18/05/18 06:17:07.83 539vwTx6.net
>>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4 ⇔ a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴ x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691 (n→∞)
442:１３２人目の素数さん
18/05/21 04:38:31.67 kuqRYFm5.net
表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ
443:イナ
18/05/21 13:14:33.19 6i5QRyXS.net
>>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。
444:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:35:46.68 3I0IwGqI.net
>>421
不正解
正八面体より大きく出来る
445:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:58:44.22 oCVK8vvs.net
>>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？
446:１３２人目の素数さん
18/05/21 15:00:08.42 oCVK8vvs.net
走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス
447:イナ
18/05/21 15:25:53.51 6i5QRyXS.net
>>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。
448:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:24:23.18 3I0IwGqI.net
>>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます
449:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:28:56
450:.50 ID:3I0IwGqI.net
451:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:02.75 +913qm6o.net
正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。
452:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:31.05 +913qm6o.net
３角柱から角３っつね。
453:１３２人目の素数さん
18/05/21 17:57:16.22 9YF4F+CN.net
>>425
正6角柱だと、正8面体と変わらない...orz
1/{6√(3√3)} = 0.073115223
もっと丸い形にすればいい？
454:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:11:57.11 0vZfF+dt.net
四面体の４つの頂点から小さく四面体を取り除いてできるものとかだいぶ球に近くなるんじゃないかなあ
455:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:20:53.02 2xKr+/2q.net
それより、立方体の頂点2つを切り落としたほうがいいんでね？
456:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:47:13.96 9YF4F+CN.net
>>430
より多角形にして、辺と頂点を増やす…
457:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:22:14.24 YccZYzuR.net
とある法則で除外できるのが７角錐だけだとかなり残る希ガス。
だいたい８面体と同じ配置とか立方体から２角おとしたのと同じ配置とかに制限したとして、それぞれの場合に最大値求めんのもどえらい面倒くさい気が…。
ほんとに面白いスパっと解ける解法あるんかな？
458:１３２人目の素数さん
18/05/22 04:39:03.52 RuE2vaj6.net
>>431
辺長のk倍だけ切り落とす。（0<k<1)
4つの頂点から、k倍サイズの4面体を切り落とす。
体積： V = (1-4k^3) V_0
表面積： S = (1-2kk) S_0
V / S^(3/2) = (1-4k^3)/{6√(3√3)・√2・(1-2kk)^(3/2)}
≦ V_0 / {S_0^(3/2)}
= 1 / {6√(3√3)}, （正8面体）
等号成立は k=1/2 (中点) のとき。
459:１３２人目の素数さん
18/05/22 07:10:03.28 mp+7pS00.net
>>434
>>427は語弊がありました
六角柱と七角錐だと七角錐は除外出来るってことです
ある法則を使えば他のパターンも除外出来ます
例えば正八面体のタイプもダメだということが分かります
460:イナ
18/05/22 22:06:05.02 6b1wDh1x.net
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/24)x(1-3√3･x^2)
V'(x)=(√3/24)-(9/8)x^2=0
x^2=(√3)/27
x≒0.0487287のときV(x)は最大。
V(0.0487287)=(√3/24)0.0487287(2/3)
=0.0487287(√3)/36
=0.0013831
461:イナ
18/05/22 22:47:55.38 6b1wDh1x.net
前>>437修正。
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･6･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2･6{(1/6x)-(√3/2)x}
=(3√3)/2･x^2･y
=(3√3)/2･x^2･{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/4)x-(9/4)x^3
V'(x)=(√3/2)-(27/4)x^2=0
x^2=(√3)/27のとき、
V(x)=(√3/4)x-(9/4)x^3
=(√3/4)x{1-3√3x^2}
=(√3/4)x(2/3)
=(√3)x/6
=√(√3)/18
≒0.0731152
462:１３２人目の素数さん
18/05/22 23:58:04.62 QxWTmuux.net
八面体の種類がいくつあるか自力で調べようとして挫折したので検索してみたところ、何をどう数えたのかは不明ながら257種類という数値が出てきた。これではまるでお手上げである。
なんの計算もしていないが、個人的には「デューラーの立体」ど呼ばれる三角形２枚、五角形６枚でできた立体が気になる。
463:１３２人目の素数さん
18/05/23 02:32:32.49 LxIDPfuv.net
>>439
Link プリーズ
464:イナ
18/05/23 03:02:44.37 Rj3qNk6E.net
>>439
一辺xの正三角形1枚と正五角形3枚をサッカーボールみたいにたがいに百八十度回転させて噛み合わせるように貼りつける。
表面積S=1
八面体の各頂点から中心までの距離aは一意に決まる。正三角錐の底面同士は百八十度回転して平行。おそらく正五角錐の底面同士も百八十度回転して平行な位置にあるんじゃないかと。
八面体の体積V=正三角錐の体積×6+正五角錐の体積×2
正三角形同士の距離と対面する正五角形の距離は同じにできるのかな？
前>>438
465:イナ
18/05/23 03:07:00.40 Rj3qNk6E.net
前>>441逆々。訂正。
八面体の体積=正三角錐の体積×2+正五角錐の体積×6
466:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:25:56.47 bPXXYTiJ.net
>>439 >>441 >>442
歪重角錐ですか？
正８面体や正６角柱よりは改良すると思います。
V / S^(3/2)
・メディアル８面体 0.074488 (4角形×4，5角形×4)
・歪重角錐 0.074217
・正８面体 0.07311522294 （アルキメデスの正プリズム）
・正６角柱 0.07311522294
・反プリズム 0.07311522294 = 1/{6√(3√3)} （アルキメデス）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
M. Goldberg: Tohoku Math. J.，４０，p.226-236 (1935)
"The isoperimetric problem for polyhedra"
---------------------------------------
f = 4 正４面体 0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6 立方体 0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8 メディアル８面体 0.07311522 = 1/{6√(3√3)}
f = 12 正12面体 0.08168837
f = 20 メディアル20面体 0.0866101 (5角形×12，6角形×8)
球面に外接する？
467:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:29:31.94 bPXXYTiJ.net
>>443 訂正
f = 4 正４面体 0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6 立方体 0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8 メディアル８面体 0.074488
f = 12 正12面体 0.08168837
f = 20 メディアル20面体 0.0866101 (5角形×12，6角形×8)
468:１３２人目の素数さん
18/05/23 08:38:50.14 cqx5U6TU.net
>>441
細かくてすまんが、どう考えても正五角形ではないよな＞デューラーの立体の五角形
469:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:21:27.45 cqx5U6TU.net
「歪重角錐」ってワード、検索してもikuro_kotaro氏しか使ってないようなのだけど、
もともとはどういう言葉の訳語？
言葉の印象から、デューラーの８面体とは別物のような気もするが。
470:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:42:46.47 bPXXYTiJ.net
「メディアル ｆ面体」
[ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
f≧12 のときは 5角形×12，6角形×(f-12)
f = 8 0.074488 4角形×4，5角形×4
f = 10 4角形×8，4角形×2 （シリコンフラーレン）
f = 14 0.0833652 5角形×12，6角形×2 ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ）
f = 20 0.0866101 5角形×12，6角形×8
f = 32 5角形×12，6角形×20 切頂20面体（サッカーボール）
f = 42 5角形×12，6角形×30 切稜12面体
471:１３２人目の素数さん
18/05/23 10:00:31.64 bPXXYTiJ.net
>>446
歪重角錐 = ねじれ双角錐
trapezohedron = deltohedron = antibipyramid = antidipyramid
の訳語らしい。
URLﾘﾝｸ(hp.vector.co.jp)
472:イナ
18/05/23 10:45:35.61 Rj3qNk6E.net
>>443正六角柱の体積の値があってたみたいでうれしいです。正八面体と同じだったとは。銅メダル二人みたいな。前>>442
歪重角錐か。歪んでるような気がしたんだよなぁ。するとその歪重角錐のさらにその上のビジュアル八面体とやらが0.074いくらで最大値か。
473:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:04:54.26 SaS67Pru.net
ではそろそろ420の正解発表を聞こうか
474:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:35:49.76 UmkZrt7x.net
正解ぷりーず
475:イナ
18/05/23 11:51:08.00 Rj3qNk6E.net
今のところ>>438が最大。正八面体と同じだったことは残念だが。前>>449アンカー訂正。前々>>442前々
476:の前>>441 精度を増すと、 V=√√3/18 ≒0.0731152229 歪重角錐は今のところ言葉による想像にすぎないし、四角形と五角形を貼りつける八面体の存在も確認できない。
477:１３２人目の素数さん
18/05/23 12:10:18.05 zzKr5Jg7.net
四角形４枚と五角形４枚ってこんな感じ？
頂点数＝12 (A～Lとする)
五角形:ABCDE,DEFGH,GHIJK,JKLAB
四角形:AEFL,BCIJ,CDHI,FGKL
478:イナ
18/05/23 14:10:25.08 Rj3qNk6E.net
>>453展開図を描いた。正方形ととなりあうのは正五角形3個と正方形1個。正五角形ととなりあうのは正五角形3個と正方形2個。たしかに存在しますね。
一辺xの正方形と正五角形から中心までの距離をそれぞれa、bとして、
V=(1/3)x^2･a･4+(1/3)(正五角形の面積)･b･4=1
一辺xの正五角形の面積がわからない。
(○+√5)/△
こんな感じだったような。
前>>452
479:イナ
18/05/23 14:38:08.07 Rj3qNk6E.net
前>>454だんだん球体に近づくと考えて、
半径rの球の表面積S=4πr^2=1
r=1/2√π
半径rの球の体積V=(4/3)πr^3
=r/3
=1/6√π
≒0.0940316
480:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:10:18.65 cqx5U6TU.net
>>454
だから、「正方形」とか「正五角形」ではなく
ただの「四角形」とか「五角形」だと何度言えば。
＞たしかに存在しますね。
してません。
>>453
極大となるのが強い対称性を持つ場合だと仮定するなら
五角形CDEAB，FEDHG，IJKGH，LKJBAが互いに相似な
左右対称な五角形（CDEABであればEAの垂直二等分線が対称軸）であり、
四角形LAEF，FGKL，CBJI，IHDCが互いに相似な
等脚台形（LAEFであれば，LF//AE，LA=FE）
となるケースで考えればよいですかね。
五角形の形状が決まれば自動的に四角形の形状も決まります。
481:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:15:29.02 /54JzC6H.net
>>420
正解をどうぞ
482:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:28:32.45 cqx5U6TU.net
>>443 >>447 >>448
その用語を見ると、>>439さんが言ってるデューラーの立体（デューラーの８面体）は
「ねじれ重角錐台」に相当するのかな。
483:イナ
18/05/23 16:07:07.76 Rj3qNk6E.net
前>>455
ねじれでも腕ひしぎ逆十字でも、俺が出したこれは超えられまい。>>438
V=√√3/18
≒0.0731152229
484:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:02:08.85 bPXXYTiJ.net
>>453
1辺がxの正6角形から1つの頂点を取り去った5角形4つを ∧∨∧∨ と並べて正方形柱にする。
辺がx，x√3 の長方形2枚で屋根を葺く。底も同様ですね。
このままだと 1/{6√(3√3)} つまり正８面体と同じ。
よって歪ませて正5角形に近づける？
485:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:41:14.48 zzKr5Jg7.net
まず五角柱を考えて、その側面の四角形１枚に着目したとき、
上底面と下底面に接続する２辺それぞれに頂点を設けてそれらを結ぶと六角柱になります。
その代わりに、底面でない２辺上に頂点をそれぞれ設けてそれらを結ぶと五角形４枚＋四角形４枚の立体になります。
そう考えると、後者の方がなんとなく球体に近い形にできそうなそうでないような…？
486:１３２人目の素数さん
18/05/23 21:49:27.54 XdPIqpjy.net
ところで「デューラーの立体」って平行六面体の反対の角を切り落としたものだね
487:１３２人目の素数さん
18/05/23 22:29:36.30 zzKr5Jg7.net
>>462
そうね
２つある三角の面がそれ
488:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:05:56.52 ksY6GGNA.net
対称性のあるメディアル８面体を一般化するため
>>453 に合わせて、実際の空間座標を設定してみた。パラメータはa,b,rの3つ。
これで実際に表面積と体積を計算して、最大になる
489:ケースを求めればよい。 A(1+a,1-a,-b)，B(1-a,1+a,b)，C(1-ar,0,br)，D(1-a,-1-a,b)，E(1+a,-1+a,-b)， F(0,-1+ar,-br)，G(-1-a,-1+a,-b)，H(-1+a,-1-a,b)，I(-1+ar,0,br)， J(-1+a,1+a,b)，K(-1-a,1-a,-b)，L(0,1-ar,-br) ただし，パラメータは -1<a<1，b>0，r>1，ar<1 を満たす範囲で動く。 実際には，0<a<1の範囲を考えればいい気はする。 あとで暇なら計算するが，だれかやって。 なお、線分BA，ED，HG，KJの中点が，xy平面上の原点を中心とする1辺2の正方形をなすように 配置してます。
490:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:40:21.21 iiG4vaf/.net
>>462
さらに言えば、
ねじれ双3角錐（ねじれ重3角錐） >>448
の頂点部を切り落としたもの。（～台） >>458
491:１３２人目の素数さん
18/05/24 02:26:45.42 iiG4vaf/.net
>>462
ねじれ双3角錐（切り落とす前）の例
8つの頂点
±（0，0，3c/√12）
±（2a/√6，0，c/√12）
±（-a/√6，a/√2，c/√12）
±（-a/√6，-a/√2，c/√12）
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3}
体積V = aac,
表面積S = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
β = arccos((cc-aa)/(2aa+cc))
V / S^(3/2) ≦ 1/(6√6),
等号は a=c のとき （立方体）
492:１３２人目の素数さん
18/05/24 06:17:07.64 iiG4vaf/.net
>>466
頂点から k･L まで（Lは辺長、0<k<1) の正3角錐を切り落とす。
底辺：(√2)ak，底面積：(√3 /2)aak^2，高さ： (1/√3)ck，体積：(1/6)aac･k^3,
表面積の減少：(1/2)(√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,
V(k) = V(0) - (1/3)aac･k^3
S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,
493:１３２人目の素数さん
18/05/25 06:34:50.00 ohjGIEVt.net
>>466 >>467
V/S^(3/2) が最大となるのは、
k = 1（反正3角柱、アルキメデスの反プリズム）でかつ
c = 2a，β = 60°のとき。
一辺 L = (√2)a の正4面体を切り落とす。残ったのは一辺 L の正8面体か。
>>462 が正しいなら、 >>439 もハズレのような。。。
494:イナ
18/05/26 03:00:37.86 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でよくね？
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>459
495:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:12:26.07 idqdAluV.net
本当に人の話を聞かない御仁だな…＞コテハン
496:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:58:03.55 Tm+bfCXy.net
>>464
計算した。
AE = DH = GK = JB = 2(1-a),
BD = EG = HJ = KA = 2(1+a),
CI = FL = 2(1-ar),
CI～DH，CI～JB の距離 √{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
5角形ABCDE = {4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb),
4角形CDHI = {2-(r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
S = 4{4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb) + 4{2 - (r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
V = 8(1-aa/3)b + 4(1+a)b(r-1){1-(2+r)a/3},
・a = 0，b = 1/√3，r = 2 のとき
S = 12√3， V = 4√3， V/S^(3/2) = 1/{6√(3√3)}, >>460
・a = 0.1035 b = 0.379 r = 3.180 のとき
S = 18.7092102 V = 6.0163648 V / S^(3/2) = 0.074344865
やっと正8面体、正6角形、アルキメデス、デューラー etc を超えた。。。
497:１３２人目の素数さん
18/05/26 10:13:30.18 Tm+bfCXy.net
>>466
は菱形6面体（菱面体）でしたね。
498:イナ
18/05/26 12:17:34.10 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でいいと思うんだけど、ビジュアル八面体とやらが、メディアルか、が座標設定して計算で最大値を更新したのは確からしいな。
ただ、V≒0.074をどうやって出したかまだわからない。
∥∩∩∥V/S^(3/2)の
（(-_-)3/2ってなんだ？
（っц)~ V/S√Sか。
｢￣￣￣]前>>469
499:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:25:25.83 p7ZlenKz.net
そろそろ正解が聞きたいなぁ。いろんな計算結果は上がってるけどあくまで数学なんだからそれは正解にはなり得ない。意味ないわけではないけど。
500:イナ
18/05/26 12:34:00.52 IfNt0hdl.net
そもそも題意はS=1だろ。S=1のときVがいくらになるかを求める問題だったはず。
>>438これが正解だ。
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>473
501:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:47:38.91 Zk6GPK3+.net
まさか、正解を用意していなかったとかあるまいな
502:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:32:39.72 p7ZlenKz.net
最初の頃は出題者らしき人がのレス付いてたけど途中から出てこなくなってるから、ちょっと危ない感じもするけど。
503:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:51:29.80 idqdAluV.net
自分は出題者ではないし>>443でもないが
正解発表という意味では、
>>443 >>444あたりで紹介されてる
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
に記述のある
ゴールドバーグが見つけたメディアル多面体での
0.074488
ってのが現時点でのチャンピオンデータってことなんでしょ？
で、ikuro_kotaro氏の書き方も若干曖昧でゴールドバーグの論文を読んでみないと
本当のところはわからないけど、おそらくそれはまだ局所最適解に過ぎず
すべてのケースをくまなく調べたわけではないから、８面体についても未解決で、
ただゴールドバーグは一般にn面体についても
メディアル多面体において最大値をとると予想してる、って話だよね？
それが現時点での最大の結果でしょ？
それ以上の結果が出たらこんなところに書いてる場合じゃなくて論文を書くべき案件。
別に、答えが用意されてるパズルだけが「面白い問題」じゃないよね。
普通に思いつくところが正解ではなくて、まだ正解の探索の途中である問題だって
面白い問題には違いないのだから、それでいいじゃん。
504:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:57:49.09 idqdAluV.net
ちなみに、V/S^(3/2)の意味を理解せずに議論に参加してるつもりの人がいるようだが
ある８面体の体積がV、表面積がSのとき、
その８面体と相似で表面積が1の立体の体積がV/S^(3/2)になる。
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp) では
V/S^(3/2) が最大、ではなく S^3/V^2 が最小という言い方をしてるが、同じこと。
>>443にある値は、そこに紹介されてるS^3/V^2の値をV/S^(3/2)に換算してるだけ。
505:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:06:15.01 idqdAluV.net
>>471
お疲れさまです。ちゃんと、他のすぐ計算できるケースを超えるポイントが見つかったのですね。
SとVの式は自分も計算してみて同じ結果になりました。
ゴールドバーグはこんな計算から局所最適解を求めたのだろうけど
1935年だから、計算機による数値計算ではなくおそらく手計算だよな。
どうやったんだ…
506:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:30:57.93 p7ZlenKz.net
別に答えが用意されてようが何だろうがそれはかまわないけど、それならそれでそれは明示しとかんとダメだと思う。
507:１３２人目の素数さん
18/05/26 16:37:28.91 N2EQPiGo.net
>>479
その辺のメトリックを理解しない数学徒は皆無だろう
理解しない非徒は説明されても理解しない可能性が大
508:イナ
18/05/26 17:10:10.91 IfNt0hdl.net
立方体の一辺をx、切りとる二つの直角三角錘の二辺と高さをaとする。
八面体の表面積Sについて、
S=6x^2-3a^2+{(√3)/4}(a√2)^2･2=1
6x^2-1=3a^2-a^2･√3
a=√{(3+√3)(x^2-1/6)}―①
一辺xの立方体から一辺aの直角三角錘2個を引く。
八面体の体積V=x^3-2(a^3)/6
V=x^3-(a^3)/3―②
①を②に代入。
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
V'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
を満たすxにより、
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
≒？＞0.0731152229
前>>475
509:
510:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:41:49.72 ypScq2Bz.net
せめて「とある法則」ってのだけは教えてほしいわな
おそらく七角錐，正八面体はダメで六角錐は除外できないってことから
各頂点に接している面の数が3の多面体ってことなんだろうけど
511:イナ
18/05/26 21:31:07.58 IfNt0hdl.net
F'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
3x^2=(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}+(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
前>>483辺々を二乗すると、
9x^4=(4/9)x^2･(12+6√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/9)(12+6√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+2(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
9x^4=(4/9)x^2･(36+18+30√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/3)(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+(4x/9)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=12(18+10√3)･(3+√3){x^4-(1/6)x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=24(7+4√3){6x^4-x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
大変。
512:１３２人目の素数さん
18/05/26 22:03:24.34 p7ZlenKz.net
>>484
同意❗
513:
18/05/27 00:45:56.58 UhzuItQI.net
F'(x)=0でF(x)の最大値を出す法則と四則演算ならわかる。
前>>485
144･7-81+576√3)x^4-24(7+4√3)x^2+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3)(x^2-1/6)^2+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
514:１３２人目の素数さん
18/05/27 01:33:00.38 i5aSKt1a.net
>>483 >>485
辺長xのうち、頂点からaまでの部分を切り取るのだな。
V = x^3 - (a^3)/3,
S = 6xx - (3-√3)aa,
a = {(3-√3)/2}x = 0.6339746x のとき最大で
V/S^(3/2) = (1/6)√{(1+√3)/15} = 0.0711291315
>>467 で a = c，β = 90ﾟ，L = x の場合でござるな。
515:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:03:28.95 aeCCXXNU.net
>>471
自分でもプログラムで探してみたけど、
>>464の設定ではそのあたりが限界なのね…
自分の結果は
(a, b, r) = (0.103402, 0.379226, 3.177760) で 0.074344868
S^3/V^2でいうと180.92476とかで、
ゴールドバーグの結果と言われてる180.23とはまだ随分ギャップがあるなあ。
それに近づくには、>>464の対称性を崩さないといけないということ？
（まあ、その値が正しいかどうかもよくわからないが）
516:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:13:30.05 i5aSKt1a.net
>>483 >>485 >>487
S = 1 に限定すれば
x = √{(√3 +1)/15} = 0.426774789
a = √{(√3 -1)/10} = 0.2705643745
でござる。
517:イナ
18/05/27 02:40:09.42 UhzuItQI.net
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3){x^4-(1/3)x^2+1/36}+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(773+546√3)x^4-(186+106√3)x^2+(9+5√3)/6+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
前>>487
もっかい紙の上でやったほうがいいみたい。x出したいわけじゃないし。そうか、aがxの半分超えるぐらいおっきなることもあるんか。
518:１３２人目の素数さん
18/05/27 03:46:25.26 i5aSKt1a.net
>>480
>>443 の文献はここら辺↓に…
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Fig.1 の VIII の欄では >>453 >>457 >>460 と同じ配置
Table 2 で K は等周定数 (S^3 /V^2)
n=8，VIII の欄はたしかに K = 180.23
また傾き角（軸となす角）は 53ﾟ07'，15ﾟ23'
>>489
>>464 のような高い対称性をもつか不明でござる。（英語不得手により）
519:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:35:27.73 i5aSKt1a.net
>>483
S = 6xx - (3-√3)aa = 1
から
aa = (3+√3)(xx -1/6) … (1)
V(x) = x^3 -(1/3)a^3 … (2)
= x^3 - (1/3)(3+√3)^(3/2)･(xx -1/6)^(3/2),
V '(x) = 3xx - x(3+√3)^(3/2) x√(xx -1/6) = 0,
xで割って
3x = (3+√3)^(3/2) √(xx-1/6),
9xx = (3+√3)^3 (xx-1/6),
xx = (√3 +1)/15,
これを (1) に入れて
aa = (√3 -1)/10,
>>490 が出�
520:驕B
521:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:52:26.77 aeCCXXNU.net
>>492
実は自分も今その論文を眺めてたところ。
>>489で求めた値は、最大になるようなa,b,rの値の組を最初粗い格子点の中から探し
その周辺でさらに細かい格子点の中から探し、というような作業を
スクリプトを使って繰り返して（範囲の設定は手作業）
その精度での局所最適解を求めたのだけど、
その作業をすり抜けるような特異点が存在するとも思えないし、
実際そのa,b,rから各面の傾きを計算すると
その論文の値とほぼ一致するし。
本来は自分の計算の方を疑うべきなのだろうが、
>>471氏の計算とも合致してるので、
今は180.23という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
論文に載ってる２つの角度だけではその８面体の形状は特定できないので
もっと詳しく書いておいてくれればよかったのに＞ゴールドバーグ氏
ネットで検索しても、その立体の展開図みたいなものは見つかるのだが、
細かいサイズや実際のS^3/V^2の値とかの定量的な話が全然書いてないんだよな
522:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:27:35.29 CGYiTgTM.net
この手のはいくらでも先に進めるけれど進んだところで意味が無い計算の1つ
数学の袋小路
これが役に立つ例を他の学問分野から必要とされない限り
よくできましたで賞にしかならない
523:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:58:20.93 6sMTwTbT.net
4色問題もそうだし、おおよその整数野未解決問題もそうなんだよなあ
524:イナ
18/05/27 19:52:43.78 UhzuItQI.net
前>>491
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
もしやただ単にx^2=1/6のときF(x)は最大とかいう話？
F(1/√6)=1/(6√6)
≒0.0680413817
こんな簡単でいいの？
525:イナ
18/05/27 20:03:51.93 UhzuItQI.net
前>>497ちがうか。やっぱり>>438でF'(x)=0で最大値が出たことを思うと、
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)} これもF'(x)=0でできんかなと思うんだよ。
F(x)=？
≒0.074
526:イナ
18/05/28 07:14:10.67 DLDfn9F5.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
|＿＿＿＿｣
（(-ﾟ-)
＿ '``ちょっと寝る。
だから―。前>>498お願いだ。もっかい微分で解かせてほしい。
527:イナ
18/05/28 20:06:22.78 DLDfn9F5.net
>>490式と計算過程も書いてほしいよ。
前>>499
S=6{x^2-(a^2/2)}+2(√3/4)(a√2)^2
=6x^2-3a^2+√3･a^2=1
(3-√3)a^2=6x^2-1
a^2=(6x^2-1)/(3-√3)
=(x^2-1/6)(3+√3)
V=x^3-2(1/3)(a^2/2)a
=x^3-a^3/3
=x^3-(a/3)(x^2-1/6)(3+√3)
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}a
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}√{(x^2-1/6)(3+√3)}
V'(x)=3x^2-(1/3)(2x)(3+√3)√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
{x-(1/√6)}^2=x^2-2x/√6+1/6=x^2-1/6-2x/√6+1/3
x^2-1/6={x-(1/√6)}^2+
2x/√6-1/3
(休憩)
528:イナ
18/05/29 02:49:24.32 2oLTtdTc.net
>>488
V=0.0711……だったら0074どころか、正六角柱の0073より小さいじゃないか!!
前>>500
感覚的に正六角柱には及ばないと思ったんだよ。計算しようとして、できたわけじゃないけど、無駄な計算だった。
じゃああれだ、大御所、五角形4つと四角形4つで微分、お願いします。
数式で出した最大値はいまだ正六角柱の0.073……ですもんで。
529:イナ
18/05/29 09:22:46.22 2oLTtdTc.net
前>>501
長方形4つの長辺およびホームベース形五角形4つの上辺をxとし、今仮に五角形4つの上辺と
530:向かいあう内角を60°として垂直に柱を建て屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。 S=x(x/√3)4+{x(x/√3)+(x/2√3)(x/2)}･4 (4/√3)x^2+(4/√3)x^2+(x^2)/√3=1 9x^2/√3=1 x^2=(√3)/9 V=x^2{(x/√3)+(x/2√3)} =(√3)/9{(x/√3)+(x/2√3)} {(√3)/9}･3x/(2√3) =x/6 =√(√3)/6･3 =√(√3)/18 =0.0731152…… このゴキブリホイホイを切って天地逆にくっつけたような無用の立体は、先の正六角柱と同値。 さらに体積を増すには、五角形の角度を60°より大きくする手が考えられる。たとえば72°は無理かもしれないが、五角形を正五角形に近づけるべく柱を傾けてはどうか。つまり柱も梁も棟もすべて同じ長さにしたとき体積は最大になるんじゃないか。仮説です。
531:１３２人目の素数さん
18/05/29 15:00:58.00 n11ck1yy.net
>>502
五角形の内角が 120ﾟ×3、90ﾟ×2 で4辺の長さが (x/√3)
長方形の辺長が x と (x/√3)
>>460 を 1/√3 倍に縮小したものと同じですね。
頂点を垂直方向にずらすだけでは、それ以上改良しないと思われ…
532:１３２人目の素数さん
18/05/29 16:16:31.38 RTi38Ocg.net
私はやってないのでいう権利ないかもしれないけど、ともかくこれだけ頑張って計算してる人いるんだから、間違ってないならそろそろ＂とある法則”上げてもいいんじゃね？なんか計算の足しになるかもしれないし。
533:イナ
18/05/29 16:19:46.35 2oLTtdTc.net
前>>502
五角形の内角を72°として斜めに柱を突きだし屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。一辺xの正五角形と三辺xの四角形を貼りあわせた八面体の鳥瞰図を描く。
四角形の残りの一辺y(棟と地下のねじれの位置にある一辺も同じく)はやや小さく(y<x)、四角形は面積(x+y)x/2の台形。
S=4(x+y)x/2+4{(1+√5)/2}x^2=1
2x^2+2xy+2(1+√5)x^2=1
2xy+2(2+√5)x^2=1
2xy=1-2(2+√5)x^2
y={1/(2x)}-(2+√5)x
上の棟から真っ二つに切った七面体V/2(上辺t=y→x)
五角形の辺はt一つ、{(1+√5)/2}x二つ、x二つ。
V/2
=∫(t=y→x)
=
>0.0731152……
ちょっと超えるはず。五角形の内角を72°にできれば、八面体V=0.074……
534:１３２人目の素数さん
18/05/29 18:12:11.36 n11ck1yy.net
>>471 と >>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x として
五角形ABCDEは
∠A = ∠E = 104.73844ﾟ，∠B = ∠D = 113.06566ﾟ，∠C = 104.3918ﾟ （正五角形： 108ﾟ)
AB = DE = 0.406444x，BC = CD = 0.69826x，AE = 0.89660x，BD = 1.10340x
S_5 = 0.62920xx
台形CDHIは
CI = FL = 0.67141x，CI～DH 0.68912x
∠C = ∠I = 99.2793ﾟ，∠D = ∠H = 80.7207ﾟ
S_4 = 0.54027xx
合計で
S = 4.6779xx
V = 0.75219x^3
>>464 と >>471 の設定は x=2 です。
計算はチラシの裏でもできますが…
535:イナ
18/05/29 19:01:38.40 2oLTtdTc.net
―／￣￣￣/＼
_/＿＿＿_/ |
∥￣￣￣∥ |
∥ ∥／~~~~
~＼ ／~~~~~
―-＼／~~~
前>>505訂正。72°⇒108°
536:イナ
18/05/29 22:07:16.16 2oLTtdTc.net
前>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n＿_n n_＿＿
。 ∥>//￣￣￣￣￣￣//
_∩∩//＿＿＿＿＿＿//|
( (`)(-^-)（ -~-)zz..
(っц)_U_Uzz.````_/|_/
_|υυ￣￣￣￣￣￣|＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿
537:イナ
18/05/30 02:31:18.23 HVx7wYPO.net
一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
前>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2･x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0
538:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:32:35.18 ddqYu1Wl.net
>>505
一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き： arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
φ = (1+√5)/2 = 1.61803399 (黄金比)
sin(18ﾟ) = (φ-1)/2, cos(18ﾟ) = (1/2)√(2+φ),
sin(36ﾟ) = (1/2)√(3-φ), cos(36ﾟ) = φ/2,
S = 4(S_5 + S_4)
= {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
= 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
= 10.0584124 xx,
V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
= 2.297540285 x^3,
V / S^(3/2) = 0.072022630
う～む
>>506 を見ると、内角は108ﾟに近いが、辺長は不均衡（AB と DE が短く、AE が長い）
辺長を変えれば改善するか？
539:１３２人目の素数さん
18/05/30 06:12:08.84 ddqYu1Wl.net
>>510
BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH，BJ の距離 (1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差 x/√(2φ),
5角面の傾き： arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
は>>510 のままで
AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z, ( =y )
BDHJ と AEGK の高低差 (x-φz)√(φ/2),
とすると…
>>505
台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)･√(3x-y) ...
540:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:12:00.25 6H7MnT2U.net
コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)８枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す
面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷３の総和、ってことで機械的に求められるのではないか
541:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:45.48 FdL02lRD.net
実は関数方程式も大好物でござる
A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
542:１３２人目の素数さん
18/05/30 09:56:31.72 ddqYu1Wl.net
>>511
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
V(x,z) = (1/6)√(φ/2)･{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)･{(φφ/3)x + z}xx,
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
BC = CD = x,
AB = DE = 0.5939827x,
AE = 1.2509325x,
CI = 0.8689665x,
S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
V = 2.104005x^3,
V / S^(3/2) = 0.07412278177
>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…
543:１３２人目の素数さん
18/05/30 10:09:10.39 ddqYu1Wl.net
>>514 訂正ｽﾏｿ
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz －φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208， AE = 1.28405 となる。。。
544:イナ
18/05/30 17:10:49.78 HVx7wYPO.net
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
前>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}･xsin18°･(1/2)
={(3+√5)/4}x^2･(√5-1)/4･(1/2)
(√5+1)/16･(x^2)
S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1
V(x)=
V'(x)=0
台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。
545:イナ
18/05/30 17:39:59.82 HVx7wYPO.net
前>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ―……
546:イナ
18/05/30 21:55:18.04 HVx7wYPO.net
前>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)
547:１３２人目の素数さん
18/05/31 03:44:32.13 eo/xqWlC.net
そろそろ次の問題出していい？
548:１３２人目の素数さん
18/05/31 11:12:45.39 1i3xzGBS.net
三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積
{x + (3-√5)x/2}･x cos(18ﾟ)･(1/2)
= {(5-√5)/2}xx･√(10+2√5)/4･(1/2)
= √(50-10√5)/8･xx
= 0.6571639 xx,
549:イナ
18/05/31 12:03:08.39 oQbVMAkg.net
>>520台形の一辺が違ってましたか？
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか―。
前>>518
550:１３２人目の素数さん
18/05/31 12:22:47.56 LSNoQXxv.net
拘束条件がなさすぎて数学の問題としてやるには難しすぎるし、そういうアプローチをしてる人もいないし無意味
551:イナ
18/05/31 14:11:34.74 oQbVMAkg.net
一辺xの正五角形4つと、
三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1で、
前>>521
八面体の体積出して微分して=0にして、体積0.074が出ればそれでじゅうぶんです。
もっと大きな八面体があるいは存在するかもしれませんが、一辺xの正五角形4つと、三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1のやつは一意に決まると思うもんで、それがまずは知りたい。
この問題、競りのようでおもしろい。自分が最高値を出すのを楽しみにしてる。
552:１３２人目の素数さん
18/05/31 14:36:51.92 89o9fjti.net
>>519
どうぞどうぞ。
KYで声のでかい奴の専用スレじゃないので。
553:１３２人目の素数さん
18/05/31 15:04:47.94 fih1epUm.net
>>519
少し遡れば解かれずに放っとかれてる問題ある程度あるし気にせず出しちゃえ
554:１３２人目の素数さん
18/06/01 22:29:12.26 ISxYUmxo.net
左右の次数が一致しない漸化式（例えばa_(n+1)=(a_n)^2+1）は一般には解けないが、初項を置き換えるとうまくいくことがある。
(1)
-1≦a_1=A≦1
a_(n+1)=2(a_n)^2-1
の一般項を求めよ。
(2)
b_1=B∈R
b_(n+1)=(b_n)^2-2
の一般項を求めよ。
555:１３２人目の素数さん
18/06/01 23:21:09.08 977NFEF3.net
倍角？
556:１３２人目の素数さん
18/06/02 01:38:49.70 L/4yyydP.net
>>526
(1) a_n=cosθ[n] と置くと cosθ[n+1]=cos(2θ[n])
この解は θ[n]=θ[1]*2^(n-1),
a_n=cos(2^(n-1) arccos A)
Wlfram Alphaの解答 URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
557:5D%3D%3D2*a%5Bn%5D%5E2-1,a%5Bn%5D,n%5D (2) (1)と同様に b_n=e^(z[n])+e^(-z[n]) と置くと b_n=α^(2^(n-1))+β^(-2^(n-1)), (α,β=(B±√(B^2-4))/2) Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bb%5Bn%2B1%5D%3D%3Db%5Bn%5D%5E2-2,b%5Bn%5D,n%5D 類題：√Xの開平計算で使うNewton法 x_0=1, x_(n+1)=((x_n)^2 +X)/(2x_n) の一般項はx_n=coth(y_n)と置くと x_n=(√X){(1+√X)^(2^n) + (1-√X)^(2^n)}/{(1+√X)^(2^n) - (1-√X)^(2^n)} Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bx%5Bn%2B1%5D%3D%3D(x%5Bn%5D%5E2-X)%2F(2x%5Bn%5D),x%5Bn%5D,n%5D
558:１３２人目の素数さん
18/06/02 02:27:05.94 G2b8XSzz.net
(2) は 両辺2で割って a_n = (1/2)b_n とおいて(1)使えばよいのでわ？
559:イナ
18/06/02 05:51:13.38 zaslUUou.net
正五角形4つの各辺と台形4つの三辺をxとし、台形どうしの接する屋根の棟および逆屋根の下端に位置する辺をy(x>y)とすると、
前>>523(図は省略)
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
y={1-√(20-38/√5)}x
棟の長さがxで表せた。
あとは体積。
V(x)=
V'(x)=0
上棟するには微分するしかない。
560:イナ
18/06/02 08:38:40.89 zaslUUou.net
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
前>>530おかしい。
y=x-√{x^2-(38/√5-19)x^2}
=x-x√(20-38/√5)
={√(20-38/√5)-1}x
=0.7337482……･x
台形の接合線yは、xの7割ぐらいだとは思うんだが｡
V(x)をどうやって出すか。V(x)=y/10ぐらいだと理想的。
561:１３２人目の素数さん
18/06/02 08:46:00.26 qc99k5Fr.net
>>528
√a の開平計算で使うNewton法は
x_{n+1} = x_n - 2x_n {(x_n)^2 -a}/{3(x_n)^2 +a}
= x_n {(x_n)^2 +3a}/{3(x_n)^2 +a}
でござる。これの一般項も出せぬか??
562:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:37:24.31 L/4yyydP.net
>>352
cothの3倍角の公式：coth3x=(coth x)(coth^2x + 3)/(3coth^2x+1)から
x_n=(√a)coth z_n と置くと coth z_{n+1} = coth 3z_n
∴ z_n=3^n z_0,
x_n=(√a)coth(3^n arccoth(x_0/√a))
563:１３２人目の素数さん
18/06/02 11:51:16.40 L/4yyydP.net
>>532 の間違い。
一般にp次収束するNewton法は、(収束先)*[1+(p^nの指数関数)]という形になり、
一般項が簡単な式であらわされる場合があります。
564:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:54:14.55 ItLI/UY3.net
某botで唯一☆12(Legend)を付けられている問題
a,b,c,dが正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-d)/(b+c+d)
+(c-d)(c-a)/(c+d+a)
+(d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧0
を示せ。
模範解答は3つあるが、いずれもエレガントな解き方ではない
565:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:56:52.26 ItLI/UY3.net
ちなみに縮小（拡張の反対）したバージョン2通り
(1)
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-a)/(a+b+c)
+(c-a)(c-b)/(a+b+c)
=(a^2-ac+b^2-ba+c^2-cb)/(a+b+c)
=(1/2)(2a^2-2ac+2b^2-2ba+2c^2-2cb)/(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/(a+b+c)
≧0
等号成立はa=b=c
(2)
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
≧0？
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
=((a-b)(b+c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b-c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c-d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c+d)(d-a))/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(abca+abdd+accd-acda+bbcd-bbda-bcca-bcdd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(a-c)(b-d)(ac-bd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
a≦c≦b≦dのとき負であるから偽
566:１３２人目の素数さん
18/06/02 16:58:09.50 ItLI/UY3.net
>>536
訂正
最後の行は「a<c<b<dのとき負であるから偽」
567:526
18/06/03 22:40:41.09 8Esgc1bN.net
>>528 (1),(2)正解
(2)は(c+1/c)^2=(c^2)+1/(c^2)+2が思い出せるかが鍵であった。
(1)も初項を(1/2)(c+1/c)（
568:これはc=e^xとすればcosh(x)の定義）とおけば解ける。 >>529 b_1∈[-2,2]の場合は確かに2cosθとおくと解ける 初項を三角関数でおくと解けるような漸化式のパターンは整理してまとめる必要があるかもしれない
569:１３２人目の素数さん
18/06/04 09:18:52.07 tzM+Pvvj.net
>>533 >>534
かたじけのうござる。
>>535 [100]
IMO-2008 Short List A.7
a-c=x，b-d=y の2次式と考えて、半正定値となることを示す。
確かに面倒くせぇ…
570:イナ
18/06/04 14:37:57.78 8ezyuuAm.net
>>420
ほととぎすの鳴き声を聴きながら、黄金二等辺四面体の中にある、正五角形4つと三等辺台形4つからなる八面体を切りだすことを考えています。前>>531
571:イナ
18/06/04 14:54:40.80 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。
572:イナ
18/06/04 14:55:01.70 8ezyuuAm.net
前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。
八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。
あとはそこから切り落とす部分。
573:１３２人目の素数さん
18/06/04 15:38:18.38 tzM+Pvvj.net
>>536
(1) は (a+b+c) を掛けた方が分かりやすい…
(2) の類題
[166] a～d>0 のとき
(a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) ≧ 0,
クロアチア MEMOTST-2009 day1-Q.1
574:イナ
18/06/05 05:22:33.74 +cO1MVWm.net
>>420近似値を求めよとは言ってない。
>>438にあるように、
V=√(√3)/18
のような確定的な値を示すべきだ。
前>>542
一辺xの正五角形4つと三等辺台形[三辺がxで、あと一辺は{(√5-1)/2}x]4つからなる八面体の体積を0.074という近似値ではなく、
V=√(√3)/18
のような確定的な値で示せないか。これが示せて初めて正解だろ。
もっともxやx^2の値は、表面積1の条件から近似値が求まる。が、求める値はxやx^2の値ではないし、そもそも近似値は近い似た値であって正解じゃない。
575:１３２人目の素数さん
18/06/05 05:53:05.51 E6Px16gW.net
続けたまえ
576:１３２人目の素数さん
18/06/05 06:32:38.78 RI7aB28L.net
>>539
礼には及ばぬ。お気に召さるな。
577:１３２人目の素数さん
18/06/05 10:22:27.38 Ysbk5G+R.net
>>544
方程式が代数的に解けない可能性があることを忘れずに。
先の>>464を偏微分で解こうとして式をたててみたところ、rについて５次の項が出てきたので、その可能性はあると考えている。
なので、まず解析的に解くという方針は正しいかもしれない。
578:１３２人目の素数さん
18/06/06 07:05:16.27 xxwxn7ab.net
>>543 (2)
(a-b)/(b+c) = (a+c)/(b+c) -1
(c-d)/(d+a) = (a+c)/(d+a) -1
辺々たすと
(a-b)/(b+c) + (c-d)/(d+a) = (a+c){1/(b+c) + 1/(d+a)} -2
≧ 4(a+c)/(a+b+c+d) -2, (← AM-HM)
同様に
(b-c)/(c+d) + (d-a)/(a+b) ≧ 4(b+d)/(a+b+c+d) -2,
辺々たす。
579:イナ
18/06/06 16:11:11.85 NQEcakbH.net
>>420八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
前>>544正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x･(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体（八面体の外にある）の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。
580:イナ
18/06/06 16:15:29.57 NQEcakbH.net
前>>549修正。
八面体の体積をxで表せれば解ける可能性がある。
六角柱は微分した。
ホームベース型五角形4つと長方形4つは微分しなかったが六角柱と同値。
正五角形4つと台形4つが最大かどうかはともかく、これらを超えることは明らか。体積をxで表せれば。
台形同士がとなりあう辺は2つあり(仮に棟木と底辺と名づける)、長さは、
(√5-1)x/2
たがいにもっとも離れていて、90°ねじれている。
正五角形を含む二等辺三角形を延長してできる、4つの二等辺三角形で囲まれた四面体から、棟木と底辺の2つの水平面で切り分けた、断面2x･(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体（八面体の外にある）の体積は、
(x^3)√(25+10√5)/4
この因数は、かなりあってると思う。
581:１３２人目の素数さん
18/06/06 18:03:07.23 n39uR33J.net
ちょっと方向性を変えて、現時点で8面体の場合は難しいとして、何面体までなら現時点で求まるんだろう？5面体ぐらいまでならなんとか厳密解は求まる希ガス。6面体位が解決出来るか否かの瀬戸際？
582:１３２人目の素数さん
18/06/06 19:45:37.39 LsL7ewWi.net
>>551
五面体って四角錘と三角柱(と位相同形なもの)の他にあったっけ？
583:１３２人目の素数さん
18/06/06 21:40:07.01 n39uR33J.net
>>552
多分それで全部。でも4面体でもかなりムズイ
584:イナ
18/06/06 22:13:34.88 NQEcakbH.net
>>552ある。
2x、(√5-1)x/2の長方形を底面とする五面体。
x、2x、x、(3+√5)x/2の台形で前後、
x、x、(√5-1)x/2の二等辺三角形で左右を挟む。
前>>550名づけて、ニベアの底。
{(x^3)/4}√(25+10√5)
585:１３２人目の素数さん
18/06/06 22:48:25.85 EP2keEH6.net
>>554
それ結局三角柱と同形だろ
586:１３２人目の素数さん
18/06/06 22:49:45.62 LsL7ewWi.net
>>554
それは三角柱と位相同形
587:イナ
18/06/06 23:20:48.78 NQEcakbH.net
前>>554
>>555>>556違う。三角柱じゃない。左右の二等辺三角形の面が底辺の長方形に対して外に開いてる。五面体だ。
2xより(3+√5)x/2のほうが少し大きい。ラミネートチューブのニベアだぞ。八面体を四面体の中に封じこめた。水平に斬った。断面は正方形だ。
一辺(3+√5)/4
斬った2体を横に並べて同じかたちに等積変形していく。直方体にすれば絶対求まる。二方向は足し算や平均で出る。一方向だけは三平方の定理が必要。ニベアの底でもやったし、二種類の台形と二等辺三角形2つと長方形で囲まれた五面体でもすでにやった。
全体が正しく求まればあとは引き算で出る。八面体をxの三次式で出すぞ。微分して二次だして=0で字数を下げる。シンプルな式になればいいんだけど。
588:１３２人目の素数さん
18/06/07 00:02:00.50 n/uc+6Kl.net
>>557
もしかして：位相同形の意味知らない？
589:１３２人目の素数さん
18/06/07 01:12:11.48 i4FD80T1.net
なんか綺麗な形とかにならわのかね
590:１３２人目の素数さん
18/06/07 01:22:47.10 Y05WzRQF.net
4面体は正四面体だろうけど、５面体はどうだろう？
歪めた３角柱だろうなとは思う。正三角柱くさいが。
４面体で最大も結構示しにくい。
591:イナ
18/06/07 04:17:01.76 fHjWRa4l.net
前>>557
>>560正五角形と三等辺台形でできる八面体がすっぽり入る黄金比二等辺三角形四面体の体積を求めました。
最大値をxで表して微分して=0で次数下げてx^2からx出して最大値求めて電卓使って近似したら11.686935
0.074よりはるかに大きくなりました。
592:１３２人目の素数さん
18/06/07 10:08:48.01 n/uc+6Kl.net
表面積1の球の体積が約0.094
これより大きくはなりようがないと思うが如何か
593:１３２人目の素数さん
18/06/07 10:43:47.55 BLDmLkdD.net
計算間違いと逆数にしたのと。
594:１３２人目の素数さん
18/06/07 11:23:31.73 55KNO4WC.net
>>551
n＝4,5,6,7,12以外は未解決らしい
「離散幾何学における未解決問題集」シュプリンガー・ジャパン(2009) p.394
595:イナ
18/06/07 14:45:01.84 fHjWRa4l.net
前>>561
四角形どうしがとなりあう辺がやや短い{(√5-1)/2}xと気づいたが、もしかすると五角形どうしがとなりあう辺と、五角形と四角形がとなりあう辺とでは、その条件の違い�
596:ｩら長さを変えてくるんじゃないか、自然界は。 あと、計算間違いの可能性はある。 √(√3)/18を超えたい。 中に水溜めてメスシリンダーに移しかえて実測値を量りたいわけじゃない。背面跳びでもベリーロールでもいい、ただ超えたいだけ。
597:１３２人目の素数さん
18/06/07 14:47:26.69 1rV5JhAO.net
初めてなのでルール違反があれば教えてください
g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)はa_1,a_2,…,a_nの最大公約数である
a_1,a_2,…,a_nが互いに素であるとは、g.c.d(a_1,a_2,…,a_n)=1である事を意味する
a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素であるとは、a_1,a_2,…,a_nの中からどの様にk個取ってきても互いに素である事を意味する
σ_k(a_1,a_2,…,a_n)はk次の基本対称式とする
ただし、σ_0(a_1,a_2,…,a_n)=1
この時
「a_1,a_2,…,a_nがk個ごとに素である」…①
と
「σ_(n-k+1),σ_(n-k+2),…,σ_nが互いに素である」…②
が同値である事を示せ
598:１３２人目の素数さん
18/06/07 15:21:37.68 3xfkAX0Q.net
>>566
f(x)=(x-a1)…(x-an)とおく。
①⇄∀p f(x)のxの多重度がmod pでk未満
⇄∀p f(x)のk以下の次数の係数のいずれかが0でない
⇄②
599:１３２人目の素数さん
18/06/07 17:07:02.73 1rV5JhAO.net
>>567
想定していなかった解答ですが、自分が考えた物より遥かにエレガントです
もう自分の解答なんか出せない…
ので代わりに、用意していたもう片方の問題をば
Λを原点を除く2次元列ベクトル空間の格子点の集合とする
列ベクトル(a,b)∈Λに対し、aとbが互いに素である事を(a,b)～1と表記する事にする
全てのv∈Λに対してAv∈Λなる行列Aを格子行列と呼ぶ
この時、格子行列Aが「任意のv∈Λに対して、v～1ならばAv～1である」を満たす時、Aの行列式を求めよ
これもすぐ解かれたらもう少し勉強します
600:１３２人目の素数さん
18/06/07 22:42:17.40 HuW8Hkll.net
>>420
未解決問題じゃねえか
糞が
ﾀﾋね
お前の頭劣等感婆か？
601:イナ
18/06/07 23:18:10.31 fHjWRa4l.net
>>569未解決なの？
0.074超えの数値が出ただけか。
前>>565
>>438てことは一辺x高さyの六角柱を微分して出した√(√3)/18か、三つのパラメーターで空間座標設定した人のが今のとこ人力で導かれる最大値か。
五角形は正五角形なのかとなりあわない二辺が少し短いのか、四角形は三等辺台形なのかただの等脚台形なのか、まだなぞがいっぱいです。
602:１３２人目の素数さん
18/06/07 23:51:56.94 zA2lx+rZ.net
>>564
>n＝4,5,6,7,12
の場合の答えはなにか載ってました？
n=4,6,12のときは流石に正多面体の時っぽいけど。
603:１３２人目の素数さん
18/06/07 23:54:19.77 zA2lx+rZ.net
>>564
たっか～。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
604:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:24:31.13 r5bxmv7X.net
>>564 >>571
n=4,6,12 のときは正n面体らしい。
(∵ 各頂点に3本の稜が集まり、球面に外接する。）
>>443 のリンク
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
605:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:53:07.64 DFewMgI5.net
>>568
泥臭いけど。
整係数の行列A,Bについて
B=[[1,k],[0,1]]A, A[[1,k],[0,1]], [[1,0],[k,1]]A, A[[1,0],[k,1]]→A≡B
をみたす最小の同値関係を≡とする。
一般にPID上の行列はこの変形で対角化される。(証明はry)
行列は行ベクトルに右から作用させるものとする。
(旧課程の高校の教科書の逆だけど気にしない。)
(※):任意のv∈Λに対して、v～1ならばAv～1である
と定める。
以下整係数行列Aに対しBをA≡BでBは対角行列となるものとする。
このとき
ユークリッドの互除法の議論より
Aが(※を満たす)⇔Bが(※を満たす)。
また
detA = detBより
detA=±1⇔detB=±1
一方でB=[[p,0],[0,q]]とするとき
Bが(※を満たす)⇔p,q=±1
detB = ±1⇔ p,q=±1
606:１３２人目の素数さん
18/06/08 00:56:07.50 9tvzJv7X.net
>>573
thx!
n=20も流石に正多面体っぽいね、n=8のときが唯一の例外臭いね。
607:１３２人目の素数さん
18/06/08 01:05:42.81 OwX5577s.net
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
の
＞多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，
＞ Ｖ＝Ｓ／３
＞となることから，
＞ Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ
＞したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または
＞最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます
がわからない？？これなんでかだれかわかります？？
もしV^2/S^3で球に外接しないものがあるとすると何故矛盾するんでしょう？
608:イナ
18/06/08 03:10:33.54 n7O1sKDD.net
>>573
ゴールドバーグさんは示されたんですね。前>>570その歴史の存在はわかりました。
でも我々は、式とそこから導かれた答えでないと認めないルールでやってきてます。それにできればそのビジュアル八面体とやらを図示していただきたい。
手書きでもいいですが、できれば実物の模型がいいですね。辺の長さとかバランスとかどうなってんですかね。
四角形と五角形がどんな四角形とどんな五角形か、納得いくようにその立体のかたちを説明してください。実在するんですか。
609:１３２人目の素数さん
18/06/08 07:08:45.48 xXWPeHIT.net
やっと見つけた。
Theorem(L. Lindelöf)
面積^3/体積^2の最小値を与える多面体は球に外接する
証明載ってそうな本
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
37.75ユーロ…orz
610:１３２人目の素数さん
18/06/08 08:08:27.84 ITi87fOm.net
>>578
しかもフランス語…
例のGoldbergの論文の最初のあたりをちゃんと読むと、
同じ面の数の多面体でＳ^3/Ｖ^2を最小にするのは
すべての面が１つの球に各面の重心で接するときだ、ということを
Lindelofが示した、とたしかに書いてますね。
直感的に考えると、そういう状態でないと極小値にならない
（少し動かしたらもっと小さくできる）
というような話なのかとは思います。
そうすると、>>486のメディアル8面体で、そのような状態になるような
パラメータa,b,rを求める、というのはできそうですかね。
それが>>471，>>489あたりの数値計算の結果と一致するか
もしくは、Goldbergの論文の180.23という値と一致するか、も
知りたいところです。
611:１３２人目の素数さん
18/06/08 11:08:18.22 uyKvXzxT.net
次の定理を下に示す4つの場合について証明せよ。
多面体の面の
612:全てに、その面積を大きさにもちそれぞれの面から垂直に多面体を飛び出す向きにベクトルをとると、そのベクトルの和は零となる。 (1)四面体 (2)角錐 (3)凸多面体 (4)多面体
613:１３２人目の素数さん
18/06/08 11:23:46.15 E/oBAxNr.net
すべての多面体は、有限個の四面体に分割できる
と仮定していいの？
614:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:07:26.06 r5bxmv7X.net
・正8面体 … 明らかに球面に外接する。
・正6角柱
一辺xの正六角形を底面とする高さyの正六角柱
y = (√3)x のとき最大で、球面に外接する。>>425 >>430
・メディアル8面体
>>464 の座標を使うと、
5角面ABCDE は x +(a/b)z = 1,
原点～5角面の距離は d_5 = b/√(aa+bb),
台形面CDHI は z = br + my，m = b(r-1)/(1+a),
原点～台形の距離は d_4 = br/√(1+mm),
>>489 の結果の数値から
d_5 = 0.96477885
m = 0.74846993
d_4 = 0.96477948
∴ 球面に外接する。（誤差の範囲内で)
615:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:47:23.35 r5bxmv7X.net
>>580
i番目の面に対するベクトルをＳ_iとおく。
任意の向きの単位ベクトルｅをとる。
この多面体をｅに垂直な面に射影する。
向こう向きの面(S_j) の影の面積は e・Ｓ_i
手前向きの面(S_j) の影の面積は ｅ・(-Ｓ_j) である。
・は内積。
それぞれ合計したものは多面体の輪郭と一致するから
ｅ・(ΣＳ_i) = ｅ・(-ΣＳ_j),
ｅ・ΣＳ = ｅ・(ΣＳ_i + ΣＳ_j) = 0,
ｅの向きは任意だったから
ΣＳ = Ｏ.
616:１３２人目の素数さん
18/06/08 12:57:46.26 E/oBAxNr.net
七面体の解はどんなだろう？
正五角柱か、あるいは立方体の角を落としたものか
617:１３２人目の素数さん
18/06/08 13:30:54.48 r5bxmv7X.net
>>582 追加
・切頂立方体
立方体の一辺をx、切り取る二つの直角三角錐の3稜をyとする。
y = {(3-√3)/2}x のとき最大で、 >>483 >>485 >>488
原点と（x/2-y/3，x/2-y/3，x/2-y/3) の距離は (x/2 -y/3)√3 = x/2,
∴ 球面に外接する。
618:１３２人目の素数さん
18/06/08 14:53:42.28 ITi87fOm.net
>>582
Goldbergの論文によると、球に外接する正五角柱です。
どんな場合もメディアル多面体の中に正解があると予想しているのだから、
少なくとも今まで正解が判明しているものはすべて答えはメディアル多面体。
７面体の場合は、四角形5つと五角形2つの五角柱と同じ面／辺／頂点の構成と
なってるのがメディアル多面体で、その中で、辺と頂点からなるグラフの持つ
対称性がそのまま図形としての対称性となってる正五角柱が正解なのは
自然な結論。
619:１３２人目の素数さん
18/06/08 15:41:39.47 9F3pIZPF.net
>>578の定理めっちゃ面白いのにネットに証明転がっってないのは残念。
自分で示せそうにないし。
なんかMinkowskiの不等式なるものを使うっぽいけどそれ自体も見つからんし。
620:イナ
18/06/08 19:01:20.32 n7O1sKDD.net
メディアル八面体がわかるなら式を書いてよ。辺をxとかyとか未知数で表した式を。未知数は二つぐらいのほうがいいと思う。メディアル八面体より小さくてもいいよ。
前>>577ホームベース型五角形4つと長方形4つで
√(√3)/18になったのを進化させた次のやつがあるんじゃないの。屋根120°って勝手にきめてこの値が出たんだ。体積が大きくなりそうなかたちを勝手に決めようよ。未知数2つで三次式なら微分して表面積=1で一文字消えて解けるよ。だからなるべく簡単な構造がいい。
621:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:12:17.79 Mfly9++H.net
>>571
最大を達成する形については特に載って�
622:ﾈかったな やっぱりGoldberg氏の論文が紹介されてる それとGoldbergの面白い予想(当然未解決) 「当たられた面数、表面積と最大体積をもつ全ての3次元多面体は単純である (多面体が単純⇔各頂点がちょうど3本の辺に属しているもの)」 ってのが載ってた
623:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:47:16.52 Mfly9++H.net
>>588
何変数あろうとラグランジュの未定常数法みたいなの使えばいいだけでしょ
624:１３２人目の素数さん
18/06/08 19:52:05.48 E/oBAxNr.net
メディアル８面体の式なら既出じゃんか
625:イナ
18/06/08 20:23:46.96 n7O1sKDD.net
>>591
xの三次式とかそういうかたちでお願いします。
S=1なんで式の中にSがあれば計算して消えます。
前>>588
626:１３２人目の素数さん
18/06/08 20:32:23.17 E/oBAxNr.net
>>464に頂点の座標、>>471に面積と体積の式がある
627:イナ
18/06/08 20:33:37.98 n7O1sKDD.net
前>>592
超えられない斜めの壁がある。計算しやすい簡単な数字を探す。
六角柱=長方形屋根120°壁ホームベース型上下点対称八面体=√(√3)/18
＜√(√π)/18
＜0.0074
＜メディアル八面体
628:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:22:34.50 ITi87fOm.net
>>587
ミンコフスキーの不等式なら、Wikipediaにも載ってるし、
解説もあちこち落ちてる気がする。
629:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:26:44.53 ITi87fOm.net
（あげてしまったorz）
なんか自由度３の状況をパラメトリックに表現したものに対して
変数を２個に減らせと言ってるのを目撃した気がするが、きっと気のせい。
630:１３２人目の素数さん
18/06/08 21:59:37.50 pJljV8zI.net
式本体は見かけるんだけど証明が見つかんない。
とても自力では解ける気かしない。
しかもそれをどう使えば>>578が出るのかもさ～っぱり。
631:イナ
18/06/08 22:16:18.57 n7O1sKDD.net
前>>594
いつか体積、
√(√3)/18=1/6√(3√3)
を超える八面体の鳥瞰図を描きたい。
0.074は超えられなくてもいい。ちゃんと辺の長さをつきとめたい。
五角形の長い辺は、四角形の短い辺の二倍ぐらいなのかなぁ。
632:１３２人目の素数さん
18/06/08 23:50:26.48 r5bxmv7X.net
・一辺がxの正5角形を切り詰めたもの (内角は108ﾟのまま) >>510 >>511
中心Oを通る水平断面で考えると、OからABDEの中央までの距離は
(EG + DH)/4 = {φx + (x+z)}/4 = {(φ+1)x + z}/4,
5角面の傾きθ = arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099ﾟ
∴ cosθ = 0.9457416
∴ d_5 = {(φ+1)x+z}/4・cosθ = 0.6189959x + 0.2364354z,
C と B,D の高低差は x/√(2φ) = 0.5558930x,
BD = φx,
∴ CI と DH の距離は √{(φ/2)^2 + 1/(2φ)}･x = (1/2)√(3φ-1)･x = 0.9815933x,
Cと中心Oの高低差は x/√(2φ) + √(φ/8) (x-φz),
これに φ/√(3φ-1) = 0.8241875 を掛けて
d_4 = {x/√(2φ) + √(φ/8)(x-φz)}・φ/√(3φ-1) = 0.8288193x - 0.5997393z,
z=0 のときは
d_5 = 0.6189959x
d_4 = 0.8288193x
となり、球面に外接しない。 >>510
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
d_4 = d_5 = 0.67832525x
∴ 球面に外接する。 >>511
633:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:02:37.79 yMt1Scsm.net
>>599
そのとき各面の重心は接点になってますか？
634:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:35:33.78 Jtq6JHO
635:s.net
636:１３２人目の素数さん
18/06/09 00:49:37.84 Mhqr64dw.net
n=8のときの図っぽいのが載ってる。文章よんでないから知らんけど。
接点を結んだ双対多面体と一緒になってる図がある。
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)
637:１３２人目の素数さん
18/06/09 01:29:58.35 bO8NYEjH.net
>>602 のサイトの下のほうにP_8(と彼は呼んでいるn=8の場合の表面積極小メディアル８面体)の面のjpeg画像がある。
４種類出てくるらしい。
数式だせよな……
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(1).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(2).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(3).jpg
URLﾘﾝｸ(schoengeometry.com)(4).jpg
638:１３２人目の素数さん
18/06/09 09:56:15.29 U/DEwkMV.net
>>603
いや、４種類あるわけじゃなさそうだけど。
図形は２種類で、その４つのテンプレートのミソは、頂点に番号が振ってあるとこで
同じ番号の頂点同士が一致するように組み立てれば８面体の半分ができるから
それを２つ組み合わせて立体をイメージしてね、ってことでしょ？
面の形は２種類。
639:１３２人目の素数さん
18/06/09 10:43:16.31 hShDyG0j.net
>>604
そうなんすか？8面なのに画像が4枚しかないから合同なのは除いてると思った。一度誰か厳密な頂点の座標出してくれません？
640:イナ
18/06/09 10:51:23.69 ASELe/sj.net
もういいよ、頂点は。
それより辺の長さとバランスだよ。前>>598
意外と台形太いね。
気づいていたさ、ずっと眺めてんだから。寝ても覚めても。
五角形の屋根と底は違うのかもね。文字数多すぎるだよ。
641:イナ
18/06/09 12:25:33.04 ASELe/sj.net
目標0.074488
二種類の平面図のおかげで鳥瞰図が描けた。
棟木と垂木は9x
若干垂木が長く見えるが、誤差と見た。
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の重心だか中心に対して点対称の立体を地下に作る。
前>>598できそうだ。
642:イナ
18/06/09 12:32:27.47 ASELe/sj.net
棟木と垂木は9x
軒桁を12xにして垂木は若干放射状になる。
柱は5x少し斜めに立て、立体の中心に対して点対称の立体を地下に水平90°回転で作る。
前>>607前々>>606
643:１３２人目の素数さん
18/06/09 14:18:02.73 1x4Xd21b.net
立体視にするとこんな感じかな
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
A( 0.255096, 0.207265, 0.0876588)
B( 0.207265, 0.255096,-0.0876588)
C( 0.155171, 0.000000,-0.278602)
D( 0.207265,-0.255096,-0.0876588)
E( 0.255096,-0.207265, 0.0876588)
F( 0.000000,-0.155171, 0.278602)
G(-0.255096,-0.207265, 0.0876588)
H(-0.207265,-0.255096,-0.0876588)
I(-0.155171, 0.000000,-0.278602)
J(-0.207265, 0.255096,-0.0876588)
K(-0.255096, 0.207265, 0.0876588)
L( 0.000000, 0.155171, 0.278602)
644:１３２人目の素数さん
18/06/09 15:23:19.97 cFMku2n5.net
おーなんか綺麗な形だ
645:イナ
18/06/09 17:06:23.64 ASELe/sj.net
前>>608
実測値から式を推定する。
なんどか言ったが、少数にするのは近似値を出すためじゃない。√や比を推測して体積を表す式を導きたいからだ。
646:イナ
18/06/09 18:32:27.65 ASELe/sj.net
今回は期待できる｡前>>511台形の
647:高さが9xとか五角形の下半分の高さが5xとか、平方根が出ない。壁の傾きを考えると出ないわけないが、ゴールドバーグさんが言った簡単な構造になるだったか、あの言葉を信じたい。
648:１３２人目の素数さん
18/06/09 22:22:54.65 U/DEwkMV.net
なんか無理数の存在を認めなかったピタゴラス学派の時代からほとんど進歩してない奴がいるな
649:１３２人目の素数さん
18/06/10 04:20:07.33 73iwKoh1.net
とけた。たぶん。美しい……
650:１３２人目の素数さん
18/06/10 04:31:38.32 73iwKoh1.net
解けてなかったorz。おやすみなさい。
651:１３２人目の素数さん
18/06/10 05:26:41.33 73iwKoh1.net
いや、やっぱり解けたかな。
でもなんか面白い。
立て方がヘタクソなのか、最初立式した時は未知数4つが入り乱れててこんなん解けるかボケって思えたけど、いざ整理していくと不思議とまとまっていく。
やっぱり受験問題みたいにムリクリ作った問題とは一足違う。
652:１３２人目の素数さん
18/06/10 12:01:54.66 KetZUwRK.net
>>609
配置は >>464
a，b，r は >>489
表面積を１に揃えるため、 √S = √18.7116 = 4.32569 で割ったでござるか。
653:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:29:05.27 Cphvbc4E.net
>>617
だいたいそんな感じです
データはWolframAlpha先生が教えてくれたものを使いました
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
（変数 p,q,r は >>464 の a,b,r-1 に対応しています）
654:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:32:58.71 KetZUwRK.net
>>510 は
>>464 で
a = 2φ-3 = 0.236068
b = √(2√5 -4) = 0.6871215
r = 2φ-1 = √5 = 2.236068
とした場合。
x = 4(2-φ) = 1.527864
>>511 は
>>464 で、(AE+BD)/2 = {(x+z)+φx}/2 = 2 として
a = (BD-AE)/4 = {φx - (x+z)}/4,
b = AB/2・√(φ/2) = (x-φz)/2・√(φ/2),
r = 1 + x/(2φφa)
とした場合。
最大のときは
a = 0.127956
b = 0.3724407
r = 3.0809832
とした場合。
x = 1.3942303
z = 0.3498577 = 0.2509325x
>511 は >464 に含まれるゆえ、>514 は >471 >489 には及ばぬでござる。
655:１３２人目の素数さん
18/06/10 15:54:42.86 KetZUwRK.net
>>618
a = 0.103404
b = 0.379223
r = 3.17776
のとき
0.074344868 ぐらい…
656:１３２人目の素数さん
18/06/10 17:44:15.34 Cphvbc4E.net
データは >>489 のほうがWolfram先生より良い(体積が大きい)みたいです。
あと、>>609 の座標は計算に誤りがあったので計算しなおしました。
A( 0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
B( 0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
C( 0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
D( 0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
E( 0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
F( 0.00000000,-0.15521551, 0.27858864)
G(-0.25508091,-0.20727281, 0.087668243)
H(-0.20727281,-0.25508091,-0.087668243)
I(-0.15521551, 0.00000000,-0.27858864)
J(-0.20727281, 0.25508091,-0.087668243)
K(-0.25508091, 0.20727281, 0.087668243)
L( 0.00000000, 0.15521551, 0.27858864)
657:イナ
18/06/10 18:15:14.87 VRYWqgPw.net
もっとずっと簡単な整数比をみつける。前>>612ゴールドバーグさんも言ってた。自然界は簡単な構造だというようなことを。
計算が楽になりそうな数字がみつかるまで、もう計算しない。
自然界はもっとずっと簡単な構造で、楽に計算できる数学を選んでくるはずだから。簡単な整数比じゃないと計算したくない。
658:１３２人目の素数さん
18/06/10 18:34:29.44 y9Cpd902.net
まだ無駄なことやってんのか
659:イナ
18/06/10 18:53:24.67 VRYWqgPw.net
前>>622
整数比じゃなくてもいい。黄金比とか自然界にはなるべくしてなる比が存在している。
整数比だったり√3だったり√5だったり。
無駄なことが報われるときってのは、無駄を回避したことが無駄じゃなかったとわかったときだ。
660:１３２人目の素数さん
18/06/10 19:48:25.30 Cphvbc4E.net
回してみた。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
661:イナ
18/06/10 23:51:51.67 VRYWqgPw.net
>>626すげー!! まわってる、まわってる!!
前>>625すごいね。写メ保存したら動画のまま保存できてびっくりした。棟木をズームして実測、3.6xにしたら、V(x)=86.192(x^3)、x^2=1/131.68あんまり大きくならなかった。計算間違いかな。見た目は球体に近づいてるのに。
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662:１３２人目の素数さん
18/06/11 00:09:48.47 tIqikLWN.net
いずれにしてもキレイなケースになりそうですよね
663:１３２人目の素数さん
18/06/11 03:01:19.91 zkIOdW8D.net
これだけ長い議論になると八面体の別スレを設けたほうがいいレベルだな
664:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:13:19.80 E/XZVJ+8.net
八面体だけだと狭すぎる
多面体一般にしたら需要あるかも
665:１３２人目の素数さん
18/06/11 09:26:08.70 1c3kALJq.net
>>628
そうだな、いいかげんうんざりしてる
666:１３２人目の素数さん
18/06/11 10:23:50.28 TnGShdQw.net
>>466 >>472
菱形6面体（菱面体）のとき
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3},
体積 V(0) = aac,
表面積 S(0) = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
中心Oから各面までの距離 d = (√3)/2・ac/√(aa+2cc),
>>467
頂点から k･L まで(Lは辺長、0≦k≦3/2) の部分を切り落とす。
体積 V(k) = V(0){1 - (1/3)k^3} (0≦k≦1)
= V(0)(9/4){1 - (1-2k/3)^2}(1-2k/3) (1≦k≦3/2)
表面積 S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2, (0≦k≦1)
k = 3/2 -(√3)d/c のとき、平面z=±d で切るので球面に外接する。
(1) c=a (立方体、β=90ﾟ)のとき、k=(3-√3)/2，d=c/2 で外接。 >>488
(2) c=2a（β=60ﾟ) のとき、k=1，d=c/√12 で外接。（正8面体）
(3) c>2a のときは k>1 となり、やや面倒でござる。
667:１３２人目の素数さん
18/06/11 11:36:32.77 f053/Yvw.net
>>629
何で3次元に限るのって話
668:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:31:57.45 alvL18N0.net
皆さんにお詫びと訂正を。昨日解けたといってた>>616ですがやっぱり解けてませんでしたorz。
参考までに私の失敗した方法です。
>>621さんと同じ配置で内接球の半径を１に規格化した点をA～Lとします。
A(a,c,b)、L(0,d,e)とします。
OからALFEにおろした垂線の足をX(cosα,0,sinα)、Y(cosβ,0,sinβ) (0<β<α<π/2)とおきます。
xz平面への射影の図をみれば
a=cos((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
b=sin((α-β)/2) / cos((α+β)/2)、
e=1/sinα、
c cosβ+ b sinβ=1、
d cosβ+ e sinβ=1
がわかります。
ここからLindeloefの条件
・ALFEの重心=X、ABCDEの重心=Y ……(※)
から条件が２つでてα、βの満たす方程式をだしていこうとしました。
そこで恥ずかしながら
ALFEの重心＝ALFEの座標の和/4
とかわけのわからんミスをして失敗しました。
原理的には(※)からtanα/2, tanβ/2の代数方程式がでて
669:、その終結式からtanα/2、tanβ/2の満たす方程式がでるはずですが五角形の重心の計算が面倒くさすぎて断念。 もちろん∂面積/∂α=∂面積/∂β=0を再利用して方程式２つ出す手もありますし、一般論ではでない本問特有の必要条件をみつけて利用する手もあるかとおもいます。 ご参考までに。
670:１３２人目の素数さん
18/06/11 16:36:46.10 oM4RlGEN.net
>>633
すいません。
誤：Y(cosβ,0,sinβ)
正：Y(cosβ,0,-sinβ)
です。
671:イナ
18/06/11 20:41:25.63 FNFK9r9K.net
前>>626前々>>624
>>625まわってるこの立体が最大として計算した。
五角形の水平な対角線より上の屋根の部分の体積は、三角柱から三角錐をとりのぞくと出るはず。
五角形の水平な対角線で切り分けた真ん中の部分は、直方体から三角柱と三角錐をとりのぞくと出るはずだが、コーナーを引きすぎたのかも。
台形2つの面積は(上底+下底)･(高さ)で出るはず。
この台形、(上底)=(高さ)だろう。なぜこうなるかは化学で解明されるべきことだと思う。原子がこういう配列をとるとか。
五角形の面積は、対角線より上が直角三角形の二倍、対角線より下が等脚台形。
三平方の定理がうまく使えてないか、あるいは最初の辺の長さの読みとりが甘いか。
672:１３２人目の素数さん
18/06/12 00:46:46.53 YFJLrlqV.net
>>464 をチョト拡張…
A(1+a1,1-a2,-b)，B(1-a2,1+a1,b)，C(c-ar,0,br)，D(1-a2,-1-a1,b)，E(1+a1,-1+a2,-b)，
F(0,-c+ar,-br)，G(-1-a1,-1+a2,-b)，H(-1+a2,-1-a1,b)，I(-c+ar,0,br)，
J(-1+a2,1+a1,b)，K(-1-a1,1-a2,-b)，L(0,c-ar,-br)
ここに、a = (a1+a2)/2，c = (2+a1-a2)/2 とおいた。
AE = DH = 2(1-a2),
BD = 2(1+a1),
CI = FL = 2(c-ar),
CI～DH，CI～JB の距離 d '= √{(1+a1)^2 +bb(r-1)^2}
線分BA，ED，HG，KJの中点が １辺2cの正方形をなす。
5角形ABCDE
x + (a/b)z = c,
d_5 = bc/√(aa+bb),
台形CDHI
z = br + {b(r-1)/(1+a1)}y,
d_4 = (1+a1)br/d '
S_4 = (1-a2+c-ar)d '
673:１３２人目の素数さん
18/06/12 02:41:39.82 BNGFcTmJ.net
>>636
着想はいいと思う
ただこれだとc+a=1+a1、c-a=1-a2となるから本質的には>>464と変わりがない気がするんだ…
674:１３２人目の素数さん
18/06/12 11:52:09.79 YFJLrlqV.net
>>636
5角形ABCDE
傾きθ = arctan(a/b),
d_5 = bc/√(aa+bb),
S_5 = {4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb),
台形CDHI
d ' = √{(1+a1)^2 + bb(r-1)^2}, CI～DHの距離
d_4 = (1+a1)br/d '
S_4 = {2c-(r+1)a}d '
これより
S = 4(S_5 + S_4)
= 4{4c +(r-1)(1+a1)}√(aa+bb) + 4{2c-(r+1)a}d '
V = (4/3)S_5･d_5 + (4/3)S_4･d_4
= (4/3)bc{4c+(r-1)(1+a1)} + (4/3)(1+a1)br{2c-(r+1)a}
= 8([2cc+(1+a1)(1-a2)]/3)b + 4(1+a1)b(r-1){c-(2+r)a/3},
・a1=a2，c=1 の場合は >>471 に戻る。
675:イナ
18/06/12 18:46:36.80 TK3A96C9.net
前>>635
棟木を3.6xとする。
八面体を五角形の水平な対角線で㊤㊥㊦の三つに分ける。
V(x)=V㊤(x)+V㊥(x)+V㊦(x)
=2V㊤(x)+V㊥(x)
S(x)=4(台形)+4(五角形)
=2(上底+下底)･(高さ)+8(直角三角形)+4(等脚台形)
=2(3.6x+4.8x)･3.6x+4(2.9x･2.3x)+2(5.8x+4.8x)･2.1x
=16.8x･3.6x+5.8x･4.6x+21.2x･2.1x
=7･2.4x･3.6x+5.8x･4.6x+7x･6.36x
=7x･6x･1.44+5.8x･4.6x+7x･6x･1.06
=(7･6･2.5+5.8･4.6)x^2
=(105+26.68)x^2
=131.68x^2
V㊤(x)の高さ=√{(2.3x)^2-(0.6x)^2}
=x√(5.29-0.36)
=x√4.93
V㊥(x)の高さ=x√{(2.1)^2-(0.5)^2}
=x√(4.41-0.25)
=x√4.16
V㊤(x)=(三角柱)-(三角錐)=2.9x･4.8x･x√4.93-2.9x･x√4.93･(1/2)0.6x(1/3)4
=2.9x･x√4.93･(4.8-0.4)x
=12.76x^3√4.93
V㊥(x)=(直方体)+4(直角三角柱)+4(直角等面四面体)
=(4.8x)^2･x√4.16+4･0.5x･4.8x(1/2)+4(0.5x)^2x√4.16(1/6)
={(4.8x)(4.8x+x)+(1/6)}x√4.16
=(28.00666……)√4.16
V(x)=2･12.76√4.93+(28.0066……)√4.16
=25.52√4.93+(28.0066……)√4.16
≒55.663594+57.122614
=112.7862
題意よりS=1
x^2=1/131.68
x=1/11.47519
V(x)=112.7862/131.68･11.47519
≒0.0746407
676:イナ
18/06/12 19:17:17.82 TK3A96C9.net
前>>639(x^3)が抜けた。
終盤修正。
V(x)=2･12.76x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
=25.52x^3√4.93+(28.0066……)x^3√4.16
≒55.663594x^3+57.122614x^3
=112.7862x^3
以下同じ。
677:１３２人目の素数さん
18/06/12 23:21:04.90 10uSb+lc.net
数学なのに数字がたくさんある……
678:１３２人目の素数さん
18/06/12 23:59:03.56 VSdptTNG.net
1. 球面上にランダムにn個の点を取る
2. それらの点におけるn枚の接面で囲まれた多面体を作る
3. 接点と重心が最も離れている面を見つけ、その接点を球面上で重心の方向にずらす
4. 誤差が一定値以下になるまで 1～3 を繰り返す
という方法でn=4～20で極大値を計算してみた結果。
４面体 0.051700269950116652 (正四面体)
５面体 0.059698329545752334 (正三角柱)
６面体 0.068041381743977170 (正六面体)
７面体 0.071398254996602697 (正五角柱)
８面体 0.074344868093230002 (四角形×4＋五角形×4)
９面体 0.076898933926867766 (四角形×3＋五角形×6)
10面体 0.078734752898039745 (四角形×2＋五角形×8)
11面体 0.080055026399577983 (四角形×2＋五角形×8＋六角形×1)
12面体 0.081688371824182537 (正十二面体)
13面体 0.082432267303420806 (四角形×1＋五角形×10＋六角形×2)
14面体 0.083349245941114841 (五角形×12＋六角形×2)
15面体 0.084068875807253640 (五角形×12＋六角形×3)
16面体 0.084742718358283536 (五角形×12＋六角形×4)
17面体 0.085264872589057683 (五角形×12＋六角形×5)
18面体 0.085771192859653247 (五角形×12＋六角形×6)
19面体 0.086199376384128973 (五角形×12＋六角形×7)
20面体 0.086626966830007951 (五角形×12＋六角形×8)
（もっと良い解があるかもしれない）
679:イナ
18/06/12 23:59:54.21 TK3A96C9.net
>>641せやて問題文に数字が1一個しかないんですって。
>>420←これですよ。数字は図描くなり作って上げるなりして自分で設定せいいう問題なんですよ。
なんでこうなるかはまだわかりませんが、屋根の部分は棟木と最短の垂木が同じ長さで、棟木と軒桁の長さの比が3:4になってます。
前>>640研究が要ります。
680:１３２人目の素数さん
18/06/13 00:50:47.10 bFMWdLz+.net
>>642
おおお、GJ!!
681:１３２人目の素数さん
18/06/13 00:51:23.32 bFMWdLz+.net
ソースコードもキボン
682:１３２人目の素数さん
18/06/13 01:02:41.54 5ZmF3Enb.net
>>643
CI = FL = 3.60000 x, … 棟木
とするなら
AB = DE = 2.17929 x,
BC = CD = 3.743965 x,
AE = DH = 4.807435 x, … 軒桁
BD = 5.91628 x,
S_5 = 18.08915 xx,
CI～DH間 3.69496 x, … 垂木？
S_4 = 15.53246 xx,
S = 134.4864 xx,
V = 115.9502 x^3,
V/S^(3/2) = 0.07434486809323… になるらしい。
>>621
> データは >>489 のほうが…良い(体積が大きい)みたいです。
おっしゃるとおり。
>>637
そうですねぇ...
683:１３２人目の素数さん
18/06/13 01:58:33.50 5ZmF3Enb.net
>>642
理論値
f=4 （正4面体） 1/{6√(6√3)},
f=5 （正3角柱） 1/{9√(2√3)},
f=6 （立方体) 1/(6√6)
684:, f=7 （正5角柱） 1/{3√30･(5-2√5)^(1/4)}, f=12 （正12面体）1/{(3√15)(√5 -1)(5-2√5)^(1/4)},
685:イナ
18/06/13 05:24:42.71 Oj2yj/8D.net
>>646正確な長さが出てるんですね。軒桁4.8xからもう整数比じゃないんですか。
屋根の端も微妙に3.7xじゃないみたいだし。
肉眼で0.074を出した。ここが限界です。
前>>643ぜんぜん綺麗な比にならないのにこの形で極値をとる。なぞですね。ゴールドバーグさんは論文でこの形になる根拠を示したんですか。
686:１３２人目の素数さん
18/06/13 06:25:01.57 YkGfLvHx.net
綺麗な形にこだわるならｘ軸から見てもｙ軸から見ても正五角形のシルエットをもつ立体を試してみてはどうか
最適解とは異なりながらも0.0743は越えられるはず
687:１３２人目の素数さん
18/06/13 13:21:09.26 5ZmF3Enb.net
>>642
V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
ゴールドバーグの言う S^3/V^2 = 180.23 なる配置は、ネットで探しても見つからなかった。
>>494 が言うように、
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
688:１３２人目の素数さん
18/06/13 13:36:27.67 5ZmF3Enb.net
>>650
補足すると、
接点と重心の距離について V/S^(3/2) が単調に減少すると考えた。
689:１３２人目の素数さん
18/06/13 14:55:08.60 ygq/w2vW.net
>>642
すばらしいですね。
多面体の各頂点の座標とか各面の重心の座標とかを求める処理は
１からコーディングすると大変そうだけど、なにかいいツールがあるのでしょうか？
（CAD系のツールでは基本処理なのかな？）
>>650
> V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから
> 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。
そうですね。逆に言うと、>>642の１回の計算だけでは、局所最適解に引っかかる
可能性があるということですね。
８面体の場合も初期値によっては正８面体に収束するかも。
初期値を変えて試行を繰り返して、なるべく多くの局所最適解を探してみたいところです。
（正解以外の局所最適解に収束する確率はかなり低いと予想されますが）
> 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
計算機が自由に使える以前の時代の論文の数値計算の間違いというのは、
結構あるのかもしれません…
690:イナ
18/06/13 14:59:41.71 Oj2yj/8D.net
>>649水平方向から見た(五角形+等脚台形)の射影を正五角形にすると。前>>648だいぶ平たくなりますね。V㊥(x)が減りそう。五角形が綺麗なわけない。
691:１３２人目の素数さん
18/06/13 16:28:17.84 8DutWUYy.net
>>633 を実行してみました。
tha = tan α/2, thb = tan β/2として重心=垂線の足から連立方程式をたててみると
(3*tha^7-12*tha^5+9*tha^3)*thb^4
+(-2*tha^8-10*tha^6+38*tha^4-26*tha^2)*thb^3
+(11*tha^7-11*tha^5-11*tha^3+11*tha)*thb^2
+(-26*tha^6+38*tha^4-10*tha^2-2)*thb
+9*tha^5-12*tha^3+3*tha = 0
(tha^7+4*tha^5-5*tha^3)*thb^7
+(-15*tha^6-72*tha^4+23*tha^2)*thb^6
+(75*tha^5+120*tha^3-3*tha)*thb^5
+(12*tha^6-197*tha^4-72*tha^2+1)*thb^4
+(-tha^7+72*tha^5+197*tha^3-12*tha)*thb^3
+(3*tha^6-120*tha^4-75*tha^2)*thb^2
+(-23*tha^5+72*tha^3+15*tha)*thb
+5*tha^4-4*tha^2-1 = 0
>>621さんの数値データから得られる値
tha = 0.5006040925763866
thb = 0.1338964782891034
を代入して検算するとそれぞれの左辺値は
8.87931586213142e-6
3.632479806903177e-5
となってます。誤差なんだかどうなんだか。tha消去すると
8181*thb^62
-713988*thb^60+17155890*thb^58-164938703*thb^56+506017027*thb^54+1834844826*thb^52
-13744791488*thb^50+3826451839*thb^48+119593971621*thb^46-128477872952*thb^44-571856278634*thb^42
+693554443761*thb^40+1596500744027*thb^38-1841098161058*thb^36-2706178331076*thb^34+2845687450727*thb^32
+2845687450727*thb^30-2706178331076*thb^28-1841098161058*thb^26+1596500744027*thb^24+693554443761*thb^22
-571856278634*thb^20-128477872952*thb^18+119593971621*thb^16+3826451839*thb^14-13744791488*thb^12+1834844826*thb^10
+506017027*thb^8-164938703*thb^6+17155890*thb^4-713988*thb^2+8181 = 0
既約みたいです。
692:１３２人目の素数さん
18/06/13 18:24:34.99 +VZ1IBn7.net
八面体の人は別スレ立てて～な
693:１３２人目の素数さん
18/06/13 20:30:38.63 82USMjMK.net
いいかげんにしてもらいたいものだ
694:イナ
18/06/13 22:00:17.82 Oj2yj/8D.net
>>649
真横から見て影が正五角形になるときですね。
(四面体の高さ)=1.8x√(5+2√5)
(四面体㊤の高さ)=0.9(3-√5)x√(5+2√5)
(四面体㊥の高さ)=1.8(√5-2)x√(5+2√5)
0.074は超えない気がするけど気になってはいます。前>>653めんどくさいなぁ。
695:１３２人目の素数さん
18/06/14 02:09:33.11 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解くと
tha = tan(α/2) = 0.500612548452861
thb = tan(β/2) = 0.133888590056153
ぐらいになりました。
>>621 さんの数値データから得られた値も（有効数字は）ほぼ一致してますね^^
696:１３２人目の素数さん
18/06/14 03:02:03.81 VSzXXZka.net
>>654
の連立方程式を数値的に解いて得られた、 >>658
α = 53.1862428998954ﾟ
β = 15.2517985158774ﾟ
はゴールドバーグの文献値に近いです。 >>492
また、cosβ = 0.964779066797437 はメディアル8面体の d_4 = d_5 と一致してます。>>582
697:１３２人目の素数さん
18/06/14 04:40:26.09 2oXVNEfm.net
状況をまとめると、
対称性のあるメディアル多面体を>>464のように3つのパラメータで表して
数値計算で最大値を求めた結果（>>471，489，621あたり）も、
Lindelofの条件のうち円に外接するということを先に前提として使った上で
α，βの２つのパラメータで表して、接点が重心という条件で
α，βを求めるというアプローチ（>>633）で得られた結果（>>658）も、
円に外接する際の接点をランダムに設定した上でそれが各面の重心に近づくよう
接点を動かしてLindelofの条件を満たす状態に近づけていくというアプローチで
得られた結果（>>642）も、
すべて（誤差を除き）同様の結果となり、
その結果の各面の対象軸からの角度はGoldbergの論文に記されている値と一致した（>>494，659）
ということですよね。
もうこれは、ここでの結論は
> 180.23という値だけが何か間違っている
ということで打ち止めでいいんじゃないですかね。これ以上やることもあまりないような。
さすがにこれ以上一つの話題を引きずるのも迷惑だし。