18/06/15 09:54:18.30 w+/1B0FC.net
>>654です。まだ次の問題でてきてないので私もその前に最後のレス。
>>654の最後の式既約ではありませんでした。
262144*(thb－1)^3*thb^9*(thb+1)^3*(thb^2+1)^3*(thb^4－10*thb^2+1)*(8181*thb^36－623997*thb^34+10242837*thb^32
－48965288*thb^30－59994180*thb^28+888366516*thb^26－574079300*thb^24－5645292312*thb^22
+4166321790*thb^20+19707900690*thb^18+4166321790*thb^16－5645292312*thb^14－574079300*thb^12
+888366516*thb^10－59994180*thb^8－48965288*thb^6+10242837*thb^4－623997*thb^2+8181)
となっていてthbはQ上36次方程式の解になっています。
この36次方程式は複２次式、かつ相反方程式になっているので指数４の部分体を持ちます。
具体的には (tan^2β + 1/tan^2β)/2 = 4/(1-cos 2β) -1 = C とおくとき C は9次の方程式
8181*x^9 -623997*x^8+10242837*x^7
-48965288*x^6-59994180*x^5+888366516*x^4
-574079300*x^3 -5645292312*x^2+4166321790*x+19707900690 = 0 …… (＊)
の解でおそらく [Q(thb) : Q(C) ] = 4、[Q(C) : Q] = 9 です。
おそらくと書いたのは(＊)の左辺の既約性がまだ未確認なんですが、 Maxima君もWolfram先生も因数分解できないのでほぼ確定だと思ってます。
兎にも角にもthbの満たす方程式が得られたので必要に応じていくらでも精度の高い解を得ることができます。
問題が残ってるとすれ(＊)がホントに代数的に解くのは無理なのかという事、つまりQ(C)/Qの単純性です。
(＊)が代数的に解けるのはQ(C)/QがQ上3次の中間体Q(C)/M/Qを持つときですが、それを確認する方法がなかなかうまく思いつきません。
原理的にはQ(C)/QのGalois閉包のGalois群を計算すればいいんですが、そんなの手計算でやるのも無理だし、コード組むのも一手間だし、
何より、多分Q(C)/Qは単純だった、なら労多くして得るもの少ない感じでちょっとやる気が起きません。