18/06/10 19:48:25.30 Cphvbc4E.net
回してみた。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
643:イナ
18/06/10 23:51:51.67 VRYWqgPw.net
>>626すげー!! まわってる、まわってる!!
前>>625すごいね。写メ保存したら動画のまま保存できてびっくりした。棟木をズームして実測、3.6xにしたら、V(x)=86.192(x^3)、x^2=1/131.68あんまり大きくならなかった。計算間違いかな。見た目は球体に近づいてるのに。
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644:１３２人目の素数さん
18/06/11 00:09:48.47 tIqikLWN.net
いずれにしてもキレイなケースになりそうですよね
645:１３２人目の素数さん
18/06/11 03:01:19.91 zkIOdW8D.net
これだけ長い議論になると八面体の別スレを設けたほうがいいレベルだな
646:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:13:19.80 E/XZVJ+8.net
八面体だけだと狭すぎる
多面体一般にしたら需要あるかも
647:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:26:08.70 1c3kALJq.net
>>628
そうだな、いいかげんうんざりしてる
648:１３２人目の素数さん
18/06/11 10:23:50.28 TnGShdQw.net
>>466 >>472
菱形6面体（菱面体）のとき
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3},
体積 V(0) = aac,
表面積 S(0) = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
中心Oから各面までの距離 d = (√3)/2・ac/√(aa+2cc),
>>467
頂点から k･L まで(Lは辺長、0≦k≦3/2) の部分を切り落とす。
体積 V(k) = V(0){1 - (1/3)k^3} (0≦k≦1)
= V(0)(9/4){1 - (1-2k/3)^2}(1-2k/3) (1≦k≦3/2)
表面積 S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2, (0≦k≦1)
k = 3/2 -(√3)d/c のとき、平面z=±d で切るので球面に外接する。
(1) c=a (立方体、β=90ﾟ)のとき、k=(3-√3)/2，d=c/2 で外接。 >>488
(2) c=2a（β=60ﾟ) のとき、k=1，d=c/√12 で外接。（正8面体）
(3) c>2a のときは k>1 となり、やや面倒でござる。
649:１３２人目の素数さん
18/06/11 11:36:32.77 f053/Yvw.net
>>629
何で3次元に限るのって話
650:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:31:57.45 alvL18N0.net
皆さんにお詫びと訂正を。昨日解けたといってた>>616ですがやっぱり解けてませんでしたorz。
参考までに私の失敗した方法です。
>>621さんと同じ配置で内接球の半径を１に規格化した点をA～Lとします。
A(a,c,b)、L(0,d,e)とします。
OからALFEにおろした垂線の足をX(cosα,0,sinα)、Y(cosβ,0,sinβ) (0<β<α<π/2)とおきます。
xz平面への射影の図をみれば
a=cos((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
b=sin((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
e=1/sinα、
c cosβ+ b sinβ=1、
d cosβ+ e sinβ=1
がわかります。
ここからLindeloefの条件
・ALFEの重心=X、ABCDEの重心=Y ……(※)
から条件が２つでてα、βの満たす方程式をだしていこうとしました。
そこで恥ずかしながら
ALFEの重心＝ALFEの座標の和/4
とかわけのわからんミスをして失敗しました。
原理的には(※)からtanα/2, tanβ/2の代数方程式がでて、その終結式からtanα/2、tanβ/2の満たす方程式がでるはずですが五角形の重心の計算が面倒くさすぎて断念。
もちろん∂面積/∂α=∂面積/∂β=0を再利用して方程式２つ出す手もありますし、一般論ではでない本問特有の必要条件をみつけて利用する手もあるかとおもいます。
ご参考までに。
651:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:36:46.10 oM4RlGEN.net
>>633
すいません。
誤：Y(cosβ,0,sinβ)
正：Y(cosβ,0,-sinβ)
です。
652:イナ
18/06/11 20:41:25.63 FNFK9r9K.net
前>>626前々>>624
>>625まわってるこの立体が最大として計算した。
五角形の水平な対角線より上の屋根の部分の体積は、三角柱から三角錐をとりのぞくと出るはず。
五角形の水平な対角線で切り分けた真ん中の部分は、直方体から三角柱と三角錐をとりのぞくと出るはずだが、コーナーを引きすぎたのかも。
台形2つの面積は(上底+下底)･(高さ)で出るはず。
この台形、(上底)=(高さ)だろう。なぜこうなるかは化学で解明されるべきことだと思う。原子がこういう配列をとるとか。
五角形の面積は、対角線より上が直角三角形の二倍、対角線より下が等脚台形。
三平方の定理がうまく使えてないか、あるいは最初の辺の長さの読みとりが甘いか。
653:１３２人目の素数さん
18/06/12 00:46:46.53 YFJLrlqV.net
>>464 をチョト拡張…
A(1+a1,1-a2,-b)，B(1-a2,1+a1,b)，C(c-ar,0,br)，D(1-a2,-1-a1,b)，E(1+a1,-1+a2,-b)，
F(0,-c+ar,-br)，G(-1-a1,-1+a2,-b)，H(-1+a2,-1-a1,b)，I(-c+ar,0,br)，
J(-1+a2,1+a1,b)，K(-1-a1,1-a2,-b)，L(0,c-ar,-br)
ここに、a = (a1+a2)/2，c = (2+a1-a2)/2 とおいた。
AE = DH = 2(1-a2),
BD = 2(1+a1),
CI = FL = 2(c-ar),
CI～DH，CI～JB の距離 d '= √{(1+a1)^2 +bb(r-1)^2}
線分BA，ED，HG，KJの中点が １辺2cの正方形をなす。
5角形ABCDE
x + (a/b)z = c,
d_5 = bc/√(aa+bb),
台形CDHI
z = br + {b(r-1)/(1+a1)}
654:y, d_4 = (1+a1)br/d ' S_4 = (1-a2+c-ar)d '
655:１３２人目の素数さん
18/06/12 02:41:39.82 BNGFcTmJ.net
>>636
着想はいいと思う
ただこれだとc+a=1+a1、c-a=1-a2となるから本質的には>>464と変わりがない気がするんだ…
656:１３２人目の素数さん
18/06/12 11:52:09.79 YFJLrlqV.net
>>636
5角形ABCDE
傾きθ = arctan(a/b),
d_5 = bc/√(aa+bb),
S_5 = {4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb),
台形CDHI
d ' = √{(1+a1)^2 + bb(r-1)^2}, CI～DHの距離
d_4 = (1+a1)br/d '
S_4 = {2c-(r+1)a}d '
これより
S = 4(S_5 + S_4)
= 4{4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb) + 4{2c-(r+1)a}d '
V = (4/3)S_5･d_5 + (4/3)S_4･d_4
= (4/3)bc{4c+(r-1)(1+a1)} + (4/3)(1+a1)br{2c-(r+1)a}
= 8([2cc+(1+a1)(1-a2)]/3)b + 4(1+a1)b(r-1){c-(2+r)a/3},
・a1=a2，c=1 の場合は >>471 に戻る。
657:イナ
18/06/12 18:46:36.80 TK3A96C9.net
前>>635
棟木を3.6xとする。
八面体を五角形の水平な対角線で㊤㊥㊦の三つに分ける。
V(x)=V㊤(x)+V㊥(x)+V㊦(x)
=2V㊤(x)+V㊥(x)
S(x)=4(台形)+4(五角形)
=2(上底+下底)･(高さ)+8(直角三角形)+4(等脚台形)
=2(3.6x+4.8x)･3.6x+4(2.9x･2.3x)+2(5.8x+4.8x)･2.1x
=16.8x･3.6x+5.8x･4.6x+21.2x･2.1x
=7･2.4x･3.6x+5.8x･4.6x+7x･6.36x
=7x･6x･1.44+5.8x･4.6x+7x･6x･1.06
=(7･6･2.5+5.8･4.6)x^2
=(105+26.68)x^2
=131.68x^2
V㊤(x)の高さ=√{(2.3x)^2-(0.6x)^2}
=x√(5.29-0.36)
=x√4.93
V㊥(x)の高さ=x√{(2.1)^2-(0.5)^2}
=x√(4.41-0.25)
=x√4.16
V㊤(x)=(三角柱)-(三角錐)=2.9x･4.8x･x√4.93-2.9x･x√4.93･(1/2)0.6x(1/3)4
=2.9x･x√4.93･(4.8-0.4)x
=12.76x^3√4.93
V㊥(x)=(直方体)+4(直角三角柱)+4(直角等面四面体)
=(4.8x)^2･x√4.16+4･0.5x･4.8x(1/2)+4(0.5x)^2x√4.16(1/6)
={(4.8x)(4.8x+x)+(1/6)}x√4.16
=(28.00666……)√4.16
V(x)=2･12.76√4.93+(28.0066……)√4.16
=25.52√4.93+(28.0066……)√4.16
≒55.663594+57.122614
=112.7862
題意よりS=1
x^2=1/131.68
x=1/11.47519
V(x)=112.7862/131.68･11.47519
≒0.0746407
658:イナ
18/06/12 19:17:17.82 TK3A96C9.net
前>>639(x^3)が抜けた。
終盤修正。
V(x)=2･12.76x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
=25.52x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
≒55.663594x^3+57.122614x^3
=112.7862x^3
以下同じ。
659:１３２人目の素数さん
18/06/12 23:21:04.90 10uSb+lc.net
数学なのに数字がたくさんある……
660:１３２人目の素数さん
18/06/12 23:59:03.56 VSdptTNG.net
1. 球面上にランダムにn個の点を取る
2. それらの点におけるn枚の接面で囲まれた多面体を作る
3. 接点と重心が最も離れている面を見つけ、その接点を球面上で重心の方向にずらす
4. 誤差が一定値以下になるまで 1～3 を繰り返す
という方法でn=4～20で極大値を計算してみた結果。
４面体 0.051700269950116652 (正四面体)
５面体 0.059698329545752334 (正三角柱)
６面体 0.068041381743977170 (正六面体)
７面体 0.071398254996602697 (正五角柱)
８面体 0.074344868093230002 (四角形×4＋五角形×4)
９面体 0.076898933926867766 (四角形×3＋五角形×6)
10面体 0.078734752898039745 (四角形×2＋五角形×8)
11面体 0.080055026399577983 (四角形×2＋五角形×8＋六角形×1)
12面体 0.081688371824182537 (正十二面体)
13面体 0.082432267303420806 (四角形×1＋五角形×10＋六角形×2)
14面体 0.083349245941114841 (五角形×12＋六角形×2)
15面体 0.084068875807253640 (五角形×12＋六角形×3)
16面体 0.084742718358283536 (五角形×12＋六角形×4)
17面体 0.085264872589057683 (五角形×12＋六角形×5)
18面体 0.085771192859653247 (五角形×12＋六角形×6)
19面体 0.086199376384128973 (五角形×12＋六角形×7)
20面体 0.086626966830007951 (五角形×12＋六角形×8)
（もっと良い解があるかもしれない）
661:イナ
18/06/12 23:59:54.21 TK3A96C9.net
>>641せやて問題文に数字が1一個しかないんですって。
>>420←これですよ。数字は図描くなり作って上げるなりして自分で設定せいいう問題なんですよ。
なんでこうなるかはまだわかりませんが、屋根の部分は棟木と最短の垂木が同じ長さで、棟木と軒桁の長さの比が3:4になってます。
前>>640研究が要ります。
662:１３２人目の素数さん
18/06/13 00:50:47.10 bFMWdLz+.net
>>642
おおお、GJ!!
663:１３２人目の素数さん
18/06/13 00:51:23.32 bFMWdLz+.net
ソースコードもキボン
664:１３２人目の素数さん
18/06/13 01:02:41.54 5ZmF3Enb.net
>>643
CI = FL = 3.60000 x, … 棟木
とするなら
AB = DE = 2.17929 x,
BC = CD = 3.743965 x,
AE = DH = 4.807435 x, … 軒桁
BD = 5.91628 x,
S_5 = 18.08915 xx,
CI～DH間 3.69496 x, … 垂木？
S_4 = 15.53246 xx,
S = 134.4864 xx,
V = 115.9502 x^3,
V/S^(3/2) = 0.07434486809323… になるらしい。
>>621
> データは >>489 のほうが…良い(体積が大きい)みたいです。
おっしゃるとおり。
>>637
そうですねぇ...
665:１３２人目の素数さん
18/06/13 01:58:33.50 5ZmF3Enb.net
>>642
理論値
f=4 （正4面体） 1/{6√(6√3)},
f=5 （正3角柱） 1/{9√(2√3)},
f=6 （立方体) 1/(6√6),
f=7 （正5角柱） 1/{3√30･(5-2√5)^(1/4)},
f=12 （正12面体）1/{(3√15)(√5 -1)(5-2√5)^(1/4)},
666:イナ
18/06/13 05:24:42.71 Oj2yj/8D.net
>>646正確な長さが出てるんですね。軒桁4.8xからもう整数比じゃないんですか。
屋根の端も微妙に3.7xじゃないみたいだし。
肉眼で0.074を出した。ここが限界です。
前>>643ぜんぜん綺麗な比にならないのにこの形で極値をとる。なぞですね。ゴールドバーグさんは論文でこの形になる根拠を示したんですか。
667:１３２人目の素数さん
18/06/13 06:25:01.57 YkGfLvHx.net
綺麗な形にこだわるならｘ軸から見てもｙ軸から見ても正五角形のシルエットをもつ立体を試してみてはどうか
最適解とは異なりながらも0.0743は越えられるはず
668:１３２人目の素数さん
18/06/13 13:21:09.26 5ZmF3Enb.net
>>642
V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
ゴールドバーグの言う S^3/V^2 = 180.23 なる配置は、ネットで探しても見つからなかった。
>>494 が言うように、
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
669:１３２人目の素数さん
18/06/13 13:36:27.67 5ZmF3Enb.net
>>650
補足すると、
接点と重心の距離について V/S^(3/2) が単調に減少すると考えた。
670:１３２人目の素数さん
18/06/13 14:55:08.60 ygq/w2vW.net
>>642
すばらしいですね。
多面体の各頂点の座標とか各面の重心の座標とかを求める処理は
１からコーディングすると大変そうだけど、なにかいいツールがあるのでしょうか？
（CAD系のツールでは基本処理なのかな？）
>>650
> V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
> 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
そうですね。逆に言うと、>>642の１回の計算だけでは、局所最適解に引っかかる
可能性があるということですね。
８面体の場合も初期値によっては正８面体に収束するかも。
初期値を変えて試行を繰り返して、なるべく多くの局所最適解を探してみたいところです。
（正解以外の局所最適解に収束する確率はかなり低いと予想されますが）
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
計算機が自由に使える以前の時代の論文の数値計算の間違いというのは、
結構あるのかもしれません…
671:イナ
18/06/13 14:59:41.71 Oj2yj/8D.net
>>649水平方向から見た(五角形+等脚台形)の射影を正五角形にすると。前>>648だいぶ平たくなりますね。V㊥(x)が減りそう。五角形が綺麗なわけない。
672:１３２人目の素数さん
18/06/13 16:28:17.84 8DutWUYy.net
>>633 を実行してみました。
tha = tan α/2, thb = tan β/2として重心=垂線の足から連立方程式をたててみると
(3*tha^7-12*tha^5+9*tha^3)*thb^4
+(-2*tha^8-10*tha^6+38*tha^4-26*tha^2)*thb^3
+(11*tha^7-11*tha^5-11*tha^3+11*tha)*thb^2
+(-26*tha^6+38*tha^4-10*tha^2-2)*thb
+9*tha^5-12*tha^3+3*tha = 0
(tha^7+4*tha^5-5*tha^3)*thb^7
+(-15*tha^6-72*tha^4+23*tha^2)*thb^6
+(75*tha^5+120*tha^3-3*tha)*thb^5
+(12*tha^6-197*tha^4-72*tha^2+1)*thb^4
+(-tha^7+72*tha^5+197*tha^3-12*tha)*thb^3
+(3*tha^6-120*tha^4-75*tha^2)*thb^2
+(-23*tha^5+72*tha^3+15*tha)*thb
+5*tha^4-4*tha^2-1 = 0
>>621さんの数値データから得られる値
tha = 0.5006040925763866
thb = 0.1338964782891034
を代入して検算するとそれぞれの左辺値は
8.87931586213142e-6
3.632479806903177e-5
となってます。誤差なんだかどうなんだか。tha消去すると
8181*thb^62
-713988*thb^60+17155890*thb^58-164938703*thb^56+506017027*thb^54+1834844826*thb^52
-13744791488*thb^50+3826451839*thb^48+119593971621*thb^46-128477872952*thb^44-571856278634*thb^42
+693554443761*thb^40+1596500744027*thb^38-1841098161058*thb^36-2706178331076*thb^34+2845687450727*thb^32
+2845687450727*thb^30-2706178331076*thb^28-1841098161058*thb^26+1596500744027*thb^24+693554443761*thb^22
-571856278634*thb^20-128477872952*thb^18+119593971621*thb^16+3826451839*thb^14-13744791488*thb^12+1834844826*thb^10
+506017027*thb^8-164938703*thb^6+17155890*thb^4-713988*thb^2+8181 = 0
既約みたいです。
673:１３２人目の素数さん
18/06/13 18:24:34.99 +VZ1IBn7.net
八面体の人は別スレ立てて～な
674:１３２人目の素数さん
18/06/13 20:30:38.63 82USMjMK.net
いいかげんにしてもらいたいものだ
675:イナ
18/06/13 22:00:17.82 Oj2yj/8D.net
>>649
真横から見て影が正五角形になるときですね。
(四面体の高さ)=1.8x√(5+2√5)
(四面体㊤の高さ)=0.9(3-√5)x√(5+2√5)
(四面体㊥の高さ)=1.8(√5-2)x√(5+2√5)
0.074は超えない気がするけど気になってはいます。前>>653めんどくさいなぁ。
676:１３２人目の素数さん
18/06/14 02:09:33.11 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解くと
tha = tan(α/2) = 0.500612548452861
thb = tan(β/2) = 0.133888590056153
ぐらいになりました。
>>621 さんの数値データから得られた値も（有効数字は）ほぼ一致してますね^^
677:１３２人目の素数さん
18/06/14 03:02:03.81 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解いて得られた、 >>658
α = 53.1862428998954ﾟ
β = 15.2517985158774ﾟ
はゴールドバーグの文献値に近いです。 >>492
また、cosβ = 0.964779066797437 はメディアル8面体の d_4 = d_5 と一致してます。>>582
678:１３２人目の素数さん
18/06/14 04:40:26.09 2oXVNEfm.net
状況をまとめると、
対称性のあるメディアル多面体を>>464のように3つのパラメータで表して
数値計算で最大値を求めた結果（>>471，489，621あたり）も、
Lindelofの条件のうち円に外接するということを先に前提として使った上で
α，βの２つのパラメータで表して、接点が重心という条件で
α，βを求めるというアプローチ（>>633）で得られた結果（>>658）も、
円に外接する際の接点をランダムに設定した上でそれが各面の重心に近づくよう
接点を動かしてLindelofの条件を満たす状態に近づけていくというアプローチで
得られた結果（>>642）も、
すべて（誤差を除き）同様の結果となり、
その結果の各面の対象軸からの角度はGoldbergの論文に記されている値と一致した（>>494，659）
ということですよね。
もうこれは、ここでの結論は
> 180.23という値だけが何か間違っている
ということで打ち止めでいいんじゃないですかね。これ以上やることもあまりないような。
さすがにこれ以上一つの話題を引きずるのも迷惑だし。
679:１３２人目の素数さん
18/06/14 12:41:01.69 VSzXXZka.net
>>654
tha^2 = A，tha*thb = B とおく。
上の式に tha を掛けると
(A-1)･{3(A-3)B^4 + 2(-AA-6A+13)B^3 + 11(AA-1)BB + 2(-13AA+6A+1)B + 3(3A-1)A} = 0,
… Aについて2次方程式になる。
下の式に tha^4 を掛けると
(A-1)(A+5)B^7 + (-15AA-72A+23)B^6 + 3(25AA+40A-1)B^5 + (12A^3 -197AA -72A+1)B^4 + (-A^3+72AA+197A-12)AB^3 + 3(AA-40A-25)AABB + (-23AA+72A+15)AAB + (A-1)(5A+1)AA = 0,
680:イナ
18/06/14 20:24:07.21 qiPHimn7.net
棟木を2x、垂木の最短の長さも2xとすると、屋根は等脚台形で、八面体を水平に見て射影が正五角形になるとき、
五角形の水平な対角線は、
(1+√5)x
八面体の真下にある底辺は、2x
八面体を真横から見て、
(八面体の高さ)=x√(5+2√5)
(八面体㊤の高さ)=x/2√(10-2√5
(八面体㊥の高さ)=x√(5+2√5)-2x√(10-2√5)
前>>657訂正&再考ですが、極値0.074……を超えないとなると、計算をつづけるに値するほど魅力的な式じゃないです。
681:１３２人目の素数さん
18/06/15 09:54:18.30 w+/1B0FC.net
>>654です。まだ次の問題でてきてないので私もその前に最後のレス。
>>654の最後の式既約ではありませんでした。
262144*(thb－1)^3*thb^9*(thb+1)^3*(thb^2+1)^3*(thb^4－10*thb^2+1)*(8181*thb^36－623997*thb^34+10242837*thb^32
－48965288*thb^30－59994180*thb^28+888366516*thb^26－574079300*thb^24－5645292312*thb^22
+4166321790*thb^20+19707900690*thb^18+4166321790*thb^16－5645292312*thb^14－574079300*thb^12
+888366516*thb^10－59994180*thb^8－48965288*thb^6+10242837*thb^4－623997*thb^2+8181)
となっていてthbはQ上36次方程式の解になっています。
この36次方程式は複２次式、かつ相反方程式になっているので指数４の部分体を持ちます。
具体的には (tan^2β + 1/tan^2β)/2 = 4/(1-cos 2β) -1 = C とおくとき C は9次の方程式
8181*x^9 -623997*x^8+10242837*x^7
-48965288*x^6-59994180*x^5+888366516*x^4
-574079300*x^3 -5645292312*x^2+4166321790*x+19707900690 = 0 …… (＊)
の解でおそらく [Q(thb) : Q(C) ] = 4、[Q(C) : Q] = 9 です。
おそらくと書いたのは(＊)の左辺の既約性がまだ未確認なんですが、 Maxima君もWolfram先生も因数分解できないのでほぼ確定だと思ってます。
兎にも角にもthbの満たす方程式が得られたので必要に応じていくらでも精度の高い解を得ることができます。
問題が残ってるとすれ(＊)がホントに代数的に解くのは無理なのかという事、つまりQ(C)/Qの単純性です。
(＊)が代数的に解けるのはQ(C)/QがQ上3次の中間体Q(C)/M/Qを持つときですが、それを確認する方法がなかなかうまく思いつきません。
原理的にはQ(C)/QのGalois閉包のGalois
682:群を計算すればいいんですが、そんなの手計算でやるのも無理だし、コード組むのも一手間だし、 何より、多分Q(C)/Qは単純だった、なら労多くして得るもの少ない感じでちょっとやる気が起きません。
683:１３２人目の素数さん
18/06/15 09:54:45.34 w+/1B0FC.net
最後に方程式導出したmaximaのコード貼っときます。
ca(tha,thb) := (1-tha^2)/(1+tha^2); sa(tha,thb) := 2*tha/(1+tha^2);
cb(tha,thb) := (1-thb^2)/(1+thb^2); sb(tha,thb) := 2*thb/(1+thb^2);
a(tha,thb) := (ca(tha,thb) + cb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
b(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
c(tha,thb) := (1-b(tha,thb)*sb(tha,thb))/cb(tha,thb);
d(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(sa(tha,thb)*cb(tha,thb));
e(tha,thb) := 1/sa(tha,thb);
ga(tha,thb) := (2*c(tha,thb)+d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*b(tha,thb)
+ (c(tha,thb)+2*d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*e(tha,thb);
gb(tha,thb) := ((e(tha,thb)-b(tha,thb))*a(tha,thb)*(e(tha,thb)+2*b(tha,thb))
+2*b(tha,thb)*a(tha,thb)*b(tha,thb)
+2*b(tha,thb)*c(tha,thb)*(-b(tha,thb)))
/(a(tha,thb)*e(tha,thb)+a(tha,thb)*b(tha,thb)+2*b(tha,thb)*c(tha,thb))/3;
factor(ga(tha,thb)-sa(tha,thb));
factor(gb(tha,thb)-sb(tha,thb));
684:１３２人目の素数さん
18/06/15 15:45:24.73 mm39PC7P.net
>>663
thb^2 + 1/thb^2 = 2{4/(1-cos 2β) - 1} = C とおくと、上の式の最後の因子は
(thb^18)｛8181*C^9 -623997*C^8 +10169208*C^7 -43973312*C^6 -131473152*C^5 +1169678304*C^4 -130954112*C^3 -9629462016*C^2 +5516962560*C +32871900928｝
となるので｛ ｝内を0とおいて
C = 55.80233866564161431594753276684087477826
thb = tan(β/2) = 0.1338885900561525235645099960430550447846
β = 15.25179851587733214293978022621725452035ﾟ
ですね^^
685:１３２人目の素数さん
18/06/15 18:25:08.44 NyOBeIuX.net
すいません。Cの方程式まちがった。
2094336*C^9－79871616*C^8+650829312*C^7－1407145984*C^6
－2103570432*C^5+9357426432*C^4－523816448*C^3
－19258924032*C^2+5516962560*C+26289900809
です。改訂版。Cの方程式まで一気に作らせます。
よくよく考えたら関数として定義する意味なかった。
基本これで最後です。
もしCが代数的に解けたりしたらまた書くかも。
いまのとこ望み薄ですけどねぇ。
load ("orthopoly");
ca: (1-tha^2)/(1+tha^2); sa: 2*tha/(1+tha^2);
cb: (1-thb^2)/(1+thb^2); sb: 2*thb/(1+thb^2);
a: (ca + cb)/(1+ca *cb - sa *sb);
b: (sa - sb)/(1+ca *cb - sa *sb);
c: (1-b * sb)/cb;
d: (sa - sb)/(sa *cb);
e: 1/sa;
ga: (2*c +d)/(3*c +3*d)*b+ (c +2*d)/(3*c+3*d)*e;
gb: ((e-b)*a*(e+2*b)+ 2*b*a*b+ 2*b*c*(-b))/(a*e + a*b + 2*b*c)/3;
num(factor(ga - sa));
eq1:part(num(factor(ga - sa)),3);
eq2:num(factor(gb - sb));
eqc:part(factor(resultant(eq1,eq2,tha)),7);
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(k,C)),k,0,9),factor;
686:１３２人目の素数さん
18/06/15 19:00:41.39 NyOBeIuX.net
コードの最後の行
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(abs(k),C)),k,-9,9),factor;
で結果は
256*
(16362*C^9－623997*C^8+5084604*C^7－10993328*C^6－16434144*C^5+73104894*C^4－4092316*C^3－150460344*C^2+43101270*C+128405863)
でした。スレ汚しスマヌ…orz。
687:１３２人目の素数さん
18/06/16 00:27:22.80 Sq4cRvDq.net
>>666
今更だが、定数項は 16435950464
>>667
たぶん正解
C = 27.90116933282080715797376638342043738913
thb と β は >>665 のとおり。
688:１３２人目の素数さん
18/06/16 01:03:52.88 a+j3J/Zw.net
まぁ面白かった。数値に関しては原論文超えてる？ひとえに計算機のおかげ�
689:ｾけど。
690:１３２人目の素数さん
18/06/17 00:07:32.71 NrfBnVbQ.net
気分一新で再開しませんか？
nを自然数、xを実数とするとき
[nx] ≧ Σ[k=1,n] [kx]/k
を示せ。ただし[x]はガウス記号である。
691:１３２人目の素数さん
18/06/17 01:13:46.23 lI+JiKnS.net
それにしても よく間違う人だった。（他人のことは言えないが…）
692:１３２人目の素数さん
18/06/17 02:56:37.20 ratqIZM6.net
>>669
論文の値は実際には存在しえない間違った「いい値」だったのではないかという話を
ずーーーっとやってたのに、何を見ていたのか…
693:イナ
18/06/17 14:00:41.23 NZ1lrT8s.net
前>>662
>>639ｰ640実測値で、ゴールドバーグ超えたよね。
694:１３２人目の素数さん
18/06/17 15:53:47.30 ratqIZM6.net
実際は全く議論に参加できていないのに無意味な発言や計算を大量に垂れ流して
事情がわからない人が見たらそいつが議論の中心にいるかのような錯覚を招きかねない
存在自体が「叙述トリック」のような奴が１人いる。
遡って話をトレースしたい人のために忠告しておくと、
イナ ◆/7jUdUKiSM
とかいうコテハン氏の発言およびそれに対するレスポンスは全部スキップすると、
内容が把握しやすいのでオススメです。
695:１３２人目の素数さん
18/06/17 16:00:52.03 CUSEIgJE.net
>>673
実測に誤差があるようですよ
696:１３２人目の素数さん
18/06/17 16:11:56.75 ratqIZM6.net
>>670
新しい話題に参加したいけど、難しくて参加できない^^;
何かヒントないですか？
697:１３２人目の素数さん
18/06/17 16:38:39.07 LEBIHDAI.net
幾何の難問
URLﾘﾝｸ(jmoss.jp)
上の問題なのですが凸多面体の定義より
面同士の角は外側から測ると全てπ以上であることと
辺が3本以上あることからは示せますか？
698:１３２人目の素数さん
18/06/17 17:36:34.62 Mnf6xpK6.net
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等（総資産数京円以上）の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しな�
699:｢と同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを 各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。 世界中の人間が知るべきこと ・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。 ・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。 テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。 ・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。
700:１３２人目の素数さん
18/06/17 17:36:34.73 Mnf6xpK6.net
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等（総資産数京円以上）の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。
世界中の人間が知るべきこと
・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。
・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。
・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。
701:１３２人目の素数さん
18/06/17 20:13:55.19 S9i0Ooes.net
>>676
私の持ってる解答はこんな感じです。
f(x) = [nx] - Σ[k=1,n] [kx]/k
とおけば周期1で不連続点以外のとこでは定数、不連続点では右連続です。
(0,1]での不連続点は0≦b<a≦n である互いに素な整数a,bを用いてx = b/aとかける点です。
よってそのようなa,bについてf(b/a)≧0を示せばよいことになります。
702:１３２人目の素数さん
18/06/17 20:18:47.70 S9i0Ooes.net
>>677
示せない。
例えば正６面体のときは１２個ある辺の外角はすべてπ/2でπより大きいということはない。
そもそも通常の幾何学的な本来の意味での角の大きさは0以上π以下です。
いわゆる “一般角” と混同してはいけない。
703:イナ
18/06/18 12:33:15.13 X9qz/j/u.net
前>>673
一辺xの立方体の体積は
x^3
一辺xの正三角形の面積は
x^2√3/4
四角形どうしがとなりあう辺xのビジュアル八面体の体積もこういう一般的なかたちにならないでしょうか。
704:１３２人目の素数さん
18/06/18 14:01:24.30 No1r8RIC.net
相似形なら面積は特定の辺の二乗に比例するし体積は三乗に比例する
そのことと比例係数が代数的に書けるかどうかは別問題
過去レスにあった通り、例えば半径１の球に外接する多面体に限定すれば表面積Ｓと体積Ｖは比例するため、ＳまたはＶの最小化問題のみを考えればよい
ただ、この性質を利用して立式しても、五次以上の次数の方程式を解くことになるので結局代数的には解けないんじゃないか、という説が現在有力
「そうじゃない、うまく式を立てれば代数的に解けるはずだ」という可能性があるならトライしてみたらいいんじゃないかな
705:１３２人目の素数さん
18/06/18 23:10:58.84 Y/8tBeky.net
>>680 をすこし進めます。
1≦b≦a≦nである互いに素な整数a,bに対しbk÷aのあまりをr(k)とすると
[nb/a] = nb/a - r(n)/a
Σ [1≦k≦n] [kb/a]/k = Σ [1≦k≦n] (kb/a - r(k)/a)/k = nb/a - Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)
なので 示すべきは
r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)
です。
706:685
18/06/19 00:05:11.82 pnke3C+M.net
「面白い問題おしえて～な」とのことなので、問題を教えるだけです、っていうか解答いただけると嬉しいです(当方解答を持ち合わせておりません)。
[問題]
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない最小の自然数は11である。
では1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せる数 a , b を加えて表せない2以上の最小の整数は何か。もし存在しない場合はそれを証明せよ。
707:685
18/06/19 00:09:04.08 pnke3C+M.net
>>685
例えば121は1+120=1+3*5*8で表せてしまうので不適になります。
708:１３２人目の素数さん
18/06/19 00:38:43.76 S2GWbT4K.net
整数の積と和を組み合わせた問題は、大抵難問。
1000桁前後の自然数に対してこれを応用した暗号が作れるかもね。
709:１３２人目の素数さん
18/06/19 01:07:06.92 AsZ9maAx.net
235らしい。By Haskell君
parts = sort [a*b*c*d*e*f*g*h | a<-[1,2],b<-[1,3],c<-[1,4],d<-[1,5],e<-[1,6],f<-[1,7],g<-[1,8],h<-[1,9]]
isNotSum x = (==Nothing) $ find (==x) [a+b|a<-parts,b<-parts]
head [x|x<-[2..],isNotSum x]
710:１３２人目の素数さん
18/06/19 01:15:19.25 B4wkEBhB.net
>>685
311っぽいですな。
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない ⇔ 2,3,5,7以外の素因数を持つ
ということで、プログラムで検索した結果。
711:１３２人目の素数さん
18/06/19 01:24:07.28 AsZ9maAx.net
同じ数つかてもいいのか……なるほど。
712:１３２人目の素数さん
18/06/19 01:30:54.68 B4wkEBhB.net
>>688
同じ１桁の数を複数掛けてもいいのでは？
（出題意図がどちらなのかはわからないけど。）
713:685
18/06/19 01:31:37.76 pnke3C+M.net
>>689
ありがとうございます。
意外と小さい数でしたね……
714:685
18/06/19 01:34:16.80 pnke3C+M.net
すみません、同じ数は何度掛けてもOKのつもりでした。
235は2*2*5*5+5*7で表せますけど、同じ数がダメだと表せないっぽいですね……
715:１３２人目の素数さん
18/06/19 01:37:32.81 B4wkEBhB.net
かぶった。
ちなみに、1000以下では
311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958
の12個。
10000以下では1099個。
数が大きくなると、出現頻度は増える。
（nが大きくなると、nの周辺で2,3,5,7のみで表される数なんてほとんどなくなるから）
716:685
18/06/19 01:41:29.61 pnke3C+M.net
>>694
なるほど…… 先の解析結果までご丁寧に教えてくださりありがとうございます。
717:１３２人目の素数さん
18/06/19 02:24:51.70 AsZ9maAx.net
今更ながらhaskell君にも聞いてみました。
Prelude Data.List> let isgood x = if x == 1 then True else (/= 0) $ head $ [a|a<-[2,3,5,7],mod x a == 0, isgood $ div x a] ++ [0]
Prelude Data.List> let ys = [x|x<-[2..],(==0) $ head $ [a|a<-[1..x-1], isgood a, isgood (x-a)] ++ [0]]
Prelude Data.List> take 10 ys
[311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958,1102,1103,1117,1151,1193,1238,1244,1291]
718:１３２人目の素数さん
18/06/19 02:46:25.58 AsZ9maAx.net
無駄Loop回してるorz
719:１３２人目の素数さん
18/06/22 13:19:28.28 SuXdtRwP.net
４人でリーグ戦（総当たり戦）を行います。
勝てば３点、引き分ければ１点、負ければ０点を獲得します。
全試合が終わった後、合計点数の順に順位をつけます。
ただし、同じ点数の人がいれば、その人たちでクジを行い、
最終的には無理矢理１位から４位の順位をつけます。
任意の対戦において、勝つ、負ける、引き分けるは 確率 1/3 で起こるものとします。
問０
「ｘ点しかとれなかったけど、２位になった」
「ｙ点も取ったけど、３位だった」
ということが起こる、最小のｘと、最大のｙを求めよ。
問１
ｍ位の人の合計点数の平均を求めよ（ｍは１，２，３，４）
問２
合計点数ｋを取った人が、上位２名に入っている確率を求めよ（ｋは８を除く９以下の整数）
720:１３２人目の素数さん
18/06/22 16:54:53.78 5dKvywCX.net
〔問題〕
最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、
Pn(x) = 0 のn個の解を α1，α2，…，αn とする。
このとき、α1^3，α2^3，…，αn^3 を解にもつ、
最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx,
と表わせる。。。
721:１３２人目の素数さん
18/06/22 22:36:35.49 /GProLmv.net
>>699
見れない。画像かなんか残ってない？
722:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:09:08.40 nz+rOHcs.net
>>700
見れたけど
一応問題の画像↓
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
723:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:21:47.30 /GProLmv.net
>>701
いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ？もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。
724:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:24:53.34 /GProLmv.net
ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね
725:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:28:15.49 /GProLmv.net
間違った。既約性ではなく、重解持たないこと。それはPが既約なのでただしい。それ以外の方法で重解持たないこと示せれば問題ないけど解答にはその旨全くない。
726:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:32:20.85 mDZvFtTn.net
挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。
727:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:41:16.11 /GProLmv.net
でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ？
Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。
偶然なのかもしれないけど。
必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。
ホントに気づいてないなら論外だけど。
そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。
728:１３２人目の素数さん
18/06/22 23:57:37.66 mDZvFtTn.net
Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、
「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。
そりゃそうだろ、あほか？
あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな
729:１３２人目の素数さん
18/06/23 00:38:27.43 shdFVkoM.net
解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。
問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。
どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか！” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。
730:１３２人目の素数さん
18/06/23 02:19:05.69 BnO9HX6O.net
>>677
凸多面体Pを 任意の向き(↑Ox)に正射影する。
その輪郭は凸m角形となる。（m≧3)
各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。
稜L_iの両側の2面(j，k)は、こちら向き & あちら向きである。
その外向き法線を n_j，n_k とすると、 (↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0,
L_i (n_j，n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、
平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側
であり、立体角4θ_iの範囲となる。（θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角)
一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3)
∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。
∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。
731:１３２人目の素数さん
18/06/23 02:26:54.92 shdFVkoM.net
>>698
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
import Data.List
import Data.Ratio
gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)]
results = [[a,b,c,d] |
ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes,
bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes,
let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad],
let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd],
let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd],
let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd]
]
posOf0GoFinal result = let
p = head result
fstPt = head $ reverse $ sort $ result
nFsts = length $ filter (==fstPt) result
sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result
nSnds = length $ filter (==sndPt) result
in
case True of
_| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts)
| nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1
| p == fstPt -> 1%1
| p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds)
| otherwise -> 0%1
question1 = id
$ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger)
$ map sum
$ transpose
$ map sort
$ results
question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)|
pt <-[0..9],
let suitCases = filter ((== pt).head) results,
let nCases = fromIntegral $ length suitCases,
let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases,
nCases /= 0
]
main = do
print question1
print question2
[1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729]
[(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)]
732:１３２人目の素数さん
18/06/23 02:48:51.81 BnO9HX6O.net
>>709
稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、
平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから
(θ_i/π)Ω = 4θ_i
Ω = 4π
733:１３２人目の素数さん
18/06/23 02:50:01.62 shdFVkoM.net
今更ながらよくよく見るとこれあってんの？
勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
どっか間違った？
あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。
734:１３２人目の素数さん
18/06/23 11:00:35.69 CC9xpxXb.net
>>710 >>712
私の用意していた数値と一致です。
勝ち／負け／引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、
あのオリンピックの時の悲劇（勝ち点６で予選敗退）の様なことは、そう珍しいことでも
無いのかなと思って計算して（させて）みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。
勝ち点２で予選突破できる確率の倍です。
>>勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが
>>勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？
勝ち点の分布が 6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、
勝ち点の分布が 5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。
「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と a<b<c<a という
二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c しかないことに由来します。
勝ち点を、3,1,0 と設定していることにも起因していますね。
735:１３２人目の素数さん
18/06/23 11:39:56.96 SeCu6IK8.net
>>712
サッカーで４チームでの総当たり上位２チーム予選突破、の話な。
勝ち点６取っても予選突破できないのは、３チームが２勝１敗，１チームが全敗のケースだけ
勝ち点５取っても予選突破できないのは、３チームが１勝２分，１チームが全敗のケースだけ
どの対戦カードも勝ち負け引き分けがそれぞれ1/3で、
勝ち点が並んだら抽選という単純なモデルで考えると、
勝ち点６を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は2/81
勝ち点５を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は1/81
なので、あながち間違ってはいない。
ただ、もちろんそこまで力が拮抗してるというモデルはあまり現実的ではないし、
引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、
それ以前に、その条件付き確率が意味を持つシチュエーション自体が存在しない。
（全６試合のうち当該チームだけが３試合消化し、残り３試合はまだ実施されていない
なんて状況は通常ありえないし、そもそも当該チームが２試合消化した時点で
勝ち点６と勝ち点５の可能性の両方が残ってることはないわけで…）
736:１３２人目の素数さん
18/06/23 12:42:19.36 CC9xpxXb.net
>>714
少し補足すると、リーグ戦全体は、6試合あるので、3^6通り考えることができ、さらに4人いるという
事を考え、分母を4*3^6とする、勝ち点の分布は
0:108 1:324 2:324 3:432
4:648 5:324 6:324 7:324 9:108
となります。
偶然（？）にも、勝ち点5や6となるケース数は一致します。
従って、勝ち点5や6で予選落ちする確率の比較は、パターン数の比較に
置き換えて考えることができ、>>713のような検討が可能となります。
>>714の後半をみると、「自分が勝ち点6or5をとった場合」として計算されているようですが、
この問題の設定やプログラムでは、「3^6通りあるリーグ戦全体の結果」を平等にあつかい、
その中で、勝ち点が5や6になるケースを抽出して比較してるので、ご安心ください。
737:１３２人目の素数さん
18/06/23 13:03:45.94 SeCu6IK8.net
リロードしてなかったので、混乱させたならすまない。
>>714は別に誰かに反論するというような意図で書いたわけではないので。
738:１３２人目の素数さん
18/06/24 20:21:00.73 C9Q8KS7h.net
>>670 >>680 >>684
もう答えかきますね。>>684の続き。
Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a
を示せば十分である。aとbは互いに素であるのでb×はZ/aZ上の全単射をあたえているからr(1),…,r(a-1)は1,…,a-1の並べ替えになっている。
よってΣ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak)はr(k)が ”小さいもの順” に並んでいるときの値以上である。よって
Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ Σ [1≦k≦a-1] k/(ak) =(a-1)/a。 □
参考までに等号成立はx≦[x]+1/nのときです。
739:１３２人目の素数さん
18/06/24 20:21:27.88 C9Q8KS7h.net
次の問題どうぞ。
740:１３２人目の素数さん
18/06/24 20:26:25.86 C9Q8KS7h.net
あ、等号成立はx<[x]+1/nのとき。
741:１３２人目の素数さん
18/06/24 22:43:28.29 ne7opqz5.net
＞ Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a
＞
＞を示せば十分である。
なんでこのケースだけ示せば十分なんですか？
742:１３２人目の素数さん
18/06/24 22:57:49.07 jLCQQPbm.net
>>720
>>684 で
＞なので 示すべきは
＞
＞r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)
まできていて
左辺≦(a-1)/a
右辺≧ Σ [1≦k≦a] r(k)/(ak)
なので
743:１３２人目の素数さん
18/06/24 23:13:08.47 ne7opqz5.net
>>721
ありがとうございました。
「 a≦n 」という条件を見落としてました。
744:１３２人目の素数さん
18/06/25 05:53:45.42 qOAzU6BU.net
>>670 >>680 >>684 >>717
面白い問題でした。最後はチェビシェフの不等式
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)
で決まりですね。
745:１３２人目の素数さん
18/06/26 01:16:11.00 zS+7aIhZ.net
別スレでプロの数学者でもパズル系は苦手とする人もという話題がでてたのでちなんだ問題を。
Peter Winklerの数学パズルの本に載ってた問題、曰く、"Conway Immobilizer"。
----
１，２，３と表面に書かれたカードが１枚づつ、計３枚のカードとカードの山をおける三ヶ所の場所A、B、Cがある。
三ヶ所それぞれにカードを分けて表面を上にして山を作り配置した状態を考える。
たとえばAに下から順に１，２をおき、Bに３をおき、Cには何も置かないなどである。
あなたの仕事は機械をプログラムしてAの山に上から順に１，２，３という順でカードが置かれている状態（終了状態とよぶ）に移行させることである。
機械にできることは山の一番上に乗っているカードの数字を読み取り、その数字の組み合わせのみに応じていずれかの山の一番上のカードを別の山の一番上に乗せ変えることだけである。
機械には状態を記憶する能力はなく、常にその時の各山の一番上に見えているカードの組み合わせのみに応じてしか次に行う操作を決めることしかできない。
たとえば先の例の状態であれば各山に見えているカードはA:２、B:３、C:空であり、この状態においてあなたは例えば機械にA→CやB→Aのような形で行う操作を指定できる。
無論C→Aなどは指定できない。
山の見えている最上面の状態は２３通りあり得るので、あらかじめその２３通りそれぞれに対して可能な操作を一つずつ指定しておいて、いかなる状態からスタートしても機械が自動的に最終的に終了状態に到達できるようにしてほしい。
なお、機械は終了状態になれば自動的に終了する装置がついているので、操作を終了させる条件について考慮する必要はないとする。
----
このパズル問題を出題された著名な数学者 JOHN CONWAY が６時間（だったかな？）考え込んで思考の泥沼にはまってしまったという逸話つきの問題です。
ネットで検索すれば解答は出てくるとは思いますがよかったら考えてみて下さい。
746:１３２人目の素数さん
18/06/26 03:10:01.84 o5dj2kDl.net
>>724
なぜ23通り？
１つ見えている：3通り
２つ見えている：18通り
３つ見えている：6通り
で、計27通りではないの？
何か問題文読み間違ってる？
747:１３２人目の素数さん
18/06/26 03:18:10.71 zS+7aIhZ.net
>>725
失礼しました。
１枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×３（＝どの山に見えてるか）＝９
２枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝１８
３枚見えてる：１（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝６
です。
多分正しく解釈されてると思います。
748:１３２人目の素数さん
18/06/26 04:59:43.99 o5dj2kDl.net
>>726
では、例えばこんな感じ？
左から順にＡ，Ｂ，Ｃとする。ただし、Ａの左隣はＣ，Ｃの右隣はＡと解釈する。
この設定で、以下のルールで処理すればよい。
(1) １枚のみ見えているときは、その１枚を左隣に移動する
(2) ３枚とも見えているときは、２のカードを左隣に移動する
(3) ２枚のみ見えているときは、２空１の場合を除き、
空いている場所の右隣のカードを空いている場所に移動する
(4) ２空１の場合、Ｃ→Ａ
(3)の例外と(4)がなければ、すべてのパターンから同じ無限ループに収束するが、
(4)のルールがループを切って、ゴールへの道が見える。
(4)のルールで分岐するケースは３の場所により２通りあるが、
どちらにせよゴールにたどり着く。
749:１３２人目の素数さん
18/06/26 05:20:21.23 o5dj2kDl.net
まあ、(1)のルールは、見えているカードをどこに移動しても構わないのだけど。
750:１３２人目の素数さん
18/06/26 12:36:03.50 p6aNDz2K.net
>>727
正解のようです。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
この手の問題は結局コード組んでみないと正解かどうかわからないので組んでみました。
かなり遅いですが実用上問題なしということで。
可読性優先。
では発展でカードの枚数が n ではどうでしょうか？
751:１３２人目の素数さん
18/06/26 14:21:00.09 p6aNDz2K.net
>>727 >>729
ちょっと “プログラム” っぽく書き換えました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
>>727さんのルールが見えやすくなったと思います。
シンプルなルールでよいですね。
752:１３２人目の素数さん
18/06/26 23:01:40.88 myYLliSP.net
>>717
これもおながいします。
〔問題602〕
正整数nと、1より大きい正の実数xに対し、
Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1)
{x} = x - [x] を表し、[x] はxを超えない最大の整数を表すものとする。
不等式スレ９ - 602
753:１３２人目の素数さん
18/06/30 12:49:32.17 EwRMB19m.net
xyz座標空間上の曲面P:z=x^2-y^2について
P上の二点を結ぶP上の曲線で長さが最短となるものはただ一つのみであることを示せ
754:１３２人目の素数さん
18/07/01 05:28:33.10 PiobKfWu.net
>>731
でけたかも。
x>0においてf(x) = Σ(k=1,n) {kx+k}/[kx+k] ,g(x) = lim[e→+0] f(x-e) とおく。
このとき
g(x) = (kx+1+[-kx])/(k-1-[-kx])
である。
またf(x)≦g(x)で等号が成立するのはf(x)の連続点のみである。
さらに与式の右辺はg(1)に一致する。
よってg(x)がx=1においてまたその点においてのみ最大値を持つことを示せば良い。
またg(x)は右連続で連続点において単調増大だから1でない不連続点xにおいてg(x) < g(1)を示せば良い。
またg(x+1)<g(x)から0<x<1として良い。
よって0<b<a≦nである自然数a,bをもちいてx=b/aとおける。
r(k) = a[-bk/a] + bkとおくとき
g(b/a) = Σ(k=1,n) (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))
となる。
[-bn]≦c≦[-b]であるcを固定し[-bk]=cであるkの全体をl,l+1,…,mとおく。
l≦k≦mにおいてr(k) = px+qとなるp,qがとれる。
d(x) = 1/(2x-1) - (px+q)((a+b)k-(px+q))
とおく。
l,mのとり方からpl+q≦b, pm+q≦aがわかるから特にD((l+m)/2)≧0がわかる。
さらにl≦x≦mにおいてd(x)は単調減少、下に凸より任意のl≦m'≦mに対して
Σ(k=1,m') (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))≧0
がわかる。
等号が成立するにはl=m, pl+q = b,pm+q=aのすべてが成立しなければならないがb<aによりそれは不可である。
755:１３２人目の素数さん
18/07/03 11:56:14.38 F6g7HQZx.net
y年の大会では
y≡2 (mod 8) のとき、1次リーグを2位で通過するもベスト16止まり
y≡-2 (mod 8) のとき、1次リーグで敗退
という経験則がある。これを確率論で説明できるか？
756:１３２人目の素数さん
18/07/03 14:23:52.46 37f2wROr.net
>>732
ガウス・ボネの定理を認めるとあっさり解けますね。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Pが測地２角形Mを持つとする。
Mの角∠A,∠Bはいずれも∠A,∠B<π。
z=x^2-y^2上の点(a,b,c)においてx=a,y=bでの切断の曲率が異符号だからガウス曲率Kは負。
∂Mは測地線からなるから∫[∂D]k_g=0。
よって
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g < ∠A + ∠B < 2π。
一方でMは一点とホモトピー同値だから
χ(M) = χ(pt) = 1。
よって
2πχ(M) = 2π。
以上はガウス・ボネの定理
∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g = 2πχ(M)
に反する。
………ガウス・ボネの定理勉強せねばww
757:１３２人目の素数さん
18/07/04 00:21:08.37 QAhoWnUl.net
>>735
すごい 正解
まさにこの定理を使ってほしかった
758:１３２人目の素数さん
18/07/05 02:16:53.46 ln/ClMXF.net
>>714
> 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、
ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。
日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。
759:１３２人目の素数さん
18/07/05 02:24:34.45 ln/ClMXF.net
>>737
URLﾘﾝｸ(www.worldfootball.net)
のデータをエクセルに貼付けて SUM() を計算。なお、日本代表は #30
760:１３２人目の素数さん
18/07/05 08:14:29.40 ln/ClMXF.net
xyz座標空間上の曲面Q：z^2 = x^2 - y^2 -1について
Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。
K=0 らしい
761:１３２人目の素数さん
18/07/05 13:41:31.03 yx21CGJ9.net
>>739
これはまともに測地線求めるしかなさそうな……
762:１３２人目の素数さん
18/07/05 15:50:30.03 aa26gjJX.net
>>739
z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1
これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面
a>1として
x≧1の部分に２点A(a,√(a^2-1),0)，B((a,-√(a^2-1),0)をとる。
Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1
Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、
lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828…
lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425…
lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より
あるaが存在してL_1 > L_2となる。
よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、
最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。
その最小の経路の１つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると
C'はCと異なるもう１つの最小経路となる。
lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安…
763:１３２人目の素数さん
18/07/05 15:56:41.37 aa26gjJX.net
>>739
ところでK=0って何の話？
764:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:18:09.19 yvviDF5N.net
>>741
x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？
切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。
aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。
もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。
765:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:21:57.29 yvviDF5N.net
あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。
なるほど。ならL_2の計算は難しそうww
信じることとしよう！！
766:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:36:58.34 aa26gjJX.net
lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても
Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので
それで計算しても多分大丈夫。
そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、
lim_{a→∞}(L_1/a)については
放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ
∫_{-1～1}√(2y^2+1)dyとして求まる。
そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。
767:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:38:25.37 aa26gjJX.net
>>745
あ、まちがった
lim_{a→∞}(L_1/a)については
のところは
lim_{a→∞}(L_2/a)については
に修正
768:１３２人目の素数さん
18/07/05 16:41:23.15 aa26gjJX.net
>>744
すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので
そんなに無茶な計算をしているわけではないです。
769:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:39:19.05 izfpNop0.net
某映画より（全編を観たわけではない）
表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。
「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。
この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。
770:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:45:54.86 sQOol2Jk.net
一番右のカードに１
右から2番目のカードに２
．．．
右からn番目のカードに２^(n-1)
というポイントを与える。
表になっているカードの合計を、．．．以下略
771:１３２人目の素数さん
18/07/05 17:59:52.69 hOZQWVuc.net
>>748
カードが1枚のときは自明。
カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。
n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。
2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。
一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。
よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。
あと一回はできないと駄目だから前者。
しかしその最後の一回で全裏。矛盾。
で桶？
772:１３２人目の素数さん
18/07/05 18:00:34.58 hOZQWVuc.net
>>749
かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz
773:１３２人目の素数さん
18/07/05 18:42:42.13 izfpNop0.net
映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少）
高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる(>>750)
黒板での実演
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
774:１３２人目の素数さん
18/07/05 19:00:01.42 hLSyGNAr.net
右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。
最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。
775:１３２人目の素数さん
18/07/06 01:29:11.26 26sRDPd7.net
長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。
隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。
さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。
776:１３２人目の素数さん
18/07/06 09:42:24.03 KpmZzWMr.net
>>754
コインの半径をrとする。
もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても
他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、
いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。
したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに）
半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は
その円盤で被覆される。
テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、
テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、
あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで
覆えばよい。
777:１３２人目の素数さん
18/07/06 12:37:14.13 rNvMJVFD.net
>>741
これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？
778:１３２人目の素数さん
18/07/06 16:30:41.30 w9FHNO82.net
>>755
素晴らしい！正解‼︎
779:１３２人目の素数さん
18/07/06 17:39:11.01 jaUkHhY3.net
半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？
780:１３２人目の素数さん
18/07/06 19:16:43.11 jaUkHhY3.net
あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。
781:１３２人目の素数さん
18/07/07 00:13:12.37 U4/1+k2M.net
>>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど
θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))
….orz
782:イナ
18/07/07 02:27:38.43 0Vd5Kb4Y.net
>>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π―①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}
通分はあるいは必要かと。
783:１３２人目の素数さん
18/07/07 02:32:14.98 U4/1+k2M.net
>>761
何勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？
784:イナ
18/07/07 03:27:26.25 0Vd5Kb4Y.net
前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263
黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。
785:１３２人目の素数さん
18/07/07 05:58:50.00 BXrd5bzu.net
サッカーボール は多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？
786:１３２人目の素数さん
18/07/07 06:51:22.31 8oKVVrfK.net
「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。
787:１３２人目の素数さん
18/07/07 08:11:54.48 ny1i6sPl.net
多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。
788:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:32:01.90 nRjTFKp9.net
acos((9-r5)/12).
789:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:43:39.52 VCaMax+U.net
>>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。
球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、
「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」
みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。
790:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:45:47.54 VCaMax+U.net
結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて
「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」
みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、
「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」
みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。
791:１３２人目の素数さん
18/07/07 10:48:11.23 VCaMax+U.net
で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、
やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、
ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで
「球になってねーじゃーーーん！」
みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。
学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら
満足にこなせないんだなって かわいそうになったのを覚えている。
792:１３２人目の素数さん
18/07/07 12:58:04.04 CT2M6a2y.net
イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな
サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ
793:１３２人目の素数さん
18/07/07 13:01:21.42 QlJ5hxgi.net
>>756
有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体
794:１３２人目の素数さん
18/07/07 13:56:16.14 DOx4W0Fk.net
f(x)=x^4-2x^2+6とする。
素数pに対し次の条件(※)を考える。
(※) f(x)≡0 (mod p) は整数解を持たない。
p≦xを満たす素数の数をπ(x)，その中で(※)を満たすものの数をN(x)とする。
lim[x→∞]N(x)/π(x)を求めよ。
795:１３２人目の素数さん
18/07/08 11:54:50.48 rpQNxWJy.net
>>773
f(x) = (xx-1)^2 + 5 だから
(※) (xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。
(1) -5が平方非剰余
または
(2) ｛1±√(-5)｝が平方非剰余
(1) 平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から
((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5)
p≡1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5)
または
p≡3 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)
のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。
p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,…
(2) はどうするか
p x √(-5)
-----------------------------
p=2 0 1
p=3 0 ±1
p=5 ±1 0
p=7 ±2 ±3
p=23 ±3，±4 ±8
p=29 なし ±13
p=41 ±6 ±6
p=43 ±11，±15 ±9
p=47 なし ±18
p=61 ±9 ±19
p=67 ±11，±22 ±14
p=83 ±5 ±24
p=89 ±44 ±23
p=101 ±37，±42 ±46
p=103 ±24 ±43
796:１３２人目の素数さん
18/07/08 20:46:41.23 du/lqCAV.net
考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
上の方の
#define NPRIMES 3200
#define DEG 4
long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6};
のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。
この場合の結果は
1998 2 801 0 399
Exited: ExitFailure 10
？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？
C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。
計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。
対処方法ご存知なら教えて下さい。
次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。
複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。
それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。
797:１３２人目の素数さん
18/07/08 21:01:06.63 du/lqCAV.net
わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
798:１３２人目の素数さん
18/07/08 23:31:55.79 68ZF08lK.net
>>774
7以上の奇素数について
p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (13,17,37,53,73,97,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (11,19,31,59,71,…)
のとき、-5 は平方非剰余
p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (29,61,89,101,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (7,23,67,83,103,…)
のとき、-5 は平方剰余
(1) -5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?)
(2) {1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？
x π(x) N(x)
-----------------
2 1 1
3 2 2
5 3 3
7 4 4
11 5 4
13 6 4
17 7 4
19 8 4
23 9 5
29 10 5
31 11 5
37 12 5
41 13 6
43 14 7
47 15 7
53 16 7
59 17 7
61 18 8
67 19 9
71 20 9
73 21 9
79 22 9
83 23 10
89 24 11
97 25 11
101 26 12
103 27 13
799:１３２人目の素数さん
18/07/09 15:28:48.27 9xh3iFPU.net
２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです
(1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。
(2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。
800:１３２人目の素数さん
18/07/09 19:07:23.34 Al3hwPmB.net
>>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています：
A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、
Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。
一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。
両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。
801:１３２人目の素数さん
18/07/10 11:30:55.37 8lYR3TJ8.net
>>763
正20面体の外接球の半径Roは
Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長)
= 0.9510565163・(辺長)
各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体)
正六角形が残るように３等分すると（r=r')
Ro = 0.9510565163・(2r+r')
= 2.8531695489 r
このときの外接球の半径Rは
R = √{(Ro)^2 -r(r+r')}
= 2.478018659 r
R=1 とおくと r = 0.4035482123
12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088
802:１３２人目の素数さん
18/07/10 12:22:30.13 8lYR3TJ8.net
>>780
フラーレン(Ｃ_60)分子では
r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm
r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2)
R = 0.355 nm
らしい。
(1) J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991)
"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework"
(2) W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991)
"Crystal structure and bonding of ordered C_60"
803:１３２人目の素数さん
18/07/10 17:28:53.54 9e2HIdsC.net
昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。
「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」
だ
804:れか情報を…
805:１３２人目の素数さん
18/07/10 17:39:15.40 znafurMV.net
nとkに制限ないならなんでもできるやん
2=1!+1
3=1!+2
5=1!+4
‥‥
806:１３２人目の素数さん
18/07/10 18:33:12.92 kWjM72mK.net
簡単な問題設定の割に難しい問題
長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。
棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。
地面が滑らかな場合はどうか？
807:１３２人目の素数さん
18/07/10 18:41:25.72 okqgU0Wa.net
階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題
808:１３２人目の素数さん
18/07/10 23:10:21.90 CaZJMDCE.net
n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。
809:１３２人目の素数さん
18/07/11 00:19:16.07 t4/7pAv5.net
(m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し
(2n+1)^2+3≡0 (mod p)
⇒(-3 / p) = 1
⇒(p / 3) = 1
⇒p ≡ 1 (mod 3)
810:１３２人目の素数さん
18/07/11 04:46:20.24 P+BTNckt.net
>>786
p=2 に対し
n(n+1) + 1≠ 0 (mod 2)
∴ 2を約数としない。
811:１３２人目の素数さん
18/07/11 06:42:33.69 P+BTNckt.net
>>780
球の中心 ～ 六角形の中心 の距離（垂線の長さ）
{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro
球の中心 ～ 正五角形の中心 の距離（垂線の長さ）
Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r,
r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376
のとき、これらは一致し、
内接球の半径 2.03449563343785 r
812:１３２人目の素数さん
18/07/11 07:21:29.64 P+BTNckt.net
>>784
・根本が動かないとき
(1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2,
v_S = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
・地面が滑らかな場合
(1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2
φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
813:１３２人目の素数さん
18/07/11 08:00:21.98 P+BTNckt.net
>>780 >>789
r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき
内接球の半径 0.794654472291766 Ro
外接球の半径 R = 0.861318645 Ro
比 1.0838907666
814:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:27:42.24 LEvJsMim.net
>>773
ヒントです。
というかこれ知らないと多分自力では解けません。
逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。
ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。
よかったら挑戦してみて下さい。
-----
Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。
L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。
このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。
すなわち任意のx∈Sにたいして
σ(x) + w = F(x+w)
を満たすものが存在する。
またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。
またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。
すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。
この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。
-----
Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。
G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について
815:常に等しい値をとる関数とする。 任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。 ---- Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。 vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。 f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを f = Σ[x]c_x x と分解するとき次が成立する。 lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0 とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。
816:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:34:57.73 xru3WaBg.net
>>792
π(x) = #{v | p(v) ≦ x }
です。
817:１３２人目の素数さん
18/07/11 13:58:00.78 VOQaSRny.net
イメージしやすいように例を
K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ}
である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。)
―
v=3Rのとき
w=3Sとなる。
このとき
F(i + w) = i^3 + w = -i + w。
故にこのときはFr(v) = σ。
v=5Rのとき
w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。
いずれにせよ、このとき
F(i + w) = i^5 + w = i + w。
故にこのときはFr(v) = id。
―
この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。)
818:１３２人目の素数さん
18/07/11 19:42:36.04 zWguNjBa.net
>>778
(2) は、
URLﾘﾝｸ(cybozushiki.cybozu.co.jp)
の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。
記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には
選択公理＆超限帰納法 あるいは 選択公理＆超限再帰 のテクニックのことを
指していると思われる。
こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する
マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。
しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。
超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、
結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で
やることがほとんど同じで面倒くさかった。
選択公理を使わずに構成できるかは知らない。
819:１３２人目の素数さん
18/07/11 23:13:11.73 t4/7pAv5.net
なるほど、超限帰納法使うとできるね。
まぁマニアックかな？
全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。
なるほど。
言われたらわかるんだけどなぁ。
820:１３２人目の素数さん
18/07/12 01:18:11.20 huavq4lx.net
>>792
F はフロベニウス写像？
821:778
18/07/12 02:22:48.22 /Z2aWdzi.net
>>795 >>796
ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね…
まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。
有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？
822:１３２人目の素数さん
18/07/12 03:07:48.58 cnnq5teh.net
>>798
できる
823:１３２人目の素数さん
18/07/12 12:42:01.87 /doAfL4Z.net
>>797
Yes!
824:１３２人目の素数さん
18/07/12 13:45:35.27 j/yfJD6O.net
>>800
了解
ちょっと考えてみよう
あと>>792のことが載ってる文献とかある？
825:１３２人目の素数さん
18/07/12 16:26:03.85 sQqagqbK.net
>>792
森田先生の東大出版の整数論とか
加藤先生の岩波出版の整数論Iとかには載ってると思う。
ただしどっちも証明完全にはのって�
826:ﾈかった希ガス。 確実に証明まで含めてのってるのは Lang の Algebraic number theory。 池原 Winner Landau の定理を使う証明で若干妙な証明だけどのってます。 まぁ森田先生のはLangの訳本に近い。 間違ってるとこもそのままちゃんと間違ってますwww
827:１３２人目の素数さん
18/07/12 18:36:36.53 2xf9EIWs.net
Σ[k=2 to n-1] n!/(n-k)! + n! の値を求めよ
828:１３２人目の素数さん
18/07/12 19:51:18.89 L192+njn.net
>>803
これはムズい。見たことない。答え！とか出てくる？
829:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:33:04.82 sQqagqbK.net
てか
n!(1/(n-2)! + 1/(n-3)! + ... + 1/1! + 1)
=n!(1/0! + 1/1! + ... + 1/(n-2)!)
こんなんもたまらん希ガス。
830:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:34:18.22 uedcuzUI.net
二項定理で微分してみる？
831:１３２人目の素数さん
18/07/12 20:57:58.27 xzK6jvxq.net
>>805
+n!が完全蛇足になるとおかしいから分母にくるでしょ
832:１３２人目の素数さん
18/07/12 21:36:53.55 Os9QSTcU.net
>>807
分母なんぞに来た日には目も当てられんやん。
833:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:12:02.43 Os9QSTcU.net
>>803 >>807
分母でやってみた
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
6 % 7
612 % 325
453800 % 155001
3861634830 % 976314031
481961256261492 % 96969788815873
1054761729394054912664 % 176420776601977522329
9379220392541459116676859552 % 1342977541299460819153297325
6871627232977971685604791983162107670 % 860310167933842952793421619070619213
なんのルールも見えん。
ほんまに解けんのこれ？？？？
834:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:15:25.17 FNY0485u.net
>>803
ガウス記号使えるなら [e･n!]-n-1 という表示は可能だけど、もしかしてこれが答え？
835:１３２人目の素数さん
18/07/12 22:46:37.28 sQqagqbK.net
>>810
それか！
836:１３２人目の素数さん
18/07/13 00:27:41.14 3AgF2Wt2.net
>>802
サンクス
>>773はのんびり考え中
837:778
18/07/13 00:58:20.39 J3lC7G1w.net
>>778 (2)ですが自己解決しました。ヒントくださった方ありがとうございました。
838:１３２人目の素数さん
18/07/13 12:00:38.73 btBhB1qs.net
>>803
元ネタは、たまたま書庫で見た数学セミナーの連載記事 「算私語録」 で、答えは書いてなかったのだ。
続けたまえ！
839:１３２人目の素数さん
18/07/13 14:19:55.91 j1khqgOs.net
ハゲのくせになまいきだぞ
840:１３２人目の素数さん
18/07/14 00:32:30.12 kfXPO9Dw.net
半径1のn次元球D^nの体積はπ^[n/2]/(n/2)!
ただし半整数の階乗は1ずつ減らして1/2までの積
これを帰納法使わず証明して欲しい
841:１３２人目の素数さん
18/07/14 02:32:04.17 5VRLgysv.net
>>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号�
842:gって書き下せば完了
843:１３２人目の素数さん
18/07/14 03:43:23.92 +LT1qx/t.net
>>817
この証明のdrって面積素、つまりはハウスドルフ測度のことだよね？だとしたらハウスドルフ測度の定義にはn次元球の体積が必要だから循環論法になるんじゃないの？
844:１３２人目の素数さん
18/07/14 03:45:07.12 +LT1qx/t.net
>>818
ごめんdrは半径か失礼しました
その前段階で表面積分してるよね？
845:１３２人目の素数さん
18/07/14 05:21:45.18 kfXPO9Dw.net
>>817
漸化式も使わないではできない？
846:１３２人目の素数さん
18/07/14 05:23:31.56 kfXPO9Dw.net
>>817
使ってないか失礼
847:１３２人目の素数さん
18/07/14 09:09:04.02 MrcE29He.net
△ABCはAB=3,BC=4,CA=5を満たすとする。
△ABCの外接円をO、内接円をIとする。
異なる3点P,Q,RがO上をPQ,PRがIと接するようにうごくとき、直線QRが通過しない部分の面積を求めよ。
848:１３２人目の素数さん
18/07/14 14:38:08.75 2fMgdkQ3.net
>>773
5/8 と出た。自信は無い。
概略を書くと、
α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。
f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β)
Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。
σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ
σ(α)=β,σ(β)=-α
τ(α)=β,τ(β)=α
を満たすものとする。
D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。
それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。
有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると
(1) 4 つの 1 次式
(2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式
(3) 2 つの 2 次式
(4) 1 つの 4 次式
の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない）
それぞれに対応する Frobenius 共役類は
(1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3}
整数解を持つのは (1),(2) のとき。
よって、類関数 f を
f(ζ)=0 (ζ=id,στ,σ^3τ)
f(ζ)=1 (otherwise)
で定めれば、求める値は
lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x)
に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。
f を x_0,...,x_4 で表すと
f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8
が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8
849:イナ
18/07/14 15:44:20.32 +kVDeoWP.net
>>822
△ABCの外接円Oの半径:5/2
△ABCの内接円Iの半径:1
Pが円Oの周上を一回動くときQRは円Iに接しながら円Oの中かつ円Iの外の領域をくまなく動くので、QRが通らない部分は円Iの中と円Oの外である。
(円Iの面積)=π
(円Oの面積)=25π/4
(QRが通る部分の面積)=(円Oの面積)-(円Iの面積)
21π/4
(QRが通らない部分の面積)=∞+π
→∞
850:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:30:00.48 vTy8qTeq.net
>>824
ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。
通らない部分は円Iの内部です。
直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。
851:１３２人目の素数さん
18/07/14 16:47:55.75 hjCo+mDv.net
難問です.
一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う.
今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？
852:１３２人目の素数さん
18/07/14 17:15:23.44 vTy8qTeq.net
>>826
φ(1) は0ちゃうん？
853:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:46:36.87 hjCo+mDv.net
ヒント�
854:ﾆしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します.
855:１３２人目の素数さん
18/07/14 18:47:17.58 hjCo+mDv.net
ℚの代数閉包までなら自明だから
856:１３２人目の素数さん
18/07/14 19:07:11.95 hjCo+mDv.net
>>827
それはそうw
しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw
857:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:23:25.61 SCz7cUJu.net
Kを微分体とします(標数0)
K(x)をその純超越拡大とします
a∈K(x)を固定します
Kの導分DがK(x)上の導分でD(x)=aを満たすように一意拡張されますよね？
858:１３２人目の素数さん
18/07/14 21:46:51.85 vPo4n2qv.net
>>830
ああ、R射であることは要求されてないのね。
一般論はよくしらないけど以下の議論でGrand Field Kは標数0として
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは超越拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) Σp_iα^i ∈ K[α]に対しては、φ(Σp_iα^i) = Σ( φ(p_i) α^i + i p_i α^(i-1) x ) 定め、p(α),q(α)∈ K[α]に対しては
φ(p(α)/q(α)) = (φ(p(α))q(α) - p(α)φ(q(α)/q(α))) / q(α)^2と定めればよい。
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは単項代数拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) F(x_0,x_1,…,x_n) ∈ K(x_0,x_1,…,x_n)とβ_1,…,β_nをF(x,β_1,…,β_n)がαの最小多項式となるようにとる。∂F/∂x_i = Fiとして
φ(α) = - ΣF_i(α,β_1,…,β_n)φ(β_i)/F_0(α,β_1,…,β_n)と定めれば良い.
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
で結局
― 補題 ―
任意の導分 K→L は L→L に拡張される。
からQ[x] → Q[x] ⊂ R ⊂ R(x)の導分φをφ(x)≠0となるように定めておいてからR(x)まで拡張すればよい。
煩雑な計算を回避する方法がありそうでなさそうで………
859:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:14:40.55 vPo4n2qv.net
>>823
すばらしい！正解！(ホントいうと f の展開のとこチェックしてませんが信じます。)
まさに期待通りの解答です！！
ちなみに>>792のヒントは>>774さんや>>777さんのカキコをみて後付けで思いついて作ったものです。
後日こちらが用意した解答もあげようと思いますけど……いや、すごい！！！
860:１３２人目の素数さん
18/07/14 22:28:26.61 SCz7cUJu.net
>>828
わざわざAを設定したからにはそれ使って示すことを想定してるんかな
ちょい気になるから書いて
861:１３２人目の素数さん
18/07/15 00:06:50.68 q2k7b01c.net
書きたまえ
862:１３２人目の素数さん
18/07/15 02:16:45.42 8ME/vsb7.net
今日のことわざ
Ground Field にチャンスは落ちてない。
チャンスは Pitch に落ちている。それを全力で探そう。
863:１３２人目の素数さん
18/07/15 09:14:23.66 DcTFeZo6.net
>>833
お、あってたか。良かった。
>>777の結果が 5/8 にあまり近くなかったのが不安で……
こちらも勉強になった。
ちょうど自分の知識の少し先って感じだったんで楽しかった。
答えを出してから気づいたんだけど、直感的に考えて
-5 が平方非剰余…1/2 の割合
-5 が平方剰余かつ 1+√(-5), 1-√(-5) が共に平方非剰余…1/8 の割合
で、合わせて 5/8 っていう結果と一致するのね。
f の展開をチェックをしてないってことは、元々の解答では f の展開を使わないってことですかね。
楽しみです。
864:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:39:30.12 0Uh0l9mr.net
>>837
もうすでに解答が出てるのであれなんですが参考までに用意していた解答を紹介します。
一般にGal(L/K)の部分集合Sとその特性関数(すなわち
865:f(x) = 1 iff x∈S,f(x) = 0 otherwise)についてf(x)が類関数であるものを取ります。 d = lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} を計算したい、もちろんそれは>>792をみとめれば f = Σ[x]c_x x と展開するときのc_x0です。 ここで有限群の表現論から一般の類関数 f について得られる結果 c_x = (f,x) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x^(σ) (x^ はxの複素共役による指標) (http://gauss.ms.u-tokyo.ac.jp/lecture/algebra3/representation-theory.pdf) を用いれば今のfについては c_x0 = (f,x0) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x0^(σ) = #S/#G が得られます。結局この設定のもとにおいては ----定理( チェボタレフの密度定理)---- lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#G https://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem が得られます。 本文においてはGal(L/K) = D4、(4つの解への作用は４次２面体の４頂点に対するそれと同じ) Z/pZで解がない⇔Fr(p) ∈ {(1234),(4321),(13)(24),(12)(34),(14)(23)} (= Sとおく） なので結局 lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#D4 = 5/8 となります。 別の例f(x) = x^4 - 2x+6の場合にするとガロア群はS_4で 解０個⇔Fr(p) ∈ {(1234)...} ← 9個 解１個⇔Fr(p) ∈ {(123)...} ← ８個 解２個⇔Fr(p) ∈ {(12)...} ← 6個 解４個⇔Fr(p) ∈ {e} ← 1個 なのでmod pで解を０個、１個、２個、４個もつ比率は 9:8:6:1 となります。 http://codepad.org/c9fnjakx
866:１３２人目の素数さん
18/07/15 23:43:37.83 J7bEvDWH.net
>>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了
867:１３２人目の素数さん
18/07/16 22:42:48.81 MFtB88ty.net
>>838
乙です。
またゆっくり読もうと思います。
868:１３２人目の素数さん
18/07/17 07:36:12.46 Aegngsr/.net
>>839
Γ(n/2+1)の値を求めるのに漸化式使うんでなくて？
869:１３２人目の素数さん
18/07/17 08:14:11.22 8QchSL46.net
問題文読んでから発言してね
870:１３２人目の素数さん
18/07/17 10:48:14.93 6M1FJ0j2.net
1はできましたが誘導がわかりません A,B,CがD,E,Fに対応しているのはわかりますが
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
871:１３２人目の素数さん
18/07/17 22:02:28.41 qLE42k1Y.net
Peter Winklerのパズル本より
―
３つの非負整数の組(a,b,c)に対して次の操作を考える。
(※) (a,b,c)から２つの数 (x,y) (x≧y)を選び、その２数を(x-y,2y)に置き換える。
この操作を何回か繰り返すことにより３数のいずれかを0にできることを示せ。
―
872:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:15:11.43 6M2SJbed.net
>>844
任意の自然数nは、正の奇数aと非負整数bを用いてn=a*2^bの形でただ１通りに表せる。
このとき自然数nについての関数fをf(n)=bと定義する。
また、問題で与えられた操作を以下操作Xと呼ぶ。
非負整数の組(a,b,c)に対し操作Xを施してもa+b+cの値は不変であるので、
その値をSとおく。
証明の基本方針：まず以下の命題１，２を示す
命題１
a,b,cがいずれも0でないとき、
min(f(a),f(b),f(c))＜f(S)ならば、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、min(f(A),f(B),f(C))=f(S)とすることができる。
命題２
a,b,cがいずれも0でなく、
f(a),f(b),f(c)を小さい方から順に並べたものをm,n,lとしてm=f(S)のとき、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてM=f(S)かつN＞nとすることができる。
ここで、S≠0のとき、2^k≦S＜2^(k+1)を満たす非負整数kを考えて、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができないと仮
873:定すると、 命題１，２より，(a,b,c)に対して操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)とし、 f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてN＞kとすることができる。 このときA,B,Cのうちの１つxが x＞Sを満たすこととなり、矛盾。 よって、仮定は誤りであり、 ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができる。 以下、命題１，命題２を証明する。
874:１３２人目の素数さん
18/07/18 15:56:29.33 6M2SJbed.net
>>844
>>845の続き
命題１の証明
以下、a,b,cはいずれも0でなく、(a,b,c)に操作Xを有限回数繰り返しても0は
出現しないものとする。
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とすると
p,q,rを奇数として
S=p*2^m + q*2^n + r*2^l = (p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m))*2^m
ここで、m＜sのとき
m＜nとすると、p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なのでf(S)=mとなり、矛盾
m=n=lとしても、やはりp+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なので矛盾。
よって、m＜sならば必ずm=n＜lとなる。
このとき、x,yを大きい方からx',y'とおくと、
f(x'-y')≧m+1，f(2y')=m+1となるので、
(a,b,c)を１回の操作Xにより(x'-y',2y',z)を並べ替えたものにすることができて、
このときmin(f(x'-y'),f(2y'),f(z))=m+1
このような操作を繰り返すことで、
min(f(a),f(b),f(c))＜sのとき、操作Xをs-min(f(a),f(b),f(c))回繰り返すことで、
操作後の組(A,B,C)についてmin(f(A),f(B),f(C))=sとすることができる。
以上より、操作の途中で0が出現するケースも含め、命題１が示された。
875:１３２人目の素数さん
18/07/18 17:17:13.64 6M2SJbed.net
>>844
>>845，>>846の続き
補題３
非負整数の非順序対{a,b}について、操作ＹをＹ:{a,b}→{|a-b|,2*min(a,b)}とする。
いま、a,bがいずれも0でなく、M=min(f(a),f(b))，N=max(f(a),f(b))として
N≧M+2とすると、
{a,b}に操作Ｙを有限回施したものを{A,B}として、
min(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1とすることができる。
証明：Ｙ：{a,b}→{A,B}として、
a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mのとき、
A,Bもともに0でなく、f(A)≠f(B)、min(f(A),f(B))=mとなることは容易に示される（略）。
よって、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mとなるような{a,b}から始めて、
操作Ｙにより、同じ条件を満たす非負整数の非順序対の列を無限に続けることができる。
一方、操作Ｙは２つの非負整数の和を変えないので、そのような非負整数の非順序対は
有限個しか存在しない。したがって、その列は必ず循環する。
ここで、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対について、
操作Ｚを、以下のように定義する。
a,bを並べ替えたものをx,yとし、f(x)＜f(y)とするとき、Ｚ:{a,b}→{y/2，y/2+x}
このとき、
f(y)≧f(x)+2のとき、f(y/2)=f(y)-1，f(y/2+x)=f(x)より、f(y/2)＞f(y/2+x)=f(x)であり、
f(y)=f(x)+1のとき、f(y/2)=f(x)，f(y/2+x)≧f(x)+1より、f(y/2+x)＞f(y/2)=f(x)となるので、
明らかに操作Ｚは、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対
の中で閉じた操作Ｙの逆操作となる。
逆操作が存在するため、前述の{a,b}から始まる無限列はその途中のどこから見ても
逆順に辿って出発点まで遡ることができ、循環節には必ず{a,b}が含まれる。
ここで、補題の設定の{a,b}について、Ｚ：{a,b}→{A,B}とすると、{A,B}は{a,b}から始まる
操作Ｙによる無限列の循環節に含まれることになるので、{a,b}から有限回の操作Ｙで
{A,B}にすることができる。このとき，明らかにmin(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1を
満たすので、補題３は成立する。