面白い問題おしえて~な 26問目at MATH
面白い問題おしえて~な 26問目 - 暇つぶし2ch512:132人目の素数さん
18/05/26 22:03:24.34 p7ZlenKz.net
>>484
同意❗

513:
18/05/27 00:45:56.58 UhzuItQI.net
F'(x)=0でF(x)の最大値を出す法則と四則演算ならわかる。
>>485
144・7-81+576√3)x^4-24(7+4√3)x^2+3(4+2√3)・(x^2-1/6)^2・(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3)(x^2-1/6)^2+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0

514:132人目の素数さん
18/05/27 01:33:00.38 i5aSKt1a.net
>>483 >>485
 辺長xのうち、頂点からaまでの部分を切り取るのだな。
 V = x^3 - (a^3)/3,
 S = 6xx - (3-√3)aa,
a = {(3-√3)/2}x = 0.6339746x のとき最大で
 V/S^(3/2) = (1/6)√{(1+√3)/15} = 0.0711291315
>>467 で a = c,β = 90゚,L = x の場合でござるな。

515:132人目の素数さん
18/05/27 02:03:28.95 aeCCXXNU.net
>>471
自分でもプログラムで探してみたけど、
>>464の設定ではそのあたりが限界なのね…
自分の結果は
(a, b, r) = (0.103402, 0.379226, 3.177760) で 0.074344868
S^3/V^2でいうと180.92476とかで、
ゴールドバーグの結果と言われてる180.23とはまだ随分ギャップがあるなあ。
それに近づくには、>>464の対称性を崩さないといけないということ?
(まあ、その値が正しいかどうかもよくわからないが)

516:132人目の素数さん
18/05/27 02:13:30.05 i5aSKt1a.net
>>483 >>485 >>487
 S = 1 に限定すれば
 x = √{(√3 +1)/15} = 0.426774789
 a = √{(√3 -1)/10} = 0.2705643745
でござる。

517:イナ
18/05/27 02:40:09.42 UhzuItQI.net
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3){x^4-(1/3)x^2+1/36}+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(773+546√3)x^4-(186+106√3)x^2+(9+5√3)/6+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
>>487
もっかい紙の上でやったほうがいいみたい。x出したいわけじゃないし。そうか、aがxの半分超えるぐらいおっきなることもあるんか。

518:132人目の素数さん
18/05/27 03:46:25.26 i5aSKt1a.net
>>480
>>443 の文献はここら辺↓に…
URLリンク(www.jstage.jst.go.jp)
Fig.1 の VIII の欄では >>453 >>457 >>460 と同じ配置
Table 2 で K は等周定数 (S^3 /V^2)
n=8,VIII の欄はたしかに K = 180.23
また傾き角(軸となす角)は 53゚07',15゚23'
>>489
 >>464 のような高い対称性をもつか不明でござる。(英語不得手により)

519:132人目の素数さん
18/05/27 04:35:27.73 i5aSKt1a.net
>>483
S = 6xx - (3-√3)aa = 1
から
aa = (3+√3)(xx -1/6)  … (1)
V(x) = x^3 -(1/3)a^3  … (2)
 = x^3 - (1/3)(3+√3)^(3/2)・(xx -1/6)^(3/2),
V '(x) = 3xx - x(3+√3)^(3/2) x√(xx -1/6) = 0,
xで割って
 3x = (3+√3)^(3/2) √(xx-1/6),
 9xx = (3+√3)^3 (xx-1/6),
 xx = (√3 +1)/15,
これを (1) に入れて
 aa = (√3 -1)/10,
>>490 が出�


520:驕B



521:132人目の素数さん
18/05/27 04:52:26.77 aeCCXXNU.net
>>492
実は自分も今その論文を眺めてたところ。
>>489で求めた値は、最大になるようなa,b,rの値の組を最初粗い格子点の中から探し
その周辺でさらに細かい格子点の中から探し、というような作業を
スクリプトを使って繰り返して(範囲の設定は手作業)
その精度での局所最適解を求めたのだけど、
その作業をすり抜けるような特異点が存在するとも思えないし、
実際そのa,b,rから各面の傾きを計算すると
その論文の値とほぼ一致するし。
本来は自分の計算の方を疑うべきなのだろうが、
>>471氏の計算とも合致してるので、
今は180.23という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
論文に載ってる2つの角度だけではその8面体の形状は特定できないので
もっと詳しく書いておいてくれればよかったのに>ゴールドバーグ氏
ネットで検索しても、その立体の展開図みたいなものは見つかるのだが、
細かいサイズや実際のS^3/V^2の値とかの定量的な話が全然書いてないんだよな

522:132人目の素数さん
18/05/27 11:27:35.29 CGYiTgTM.net
この手のはいくらでも先に進めるけれど進んだところで意味が無い計算の1つ
数学の袋小路
これが役に立つ例を他の学問分野から必要とされない限り
よくできましたで賞にしかならない

523:132人目の素数さん
18/05/27 11:58:20.93 6sMTwTbT.net
4色問題もそうだし、おおよその整数野未解決問題もそうなんだよなあ

524:イナ
18/05/27 19:52:43.78 UhzuItQI.net
>>491
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
もしやただ単にx^2=1/6のときF(x)は最大とかいう話?
F(1/√6)=1/(6√6)
≒0.0680413817
こんな簡単でいいの?

525:イナ
18/05/27 20:03:51.93 UhzuItQI.net
>>497ちがうか。やっぱり>>438でF'(x)=0で最大値が出たことを思うと、
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)} これもF'(x)=0でできんかなと思うんだよ。
F(x)=?
≒0.074

526:イナ
18/05/28 07:14:10.67 DLDfn9F5.net
URLリンク(www.youtube.com)
|____」
((-゚-)
_ '``ちょっと寝る。
だから―。前>>498お願いだ。もっかい微分で解かせてほしい。

527:イナ
18/05/28 20:06:22.78 DLDfn9F5.net
>>490式と計算過程も書いてほしいよ。
>>499
S=6{x^2-(a^2/2)}+2(√3/4)(a√2)^2
=6x^2-3a^2+√3・a^2=1
(3-√3)a^2=6x^2-1
a^2=(6x^2-1)/(3-√3)
=(x^2-1/6)(3+√3)
V=x^3-2(1/3)(a^2/2)a
=x^3-a^3/3
=x^3-(a/3)(x^2-1/6)(3+√3)
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}a
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}√{(x^2-1/6)(3+√3)}
V'(x)=3x^2-(1/3)(2x)(3+√3)√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0

{x-(1/√6)}^2=x^2-2x/√6+1/6=x^2-1/6-2x/√6+1/3
x^2-1/6={x-(1/√6)}^2+
2x/√6-1/3

(休憩)

528:イナ
18/05/29 02:49:24.32 2oLTtdTc.net
>>488
V=0.0711……だったら0074どころか、正六角柱の0073より小さいじゃないか!!
>>500
感覚的に正六角柱には及ばないと思ったんだよ。計算しようとして、できたわけじゃないけど、無駄な計算だった。
じゃああれだ、大御所、五角形4つと四角形4つで微分、お願いします。
数式で出した最大値はいまだ正六角柱の0.073……ですもんで。

529:イナ
18/05/29 09:22:46.22 2oLTtdTc.net
>>501
長方形4つの長辺およびホームベース形五角形4つの上辺をxとし、今仮に五角形4つの上辺と


530:向かいあう内角を60°として垂直に柱を建て屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。 S=x(x/√3)4+{x(x/√3)+(x/2√3)(x/2)}・4 (4/√3)x^2+(4/√3)x^2+(x^2)/√3=1 9x^2/√3=1 x^2=(√3)/9 V=x^2{(x/√3)+(x/2√3)} =(√3)/9{(x/√3)+(x/2√3)} {(√3)/9}・3x/(2√3) =x/6 =√(√3)/6・3 =√(√3)/18 =0.0731152…… このゴキブリホイホイを切って天地逆にくっつけたような無用の立体は、先の正六角柱と同値。 さらに体積を増すには、五角形の角度を60°より大きくする手が考えられる。たとえば72°は無理かもしれないが、五角形を正五角形に近づけるべく柱を傾けてはどうか。つまり柱も梁も棟もすべて同じ長さにしたとき体積は最大になるんじゃないか。仮説です。



531:132人目の素数さん
18/05/29 15:00:58.00 n11ck1yy.net
>>502
五角形の内角が 120゚×3、90゚×2 で4辺の長さが (x/√3)
長方形の辺長が x と (x/√3)
>>460 を 1/√3 倍に縮小したものと同じですね。
頂点を垂直方向にずらすだけでは、それ以上改良しないと思われ…

532:132人目の素数さん
18/05/29 16:16:31.38 RTi38Ocg.net
私はやってないのでいう権利ないかもしれないけど、ともかくこれだけ頑張って計算してる人いるんだから、間違ってないならそろそろ"とある法則”上げてもいいんじゃね?なんか計算の足しになるかもしれないし。

533:イナ
18/05/29 16:19:46.35 2oLTtdTc.net
>>502
五角形の内角を72°として斜めに柱を突きだし屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。一辺xの正五角形と三辺xの四角形を貼りあわせた八面体の鳥瞰図を描く。
四角形の残りの一辺y(棟と地下のねじれの位置にある一辺も同じく)はやや小さく(y<x)、四角形は面積(x+y)x/2の台形。
S=4(x+y)x/2+4{(1+√5)/2}x^2=1
2x^2+2xy+2(1+√5)x^2=1
2xy+2(2+√5)x^2=1
2xy=1-2(2+√5)x^2
y={1/(2x)}-(2+√5)x
上の棟から真っ二つに切った七面体V/2(上辺t=y→x)
五角形の辺はt一つ、{(1+√5)/2}x二つ、x二つ。
V/2
=∫(t=y→x)

=
>0.0731152……

ちょっと超えるはず。五角形の内角を72°にできれば、八面体V=0.074……

534:132人目の素数さん
18/05/29 18:12:11.36 n11ck1yy.net
>>471>>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x として
五角形ABCDEは
 ∠A = ∠E = 104.73844゚,∠B = ∠D = 113.06566゚,∠C = 104.3918゚ (正五角形: 108゚)
 AB = DE = 0.406444x,BC = CD = 0.69826x,AE = 0.89660x,BD = 1.10340x
 S_5 = 0.62920xx
台形CDHIは
 CI = FL = 0.67141x,CI~DH 0.68912x
 ∠C = ∠I = 99.2793゚,∠D = ∠H = 80.7207゚
S_4 = 0.54027xx
合計で
 S = 4.6779xx
 V = 0.75219x^3
>>464>>471 の設定は x=2 です。
計算はチラシの裏でもできますが…

535:イナ
18/05/29 19:01:38.40 2oLTtdTc.net
―/ ̄ ̄ ̄/\
_/____/ |
∥ ̄ ̄ ̄∥ |
∥   ∥/~~~~
~\  /~~~~~
―-\/~~~
>>505訂正。72°⇒108°

536:イナ
18/05/29 22:07:16.16 2oLTtdTc.net
>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n__n n___
。 ∥>// ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄//
_∩∩//______//|
( (`)(-^-)( -~-)zz..
(っц)_U_Uzz.````_/|_/
_|υυ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_

537:イナ
18/05/30 02:31:18.23 HVx7wYPO.net
一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2・x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0

538:132人目の素数さん
18/05/30 05:32:35.18 ddqYu1Wl.net
>>505
一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き: arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
 φ = (1+√5)/2 = 1.61803399  (黄金比)
 sin(18゚) = (φ-1)/2,   cos(18゚) = (1/2)√(2+φ),
 sin(36゚) = (1/2)√(3-φ), cos(36゚) = φ/2,
S = 4(S_5 + S_4)
 = {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
 = 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
 = 10.0584124 xx,
V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
 = 2.297540285 x^3,
V / S^(3/2) = 0.072022630
う~む
>>506 を見ると、内角は108゚に近いが、辺長は不均衡(AB と DE が短く、AE が長い)
 辺長を変えれば改善するか?

539:132人目の素数さん
18/05/30 06:12:08.84 ddqYu1Wl.net
>>510
BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH,BJ の距離 (1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差 x/√(2φ),
5角面の傾き: arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
>>510 のままで
AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z, ( =y )
BDHJ と AEGK の高低差 (x-φz)√(φ/2),
とすると…
>>505
 台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)・√(3x-y) ...

540:132人目の素数さん
18/05/30 07:12:00.25 6H7MnT2U.net
コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)8枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す
面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷3の総和、ってことで機械的に求められるのではないか

541:132人目の素数さん
18/05/30 07:46:45.48 FdL02lRD.net
実は関数方程式も大好物でござる
A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).
URLリンク(www.komal.hu)

542:132人目の素数さん
18/05/30 09:56:31.72 ddqYu1Wl.net
>>511
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
 = √(2+φ)・{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)・(φx+2z)x,
V(x,z) = (1/6)√(φ/2)・{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)・{(φφ/3)x + z}xx,
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
 BC = CD = x,
 AB = DE = 0.5939827x,
 AE = 1.2509325x,
 CI = 0.8689665x,
 S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
 V = 2.104005x^3,
 V / S^(3/2) = 0.07412278177
>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…

543:132人目の素数さん
18/05/30 10:09:10.39 ddqYu1Wl.net
>>514 訂正スマソ
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
 = √(2+φ)・{(φ+2)xx -2φxz -φzz} + √(3φ-1)・(φx+2z)x,

なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208, AE = 1.28405 となる。。。

544:イナ
18/05/30 17:10:49.78 HVx7wYPO.net
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}・xsin18°・(1/2)
={(3+√5)/4}x^2・(√5-1)/4・(1/2)
(√5+1)/16・(x^2)
S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1
V(x)=
V'(x)=0
台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。

545:イナ
18/05/30 17:39:59.82 HVx7wYPO.net
>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ―……

546:イナ
18/05/30 21:55:18.04 HVx7wYPO.net
>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)

547:132人目の素数さん
18/05/31 03:44:32.13 eo/xqWlC.net
そろそろ次の問題出していい?

548:132人目の素数さん
18/05/31 11:12:45.39 1i3xzGBS.net
三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積
{x + (3-√5)x/2}・x cos(18゚)・(1/2)
= {(5-√5)/2}xx・√(10+2√5)/4・(1/2)
= √(50-10√5)/8・xx
= 0.6571639 xx,

549:イナ
18/05/31 12:03:08.39 oQbVMAkg.net
>>520台形の一辺が違ってましたか?
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか―。
>>518

550:132人目の素数さん
18/05/31 12:22:47.56 LSNoQXxv.net
拘束条件がなさすぎて数学の問題としてやるには難しすぎるし、そういうアプローチをしてる人もいないし無意味

551:イナ
18/05/31 14:11:34.74 oQbVMAkg.net
一辺xの正五角形4つと、
三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1で、
>>521
八面体の体積出して微分して=0にして、体積0.074が出ればそれでじゅうぶんです。
もっと大きな八面体があるいは存在するかもしれませんが、一辺xの正五角形4つと、三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1のやつは一意に決まると思うもんで、それがまずは知りたい。
この問題、競りのようでおもしろい。自分が最高値を出すのを楽しみにしてる。

552:132人目の素数さん
18/05/31 14:36:51.92 89o9fjti.net
>>519
どうぞどうぞ。
KYで声のでかい奴の専用スレじゃないので。

553:132人目の素数さん
18/05/31 15:04:47.94 fih1epUm.net
>>519
少し遡れば解かれずに放っとかれてる問題ある程度あるし気にせず出しちゃえ

554:132人目の素数さん
18/06/01 22:29:12.26 ISxYUmxo.net
左右の次数が一致しない漸化式(例えばa_(n+1)=(a_n)^2+1)は一般には解けないが、初項を置き換えるとうまくいくことがある。
(1)
-1≦a_1=A≦1
a_(n+1)=2(a_n)^2-1
の一般項を求めよ。
(2)
b_1=B∈R
b_(n+1)=(b_n)^2-2
の一般項を求めよ。

555:132人目の素数さん
18/06/01 23:21:09.08 977NFEF3.net
倍角?

556:132人目の素数さん
18/06/02 01:38:49.70 L/4yyydP.net
>>526
(1) a_n=cosθ[n] と置くと cosθ[n+1]=cos(2θ[n])
この解は θ[n]=θ[1]*2^(n-1),
a_n=cos(2^(n-1) arccos A)
Wlfram Alphaの解答 URLリンク(www.wolframalpha.com)


557:5D%3D%3D2*a%5Bn%5D%5E2-1,a%5Bn%5D,n%5D (2) (1)と同様に b_n=e^(z[n])+e^(-z[n]) と置くと b_n=α^(2^(n-1))+β^(-2^(n-1)), (α,β=(B±√(B^2-4))/2) Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bb%5Bn%2B1%5D%3D%3Db%5Bn%5D%5E2-2,b%5Bn%5D,n%5D 類題:√Xの開平計算で使うNewton法 x_0=1, x_(n+1)=((x_n)^2 +X)/(2x_n) の一般項はx_n=coth(y_n)と置くと x_n=(√X){(1+√X)^(2^n) + (1-√X)^(2^n)}/{(1+√X)^(2^n) - (1-√X)^(2^n)} Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bx%5Bn%2B1%5D%3D%3D(x%5Bn%5D%5E2-X)%2F(2x%5Bn%5D),x%5Bn%5D,n%5D



558:132人目の素数さん
18/06/02 02:27:05.94 G2b8XSzz.net
(2) は 両辺2で割って a_n = (1/2)b_n とおいて(1)使えばよいのでわ?

559:イナ
18/06/02 05:51:13.38 zaslUUou.net
正五角形4つの各辺と台形4つの三辺をxとし、台形どうしの接する屋根の棟および逆屋根の下端に位置する辺をy(x>y)とすると、
>>523(図は省略)
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
y={1-√(20-38/√5)}x
棟の長さがxで表せた。
あとは体積。
V(x)=
V'(x)=0
上棟するには微分するしかない。

560:イナ
18/06/02 08:38:40.89 zaslUUou.net
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
>>530おかしい。
y=x-√{x^2-(38/√5-19)x^2}
=x-x√(20-38/√5)
={√(20-38/√5)-1}x
=0.7337482……・x
台形の接合線yは、xの7割ぐらいだとは思うんだが。
V(x)をどうやって出すか。V(x)=y/10ぐらいだと理想的。

561:132人目の素数さん
18/06/02 08:46:00.26 qc99k5Fr.net
>>528
√a の開平計算で使うNewton法は
x_{n+1} = x_n - 2x_n {(x_n)^2 -a}/{3(x_n)^2 +a}
  = x_n {(x_n)^2 +3a}/{3(x_n)^2 +a}
でござる。これの一般項も出せぬか??

562:132人目の素数さん
18/06/02 11:37:24.31 L/4yyydP.net
>>352
cothの3倍角の公式:coth3x=(coth x)(coth^2x + 3)/(3coth^2x+1)から
x_n=(√a)coth z_n と置くと coth z_{n+1} = coth 3z_n
∴ z_n=3^n z_0,
x_n=(√a)coth(3^n arccoth(x_0/√a))

563:132人目の素数さん
18/06/02 11:51:16.40 L/4yyydP.net
>>532 の間違い。
一般にp次収束するNewton法は、(収束先)*[1+(p^nの指数関数)]という形になり、
一般項が簡単な式であらわされる場合があります。

564:132人目の素数さん
18/06/02 16:54:14.55 ItLI/UY3.net
某botで唯一☆12(Legend)を付けられている問題
a,b,c,dが正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-d)/(b+c+d)
+(c-d)(c-a)/(c+d+a)
+(d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧0
を示せ。
模範解答は3つあるが、いずれもエレガントな解き方ではない

565:132人目の素数さん
18/06/02 16:56:52.26 ItLI/UY3.net
ちなみに縮小(拡張の反対)したバージョン2通り
(1)
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-a)/(a+b+c)
+(c-a)(c-b)/(a+b+c)
=(a^2-ac+b^2-ba+c^2-cb)/(a+b+c)
=(1/2)(2a^2-2ac+2b^2-2ba+2c^2-2cb)/(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/(a+b+c)
≧0
等号成立はa=b=c
(2)
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
≧0?
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
=((a-b)(b+c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b-c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c-d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c+d)(d-a))/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(abca+abdd+accd-acda+bbcd-bbda-bcca-bcdd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(a-c)(b-d)(ac-bd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
a≦c≦b≦dのとき負であるから偽

566:132人目の素数さん
18/06/02 16:58:09.50 ItLI/UY3.net
>>536
訂正
最後の行は「a<c<b<dのとき負であるから偽」

567:526
18/06/03 22:40:41.09 8Esgc1bN.net
>>528 (1),(2)正解
(2)は(c+1/c)^2=(c^2)+1/(c^2)+2が思い出せるかが鍵であった。
(1)も初項を(1/2)(c+1/c)(


568:これはc=e^xとすればcosh(x)の定義)とおけば解ける。 >>529 b_1∈[-2,2]の場合は確かに2cosθとおくと解ける 初項を三角関数でおくと解けるような漸化式のパターンは整理してまとめる必要があるかもしれない



569:132人目の素数さん
18/06/04 09:18:52.07 tzM+Pvvj.net
>>533 >>534
 かたじけのうござる。
>>535 [100]
  IMO-2008 Short List A.7
 a-c=x,b-d=y の2次式と考えて、半正定値となることを示す。
 確かに面倒くせぇ…

570:イナ
18/06/04 14:37:57.78 8ezyuuAm.net
>>420
ほととぎすの鳴き声を聴きながら、黄金二等辺四面体の中にある、正五角形4つと三等辺台形4つからなる八面体を切りだすことを考えています。前>>531

571:イナ
18/06/04 14:54:40.80 8ezyuuAm.net
>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

572:イナ
18/06/04 14:55:01.70 8ezyuuAm.net
>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。

573:132人目の素数さん
18/06/04 15:38:18.38 tzM+Pvvj.net
>>536
(1) は (a+b+c) を掛けた方が分かりやすい…
(2) の類題
[166] a~d>0 のとき
  (a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) ≧ 0,
  クロアチア MEMOTST-2009 day1-Q.1

574:イナ
18/06/05 05:22:33.74 +cO1MVWm.net
>>420近似値を求めよとは言ってない。
>>438にあるように、
V=√(√3)/18
のような確定的な値を示すべきだ。
>>542
一辺xの正五角形4つと三等辺台形[三辺がxで、あと一辺は{(√5-1)/2}x]4つからなる八面体の体積を0.074という近似値ではなく、
V=√(√3)/18
のような確定的な値で示せないか。これが示せて初めて正解だろ。
もっともxやx^2の値は、表面積1の条件から近似値が求まる。が、求める値はxやx^2の値ではないし、そもそも近似値は近い似た値であって正解じゃない。

575:132人目の素数さん
18/06/05 05:53:05.51 E6Px16gW.net
続けたまえ

576:132人目の素数さん
18/06/05 06:32:38.78 RI7aB28L.net
>>539
 礼には及ばぬ。お気に召さるな。

577:132人目の素数さん
18/06/05 10:22:27.38 Ysbk5G+R.net
>>544
方程式が代数的に解けない可能性があることを忘れずに。
先の>>464を偏微分で解こうとして式をたててみたところ、rについて5次の項が出てきたので、その可能性はあると考えている。
なので、まず解析的に解くという方針は正しいかもしれない。

578:132人目の素数さん
18/06/06 07:05:16.27 xxwxn7ab.net
>>543 (2)
(a-b)/(b+c) = (a+c)/(b+c) -1
(c-d)/(d+a) = (a+c)/(d+a) -1
辺々たすと
(a-b)/(b+c) + (c-d)/(d+a) = (a+c){1/(b+c) + 1/(d+a)} -2
 ≧ 4(a+c)/(a+b+c+d) -2,   (← AM-HM)
同様に
(b-c)/(c+d) + (d-a)/(a+b) ≧ 4(b+d)/(a+b+c+d) -2,
辺々たす。

579:イナ
18/06/06 16:11:11.85 NQEcakbH.net
>>420八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
>>544正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x・(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体(八面体の外にある)の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。

580:イナ
18/06/06 16:15:29.57 NQEcakbH.net
>>549修正。
八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)x/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x・(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体(八面体の外にある)の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。

581:132人目の素数さん
18/06/06 18:03:07.23 n39uR33J.net
ちょっと方向性を変えて、現時点で8面体の場合は難しいとして、何面体までなら現時点で求まるんだろう?5面体ぐらいまでならなんとか厳密解は求まる希ガス。6面体位が解決出来るか否かの瀬戸際?

582:132人目の素数さん
18/06/06 19:45:37.39 LsL7ewWi.net
>>551
五面体って四角錘と三角柱(と位相同形なもの)の他にあったっけ?

583:132人目の素数さん
18/06/06 21:40:07.01 n39uR33J.net
>>552
多分それで全部。でも4面体でもかなりムズイ

584:イナ
18/06/06 22:13:34.88 NQEcakbH.net
>>552ある。
2x、(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体。
x、2x、x、(3+√5)x/2の台形で前後、
x、x、(√5-1)x/2の二等辺三角形で左右を挟む。
>>550名づけて、ニベアの底。
{(x^3)/4}√(25+10√5)

585:132人目の素数さん
18/06/06 22:48:25.85 EP2keEH6.net
>>554
それ結局三角柱と同形だろ

586:132人目の素数さん
18/06/06 22:49:45.62 LsL7ewWi.net
>>554
それは三角柱と位相同形

587:イナ
18/06/06 23:20:48.78 NQEcakbH.net
>>554
>>555>>556違う。三角柱じゃない。左右の二等辺三角形の面が底辺の長方形に対して外に開いてる。五面体だ。
2xより(3+√5)x/2のほうが少し大きい。ラミネートチューブのニベアだぞ。八面体を四面体の中に封じこめた。水平に斬った。断面は正方形だ。
一辺(3+√5)/4
斬った2体を横に並べて同じかたちに等積変形していく。直方体にすれば絶対求まる。二方向は足し算や平均で出る。一方向だけは三平方の定理が必要。ニベアの底でもやったし、二種類の台形と二等辺三角形2つと長方形で囲まれた五面体でもすでにやった。
全体が正しく求まればあとは引き算で出る。八面体をxの三次式で出すぞ。微分して二次だして=0で字数を下げる。シンプルな式になればいいんだけど。

588:132人目の素数さん
18/06/07 00:02:00.50 n/uc+6Kl.net
>>557
もしかして:位相同形の意味知らない?

589:132人目の素数さん
18/06/07 01:12:11.48 i4FD80T1.net
なんか綺麗な形とかにならわのかね

590:132人目の素数さん
18/06/07 01:22:47.10 Y05WzRQF.net
4面体は正四面体だろうけど、5面体はどうだろう?
歪めた3角柱だろうなとは思う。正三角柱くさいが。
4面体で最大も結構示しにくい。

591:イナ
18/06/07 04:17:01.76 fHjWRa4l.net
>>557
>>560正五角形と三等辺台形でできる八面体がすっぽり入る黄金比二等辺三角形四面体の体積を求めました。
最大値をxで表して微分して=0で次数下げてx^2からx出して最大値求めて電卓使って近似したら11.686935
0.074よりはるかに大きくなりました。

592:132人目の素数さん
18/06/07 10:08:48.01 n/uc+6Kl.net
表面積1の球の体積が約0.094
これより大きくはなりようがないと思うが如何か

593:132人目の素数さん
18/06/07 10:43:47.55 BLDmLkdD.net
計算間違いと逆数にしたのと。

594:132人目の素数さん
18/06/07 11:23:31.73 55KNO4WC.net
>>551
n=4,5,6,7,12以外は未解決らしい
「離散幾何学における未解決問題集」シュプリンガー・ジャパン(2009) p.394

595:イナ
18/06/07 14:45:01.84 fHjWRa4l.net
>>561
四角形どうしがとなりあう辺がやや短い{(√5-1)/2}xと気づいたが、もしかすると五角形どうしがとなりあう辺と、五角形と四角形がとなりあう辺とでは、その条件の違い�


596:ゥら長さを変えてくるんじゃないか、自然界は。 あと、計算間違いの可能性はある。 √(√3)/18を超えたい。 中に水溜めてメスシリンダーに移しかえて実測値を量りたいわけじゃない。背面跳びでもベリーロールでもいい、ただ超えたいだけ。



597:132人目の素数さん
18/06/07 14:47:26.69 1rV5JhAO.net
初めてなのでルール違反があれば教えてください
g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)はa_1,a_2,…,a_nの最大公約数である
a_1,a_2,…,a_nが互いに素であるとは、g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)=1である事を意味する
a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素であるとは、a_1,a_2,…,a_nの中からどの様にk個取ってきても互いに素である事を意味する
σ_k(a_1,a_2,…,a_n)はk次の基本対称式とする
ただし、σ_0(a_1,a_2,…,a_n)=1
この時
「a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素である」…①

「σ_(n-k+1),σ_(n-k+2),…,σ_nが互いに素である」…②
が同値である事を示せ

598:132人目の素数さん
18/06/07 15:21:37.68 3xfkAX0Q.net
>>566

f(x)=(x-a1)…(x-an)とおく。
①⇄∀p f(x)のxの多重度がmod pでk未満
⇄∀p f(x)のk以下の次数の係数のいずれかが0でない
⇄②

599:132人目の素数さん
18/06/07 17:07:02.73 1rV5JhAO.net
>>567
想定していなかった解答ですが、自分が考えた物より遥かにエレガントです
もう自分の解答なんか出せない…
ので代わりに、用意していたもう片方の問題をば
Λを原点を除く2次元列ベクトル空間の格子点の集合とする
列ベクトル(a,b)∈Λに対し、aとbが互いに素である事を(a,b)~1と表記する事にする
全てのv∈Λに対してAv∈Λなる行列Aを格子行列と呼ぶ
この時、格子行列Aが「任意のv∈Λに対して、v~1ならばAv~1である」を満たす時、Aの行列式を求めよ
これもすぐ解かれたらもう少し勉強します

600:132人目の素数さん
18/06/07 22:42:17.40 HuW8Hkll.net
>>420
未解決問題じゃねえか
糞が
タヒね
お前の頭劣等感婆か?

601:イナ
18/06/07 23:18:10.31 fHjWRa4l.net
>>569未解決なの?
0.074超えの数値が出ただけか。
>>565
>>438てことは一辺x高さyの六角柱を微分して出した√(√3)/18か、三つのパラメーターで空間座標設定した人のが今のとこ人力で導かれる最大値か。

五角形は正五角形なのかとなりあわない二辺が少し短いのか、四角形は三等辺台形なのかただの等脚台形なのか、まだなぞがいっぱいです。

602:132人目の素数さん
18/06/07 23:51:56.94 zA2lx+rZ.net
>>564
>n=4,5,6,7,12
の場合の答えはなにか載ってました?
n=4,6,12のときは流石に正多面体の時っぽいけど。

603:132人目の素数さん
18/06/07 23:54:19.77 zA2lx+rZ.net
>>564
たっか~。
URLリンク(www.amazon.co.jp)

604:132人目の素数さん
18/06/08 00:24:31.13 r5bxmv7X.net
>>564 >>571
n=4,6,12 のときは正n面体らしい。
 (∵ 各頂点に3本の稜が集まり、球面に外接する。)
>>443 のリンク
URLリンク(www.geocities.jp)

605:132人目の素数さん
18/06/08 00:53:07.64 DFewMgI5.net
>>568
泥臭いけど。
整係数の行列A,Bについて
B=[[1,k],[0,1]]A, A[[1,k],[0,1]], [[1,0],[k,1]]A, A[[1,0],[k,1]]→A≡B
をみたす最小の同値関係を≡とする。
一般にPID上の行列はこの変形で対角化される。(証明はry)
行列は行ベクトルに右から作用させるものとする。
(旧課程の高校の教科書の逆だけど気にしない。)
(※):任意のv∈Λに対して、v~1ならばAv~1である
と定める。
以下整係数行列Aに対しBをA≡BでBは対角行列となるものとする。
このとき
ユークリッドの互除法の議論より
Aが(※を満たす)⇔Bが(※を満たす)。
また
detA = detBより
detA=±1⇔detB=±1
一方でB=[[p,0],[0,q]]とするとき
Bが(※を満たす)⇔p,q=±1
detB = ±1⇔ p,q=±1

606:132人目の素数さん
18/06/08 00:56:07.50 9tvzJv7X.net
>>573
thx!
n=20も流石に正多面体っぽいね、n=8のときが唯一の例外臭いね。

607:132人目の素数さん
18/06/08 01:05:42.81 OwX5577s.net
URLリンク(www.geocities.jp)

>多面体の等周問題は,単位球に外接する多面体では,
> V=S/3
>となることから,
> S^3/V^2=9S=27V
>したがって,与えられた面数nをもつ多面体に関する等周問題は,最小の体積または
>最小の表面積をもち,球に外接するn面体を定めるという問題に帰着されます
がわからない??これなんでかだれかわかります??
もしV^2/S^3で球に外接しないものがあるとすると何故矛盾するんでしょう?

608:イナ
18/06/08 03:10:33.54 n7O1sKDD.net
>>573
ゴールドバーグさんは示されたんですね。前>>570その歴史の存在はわかりました。
でも我々は、式とそこから導かれた答えでないと認めないルールでやってきてます。それにできればそのビジュアル八面体とやらを図示していただきたい。
手書きでもいいですが、できれば実物の模型がいいですね。辺の長さとかバランスとかどうなってんですかね。
四角形と五角形がどんな四角形とどんな五角形か、納得いくようにその立体のかたちを説明してください。実在するんですか。

609:132人目の素数さん
18/06/08 07:08:45.48 xXWPeHIT.net
やっと見つけた。
Theorem(L. Lindelöf)
面積^3/体積^2の最小値を与える多面体は球に外接する
証明載ってそうな本
URLリンク(link.springer.com)
37.75ユーロ…orz

610:132人目の素数さん
18/06/08 08:08:27.84 ITi87fOm.net
>>578
しかもフランス語…
例のGoldbergの論文の最初のあたりをちゃんと読むと、
同じ面の数の多面体でS^3/V^2を最小にするのは
すべての面が1つの球に各面の重心で接するときだ、ということを
Lindelofが示した、とたしかに書いてますね。
直感的に考えると、そういう状態でないと極小値にならない
(少し動かしたらもっと小さくできる)
というような話なのかとは思います。
そうすると、>>486のメディアル8面体で、そのような状態になるような
パラメータa,b,rを求める、というのはできそうですかね。
それが>>471>>489あたりの数値計算の結果と一致するか
もしくは、Goldbergの論文の180.23という値と一致するか、も
知りたいところです。

611:132人目の素数さん
18/06/08 11:08:18.22 uyKvXzxT.net
次の定理を下に示す4つの場合について証明せよ。
多面体の面の


612:全てに、その面積を大きさにもちそれぞれの面から垂直に多面体を飛び出す向きにベクトルをとると、そのベクトルの和は零となる。 (1)四面体 (2)角錐 (3)凸多面体 (4)多面体



613:132人目の素数さん
18/06/08 11:23:46.15 E/oBAxNr.net
すべての多面体は、有限個の四面体に分割できる
と仮定していいの?

614:132人目の素数さん
18/06/08 12:07:26.06 r5bxmv7X.net
・正8面体 … 明らかに球面に外接する。
・正6角柱
  一辺xの正六角形を底面とする高さyの正六角柱
  y = (√3)x のとき最大で、球面に外接する。>>425 >>430
・メディアル8面体
 >>464 の座標を使うと、
5角面ABCDE は x +(a/b)z = 1,
原点~5角面の距離は d_5 = b/√(aa+bb),
台形面CDHI は z = br + my,m = b(r-1)/(1+a),
原点~台形の距離は d_4 = br/√(1+mm),
>>489 の結果の数値から
 d_5 = 0.96477885
 m  = 0.74846993
 d_4 = 0.96477948
∴ 球面に外接する。(誤差の範囲内で)

615:132人目の素数さん
18/06/08 12:47:23.35 r5bxmv7X.net
>>580
i番目の面に対するベクトルをS_iとおく。
任意の向きの単位ベクトルeをとる。
この多面体をeに垂直な面に射影する。
向こう向きの面(S_j) の影の面積は e・S_i
手前向きの面(S_j) の影の面積は e・(-S_j) である。
・は内積。
それぞれ合計したものは多面体の輪郭と一致するから
 e・(ΣS_i) = e・(-ΣS_j),
 e・ΣS = e・(ΣS_i + ΣS_j) = 0,
eの向きは任意だったから
 ΣS = O.

616:132人目の素数さん
18/06/08 12:57:46.26 E/oBAxNr.net
七面体の解はどんなだろう?
正五角柱か、あるいは立方体の角を落としたものか

617:132人目の素数さん
18/06/08 13:30:54.48 r5bxmv7X.net
>>582 追加
・切頂立方体
立方体の一辺をx、切り取る二つの直角三角錐の3稜をyとする。
 y = {(3-√3)/2}x のとき最大で、   >>483 >>485 >>488
 原点と(x/2-y/3,x/2-y/3,x/2-y/3) の距離は (x/2 -y/3)√3 = x/2,
∴ 球面に外接する。

618:132人目の素数さん
18/06/08 14:53:42.28 ITi87fOm.net
>>582
Goldbergの論文によると、球に外接する正五角柱です。
どんな場合もメディアル多面体の中に正解があると予想しているのだから、
少なくとも今まで正解が判明しているものはすべて答えはメディアル多面体。
7面体の場合は、四角形5つと五角形2つの五角柱と同じ面/辺/頂点の構成と
なってるのがメディアル多面体で、その中で、辺と頂点からなるグラフの持つ
対称性がそのまま図形としての対称性となってる正五角柱が正解なのは
自然な結論。

619:132人目の素数さん
18/06/08 15:41:39.47 9F3pIZPF.net
>>578の定理めっちゃ面白いのにネットに証明転がっってないのは残念。
自分で示せそうにないし。
なんかMinkowskiの不等式なるものを使うっぽいけどそれ自体も見つからんし。

620:イナ
18/06/08 19:01:20.32 n7O1sKDD.net
メディアル八面体がわかるなら式を書いてよ。辺をxとかyとか未知数で表した式を。未知数は二つぐらいのほうがいいと思う。メディアル八面体より小さくてもいいよ。
>>577ホームベース型五角形4つと長方形4つで
√(√3)/18になったのを進化させた次のやつがあるんじゃないの。屋根120°って勝手にきめてこの値が出たんだ。体積が大きくなりそうなかたちを勝手に決めようよ。未知数2つで三次式なら微分して表面積=1で一文字消えて解けるよ。だからなるべく簡単な構造がいい。

621:132人目の素数さん
18/06/08 19:12:17.79 Mfly9++H.net
>>571
最大を達成する形については特に載って�


622:ネかったな やっぱりGoldberg氏の論文が紹介されてる それとGoldbergの面白い予想(当然未解決) 「当たられた面数、表面積と最大体積をもつ全ての3次元多面体は単純である (多面体が単純⇔各頂点がちょうど3本の辺に属しているもの)」 ってのが載ってた



623:132人目の素数さん
18/06/08 19:47:16.52 Mfly9++H.net
>>588
何変数あろうとラグランジュの未定常数法みたいなの使えばいいだけでしょ

624:132人目の素数さん
18/06/08 19:52:05.48 E/oBAxNr.net
メディアル8面体の式なら既出じゃんか

625:イナ
18/06/08 20:23:46.96 n7O1sKDD.net
>>591
xの三次式とかそういうかたちでお願いします。
S=1なんで式の中にSがあれば計算して消えます。
>>588

626:132人目の素数さん
18/06/08 20:32:23.17 E/oBAxNr.net
>>464に頂点の座標、>>471に面積と体積の式がある

627:イナ
18/06/08 20:33:37.98 n7O1sKDD.net
>>592
超えられない斜めの壁がある。計算しやすい簡単な数字を探す。
六角柱=長方形屋根120°壁ホームベース型上下点対称八面体=√(√3)/18
<√(√π)/18
<0.0074
<メディアル八面体

628:132人目の素数さん
18/06/08 21:22:34.50 ITi87fOm.net
>>587
ミンコフスキーの不等式なら、Wikipediaにも載ってるし、
解説もあちこち落ちてる気がする。

629:132人目の素数さん
18/06/08 21:26:44.53 ITi87fOm.net
(あげてしまったorz)
なんか自由度3の状況をパラメトリックに表現したものに対して
変数を2個に減らせと言ってるのを目撃した気がするが、きっと気のせい。

630:132人目の素数さん
18/06/08 21:59:37.50 pJljV8zI.net
式本体は見かけるんだけど証明が見つかんない。
とても自力では解ける気かしない。
しかもそれをどう使えば>>578が出るのかもさ~っぱり。

631:イナ
18/06/08 22:16:18.57 n7O1sKDD.net
>>594
いつか体積、
√(√3)/18=1/6√(3√3)
を超える八面体の鳥瞰図を描きたい。
0.074は超えられなくてもいい。ちゃんと辺の長さをつきとめたい。
五角形の長い辺は、四角形の短い辺の二倍ぐらいなのかなぁ。

632:132人目の素数さん
18/06/08 23:50:26.48 r5bxmv7X.net
・一辺がxの正5角形を切り詰めたもの (内角は108゚のまま) >>510 >>511
中心Oを通る水平断面で考えると、OからABDEの中央までの距離は
 (EG + DH)/4 = {φx + (x+z)}/4 = {(φ+1)x + z}/4,
5角面の傾きθ = arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099゚
∴ cosθ = 0.9457416
∴ d_5 = {(φ+1)x+z}/4・cosθ = 0.6189959x + 0.2364354z,
C と B,D の高低差は x/√(2φ) = 0.5558930x,
BD = φx,
∴ CI と DH の距離は √{(φ/2)^2 + 1/(2φ)}・x = (1/2)√(3φ-1)・x = 0.9815933x,
Cと中心Oの高低差は x/√(2φ) + √(φ/8) (x-φz),
これに φ/√(3φ-1) = 0.8241875 を掛けて
d_4 = {x/√(2φ) + √(φ/8)(x-φz)}・φ/√(3φ-1) = 0.8288193x - 0.5997393z,
z=0 のときは
 d_5 = 0.6189959x
 d_4 = 0.8288193x
となり、球面に外接しない。 >>510
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
 d_4 = d_5 = 0.67832525x
∴ 球面に外接する。   >>511

633:132人目の素数さん
18/06/09 00:02:37.79 yMt1Scsm.net
>>599
そのとき各面の重心は接点になってますか?

634:132人目の素数さん
18/06/09 00:35:33.78 Jtq6JHO


635:s.net



636:132人目の素数さん
18/06/09 00:49:37.84 Mhqr64dw.net
n=8のときの図っぽいのが載ってる。文章よんでないから知らんけど。
接点を結んだ双対多面体と一緒になってる図がある。
URLリンク(schoengeometry.com)

637:132人目の素数さん
18/06/09 01:29:58.35 bO8NYEjH.net
>>602 のサイトの下のほうにP_8(と彼は呼んでいるn=8の場合の表面積極小メディアル8面体)の面のjpeg画像がある。
4種類出てくるらしい。
数式だせよな……
URLリンク(schoengeometry.com)(1).jpg
URLリンク(schoengeometry.com)(2).jpg
URLリンク(schoengeometry.com)(3).jpg
URLリンク(schoengeometry.com)(4).jpg

638:132人目の素数さん
18/06/09 09:56:15.29 U/DEwkMV.net
>>603
いや、4種類あるわけじゃなさそうだけど。
図形は2種類で、その4つのテンプレートのミソは、頂点に番号が振ってあるとこで
同じ番号の頂点同士が一致するように組み立てれば8面体の半分ができるから
それを2つ組み合わせて立体をイメージしてね、ってことでしょ?
面の形は2種類。

639:132人目の素数さん
18/06/09 10:43:16.31 hShDyG0j.net
>>604
そうなんすか?8面なのに画像が4枚しかないから合同なのは除いてると思った。一度誰か厳密な頂点の座標出してくれません?

640:イナ
18/06/09 10:51:23.69 ASELe/sj.net
もういいよ、頂点は。
それより辺の長さとバランスだよ。前>>598
意外と台形太いね。
気づいていたさ、ずっと眺めてんだから。寝ても覚めても。
五角形の屋根と底は違うのかもね。文字数多すぎるだよ。

641:イナ
18/06/09 12:25:33.04 ASELe/sj.net
目標0.074488
二種類の平面図のおかげで鳥瞰図が描けた。
棟木と垂木は9x
若干垂木が長く見えるが、誤差と見た。
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の重心だか中心に対して点対称の立体を地下に作る。
>>598できそうだ。

642:イナ
18/06/09 12:32:27.47 ASELe/sj.net
棟木と垂木は9x
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の中心に対して点対称の立体を地下に水平90°回転で作る。
>>607前々>>606

643:132人目の素数さん
18/06/09 14:18:02.73 1x4Xd21b.net
立体視にするとこんな感じかな
URLリンク(imgur.com)
A( 0.255096, 0.207265, 0.0876588)
B( 0.207265, 0.255096,-0.0876588)
C( 0.155171, 0.000000,-0.278602)
D( 0.207265,-0.255096,-0.0876588)
E( 0.255096,-0.207265, 0.0876588)
F( 0.000000,-0.155171, 0.278602)
G(-0.255096,-0.207265, 0.0876588)
H(-0.207265,-0.255096,-0.0876588)
I(-0.155171, 0.000000,-0.278602)
J(-0.207265, 0.255096,-0.0876588)
K(-0.255096, 0.207265, 0.0876588)
L( 0.000000, 0.155171, 0.278602)

644:132人目の素数さん
18/06/09 15:23:19.97 cFMku2n5.net
おーなんか綺麗な形だ

645:イナ
18/06/09 17:06:23.64 ASELe/sj.net
>>608
実測値から式を推定する。
なんどか言ったが、少数にするのは近似値を出すためじゃない。√や比を推測して体積を表す式を導きたいからだ。

646:イナ
18/06/09 18:32:27.65 ASELe/sj.net
今回は期待できる。前>>511台形の


647:高さが9xとか五角形の下半分の高さが5xとか、平方根が出ない。壁の傾きを考えると出ないわけないが、ゴールドバーグさんが言った簡単な構造になるだったか、あの言葉を信じたい。



648:132人目の素数さん
18/06/09 22:22:54.65 U/DEwkMV.net
なんか無理数の存在を認めなかったピタゴラス学派の時代からほとんど進歩してない奴がいるな

649:132人目の素数さん
18/06/10 04:20:07.33 73iwKoh1.net
とけた。たぶん。美しい……

650:132人目の素数さん
18/06/10 04:31:38.32 73iwKoh1.net
解けてなかったorz。おやすみなさい。

651:132人目の素数さん
18/06/10 05:26:41.33 73iwKoh1.net
いや、やっぱり解けたかな。
でもなんか面白い。
立て方がヘタクソなのか、最初立式した時は未知数4つが入り乱れててこんなん解けるかボケって思えたけど、いざ整理していくと不思議とまとまっていく。
やっぱり受験問題みたいにムリクリ作った問題とは一足違う。

652:132人目の素数さん
18/06/10 12:01:54.66 KetZUwRK.net
>>609
配置は >>464
a,b,r は >>489
表面積を1に揃えるため、 √S = √18.7116 = 4.32569 で割ったでござるか。

653:132人目の素数さん
18/06/10 15:29:05.27 Cphvbc4E.net
>>617
だいたいそんな感じです
データはWolframAlpha先生が教えてくれたものを使いました
URLリンク(imgur.com)
(変数 p,q,r は >>464 の a,b,r-1 に対応しています)

654:132人目の素数さん
18/06/10 15:32:58.71 KetZUwRK.net
>>510
 >>464
 a = 2φ-3 = 0.236068
 b = √(2√5 -4) = 0.6871215
 r = 2φ-1 = √5 = 2.236068
とした場合。
 x = 4(2-φ) = 1.527864
>>511
 >>464 で、(AE+BD)/2 = {(x+z)+φx}/2 = 2 として
 a = (BD-AE)/4 = {φx - (x+z)}/4,
 b = AB/2・√(φ/2) = (x-φz)/2・√(φ/2),
 r = 1 + x/(2φφa)
とした場合。
最大のときは
 a = 0.127956
 b = 0.3724407
 r = 3.0809832
とした場合。
 x = 1.3942303
 z = 0.3498577 = 0.2509325x
>511 は >464 に含まれるゆえ、>514 は >471 >489 には及ばぬでござる。

655:132人目の素数さん
18/06/10 15:54:42.86 KetZUwRK.net
>>618
 a = 0.103404
 b = 0.379223
 r = 3.17776
のとき
 0.074344868 ぐらい…

656:132人目の素数さん
18/06/10 17:44:15.34 Cphvbc4E.net
データは >>489 のほうがWolfram先生より良い(体積が大きい)みたいです。
あと、>>609 の座標は計算に誤りがあったので計算しなおしました。
A( 0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
B( 0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
C( 0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
D( 0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
E( 0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
F( 0.00000000,-0.15521551, 0.27858864)
G(-0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
H(-0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
I(-0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
J(-0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
K(-0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
L( 0.00000000, 0.15521551, 0.27858864)

657:イナ
18/06/10 18:15:14.87 VRYWqgPw.net
もっとずっと簡単な整数比をみつける。前>>612ゴールドバーグさんも言ってた。自然界は簡単な構造だというようなことを。
計算が楽になりそうな数字がみつかるまで、もう計算しない。
自然界はもっとずっと簡単な構造で、楽に計算できる数学を選んでくるはずだから。簡単な整数比じゃないと計算したくない。

658:132人目の素数さん
18/06/10 18:34:29.44 y9Cpd902.net
まだ無駄なことやってんのか

659:イナ
18/06/10 18:53:24.67 VRYWqgPw.net
>>622
整数比じゃなくてもいい。黄金比とか自然界にはなるべくしてなる比が存在している。
整数比だったり√3だったり√5だったり。
無駄なことが報われるときってのは、無駄を回避したことが無駄じゃなかったとわかったときだ。

660:132人目の素数さん
18/06/10 19:48:25.30 Cphvbc4E.net
回してみた。
URLリンク(imgur.com)

661:イナ
18/06/10 23:51:51.67 VRYWqgPw.net
>>626すげー!! まわってる、まわってる!!
>>625すごいね。写メ保存したら動画のまま保存できてびっくりした。棟木をズームして実測、3.6xにしたら、V(x)=86.192(x^3)、x^2=1/131.68あんまり大きくならなかった。計算間違いかな。見た目は球体に近づいてるのに。
 ̄]/\_______
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662:132人目の素数さん
18/06/11 00:09:48.47 tIqikLWN.net
いずれにしてもキレイなケースになりそうですよね

663:132人目の素数さん
18/06/11 03:01:19.91 zkIOdW8D.net
これだけ長い議論になると八面体の別スレを設けたほうがいいレベルだな

664:132人目の素数さん
18/06/11 09:13:19.80 E/XZVJ+8.net
八面体だけだと狭すぎる
多面体一般にしたら需要あるかも

665:132人目の素数さん
18/06/11 09:26:08.70 1c3kALJq.net
>>628
そうだな、いいかげんうんざりしてる

666:132人目の素数さん
18/06/11 10:23:50.28 TnGShdQw.net
>>466 >>472
菱形6面体(菱面体)のとき
 辺の長さL = √{(2aa+cc)/3},
 体積 V(0) = aac,
 表面積 S(0) = 6LL・sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
 中心Oから各面までの距離 d = (√3)/2・ac/√(aa+2cc),
>>467
頂点から k・L まで(Lは辺長、0≦k≦3/2) の部分を切り落とす。
 体積 V(k) = V(0){1 - (1/3)k^3}    (0≦k≦1)
      = V(0)(9/4){1 - (1-2k/3)^2}(1-2k/3) (1≦k≦3/2)
 表面積 S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2, (0≦k≦1)
 k = 3/2 -(√3)d/c のとき、平面z=±d で切るので球面に外接する。
 (1) c=a (立方体、β=90゚)のとき、k=(3-√3)/2,d=c/2 で外接。 >>488
 (2) c=2a(β=60゚) のとき、k=1,d=c/√12 で外接。(正8面体)
 (3) c>2a のときは k>1 となり、やや面倒でござる。

667:132人目の素数さん
18/06/11 11:36:32.77 f053/Yvw.net
>>629
何で3次元に限るのって話

668:132人目の素数さん
18/06/11 16:31:57.45 alvL18N0.net
皆さんにお詫びと訂正を。昨日解けたといってた>>616ですがやっぱり解けてませんでしたorz。
参考までに私の失敗した方法です。
>>621さんと同じ配置で内接球の半径を1に規格化した点をA~Lとします。
A(a,c,b)、L(0,d,e)とします。
OからALFEにおろした垂線の足をX(cosα,0,sinα)、Y(cosβ,0,sinβ) (0<β<α<π/2)とおきます。
xz平面への射影の図をみれば
a=cos((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
b=sin((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
e=1/sinα、
c cosβ+ b sinβ=1、
d cosβ+ e sinβ=1
がわかります。
ここからLindeloefの条件
・ALFEの重心=X、ABCDEの重心=Y ……(※)
から条件が2つでてα、βの満たす方程式をだしていこうとしました。
そこで恥ずかしながら
ALFEの重心=ALFEの座標の和/4
とかわけのわからんミスをして失敗しました。
原理的には(※)からtanα/2, tanβ/2の代数方程式がでて


669:、その終結式からtanα/2、tanβ/2の満たす方程式がでるはずですが五角形の重心の計算が面倒くさすぎて断念。 もちろん∂面積/∂α=∂面積/∂β=0を再利用して方程式2つ出す手もありますし、一般論ではでない本問特有の必要条件をみつけて利用する手もあるかとおもいます。 ご参考までに。



670:132人目の素数さん
18/06/11 16:36:46.10 oM4RlGEN.net
>>633
すいません。
誤:Y(cosβ,0,sinβ)
正:Y(cosβ,0,-sinβ)
です。

671:イナ
18/06/11 20:41:25.63 FNFK9r9K.net
>>626前々>>624
>>625まわってるこの立体が最大として計算した。
五角形の水平な対角線より上の屋根の部分の体積は、三角柱から三角錐をとりのぞくと出るはず。
五角形の水平な対角線で切り分けた真ん中の部分は、直方体から三角柱と三角錐をとりのぞくと出るはずだが、コーナーを引きすぎたのかも。
台形2つの面積は(上底+下底)・(高さ)で出るはず。
この台形、(上底)=(高さ)だろう。なぜこうなるかは化学で解明されるべきことだと思う。原子がこういう配列をとるとか。
五角形の面積は、対角線より上が直角三角形の二倍、対角線より下が等脚台形。
三平方の定理がうまく使えてないか、あるいは最初の辺の長さの読みとりが甘いか。

672:132人目の素数さん
18/06/12 00:46:46.53 YFJLrlqV.net
>>464 をチョト拡張…
A(1+a1,1-a2,-b),B(1-a2,1+a1,b),C(c-ar,0,br),D(1-a2,-1-a1,b),E(1+a1,-1+a2,-b),
F(0,-c+ar,-br),G(-1-a1,-1+a2,-b),H(-1+a2,-1-a1,b),I(-c+ar,0,br),
J(-1+a2,1+a1,b),K(-1-a1,1-a2,-b),L(0,c-ar,-br)
ここに、a = (a1+a2)/2,c = (2+a1-a2)/2 とおいた。
AE = DH = 2(1-a2),
BD = 2(1+a1),
CI = FL = 2(c-ar),
CI~DH,CI~JB の距離 d '= √{(1+a1)^2 +bb(r-1)^2}
線分BA,ED,HG,KJの中点が 1辺2cの正方形をなす。
5角形ABCDE
 x + (a/b)z = c,
 d_5 = bc/√(aa+bb),
台形CDHI
 z = br + {b(r-1)/(1+a1)}y,
 d_4 = (1+a1)br/d '
 S_4 = (1-a2+c-ar)d '

673:132人目の素数さん
18/06/12 02:41:39.82 BNGFcTmJ.net
>>636
着想はいいと思う
ただこれだとc+a=1+a1、c-a=1-a2となるから本質的には>>464と変わりがない気がするんだ…

674:132人目の素数さん
18/06/12 11:52:09.79 YFJLrlqV.net
>>636
5角形ABCDE
 傾きθ = arctan(a/b),
 d_5 = bc/√(aa+bb),
 S_5 = {4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb),
台形CDHI
 d ' = √{(1+a1)^2 + bb(r-1)^2},  CI~DHの距離
 d_4 = (1+a1)br/d '
 S_4 = {2c-(r+1)a}d '
これより
 S = 4(S_5 + S_4)
  = 4{4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb) + 4{2c-(r+1)a}d '
 V = (4/3)S_5・d_5 + (4/3)S_4・d_4
  = (4/3)bc{4c+(r-1)(1+a1)} + (4/3)(1+a1)br{2c-(r+1)a}
  = 8([2cc+(1+a1)(1-a2)]/3)b + 4(1+a1)b(r-1){c-(2+r)a/3},
・a1=a2,c=1 の場合は >>471 に戻る。

675:イナ
18/06/12 18:46:36.80 TK3A96C9.net
>>635
棟木を3.6xとする。
八面体を五角形の水平な対角線で㊤㊥㊦の三つに分ける。
V(x)=V㊤(x)+V㊥(x)+V㊦(x)
=2V㊤(x)+V㊥(x)
S(x)=4(台形)+4(五角形)
=2(上底+下底)・(高さ)+8(直角三角形)+4(等脚台形)
=2(3.6x+4.8x)・3.6x+4(2.9x・2.3x)+2(5.8x+4.8x)・2.1x
=16.8x・3.6x+5.8x・4.6x+21.2x・2.1x
=7・2.4x・3.6x+5.8x・4.6x+7x・6.36x
=7x・6x・1.44+5.8x・4.6x+7x・6x・1.06
=(7・6・2.5+5.8・4.6)x^2
=(105+26.68)x^2
=131.68x^2
V㊤(x)の高さ=√{(2.3x)^2-(0.6x)^2}
=x√(5.29-0.36)
=x√4.93
V㊥(x)の高さ=x√{(2.1)^2-(0.5)^2}
=x√(4.41-0.25)
=x√4.16
V㊤(x)=(三角柱)-(三角錐)=2.9x・4.8x・x√4.93-2.9x・x√4.93・(1/2)0.6x(1/3)4
=2.9x・x√4.93・(4.8-0.4)x
=12.76x^3√4.93
V㊥(x)=(直方体)+4(直角三角柱)+4(直角等面四面体)
=(4.8x)^2・x√4.16+4・0.5x・4.8x(1/2)+4(0.5x)^2x√4.16(1/6)
={(4.8x)(4.8x+x)+(1/6)}x√4.16
=(28.00666……)√4.16
V(x)=2・12.76√4.93+(28.0066……)√4.16
=25.52√4.93+(28.0066……)√4.16
≒55.663594+57.122614
=112.7862
題意よりS=1
x^2=1/131.68
x=1/11.47519
V(x)=112.7862/131.68・11.47519
≒0.0746407

676:イナ
18/06/12 19:17:17.82 TK3A96C9.net
>>639(x^3)が抜けた。
終盤修正。
V(x)=2・12.76x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
=25.52x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
≒55.663594x^3+57.122614x^3
=112.7862x^3
以下同じ。

677:132人目の素数さん
18/06/12 23:21:04.90 10uSb+lc.net
数学なのに数字がたくさんある……

678:132人目の素数さん
18/06/12 23:59:03.56 VSdptTNG.net
1. 球面上にランダムにn個の点を取る
2. それらの点におけるn枚の接面で囲まれた多面体を作る
3. 接点と重心が最も離れている面を見つけ、その接点を球面上で重心の方向にずらす
4. 誤差が一定値以下になるまで 1~3 を繰り返す
という方法でn=4~20で極大値を計算してみた結果。
4面体 0.051700269950116652 (正四面体)
5面体 0.059698329545752334 (正三角柱)
6面体 0.068041381743977170 (正六面体)
7面体 0.071398254996602697 (正五角柱)
8面体 0.074344868093230002 (四角形×4+五角形×4)
9面体 0.076898933926867766 (四角形×3+五角形×6)
10面体 0.078734752898039745 (四角形×2+五角形×8)
11面体 0.080055026399577983 (四角形×2+五角形×8+六角形×1)
12面体 0.081688371824182537 (正十二面体)
13面体 0.082432267303420806 (四角形×1+五角形×10+六角形×2)
14面体 0.083349245941114841 (五角形×12+六角形×2)
15面体 0.084068875807253640 (五角形×12+六角形×3)
16面体 0.084742718358283536 (五角形×12+六角形×4)
17面体 0.085264872589057683 (五角形×12+六角形×5)
18面体 0.085771192859653247 (五角形×12+六角形×6)
19面体 0.086199376384128973 (五角形×12+六角形×7)
20面体 0.086626966830007951 (五角形×12+六角形×8)
(もっと良い解があるかもしれない)

679:イナ
18/06/12 23:59:54.21 TK3A96C9.net
>>641せやて問題文に数字が1一個しかないんですって。
>>420←これですよ。数字は図描くなり作って上げるなりして自分で設定せいいう問題なんですよ。
なんでこうなるかはまだわかりませんが、屋根の部分は棟木と最短の垂木が同じ長さで、棟木と軒桁の長さの比が3:4になってます。
>>640研究が要ります。

680:132人目の素数さん
18/06/13 00:50:47.10 bFMWdLz+.net
>>642
おおお、GJ!!

681:132人目の素数さん
18/06/13 00:51:23.32 bFMWdLz+.net
ソースコードもキボン

682:132人目の素数さん
18/06/13 01:02:41.54 5ZmF3Enb.net
>>643
CI = FL = 3.60000 x, … 棟木
とするなら
AB = DE = 2.17929 x,
BC = CD = 3.743965 x,
AE = DH = 4.807435 x, … 軒桁
BD = 5.91628 x,
S_5 = 18.08915 xx,
CI~DH間 3.69496 x,  … 垂木?
S_4 = 15.53246 xx,
S = 134.4864 xx,
V = 115.9502 x^3,
V/S^(3/2) = 0.07434486809323… になるらしい。
>>621
> データは >>489 のほうが…良い(体積が大きい)みたいです。
おっしゃるとおり。
>>637
そうですねぇ...

683:132人目の素数さん
18/06/13 01:58:33.50 5ZmF3Enb.net
>>642
理論値
f=4 (正4面体) 1/{6√(6√3)},
f=5 (正3角柱) 1/{9√(2√3)},
f=6 (立方体)  1/(6√6)


684:, f=7 (正5角柱) 1/{3√30・(5-2√5)^(1/4)}, f=12 (正12面体)1/{(3√15)(√5 -1)(5-2√5)^(1/4)},



685:イナ
18/06/13 05:24:42.71 Oj2yj/8D.net
>>646正確な長さが出てるんですね。軒桁4.8xからもう整数比じゃないんですか。
屋根の端も微妙に3.7xじゃないみたいだし。
肉眼で0.074を出した。ここが限界です。
>>643ぜんぜん綺麗な比にならないのにこの形で極値をとる。なぞですね。ゴールドバーグさんは論文でこの形になる根拠を示したんですか。

686:132人目の素数さん
18/06/13 06:25:01.57 YkGfLvHx.net
綺麗な形にこだわるならx軸から見てもy軸から見ても正五角形のシルエットをもつ立体を試してみてはどうか
最適解とは異なりながらも0.0743は越えられるはず

687:132人目の素数さん
18/06/13 13:21:09.26 5ZmF3Enb.net
>>642
V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
ゴールドバーグの言う S^3/V^2 = 180.23 なる配置は、ネットで探しても見つからなかった。
>>494 が言うように、
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。

688:132人目の素数さん
18/06/13 13:36:27.67 5ZmF3Enb.net
>>650
補足すると、
接点と重心の距離について V/S^(3/2) が単調に減少すると考えた。

689:132人目の素数さん
18/06/13 14:55:08.60 ygq/w2vW.net
>>642
すばらしいですね。
多面体の各頂点の座標とか各面の重心の座標とかを求める処理は
1からコーディングすると大変そうだけど、なにかいいツールがあるのでしょうか?
(CAD系のツールでは基本処理なのかな?)
>>650
> V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
> 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
そうですね。逆に言うと、>>642の1回の計算だけでは、局所最適解に引っかかる
可能性があるということですね。
8面体の場合も初期値によっては正8面体に収束するかも。
初期値を変えて試行を繰り返して、なるべく多くの局所最適解を探してみたいところです。
(正解以外の局所最適解に収束する確率はかなり低いと予想されますが)
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
計算機が自由に使える以前の時代の論文の数値計算の間違いというのは、
結構あるのかもしれません…

690:イナ
18/06/13 14:59:41.71 Oj2yj/8D.net
>>649水平方向から見た(五角形+等脚台形)の射影を正五角形にすると。前>>648だいぶ平たくなりますね。V㊥(x)が減りそう。五角形が綺麗なわけない。

691:132人目の素数さん
18/06/13 16:28:17.84 8DutWUYy.net
>>633 を実行してみました。
tha = tan α/2, thb = tan β/2として重心=垂線の足から連立方程式をたててみると
(3*tha^7-12*tha^5+9*tha^3)*thb^4
+(-2*tha^8-10*tha^6+38*tha^4-26*tha^2)*thb^3
+(11*tha^7-11*tha^5-11*tha^3+11*tha)*thb^2
+(-26*tha^6+38*tha^4-10*tha^2-2)*thb
+9*tha^5-12*tha^3+3*tha = 0
(tha^7+4*tha^5-5*tha^3)*thb^7
+(-15*tha^6-72*tha^4+23*tha^2)*thb^6
+(75*tha^5+120*tha^3-3*tha)*thb^5
+(12*tha^6-197*tha^4-72*tha^2+1)*thb^4
+(-tha^7+72*tha^5+197*tha^3-12*tha)*thb^3
+(3*tha^6-120*tha^4-75*tha^2)*thb^2
+(-23*tha^5+72*tha^3+15*tha)*thb
+5*tha^4-4*tha^2-1 = 0
>>621さんの数値データから得られる値
tha = 0.5006040925763866
thb = 0.1338964782891034
を代入して検算するとそれぞれの左辺値は
8.87931586213142e-6
3.632479806903177e-5
となってます。誤差なんだかどうなんだか。tha消去すると
8181*thb^62
-713988*thb^60+17155890*thb^58-164938703*thb^56+506017027*thb^54+1834844826*thb^52
-13744791488*thb^50+3826451839*thb^48+119593971621*thb^46-128477872952*thb^44-571856278634*thb^42
+693554443761*thb^40+1596500744027*thb^38-1841098161058*thb^36-2706178331076*thb^34+2845687450727*thb^32
+2845687450727*thb^30-2706178331076*thb^28-1841098161058*thb^26+1596500744027*thb^24+693554443761*thb^22
-571856278634*thb^20-128477872952*thb^18+119593971621*thb^16+3826451839*thb^14-13744791488*thb^12+1834844826*thb^10
+506017027*thb^8-164938703*thb^6+17155890*thb^4-713988*thb^2+8181 = 0
既約みたいです。

692:132人目の素数さん
18/06/13 18:24:34.99 +VZ1IBn7.net
八面体の人は別スレ立てて~な

693:132人目の素数さん
18/06/13 20:30:38.63 82USMjMK.net
いいかげんにしてもらいたいものだ

694:イナ
18/06/13 22:00:17.82 Oj2yj/8D.net
>>649
真横から見て影が正五角形になるときですね。
(四面体の高さ)=1.8x√(5+2√5)
(四面体㊤の高さ)=0.9(3-√5)x√(5+2√5)
(四面体㊥の高さ)=1.8(√5-2)x√(5+2√5)
0.074は超えない気がするけど気になってはいます。前>>653めんどくさいなぁ。

695:132人目の素数さん
18/06/14 02:09:33.11 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解くと
 tha = tan(α/2) = 0.500612548452861
 thb = tan(β/2) = 0.133888590056153
ぐらいになりました。
>>621 さんの数値データから得られた値も(有効数字は)ほぼ一致してますね^^

696:132人目の素数さん
18/06/14 03:02:03.81 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解いて得られた、   >>658
 α = 53.1862428998954゚
 β = 15.2517985158774゚
はゴールドバーグの文献値に近いです。 >>492
また、cosβ = 0.964779066797437 はメディアル8面体の d_4 = d_5 と一致してます。>>582

697:132人目の素数さん
18/06/14 04:40:26.09 2oXVNEfm.net
状況をまとめると、
対称性のあるメディアル多面体を>>464のように3つのパラメータで表して
数値計算で最大値を求めた結果(>>471,489,621あたり)も、
Lindelofの条件のうち円に外接するということを先に前提として使った上で
α,βの2つのパラメータで表して、接点が重心という条件で
α,βを求めるというアプローチ(>>633)で得られた結果(>>658)も、
円に外接する際の接点をランダムに設定した上でそれが各面の重心に近づくよう
接点を動かしてLindelofの条件を満たす状態に近づけていくというアプローチで
得られた結果(>>642)も、
すべて(誤差を除き)同様の結果となり、
その結果の各面の対象軸からの角度はGoldbergの論文に記されている値と一致した(>>494,659)
ということですよね。
もうこれは、ここでの結論は
> 180.23という値だけが何か間違っている
ということで打ち止めでいいんじゃないですかね。これ以上やることもあまりないような。
さすがにこれ以上一つの話題を引きずるのも迷惑だし。

698:132人目の素数さん
18/06/14 12:41:01.69 VSzXXZka.net
>>654
 tha^2 = A,tha*thb = B とおく。
上の式に tha を掛けると
(A-1)・{3(A-3)B^4 + 2(-AA-6A+13)B^3 + 11(AA-1)BB + 2(-13AA+6A+1)B + 3(3A-1)A} = 0,
… Aについて2次方程式になる。
下の式に tha^4 を掛けると
(A-1)(A+5)B^7 + (-15AA-72A+23)B^6 + 3(25AA+40A-1)B^5 + (12A^3 -197AA -72A+1)B^4 + (-A^3+72AA+197A-12)AB^3 + 3(AA-40A-25)AABB + (-23AA+72A+15)AAB + (A-1)(5A+1)AA = 0,

699:イナ
18/06/14 20:24:07.21 qiPHimn7.net
棟木を2x、垂木の最短の長さも2xとすると、屋根は等脚台形で、八面体を水平に見て射影が正五角形になるとき、



700:ワ角形の水平な対角線は、 (1+√5)x 八面体の真下にある底辺は、2x 八面体を真横から見て、 (八面体の高さ)=x√(5+2√5) (八面体㊤の高さ)=x/2√(10-2√5 (八面体㊥の高さ)=x√(5+2√5)-2x√(10-2√5) 前>>657訂正&再考ですが、極値0.074……を超えないとなると、計算をつづけるに値するほど魅力的な式じゃないです。



701:132人目の素数さん
18/06/15 09:54:18.30 w+/1B0FC.net
>>654です。まだ次の問題でてきてないので私もその前に最後のレス。
>>654の最後の式既約ではありませんでした。
262144*(thb-1)^3*thb^9*(thb+1)^3*(thb^2+1)^3*(thb^4-10*thb^2+1)*(8181*thb^36-623997*thb^34+10242837*thb^32
-48965288*thb^30-59994180*thb^28+888366516*thb^26-574079300*thb^24-5645292312*thb^22
+4166321790*thb^20+19707900690*thb^18+4166321790*thb^16-5645292312*thb^14-574079300*thb^12
+888366516*thb^10-59994180*thb^8-48965288*thb^6+10242837*thb^4-623997*thb^2+8181)
となっていてthbはQ上36次方程式の解になっています。
この36次方程式は複2次式、かつ相反方程式になっているので指数4の部分体を持ちます。
具体的には (tan^2β + 1/tan^2β)/2 = 4/(1-cos 2β) -1 = C とおくとき C は9次の方程式
8181*x^9 -623997*x^8+10242837*x^7
-48965288*x^6-59994180*x^5+888366516*x^4
-574079300*x^3 -5645292312*x^2+4166321790*x+19707900690 = 0 …… (*)
の解でおそらく [Q(thb) : Q(C) ] = 4、[Q(C) : Q] = 9 です。
おそらくと書いたのは(*)の左辺の既約性がまだ未確認なんですが、 Maxima君もWolfram先生も因数分解できないのでほぼ確定だと思ってます。
兎にも角にもthbの満たす方程式が得られたので必要に応じていくらでも精度の高い解を得ることができます。
問題が残ってるとすれ(*)がホントに代数的に解くのは無理なのかという事、つまりQ(C)/Qの単純性です。
(*)が代数的に解けるのはQ(C)/QがQ上3次の中間体Q(C)/M/Qを持つときですが、それを確認する方法がなかなかうまく思いつきません。
原理的にはQ(C)/QのGalois閉包のGalois群を計算すればいいんですが、そんなの手計算でやるのも無理だし、コード組むのも一手間だし、
何より、多分Q(C)/Qは単純だった、なら労多くして得るもの少ない感じでちょっとやる気が起きません。

702:132人目の素数さん
18/06/15 09:54:45.34 w+/1B0FC.net
最後に方程式導出したmaximaのコード貼っときます。
ca(tha,thb) := (1-tha^2)/(1+tha^2); sa(tha,thb) := 2*tha/(1+tha^2);
cb(tha,thb) := (1-thb^2)/(1+thb^2); sb(tha,thb) := 2*thb/(1+thb^2);
a(tha,thb) := (ca(tha,thb) + cb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
b(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb));
c(tha,thb) := (1-b(tha,thb)*sb(tha,thb))/cb(tha,thb);
d(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(sa(tha,thb)*cb(tha,thb));
e(tha,thb) := 1/sa(tha,thb);
ga(tha,thb) := (2*c(tha,thb)+d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*b(tha,thb)
+ (c(tha,thb)+2*d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*e(tha,thb);
gb(tha,thb) := ((e(tha,thb)-b(tha,thb))*a(tha,thb)*(e(tha,thb)+2*b(tha,thb))
+2*b(tha,thb)*a(tha,thb)*b(tha,thb)
+2*b(tha,thb)*c(tha,thb)*(-b(tha,thb)))
/(a(tha,thb)*e(tha,thb)+a(tha,thb)*b(tha,thb)+2*b(tha,thb)*c(tha,thb))/3;
factor(ga(tha,thb)-sa(tha,thb));
factor(gb(tha,thb)-sb(tha,thb));

703:132人目の素数さん
18/06/15 15:45:24.73 mm39PC7P.net
>>663
thb^2 + 1/thb^2 = 2{4/(1-cos 2β) - 1} = C とおくと、上の式の最後の因子は
(thb^18){8181*C^9 -623997*C^8 +10169208*C^7 -43973312*C^6 -131473152*C^5 +1169678304*C^4 -130954112*C^3 -9629462016*C^2 +5516962560*C +32871900928}
となるので{ }内を0とおいて
 C = 55.80233866564161431594753276684087477826
thb = tan(β/2) = 0.1338885900561525235645099960430550447846
β = 15.25179851587733214293978022621725452035゚
ですね^^

704:132人目の素数さん
18/06/15 18:25:08.44 NyOBeIuX.net
すいません。Cの方程式まちがった。
2094336*C^9-79871616*C^8+650829312*C^7-1407145984*C^6
-2103570432*C^5+9357426432*C^4-523816448*C^3
-19258924032*C^2+5516962560*C+26289900809
です。改訂版。Cの方程式まで一気に作らせます。
よくよく考えたら関数として定義する意味なかった。
基本これで最後です。
もしCが代数的に解けたりしたらまた書くかも。
いまのとこ望み薄ですけどねぇ。
load ("orthopoly");
ca: (1-tha^2)/(1+tha^2); sa: 2*tha/(1+tha^2);
cb: (1-thb^2)/(1+thb^2); sb: 2*thb/(1+thb^2);
a: (ca + cb)/(1+ca *cb - sa *sb);
b: (sa - sb)/(1+ca *cb - sa *sb);
c: (1-b * sb)/cb;
d: (sa - sb)/(sa *cb);
e: 1/sa;
ga: (2*c +d)/(3*c +3*d)*b+ (c +2*d)/(3*c+3*d)*e;
gb: ((e-b)*a*(e+2*b)+ 2*b*a*b+ 2*b*c*(-b))/(a*e + a*b + 2*b*c)/3;
num(factor(ga - sa));
eq1:part(num(factor(ga - sa)),3);
eq2:num(factor(gb - sb));
eqc:part(factor(resultant(eq1,eq2,tha)),7);
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(k,C)),k,0,9),factor;

705:132人目の素数さん
18/06/15 19:00:41.39 NyOBeIuX.net
コードの最後の行
sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(abs(k),C)),k,-9,9),factor;
で結果は
256*
(16362*C^9-623997*C^8+5084604*C^7-10993328*C^6-16434144*C^5+73104894*C^4-4092316*C^3-150460344*C^2+43101270*C+128405863)
でした。スレ汚しスマヌ…orz。

706:132人目の素数さん
18/06/16 00:27:22.80 Sq4cRvDq.net
>>666
 今更だが、定数項は 16435950464
>>667
 たぶん正解
 C = 27.90116933282080715797376638342043738913
 thb と β は >>665 のとおり。

707:132人目の素数さん
18/06/16 01:03:52.88 a+j3J/Zw.net
まぁ面白かった。数値に関しては原論文超えてる?ひとえに計算機のおかげだけど。

708:132人目の素数さん
18/06/17 00:07:32.71 NrfBnVbQ.net
気分一新で再開しませんか?
nを自然数、xを実数とするとき
 
 [nx] ≧ Σ[k=1,n] [kx]/k
を示せ。ただし[x]はガウス記号である。

709:132人目の素数さん
18/06/17 01:13:46.23 lI+JiKnS.net
それにしても よく間違う人だった。(他人のことは言えないが…)

710:132人目の素数さん
18/06/17 02:56:37.20 ratqIZM6.net
>>669
論文の値は実際には存在しえない間違った「いい値」だったのではないかという話を
ずーーーっとやってたのに、何を見ていたのか…

711:イナ
18/06/17 14:00:41.23 NZ1lrT8s.net
>>662
>>639ー640実測値で、ゴールドバーグ超えたよね。

712:132人目の素数さん
18/06/17 15:53:47.30 ratqIZM6.net
実際は全く議論に参加できていないのに無意味な発言や計算を大量に垂れ流して
事情がわからない人が見たらそいつが議論の中心にいるかのような錯覚を招きかねない
存在自体が「叙述トリック」のような奴が1人いる。
遡って話をトレースしたい人のために忠告しておくと、
イナ ◆/7jUdUKiSM
とかいうコテハン氏の発言およびそれに対する


713:レスポンスは全部スキップすると、 内容が把握しやすいのでオススメです。



714:132人目の素数さん
18/06/17 16:00:52.03 CUSEIgJE.net
>>673
実測に誤差があるようですよ

715:132人目の素数さん
18/06/17 16:11:56.75 ratqIZM6.net
>>670
新しい話題に参加したいけど、難しくて参加できない^^;
何かヒントないですか?

716:132人目の素数さん
18/06/17 16:38:39.07 LEBIHDAI.net
幾何の難問
URLリンク(jmoss.jp)
上の問題なのですが凸多面体の定義より
面同士の角は外側から測ると全てπ以上であることと
辺が3本以上あることからは示せますか?

717:132人目の素数さん
18/06/17 17:36:34.62 Mnf6xpK6.net
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等(総資産数京円以上)の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮 
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。 
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。
世界中の人間が知るべきこと
・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。
・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。
・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。

718:132人目の素数さん
18/06/17 17:36:34.73 Mnf6xpK6.net
江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。
江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治
の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、
全ての産業を掌握する彼等(総資産数京円以上)の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮 
ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの
シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ
れました。
彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。 
私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ
たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 
今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを
各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。
世界中の人間が知るべきこと
・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。
・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。
テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。
・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。

719:132人目の素数さん
18/06/17 20:13:55.19 S9i0Ooes.net
>>676
私の持ってる解答はこんな感じです。
f(x) = [nx] - Σ[k=1,n] [kx]/k
とおけば周期1で不連続点以外のとこでは定数、不連続点では右連続です。
(0,1]での不連続点は0≦b<a≦n である


720:互いに素な整数a,bを用いてx = b/aとかける点です。 よってそのようなa,bについてf(b/a)≧0を示せばよいことになります。



721:132人目の素数さん
18/06/17 20:18:47.70 S9i0Ooes.net
>>677
示せない。
例えば正6面体のときは12個ある辺の外角はすべてπ/2でπより大きいということはない。
そもそも通常の幾何学的な本来の意味での角の大きさは0以上π以下です。
いわゆる “一般角” と混同してはいけない。

722:イナ
18/06/18 12:33:15.13 X9qz/j/u.net
>>673
一辺xの立方体の体積は
x^3
一辺xの正三角形の面積は
x^2√3/4
四角形どうしがとなりあう辺xのビジュアル八面体の体積もこういう一般的なかたちにならないでしょうか。

723:132人目の素数さん
18/06/18 14:01:24.30 No1r8RIC.net
相似形なら面積は特定の辺の二乗に比例するし体積は三乗に比例する
そのことと比例係数が代数的に書けるかどうかは別問題
過去レスにあった通り、例えば半径1の球に外接する多面体に限定すれば表面積Sと体積Vは比例するため、SまたはVの最小化問題のみを考えればよい
ただ、この性質を利用して立式しても、五次以上の次数の方程式を解くことになるので結局代数的には解けないんじゃないか、という説が現在有力
「そうじゃない、うまく式を立てれば代数的に解けるはずだ」という可能性があるならトライしてみたらいいんじゃないかな

724:132人目の素数さん
18/06/18 23:10:58.84 Y/8tBeky.net
>>680 をすこし進めます。
1≦b≦a≦nである互いに素な整数a,bに対しbk÷aのあまりをr(k)とすると
[nb/a] = nb/a - r(n)/a
Σ [1≦k≦n] [kb/a]/k = Σ [1≦k≦n] (kb/a - r(k)/a)/k = nb/a - Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)
なので 示すべきは
r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak)
です。

725:685
18/06/19 00:05:11.82 pnke3C+M.net
「面白い問題おしえて~な」とのことなので、問題を教えるだけです、っていうか解答いただけると嬉しいです(当方解答を持ち合わせておりません)。
[問題]
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない最小の自然数は11である。
では1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せる数 a , b を加えて表せない2以上の最小の整数は何か。もし存在しない場合はそれを証明せよ。

726:685
18/06/19 00:09:04.08 pnke3C+M.net
>>685
例えば121は1+120=1+3*5*8で表せてしまうので不適になります。

727:132人目の素数さん
18/06/19 00:38:43.76 S2GWbT4K.net
整数の積と和を組み合わせた問題は、大抵難問。
1000桁前後の自然数に対してこれを応用した暗号が作れるかもね。

728:132人目の素数さん
18/06/19 01:07:06.92 AsZ9maAx.net
235らしい。By Haskell君
parts = sort [a*b*c*d*e*f*g*h | a<-[1,2],b<-[1,3],c<-[1,4],d<-[1,5],e<-[1,6],f<-[1,7],g<-[1,8],h<-[1,9]]
isNotSum x = (==Nothing) $ find (==x) [a+b|a<-parts,b<-parts]
head [x|x<-[2..],isNotSum x]

729:132人目の素数さん
18/06/19 01:15:19.25 B4wkEBhB.net
>>685
311っぽいですな。
1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない ⇔ 2,3,5,7以外の素因数を持つ
ということで、プログラムで検索した結果。

730:132人目の素数さん
18/06/19 01:24:07.28 AsZ9maAx.net
同じ数つかてもいいのか……なるほど。

731:132人目の素数さん
18/06/19 01:30:54.68 B4wkEBhB.net
>>688
同じ1桁の数を複数掛けてもいいのでは?
(出題意図がどちらなのかはわからないけど。)

732:685
18/06/19 01:31:37.76 pnke3C+M.net
>>689
ありがとうございます。
意外と小さい数でしたね……

733:685
18/06/19 01:34:16.80 pnke3C+M.net
すみません、同じ数は何度掛けてもOKのつもりでした。
235は2*2*5*5+5*7で表せますけど、同じ数がダメだと表せないっぽいですね……

734:132人目の素数さん
18/06/19 01:37:32.81 B4wkEBhB.net
かぶった。
ちなみに、1000以下では
311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958
の12個。
10000以下では1099個。
数が大きくなると、出現頻度は増える。
(nが大きくなると、nの周辺で2,3,5,7のみで表される数なんてほとんどなくなるから)

735:685
18/06/19 01:41:29.61 pnke3C+M.net
>>694
なるほど…… 先の解析結果までご丁寧に教えてくださりありがとうございます。

736:132人目の素数さん
18/06/19 02:24:51.70 AsZ9maAx.net
今更ながらhaskell君にも聞いてみました。
Prelude Data.List> let isgood x = if x == 1 then True else (/= 0) $ head $ [a|a<-[2,3,5,7],mod x a == 0, isgood $ div x a] ++ [0]
Prelude Data.List> let ys = [x|x<-[2..],(==0) $ head $ [a|a<-[1..x-1], isgood a, isgood (x-a)] ++ [0]]
Prelude Data.List> take 10 ys
[311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958,1102,1103,1117,1151,1193,1238,1244,1291]

737:132人目の素数さん
18/06/19 02:46:25.58 AsZ9maAx.net
無駄Loop回してるorz

738:132人目の素数さん
18/06/22 13:19:28.28 SuXdtRwP.net
4人でリーグ戦(総当たり戦)を行います。
勝てば3点、引き分ければ1点、負ければ0点を獲得します。
全試合が終わった後、合計点数の順に順位をつけます。
ただし、同じ点数の人がいれば、その人たちでクジを行い、
最終的には無理矢理1位から4位の順位をつけます。
任意の対戦において、勝つ、負ける、引き分けるは 確率 1/3 で起こるものとします。
問0
「x点しかとれなかったけど、2位になった」
「y点も取ったけど、3位だった」
ということが起こる、最小のxと、最大のyを求めよ。
問1
m位の人の合計点数の平均を求めよ(mは1,2,3,4)
問2
合計点数kを取った人が、上位2名に入っている確率を求めよ(kは8を除く9以下の整数)

739:132人目の素数さん
18/06/22 16:54:53.78 5dKvywCX.net
〔問題〕
 最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、
 Pn(x) = 0 のn個の解を α1,α2,…,αn とする。
 このとき、α1^3,α2^3,…,αn^3 を解にもつ、
 最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。
URLリンク(www.toshin.com)
 P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx,
と表わせる。。。

740:132人目の素数さん
18/06/22 22:36:35.49 /GProLmv.net
>>699
見れない。画像かなんか残ってない?

741:132人目の素数さん
18/06/22 23:09:08.40 nz+rOHcs.net
>>700
見れたけど
一応問題の画像↓
URLリンク(www.toshin.com)

742:132人目の素数さん
18/06/22 23:21:47.30 /GProLmv.net
>>701
いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ?もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。

743:132人目の素数さん
18/06/22 23:24:53.34 /GProLmv.net
ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね

744:132人目の素数さん
18/06/22 23:28:15.


745:49 ID:/GProLmv.net



746:132人目の素数さん
18/06/22 23:32:20.85 mDZvFtTn.net
挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。

747:132人目の素数さん
18/06/22 23:41:16.11 /GProLmv.net
でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ?
Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。
偶然なのかもしれないけど。
必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。
ホントに気づいてないなら論外だけど。
そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。

748:132人目の素数さん
18/06/22 23:57:37.66 mDZvFtTn.net
Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、
「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。
そりゃそうだろ、あほか?
あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな

749:132人目の素数さん
18/06/23 00:38:27.43 shdFVkoM.net
解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。
問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。
どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか!” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。

750:132人目の素数さん
18/06/23 02:19:05.69 BnO9HX6O.net
>>677
凸多面体Pを 任意の向き(↑Ox)に正射影する。
その輪郭は凸m角形となる。(m≧3)
各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。
稜L_iの両側の2面(j,k)は、こちら向き & あちら向きである。
その外向き法線を n_j,n_k とすると、 (↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0,
L_i (n_j,n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、
 平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側
であり、立体角4θ_iの範囲となる。(θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角)
一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3)
∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。
∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。

751:132人目の素数さん
18/06/23 02:26:54.92 shdFVkoM.net
>>698
URLリンク(codepad.org)
import Data.List
import Data.Ratio
gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)]
results = [[a,b,c,d] |
ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes,
bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes,
let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad],
let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd],
let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd],
let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd]
]
posOf0GoFinal result = let
p = head result
fstPt = head $ reverse $ sort $ result
nFsts = length $ filter (==fstPt) result
sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result
nSnds = length $ filter (==sndPt) result
in
case True of
_| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts)
| nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1
| p == fstPt -> 1%1
| p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds)
| otherwise -> 0%1
question1 = id
$ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger)
$ map sum
$ transpose
$ map sort
$ results
question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)|
pt <-[0..9],
let suitCases = filter ((== pt).head) results,
let nCases = fromIntegral $ length suitCases,
let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases,
nCases /= 0
]
main = do
print question1
print question2
[1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729]
[(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)]

752:132人目の素数さん
18/06/23 02:48:51.81 BnO9HX6O.net
>>709
稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、
平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから
(θ_i/π)Ω = 4θ_i
Ω = 4π

753:132人目の素数さん
18/06/23 02:50:01.62 shdFVkoM.net
今更ながらよくよく見るとこれあってんの?
勝ち点6取った場合の予選突破確率のほうが
勝ち点5取った場合の予選突破確率より低い?
どっか間違った?
あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。

754:132人目の素数さん
18/06/23 11:00:35.69 CC9xpxXb.net
>>710 >>712
私の用意していた数値と一致です。
勝ち/負け/引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、
あのオリンピックの時の悲劇(勝ち点6で予選敗退)の様なことは、そう珍しいことでも
無いのかなと思って計算して(させて)みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。
勝ち点2で予選突破できる確率の倍です。
>>勝ち点6取った場合の予選突破確率のほうが
>>勝ち点5取った場合の予選突破確率より低い?
勝ち点の分布が 6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、
勝ち点の分布が 5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。
「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と a<b<c<a という
二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c しかないことに由来します。
勝ち点を、3,1,0 と設定していることにも起因していますね。


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