が得意だな
948:１３２人目の素数さん
18/07/21 03:25:53.00 4/chbJgW.net
>>844
ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July)
296p．2592円 坂井・岩沢・小副川（訳)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
（§4．9の問題が数セミ・エレ解に出題された：2018/Jan/出題1）
ピーター・ウィンクラー「続・とっておきの数学パズル」日本評論社（2012/July)
256p．2160円
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
949:１３２人目の素数さん
18/07/21 08:16:38.20 m9Eu8Sym.net
>>892
すばらしい！正解です。証明も用意してあった物とほぼ同じです。
看守の順でk番目、(k+1)番目の囚人をとり、Cのk番目の囚人をn番目に回した順列をBk、k+1番めの囚人のそれをB(k+1)とすれば
A→B(k+1)と写す置換hはA→B(k+1)と写す置換gに(k k+1)をつなげたものになるので
sgn(h) = sgn((k k+1) g) = (-1) sgn(g)
となることを利用すればよいというものです。
答え聞くと簡単なんですけどねぇ。
>>893
それです。
なかなか楽しい本です。
おすすめ。
950:１３２人目の素数さん
18/07/21 09:21:56.27 FMy4cnA/.net
>>868
とりあえずグラフがAn、Dn、E6、E7、E8の場合有限回で終わることはわかった。
―-
グラフGが上記のいずれかとする。
点vに対して>>868の操作をする変換をgvとする。
隣接する２点v、wについて(gw・gv)^3 = e、gv^2 = eからこれらの操作のなす群はワイル群の商群。
とくに各頂点に現れうる実数は有限個しかない。
端点に対する変換の回数が有限回しかなければ点数に対する帰納法の仮定に矛盾。
端点に対する変換の回数が無限回であるなら総和は無限に増大するが、各頂点に現れうる実数は有限個しかない事に矛盾。
―
あとは上記でないグラフでないもののうちの極小であるものそれぞれで無限回操作が続きうる事示せばいいはずだけどどんなグラフだったか忘れたorz。
951:１３２人目の素数さん
18/07/21 13:06:12.95 bUyrGG79.net
整数k,nは 0≦k≦n を満たすとする。
A⊂(Z/2Z)^n が 2|A|>2^k を満たすならば |2A|≧2^k が成り立つことを示せ。
ただし、2A={a+a': a,a'∈A} とする。
952:１３２人目の素数さん
18/07/21 13:14:22.58 zqilyAfN.net
2Aの定義がステキ
953:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:12:43.39 /1x1unFr.net
{2a|a∈A}ではないところがイイね
954:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:20:03.71 OnYnrjHv.net
|A|の定義が分からん。
955:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:28:27.77 OnYnrjHv.net
元の個数？
956:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:39:19.69 vXT4z2wi.net
面白い問題といえば、和算の本にはいろいろと
面白そうというか難しい問題が掲載されていますよ。
もっともほとんどすべてが円に関する問題ですが。
957:１３２人目の素数さん
18/07/21 14:59:08.89 7HCB/VB4.net
>>896
Fを2元体とする。
Aは0を含むとしてよい。
この時2AはFベクトル空間となる。
|2A|＜2^kとする。
この時dim 2A＜kであるからF^nのベクトル空間の自己同型φをφ(2A)が第k成分以降が全て0の元からなる部分空間Vに含まれるようにとれる。
この時φ(A)もVに含まれるがVの元数は2^(k-1)であるので仮定に反する。
簡単に
958:見えて案外難しい‥‥まぁもっと楽な方法もあるかもだけど。
959:１３２人目の素数さん
18/07/21 15:30:02.92 OnYnrjHv.net
あ、2A加法について閉じてない。orz.
960:１３２人目の素数さん
18/07/21 17:13:05.39 oD6UOuI2.net
>>899 >>900
言い忘れてた、そうです元の個数です
961:イナ
18/07/21 19:06:13.60 g6r8bf/f.net
>>901関孝和？
縦9寸、横12寸の直角三角形に内接する同じ大きさの二個の円の直径を求める問題みつけた。
/＿/＿/_人＿/＿/＿/＿
/＿/＿（＿）/＿/＿/＿
/＿/_（＿＿)/＿/＿/＿
/＿/_（(^｡^)/＿/＿/＿
/＿/_（＿っ-┓_/＿/＿
/＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿
/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/なかなかやりおる。
962:１３２人目の素数さん
18/07/21 23:30:10.14 4/chbJgW.net
>>905
3頂点を O(0,0) A(0,9) B(12,0) とする。
(x,y) と直線ABの距離は (1/5)|36-3x-4y|
P（r，9-2r) を中心とする半径rの円pはOA，ABに接する。
Q（3(4-r)，r) を中心とする半径rの円qはOB，BAに接する
PQ = 5(3-r),
また、2円p,qが外接する。
PQ = 2r,
∴ r = 15/7
963:１３２人目の素数さん
18/07/21 23:47:24.24 4/chbJgW.net
>>905
∴直径は 2r = 30/7
P(15/7, 33/7) Q(39/7,15/7)
964:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:11:59.89 1DdlAJLc.net
>>896
一応できたような気がするが、長い。
以下では、{ a＋a'｜a,a'∈A } のことを A＋A と書くことにする(個人的に 2A と書きたくないので)。
Fを2元体とする。次の定理を示せば十分である。
定理：Vは有限次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。
このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。
証明：n≧0に関する命題P(n)を以下のように定義する。
P(n)：Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は
｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。
任意のn≧0に対してP(n)が真であることを、nに関する数学的帰納法で示す。
P(0)について：Vは0次元のFベクトル空間とする(自動的にV＝{o}である)。
k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。
まず、1＝｜V｜≧｜A｜＞2^{k－1} より 1＞2^{k－1} となるので、自動的に k＝0 となる。
次に、｜A｜＞2^{k－1}＞0 より A≠φであり、よって A＋A≠φであり、よって
｜A＋A｜≧1＝2^0＝2^k である。よって、P(0)は真である。
次に、n≧1を任意に取る。P(n－1)は真とする。P(n)も真であることを示す。
Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k－1}を満たすとする。
示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。
965:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:14:30.08 1DdlAJLc.net
簡単のため、B：＝A＋A と置く。示すべきは｜B｜≧2^k である。
まず、Fが2元体であることから｜V｜＝2^n となることが分かる。これと
｜V｜≧｜A｜＞2^{k－1} より 2^n＞2^{k－1} となるので、自動的に n≧k である。
次に、|A|＞2^{k－1}＞0よりA≠φである。よって、a∈A が1つ取れる。
このとき a＋a∈A＋A＝B すなわち o∈B である(Fは2元体なので a＋a＝o である)。
さて、｜B｜≧2^k を示したいのだった。もし V－B＝φ ならば、
V＝B となるので、｜B｜＝｜V｜＝2^n≧2^k である(n≧kに注意)。
よって、この場合は成立。以下では、V－B≠φ としてよい。
そこで、x∈V－B を1つ取る。o∈B だったから、自動的に x≠o である。
W：＝{λx｜λ∈F} (＝{o,x}) と置けば、W は V の部分空間である。
また、x≠o に注意して dim(W)＝1 である。
この W を利用して、s,t∈V に対して s～t ⇔ s－t∈W と定義すれば、～ は V 上の同値関係になることが分かる。
s∈V の同値類を [s] と書くことにする。商集合 V/～：＝{ [s]｜s∈V } は自然な定義でFベクトル空間となる。
また、ベクトル空間の商空間の一般論から dim(V/～)＝dim(V)－dim(W) ＝ n－1 となることが分かる。
966:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:15:31.44 VK+pnI6w.net
つまんな
967:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:17:45.51 1DdlAJLc.net
さて、
A'：＝{ [a]｜a∈A } ⊂ V/～
と置くと、｜A'｜＝｜A｜である。実際、f：A→A' を f(a)：＝
968:[a] で定義すれば、 これは明らかに well-defined かつ全射である。また、f は単射である。実際、 f(a_1)＝f(a_2), a_i∈A とすると、[a_1]＝[a_2] であるから a_1～a_2 となる。 よって、a_1－a_2∈W＝{o,x} すなわち a_1－a_2＝o,x である。a_1－a_2＝x のときは、 x＝a_1－a_2＝a_1＋a_2∈A＋A＝B となる(Fは2元体なので －a_2＝a_2 である)。 しかし、x∈V－B だったから矛盾する。よって、a_1－a_2＝o となるしかない。 よって、a_1＝a_2 となるので、f は単射である。よって、fは全単射となったので、 ｜A｜＝｜A'｜である。｜A｜＞2^{k－1} だったから、｜A'｜＞2^{k－1} となる。 今の段階で、次が成り立っている。 ・ V/～ は(n－1)次元のFベクトル空間, k≧0, A' ⊂ V/～, ｜A'｜＞2^{k－1}. よって、P(n－1)が真であることから、｜A'＋A'｜≧2^k である。
969:１３２人目の素数さん
18/07/22 00:21:20.07 1DdlAJLc.net
次に、｜B｜≧｜A'＋A'｜が成り立つことを示す。g：B → A'＋A' を g(b)：＝[b] で定義すると、
これは well-defined である。実際、b∈B を任意に取ると、b＝a_1＋a_2, a_i∈A と表せるので、
このような表示を何でもいいから1つ取れば
g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]∈A'＋A'
であり、よって well-defined である。また、g は全射である。実際、c∈A'＋A' を任意に取ると、
A' の定義から、c＝[a_1]＋[a_2] なる a_i∈A が取れる。このような a_1,a_2 を何でもいいから
1つずつ取って b：＝ a_1＋a_2∈B と置けば、g(b)が定義できて
g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]＝c
となるので、確かに g は全射である。g：B → A'＋A' だったから、以上より、｜B｜≧｜A'＋A'｜である。
｜A'＋A'｜≧2^k だったから、以上より、｜B｜≧2^k である。
よって、いずれの場合も｜B｜≧2^kとなったので、P(n)は真である。
数学的に帰納法により、任意のn≧0に対してP(n)は真である。よって、題意が成り立つ。
970:
18/07/22 00:56:01.57 SEmuhAob.net
前>>905
三平方の定理より、
直角三角形の斜辺は、
√(9^2+12^2)=15(寸)
円の直径を2rとすると、
二つの円の中心間の距離も2rなので、直角三角形の辺の比は、
3:4:5=3(2r/5):4(2r/5):2r
=(6r/5):(8r/5):2r
直角三角形の斜辺は、
{9寸-(6r/5)-r}+2r+{12寸-(8r/5)-r}=15寸
6寸=14r/5
2r=30/7(寸)
971:１３２人目の素数さん
18/07/22 01:38:28.55 41rzkBcX.net
>>912
正解です素晴らしい！実はより一般に
X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
を示してからその系として導く解法を想定していたのですが、本質的にかなり簡単になっていて驚きました。V＼(A+A) から元をとる発想はなかったです。。
972:１３２人目の素数さん
18/07/22 01:53:47.71 1DdlAJLc.net
>>914
＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
なんと、そんな定理も成り立つのか (＾o＾)
実は、>>896 の F_p バージョンである次の定理が、>>908 と同じやり方で証明できる。
――――――――――――――――
定理：p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。
k≧0 と A⊂V は｜A｜＞ p^{k－1} を満たすとする。このとき、
｜Σ[i＝1～p] A｜≧ p^k
が成り立つ。ただし、Σ[i＝1～p] A ：＝ { Σ[i＝1～p] a_i｜a_1,…,a_p∈A }
と定義する。
――――――――――――――――
この定理を
＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k
と見比べると、たぶん次の定理も成り立つのかな (＾o＾)
――――――――――――――――
定理(？)： p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。
k≧0 と空でない X_1,X_2,…,X_p⊂V は Σ[i＝1～p]｜X_i｜＞ p^k を
満たすとする。このとき、｜Σ[i＝1～p] X_i｜≧ p^k が成り立つ。
――――――――――――――――
973:１３２人目の素数さん
18/07/22 07:30:28.29 aGAY8syr.net
>>856
誰かやってたも……
974:１３２人目の素数さん
18/07/22 12:19:45.04 U4aZuyBV.net
>>915
情報ありがとうございます。色々考えてみました。
上の定理(？)には、残念ながら反例があるようです。W⊂VをVのk次元部分空間として、
X_1=W∪{a} (ただしa∈VはWに属さない元)
X_i=W (i=2,…,p)
代わりに次の定理が成り立つようです。
（定理）pを素数、整数、 1≦m<p とし、VをF_pベクトル空間とする。
整数 k≧0 と空でない X,Y⊂V が |X|+|Y|>mp^k を満たすならば |X+Y|≧mp^k が成り立つ。□
折角なので証明の概略だけ置いときますね
�
975:`～～～～～～～ a∈V, S⊂V に対して a+S={a+s: s∈S} と定める。 適当な x∈X, y∈Y をとれば |-x+X|=|X|, |(-x+X)+(-y+Y)|=|X+Y| 等が成り立つので、 0∈X,Y の場合のみを考えればよい。 X∩(-y+Y)≠X が成り立つような y∈Y が存在する時、次の操作を考える。 （操作）「X'=X∩(-y+Y), Y'=X∪(-y+Y) とし、 XをX'に、YをY'に置き換える」 この操作により、|X|は減少し、|X|+|Y| は保たれる。 また、X'+Y'⊂X+(-y+Y) より、|X+Y| は非増加となる。新しいX,Yはどちらも0を元に持つ。 この操作は、|X|の狭義単調減少性により、有限回でできなくなる。 このような最終状態のX,YをそれぞれP,Qとおくと、操作ができないことから、任意のq∈Qについて P∩(-q+Q)=P が成り立つ。 ゆえに、q+P⊂Q より、 Q+P⊂Q. したがって、Q+<P>=Q. （ただし、<P>はPが張るベクトル空間。） これより、元を足すことによる<P>のQへの作用を考えることができるが、この作用による任意の軌道は|<P>|個の元を持つので、|Q| は |<P>| の倍数。…[1] また、|Q|+|P| = |X|+|Y| > mp^k より |Q| > mp^k - |<P>| となる。 …[2] |<P>| ≦ p^k の場合、[1]と[2]より |Q| ≧ ([2]の右辺)+|<P>| = mp^k. |<P>| ≧ p^(k+1) の場合、 <P>⊂Q より |Q|>mp^k. したがって、いずれの場合も |P+Q| ≧ |Q| ≧ mp^k. 操作により|X+Y|は非増加であったから、 |X+Y| ≧ |P+Q| ≧ mp^k. □
976:１３２人目の素数さん
18/07/22 16:50:21.14 X11xpoqn.net
和算の問題です。
一つの円があります。
その円の中に、大、中、小の円を内接させます。
條件は、大、中、小の円は、一番外側の円に内接します。
大円は、中円と小円に外接します。
中円は大円と小円に外接します。
小円は、大円と中円に外接します
この場合、この4つの円の関係を求めてください。
出典」三上義夫「日本数学史」（この本は、「科学図書館」という
サイトに全文がPDFファイルとしてアップされています）
977:イナ
18/07/22 20:03:51.82 SEmuhAob.net
>>918
外側の円の半径:Я
大円の半径:Ｒ
中円の半径:Ｒ㊥
小円の半径:r
とすると、
Я>Ｒ+Ｒ㊥>Ｒ>Ｒ㊥>r
978:１３２人目の素数さん
18/07/22 20:53:32.75 XHMrpicM.net
大円の半径が3
中円の半径が2
小円の半径が1
のときの内側の円の半径は？
とかにしないと問題としては答えにくくね？
まぁこのケースはそんなに難しくないかもしれないけど。
この3円に外接するの方が難しいのかな？
数値もへぇって値になった記憶が
979:１３２人目の素数さん
18/07/22 20:57:42.67 XHMrpicM.net
>>920
この3円が内接する円の間違い。
確かへぇって値になったような。
980:１３２人目の素数さん
18/07/22 23:51:55.24 8X1Zeg9C.net
反転法使えばそんな難しくなさそうだけど、暗算できるほど簡単ではないな。
981:１３２人目の素数さん
18/07/23 00:45:50.63 rgc2cWMb.net
>>844
似た設定の問題がかなり昔の数オリにあったような。。
982:１３２人目の素数さん
18/07/23 07:31:23.87 wuj51AEp.net
>>923
>>871のこと？
983:イナ
18/07/23 08:16:34.35 7/0/1MEy.net
よって四つの円の包含関係は、
外側の円⊃大円
外側の円⊃中円
外側の円⊃小円
但し、大円、中円、小円はたがいに外接する。
前>>919
984:１３２人目の素数さん
18/07/23 10:11:04.09 +uNFdt3Z.net
デカルトの円定理
985:１３２人目の素数さん
18/07/23 10:15:09.77 8uzM1Baw.net
その単語が出てしまうと終了だな。
986:１３２人目の素数さん
18/07/23 12:19:19.88 BhRl/p7g.net
複素係数一変数多項式 f, g であって {f(x)}^2 + {g(x)}^2 = x を満たすものは存在するか。
987:１３２人目の素数さん
18/07/23 14:15:04.98 3TWNdk8g.net
>>928
たとえば f(x)=x+1/4, g(x)=ix-i/4
988:１３２人目の素数さん
18/07/23 17:17:16.75 KhSOAKcF.net
ごめん間違えた、
f^2 + g^3 = x を満たす多項式は存在するか
でした
989:１３２人目の素数さん
18/07/23 21:21:51.05 7FS8HckQ.net
>>930
できたか？
存在すると仮定する。
f(x)がxを因子に持てばg(x)もxを因子にもちv_x(左辺) ≧ 2、v_x(右辺) = 1により矛盾。
よってf(x)はxを因子に持たない。よってf(t^2)もtを因子に持たない。
与式より
g(t^2)^3 = (t - f(t^2)) (t + f(t^2))
であるが、(t-f(t^2),t+f(t^2)) = (2t,t+f(t^2)) = 1によりt-f(t^2)とt+f(t^2)は互いに素である。
よってg(t^2)の因子のうちt-f(t^2)の因子になっているものの積をh(t)、t+f(t^2)の因子になっているものの積をk(t)とおけば
h(t)^3 = c(t - f(t^2))、k(t)^3 = d(t + f(t^2))、cd = 1
となる定数c,dがとれる。
h,kをc,dの3乗根で割ったものに取り替えれば
h(t)^3 = t - f(t^2)、k(t)^3 = t + f(t^2)
となるとしてよい。
一方t-αがh(t)の因子なら-t-αはk(t)の因子であるからk(t) = e h(-t)となる定数eがとれる。
このとき
h(t)^3 - t = - f(t^2) = t - k(t)^3 = t - e^3 h(-t)^3
により
h(t)^3 + e^3 h(-t)^3 = 2t
となる。
ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、h(t)とk(t)の次数は等しいからh(t)の次数も偶数である。
よって上の式の最高次からe^3 = -1がわかる。
よって
h(t) + h(-t) = 2t
を得るが左辺は偶関数により矛盾。
990:１３２人目の素数さん
18/07/23 23:46:59.29 jsKLvMqB.net
>>931
まちごうた。最後から２行目
h(t)^3 - h(-t)^3 = 2t
で左辺の次数は3(deg h)-1で5以上より矛盾。
991:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:11:19.24 v83j+alb.net
>>931-932
改めて清書するとミスや余計な議論のオンパレードだけど、もう修正のせるとスレ汚しになるのでやめときます。
ホントはC(x)上の楕円曲線
Y^2 = - X^3 + x
の有理点についての議論でかっこよくやるのが通なんだろうけどオラには無理。
なんか数オリの解答みたいになってヤだけどこれしか思いつかん。
992:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:17:52.25 rRTBzOQ4.net
>>930
メーソン・ストーサーズの定理(ABC予想の多項式版)を使ったら凄く簡単に出たｗ
もちろん、「存在しない」が答え。
993:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:19:39.68 v83j+alb.net
>>930
なんかすごそう。
書いてたも。
994:１３２人目の素数さん
18/07/24 01:26:08.67 v83j+alb.net
>>934
>メーソン・ストーサーズの定理
これか！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
すげぇ！ホントにあっという間にとける！！すばらしい！！
995:１３２人目の素数さん
18/07/24 04:25:23.69 lehQeRGl.net
>>931
レス遅くなりました。２３時頃に一度投稿しようとして投稿規制くらった文章をそのまま載せときます。
最後の定理は既出でしたね
～～～～～～～～
＞ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、
以降がちょっと難しいですがその直前の式でほぼ矛盾が示せているので正解とします。
（直前の式の左辺を因数分解して、両辺の次数を比べ、左辺の３つの因数のうち少なくとも二つが次数0でなければならないことからも矛盾が示せます）
実はABC予想の多項式版の類似であるメーソン・ストーサーズの定理を使えば比較的簡単に解くことができるので、よければ調べてみてください
996:１３２人目の素数さん
18/07/24 06:21:54.98 bmjGlIcJ.net
>>937
ありがとうございます。
比較的どころかメーソン・ストーサーズの定理使えば瞬殺ですね。勉強しときます。
997:１３２人目の素数さん
18/07/24 17:51:22.07 xg2
998:jMb4Q.net
999:１３２人目の素数さん
18/07/26 04:23:17.15 gCZSgyqq.net
群Gの正規部分群NはZ(整数)と同型
G/NはZ/nZと同型
nは1より大きい整数
Gの構造を決定しろ
1000:１３２人目の素数さん
18/07/26 04:25:40.27 Si+0HJ5D.net
口の利き方に気を付けたまえ！
1001:１３２人目の素数さん
18/07/26 09:42:15.39 r9ee9dZW.net
>>940
以下x’:=x^(-1)とする。
N=<a>とし、b∈G＼NをbNがG/Nの生成元となるようにとる。
準同型x→bxb’は同型N→Nを引き起こすがこのときaの像はa,a’のいずれかである。
(i) bab’ = aのとき。
このときG≌Z⊕Z/nZである。
(ii) bab’ = a’ のとき。
nが奇数とするとn = 2q + 1とおくとき
a = b^(2q+1)ab^(-(2q+1)) = bab’ = -a
となって矛盾するからnは偶数である。
逆にnが偶数のとき
<a,b|bab’ = a’,b^n=e>
はZのsemi trivial extensionであり、条件を満たす。
1002:１３２人目の素数さん
18/07/26 11:06:27.02 g7KCpv5X.net
>>832
返信遅くなって申し訳ない (>>826です)
超越基底を用いれば簡単になるであろうということ。
――――
何か鳩ノ巣原理を使う難問が欲しい
此れだけでは申し訳ないので幾つか投下:
(難問ではなく何も既知の筈)
・長さNの正整数から為る数列が2つ存在し, 数列を構成する数は1以上N以下である.
A, Bから其々空でない部分数列を適当に選ぶとき, 其々の総和を等しく出来るか.
・αが無理数の時, 次の不等式を満たす整数の組(p,q)が無限に存在することを示せ:
|α-p/q|<1/q²
序でに右辺をk/q²として不等式を満たす組が無限に存在する様な最小のkを求めると, k=1/√5になることが知られてる
母関数を使うらしく, 序でにk=1でも分母の自乗はx(>2)乗に変えた瞬間成り立たないそうだ(知ってるのは此処まで).
1003:１３２人目の素数さん
18/07/26 12:19:01.89 B8nOkJxx.net
【何故シヌの、〝ＪＫ″】 島津論文「安倍とオウムに接点」 露国防相「気づかれてないと思うな晋三」
ｽﾚﾘﾝｸ(liveplus板)
地震多すぎ！ 日本は地震大国だから、は大ウソだった！ ほら吹きの安倍が、地下核実験をやっている！
1004:１３２人目の素数さん
18/07/27 06:49:09.69 0WjqahXc.net
>>940
Zの自己同型は±1のみ
Zn→Z2はnが偶数なら0と全射nが奇数なら0のみ
よって
Z+Znか偶数ならZとZnの半直積
1005:82
18/07/27 07:59:20.49 sps923Uv.net
>>82の正解発表
>>87 (A)正解
>>85 (B)正解
1006:82
18/07/27 08:00:12.73 sps923Uv.net
【>>82(A)の模範解答】
以下、図形の内部には周も含める。
[補a]
幅1のルーローの三角形は、内部の任意の2点間の距離が1以下である。
半径1、中心角60°以下の扇形は、幅1のルーローの三角形の一部である。よって、内部の任意の2点間の距離が1以下である。 ■
[A]
5点ならば、円に内接する正五角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1より大きくなる。
どの2点間の距離も1より大きくなるような6点の配置を考える。
円の中心に1点Aを配置すると、円の中心と内部の任意の点との距離は1以下だから、Aと他の5点との距離は全て1以下になる。よって、円の中心以外にAを配置する。
円を扇形で6等分すると、Aが2つの扇形X,Yの境界に乗るようにすることができる。別の点をX,Yに配置すると、[補a]より、Aとその点との距離は1以下になる。よって、X,Y以外の4つの扇形に残りの5点を配置する。
鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じ扇形の内部になる。[補a]より、その2点間の距離は1以下になる。
したがって、どのように6点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。
最小のmは6である。 ■
1007:82
18/07/27 08:02:00.38 sps923Uv.net
【>>82(B)の模範解答】
以下、図形の内部には周も含める。
[補b]
半径1/2の円の内部の2点間の距離は、直径の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。
一辺1/2の正六角形は、半径1/2の円に内接する。よって、内部の2点間の距離は、最も遠い頂点どうし（3組ある）のときは1、それ以外のときは1未満である。
カップケーキ形（図の黄色部分）は、一辺1/2の正六角形の一部である。よって、内部の2点間の距離は、弧の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。
弧の片側の端点を欠いたカップケーキ形（以下、単に「図形」）は、元のカップケーキ形の一部である。よって、内部の2点間の距離は1未満である。 ■
[B]
7点ならば、円の中心と、円に内接する正六角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1以上になる。
どのような8点の配置も、ある2点間の距離が1未満であることを背理法で示す。
どの2点間の距離も1以上であるような8点の配置が存在すると仮定する。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
半径1の円は、7つのパーツ
一辺1/2の正六角形ABCDEF、図形HBA(G)、図形ICB(H)、図形JDC(I)、図形KED(J)、図形LFE(K)、図形GAF(L)
で覆うことができる。
鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じパーツの内部にある。[補b]より、その2点は正六角形のパーツの内部にある。AとDにあるとして一般性を失わない。
[補b]より、A,Dを含む図形4つには別の点はない。また、[補b]より、図形LFE(K)とICB(H)にはそれぞれ最大で1点しかない。
このとき、合計で最大でも4点しか配置されていないため矛盾。仮定は誤りであった。
したがって、どのように8点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。
最小のnは8である。 ■
1008:82
18/07/27 08:03:17.37 sps923Uv.net
出典
(A)
URLﾘﾝｸ(www.cut-the-knot.org)
このサイトに証明が2つ載っている。
1つ目は上記。
2つ目は>>87と同じ方針で最後に[補a]を使わない方法である（三角形の内角の大小関係を使っている）。
(B)
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
1点を欠いた図形を考えるのがミソである。この一工夫で証明はかなり楽になる。クレバーな方法。
(B)の画像はGeoGebraで自作した。
この手の問題は
「定幅図形（またはそれらに内包される図形）で元の図形を被覆／分割して、鳩の巣原理に持ち込む」
のが定石だが、効率の良い被覆や分割は発見に試行錯誤を要することが多い。
「図形Aに、どのようにk個以上の点を配置しても、ある2点間の距離がd以下/未満になる」
みたいな一般化は厳しいだろう。
1009:188
18/07/27 08:05:38.26 sps923Uv.net
>>188の正解
正n角形について、辺AB,BC,CD…の順に鏡映を取っていく操作を
nが偶数ならばn-1回
nが奇数ならば2n-1回
それぞれ繰り返せば、l(n)を「平行な2辺間を結ぶ直線か折れ線の長さ」に帰着することができる。折れ線のときは直線のときより長いことを利用すれば、幾何的にl(n)の最小が求まる。
もちろん>>189みたいに式で解けるならそれに越したことはないが…
1010:１３２人目の素数さん
18/07/27 09:50:50.05 NlkV/5Nh.net
>>856
解答です。
PQRSにおける接線の交点を結んで得られる四角形をXYZWとする。
XからCに引いた２接線の接点の交点をx、y,z,wに対するそれをy,z,wとする。
仮定よりXYZWは円D上にあるしてよい。
このときDのCに関する反転をdとするとxyz
1011:wはd上である。 よって主張は成立する。□
1012:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:17:47.94 uXdC9xjt.net
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
1013:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:19:49.89 uXdC9xjt.net
正n角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さが最小となるとき、分岐点の角度は必ず120°となることを証明せよ
1014:１３２人目の素数さん
18/07/27 22:22:17.06 uXdC9xjt.net
>>953
ごめんこれ嘘
なんでもない
1015:
18/07/28 00:32:41.08 6VVd4WCT.net
>>952
2π
∵五角形の中に桜の花びらを描くように半径1の弧を各頂点から描くと、
弧の最小単位
2π×(36°/360°)
が十個、頂点と分岐点を交互に通るかたちになる。
前>>925開運!!
1016:１３２人目の素数さん
18/07/28 00:38:05.20 EnyRsA6W.net
>>953
n=3 のときはフェルマー点
1017:535
18/07/28 07:52:44.92 o+vDTN8W.net
>>535の正解発表
【Step 1 与式の分割】
例えば最初の分数式について
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
=(1/2)(a-c)(a-c)/(a+b+c)
+(1/2)(a-c)(a-2b+c)/(a+b+c)
は容易に確認できる。
そこで
s=a+b+c+d
A'=(a-c)(a-c)/(s-d)
A''=(a-c)(a-2b+c)/(s-d)
B'=(b-d)(b-d)/(s-a)
B''=(b-d)(b-2c+d)/(s-a)
C'=(c-a)(c-a)/(s-b)
C''=(c-a)(c-2d+a)/(s-b)
D'=(d-b)(d-b)/(s-c)
D''=(d-b)(d-2a+b)/(s-c)
と置くと
(与式の左辺)
=(1/2)[A'+A''+B'+B''+C'+C''+D'+D'']
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
と分割できる。
1018:535
18/07/28 07:55:37.99 o+vDTN8W.net
【Step 2 A'+B'+C'+D'の評価】
√A',√B',√C',√D',√(s-a),√(s-b),√(s-c),√(s-d)にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると
[A'+B'+C'+D'][(s-a)+(s-b)+(s-c)+(s-d)]
≧[{√A'}*{√(s-a)}+{√B'}*{√(s-b)}+{√C'}*{√(s-c)}+{√D'}*{√(s-d)}]^2 …△
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(|a-c|+|b-d|+|c-a|+|d-b|)^2
⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(2|a-c|+2|b-d|)^2
相加相乗平均の不等式より
2|a-c|+2|b-d|≧2√(2|a-c|*2|b-d|)>0
だから
(2|a-c|+2|b-d|)^2≧16|a-c||b-d| …▲
よって
3s(A'+B'+C'+D')≧16|a-c||b-d|
⇔A'+B'+C'+D'≧16|a-c||b-d|/(3s) …①
1019:535
18/07/28 08:02:39.32 o+vDTN8W.net
【Step 3 A''+B''+C''+D''の評価】
(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)
=(a-c)[(a+c-2b)(a+c+d)-(a+c-2d)(a+c+b)]
=(a-c)[{(a+c)^2+(d-2b)(a+c)-2bd}-{(a+c)^2+(b-2d)(a+c)-2db}]
=(a-c)[(d-2b-b+2d)(a+c)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)
またM=(s-d)(s-b)とおくと
M=s(s-b-d)+db=s(a+c)+bd
A''+C''
=[(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)]/[(s-d)(s-b)]
=3(a-c)(d-b)(a+c)/M
同様にN=s(b+d)+acとおくと
B''+D''=3(b-d)(a-c)(b+d)/N
よってW=(b+d)M-(a+c)Nとおくと
W=(b+d){s(a+c)+bd}-(a+c){s(b+d)+ac}=(b+d)s(a+c)+(b+d)bd-(a+c)s(b+d)-(a+c)ac=(b+d)bd-(a+c)ac
A''+C''+B''+D''
=3(a-c)(b-d)[(b+d)/N-(a+c)/M]
=3(a-c)(b-d)[(b+d)M-(a+c)N]/(MN)
=3(a-c)(b-d)W/(MN)
ここで
MN={(a+c)s+bd}{(b+d)s+ac}=(a+c)(b+d)s^2+{(a+c)ac+(b+d)bd}s+bdac
>{(a+c)ac+(b+d)bd}s
x>0,y>0のときx+y>|x-y|より
{(a+c)ac+(b+d)bd}s>|(a+c)ac-(b+d)bd|s=|W|s
よって
MN>|W|s⇔(1/s)>|W|/(MN)
ゆえに
|A''+C''+B''+D''|=3|a-c||b-d||W|/(MN)≦3|a-c||b-d|/s …▼
したがって
A''+C''+B''+D''≧-3|a-c||b-d|/s …②
1020:535
18/07/28 08:06:13.82 o+vDTN8W.net
【与式の証明と等号成立条件】
①と②より
(与式の左辺)
=(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')]
≧16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s
=16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s
=7|a-c||b-d|/(3s) …☆
明らかに
7|a-c||b-d|/(3s)≧0=(与式の右辺) …★
よって
(与式の左辺)≧(与式の右辺)
(与式の等号が成立する)
⇔(☆、★の等号が成立する)
⇔(①、②、★の等号が成立する)
⇔(△、▲、▼、★の等号が成立する)
▲の等号成立条件は
2|a-c|=2|b-d|⇔|a-c|=|b-d|
▼と★の等号成立条件は
|a-c|=0∨|b-d|=0⇔a=c∨b=d
よって
a=c∧b=d
このとき△でも等号が成立している。
したがって、与式の等号成立条件はa=c∧b=d ■
1021:535
18/07/28 08:08:38.70 o+vDTN8W.net
他の
1022:2つの模範解答もどう発想するのか判らない解答であるうえ、ただ煩雑で汚いので省略。 リンク先で見てください。 出典：IMO2008SL-A7 https://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf
1023:１３２人目の素数さん
18/07/28 08:13:53.49 Sc9m8D2O.net
|a b c d|
|b bx d cx|
|c d ay by|
|d cx by axy|
を因数分解せよ
1024:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:35:34.58 pdtqHzrG.net
>>418
解答です。
R=F[T]/(T^2+1)、X1={(x,y,z)∈X | z≠0}、X2={(x,y,z)∈X | z=0}
とおいてR^をRの可逆元のなす群としN:R→Fをノルム写像とする。
またTの類T+(T^2+1)をtとする。
x,y∈FにたいしてN(x+yt) = x^2+y^2である。
x∈Fでx^2+1≠0かつx^2+1がGに属さないものがとれる。
(∵1～q-2のうちa∈G,a+1はGに属さないaをとってx^2=aとなるxをとればよい。)
このときN(x+t)=x^2+1はGに属さず0でもないのでx+tはR^＼N^(-1)(G)に入る。
よってR^/N^(-1)(G)はR^の真部分群であり準同型定理によりZ/2Zであるとわかる。
とくに#N^(-1)(-G) = (1/2)#R^である。
以上により
#X = 2・(1/2)#R^ + (R＼R^) = #R^ = q^2
である。
以下(a/q)を平方剰余記号とする。
(-1/q)=-1のときX2={(0,0,0)}であり#X2=1である。
(-1/q)=1のときu^2=-1となるu∈FをとればX2={(x,±ux,0)}であるから#X2=2q-1である。
以上により
#Y=#X-3#X2+3-1
=q^2-1 (q≡3 mod 4)、=q^2-6q+5 (q ≡ 1 mod 4)
である。
つぎに
Y2={(x,y,z) | x=y,xyz≠0}
とおくとき(-2/q)=-1ならばばY2=∅であり、
(-2/q)=1ならばv^2=-2となるv∈FをとればY2={(x,x,±vx)|x∈F^}であるから#Y2=2q-2である。
また
#Z=#Y-3#Y2
であるから以上と第２補充法則により
#Z=q^2-12q+11 (q ≡ 1 (mod 8))
#Z=q^2-6q+5 (q ≡ 3,5 (mod 8))
#Z=q^2-1 (q ≡ 7 (mod 8))
を得る。
1025:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:38:12.21 z2BC7zek.net
log2=0.3010, log3=0.4771が与えられている.
ここから, log11の小数第2位の値を求めよ.
1026:１３２人目の素数さん
18/07/28 09:41:05.15 pdtqHzrG.net
>>962
>|a b c d|
>|b bx d cx|
>|c d ay by|
>|d cx by axy|
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,b*x,d,c*x],[c,d,a*y,b*y],[d,c*x,b*y,a*x*y])),factor;
a^3*b*x^2*y^2－a*b^3*x*y^2－a^2*b^2*x*y^2+b^4*y^2－a*b*c^2*x^2*y－a^2*c^2*x^2*y－a*b*d^2*x*y－a^2*d^2*x*y+2*b^2*c*d*x*y+6*a*b*c*d*x*y－2*b^2*c^2*
x*y－2*b^2*d^2*y+c^4*x^2－2*c^2*d^2*x+d^4
？？？？
1027:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:40:19.76 bjlcOHL6.net
>>962
とりあえず２行２列のbはaのまちがいっぽいけどそれでもまだ既約みたいやね。
1028:１３２人目の素数さん
18/07/28 10:43:17.16 eDTZE8Ag.net
>>962
こう？
determinant(matrix([a,b,c,d],[b,a*x^2,d,c*x^2],[c,d,a*y^2,b*y^2],[d,c*x^2,b*y^2,a*x^2*y^2])),factor;
(a*x*y－b*y－c*x+d)*(a*x*y－b*y+c*x－d)*(a*x*y+b*y－c*x－d)*(a*x*y+b*y+c*x+d)
1029:１３２人目の素数さん
18/07/28 13:37:27.98 25At2aHe.net
>>955
今更だけど不正解
少なくとも4つの辺を結べば5点を結べるから4より小さくないとおかしい
1030:１３２人目の素数さん
18/07/28 14:57:21.13 z4N8++BV.net
>>953
分岐点に隣接する３点の作る三角形の外心と、分岐点が一致する
ということでいいんでない？
1031:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:11:48.34 z4N8++BV.net
いや、>>969はたぶん違うな……
むしろ分岐点の角がすべて120°のほうが正しい気がしてきた
1032:イナ
18/07/28 15:2
1033:0:45.41 ID:6VVd4WCT.net
1034:１３２人目の素数さん
18/07/28 15:24:47.07 dqaEH9OC.net
続けたまえ
1035:イナ
18/07/28 15:37:26.36 6VVd4WCT.net
>>972わかった。十個の弧のうち四個は省けるね。
2π×(36ﾟ/360ﾟ)人人
/＿/×6=4π/5（＿^_)
/＿/＿/＿/＿/（＿＿)
/＿/＿/＿/＿/（^｡^))
/＿人人＿/＿/_(＿っ┓
/_(＿)_)_/＿/◎┻υ◎
/_( _＿)_/＿/＿/＿/＿
/_(_（`)_/＿/＿/＿/＿
/_(υ＿)┓＿/＿/__/＿/
/◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/屁でもねえや。前>>971それよかいいワープロねえか。
1036:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:14:37.96 Sc9m8D2O.net
>>966
axの間違い
1037:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:15:36.89 Sc9m8D2O.net
>>967
も1つ
abcdの多項式でxyについては2次拡大まで使うと1次4つの積に
1038:１３２人目の素数さん
18/07/28 16:21:20.32 RosE4Rin.net
>>952
角度120度の前提で 3.891156823 って数値が出たけど、これより良い結果ある？
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