18/02/19 01:21:31.07 /8jC6j7+.net
〔問題980〕
平面上にn個の異なる点を配置する。
どの2点間の距離も、必ず或る2つの実数値のどちらかを取るようにする。
n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。
1) n=4の時、点の配置をすべて求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。
[前スレ.980］
1）は、円周上の4点（2種）、円周上の3点と円の中心（4種）が判明している。>>983
5:１３２人目の素数さん
18/02/19 01:33:40.61 /8jC6j7+.net
〔問題970〕
a，b の最大公約数を gcd（a，b）と略記する。
gcd（a，b）= 1 をみたす a，b∈Z と 任意の n∈Z（n≠0）に対して、
gcd（ax+b，n）= 1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。
［前スレ.970-971］
6:１３２人目の素数さん
18/02/19 01:35:31.90 3Kr+w6c6.net
975 １３２人目の素数さん 2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf
(1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。
976 １３２人目の素数さん sage 2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt
>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2
7:１３２人目の素数さん
18/02/19 02:32:16.03 Qxq3n/kp.net
974
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。
8:１３２人目の素数さん
18/02/19 02:47:23.03 uzLAXv/z.net
解答は手に入れたが、貼る前にもう一度考えてみて
[23-937]
[24-30]
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通ることがあるためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば、東京(N35.7°,E139.7°)と
・ロンドン(N51.5°,W0.1°)
・メキシコシティー(N19.4°,W99.1°)
・リオデジャネイロ(S22.9°,W43.2°)
はこの位置関係にあるが、
・大阪(N34.7°,E135.5°)
・ヨハネスブルク(S26.2°,E28.0°)
・ブエノスアイレス(S34.6°,W58.4°)
はこの位置関係にない（東京より北は通らない）
地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。
[24-437]
3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。
9:１３２人目の素数さん
18/02/19 08:52:47.71 Q
10:j8lOgw5.net
11:１３２人目の素数さん
18/02/19 08:59:11.10 VF4EpRLf.net
>>9
n=2
12:１３２人目の素数さん
18/02/19 12:33:56.24 Qj8lOgw5.net
素数p、整数a, bに対して、a≡b (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。
これは簡単杉か…
13:１３２人目の素数さん
18/02/19 23:51:59.50 VF4EpRLf.net
>>11
a-b=np
a=b+np
a^p=(b+np)^p=b^p+pb^(p-1)np+...+(np)^p
a^p-b^p=p^2{b^(p-1)n+...+n^pp^(p-2)}
14:１３２人目の素数さん
18/02/20 01:44:46.11 sbEXHfX1.net
>>9
(4)
Chernick のカーマイケル数と云うらしい。 (A033502)
k=1, 1729,
k=6, 294409,
k=35, 56052361,
k=45, 118901521,
k=51, 172947529,
k=55, 216821881,
k=56, 228842209,
k=100, 1299963601,
k=121, 2301745249,
なお、逆は成り立たないようです。
・3因子のうち2つだけが素数であるカーマイケル数 (A242980)
k=5, 172081, (4), 18k+1=91=7*13,
k=11, 1773289, (4), 12k+1=133=7*19,
k=15, 4463641, (4), 6k+1=91=7*13,
k=33, 47006785, (5), 18k+1=595=5*7*17,
k=61, 295643089, (4), 18k+1=1099=7*157,
k=85, 798770161, (4), 6k+1=511=7*73,
k=96, 1150270849, (5), 18k+1=1729=7*13*19,
k=115, 1976295241, (4), 18k+1=2071=19*109,
・3因子のうち1つだけが素数であるカーマイケル数 (A242981)
k=22, 13992265, (5), 6k+1=133=7*199, 12k+1=265=5*53,
k=105, 1504651681, (5), 12k+1=1261=13*97, 18k+1=1891=31*61,
15:１３２人目の素数さん
18/02/20 02:21:17.57 sbEXHfX1.net
>>11 >>12
ｐは素数でなくても成り立ちそう… （ただしp≧2）
a^p - b^p = (a-b) ｛a^(p-1) + a^(p-2) b + …… + a b^(p-2) + b^(p-1)｝
ここで
a-b = np,
a = b+np,
｛……｝≡ b^(p-1) ×(p項) ≡ 0, （mod p)
>>13 の訂正
k=22, n=13992265, (5つの素数の積), 6k+1=133=7*１９, 12k+1=…
16:１３２人目の素数さん
18/02/20 09:36:02.27 X8ym3XpP.net
>>9
(2)の条件に奇数が抜けていたので修正します。
内容が被ってしまうので、問題自体を書き直します。スマソ。
--------------------------------------------------
【問題：カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたす n∈N をカーマイケル数という。
以下を証明せよ。
合成数 n∈N に対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)かつ(iii)である。
(i) nは奇数である。
(ii) nは平方因子をもたない。
(iii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる。
(1) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(i)を示せ。
(2) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(ii)を示せ。
(3) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(iii)を示せ。
(4) 合成数 n∈N が(i),(ii),(iii)をみたすならば、n はカーマイケル数である。
(5) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。
(6) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数ならば、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。
--------------------------------------------------
(1)(4)(5)(6)は、易。
(2)は、私の用意した解答は間違っていますた。（フェルマーの小定理を誤用）
(3)は、(1)(2)と原始根と中国剰余定理を使って証明した。
17:１３２人目の素数さん
18/02/20 09:39:19.45 X8ym3XpP.net
>>10、>>13-14
かたじけのうござる。
18:１３２人目の素数さん
18/02/20 10:18:17.64 X8ym3XpP.net
>>11を少し変えてみる。
素数p、整数a, bに対して、a^p≡b^p (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。
19:１３２人目の素数さん
18/02/20 10:45:51.52 nXzkbh+j.net
>>17
a=a^p=b^p=b (p)
20:１３２人目の素数さん
18/02/21 02:41:30.51 xFlMdI8t.net
>>17
pは素数だから、フェルマーの小定理（ >>18）により
a^p ≡ a （mod p)
b^p ≡ b （mod p)
∴ a ≡ ｂ （mod p)
p≧2 だから、>>12 >>14 により、
a^p ≡ b^p （mod pp)
21:１３２人目の素数さん
18/02/22 02:44:52.37 /AvHZMpx.net
一辺が整数の正方形で、3頂点からの距離が整数になる点を内部（周含まず）に持つものを挙げよ。
なお、4頂点すべてからの距離が整数になる場合は未解決である。
22:１３２人目の素数さん
18/02/22 12:37:31.85 qyfrsyyj.net
>>20
一辺52の正方形の内部、各辺からの距離7,24,45,28の点
23:１３２人目の素数さん
18/02/22 21:40:02.05 QrRPfkyE.net
>>21○
A(0,0),B(52,0),C,D,P(24,45)
これが最小の正方形？
条件を満たす正方形ABCDと内部の点Pの例は無限にある
A(0,0),B(700,0),C,D,P(396,297)
A(0,0),B(3364,0),C,D,P(945,900)
A(0,0),B(10952,0),C,D,P(1155,396)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
…
もちろんPとy=x,y=-x+1について対称な点も条件を満たす（各正方形に計4つ）。
解説や類例（英語）
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
24:１３２人目の素数さん
18/02/22 22:30:00.29 QyvGUXHk.net
>>22
一辺52は最小
一辺1000未満の解も他にいくつか
A(0,0),B(195,0),C,D,P(48,140)
A(0,0),B(740,0),C,D,P(168,315)
A(0,0),B(867,0),C,D,P(416,780)
A(0,0),B(996,0),C,D,P(520,765)
4頂点すべてからの距離が整数になる場合があるとしたら、一辺は12の倍数になるはず
25:１３２人目の素数さん
18/02/24 08:07:10.34 AT99r3l3.net
n,k,iを自然数とし、自然数b1,...,bnがあり、b1+b2+...+bn =k とする。
この時、次の条件を満たす自然数の数列a1,...anが存在することを示せ。
・ai>ai+1
・ai≧bi
・a1+...+an=k^2
26:１３２人目の素数さん
18/02/24 08:32:12.28 6AjWBEuj.net
k=2,b1=b2=1
ai=？
27:１３２人目の素数さん
18/02/24 08:56:00.81 9qk3MmxH.net
３と１では
28:１３２人目の素数さん
18/02/24 09:13:38.88 IV3aQ+/t.net
>>22
一辺が 12675 のとき、互いに対称でない解が複数ある
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9100,3120)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9588,784)
２番目は既約でなく一辺が 195 の解と本質的に同じ
３番目は既約
29:１３２人目の素数さん
18/02/24 13:00:01.29 lgGVwMHM.net
k+k^2-kn+n(n-1)/2.
k-1.
k-2.
...
k-n+1.
30:１３２人目の素数さん
18/02/24 16:56:19.85 AT99r3l3.net
>>28
正解！感想は？
31:１３２人目の素数さん
18/02/24 21:20:28.33 h/Dh65p2.net
>>24
これいつかのIMOよな
32:１３２人目の素数さん
18/02/25 06:01:36.41 gGaVEUAO.net
〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式を
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
とし、
F（x）= 0 の解をαとする。
a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0 ならば ｜α｜< 1.
0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n ならば ｜α｜> 1.
33:１３２人目の素数さん
18/03/01 17:52:25.94 d3ZXiDwQ.net
相異なる３つの素数の平方和は、素数となるか？
34:１３２人目の素数さん
18/03/01 20:09:04.83 Ti0zUc6I.net
>>32
3^2+5^2+7^2=83
35:１３２人目の素数さん
18/03/01 23:52:59.95 d3ZXiDwQ.net
では、相異なる３つの 「５以上の素数」 の平方和は、素数にならないことを示せ。
36:１３２人目の素数さん
18/03/02 00:58:19.40 aJjdMvYA.net
>>34
５以上の素数は、その平方がいずれも３を法として１と合同であり、３つの和が常に３の倍数となるから
「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する
37:１３２人目の素数さん
18/03/02 01:34:29.12 Ub9nfASN.net
こう書けばよかったんですね、さんくす。
「３と異なる３つの素数の平方和は、素数でない」
38:１３２人目の素数さん
18/03/02 02:26:45.73 gh7O3mxv.net
2をふたつ使われないよう奇素数かな
39:１３２人目の素数さん
18/03/02 02:27:50.44 gh7O3mxv.net
寝ぼけてた
見なかったことにして
40:１３２人目の素数さん
18/03/03 16:58:06.28 MMc1xkls.net
x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、
これを無理やり因数分解できないものか？
x^5 +2x^2 + 3x + 4
≡x^5 +2x^2 - 2x - 1
＝(x^5-1) + 2x(x-1)
≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5)
ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。
41:１３２人目の素数さん
18/03/03 17:39:08.65 9AcZTvwl.net
整数係数で割り算して、そのあと商（と余り）を mod 5 すればいい
42:6
18/03/03 23:54:29.55 hj2seOgl.net
>>6の正解
θ=2π/nとする。
(2)
単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ))
(1)より
(n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ))
よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。
ちなみに
(n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n))
より
(単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長)
である。
面積で抑えようとするのは効率が悪い。
(3)
単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。
よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。
実際に計算すると
na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ)
43:6
18/03/03 23:55:21.58 hj2seOgl.net
【参考】
単位円について
(内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長)
の一覧
n=3
(3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3
n=4
2 < 2√2 < π < 4
n=5
(5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5)
n=6
(3/2)√3 < 3 < π < 2√3
n=8
2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2)
n=10
(5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5)
n=12
3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3)
n=16
4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2))
n=20
(5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5))
n=24
3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2)
(内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。
n=24の不等式を用いてπを評価すると
3.1326… < π < 3.1596…
である。
44:１３２人目の素数さん
18/03/04 00:56:38.21 S6IbgXV0.net
ところで>>41,42では
(1/2)(単位円に内接する正n角形の周長) < (1/2)(単位円の円周2π)
を用いている。
「円に内接する(凸)多角形の周長は円周より小さい」
は、各辺(弦)が弧より短いので自明である。
では
「円に包含される凸多角形の周長は円周より小さい」
更には
「凸多角形Aに包含される凸多角形Bの周長はAの周長より小さい」
は、初等数学（できれば初等幾何）で証明可能か？
凸多角形Bは凸多角形Aに包含される
⇒任意のxy座標系において[B(x,y)のxの変域]⊆[A(x,y)のxの変域]かつ[B(x,y)のyの変域]⊆[A(x,y)のyの変域]
45:１３２人目の素数さん
18/03/05 03:27:18.13 G91DujrK.net
出題！
a,bは0＜a＜bなる実数として
平面図形
{(x,y)∈R^2|a≦x^2+y^2≦b}
を考える。
まあ要するにバウムクーヘンを上から見た形ですね。
これを4つの直線で切って、いくつかの部分に分ける。
最大何個に分けられるでしょう？
46:１３２人目の素数さん
18/03/05 04:49:24.03 /FRv3F/K.net
>>20
A(0，0) B(L，0) C(L，L) D(0，L) P(x，y)
とおく。
{L-x，y} 組、{L-y，x} 組はピタゴラス数だから h，m，n により
L-x-y = ±h{(nn-mm) -2mn},
と書ける。
その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）
(nn-mm) - 2mn = ±(L-x-y)/h
は、下記のように ペル方程式 ff -2gg = ±1 の形になる。
その解は
f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
g_k = {(1+√2)^k - (1-√2)^k} /(2√2),
（＋のときはk：偶数とし、－のときはk：奇数とする。）
・(nn-mm) -2mn = 7 のとき
(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(5m-3n)^2 -2(4m-n)^2}/7 = {(m-3n)^2 -2(2m+n)^2}/7,
・2mn -(nn-mm) = 7 のとき
2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m-n)^2 -2(3m-2n)^2}/7 = {(3m+n)^2 -2(m-2n)^2}/7,
・(nn-mm) -2mn = 17 のとき
(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-5n)^2 -2(7m-2n)^2}/17 = {(m-5n)^2 -2(3m+2n)^2}/17,
・2mn -(nn-mm) = 17 のとき
2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m+n)^2 -2(2m-3n)^2}/17 = {(7m-n)^2 -2(4m-3n)^2}/17,
・(nn-mm) -2mn = 47 のとき
(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-7n)^2 -2(8m-n)^2}/47 = {(5m-7n)^2 -2(6m+n)^2}/47,
・2mn -(nn-mm) = 47 のとき
2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(7m+5n)^2 -2(m-6n)^2}/47 = {(17m-5n)^2 -2(11m-6n)^2}/47,
∴ ff -2gg = ±１ の形になる。
47:１３２人目の素数さん
18/03/05 05:24:46.33 /FRv3F/K.net
>>44
x = ±d と y = ±d で 「井の字」
但し、d = min{ (1/2)√(a+b)，√a }
だと 12個か。
もっと多いんだろうな。
48:１３２人目の素数さん
18/03/05 09:15:36.94 bwF+lzst.net
新手(荒手とも)の技で導いたので一般的(?)な解放が見たいです(*´ 艸｀)
マクローリンです
ついでにゼータも分解すると(1)の類題だと分かる形になります
因みにRamanijanの発見した恒等式を使用しました
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
49:１３２人目の素数さん
18/03/05 10:41:19.19 MUI2m42J.net
>>45
(L,x,y)=(6240,711,3080),(26180,3285,24528)という反例もあるけど、7や17の倍数になる例は確かに多いと思います
何か法則が…？
50:１３２人目の素数さん
18/03/05 11:53:26.30 MUI2m42J.net
>>45
＞f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
これは1,3,7,17,41,99,239,577,1393,…となると思うんですが、
その中でも特に7と17だけ際立って多く登場するのはなぜでしょうね？
51:イナ
18/03/05 12:30:00.14 ctb2v+HR.net
┏┳┓>>44>>46
￣┣━◎￣￣￣/＼
＿◎＿＿＿＿＿_/＼/|
￣ ∩∩￣￣￣￣＼/ |
⊂(_-) )`⌒ つ￣/ |
￣|､＿`υ_＿＿／| |
］|∥￣￣￣￣∥ | /
＿|∥ □ □ ∥ |/
￣`∥＿＿＿＿∥／
_ ￣￣￣￣￣おもしろい。CDに細い紐４本、井桁に置いてずらしていくと、ちょうど頂角36°底角72°の二等辺三角形ができるときが星形で、それまでのあいだだろうなって見当はつく。かぞえるとバウムクーヘンの切れ端は13個あるね。
52:１３２人目の素数さん
18/03/05 14:00:02.90 /FRv3F/K.net
>>47
Σ[n=-∞，∞] e^{-πn^2} = θ_3(0, e^{-π}) = 1.086434811213308
Σ[m=-∞，∞] m^2 e^{-πm^2} = 0.0864557352758541
辺々割って 4π.
Σ[n=1，∞] (-π)^n / {n! ζ(2n+1)} = -0.568682
Σ[m=0，∞] (-π)^m / {m! ζ(2m+3)} = -0.0452297
辺々割って 12.5732
53:１３２人目の素数さん
18/03/05 21:54:28.59 /FRv3F/K.net
>>44
d = √{ab/(a+b)} とおく。0<a<b より
√(a/2) < d < min{(1/2)√(a+b)，√a}.
x = -d,
y = 0 （x軸),
(-d，d）と（d√2，0) を通る直線,
(-d，-d）と（√{(a+b)/2}，0）を通る直線
これで13個だ…
54:１３２人目の素数さん
18/03/05 22:24:30.70 ziXyPtrs.net
平面をn本の直線で分割するとき、最大でa[n]個の領域に分割するとき、
a[n+1] = a[n]+n+1
平面上に円が１つあって、n本の直線で分割するとき、最大でb[n]個の領域に分割するとき、
b[n]は？
平面上に同心円が２つあって、n本の直線で分割するとき、最大でc[n]個の領域に分割するとき、
c[n]は？
平面上に同心円がm個あって、n本の直線で分割するとき、最大でd[n]個の領域に分割するとき、
d[n]は？
55:１３２人目の素数さん
18/03/05 23:14:45.10 7fA6cixH.net
>>49
7や17をL-x-yの素因数に含む場合は複数解を含むケースが多い
L-x-y=833=7・7・17である解3つ
(L,x,y)=(11492,7524,3135),(21125,7524,12768),(43700,7524,35343) いずれも L-y=8357
L-x-y=4879=7・17・41である解2つ
(L,x,y)=(13156,1440,6837),(14355,1440,8036) いずれも L-y=6319
L-x-y=5593=7・17・47である解3つ
(L,x,y)=(9375,7072,7896),(21853,5040,11220),(22472,13260,14805)
L-x-y=6713=7・7・137である解2つ
(L,x,y)=(20280,4795,8772),(282348,15960,259675)
56:１３２人目の素数さん
18/03/06 02:12:22.19 UD175zGr.net
全部映画のタイトル
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
57:１３２人目の素数さん
18/03/06 08:37:05.23 UZDPZhtT.net
>>4が未解決ですが、解を知りたいものですね
さて、エレ解の募集です
(用意した想定解は地道にやっています)
xy平面上を点Pが原点(0,0)からスタートして、以下に定められる規則に従って移動する。次の設問に答えよ。
点Pの移動規則:
サイコロを振り、1の目が出た場合(2,0)、2の目が出た場合(1,√3)、3の目が出た場合(-1,√3)、4の目が出た場合(-2,0)、5の目が出た場合(-1,-√3)、6の目が出た場合(1,-√3)だけ点Pは移動する。
サイコロを8回振る。
最終的な点Pの位置をP_8とする。
原点と点P_8の長さが整数になる確率を求めよ。
但し原点と点P_8が一致した場合は長さ0とし、整数に含む。
58:１３２人目の素数さん
18/03/06 11:34:45.51 XWVSzSDt.net
>>56
原点からの距離が14となる場合が18通りあるが、それらの場合における確率がいずれも等しいところが興味深い
自明な結果ではないはず
59:１３２人目の素数さん
18/03/06 13:38:56.07 n38J+kuo.net
>>44
直線1本 … 2個
直線2本 … 5個
直線3本 … 9個
直線4本 … 13個？
60:１３２人目の素数さん
18/03/06 13:53:40.61 29oWx1/5.net
>>58
内側の円が充分小さければ14個できる
61:１３２人目の素数さん
18/03/06 14:21:06.54 NuR3ze1m.net
四角形を角の付近を残して中を除けば１１＋３
62:１３２人目の素数さん
18/03/06 14:32:43.92 puCh8V/h.net
円の大きさは関係ないかな
4本すべての直線が内側の円の内部を通るようにし、かつ、
どの2直線も図形の内側(内側の円の外部かつ外側の円の内部)の、それぞれ異なる点で交わるようにすると14分割になる
63:１３２人目の素数さん
18/03/06 23:05:51.85 4AuUlXe8.net
【湖畔の街灯】
観測者が、光源から受ける光の明るさ・電荷から受ける静電気力の大きさ・物体から受ける引力の大きさ…は逆二乗則に従う（すなわち距離の二乗に反比例する）。
観測者が距離1の光源から受ける光の明るさを1とする。
次のとき、θ=0にいる観測者が受ける光の明るさはいくらか？
(n=0) 直径2/πの円周上のθ=πの位置に光源があるとき
(n=1) 直径4/πの円周上のθ=π/2, 3π/2の位置に光源があるとき
(n=k) 直径(2/π)*2^kの円周上のθ={aπ/(2^(k-1))}-{π/(2^k)}の位置に光源があるとき（ただしa=1,2,…,2^k）
一周2^(n+1)の円形の湖に、2^n個の街灯が等間隔で並んでいるイメージである。
無限に大きい円を考えると、どのような数論の公式が導けるか？
64:１３２人目の素数さん
18/03/07 02:06:27.88 Zv6uWX5c.net
>>53
a[n] = (nn+n+2)/2,
>>61 に従って
直線0： y=0 (x軸)
線分（√a，0）～（√b，0）をn等分する点をP_k (k=1，…，n-1）
線分（√a，δ）～（√a，0）をn等分する点をQ_k（k=1，…，n-1）
直線ｋ： P_k と Q_k を通る直線
とする。
δ>0 がじゅうぶん小さいとき、n本の直線は小円の内部を通る。
c[n+1] = c[n] + n+2,
c[n] = n(n+3)/2,
65:１３２人目の素数さん
18/03/07 02:14:12.02 Zv6uWX5c.net
>>63
P_n = （√b，0）
P_0 = Q_n = （√a，0）
とおけばいいか…
66:１３２人目の素数さん
18/03/07 02:19:58.34 Zv6uWX5c.net
>>45 >>49
ペル方程式
数セミ増刊「数学・物理 100の方程式」日本評論社（1989）p.16～17
67:１３２人目の素数さん
18/03/07 16:32:10.13 Zv6uWX5c.net
>>63 (補足)
d ' = √b - √a とおく。
線分ｋは放物線
√{(x-√a)/d '} + √(y/δ) = 1
に接する。その接点は
（√a + (P_0 P_k)^2 /d '，(Q_k Q_n)^2 /δ）
次に、
線分 P_0（√a，0）～ P_n（√a +d '，0）をλ：(1-λ）に内分する点をP
線分 Q_0（√a，δ）～ Q_n（√a，0）を λ：(1-λ）に内分する点をQ とする。
λ = P_0 P / d ' = Q_0 Q / δ.
このとき、線分PQ も上記の放物線に接する。その接点は
（√a + λ^2･d '，(1-λ)^2･δ）
また、2本の接線の交点は
（√a + λ1･λ2･d'，(1-λ1)(1-λ2)δ）
68:１３２人目の素数さん
18/03/07 21:07:05.61 yI2/0C5p.net
>>56
答え 44.13% 位ですか？
69:１３２人目の素数さん
18/03/08 12:23:37.55 YNRhAtaA.net
>>63-66
>>61 に従って
直線n： y=0（x軸）
大円内でx軸と小円に接する下に凸な曲線Cを書き、n-1本の接線を曳く。
曲線Cの例：
円（x - √{b-d 'd '})^2 + (y-d ')^2 = (d ')^2
d ' = √b - √a とおいた。
70:１３２人目の素数さん
18/03/08 12:46:49.80 YNRhAtaA.net
>>68
・Cの例
円 (x-√b)^2 + (y-r)^2 = r^2,
ここに r = （b-a)/(2√a).
71:44です
18/03/08 18:24:18.81 thv0rQ4l.net
いちおう自分が考えたのと同じ 必ず14 が出ました。
読むのでもう少々お待ちを。
72:１３２人目の素数さん
18/03/09 09:58:52.79 uTCYTbKw.net
>>56
二次元で正六角形を表現するのは面倒だが、三次元内なら簡単に表現できる。サイコロの各出目に対し、
(1,-1,0),(1,0,-1),(0,1,-1),(0,-1,1),(-1,1,0),(-1,0,1) ・・・・（★）
を対応させればよい。この方法を用いると、ｎ回のサイ振り後の、動点Pの位置(x,y,z)は、
x+y+z=0,|x|≦n,|y|≦n,|z|≦n、・・・・・・・・・（☆）
の整数解と1対1に対応できる
(n=1の時、原点もこの方程式の解に含まれるが、動点がここにいることはないのでこれだけは除外する)
問題では一回のサイ振りで2移動するが、この解法では√2の移動に留まる。
従ってこの座標系の距離で√2倍したものが、問題における距離と一致する。
つまり、「動点Pが原点から整数距離にある」⇔「ｍを整数として、2(x^2+y^2+z^2)=ｍ^2と表せる」
m=2kとおき、整理すると
x^2+y^2+xy=k^2 ・・・・・・・・・（☆☆）
n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。
(★)より、(x/y + x/z + y/z + y/x + z/x + z/y)^8 ・・・・・・（★★）
を展開したとき x^a y^b z^c の係数が、動点Pの8回のサイ振り後、(a,b,c)に到達するルート数に一致することが判る。
（☆☆）の解に対応させると、
(x/y),(x/y)^2,...,(x/y)^8 の係数の和の六倍、プラス、x^8/(y^5z^3) の項の係数の十二倍、プラス 定数項
を6^8で割った物が、この問題の答えになる。
73:１３２人目の素数さん
18/03/09 09:59:22.23 uTCYTbKw.net
飛び道具があれば、(★★) を展開し、各係数を見て、計算すれば、それで終了とできる。
だがそでは「エレガント」とは言えないので、別の方法を示す。
最も、煩雑なのが定数項の計算。飛び道具を使う以外に二通りの方法で確認したので、まずそれを示す。
展開式において、x/yをa回、x/zをb回、．．．z/yをf回掛け合わされ、「定数になる」等という条件を式にすると、
a+b+c+d+e+f=8、a+b=d+e,c+d=a+f,e+f=b+c → abcdef=004004,013013,021203,022022,...,400400 という21通りの非負整数解を見つけられ、
全ての解において 8!/(a!b!c!d!e!f!) を計算し、和を取れば、54810 を得られる。（これは、プログラムにより確認した）
問題では八回のサイ振りが求められているので、まずその半分四回までのサイ振り後のルートを全て計算する。
正三角形方眼紙を用いればパパパッとできる。４回後の各地点へ到達するルート数は、原点９０、サイズ１の正六角形の頂点６０、
サイズ２の正六角形の頂点３４、辺の中点４８、その外は頂点から順に１２，１６，１６、その外側は頂点から順に１、４、６、４
このようになる。こうして得られた61カ所に数字の二乗和を取ると、90^2+6*(60^2+48^2+34^2+2*16^2+12^2+6^2+2*4^2+1^2)=54810が得られる。
ところで、（★★）を展開したときの定数項は原点のルート数＝(54810)に当たるが、この式において、
x=yと置き換えた時の定数項は、正六角形の原点を通る対角線上の17個の数字の和に当たることが判る。
これは、（パスカルの三角形みたいなものを書けば）手でも十分計算可能で、2^8*1107という値を得る。
これの三倍で、原点を通る三本の対角線をカバーできるが、原点が３重に数えられているので、その超過分を減じ、
x^8/(y^5*z^3)の項の分8!/(5!3!)=56の12倍を加え、確率に直すと、
(1/6^8)(3*2^8*1107-2*54810+12*56)=741228/6^8=0.441308013... が得られ、これが>>67で示した結果。
74:１３２人目の素数さん
18/03/09 10:08:50.28 uTCYTbKw.net
訂正
>>71
誤：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。
正：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}、及び原点に限られる。
75:イナ
18/03/09 22:48:41.28 20dRp+V2.net
~人人~ 前>>50
(＿)_) 二重の円を
(_(＿)ﾞ適当な大きさに
(-_-)) 描き、
○(`')ﾞバウムクーヘン
○⌒_ﾉ 上で交差する
(_人_)ﾞように５本の線
_υ_υ_ で分割し、内側の円を掠めるようにうまく配置して一本の線をとると、外側の円を含むバウムクーヘンは８つできる。
内側の円を含むバウムクーヘンは二種類あって一つの鋭角を持つ切れ端３つと、一つの鈍角をもつごく小さな切れ端３つが確認できる。
∴8＋3＋3＝14
76:イナ
18/03/09 23:02:03.51 20dRp+V2.net
訂正。前>>74
やっぱり二つの円の中心がズレてました。一つの交点が外側の円を出ます。
8＋3＋2＝13 が最大かと。
77:１３２人目の素数さん
18/03/10 01:14:51.00 Ta7osRmu.net
>>75
星形にこだわるとうまい解はでないかもしれないです
例えばこういう線を考えてみてはどうでしょうかね
・バウムクーヘン>>44のもの。原点を中心に持つ半径aとbの円に挟まれた図形
・１本目の線を、切片(a+b)/2で正の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・２本目の線を、切片(a+b)/2で負の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・３本目の線を、切片-(a+b)/2で正の傾きをもち、１番目と２番目の線と第１象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
・４本目の線を、切片-(a+b)/2で負の傾きをもち、１番目と２番目の線と第２象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
このようにすると、>>61に書かれているように、４本の線は互いに図形内の異なる点で交わり、かつ内側の円の内部を通るようにできます
分割数は１４になります
78:イナ
18/03/10 08:38:58.94 dRmoZgLS.net
>>76図を書いて確認しました。たしかに14個に分割できますね。前>>75
∥∩∩］∥
（(-_-) ∥
（っφ)ﾟ∥
｢￣￣￣￣]
■/_UU＼■＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿
79:１３２人目の素数さん
18/03/12 10:26:12.21 DSncSinI.net
>>45
＞その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）
理由は不明ですが、既約解において、L-x-yの素因数は、その平方が48を法として1に合同なものに限られるらしい
(その場合、当然L-x-yの平方も48を法として1に合同)
何かそうでなければならない理由があるのでしょうか
80:１３２人目の素数さん
18/03/13 07:19:18.20 IdxYrbr8.net
奇素数 p、自然数 r、gcd(a、p)=1 をみたす整数 a に対して、
x＾2≡a (mod p^r) をみたす整数 x が存在するならば、
y^2≡a (mod p^{r+1}) をみたす整数 y が存在することを示せ。
81:１３２人目の素数さん
18/03/14 01:28:54.32 hdbbxtzk.net
>>79
gcd(2a，p) = gcd(2，p) gcd(a，p) = 1,
∴ 1-2az ≡0 (mod p) を満たす z が存在する。
xx = a + b･p^r
に対して
82: y = x (1 - z b･p^r) とおく。 yy = xx (1 - z b･p^r)^2 = (a + b･p^r) {1 -2z b･p^r + zz bb･p^(2r)} ≡ a + (1 -2az)b･p^r （mod p^(2r)) ≡ a （mod p^(r+1))
83:１３２人目の素数さん
18/03/14 02:47:19.91 KXfS4lra.net
>>80
実に素晴らしいデス！
84:１３２人目の素数さん
18/03/14 18:29:55.30 hWHigWj1.net
半径1の円の周および内部に、
(A) どのようにm個の点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。最小のmを求めよ。全ての2点間の距離が1より大きくなるm-1個の点の配置を示せ。
(B) どのようにn個の点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。最小のnを求めよ。全ての2点間の距離が1以上になるn-1個の点の配置を示せ。
論点
(A) 5点の配置は余裕、またmが高々7なのは容易に示せるが、m=6,7のどちらだろうか？
(B) 7点の配置はギリギリ可能だが、n=8なのだろうか？
85:１３２人目の素数さん
18/03/15 12:01:35.87 0fp5JvfB.net
>>56
おそらく
原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算
軸は、
23○
56�
86: 14△ として ○がk個、□がk個、△が(8-2k)個を並べてから各○□△埋める 2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) が最も近道だと思う
87:１３２人目の素数さん
18/03/15 12:29:57.70 qb2/J3X8.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
88:１３２人目の素数さん
18/03/15 18:08:55.23 tXGeseDm.net
>>82
(B)n=8が答え。
8点の中に円の中心が含まれていたら、残りの7点は円周上に無ければならないが、そのような配置は必ずある2点間の距離を1未満にする。
したがって8点とも円の中心と異なる場合のみ考えれば良いが、
ピザを切るように円を7等分すれば、鳩ノ巣原理より同一のピースに含まれるような2点が存在。
2点とも円の中心とは異なるため、必ず距離は1未満になる。
89:１３２人目の素数さん
18/03/15 19:55:30.54 Vea/5imI.net
>>83
>>原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算
aaaa(aaaa)~型： 3通り ＊ 8!/(4!4!)
aaab(aaab)~型： 6通り ＊ 8!/(3!3!)
aabb(aabb)~型： 3通り ＊ 8!/(2!2!2!2!)
aabc(aabc)~型： 3通り ＊ 8!/(2!2!)
(ABC)^2*AA~型： 6通り ＊ 8!/(3!2!2!)
の21通り合計、54810ですね。
（※aに対し、「a~」で、aと反対の方法を、A,B,Cは、お互い120度をなす方向を表し、ABCで元の位置に戻ります。）
（※二つの数字は、方向パターンと並べ替えパターン）
この方法は、「型の列挙」に漏れや重複がないか核心で、別の独立な方法で確認できたなら、自信が持てますよね。
軸の方の
Σ[k=0,4]2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) =283392=1107*2^8
はシンプルですね。
90:１３２人目の素数さん
18/03/16 04:18:56.25 4kz/tEYl.net
>>82
(A) m=6
・6点のどれかが円の中心ならば、他の点までの距離は１以下。
・6点とも円の中心でない場合、
6つの中心角の合計が360ﾟ だから、最小のものは60ﾟ 以下となり、60ﾟ の扇形に含まれる。
∴ 距離は１以下。
円周上の正５角形
91:１３２人目の素数さん
18/03/16 23:32:33.66 RLjYn1OD.net
有名問題かもしれないけど
「全ての自然数は、3の階乗の足し引きで表されることを示せ。」
例えば4=3+1 11=9+3-1 とかな
高校数学解法辞典？ っていうのに載ってて、難易度が難だった
難レベルは同書に数問しか入ってなかった
やや難の問題の方が難しく感じたけどなw
92:１３２人目の素数さん
18/03/17 00:28:31.07 uUVJ+V3Z.net
>>88
3!=6だが...?
93:１３２人目の素数さん
18/03/17 00:37:00.45 eW3NLgR8.net
>>89
書き間違えくらい、忖度してやれ
94:１３２人目の素数さん
18/03/17 00:42:15.69 uUVJ+V3Z.net
足すか、引くか、足しも引きもしない、の3通りが選べる。
これが全ての数について言えるから
95:１３２人目の素数さん
18/03/17 00:56:58.05 01TYQxjO.net
>>90
土曜日だからね！
96:１３２人目の素数さん
18/03/17 09:43:19.88 cb1s66eH.net
>>89
階乗じゃなくて累乗やんけ
ごめんなさい
97:１３２人目の素数さん
18/03/17 09:45:59.36 NB1tvxjk.net
n=3^0+3~0+…+3~0 (n個の和)
98:１３２人目の素数さん
18/03/17 09:59:07.80 cb1s66eH.net
>>88 だけど、問題の定義が曖昧すぎたので原文まんま上げます
考えてた人はごめんなさい
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
99:１３２人目の素数さん
18/03/17 10:25:23.68 jS80gqxS.net
>>92
Sonntag する
ってそりゃ日曜日
100:１３２人目の素数さん
18/03/18 00:13:23.85 G0ywGEnh.net
>>96
もう日曜だが…
博多どんたく の語源はオランダ語の zondag.（日曜日）らしい
101:１３２人目の素数さん
18/03/18 00:28:53.70 G0ywGEnh.net
>>88
で、肝心の問題だが…
平衡３進法 とか云うらしい...
URLﾘﾝｸ(www5e.biglobe.ne.jp)
102:１３２人目の素数さん
18/03/18 13:46:22.49 NgzA8uOp.net
平衡3進法、
天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね
（天秤進法→）天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの
103:１３２人目の素数さん
18/03/18 14:04:54.73 sfYdIshh.net
↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。
数学というより、精神医学の話題なんじゃないの？
104:１３２人目の素数さん
18/03/18 23:28:02.32 kMHyRC84.net
>>98
ほー、そう呼ばれてるのか
勉強になったわ、サンクス
証明どうする？ 載せた方がいい？
上のサイトに比べたら大したものじゃないけど
105:１３２人目の素数さん
18/03/19 15:52:34.75 0pj/bapv.net
>>101
あくしろよ
106:１３２人目の素数さん
18/03/19 18:19:55.56 JXYilKRY.net
80.6 < Σ[k=1→24]√k < 80.65 を示せ
107:１３２人目の素数さん
18/03/20 00:15:22.04 E4ArtLi4.net
お待たせ
当時の俺はこんなので感動したもんだ
ちなみにmが最終的に0になることの証明してないけど自明の理だよな？
もしあれだったら数学的帰納法で頑張って
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
108:１３２人目の素数さん
18/03/20 00:45:44.86 /slNwo5u.net
x+1/3 を普通に３進展開するだけなんじゃないの？
109:１３２人目の素数さん
18/03/20 04:43:15.16 3dlcpbYb.net
mより大きな111...1[3]を、mに加えて三進法表示し、2→1、1→0、0→-1 とすればいいだけだろ
110:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:04:38.68 HDkQdBLp.net
>>103 （右）
y=√x は上に凸だから
√k > ∫[k-1/2，k+1/2] √x dx,
（与式）> ∫[1/2，24+1/2] √x dx
=［（2/3）x^(3/2）］（x=1/2，49/2)
=（2/3)(7^3 - 1)/(2√2）
= 57√2
= 80.610173
積分計算を避けたいなら、
AM-GM より
(kk -1/4)^3 ≧ kk･(kk -3/8)^2,
｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
= 9k/4,
√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。
111:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:33:56.73 HDkQdBLp.net
>>103 (左)
y=√x は上に凸だから
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx,
(与式) < 1 +√2 +√3 +（1/2)√4 + ∫[4，25] √x dx -（1/2)√25
= 2 +√2 +√3 +［（2/3）x^(3/2）］(x=4，25) - 5/2
= 2 +√2 +√3 +（2/3)(125-8） -5/2
= 80.6462644
112:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:54:38.66 HDkQdBLp.net
〔問題〕
（2√6 + 5)/2 < ∫[24，25] √x dx,
を用いて
√6 < （485/6)/33 = 2.449494949…
を示せ。
113:１３２人目の素数さん
18/03/20 07:17:04.24 HDkQdBLp.net
〔応用問題〕
不等式
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx, >>108
を用いて次を示せ。
(2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8)
√2 < 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
√2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)
(3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)
(5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80)
(6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24)
(7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63)
(10) √10 < 117/37 = 3.16216216… (k=9)
√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)
(11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)
(17) √17 < 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 < 882/145 = 6.08275862… (k=36)
114:１３２人目の素数さん
18/03/20 10:22:23.02 axJ93PPR.net
問題を作ってみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
115:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:30:10.64 GpBOW+61.net
>>111
そんな難しい問題を解けるやつはこの板にいない
116:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:32:28.91 jDobQb51.net
>>112
その手には乗りませんよ、ザーボンさん
117:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:41:21.16 E4ArtLi4.net
>>111
1枚目は行けそう
118:１３２人目の素数さん
18/03/20 20:01:34.88 GpBOW+61.net
>>114
それはそう
行けそうというか見ただけでいける
ただ2と3が難しい
(1)
|z||1-kw|=|w|
k|w-1/k|=|w|
1/kが表す点をAとする。wはOAをk:1に内分する点と外分する点をそれぞれ直径の両端とする円周上にある。
(2)
PQ=|z-w|=k|w|
また(1)より、
wの中心はk/(k+1)(k-1)、
半径は1/(k+1)|k-1|
したがって、
|w|の最大値
=k/(k+1)|k-1|+1/(k+1)|k-1|
=1/|k-1|
|w|の最小値
=|k/(k+1)|k-1|-1/(k+1)|k-1||
=1/(k+1)
以上より、
PQの最大値=k/|k-1|
PQの最小値=k/(k+1)
119:１３２人目の素数さん
18/03/20 23:21:38.16 eXRt6Wpn.net
大学学部レベル質問スレ 10単位目 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:647番)
nを正の整数、X={x_1,x_2,...,x_{2n+1}}を実数からなる(多重)集合とする。
Xから任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの
組に分けることができるならば、x_1=x_2=…=x_{2n+1} である。
120:１３２人目の素数さん
18/03/21 03:15:09.46 Y0EoMfqc.net
>>110
kが平方数のときは、不等号が逆向きでござる。
(2) √2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
(10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9)
(17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36)
121:１３２人目の素数さん
18/03/21 12:36:42.69 MWb2EIvX.net
>>116
Xが生成する加法群をYとおくと、Yは捩れなし有限生成アーベル群であるからZ^m(Zは整数全体からなる加法群、mはある非負整数)と同型。
したがって、x_1=…=x_{2n+1}でないならば、群準同型f:Y→ZであってfによるXの像f(X)が単元でないようなものが存在する。
x'_i=f(x_i-x_1) (i=1,…,2n+1)とおくと
X'={x'_1,x'_2,…,x'_{2n+1}} (⊂Z) も X と同様の性質を持つが、
S-x'_i (ただしS=x'_1+…+x'_{2n+1}) が全て偶数にならなければならないので、x'_iの偶奇は全て一致する。x'_1=0 は偶数であるから、他の全てのiについてもx'_i は偶数。
これより、 x''_i=(x'_i)/2 とおけば
X''={x''_1,x''_2,…,x''_{2n+1}} (⊂Z) もXと同様の性質を持つ。無限下降法よりx_1=…=x_{2n+1}でなければならない。
122:１３２人目の素数さん
18/03/21 23:09:48.08 GQh1Fn+G.net
R^n の微分式ωで、R^nの全ての平行移動で不変なものω を決定せよ。
123:１３２人目の素数さん
18/03/21 23:16:51.36 NaAK8rgB.net
(a/p) を平方剰余記号とする。
(1) (123/769) の値を求めよ。
(2) (1234567/987654323) の値を求めよ。
(3) (a/p) の値を求めよ。ただし、a, pの値は以下とする。
a = 289589985200426886037189479736335834688462115581329068039
p = 579179
124:970400853772074378959472671669376924231162658136139
125:１３２人目の素数さん
18/03/22 00:44:22.48 T9JdKZ5e.net
>>119
微分形式？平らじゃんR^n
126:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:28:08.85 Qvak/x+C.net
>>111
2枚目は、分かスレ４４１-603，608-609 を参照
(1)
f(x) -（ax+b) =（1-a)x + log{1 + e^(-2x)｝+ b,
∴ a = 1， b = - lim［x→∞］log{1 + e^(-2x)｝= 0,
(2)
左 シュワルツ不等式で
(x +1/2)･log(1 +1/x）= ∫[x，x+1] u du・∫[x，x+1］1/v dv >｛∫[x，x+1] du}^2 = 1,
右
GM-AM より
1/x - 1/(x+1）= 1/(x(x+1)）<｛1/x + 1/(x+1)}/{2√(x(x+1))｝= -｛1/√(x(x+1))} '
あるいは、√(x(x+1)）- x は単調増加ゆえ
1 <｛√(x(x+1))} '
1/x - 1/(x+1) = 1/(x(x+1)）<｛√(x(x+1))} '/(x(x+1)）= -｛1/√(x(x+1))} '
x～∞で積分して
log{(x+1)/x｝< 1/√(x(x+1)),
なお、x → e^(2x）とすれば
2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝< log{1 + e^(-2x)｝< e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝
(3) e^x･dx = dθ/(cosθ)^2, より
∫[0，p］e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝dx = ∫[π/4，arctan(e^p)］1/(sinθ)^2・cosθdθ
= ［ -1/(sinθ）](θ：π/4～arctan(e^p)）
= √2 - √{1 + e^(-2p)}
→ √2 - 1 （p→∞）
(4)
∫ 2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = -log{2 + e^(-2x)},
∫[0，∞］2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = log(3）- log(2）= 1.098612 - 0.693147 = 0.405465
S(∞）= ∫[0，∞］log｛1 + e^(-2x)｝dx = 0.4112335
√2 -1 = 0.41421356
127:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:40:23.13 tjCH61Ex.net
>>120
(1) 320^2≡123 (mod 769) より 1
以下ヤコビ記号を使用する。すなわちbが奇数の合成数のときb=pb'なる素数pについて(a/b)=(a/p)(a/b')
(2) (1234567/987654323)=-(723/1234567)=(406/723)=-(203/723)=(114/203)=-(57/203)=-(32/57)=-1
(3) (a/p)=-(61/a)=-(57/61)=-(4/57)=-1
128:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:41:25.13 Qvak/x+C.net
>>111
3枚目
∠ACB = θ とおく。
AC > AB > 0 より 0 < θ < π/2,
デカルト座標（x，y）を以下のようにとる。
A (0，0)
B (2 sinθ，0) AB = 2 sinθ,
C (0，2 cosθ) AC = 2 cosθ,
D (AD cosθ，AD sinθ) AD = 2 AC sinθ = 2 sin(2θ),
E (2 sinθ，2 cosθ) AE = BC = 2,
F (2 sinθ，2(sinθ)^2 /cosθ)
G (2 sinθ，1/cosθ) FG = {1-2(sinθ)^2}/cosθ = cos(2θ)/cosθ,
直線AD： y = x tanθ,
直線BE： x = 2 sinθ,
直線CD： x/tan(2θ）+ y = AC = 2 cosθ,
以上により
△AFG = (1/2) AB FG = tanθ・cos(2θ）=（√T)(1-T)/(1+T),
ここに T =（tanθ)^2， （0<T<1)
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 （黄金比と云う）を使うと
（5φ -8)(1+T)^2 - T(1-T)^2 =（φ-T)(T+3-2φ)^2 ≧ 0,
∴（△AFG)^2 = T（1-T)^2/(1+T)^2 ≦ 5φ -8 = 0.090170
∴ △AFG ≦ √(5φ -8）= 0.300283
等号成立は T = 2φ-3 = √5 -2 = 0.236068 のとき。
cos(2θ）= 1/φ =（√5 -1)/2 = 0.618034
θ = arctan(√T）= 0.452278447 (rad) = 25.91 (ﾟ)
129:１３２人目の素数さん
18/03/22 09:47:30.38 vsUNKHqP.net
>>116
x_1からx_{2n+1}の中の最大値をM、最小値をmとする。
全ての元にTを加えた、X'={x_1+T,x_2+T,...,x_{2n+1}+T}という多重集合も、
「X'から任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの組に分ける」
ことができなければならない。
さて、X'において、ある元を除き、和が等しくなるようにn個ずつ分け�
130:ｽ組の合計は、 下限がn*(m+T)、上限がn*(M+T)となるが、T >> M の様なケースを考えれば、下限、上限ともに、 n*Tが支配的な量になることから、X'の元の s 個の和 ＝ X'の元の r 個の和 → s = r となる必要がある。 ところで、Tとして、(-1)*x_1 を考えると、(少なくとも)一つの元が0なので、 その元の加算は、和に影響を与えないので、左辺側にこの元が含まれると、 X'の元の n-1 個の和＝X'の元の n 個の和 ；（左辺側にこの元が含まれる） という事が起こる。この矛盾を回避するためには、「n 個の和」と思っていた物も、実質「n-1 個の和」 と等しければよく、これは、x_1と同じ値を持つ物が、右辺側にも含まれていることを意味する。 取り除く元としてx_1を選んだとき、どちらかのグループに、x_1と同じ値を持つ元が有るので、反対の グループには、さらに、x_1と同じ値をもつ元がなければならない。 以下同様に、x_1と等しい元が、奇数個ある事が確認できている場合には、値不明の元を取り除く元として選び、 x_1と等しい元が、偶数個ある事が確認できている場合には、x_1と同じ値を持つ物を取り除く元として選べば、 順次、x_1と等しい新しい元の存在が確認でき、最終的に全ての元が、x_1と等しくなければならないことが示される。
131:１３２人目の素数さん
18/03/22 12:59:12.35 2lfOCr3y.net
次の条件を満たすn次正方行列の固有値を全て求めよ。
1≦m≦nを満たす全ての整数mについて第m行の行ベクトルは0が連続してn-m個並ぶその右に1/mがm個並んだものである。
132:１３２人目の素数さん
18/03/22 13:41:36.02 P81vFYvQ.net
矛盾してないから回避は不要。
133:１３２人目の素数さん
18/03/22 18:26:09.42 vsUNKHqP.net
あ．．．、思い込みでミスってました。>>125は取り下げます。
134:１３２人目の素数さん
18/03/23 06:31:35.32 EuazrwzR.net
>>126
+1，-1/2，+1/3，… ，(-1)^(n-1) /n.
135:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:01:04.90 EuazrwzR.net
Le Veque の定理（1952)
x-y = 1 のとき
x^m - y^n = 1 …(1)
を満足する2以上の自然数解は x=3，y=2，m=2，n=3 に限る。
・カタラン予想に x-y=1 の制限を付加したもの。
・カタラン予想そのものは 2004年にミハイルスクにより証明された。
数セミ増刊 「数学 100の定理」 日本評論社（1984） p.104-105
数セミ増刊 「数学・物理 100の方程式」 日本評論社（1989） p.20-21
136:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:04:16.33 EuazrwzR.net
>>130
数セミ増刊 「数学 100の問題」 日本評論社（1984） p.104-105
137:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:07:00.80 EuazrwzR.net
(略証)
x = y+1 を (1) に入れると
(y+1)^m - y^n = 1,
ym +1 ≡ 1, (mod yy)
y｜m … (2)
また
y = x-1 を (1) に入れて
x^m - (x-1)^n = 1,
(-1)^n (nx-1) ≡ 1, (mod xx)
nは奇数 かつ x｜n ∴ xも奇数 … (3)
(2)(3) より、yは偶数、mも偶数。
m=2r とおくと、
x^m -1 = x^(2r) -1 = (x^r +1)(x^r -1),
右辺の２因子はともに偶数で、その差が2だから、
一方は 2×奇数、他方は 4の倍数。 …(4)
y = (x-1)｜(x^r -1) より
gcd(x^r +1，y) = gcd(x^r +1，x-1) ≦ gdc(x^r +1，x^r -1) = 2,
x^r +1 が 奇素数pの倍数ならば yもpの倍数、gcd(x^r +1，y) も2pの倍数となり、矛盾する。
x^r +1 は２ベキである。
2^a = x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2,
a > 1,
(4) より
x^r -1 = 2×奇数,
y = 2K, （K：奇数) とおくと (1) より
(2K)^n = y^n = x^m -1 = (x^r +1)(x^r -1) = 2^(a+1)･K^n,
a = n-1,
2^(n-1) = x^r +1 > x^r -1 = 2･K^n,
2 > K,
K = 1,
y = 2K = 2,
x = y+1 = 3,
3^r -1 = 2K より r=1,
3^r +1 = 2^(n-1) より n=3. (終)
H．B．Yu (1999) による�
138:B数セミ，38巻，6号（1999/June)
139:１３２人目の素数さん
18/03/23 08:32:20.36 03VcA1CL.net
>>129
証明はどうでしょう
140:１３２人目の素数さん
18/03/25 19:22:44.00 ANQoupJJ.net
横須賀の高校生、スマホの通信速度を10倍にする新技術を発明
ｽﾚﾘﾝｸ(poverty板)
141:１３２人目の素数さん
18/03/26 21:19:56.09 IKnRwfdR.net
p、q、r を相異なる素数とするとき、[x/p] + [x/q] + [x/r] = x の実数解 x の個数を p、q、r を用いて表せ。
142:１３２人目の素数さん
18/03/27 05:37:52.70 H3+XdNyv.net
>>135
p<q<r とする。
(2, 3, 5) = 30, {0,6,10,12,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,31,32,33,34,35,37,38,39,41,43,44,47,49,53,59}
(2, 3, 7) = 42, {0,-6,-12,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}
(2, 3, 11) = 14, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-12,-14,-15,-16,-17,-19,-23,-25}
(2, 3, 13) = 12, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13,-14,-15,-16,-17,-19}
(2, 3, 17) = 8, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13,-19}
(2, 3, r) = 7, (19≦r) {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13}
(2, 5, 7) = 8, {0,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-11}
(2, 5, r) = 5, (11≦r) {0,-4,-5,-6,-7}
(2, q, r) = 3, (7≦q<r) {0,-4,-5}
(3, q, r) = 3, (5≦q<r) {0,-3,-4｝
(p, q, r) = 2, (5≦p<q<r)｛0,-3｝
かなあ。
143:１３２人目の素数さん
18/03/27 23:45:01.17 Pc4avu0S.net
素数関係ないな。
144:１３２人目の素数さん
18/03/27 23:51:18.51 e+rcH4+R.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
145:１３２人目の素数さん
18/03/28 00:14:07.38 6Bea2jrG.net
>>4
アホくさ
(1)
(ⅰ)正三角形を含む場合
AB=BC=CA=yと置く
DA,DB,DCの内2つは等しい
DB=DCと置く
DはBCの垂直二等分線に在る
(ⅰ-1)DA=yの場合
DBCが頂角30度の二等辺三角形の形の答えと、凧型の答えを得る
(ⅰ-2)DB=y の場合(自動的にDC=y)
1つの候補はDとAが重なり、もう1つの候補から内角60度の菱形という1つの答えを得る
(i-3)何方でも無い場合 DA=DB=DC
DがABCの重心に在る場合という1つの答えを得る
(ⅱ)正三角形を含ま無い場合
AB=AC=x, BC=yと置く
DA,DB,DCのうち2つは等しい
(ii-1)DB=DCの場合
DB=DC=yだと正三角形ができるのでDB=DC=xの場合を考えれば良い
更にAD=xだとABDが正三角形なのでAD=yを考えれば良い
ABDCが正方形という1つの答えを得る
(ii-2)DA=DB の場合
同様にDA=DB=yの場合を考えれば良い
DC=yだとDBCが正三角形なのでDC=xを考えれば良い
辺の長さから△BAC≡△ACD
ACを底辺と扱うと点B,DのACからの距離は同じなのでBD//AC
故に4点は等脚台形を為す
対角線が長い方の平行辺と長さが等しい図という答えに至る
(2)
A,B,C,Dが与えられた時のEの候補は次の2つに分けられる
・EA=EB=EC の場合のような場合3点の外接円(4種類)
・EA=EB, EC=EDの場合2点と2点に分けて垂直二等分線の交点(3種類)
と考えて全部を検討するのが漏れなく其れなりに効率良さそうな1つの考え方だ
ABCDが正方形の時だけは対辺の垂直二等分線が一致し点が定まらず、更に長さを考えるか、或いは視点を変えてBCDEも又(1)の形を為すと要求すると不可能であると分かる
(3) BCDEFも(2)の形を為すと要求するとF=Aと成るしか無く不�
146:K
147:１３２人目の素数さん
18/03/28 04:54:36.75 v6aRBv4c.net
p≡1 (mod 4) のとき 1
p≡-1 (mod 4) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p-1)/2}
p≡±1 (mod 8) のとき 1
p≡±3 (mod 8) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p^2-1)/8}
----------------------------------------------
問題. (1)～(4)のそれぞれについて、(-1)^x の形で表せ。
(1)
p≡1,3 (mod 8) のとき 1
p≡-1,-3 (mod 8) のとき -1
(2)
p≡±1 (mod 5) のとき 1
p≡±2 (mod 5) のとき -1
(3)
p≡1,3,7,9 (mod 20) のとき 1
p≡-1,-3,-7,-9 (mod 20) のとき -1
(4)
p≡±1 (mod 12) のとき 1
p≡±5 (mod 12) のとき -1
148:１３２人目の素数さん
18/03/28 23:36:57.84 rYPiNLPi.net
そろそろ>>62の正解
初等幾何の諸定理より（リンク先参照）、n=kのときの明るさはn=k-1のときと等しく、
後ろ向きの帰納法を用いると、任意のnのときの明るさは(π^2)/4である。
また、無限に大きい円の場合、観測者が受ける光の明るさは、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-5,-3,-1,1,3,5,…の点にある光源から受ける光の明るさα」と同等である。
よって
α = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t-1)^2 = (π^2)/4
すなわち奇数の二乗の逆数和は(π^2)/8に収束することが導ける。
更に、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-6,-4,-2,2,4,6,…の点にある光源から受ける光の明るさβ」は、逆二乗則より「数直線上の原点にいる観測者が、…,-3,-2,-1,1,2,3,…の点にある光源から受ける光の明るさγ」の1/4になるになるはずである。
γ=α+β=(π^2)/4+(1/4)γよりγ=(π^2)/3, β=(π^2)/12
よって
β = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t)^2 = (π^2)/12
γ = 2Σ[t=1,∞] 1/(t^2) = (π^2)/3
すなわち
偶数の二乗の逆数和は(π^2)/24に収束し、
自然数の二乗の逆数和は(π^2)/6に収束する（バーゼル問題）。
149:１３２人目の素数さん
18/03/28 23:37:59.71 rYPiNLPi.net
物理学で対応する事象を用いたバーゼル問題の初等的・幾何的・直感的な証明は今世紀に入ってから発表されたものである。
論文
URLﾘﾝｸ(www.math.chalmers.se)
動画
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
150:１３２人目の素数さん
18/03/29 11:59:27.65 ihUI7uvJ.net
a,bを自然数とする。a^2+b^2をa+bで割った商をq、余りをrとすると、q^2+r=1977が成り立つという。
(a,b)を全て求めよ。
（もちろんq,rは非負整数でありr<a+b）
ヒント：r<2qを示せて、q,rが確定する。
151:１３２人目の素数さん
18/03/29 12:48:02.60 MHic9gzf.net
>>143
qq+r = 1977，r<2q から q=44, r=41 が確定する。
aa+bb = 44(a+b) +41，a+b>r=41 から｛a，b｝=｛7，50｝｛37，50｝
152:１３２人目の素数さん
18/03/29 17:31:24.50 ihUI7uvJ.net
>>144
解答は合ってるけどさすがにダメ
153:１３２人目の素数さん
18/03/29 19:20:38.00 9DT8+Pw9.net
うむ、大事なのは過程だ
154:１３２人目の素数さん
18/03/29 22:45:57.64 /OSBVUz8.net
>>4
>>139
許される距離がm種類だったり、空間にしてみたり拡張を考えたくなる
できるかは別として
155:１３２人目の素数さん
18/03/29 23:54:31.17 ihUI7uvJ.net
>>143
(a+b)q+r=a^2+b^2≧(a+b)(a+b)/2よりq≧(a+b)/2-r/(a+b)≧(a+b)/2
∴2q≧a+b>r
q^2+r=1977で2q>rを満たすのは(q,r)=(44,41)のみである。
このときa^2+b^2=44(a+b)+41⇔(a-22)^2+(b-22)^2=1009
1009は2平方数の和では(±15)^2+(±28)^2, (±28)^2+(±15)^2とのみ表されるから
(a-22,b-22)=(15,28),(-15,28),(28,15),(28,-15) （∵a-22≧-21, b-22≧-21）
よって(a,b)=(37,50),(7,50),(50,37),(50,7)
一昔前（1977年）の数オリだけど、難問揃いの近年では考えられないくらい簡単
156:１３２人目の素数さん
18/03/30 00:07:07.17 Bx07PAfT.net
簡単と言いながら間違える。
157:１３２人目の素数さん
18/03/30 16:45:22.96 9jey3GD7.net
>>55
(1) E.T. the Extra-Terrestrial 『E.T.』
(2) The Matrix 『マトリックス』
(3) Velocity
(4) Leaving Las Vegas 『リービング・ラスベガス』
(5) La La Land 『ラ・ラ・ランド』
(6) 12 Monkeys 『12モンキーズ』
(7) Pi 『π』
(8) Dr. No 『007 ドクター・ノオ』
(9) Seven 『セブン』
(10) Home Alone 『ホーム・アローン』
(11) The Green Mile 『グリーンマイル』
(12) The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring 『ロード・オブ・ザ・リング』
(13) Catch Me If You Can 『キャッチ・ミー・イフ・ユー・キャン』
(14) Gravity 『ゼロ・グラビティ』
(15) All the Money in the World 『ゲティ家の身代金』
(16) The Da Vinci Code 『ダ・ヴィンチ・コード』
(17) 2001: A Space Odyssey 『2001年宇宙の旅』
(18) Dial M for Murder 『ダイヤルMを廻せ!』
(19) Signs 『サイン』
(20) 8 Mile 『8 Mile』
有力な別解
(3) Speed 『スピード』
reddit.com/r/math/comments/815ojr
158:１３２人目の素数さん
18/04/01 00:24:31.04 VCG34iJE.net
(0,1),(1,1)を結ぶ曲線のx軸周りの回転体の表面積の最小値を求めよ.
159:１３２人目の素数さん
18/04/01 00:28:40.25 VCG34iJE.net
>>151
ごめんなさいミスです
(0,0),(1,1)を結ぶ曲線です
160:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:15:57.53 noFB9/4S.net
>>151
適当にサイクロイドと予想しておく
161:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:39:38.11 VCG34iJE.net
>>153
違います
162:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:40:18.92 noFB9/4S.net
>>154
有名な曲線になる？
163:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:41:16.70 VCG34iJE.net
>>155
名前は付いてるよ
164:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:42:08.50 noFB9/4S.net
>>156
じゃあアステロイド
165:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:42:46.67 VCG34iJE.net
>>157
違うかな
日常でも良く現れる曲線です
166:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:43:08.83 noFB9/4S.net
ごめんな解くのがめんどいんだわ
解くのが面白い問題じゃないだろうし、ひたすら計算って、問題としてはつまんねーし
167:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:43:33.79 noFB9/4S.net
>>158
カテナリー
これ以上はレスやめとくわ
168:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:44:58.65 VCG34iJE.net
>>159
まあ計算ゲーではあるけども
厳密にそれが最小解であることを証明するのはかなり高度な抽象論必要だし面白いと思う
>>160
そうです
169:１３２人目の素数さん
18/04/01 02:24:24.08 yIshEAEB.net
有名ナリー
170:イナ
18/04/01 17:17:42.23 +Kemoei8.net
＿人人＿/＿/＿/＿/＿/
（＿^_)_/＿/＿/＿/＿/
_((-_-)_/＿/＿∩∩＿/
_(っц)~/＿/_(^) )_/
_(`γ)＿/＿/_,U⌒ヽ_/
＿υυ＿/＿/(＿＿＿)/＿/＿/＿/＿/＿/＿/UU/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/要はろくろだろ。扇形なら小さ�
171:ｭなるし、放物線なら大きくなるし、指数関数にすればもっと大きくなるんじゃない？
172:１３２人目の素数さん
18/04/01 17:55:01.26 kw1PD5xS.net
101頭の牛がいてどの牛も体重は整数㎏である
どの1頭を除いても残りの100頭を総体重が等しい50頭ずつのグループに分けることができる
このとき全ての牛の体重は同じであることを示せ
173:１３２人目の素数さん
18/04/01 23:17:44.11 Sq5gTv4H.net
3人の女性A,B,Cがいる。
この3人は、
100%本当のことを言う正直者
50%の確率で本当のことを言う気まぐれ
0%の確率で本当のことを言う嘘つき
が一人ずつであるが、あなたは誰がどれに対応するかはわからない。
女性間では誰がどれに対応するかわかっている。
あなたは彼女らに｢はい｣、｢いいえ｣で答えられる質問を2回行う。
2回目の質問で｢はい｣と答えさせることができればあなたの勝ちである。
2回の質問をどう行うと良いか？
ただし、各質問は一人ずつにしか行えない。
174:１３２人目の素数さん
18/04/02 00:56:48.50 66IqDDyK.net
１回目：Aさんに質問
「もしあなたに『Bさんは気まぐれですか』と尋ねたら『はい』と答えますか」
２回目：１回目の答えが「はい」の場合はCさんに、「いいえ」の場合はBさんに質問
「あなたは正直者ですか」
１回目の質問で「少なくとも気まぐれではない１人」を探すのがポイント。
気まぐれでさえないことがわかっていれば、事実を聞き出したり特定の答えに誘導するのは簡単。
175:１３２人目の素数さん
18/04/02 01:21:42.33 ZjjiJzGw.net
>>166
お見事。
論理の2回反転で嘘つきを正直者にする解法ですね。
エイプリルフールなので出してみました
あ、エイプリルフールが終わってしまったようですw
176:１３２人目の素数さん
18/04/02 10:00:45.81 rDlRBZ4q.net
>>164
整数kgの101頭の牛に於いて同じ体重であるもの同士を同じグループとして分類せよ
全ての牛の体重が同じであることは無いとすれば2グループ以上に分類できる筈である
n(n≧2)グループに分類されたとせよ
其々のグループの牛の体重を
A[i]kg(i=1,2,3,…,n)とせよ
則ちA[n]>A[n-1]>…>A[2]>A[1]の大小関係が従う
D[i]=A[i+1]－A[i](i=1,2,3,…,n－1)とせよ
D[i]の最小値をmとし、其の時のi(かつiの中でも最小であるもの)をpとせよ
m|{D[i]|i=1,2,...n-1}
今グループA[p]の牛の1頭Xを除いて100頭の牛が総体重が等しい50頭ずつのαグループとβグループに分かれていたとせよ
此処でXの代わりにグループA[p+1]の牛の1頭Yと入れ替え、Yを除く100頭の牛の牛を総体重が等しい50頭ずつのグループに分ける操作を考えよ
Yを除外する前にYはαグループに存在していたとせよ。単純にYとXを交換しただけなれば、則ちグループαの総体重がmだけ減る
2つのグループの総体重を均衡させるにはグループαの総体重をm/2kg増やし、グループβの総体重をm/2kg減らすことが必要…★
αとβグループで牛を交換する操作で此れを行う必要があるが、A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍, 則ちαグループ、βグループ間でいくら牛を交換した所で★は達成され得無い
故に全ての牛の体重は同じである
177:１３２人目の素数さん
18/04/02 10:30:56.56 qydp8iS9.net
IMO系統の問題だね
178:１３２人目の素数さん
18/04/02 19:51:00.50 UtRAneS5.net
>>168
A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍というのが何故言えるのかが分からないです
179:１３２人目の素数さん
18/04/02 22:04:17.89 ZjjiJzGw.net
>>170
確かにmの整数倍で無い
mより大きな体重差の牛を入れ替えてm/2kgの体重差を±し均衡させることは不可能という流れだろう
180:１３２人目の素数さん
18/04/02 22:30:49.48 ZjjiJzGw.net
>>168
いや、論理が破綻していた様だ
181:１３２人目の素数さん
18/04/04 00:46
182::02.74 ID:f//H+LBj.net
183:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:18:28.03 EmPoqxOk.net
>>152
曲線の式を y=f(x) とする。
曲面の表面積は S[f] = ∫[0,1] 2πf(x) √{1 + [f'(x)]^2} dx,
これは
Ｌ[f，f'] = 2πf(x)･√{1 + [f '(x)]^2},
を Lagrangian とする変分問題。
S[f] = ∫[0,1] Ｌ[f，f '] dx
を f(x) で変分すると、
δS[f] = ∫[0,1] δＬ dx
= ∫[0,1] {(∂L/∂f)δf +(∂L/∂f')δf'｝dx
= ∫[0,1] {(∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f')}δf dx + [ (∂L/∂f')δf ](x=0,1)
↑ 部分積分した。
f(0) と f(1) が固定されていて δf= 0（x=0，x=1）のときは右辺第２項は０
任意の変分 δf に対して 右辺第１項が０となることから、
（∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f ') = 0, … Euler-Lagrange方程式
本問では
f(x）f "(x） - ｛f '(x)}^2 = 1,
により、懸垂曲面（カテナリー）
184:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:19:38.47 KWWHvJS5.net
x^2 ≡176 (mod 353) を解け
185:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:39:21.53 EmPoqxOk.net
>>175
176 ≡ 529 = 23^2 (mod 353)
x ≡ 23，330 (mod 353)
186:１３２人目の素数さん
18/04/04 07:19:54.51 xFWQXFxC.net
>>174
その微分方程式の一般解はf(x)=Acosh((x+B)/A)になると思うけどどんなA,Bに対しても(0,0)は通らなくね？
187:１３２人目の素数さん
18/04/04 09:11:37.84 E749QQfH.net
(0,0)-(1,0)-(1,1).
最小値π。
188:１３２人目の素数さん
18/04/04 11:07:27.37 vqWKdTt9.net
>>173
素晴らしいです！
この問題が載ってた本の解答では、最軽量の牛の体重を全ての牛から引いて体重0㎏の牛1頭と100頭の牛にするという手法でした
189:１３２人目の素数さん
18/04/04 12:21:21.04 DuTnz6IW.net
>>165
誰にでもいいから2回目に「あなたはこの質問に正直に答えますか」で良くないか？
190:１３２人目の素数さん
18/04/04 19:20:46.19 EqC9nuEi.net
>>8
近大数コン問題2つの解説
競争に参加するには去年から事前申し込みが必要になった
[24-437]
2005年A4
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
[23-937,24-30]
2009年A6
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
本は『白熱！無差別級数学バトル』
競技数学、趣味数学の本として面白いので買おう（ダイマ）
191:１３２人目の素数さん
18/04/05 01:41:09.43 nYP4IxmW.net
>>181
なんて本？
192:１３２人目の素数さん
18/04/05 01:41:36.09 nYP4IxmW.net
追記を見逃してた。すまんかった
193:１３２人目の素数さん
18/04/05 05:22:21.39 tNZmVP8T.net
x^4 ≡7 (mod 19) を解け。
194:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:20:46.75 HpO
195:HoLwn.net
196:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:21:12.21 HpOHoLwn.net
で、有理数係数多項式以外で何かしら綺麗に表す方法がないか探した結果、
一応次のようなものがあった。
x=(cos(2pπ/5)-cos(2π/5))/(cos(4π/5)-cos(2π/5))
ただ、これを許してしまうと(3),(4)も三角関数と多項式補完の組み合わせですぐにできてしまうので
なんだかなあという感じ。
197:１３２人目の素数さん
18/04/05 23:21:09.59 DTitQ5x8.net
>>184
x^4 ≡ 7 ≡ 7 + 19*126 = 2401 = 7^4 (mod 19)
(x+7)(x-7)(xx+49) ≡ 0 (mod 19)
-49 ≡ 8 は平方非剰余なので
x ≡ ±7 (mod 19)
198:１３２人目の素数さん
18/04/06 22:34:30.05 hYTmrE4N.net
一辺1の正n角形の各辺（頂点除く）に1点ずつとって作ったn角形の周長をl(n)とする。
3/2≦l(3) （Fagnanoの問題の特別な場合）
2√2≦l(4) ［『美しい不等式の世界』 演2.59］
3√3≦l(6) ［『美しい不等式の世界』 演2.60］
を示せ。
199:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:33:38.40 ozKr5R4w.net
>>188
正n角形の頂点をA_i、辺A_i A_{i+1} 上にとった点をB_i とする。（i=1,2,…,n）
∠A_i = π - 2π/n,
B_{i-1｝A_i = x，A_i B_i = y とおくと、
第２余弦定理より
（B_{i-1｝B_i)^2 = xx + yy +2cos(2π/n）xy
= {cos(π/n)・(x+y)}^2 + {sin(π/n)・(x-y)}^2
≧｛cos(π/n)・(x+y)}^2,
（x+y）cos(π/n）≦ B_{i-1｝B_i ≦ x+y,
１周にわたって和をとれば
n cos(π/n）≦ I(n) ≦ n,
・別解
参考書のp.189の図に示されているように、辺に関する鏡映を使う。
・参考書
佐藤淳郎（訳）『美しい不等式の世界』朝倉書店(2013)
200:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:47:52.45 ozKr5R4w.net
>>188
等号成立条件（左側）は x=y より
nが奇数のとき … B_i は A_i A_{i+1｝の中点
nが偶数のとき … 互い違いに並ぶ
201:１３２人目の素数さん
18/04/07 14:57:33.20 CMb00bLi.net
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
202:１３２人目の素数さん
18/04/08 05:24:00.36 EiOPZE4m.net
(1) p≡
203:1 (mod 4) をみたす素数pに対して、gがpの原始根ならば、-gもpの原始根であることを示せ。 (2) p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、2はpの原始根であることを示せ。 (3) Σ[k=1 to 2001] k^(2001) を13で割った余りを求めよ。
204:￥
18/04/08 06:25:22.19 Q7nh09vl.net
￥
205:￥
18/04/08 06:25:43.36 Q7nh09vl.net
￥
206:￥
18/04/08 06:26:02.55 Q7nh09vl.net
￥
207:￥
18/04/08 06:26:23.73 Q7nh09vl.net
￥
208:￥
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214:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:05:46.90 3IHyrdU+.net
>>192の続き
(4) 2^n + n^2 (n∈N、n≧2)が素数ならば、n≡3 (mod 6) を示せ。
(5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | m を示せ。
(7) 1111^6666 + 2222^5555 + 3333^4444 + 4444^3333 + 5555^2222 + 6666^1111 を7で割った余りを求めよ。
215:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:22:00.84 uw9d+xOY.net
24|(a-b).
216:１３２人目の素数さん
18/04/10 10:55:04.05 Hhk3lh1l.net
24|n.
217:１３２人目の素数さん
18/04/11 01:14:00.27 ixEOJ+I8.net
>>192
(1)
フェルマーの小定理 g^(p-1）≡ 1（mod p）より g^{(p-1)/2｝= ±1（mod p)
gがＦpの原始根 ⇔ g^{(p-1)/2｝≠ 1（mod p）⇔ g^{(p-1)/2｝≡ -1（mod p)
題意より p≡1 (mod4)，(-1)^{(p-1)/2｝= 1 だから、(-g)^{(p-1)/2｝= g^{(p-1)/2}
(2) p ≡ ±1 (mod 8）のとき2は平方剰余だからＦpの原始根でない。しかし
p ≡ ±3（mod 8）のとき2は平方非剰余だがＦpの原始根とは限らない。｛2^14≡1（mod 43)}
(3)
k^2001 = k^(12*166)・k^9 ≡ k^9 (mod 13)
Σ[k=0,13-1] k^9 = 0^9 + Σ[k=1,6] {k^9 + (13-k)^9} ≡ Σ[k=1,6] (k^9 - k^9) = 0 (mod 13)
Σ[k=0,2001] k^9 = Σ[k=0,13*154-1] k^9 ≡ 0 (mod 13)
218:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:11:52.51 qdN2rXjI.net
偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/2=1）
偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/4+1/4=1）
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは不可能（∵1未満になる）
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは不可能（∵同上）
奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/3+1/3+1/3=1）
相異なる奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
相異なる奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは【C】（【D】）
219:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:19:04.46 ixEOJ+I8.net
>>203
(4) 2^n は偶数だから nは奇数に限る。
n = 6m±1 のとき、2^n + n^2 ≡ 8 + 1 = 9 (mod 12) ゆえ3の倍数。
∴ n = 6m+3.
(5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
24｜(a-b)
(7)
1111^6666 ≡ 1111^0 = 1,
2222^5555 ≡ 3^5 ≡ -2,
3333^4444 ≡ 1^4 = 1,
4444^3333 ≡ (-1)^3 = -1,
5555^2222 ≡ (-3)^2 ≡ 2,
6666^1111 ≡ 2^1 = 2 (mod 7)
より、3
220:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:23:45.86 ixEOJ+I8.net
>>208 訂正
(5)
1以外の正則元は位数が2
221:１３２人目の素数さん
18/04/11 15:27:22.39 BsknsPEs.net
>>203
死んでお詫びを。
誤 (6) 24 | m を示せ。
正 (6) 24 | n を示せ。
222:１３２人目の素数さん
18/04/12 10:08:16.60 TgaFEakF.net
>>8 >>181
〔類題〕
3^k + 4^l + 5^m = 6^n を満たす非負整数の組 (k，l，m，n) をすべて求めよ。
(3,3,3,3) (3,1,1,2) (0,1,0,1)
223:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:16:06.76 TgaFEakF.net
>>181 の続き
Aが大阪市 の場合
θ_A = 35．69ﾟN
φ_A = 135．50ﾟE
大円Oの法線ｎは、
経度φ_A = 135．50ﾟE、南緯54．31ﾟS の海面を向く。
大円Oの方程式は ｎ・ｒ = 0,
経度φの経線上では
|φ-φ_A| ≦ 90ﾟ のとき 北緯 Arctan(γcos(φ-φ_A)) N
224: |φ-φ_A| ≧ 90ﾟ のとき 南緯 Arctan(-γcos(φ-φ_A)) S をとおる。ここに、γ = tan(θ_A) = tan(35．69ﾟ) = 0．7184
225:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:23:48.18 TgaFEakF.net
>>212 修正
Aが大阪市 の場合
θ_A = 34．69ﾟN
大円Oの法線ｎは、… 南緯55．31ﾟS の海面を向く。
ここに、γ = tan(θ_A) = tan(34．69ﾟ) = 0．69225
226:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:47:43.51 FlEPV0Tu.net
>>207
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/4+1/6+1/18+1/36=1
A:不可能、B:分母を払えば左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾するため。
C:可能。D:1/1=1. もしくは 1=(1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/105)(1/1+1/11)+1/385+1/495+1/693.
227:１３２人目の素数さん
18/04/12 17:15:57.35 Mo9lTPQZ.net
>>214
確かに
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表す
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表す
は両方可能ですね…
なぜか2のべきの逆数を考えていました
A,B,C,D正解
Dは9個の和である
1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1
を用意していた
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18/04/14 04:54:24.84 bAtIsTge.net
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238:１３２人目の素数さん
18/04/14 23:00:50.00 EFpCaC7z.net
奇数の完全数Xは平方数にはならないので、すべての約数の個数が偶数個になる。だから、X自身以外の約数の和は完全数だからXであり、それをXで割れば、各項は分子が1で分母が奇数の和であり、合計は1になる。つまり、この奇数個の相異なる奇数の逆数の和は1になる。
だから、奇数個の相異なる奇数で逆数の和が1になるものを見つけたければ奇数の完全数を見つけてくれば簡単に求まる。
楽勝だな。
239:１３２人目の素数さん
18/04/15 04:31:16.64 fBnHdB0x.net
今この板で話題のネタはNG
240:１３２人目の素数さん
18/04/15 05:26:49.63 daJLkWTC.net
>>227
今元気な奇数の完全数屋がいたのかｗ
241:１３２人目の素数さん
18/04/15 11:22:36.90 LGgAg+xm.net
Σ[n=1～∞] 1/(n^2 -n -1) の値を求めよ
242:１３２人目の素数さん
18/04/15 14:33:10.20 MMDE1Y6Y.net
>>229
n^2-n-1はn=1/2で対称なのでΣ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=(1/2)Σ[n=-∞,∞]1/(n^2-n-1)
f(z)=πcot(πz)/(z^2-z-1)と置いて
(1-i)(N+1/2),(1+i)(N+1/2),(-1+i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2)を頂点とする正方形の周囲を
反時計回りに回る積分∫[C]を考えると、留数定理より
∫[C]f(z)dz = Res[z=(1-√5)/2]f(z)+Res[z=(1+√5)/2]f(z)+Σ[n=-N,N]Res[z=(1-√5)/2]f(z)
=-πcot(π(1-√5)/2)/√5+πcot(π(1+√5)/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
=-2πtan(π√5/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
ここでN→∞とすると、C上で|f(z)|=O(1/N^2)だから|∫[C]f(z)dz|→0
したがって
Σ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=πtan(π√5/2)/√5
243:１３２人目の素数さん
18/04/15 15:26:52.87 ZO3/JPf/.net
>>229
a>0 として
Σ[n=1,∞] 1/{nn-n+(1/4-aa)}
= Σ[n=1,∞] 1/{(n-1/2-a)(n-1/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1,∞] {1/(n-1/2-a) - 1/(n-1/2+a)}
= (π/2a)tan(πa),
244:１３２人目の素数さん
18/04/15 21:21:21.49 ZO3/JPf/.net
>>231 (蛇足)
S(a) = Σ[m∈Z] 1/(m -k/2 -a) ｛|m| の小さい順にたす｝
= (π/2a)tan(πa) (a>0)
= ππ/2 (a=0)
a>0，k∈Z として
Σ[n=1，∞] 1/{nn-kn+(kk/4-aa)}
= Σ[n=1，∞] 1/{(n-k/2-a)(n-k/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1，∞] {1/(n-k/2-a) - 1/(n-k/2+a)},
k=1 のとき
= S(a),
k<1 のとき
= S(a) - Σ[m=0，|k|] 1/(m+k/2-a),
k>1 のとき
= S(a) + Σ[m=1，k-1] 1/(m-k/2-a),
245:１３２人目の素数さん
18/04/16 04:41:29.91 0tJfbhfE.net
ストローに穴はいくつある？
0？1つ？2つ？
246:１３２人目の素数さん
18/04/16 15:52:07.44 Cr9cwYX2.net
>>203
> (5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
>>208
> (5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
> 正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
> aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
> 24｜(a-b)
解答の３行目から、いきなり４行目の結論が出せるん？
３行目から、(a+b)(a-b) ≡ 0 (mod 24) が得られて、
そこから a-b ≡ 0 (mod 24) って言えるの？
法24に対して零因子になっていることはないのかな？
247:１３２人目の素数さん
18/04/16 16:00:26.90 gRqM/Sq4.net
>>234
そもそも問題間違ってない？
a=b=x=1のとき
x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N)
だけど
24 | a+b
にならん希ガス
248:１３２人目の素数さん
18/04/16 21:05:56.06 Cr9cwYX2.net
n∈N に対して、θ= {(n-1)!+1}π/n とおく。大括弧 [・] はガウス記号とする。
(n-2)*[(cosθ)^2] + 2 の値を求めよ。
249:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:09:49.08 I9VNB52o.net
>>234
ab ≡ 1 (mod 24)
だから
b ≡ (ab)b ≡ a(bb) ≡ a (mod 24)
a ≡ a(ab) ≡ (aa)b ≡ b (mod 24)
>>236
n：素数のとき n,
n：合成数のとき n - (n-2)sin(π/n)^2
250:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:17:35.60 Cr9cwYX2.net
>>236-237
nが合成数のときの答えが2になっているんだけど、なんでだろうね。数蝉2018.04,P.53
251:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:58:14.46 pituM4NW.net
>>236は結局(n-1)!+1がnの倍数になるのはいつか聞いてるだけやね。Wilsonの定理ですな。
252:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:07:50.97 Cr9cwYX2.net
(n-1)!+1がnの倍数でないときは、なんで [(cosθ)^2]=1 になるのが分からんぷー
253:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:16:06.04 Cr9cwYX2.net
すまん、勘違いしていたわ。
254:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:44:20.37 c/5dDqUx.net
半径r(>1)の円の周に中心をもつ半径1の円があるときこの2円の中心距離をrから少しずつ近づけていったときd(r)縮めたときに初めて2円の共通部分の面積が半径1の円の半分になったものとしてd(r)を定める。rd(r)の極限を求めよ。
なる問題を考えたのですがこれはsinxの3次マクローリン展開による不等式を用いれば1/6と分かりました。
この問題はrとd(r)のみの多項式による関係式が得られないことから角度を置くなどすることが難しい問題なのですが、この問題を球体で考えたらどうだろうかと思いまして、しかしすぐに球体なら簡単にπ(1-x^2)の積分でrとd(r)の関係が得られるではないかと考えました。
しかし実際には計算がかなり煩雑になってしまいました。どなたか解決してくださりませんか。この場合rの何乗のオーダーかも分かりません。
255:１３２人目の素数さん
18/04/17 00:23:18.43 OpQZlM6R.net
>>242
r→∞っすか？
256:１３２人目の素数さん
18/04/17 01:27:06.21 /l7sQR/P.net
1/4っぽい？
257:１３２人目の素数さん
18/04/17 02:44:39.60 +pEnOXwO.net
>>203
元ネタを見つけた。
数学発想ゼミナール１ 問3.2.16(c)(d)、第24回シュプリンガー数学コンテスト
(5)の仮定はx≡-1 (mod 24)、(6)の結論は24 | n に訂正。
(5) x≡-1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | n を示せ。
258:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:31:36.63 JZUi2LJv.net
1998年3月号出題の数セミの問題持ってる人おる？
259:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:32:06.84 JZUi2LJv.net
エレ解の問題
260:１３２人目の素数さん
18/04/17 07:52:11.47 6etcvRbG.net
{x}をxの小数部とするとき以下の値を求めよ
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
261:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:16:41.30 694dv6ED.net
>>243
はい
262:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:43:20.28 d+hbLPaY.net
>>249
中心距離ってrジャン
263:１３２人目の素数さん
18/04/17 10:53:29.39 +pEnOXwO.net
>>245
むかしシュプリンガーの公式サイトで、秋山仁が全30回のシュプリンガー数学コンテストをやってて、
シュプリンガーがHPページリニューアルした後も、数学コンテストの解答解説を残していた�
264:ｯど、 いまみると、HPすら存在しないがな
265:１３２人目の素数さん
18/04/17 11:47:27.80 qz99Mxbe.net
>>248
1-γっぽい
266:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:34:26.23 PQyFkARt.net
>>252
正解っぽい
1-γ = 0.4227843350984671393935
267:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:50:17.86 KM09+lmI.net
>>248
正の整数mが n≧m+1 を満たす時、
(1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
=(1/n)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦n/k<t+1](n/k-t) + (1/n)Σ[k: 1≦k≦n/(m+1)]{k/n}
=(1/n)Σ[t=1,m](∫[n/(t+1),n/t](n/x-t + (n/[x]-n/x)dx +O(1)) + O(1/m) (O(1)は積分区間の端点のズレ補正。すなわち絶対値は一様に2以下)
=log(m+1) - Σ[t=1,m]1/(t+1) +O(m)+O(n/m).
mは任意であったから、m=[√n] (n≧2) 等と定めればこの式のn→∞での極限は 1-γ. (ただしγはオイラーの定数)
268:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:52:44.16 +pEnOXwO.net
p=4n+1 (n∈N)をみたす素数pに対して、以下を証明せよ.
(1) 1, 2, …, 2n の中に, 法 p の平方剰余と平方非剰余が n 個ずつ存在する。
(2) 1, 2, …, 4n における法 p の平方剰余の中には, 偶数と奇数が n 個ずつ存在する。
269:１３２人目の素数さん
18/04/17 14:17:53.48 5Ioo4LVI.net
>>255できた。
以下(x/p)を平方剰余記号, A={k | (k/p) = 1}, B={k | (k/p) = -1}として(-1/p)= 1だから
#A∩[1..2n] = #A∩[-2n,-1], #B∩[1..2n] = #B∩[-2n,-1] かつ #A∩[-2n,2n] = #B∩[-2n,2n] = 2nにより(1)を得る。
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とA∩{2,4,…,2n]とA∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#B∩{2,4,…,2n]=#B∩{-2n,…,-4,-2]=nである.
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とB∩{2,4,…,2n]とB∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#A∩{2,4,…,2n]=#A∩{-2n,…,-4,-2]=nである。
270:１３２人目の素数さん
18/04/17 23:34:48.83 sz8bxIx6.net
>>233
位相幾何学ではストローもドーナツもCDもネックレスも穴は1つ
271:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:02:57.92 zfuntLnI.net
穴は1つしかないから（格言）
272:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:12:39.98 cm2lWraW.net
3秒ほど考えた
便所荒らし糞ホモの考えですね
273:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:26:23.03 3HkyYObn.net
（ホモロジーだけに）
274:１３２人目の素数さん
18/04/18 13:51:13.89 aemp1B+Z.net
p を素数とする。
整数 a は p の倍数でなく、ある x, y∈Z を用いて p = x^2 - ay^2 と表される。
このとき、a は p の平方剰余であることを示せ。
275:１３２人目の素数さん
18/04/18 14:57:48.83 OD1LF7hc.net
>>261
p|yならp|xとなりv_p(右辺) ≧ 2> 1 = v_p(左辺)より矛盾。よってyはpの倍数でないからx/yはp進整数。このときa = (x/y)^2 (mod p)。
276:１３２人目の素数さん
18/04/18 23:13:26.55 oFXOQpXp.net
>>260
いや、ホモ次郎だが…
277:１３２人目の素数さん
18/04/19 03:31:19.65 gkRveId7.net
>>192 (2) を弄ってみた
(2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
278:１３２人目の素数さん
18/04/19 12:19:25.95 ZpgZ64DJ.net
>>264
できた。
Fqの乗法群Gは位数2pの巡回群だから2が原始根でなければ2^2≡1(mod q)であるか2^p≡1(mod q)のいずれかである。
前者ならq=3であるが仮定に反する。
後者なら準同型写像f,g:G→Gをそれぞれ2乗,p乗の写像としてker g = im fと2+qZ∈ker gにより2が平方剰余となりq≡1,7 (mod 8)となる。
一方p≡1,5(mod 8)よりq≡3,5 (mod 8)となり矛盾をえる。
279:１３２人目の素数さん
18/04/19 21:07:55.93 gkRveId7.net
gcd(15,n)=1 をみたす奇数 n に対して、Jacobi記号 (-15/n) = 1 となる n の条件を求めよ。
280:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:06:45.26 msDRzdq1.net
(-15/n) = (-1/n)(15/n)=(-1)^((n-1)/2)(3/n)(5/n)(-1)^((n-1)/2(15-1)/2)=(3/n)(5/n)以下ry
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
281:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:32:21.65 FD/kSwMJ.net
>>248 の類題
aをbで割った余りをa%bと書くとき lim[n→∞](1/n^2)Σ[k=1,n]n%k を求めよ
282:１３２人目の素数さん
18/04/20 02:27:29.12 kp1G+YoD.net
2 以上の自然数 n に対して、n と互いに素で、n より小さな全ての自然数の算術平均を求めよ。
283:１３２人目の素数さん
18/04/20 04:36:18.70 8JvmETkN.net
n/2
284:１３２人目の素数さん
18/04/21 00:10:01.29 ZdHWeLtB.net
１－π＾２／１２。
285:１３２人目の素数さん
18/04/21 17:07:11.66 oKMSyftX.net
>>268
(約数の総和の1からnまでの和)/n^2の極限を1から引いたものになるね
これはどうやるのやらわからんが
286:１３２人目の素数さん
18/04/22 11:30:13.38 7rjXNdwL.net
>>268 >>271
1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n
287:１３２人目の素数さん
18/04/22 19:06:49.87 XmgrwCPE.net
>>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)
288:１３２人目の素数さん
18/04/22 23:03:16.50 P1+U9/oN.net
a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ
289:１３２人目の素数さん
18/04/23 09:05:17.63 WRc1u9WC.net
>>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？
290:１３２人目の素数さん
18/04/23 10:14:07.56 csHJcyqY.net
>>275
cot(θ/2) = (cosθ +1)/(sinθ +0) = cotθ + 1/sinθ = cotθ + √{1+(cotθ)^2},
と漸化式を見比べて
a[n] = cot(c/2^n)
= cot{π/2^(n+2)}, ｛←a[0] = cot(π/4)｝
∴求める極限は 4/π
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18/04/23 14:00:11.33 HBynUzNE.net
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301:１３２人目の素数さん
18/04/24 13:22:19.46 imaaXaqT.net
単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
302:
18/04/25 00:12:48.01 Y0UXfQnX.net
>>288√3じゃないかな？
303:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:17:03.92 s9HOMEtU.net
>>289
不正解です
もっと短く出来ます
304:
18/04/25 00:20:21.67 Y0UXfQnX.net
前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3
305:
18/04/25 00:25:41.12 Y0UXfQnX.net
>>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291
それとも脚をななめらせろと？
306:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:31:52.28 s9HOMEtU.net
ちなみに答えは直線じゃないです
>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります
307:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:34:09.51 s9HOMEtU.net
正三角形というか120°に折れたY字というか
308:
18/04/25 00:36:28.57 Y0UXfQnX.net
素直にＴの字にします
309:。 (与式)＝1＋2/3＝5/3 前>>292 1.66……＜√3 たしかに。
310:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:42:46.17 s9HOMEtU.net
>>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます
311:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:43:05.10 CPKgHcHK.net
以下を証明せよ。
(1) 奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2) 奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).
312:
18/04/25 00:52:37.09 Y0UXfQnX.net
ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？
ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。
313:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:03:20.48 KoaEOy7E.net
>>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)
実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス
314:イナ
18/04/25 01:18:15.36 Y0UXfQnX.net
やっぱりＹ字のきわどいパンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。
太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。
前>>298
(与式)＝x＋2y
＝1/3－(√3)/12＋2(√3/3)
＝1/3＋(7√3)/12
≪(＜(5/3)＜√3)
かなり小さい。
315:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:27:52.71 s9HOMEtU.net
>>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？
316:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:43:11.01 i3CGBkWM.net
>>296 >>300
y = √{(1/2)^2 + (4/3 - 2x)^2} （←等積条件）
x + 2y ≧ (8+3√15)/12 = 1.6349
x = 2/3 - 1/(4√15) = 2/3 - (tanδ)/4 = 0.60212
sinδ = 1/4,
317:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:46:01.43 s9HOMEtU.net
>>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります
ただ曲線にするともっと短くなります
318:イナ
18/04/25 01:55:47.69 Y0UXfQnX.net
>>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3－(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12
319:１３２人目の素数さん
18/04/25 02:23:12.49 Q7D+oEWF.net
>>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623
320:イナ
18/04/25 03:00:37.62 Y0UXfQnX.net
やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)－ｒ
＝√2－2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2－2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2－2√(3π)/3π
＝{(π－2)√(3π)}/3π＋√2
321:イナ
18/04/25 04:45:57.16 Y0UXfQnX.net
前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)
322:１３２人目の素数さん
18/04/25 06:45
323::37.98 ID:C3c2S/2O.net
324:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:34:20.20 spy7pyf4.net
それができたら次は立方体でやってね
325:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:37:39.84 KwSfzGxO.net
>>305
>>308
おーすごい まさか一晩で解かれるとは
正解です
厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです
326:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:45:41.00 KwSfzGxO.net
>>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです
327:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:56:04.91 CPKgHcHK.net
>>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
少し弄ってみた。
(2)’’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
328:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:57:43.06 CPKgHcHK.net
>>312
訂正。
(2)’’ 素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
329:１３２人目の素数さん
18/04/25 10:33:13.41 qlUN5/CP.net
>>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。
330:１３２人目の素数さん
18/04/25 11:10:45.49 qlUN5/CP.net
>>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。
331:１３２人目の素数さん
18/04/25 15:03:46.70 CPKgHcHK.net
つまり、こうでござるな。
(2)’’’ p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない