18/04/05 01:41:36.09 nYP4IxmW.net
追記を見逃してた。すまんかった
193:１３２人目の素数さん
18/04/05 05:22:21.39 tNZmVP8T.net
x^4 ≡7 (mod 19) を解け。
194:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:20:46.75 HpO
195:HoLwn.net
196:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:21:12.21 HpOHoLwn.net
で、有理数係数多項式以外で何かしら綺麗に表す方法がないか探した結果、
一応次のようなものがあった。
x=(cos(2pπ/5)-cos(2π/5))/(cos(4π/5)-cos(2π/5))
ただ、これを許してしまうと(3),(4)も三角関数と多項式補完の組み合わせですぐにできてしまうので
なんだかなあという感じ。
197:１３２人目の素数さん
18/04/05 23:21:09.59 DTitQ5x8.net
>>184
x^4 ≡ 7 ≡ 7 + 19*126 = 2401 = 7^4 (mod 19)
(x+7)(x-7)(xx+49) ≡ 0 (mod 19)
-49 ≡ 8 は平方非剰余なので
x ≡ ±7 (mod 19)
198:１３２人目の素数さん
18/04/06 22:34:30.05 hYTmrE4N.net
一辺1の正n角形の各辺（頂点除く）に1点ずつとって作ったn角形の周長をl(n)とする。
3/2≦l(3) （Fagnanoの問題の特別な場合）
2√2≦l(4) ［『美しい不等式の世界』 演2.59］
3√3≦l(6) ［『美しい不等式の世界』 演2.60］
を示せ。
199:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:33:38.40 ozKr5R4w.net
>>188
正n角形の頂点をA_i、辺A_i A_{i+1} 上にとった点をB_i とする。（i=1,2,…,n）
∠A_i = π - 2π/n,
B_{i-1｝A_i = x，A_i B_i = y とおくと、
第２余弦定理より
（B_{i-1｝B_i)^2 = xx + yy +2cos(2π/n）xy
= {cos(π/n)・(x+y)}^2 + {sin(π/n)・(x-y)}^2
≧｛cos(π/n)・(x+y)}^2,
（x+y）cos(π/n）≦ B_{i-1｝B_i ≦ x+y,
１周にわたって和をとれば
n cos(π/n）≦ I(n) ≦ n,
・別解
参考書のp.189の図に示されているように、辺に関する鏡映を使う。
・参考書
佐藤淳郎（訳）『美しい不等式の世界』朝倉書店(2013)
200:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:47:52.45 ozKr5R4w.net
>>188
等号成立条件（左側）は x=y より
nが奇数のとき … B_i は A_i A_{i+1｝の中点
nが偶数のとき … 互い違いに並ぶ
201:１３２人目の素数さん
18/04/07 14:57:33.20 CMb00bLi.net
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
202:１３２人目の素数さん
18/04/08 05:24:00.36 EiOPZE4m.net
(1) p≡
203:1 (mod 4) をみたす素数pに対して、gがpの原始根ならば、-gもpの原始根であることを示せ。 (2) p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、2はpの原始根であることを示せ。 (3) Σ[k=1 to 2001] k^(2001) を13で割った余りを求めよ。
204:￥
18/04/08 06:25:22.19 Q7nh09vl.net
￥
205:￥
18/04/08 06:25:43.36 Q7nh09vl.net
￥
206:￥
18/04/08 06:26:02.55 Q7nh09vl.net
￥
207:￥
18/04/08 06:26:23.73 Q7nh09vl.net
￥
208:￥
18/04/08 06:26:51.24 Q7nh09vl.net
￥
209:￥
18/04/08 06:27:22.72 Q7nh09vl.net
￥
210:￥
18/04/08 06:27:50.60 Q7nh09vl.net
￥
211:￥
18/04/08 06:28:17.09 Q7nh09vl.net
￥
212:￥
18/04/08 06:28:38.67 Q7nh09vl.net
￥
213:￥
18/04/08 06:29:05.31 Q7nh09vl.net
￥
214:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:05:46.90 3IHyrdU+.net
>>192の続き
(4) 2^n + n^2 (n∈N、n≧2)が素数ならば、n≡3 (mod 6) を示せ。
(5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | m を示せ。
(7) 1111^6666 + 2222^5555 + 3333^4444 + 4444^3333 + 5555^2222 + 6666^1111 を7で割った余りを求めよ。
215:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:22:00.84 uw9d+xOY.net
24|(a-b).
216:１３２人目の素数さん
18/04/10 10:55:04.05 Hhk3lh1l.net
24|n.
217:１３２人目の素数さん
18/04/11 01:14:00.27 ixEOJ+I8.net
>>192
(1)
フェルマーの小定理 g^(p-1）≡ 1（mod p）より g^{(p-1)/2｝= ±1（mod p)
gがＦpの原始根 ⇔ g^{(p-1)/2｝≠ 1（mod p）⇔ g^{(p-1)/2｝≡ -1（mod p)
題意より p≡1 (mod4)，(-1)^{(p-1)/2｝= 1 だから、(-g)^{(p-1)/2｝= g^{(p-1)/2}
(2) p ≡ ±1 (mod 8）のとき2は平方剰余だからＦpの原始根でない。しかし
p ≡ ±3（mod 8）のとき2は平方非剰余だがＦpの原始根とは限らない。｛2^14≡1（mod 43)}
(3)
k^2001 = k^(12*166)・k^9 ≡ k^9 (mod 13)
Σ[k=0,13-1] k^9 = 0^9 + Σ[k=1,6] {k^9 + (13-k)^9} ≡ Σ[k=1,6] (k^9 - k^9) = 0 (mod 13)
Σ[k=0,2001] k^9 = Σ[k=0,13*154-1] k^9 ≡ 0 (mod 13)
218:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:11:52.51 qdN2rXjI.net
偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/2=1）
偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/4+1/4=1）
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは不可能（∵1未満になる）
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは不可能（∵同上）
奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/3+1/3+1/3=1）
相異なる奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
相異なる奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは【C】（【D】）
219:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:19:04.46 ixEOJ+I8.net
>>203
(4) 2^n は偶数だから nは奇数に限る。
n = 6m±1 のとき、2^n + n^2 ≡ 8 + 1 = 9 (mod 12) ゆえ3の倍数。
∴ n = 6m+3.
(5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
24｜(a-b)
(7)
1111^6666 ≡ 1111^0 = 1,
2222^5555 ≡ 3^5 ≡ -2,
3333^4444 ≡ 1^4 = 1,
4444^3333 ≡ (-1)^3 = -1,
5555^2222 ≡ (-3)^2 ≡ 2,
6666^1111 ≡ 2^1 = 2 (mod 7)
より、3
220:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:23:45.86 ixEOJ+I8.net
>>208 訂正
(5)
1以外の正則元は位数が2
221:１３２人目の素数さん
18/04/11 15:27:22.39 BsknsPEs.net
>>203
死んでお詫びを。
誤 (6) 24 | m を示せ。
正 (6) 24 | n を示せ。
222:１３２人目の素数さん
18/04/12 10:08:16.60 TgaFEakF.net
>>8 >>181
〔類題〕
3^k + 4^l + 5^m = 6^n を満たす非負整数の組 (k，l，m，n) をすべて求めよ。
(3,3,3,3) (3,1,1,2) (0,1,0,1)
223:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:16:06.76 TgaFEakF.net
>>181 の続き
Aが大阪市 の場合
θ_A = 35．69ﾟN
φ_A = 135．50ﾟE
大円Oの法線ｎは、
経度φ_A = 135．50ﾟE、南緯54．31ﾟS の海面を向く。
大円Oの方程式は ｎ・ｒ = 0,
経度φの経線上では
|φ-φ_A| ≦ 90ﾟ のとき 北緯 Arctan(γcos(φ-φ_A)) N
224: |φ-φ_A| ≧ 90ﾟ のとき 南緯 Arctan(-γcos(φ-φ_A)) S をとおる。ここに、γ = tan(θ_A) = tan(35．69ﾟ) = 0．7184
225:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:23:48.18 TgaFEakF.net
>>212 修正
Aが大阪市 の場合
θ_A = 34．69ﾟN
大円Oの法線ｎは、… 南緯55．31ﾟS の海面を向く。
ここに、γ = tan(θ_A) = tan(34．69ﾟ) = 0．69225
226:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:47:43.51 FlEPV0Tu.net
>>207
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/4+1/6+1/18+1/36=1
A:不可能、B:分母を払えば左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾するため。
C:可能。D:1/1=1. もしくは 1=(1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/105)(1/1+1/11)+1/385+1/495+1/693.
227:１３２人目の素数さん
18/04/12 17:15:57.35 Mo9lTPQZ.net
>>214
確かに
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表す
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表す
は両方可能ですね…
なぜか2のべきの逆数を考えていました
A,B,C,D正解
Dは9個の和である
1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1
を用意していた
228:￥
18/04/14 04:54:24.84 bAtIsTge.net
￥
229:￥
18/04/14 04:54:43.45 bAtIsTge.net
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18/04/14 04:57:37.70 bAtIsTge.net
￥
238:１３２人目の素数さん
18/04/14 23:00:50.00 EFpCaC7z.net
奇数の完全数Xは平方数にはならないので、すべての約数の個数が偶数個になる。だから、X自身以外の約数の和は完全数だからXであり、それをXで割れば、各項は分子が1で分母が奇数の和であり、合計は1になる。つまり、この奇数個の相異なる奇数の逆数の和は1になる。
だから、奇数個の相異なる奇数で逆数の和が1になるものを見つけたければ奇数の完全数を見つけてくれば簡単に求まる。
楽勝だな。
239:１３２人目の素数さん
18/04/15 04:31:16.64 fBnHdB0x.net
今この板で話題のネタはNG
240:１３２人目の素数さん
18/04/15 05:26:49.63 daJLkWTC.net
>>227
今元気な奇数の完全数屋がいたのかｗ
241:１３２人目の素数さん
18/04/15 11:22:36.90 LGgAg+xm.net
Σ[n=1～∞] 1/(n^2 -n -1) の値を求めよ
242:１３２人目の素数さん
18/04/15 14:33:10.20 MMDE1Y6Y.net
>>229
n^2-n-1はn=1/2で対称なのでΣ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=(1/2)Σ[n=-∞,∞]1/(n^2-n-1)
f(z)=πcot(πz)/(z^2-z-1)と置いて
(1-i)(N+1/2),(1+i)(N+1/2),(-1+i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2)を頂点とする正方形の周囲を
反時計回りに回る積分∫[C]を考えると、留数定理より
∫[C]f(z)dz = Res[z=(1-√5)/2]f(z)+Res[z=(1+√5)/2]f(z)+Σ[n=-N,N]Res[z=(1-√5)/2]f(z)
=-πcot(π(1-√5)/2)/√5+πcot(π(1+√5)/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
=-2πtan(π√5/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
ここでN→∞とすると、C上で|f(z)|=O(1/N^2)だから|∫[C]f(z)dz|→0
したがって
Σ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=πtan(π√5/2)/√5
243:１３２人目の素数さん
18/04/15 15:26:52.87 ZO3/JPf/.net
>>229
a>0 として
Σ[n=1,∞] 1/{nn-n+(1/4-aa)}
= Σ[n=1,∞] 1/{(n-1/2-a)(n-1/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1,∞] {1/(n-1/2-a) - 1/(n-1/2+a)}
= (π/2a)tan(πa),
244:１３２人目の素数さん
18/04/15 21:21:21.49 ZO3/JPf/.net
>>231 (蛇足)
S(a) = Σ[m∈Z] 1/(m -k/2 -a) ｛|m| の小さい順にたす｝
= (π/2a)tan(πa) (a>0)
= ππ/2 (a=0)
a>0，k∈Z として
Σ[n=1，∞] 1/{nn-kn+(kk/4-aa)}
= Σ[n=1，∞] 1/{(n-k/2-a)(n-k/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1，∞] {1/(n-k/2-a) - 1/(n-k/2+a)},
k=1 のとき
= S(a),
k<1 のとき
= S(a) - Σ[m=0，|k|] 1/(m+k/2-a),
k>1 のとき
= S(a) + Σ[m=1，k-1] 1/(m-k/2-a),
245:１３２人目の素数さん
18/04/16 04:41:29.91 0tJfbhfE.net
ストローに穴はいくつある？
0？1つ？2つ？
246:１３２人目の素数さん
18/04/16 15:52:07.44 Cr9cwYX2.net
>>203
> (5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
>>208
> (5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
> 正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
> aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
> 24｜(a-b)
解答の３行目から、いきなり４行目の結論が出せるん？
３行目から、(a+b)(a-b) ≡ 0 (mod 24) が得られて、
そこから a-b ≡ 0 (mod 24) って言えるの？
法24に対して零因子になっていることはないのかな？
247:１３２人目の素数さん
18/04/16 16:00:26.90 gRqM/Sq4.net
>>234
そもそも問題間違ってない？
a=b=x=1のとき
x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N)
だけど
24 | a+b
にならん希ガス
248:１３２人目の素数さん
18/04/16 21:05:56.06 Cr9cwYX2.net
n∈N に対して、θ= {(n-1)!+1}π/n とおく。大括弧 [・] はガウス記号とする。
(n-2)*[(cosθ)^2] + 2 の値を求めよ。
249:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:09:49.08 I9VNB52o.net
>>234
ab ≡ 1 (mod 24)
だから
b ≡ (ab)b ≡ a(bb) ≡ a (mod 24)
a ≡ a(ab) ≡ (aa)b ≡ b (mod 24)
>>236
n：素数のとき n,
n：合成数のとき n - (n-2)sin(π/n)^2
250:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:17:35.60 Cr9cwYX2.net
>>236-237
nが合成数のときの答えが2になっているんだけど、なんでだろうね。数蝉2018.04,P.53
251:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:58:14.46 pituM4NW.net
>>236は結局(n-1)!+1がnの倍数になるのはいつか聞いてるだけやね。Wilsonの定理ですな。
252:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:07:50.97 Cr9cwYX2.net
(n-1)!+1がnの倍数でないときは、なんで [(cosθ)^2]=1 になるのが分からんぷー
253:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:16:06.04 Cr9cwYX2.net
すまん、勘違いしていたわ。
254:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:44:20.37 c/5dDqUx.net
半径r(>1)の円の周に中心をもつ半径1の円があるときこの2円の中心距離をrから少しずつ近づけていったときd(r)縮めたときに初めて2円の共通部分の面積が半径1の円の半分になったものとしてd(r)を定める。rd(r)の極限を求めよ。
なる問題を考えたのですがこれはsinxの3次マクローリン展開による不等式を用いれば1/6と分かりました。
この問題はrとd(r)のみの多項式による関係式が得られないことから角度を置くなどすることが難しい問題なのですが、この問題を球体で考えたらどうだろうかと思いまして、しかしすぐに球体なら簡単にπ(1-x^2)の積分でrとd(r)の関係が得られるではないかと考えました。
しかし実際には計算がかなり煩雑になってしまいました。どなたか解決してくださりませんか。この場合rの何乗のオーダーかも分かりません。
255:１３２人目の素数さん
18/04/17 00:23:18.43 OpQZlM6R.net
>>242
r→∞っすか？
256:１３２人目の素数さん
18/04/17 01:27:06.21 /l7sQR/P.net
1/4っぽい？
257:１３２人目の素数さん
18/04/17 02:44:39.60 +pEnOXwO.net
>>203
元ネタを見つけた。
数学発想ゼミナール１ 問3.2.16(c)(d)、第24回シュプリンガー数学コンテスト
(5)の仮定はx≡-1 (mod 24)、(6)の結論は24 | n に訂正。
(5) x≡-1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | n を示せ。
258:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:31:36.63 JZUi2LJv.net
1998年3月号出題の数セミの問題持ってる人おる？
259:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:32:06.84 JZUi2LJv.net
エレ解の問題
260:１３２人目の素数さん
18/04/17 07:52:11.47 6etcvRbG.net
{x}をxの小数部とするとき以下の値を求めよ
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
261:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:16:41.30 694dv6ED.net
>>243
はい
262:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:43:20.28 d+hbLPaY.net
>>249
中心距離ってrジャン
263:１３２人目の素数さん
18/04/17 10:53:29.39 +pEnOXwO.net
>>245
むかしシュプリンガーの公式サイトで、秋山仁が全30回のシュプリンガー数学コンテストをやってて、
シュプリンガーがHPページリニューアルした後も、数学コンテストの解答解説を残していた�
264:ｯど、 いまみると、HPすら存在しないがな
265:１３２人目の素数さん
18/04/17 11:47:27.80 qz99Mxbe.net
>>248
1-γっぽい
266:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:34:26.23 PQyFkARt.net
>>252
正解っぽい
1-γ = 0.4227843350984671393935
267:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:50:17.86 KM09+lmI.net
>>248
正の整数mが n≧m+1 を満たす時、
(1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
=(1/n)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦n/k<t+1](n/k-t) + (1/n)Σ[k: 1≦k≦n/(m+1)]{k/n}
=(1/n)Σ[t=1,m](∫[n/(t+1),n/t](n/x-t + (n/[x]-n/x)dx +O(1)) + O(1/m) (O(1)は積分区間の端点のズレ補正。すなわち絶対値は一様に2以下)
=log(m+1) - Σ[t=1,m]1/(t+1) +O(m)+O(n/m).
mは任意であったから、m=[√n] (n≧2) 等と定めればこの式のn→∞での極限は 1-γ. (ただしγはオイラーの定数)
268:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:52:44.16 +pEnOXwO.net
p=4n+1 (n∈N)をみたす素数pに対して、以下を証明せよ.
(1) 1, 2, …, 2n の中に, 法 p の平方剰余と平方非剰余が n 個ずつ存在する。
(2) 1, 2, …, 4n における法 p の平方剰余の中には, 偶数と奇数が n 個ずつ存在する。
269:１３２人目の素数さん
18/04/17 14:17:53.48 5Ioo4LVI.net
>>255できた。
以下(x/p)を平方剰余記号, A={k | (k/p) = 1}, B={k | (k/p) = -1}として(-1/p)= 1だから
#A∩[1..2n] = #A∩[-2n,-1], #B∩[1..2n] = #B∩[-2n,-1] かつ #A∩[-2n,2n] = #B∩[-2n,2n] = 2nにより(1)を得る。
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とA∩{2,4,…,2n]とA∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#B∩{2,4,…,2n]=#B∩{-2n,…,-4,-2]=nである.
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とB∩{2,4,…,2n]とB∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#A∩{2,4,…,2n]=#A∩{-2n,…,-4,-2]=nである。
270:１３２人目の素数さん
18/04/17 23:34:48.83 sz8bxIx6.net
>>233
位相幾何学ではストローもドーナツもCDもネックレスも穴は1つ
271:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:02:57.92 zfuntLnI.net
穴は1つしかないから（格言）
272:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:12:39.98 cm2lWraW.net
3秒ほど考えた
便所荒らし糞ホモの考えですね
273:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:26:23.03 3HkyYObn.net
（ホモロジーだけに）
274:１３２人目の素数さん
18/04/18 13:51:13.89 aemp1B+Z.net
p を素数とする。
整数 a は p の倍数でなく、ある x, y∈Z を用いて p = x^2 - ay^2 と表される。
このとき、a は p の平方剰余であることを示せ。
275:１３２人目の素数さん
18/04/18 14:57:48.83 OD1LF7hc.net
>>261
p|yならp|xとなりv_p(右辺) ≧ 2> 1 = v_p(左辺)より矛盾。よってyはpの倍数でないからx/yはp進整数。このときa = (x/y)^2 (mod p)。
276:１３２人目の素数さん
18/04/18 23:13:26.55 oFXOQpXp.net
>>260
いや、ホモ次郎だが…
277:１３２人目の素数さん
18/04/19 03:31:19.65 gkRveId7.net
>>192 (2) を弄ってみた
(2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
278:１３２人目の素数さん
18/04/19 12:19:25.95 ZpgZ64DJ.net
>>264
できた。
Fqの乗法群Gは位数2pの巡回群だから2が原始根でなければ2^2≡1(mod q)であるか2^p≡1(mod q)のいずれかである。
前者ならq=3であるが仮定に反する。
後者なら準同型写像f,g:G→Gをそれぞれ2乗,p乗の写像としてker g = im fと2+qZ∈ker gにより2が平方剰余となりq≡1,7 (mod 8)となる。
一方p≡1,5(mod 8)よりq≡3,5 (mod 8)となり矛盾をえる。
279:１３２人目の素数さん
18/04/19 21:07:55.93 gkRveId7.net
gcd(15,n)=1 をみたす奇数 n に対して、Jacobi記号 (-15/n) = 1 となる n の条件を求めよ。
280:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:06:45.26 msDRzdq1.net
(-15/n) = (-1/n)(15/n)=(-1)^((n-1)/2)(3/n)(5/n)(-1)^((n-1)/2(15-1)/2)=(3/n)(5/n)以下ry
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
281:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:32:21.65 FD/kSwMJ.net
>>248 の類題
aをbで割った余りをa%bと書くとき lim[n→∞](1/n^2)Σ[k=1,n]n%k を求めよ
282:１３２人目の素数さん
18/04/20 02:27:29.12 kp1G+YoD.net
2 以上の自然数 n に対して、n と互いに素で、n より小さな全ての自然数の算術平均を求めよ。
283:１３２人目の素数さん
18/04/20 04:36:18.70 8JvmETkN.net
n/2
284:１３２人目の素数さん
18/04/21 00:10:01.29 ZdHWeLtB.net
１－π＾２／１２。
285:１３２人目の素数さん
18/04/21 17:07:11.66 oKMSyftX.net
>>268
(約数の総和の1からnまでの和)/n^2の極限を1から引いたものになるね
これはどうやるのやらわからんが
286:１３２人目の素数さん
18/04/22 11:30:13.38 7rjXNdwL.net
>>268 >>271
1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n
287:１３２人目の素数さん
18/04/22 19:06:49.87 XmgrwCPE.net
>>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)
288:１３２人目の素数さん
18/04/22 23:03:16.50 P1+U9/oN.net
a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ
289:１３２人目の素数さん
18/04/23 09:05:17.63 WRc1u9WC.net
>>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？
290:１３２人目の素数さん
18/04/23 10:14:07.56 csHJcyqY.net
>>275
cot(θ/2) = (cosθ +1)/(sinθ +0) = cotθ + 1/sinθ = cotθ + √{1+(cotθ)^2},
と漸化式を見比べて
a[n] = cot(c/2^n)
= cot{π/2^(n+2)}, ｛←a[0] = cot(π/4)｝
∴求める極限は 4/π
291:￥
18/04/23 14:00:11.33 HBynUzNE.net
￥
292:￥
18/04/23 14:00:31.07 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:00:52.33 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:12.19 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:32.24 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:53.13 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:13.77 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:34.01 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:55.93 HBynUzNE.net
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300:￥
18/04/23 14:03:14.91 HBynUzNE.net
￥
301:１３２人目の素数さん
18/04/24 13:22:19.46 imaaXaqT.net
単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
302:
18/04/25 00:12:48.01 Y0UXfQnX.net
>>288√3じゃないかな？
303:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:17:03.92 s9HOMEtU.net
>>289
不正解です
もっと短く出来ます
304:
18/04/25 00:20:21.67 Y0UXfQnX.net
前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3
305:
18/04/25 00:25:41.12 Y0UXfQnX.net
>>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291
それとも脚をななめらせろと？
306:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:31:52.28 s9HOMEtU.net
ちなみに答えは直線じゃないです
>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります
307:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:34:09.51 s9HOMEtU.net
正三角形というか120°に折れたY字というか
308:
18/04/25 00:36:28.57 Y0UXfQnX.net
素直にＴの字にします
309:。 (与式)＝1＋2/3＝5/3 前>>292 1.66……＜√3 たしかに。
310:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:42:46.17 s9HOMEtU.net
>>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます
311:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:43:05.10 CPKgHcHK.net
以下を証明せよ。
(1) 奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2) 奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).
312:
18/04/25 00:52:37.09 Y0UXfQnX.net
ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？
ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。
313:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:03:20.48 KoaEOy7E.net
>>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)
実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス
314:イナ
18/04/25 01:18:15.36 Y0UXfQnX.net
やっぱりＹ字のきわどいパンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。
太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。
前>>298
(与式)＝x＋2y
＝1/3－(√3)/12＋2(√3/3)
＝1/3＋(7√3)/12
≪(＜(5/3)＜√3)
かなり小さい。
315:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:27:52.71 s9HOMEtU.net
>>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？
316:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:43:11.01 i3CGBkWM.net
>>296 >>300
y = √{(1/2)^2 + (4/3 - 2x)^2} （←等積条件）
x + 2y ≧ (8+3√15)/12 = 1.6349
x = 2/3 - 1/(4√15) = 2/3 - (tanδ)/4 = 0.60212
sinδ = 1/4,
317:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:46:01.43 s9HOMEtU.net
>>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります
ただ曲線にするともっと短くなります
318:イナ
18/04/25 01:55:47.69 Y0UXfQnX.net
>>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3－(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12
319:１３２人目の素数さん
18/04/25 02:23:12.49 Q7D+oEWF.net
>>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623
320:イナ
18/04/25 03:00:37.62 Y0UXfQnX.net
やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)－ｒ
＝√2－2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2－2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2－2√(3π)/3π
＝{(π－2)√(3π)}/3π＋√2
321:イナ
18/04/25 04:45:57.16 Y0UXfQnX.net
前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)
322:１３２人目の素数さん
18/04/25 06:45
323::37.98 ID:C3c2S/2O.net
324:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:34:20.20 spy7pyf4.net
それができたら次は立方体でやってね
325:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:37:39.84 KwSfzGxO.net
>>305
>>308
おーすごい まさか一晩で解かれるとは
正解です
厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです
326:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:45:41.00 KwSfzGxO.net
>>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです
327:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:56:04.91 CPKgHcHK.net
>>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
少し弄ってみた。
(2)’’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
328:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:57:43.06 CPKgHcHK.net
>>312
訂正。
(2)’’ 素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
329:１３２人目の素数さん
18/04/25 10:33:13.41 qlUN5/CP.net
>>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。
330:１３２人目の素数さん
18/04/25 11:10:45.49 qlUN5/CP.net
>>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。
331:１３２人目の素数さん
18/04/25 15:03:46.70 CPKgHcHK.net
つまり、こうでござるな。
(2)’’’ p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない
332:１３２人目の素数さん
18/04/25 16:35:50.56 CPKgHcHK.net
p、qは奇素数で、pが 2^q -1 の約数ならば、2はpの平方剰余であることを示せ。
333:１３２人目の素数さん
18/04/25 17:02:41.21 +BsFnCRa.net
>>317
qはp-1の約数であるがqは奇数だから(p-1)/2の約数でもある。よって2^((p-1)/2)≡1(mod p)。
334:イナ
18/04/25 17:21:59.72 Y0UXfQnX.net
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝3
ｒ＝√3/√π
(つづく)
335:イナ
18/04/25 17:43:03.01 Y0UXfQnX.net
前>>319修正
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝1
ｒ＝1/√π
f(ｒ)＝15/16＋√π－1/(2√π)
ちがうか。
(答え)不思議なルートパイ
336:イナ
18/04/25 19:00:00.75 Y0UXfQnX.net
やっぱりπｒ^2＝1ではない。前>>320
シャボン玉を正方形のタイルの上で三個均等にくっつけるみたいなことか。タイルの形の影響で、分岐点からタイルの一辺までが垂直なら境界線は直線で、そうでないなら曲線になるんじゃないか。
シャボン玉の境界は辺に対してより垂直になろうとするんじゃないか。
＿
γ]
￣
337:イナ
18/04/25 21:09:49.78 Y0UXfQnX.net
正方形の土地をなるべく短い境界線で金をかけずに塀を作り三人の息子たちに分け与えたい父の気持ちを想像する。
「だれが曲線の塀などこしらえるものか。こっちは有り金をなるべく�
338:ﾞだにしたくないんじゃ!!」父は言った。「直線や、直線や!!」 前>>321「まず長男に北側の一辺をやろう。次男は東側の一辺のうち北からaだけいったところに杭を立てよ。三男は西側の一辺のうち北からbだけいったところに杭を立てよ。次男と三男の境界は東からcのところに、 0＜a＜b＜c＜1/2 となるように杭を立てよ。正方形の土地のまん真ん中に杭を立て、あとは縄を張って地境を決めろ」 息子のだれかが計算した。 「ただの三連立の一次方程式やないか」独りごちながら。 a＝1/12 b＝1/4 c＝5/12 ∴示された。
339:１３２人目の素数さん
18/04/25 21:48:01.05 BcUTTOXX.net
ナニコレ？
340:イナ
18/04/25 21:58:48.29 Y0UXfQnX.net
a＝1/12,b＝1/4,c＝5/12
前>>322補足。
長男と次男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/2－a)^2}
＝√{1/4＋(5/12)^2}
＝(√61)/12
長男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/4)^2}
＝√(1/4＋1/16)
＝(√5)/4
次男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/12)^2}
＝(√37)/12
境界線の合計＝(√61)/12＋(√5)/4＋(√37)/12
≒0.65＋0.559＋0.507
≒1.716
厳しいなぁ!! 縄ピンと張っても1.6台にならない。
341:イナ
18/04/25 22:11:32.58 Y0UXfQnX.net
>>323問題は>>288です。
最短の境界線1.6台が出てます。
前>>324
T字帯の1.66……よりも長いとは。
342:イナ
18/04/25 23:56:24.99 Y0UXfQnX.net
前>>325単位正方形の左下に半径ｒ、面積1/3の四分円を描く。
πｒ^2＝4/3
ｒ＝2/√(3π)≒0.65147
四分円の孤ABと右辺に直交するように孤MCを描くと中心角は最大π/4だと思う。
(弧の長さ×半径÷2＝扇形の面積)より、逆に面積×2を半径で割って境界線の長さを出す。
境界線AB＝(1/3)×2÷2/(√3π)
＝√π/√3
境界線ABとMCの最大値は作図によりこれの1.5倍と考えられる。
(√π/√3)×1.5
＝1.0233256……×1.5
＝1.5349884……
343:
18/04/26 00:07:50.72 TQ9j6XC/.net
前>>326訂正。
最大値→最小値
344:
18/04/26 00:23:24.70 TQ9j6XC/.net
1.5倍は感覚的ですが、
前>>327
式で書くと、
境界線の最小値
＝√(3π)/2
345:１３２人目の素数さん
18/04/26 00:50:30.83 ip5ulRQt.net
もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？
346:１３２人目の素数さん
18/04/26 08:00:01.14 3zpz03fU.net
解かれていない。
347:イナ
18/04/27 02:33:17.21 KVwn7NU0.net
Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328
348:イナ
18/04/27 03:14:53.35 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6
349:イナ
18/04/27 03:19:06.23 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!!
350:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:30:37.15 NFZEifrM.net
>>333
>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません
351:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:31:18.84 NFZEifrM.net
0.6→1.6でした
352:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:48:01.79 X11p0gVK.net
数学じゃないやん
353:イナ
18/04/27 15
354::35:18.85 ID:KVwn7NU0.net
355:１３２人目の素数さん
18/04/27 16:17:47.03 v+crcbPI.net
等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？
356:イナ
18/04/27 17:53:53.21 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1－Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1－Y√3)＋π(1－Y√3)^2＝4
3X＋6Y－6√3･Y^2＋π－2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1－Y√3)/3
＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1－Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく)
357:１３２人目の素数さん
18/04/27 20:42:46.25 nJOWrXzq.net
1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。
358:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:00:23.04 H9W3Gi8S.net
>>340
[3^6/7]=104
359:イナ
18/04/27 21:24:55.98 KVwn7NU0.net
底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12－(1/2－X/√3)(1/2－X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/2･(1/2)^2－(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/8－(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12－(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8－π/12X＝2/3＋(√3)/4－π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278
360:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:25:36.12 nJOWrXzq.net
>>341
正解です
解説はどなたかの希望があれば
361:１３２人目の素数さん
18/04/27 22:05:10.47 ldwAt9sW.net
>>343
定曲率になる解説をおながいしまつ
362:１３２人目の素数さん
18/04/28 11:41:45.00 9CKS2DSq.net
〔ウィア=フェラン予想〕
3次元空間を体積Vの泡に分割するとき、境界面積が最小になるのはウィア=フェラン構造（Weaire-Phelan structure)か？
D.Weaire & R.Phelan： Phil. Mag. Lett., ６９, p.107-110 (1994) "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces"
363:１３２人目の素数さん
18/04/28 12:22:19.38 9CKS2DSq.net
>>345
切頂８面体（ケルビン14面体）の境界面積は
S = (3/4){4^(1/3)}(1+√12) V^(2/3) = 5.3147397 V^(2/3)
Weaire-Phelan 構造の境界面積はこれより約 0.3% 小さい。
S = 5.30 V^(2/3)
364:１３２人目の素数さん
18/04/28 22:31:07.34 Q7JYuciE.net
岩波 数学公式IIIのp.2より引用の公式:
Γ(1/4)=2^(3/4)√π[(3/5)・(7/9)・(11/13)・(15/17)…]^(1/2)
は正しいか？もし誤りであれば誤りの原因を考察し訂正せよ。
365:１３２人目の素数さん
18/04/29 00:45:55.20 FNqzl5v2.net
>>347
無限積のところ０にいくなぁ
366:１３２人目の素数さん
18/04/29 01:50:32.50 FNqzl5v2.net
無限乗積表示
Γ(1/4) = 1/4e^(γ/4)Π((4m+1)/4m)e^(-1/4m)
Γ(3/4) = 3/4e^(3γ/4)Π((4m+3)/4m)e^(-3/4m)
と倍角公式
Γ(1/2) = Γ(1/4)Γ(1/4 + 1/2)/√(2π)
をうまくつかってΓ(3/4)を消去しようとして失敗したくさいねぇ�
367:B無限乗積はΠ((4m+1)/4m)とかΠ((4m+3)/4m)は各々単独では収束しないからあとのe^~と切り離せないのに。信じられんミスですな。
368:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:00:09.16 LZWvDOTX.net
>>347
岩波「数学公式I」p.229 を見ると
Γ(1/4) = 2 π^(1/4) √Ｋ(1/√2),
Ｋ(1/√2) = 1.85407467730137191843385034719526 (*)
Γ(1/4) = 3.625609908221908311930685155867672
(*) Ｋ(k) は第１種の完全楕円積分。
Ｋ(k) = ∫[0，π/2] 1/√{1 - (k･sinθ)^2} dθ
= (π/2){1 + Σ[r=1，∞] {(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^(2r) }
369:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:57:34.53 FNqzl5v2.net
正しくΓ(3/4)を消去すれば
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/4m)/(1+1/2m)^3
ですな。
370:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:01:03.51 FNqzl5v2.net
訂正
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^3
371:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:14:07.86 FNqzl5v2.net
>>349の左辺も正しくは逆数ですね。
まぁまぁあうなぁ
gamma(1/4)^4,numer;
48*sqrt(2)*%pi*(product ((1+3/4/i)/(1+1/4/i)^3, i, 1, 10000)),numer;
(%o45) 172.7922660636603
(%o46) 172.7955056790521
372:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:35:41.70 us7WqjTP.net
岩波の関係者見てるか～？
はよ改訂しろや
373:１３２人目の素数さん
18/04/29 10:14:34.00 n1kfIHw7.net
>>352
正解ですがsinの無限乗積を用いれば、もう少しきれいな形にできて
√2=2sin(π/4)=(π/2)Π(1-1/(4m)^2)
から√2を消去して
Γ(1/4)^4 = 24π^2 Π(1-1/(4m))(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^2
= 8π^2 (3/1)・(3/5)・(7/5)・(7/9)・(11/9)・(11/13)・(15/13)…
が得られ、これを1/4乗したのが訂正式だと思われます。
ここまでの式は正しいのですが、不用意に分母を1つずらして
二乗でくくってしまうと例の誤りの公式になります。
374:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:20:19.24 LZWvDOTX.net
>>341
フェルマーの小定理から
10「abcdef」-「bcdefa」= (10^6 - 1)a ≡ 0 (mod 7)
∴ ローテートしても剰余は変わらない。
（1000000は7の倍数でないから省いてよい）
375:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:27:58.63 LZWvDOTX.net
>>356
まちがえた。
・剰余が0の場合はつねに0
・剰余が0でない場合は1～6を巡回する。
376:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:03:27.45 bKuKTDT2.net
>>357
それが示せたとしてちょうど７個に一個は７の倍数ってしめせる？
そもそも>>340は６桁以下である意味ほとんどないけど。１０桁以下でも[3^10/7]だよ。
377:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:47:49.00 2V4BpPyt.net
>>340の話題まだ続いてたの？
「1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような数」の集合は
S_10={s|s=Σa_i・10^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦10^6}となるが、この集合は
S_3={s|s=Σa_i・3^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦3^6}と、同一の有限数列{a_i}を持つ要素同士での一対一対応がある。
(S_10とS_3のいずれの定義でも、異なる{a_i}に対してsの値が異なるから)
また、10≡3 (mod 7) だから Σa_i・10^i≡Σa_i・3^i (mod 7) であり、これらのことから、S_10 と S_3 に含まれる7の倍数の個数は等しい。
S_3 は1以上3^6以下の自然数の集合となる。したがって、S_3 に含まれる 7 の倍数の個数は[3^6/7]個。
S_10 に含まれる 7 の倍数の個数もこれと等しく[3^6/7]=104個。
378:１３２人目の素数さん
18/04/30 07:45:47.91 unf6uQw9.net
>>347 の類題まだあるようです
岩波 数学公式IIIのp.13、Euler
379:の定数γの積分表示 γ = ∫[0,1] log|log t|dt は正しいか？
380:IQの低い人
18/04/30 13:55:59.72 tdDKI26q.net
数学公式なんて必要なの
インターネットでじゅうぶんじゃないの？
381:１３２人目の素数さん
18/04/30 15:31:22.71 unf6uQw9.net
一般化して考えると、人間の発見した数学の知識は本にする必要があるか？
電子化してしまえば便利で使い勝手が良いではないか？
という質問になると思うけど、難しい質問ですね。
382:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:06:10.16 i8B+Bi+E.net
人類の紙離れハードコピー離れの問題とか言った方がいいのでは
383:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:16:13.98 9GopzljD.net
そりゃ書籍なんてどんどん厚くなってくわけだし
OEISみたいにとっとと電子化した方がよい
384:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:28:40.42 YkZppX/u.net
電子化に「頼り切った」場合、データが吹っ飛んだ場合の復旧は大丈夫なのか。
紙なら数百年は持つが。
385:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:31:07.19 1Sw4S+sv.net
今日の朝日新聞にそんな記事が出ていたような
386:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:39:39.75 lihGKJI8.net
>>365
データ構造とか
資料と知識ある人が亡くなれば
ブラックボックス化してしまうよな
387:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:43:00.98 mYEYW+f+.net
そういえばCOBOLみたいな化石言語を使える後継者がいなくて、システムの維持が困難だとかあるらしいね
388:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:22:05.39 EyjNbgxA.net
卒業アルバムをCD-ROMで配布したら数十年後にはみんな読めなくなってるみたいな
389:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:51:16.80 f2DvPYO1.net
>>360
は数値計算させてみると
romberg(exp(-x)*log(x),x,0.01,1)+romberg(exp(-x)*x,1,500)+501*exp(-500),numer;
%gamma,numer;
(%o51) －.005043828410193907
(%o52) .5772156649015329
でo51＞∫[0,1] log|log t|dt
だから全然ダメっぽいけど何をどう間違ったのかはさっぱりわからんorz
390:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:04:36.48 f2DvPYO1.net
あれ？wikipediaにはいけるって書いてある？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
391:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:07:54.94 f2DvPYO1.net
ああ、>>360は-抜けてるだけか。
392:１３２人目の素数さん
18/05/01 14:57:49.96 hppQFjS3.net
1≦k≦nをみたすkのうち2^(k-1)の最高位が4であるものの数をx_nとして(x_n)/nの極限を求めよ
東大模試の問題ですが良く分かりません
393:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:28:47.57 nlXx+nQ6.net
>>373
有名な問題で2ch5chでもよく見かける
問題文でググれば解説が出てくるがとりあえず一つだけ挙げとこう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp:443)
394:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:36:24.87 QQuzwbBg.net
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,
1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288
1048576,2097152,…
（2^10≒10^3は有名）
帰納的に
10^(3n)�
395:�2^(10n)<10^(3n)+10^(3n-1) を示すとか
396:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:38:52.55 QQuzwbBg.net
>>374
ほぇ＾～
397:１３２人目の素数さん
18/05/01 17:37:49.16 0rV/A0yL.net
>>373
なんとなくだけど
常用対数でlog(5/4)じゃない？
log2が無理数だから、n･log2の小数部は0以上1未満の間の値を均等にとる。それがlog5とlog4の間にある確率を出せばよい
398:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:37:42.45 Be837sS1.net
>>373
なに使っても良いならそれですな。いわゆるワイルの一様分布定理。blog n/log10 の小数部は[0,1)で一様に分布する。でも最高位が4の場合はそんな難しいもん使わなくても解けるというのがミソですな。受験数学なら意味あるけどねぇというやつですな。
399:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:43:23.06 Be837sS1.net
>>360に丸一日悩んでしまった。Γ(s)=∫[0,∞]x^(s-1)exp(-x)dxの両辺微分してs=1放りこんでるだけかorz。まぁおかげでいい勉強になった。
400:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:53:28.81 ZkkSxFx4.net
>>379
正解です。単純な問題で申し訳ない。
おそらく著者はlogに絶対値をつけるときに符号を勘違いしたのではないかと推察。
401:１３２人目の素数さん
18/05/01 19:01:06.79 ZkkSxFx4.net
以下の収束性を議論し、収束するなら収束値を求めよ。
(1) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(n^2)
(2) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(2^n)
402:￥
18/05/01 21:22:44.32 o9N8stUi.net
￥
403:￥
18/05/01 21:23:04.37 o9N8stUi.net
￥
404:￥
18/05/01 21:23:24.69 o9N8stUi.net
￥
405:￥
18/05/01 21:23:44.15 o9N8stUi.net
￥
406:￥
18/05/01 21:24:03.34 o9N8stUi.net
￥
407:￥
18/05/01 21:24:22.61 o9N8stUi.net
￥
408:￥
18/05/01 21:24:43.50 o9N8stUi.net
￥
409:￥
18/05/01 21:25:04.24 o9N8stUi.net
￥
410:￥
18/05/01 21:25:23.88 o9N8stUi.net
￥
411:￥
18/05/01 21:25:46.53 o9N8stUi.net
￥
412:１３２人目の素数さん
18/05/02 13:52:22.80 A6AlBBbL.net
既出かもしれないけど
袋のなかに赤玉６球、白玉７球、黒玉８球入っている。一球ずつ順に取り出す。
黒玉が他の色より一番先にすべて取り出される確率を求めよ。
413:１３２人目の素数さん
18/05/02 18:24:28.84 cDk91oHu.net
>>392
29/105
414:１３２人目の素数さん
18/05/02 21:52:14.72 fjHvbvCm.net
>>393
御名算
415:１３２人目の素数さん
18/05/03 00:12:28.96 TIOaAmH9.net
{a[i]}は自然数の無限列である(i=0,1,2,...)
或るs∈ℝが存在し、任意の自然数iに於いて
0<a[i]-a[i-1]≦sが従う
此のとき、任意のn∈ℕに於いて
a[i]の相異なるn個の要素で等差数列が作れることを示せ
416:１３２人目の素数さん
18/05/03 01:13:02.60 CZ0Fa01r.net
>>381
(1)
Σ[n=0，∞] (-1)^n x^(nn) = {θ_4(0，x) - 1}/2 → -1/2 (x→1-0)
ここに
θ_4(a，x) = Π[k=1，∞] {1 - x^(2k)} {1 - ｅ^(2ai)･x^(2k-1)} {1 - e^(-2ai)・x^(2k-1)}
はヤコビの楕円テータ函数
417:１３２人目の素数さん
18/05/03 04:56:51.43 yXlJeHv9.net
>>394
以下自然数の全体Nのm個の同値類に分けたとき各自然数の属する類を色とよぶ。
van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数k,mに対して、或る正の整数N(k,m)が存在して次が成り立つ: N≥N(k,m)なる任意の整数Nに対して、1からNまでの整数をどのようにm色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さkの等差数列が存在する。
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
条件を満た
418:す自然数列a[n]をとりf(n) = min{c|c+n = a[i]∃i}、C_c = {n | f(n) = c}とおけば N = C_0 ∪…∪ C_[s]である。任意のkに対してvan der Waerdenの定理よりいずれかのC_cは長さkの等差数列をもつがその各々の項にcを加えた列はa[i]の項からなる。
419:１３２人目の素数さん
18/05/03 09:51:47.13 xQqmo4zy.net
>>395
これはどうでしょう？
ai-a(I-1)は当然整数なので条件より取り得る値は1,2…［s-1］,［s］のいずれか
iは無数の値をとるので鳩の巣原理より
ai-a(I-1)がある同じ値をとるiは無数のに存在する
よって題意は示された
420:１３２人目の素数さん
18/05/03 10:35:01.85 PQNVo0sN.net
>>398
だめ。
a[2j-1] = 2^j
a[2j] = 2^j + 1
と定めればa[i] - a[i-1] = 1となるiは無限にあるけど、a[i]が含む等差数列の長さは４以下。
421:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:17:06.31 CZ0Fa01r.net
>>395
URLﾘﾝｸ(jmoss.jp)
JMO夏季セミナー → 問題コーナー → 第45回（2011/4/10～2011/5/10）解説
422:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:46:01.38 TIOaAmH9.net
うーん
ちょっと本質からずれた質問しますが
これもしvan der Weardenの定理を全く知らなかったら
どんな答案になりますか？
定理自体、色っていう概念使ってて知らないとできないから
そういう前提下だとどういったものになるのかなぁと
423:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:50:08.28 umDHhDvC.net
(1)内角が全て等しく、辺の長さが全て整数の素数角形は必ず正多角形となることを示せ.
(2)任意の4以上の合成数nに対して、内角は全て等しくて辺の長さは全て整数であるが、正多角形ではないn角形が存在することを示せ.
424:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:58:02.34 PQNVo0sN.net
>>401
どうなんだろうねぇ？色云々は単なる説明に “雰囲気” を出す為に持ち出されただけであんまり本質的な意味はないと思う。平たく掛けば
――
N = A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n
なる分割(disjoint でなくとも良い)をあたえればいずれかのA_iはいくらでも長い等差数列を含む。
――
と色なんて言葉を持ち出す必要はない。ただ>>397のサイトの証明では証明の概念を直感的に理解しやすいように “色” だの “車輪” だのの言葉をつかってるだけ。
まぁこの定理使わないで力技でもできるとは思うけど、割と使いまわせそうな定理だから素直に “へぇ、こんな定理あるんだ” でいいと思う。力技にも興味はあるけど。
425:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:13:12.65 PQNVo0sN.net
>>402
(1)pを素数とし各頂点の外角が2π/pで各辺の長さa_i(0≦i≦p-1)が整数であるものをとる。(ただしa_iは正の向きに順に図ったものとする)
ζ=exp(2π/n)、f(x) = Σa_i x^i とおけばf(ζ)= 0である。よってf(x)はx^(p-1)+…+1で割り切れるからa_iはすべて等しい。
(2)nを合成数としpをその素因子とする。
a_i = 1 (p|i),
=2 (otherwise)
として辺の長さが正の向きに順にa_iで外角の大きさがすべて2π/nの多角形�
426:ﾆればよい。
427:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:36:50.04 CZ0Fa01r.net
>>402
(2)
n = k ･ L (k≧2，L≧2)
とする。
内角は全て π - 2π/n とし、
辺の長さは任意の自然数 m_1, m_2, m_3, …, m_k をL回繰り返す、とする。
L回対称
428:１３２人目の素数さん
18/05/04 17:40:57.93 35MdHy9b.net
>>399
・公差が１のとき
{a[i]} はある a[2j-1] と a[2j] を含む。（または、a[2] と a[3] を含む。)
{a[i]} は i=1～4 または長さ2以下。
・公差が2以上のとき
a[k "] < a[k] < a[k '] が長さ3の等差数列だったとする。
a[k] - a[k"] ≦ a[k] - a[1] = a[k] - 2,
また、a[k'] - a[k] > 1 から
a[k'] - a[k] ≧ a[k+1] - a[k] = a[k] - 1,
したがって
a[k'] - a[k] ≧ a[k] - 1 > a[k] - 2 ≧ a[k] - a[k"],
となり矛盾する。
429:１３２人目の素数さん
18/05/05 05:01:24.50 cos8i+vX.net
>>406 (修正)
・公差が2以上のとき
……
k " < 2j < k ' のとき
a[k '] - a[2j] ≧ a[2j+1] - a[2j] = a[2j] - 2 = a[2j] - a[1] ≧ a[2j] - a[k"]
∴ 長さ3の等差数列は a[1] < a[2j] < a[2j+1] に限る。
このとき
a[2j+3] - a[2j+1] = a[2j+1] > a[2j] - 2
となるから、長さ4以上の等差数列はない。
430:￥
18/05/07 05:41:57.62 EWP32cBY.net
￥
431:￥
18/05/07 05:42:18.23 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:42:39.36 EWP32cBY.net
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18/05/07 05:44:47.52 EWP32cBY.net
￥
440:１３２人目の素数さん
18/05/17 11:40:23.79 36lfcc24.net
2011広島大学後期改
qを６と互いに素な素数ベキ、Fをq元体とし
X={(x,y,z)∈F×F×F | x^2+y^2+z^2=0}
Y={(x,y,z)∈X | xyz≠0}
Z={(x,y,z)∈Y | x≠y, y≠z, z≠x}
とする。X,Y,Zの元数を求めよ。
441:１３２人目の素数さん
18/05/18 06:17:07.83 539vwTx6.net
>>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4 ⇔ a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴ x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691 (n→∞)
442:１３２人目の素数さん
18/05/21 04:38:31.67 kuqRYFm5.net
表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ
443:イナ
18/05/21 13:14:33.19 6i5QRyXS.net
>>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。
444:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:35:46.68 3I0IwGqI.net
>>421
不正解
正八面体より大きく出来る
445:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:58:44.22 oCVK8vvs.net
>>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？
446:１３２人目の素数さん
18/05/21 15:00:08.42 oCVK8vvs.net
走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス
447:イナ
18/05/21 15:25:53.51 6i5QRyXS.net
>>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。
448:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:24:23.18 3I0IwGqI.net
>>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます
449:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:28:56
450:.50 ID:3I0IwGqI.net
451:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:02.75 +913qm6o.net
正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。
452:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:31.05 +913qm6o.net
３角柱から角３っつね。
453:１３２人目の素数さん
18/05/21 17:57:16.22 9YF4F+CN.net
>>425
正6角柱だと、正8面体と変わらない...orz
1/{6√(3√3)} = 0.073115223
もっと丸い形にすればいい？
454:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:11:57.11 0vZfF+dt.net
四面体の４つの頂点から小さく四面体を取り除いてできるものとかだいぶ球に近くなるんじゃないかなあ
455:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:20:53.02 2xKr+/2q.net
それより、立方体の頂点2つを切り落としたほうがいいんでね？
456:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:47:13.96 9YF4F+CN.net
>>430
より多角形にして、辺と頂点を増やす…
457:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:22:14.24 YccZYzuR.net
とある法則で除外できるのが７角錐だけだとかなり残る希ガス。
だいたい８面体と同じ配置とか立方体から２角おとしたのと同じ配置とかに制限したとして、それぞれの場合に最大値求めんのもどえらい面倒くさい気が…。
ほんとに面白いスパっと解ける解法あるんかな？
458:１３２人目の素数さん
18/05/22 04:39:03.52 RuE2vaj6.net
>>431
辺長のk倍だけ切り落とす。（0<k<1)
4つの頂点から、k倍サイズの4面体を切り落とす。
体積： V = (1-4k^3) V_0
表面積： S = (1-2kk) S_0
V / S^(3/2) = (1-4k^3)/{6√(3√3)・√2・(1-2kk)^(3/2)}
≦ V_0 / {S_0^(3/2)}
= 1 / {6√(3√3)}, （正8面体）
等号成立は k=1/2 (中点) のとき。
459:１３２人目の素数さん
18/05/22 07:10:03.28 mp+7pS00.net
>>434
>>427は語弊がありました
六角柱と七角錐だと七角錐は除外出来るってことです
ある法則を使えば他のパターンも除外出来ます
例えば正八面体のタイプもダメだということが分かります
460:イナ
18/05/22 22:06:05.02 6b1wDh1x.net
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/24)x(1-3√3･x^2)
V'(x)=(√3/24)-(9/8)x^2=0
x^2=(√3)/27
x≒0.0487287のときV(x)は最大。
V(0.0487287)=(√3/24)0.0487287(2/3)
=0.0487287(√3)/36
=0.0013831
461:イナ
18/05/22 22:47:55.38 6b1wDh1x.net
前>>437修正。
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･6･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2･6{(1/6x)-(√3/2)x}
=(3√3)/2･x^2･y
=(3√3)/2･x^2･{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/4)x-(9/4)x^3
V'(x)=(√3/2)-(27/4)x^2=0
x^2=(√3)/27のとき、
V(x)=(√3/4)x-(9/4)x^3
=(√3/4)x{1-3√3x^2}
=(√3/4)x(2/3)
=(√3)x/6
=√(√3)/18
≒0.0731152
462:１３２人目の素数さん
18/05/22 23:58:04.62 QxWTmuux.net
八面体の種類がいくつあるか自力で調べようとして挫折したので検索してみたところ、何をどう数えたのかは不明ながら257種類という数値が出てきた。これではまるでお手上げである。
なんの計算もしていないが、個人的には「デューラーの立体」ど呼ばれる三角形２枚、五角形６枚でできた立体が気になる。
463:１３２人目の素数さん
18/05/23 02:32:32.49 LxIDPfuv.net
>>439
Link プリーズ
464:イナ
18/05/23 03:02:44.37 Rj3qNk6E.net
>>439
一辺xの正三角形1枚と正五角形3枚をサッカーボールみたいにたがいに百八十度回転させて噛み合わせるように貼りつける。
表面積S=1
八面体の各頂点から中心までの距離aは一意に決まる。正三角錐の底面同士は百八十度回転して平行。おそらく正五角錐の底面同士も百八十度回転して平行な位置にあるんじゃないかと。
八面体の体積V=正三角錐の体積×6+正五角錐の体積×2
正三角形同士の距離と対面する正五角形の距離は同じにできるのかな？
前>>438
465:イナ
18/05/23 03:07:00.40 Rj3qNk6E.net
前>>441逆々。訂正。
八面体の体積=正三角錐の体積×2+正五角錐の体積×6
466:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:25:56.47 bPXXYTiJ.net
>>439 >>441 >>442
歪重角錐ですか？
正８面体や正６角柱よりは改良すると思います。
V / S^(3/2)
・メディアル８面体 0.074488 (4角形×4，5角形×4)
・歪重角錐 0.074217
・正８面体 0.07311522294 （アルキメデスの正プリズム）
・正６角柱 0.07311522294
・反プリズム 0.07311522294 = 1/{6√(3√3)} （アルキメデス）
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
M. Goldberg: Tohoku Math. J.，４０，p.226-236 (1935)
"The isoperimetric problem for polyhedra"
---------------------------------------
f = 4 正４面体 0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6 立方体 0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8 メディアル８面体 0.07311522 = 1/{6√(3√3)}
f = 12 正12面体 0.08168837
f = 20 メディアル20面体 0.0866101 (5角形×12，6角形×8)
球面に外接する？
467:１３２人目の素数さん
18/05/23 05:29:31.94 bPXXYTiJ.net
>>443 訂正
f = 4 正４面体 0.05170027 = 1/{6√(6√3)}
f = 6 立方体 0.06804138 = 1/(6√6)
f = 8 メディアル８面体 0.074488
f = 12 正12面体 0.08168837
f = 20 メディアル20面体 0.0866101 (5角形×12，6角形×8)
468:１３２人目の素数さん
18/05/23 08:38:50.14 cqx5U6TU.net
>>441
細かくてすまんが、どう考えても正五角形ではないよな＞デューラーの立体の五角形
469:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:21:27.45 cqx5U6TU.net
「歪重角錐」ってワード、検索してもikuro_kotaro氏しか使ってないようなのだけど、
もともとはどういう言葉の訳語？
言葉の印象から、デューラーの８面体とは別物のような気もするが。
470:１３２人目の素数さん
18/05/23 09:42:46.47 bPXXYTiJ.net
「メディアル ｆ面体」
[ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
f≧12 のときは 5角形×12，6角形×(f-12)
f = 8 0.074488 4角形×4，5角形×4
f = 10 4角形×8，4角形×2 （シリコンフラーレン）
f = 14 0.0833652 5角形×12，6角形×2 ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ）
f = 20 0.0866101 5角形×12，6角形×8
f = 32 5角形×12，6角形×20 切頂20面体（サッカーボール）
f = 42 5角形×12，6角形×30 切稜12面体
471:１３２人目の素数さん
18/05/23 10:00:31.64 bPXXYTiJ.net
>>446
歪重角錐 = ねじれ双角錐
trapezohedron = deltohedron = antibipyramid = antidipyramid
の訳語らしい。
URLﾘﾝｸ(hp.vector.co.jp)
472:イナ
18/05/23 10:45:35.61 Rj3qNk6E.net
>>443正六角柱の体積の値があってたみたいでうれしいです。正八面体と同じだったとは。銅メダル二人みたいな。前>>442
歪重角錐か。歪んでるような気がしたんだよなぁ。するとその歪重角錐のさらにその上のビジュアル八面体とやらが0.074いくらで最大値か。
473:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:04:54.26 SaS67Pru.net
ではそろそろ420の正解発表を聞こうか
474:１３２人目の素数さん
18/05/23 11:35:49.76 UmkZrt7x.net
正解ぷりーず
475:イナ
18/05/23 11:51:08.00 Rj3qNk6E.net
今のところ>>438が最大。正八面体と同じだったことは残念だが。前>>449アンカー訂正。前々>>442前々
476:の前>>441 精度を増すと、 V=√√3/18 ≒0.0731152229 歪重角錐は今のところ言葉による想像にすぎないし、四角形と五角形を貼りつける八面体の存在も確認できない。
477:１３２人目の素数さん
18/05/23 12:10:18.05 zzKr5Jg7.net
四角形４枚と五角形４枚ってこんな感じ？
頂点数＝12 (A～Lとする)
五角形:ABCDE,DEFGH,GHIJK,JKLAB
四角形:AEFL,BCIJ,CDHI,FGKL
478:イナ
18/05/23 14:10:25.08 Rj3qNk6E.net
>>453展開図を描いた。正方形ととなりあうのは正五角形3個と正方形1個。正五角形ととなりあうのは正五角形3個と正方形2個。たしかに存在しますね。
一辺xの正方形と正五角形から中心までの距離をそれぞれa、bとして、
V=(1/3)x^2･a･4+(1/3)(正五角形の面積)･b･4=1
一辺xの正五角形の面積がわからない。
(○+√5)/△
こんな感じだったような。
前>>452
479:イナ
18/05/23 14:38:08.07 Rj3qNk6E.net
前>>454だんだん球体に近づくと考えて、
半径rの球の表面積S=4πr^2=1
r=1/2√π
半径rの球の体積V=(4/3)πr^3
=r/3
=1/6√π
≒0.0940316
480:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:10:18.65 cqx5U6TU.net
>>454
だから、「正方形」とか「正五角形」ではなく
ただの「四角形」とか「五角形」だと何度言えば。
＞たしかに存在しますね。
してません。
>>453
極大となるのが強い対称性を持つ場合だと仮定するなら
五角形CDEAB，FEDHG，IJKGH，LKJBAが互いに相似な
左右対称な五角形（CDEABであればEAの垂直二等分線が対称軸）であり、
四角形LAEF，FGKL，CBJI，IHDCが互いに相似な
等脚台形（LAEFであれば，LF//AE，LA=FE）
となるケースで考えればよいですかね。
五角形の形状が決まれば自動的に四角形の形状も決まります。
481:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:15:29.02 /54JzC6H.net
>>420
正解をどうぞ
482:１３２人目の素数さん
18/05/23 15:28:32.45 cqx5U6TU.net
>>443 >>447 >>448
その用語を見ると、>>439さんが言ってるデューラーの立体（デューラーの８面体）は
「ねじれ重角錐台」に相当するのかな。
483:イナ
18/05/23 16:07:07.76 Rj3qNk6E.net
前>>455
ねじれでも腕ひしぎ逆十字でも、俺が出したこれは超えられまい。>>438
V=√√3/18
≒0.0731152229
484:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:02:08.85 bPXXYTiJ.net
>>453
1辺がxの正6角形から1つの頂点を取り去った5角形4つを ∧∨∧∨ と並べて正方形柱にする。
辺がx，x√3 の長方形2枚で屋根を葺く。底も同様ですね。
このままだと 1/{6√(3√3)} つまり正８面体と同じ。
よって歪ませて正5角形に近づける？
485:１３２人目の素数さん
18/05/23 18:41:14.48 zzKr5Jg7.net
まず五角柱を考えて、その側面の四角形１枚に着目したとき、
上底面と下底面に接続する２辺それぞれに頂点を設けてそれらを結ぶと六角柱になります。
その代わりに、底面でない２辺上に頂点をそれぞれ設けてそれらを結ぶと五角形４枚＋四角形４枚の立体になります。
そう考えると、後者の方がなんとなく球体に近い形にできそうなそうでないような…？
486:１３２人目の素数さん
18/05/23 21:49:27.54 XdPIqpjy.net
ところで「デューラーの立体」って平行六面体の反対の角を切り落としたものだね
487:１３２人目の素数さん
18/05/23 22:29:36.30 zzKr5Jg7.net
>>462
そうね
２つある三角の面がそれ
488:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:05:56.52 ksY6GGNA.net
対称性のあるメディアル８面体を一般化するため
>>453 に合わせて、実際の空間座標を設定してみた。パラメータはa,b,rの3つ。
これで実際に表面積と体積を計算して、最大になる
489:ケースを求めればよい。 A(1+a,1-a,-b)，B(1-a,1+a,b)，C(1-ar,0,br)，D(1-a,-1-a,b)，E(1+a,-1+a,-b)， F(0,-1+ar,-br)，G(-1-a,-1+a,-b)，H(-1+a,-1-a,b)，I(-1+ar,0,br)， J(-1+a,1+a,b)，K(-1-a,1-a,-b)，L(0,1-ar,-br) ただし，パラメータは -1<a<1，b>0，r>1，ar<1 を満たす範囲で動く。 実際には，0<a<1の範囲を考えればいい気はする。 あとで暇なら計算するが，だれかやって。 なお、線分BA，ED，HG，KJの中点が，xy平面上の原点を中心とする1辺2の正方形をなすように 配置してます。
490:１３２人目の素数さん
18/05/24 00:40:21.21 iiG4vaf/.net
>>462
さらに言えば、
ねじれ双3角錐（ねじれ重3角錐） >>448
の頂点部を切り落としたもの。（～台） >>458
491:１３２人目の素数さん
18/05/24 02:26:45.42 iiG4vaf/.net
>>462
ねじれ双3角錐（切り落とす前）の例
8つの頂点
±（0，0，3c/√12）
±（2a/√6，0，c/√12）
±（-a/√6，a/√2，c/√12）
±（-a/√6，-a/√2，c/√12）
辺の長さL = √{(2aa+cc)/3}
体積V = aac,
表面積S = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
β = arccos((cc-aa)/(2aa+cc))
V / S^(3/2) ≦ 1/(6√6),
等号は a=c のとき （立方体）
492:１３２人目の素数さん
18/05/24 06:17:07.64 iiG4vaf/.net
>>466
頂点から k･L まで（Lは辺長、0<k<1) の正3角錐を切り落とす。
底辺：(√2)ak，底面積：(√3 /2)aak^2，高さ： (1/√3)ck，体積：(1/6)aac･k^3,
表面積の減少：(1/2)(√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,
V(k) = V(0) - (1/3)aac･k^3
S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,
493:１３２人目の素数さん
18/05/25 06:34:50.00 ohjGIEVt.net
>>466 >>467
V/S^(3/2) が最大となるのは、
k = 1（反正3角柱、アルキメデスの反プリズム）でかつ
c = 2a，β = 60°のとき。
一辺 L = (√2)a の正4面体を切り落とす。残ったのは一辺 L の正8面体か。
>>462 が正しいなら、 >>439 もハズレのような。。。
494:イナ
18/05/26 03:00:37.86 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でよくね？
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>459
495:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:12:26.07 idqdAluV.net
本当に人の話を聞かない御仁だな…＞コテハン
496:１３２人目の素数さん
18/05/26 05:58:03.55 Tm+bfCXy.net
>>464
計算した。
AE = DH = GK = JB = 2(1-a),
BD = EG = HJ = KA = 2(1+a),
CI = FL = 2(1-ar),
CI～DH，CI～JB の距離 √{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
5角形ABCDE = {4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb),
4角形CDHI = {2-(r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
S = 4{4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb) + 4{2 - (r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}
V = 8(1-aa/3)b + 4(1+a)b(r-1){1-(2+r)a/3},
・a = 0，b = 1/√3，r = 2 のとき
S = 12√3， V = 4√3， V/S^(3/2) = 1/{6√(3√3)}, >>460
・a = 0.1035 b = 0.379 r = 3.180 のとき
S = 18.7092102 V = 6.0163648 V / S^(3/2) = 0.074344865
やっと正8面体、正6角形、アルキメデス、デューラー etc を超えた。。。
497:１３２人目の素数さん
18/05/26 10:13:30.18 Tm+bfCXy.net
>>466
は菱形6面体（菱面体）でしたね。
498:イナ
18/05/26 12:17:34.10 IfNt0hdl.net
>>438これ、正解でいいと思うんだけど、ビジュアル八面体とやらが、メディアルか、が座標設定して計算で最大値を更新したのは確からしいな。
ただ、V≒0.074をどうやって出したかまだわからない。
∥∩∩∥V/S^(3/2)の
（(-_-)3/2ってなんだ？
（っц)~ V/S√Sか。
｢￣￣￣]前>>469
499:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:25:25.83 p7ZlenKz.net
そろそろ正解が聞きたいなぁ。いろんな計算結果は上がってるけどあくまで数学なんだからそれは正解にはなり得ない。意味ないわけではないけど。
500:イナ
18/05/26 12:34:00.52 IfNt0hdl.net
そもそも題意はS=1だろ。S=1のときVがいくらになるかを求める問題だったはず。
>>438これが正解だ。
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>473
501:１３２人目の素数さん
18/05/26 12:47:38.91 Zk6GPK3+.net
まさか、正解を用意していなかったとかあるまいな
502:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:32:39.72 p7ZlenKz.net
最初の頃は出題者らしき人がのレス付いてたけど途中から出てこなくなってるから、ちょっと危ない感じもするけど。
503:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:51:29.80 idqdAluV.net
自分は出題者ではないし>>443でもないが
正解発表という意味では、
>>443 >>444あたりで紹介されてる
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
に記述のある
ゴールドバーグが見つけたメディアル多面体での
0.074488
ってのが現時点でのチャンピオンデータってことなんでしょ？
で、ikuro_kotaro氏の書き方も若干曖昧でゴールドバーグの論文を読んでみないと
本当のところはわからないけど、おそらくそれはまだ局所最適解に過ぎず
すべてのケースをくまなく調べたわけではないから、８面体についても未解決で、
ただゴールドバーグは一般にn面体についても
メディアル多面体において最大値をとると予想してる、って話だよね？
それが現時点での最大の結果でしょ？
それ以上の結果が出たらこんなところに書いてる場合じゃなくて論文を書くべき案件。
別に、答えが用意されてるパズルだけが「面白い問題」じゃないよね。
普通に思いつくところが正解ではなくて、まだ正解の探索の途中である問題だって
面白い問題には違いないのだから、それでいいじゃん。
504:１３２人目の素数さん
18/05/26 13:57:49.09 idqdAluV.net
ちなみに、V/S^(3/2)の意味を理解せずに議論に参加してるつもりの人がいるようだが
ある８面体の体積がV、表面積がSのとき、
その８面体と相似で表面積が1の立体の体積がV/S^(3/2)になる。
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp) では
V/S^(3/2) が最大、ではなく S^3/V^2 が最小という言い方をしてるが、同じこと。
>>443にある値は、そこに紹介されてるS^3/V^2の値をV/S^(3/2)に換算してるだけ。
505:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:06:15.01 idqdAluV.net
>>471
お疲れさまです。ちゃんと、他のすぐ計算できるケースを超えるポイントが見つかったのですね。
SとVの式は自分も計算してみて同じ結果になりました。
ゴールドバーグはこんな計算から局所最適解を求めたのだろうけど
1935年だから、計算機による数値計算ではなくおそらく手計算だよな。
どうやったんだ…
506:１３２人目の素数さん
18/05/26 14:30:57.93 p7ZlenKz.net
別に答えが用意されてようが何だろうがそれはかまわないけど、それならそれでそれは明示しとかんとダメだと思う。
507:１３２人目の素数さん
18/05/26 16:37:28.91 N2EQPiGo.net
>>479
その辺のメトリックを理解しない数学徒は皆無だろう
理解しない非徒は説明されても理解しない可能性が大
508:イナ
18/05/26 17:10:10.91 IfNt0hdl.net
立方体の一辺をx、切りとる二つの直角三角錘の二辺と高さをaとする。
八面体の表面積Sについて、
S=6x^2-3a^2+{(√3)/4}(a√2)^2･2=1
6x^2-1=3a^2-a^2･√3
a=√{(3+√3)(x^2-1/6)}―①
一辺xの立方体から一辺aの直角三角錘2個を引く。
八面体の体積V=x^3-2(a^3)/6
V=x^3-(a^3)/3―②
①を②に代入。
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
V'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
を満たすxにより、
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
≒？＞0.0731152229
前>>475
509:
510:１３２人目の素数さん
18/05/26 19:41:49.72 ypScq2Bz.net
せめて「とある法則」ってのだけは教えてほしいわな
おそらく七角錐，正八面体はダメで六角錐は除外できないってことから
各頂点に接している面の数が3の多面体ってことなんだろうけど
511:イナ
18/05/26 21:31:07.58 IfNt0hdl.net
F'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
3x^2=(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}+(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
前>>483辺々を二乗すると、
9x^4=(4/9)x^2･(12+6√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/9)(12+6√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+2(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
9x^4=(4/9)x^2･(36+18+30√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/3)(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+(4x/9)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=12(18+10√3)･(3+√3){x^4-(1/6)x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=24(7+4√3){6x^4-x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
大変。
512:１３２人目の素数さん
18/05/26 22:03:24.34 p7ZlenKz.net
>>484
同意❗
513:
18/05/27 00:45:56.58 UhzuItQI.net
F'(x)=0でF(x)の最大値を出す法則と四則演算ならわかる。
前>>485
144･7-81+576√3)x^4-24(7+4√3)x^2+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3)(x^2-1/6)^2+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
514:１３２人目の素数さん
18/05/27 01:33:00.38 i5aSKt1a.net
>>483 >>485
辺長xのうち、頂点からaまでの部分を切り取るのだな。
V = x^3 - (a^3)/3,
S = 6xx - (3-√3)aa,
a = {(3-√3)/2}x = 0.6339746x のとき最大で
V/S^(3/2) = (1/6)√{(1+√3)/15} = 0.0711291315
>>467 で a = c，β = 90ﾟ，L = x の場合でござるな。
515:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:03:28.95 aeCCXXNU.net
>>471
自分でもプログラムで探してみたけど、
>>464の設定ではそのあたりが限界なのね…
自分の結果は
(a, b, r) = (0.103402, 0.379226, 3.177760) で 0.074344868
S^3/V^2でいうと180.92476とかで、
ゴールドバーグの結果と言われてる180.23とはまだ随分ギャップがあるなあ。
それに近づくには、>>464の対称性を崩さないといけないということ？
（まあ、その値が正しいかどうかもよくわからないが）
516:１３２人目の素数さん
18/05/27 02:13:30.05 i5aSKt1a.net
>>483 >>485 >>487
S = 1 に限定すれば
x = √{(√3 +1)/15} = 0.426774789
a = √{(√3 -1)/10} = 0.2705643745
でござる。
517:イナ
18/05/27 02:40:09.42 UhzuItQI.net
(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3){x^4-(1/3)x^2+1/36}+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
(773+546√3)x^4-(186+106√3)x^2+(9+5√3)/6+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
前>>487
もっかい紙の上でやったほうがいいみたい。x出したいわけじゃないし。そうか、aがxの半分超えるぐらいおっきなることもあるんか。
518:１３２人目の素数さん
18/05/27 03:46:25.26 i5aSKt1a.net
>>480
>>443 の文献はここら辺↓に…
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Fig.1 の VIII の欄では >>453 >>457 >>460 と同じ配置
Table 2 で K は等周定数 (S^3 /V^2)
n=8，VIII の欄はたしかに K = 180.23
また傾き角（軸となす角）は 53ﾟ07'，15ﾟ23'
>>489
>>464 のような高い対称性をもつか不明でござる。（英語不得手により）
519:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:35:27.73 i5aSKt1a.net
>>483
S = 6xx - (3-√3)aa = 1
から
aa = (3+√3)(xx -1/6) … (1)
V(x) = x^3 -(1/3)a^3 … (2)
= x^3 - (1/3)(3+√3)^(3/2)･(xx -1/6)^(3/2),
V '(x) = 3xx - x(3+√3)^(3/2) x√(xx -1/6) = 0,
xで割って
3x = (3+√3)^(3/2) √(xx-1/6),
9xx = (3+√3)^3 (xx-1/6),
xx = (√3 +1)/15,
これを (1) に入れて
aa = (√3 -1)/10,
>>490 が出�
520:驕B
521:１３２人目の素数さん
18/05/27 04:52:26.77 aeCCXXNU.net
>>492
実は自分も今その論文を眺めてたところ。
>>489で求めた値は、最大になるようなa,b,rの値の組を最初粗い格子点の中から探し
その周辺でさらに細かい格子点の中から探し、というような作業を
スクリプトを使って繰り返して（範囲の設定は手作業）
その精度での局所最適解を求めたのだけど、
その作業をすり抜けるような特異点が存在するとも思えないし、
実際そのa,b,rから各面の傾きを計算すると
その論文の値とほぼ一致するし。
本来は自分の計算の方を疑うべきなのだろうが、
>>471氏の計算とも合致してるので、
今は180.23という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。
論文に載ってる２つの角度だけではその８面体の形状は特定できないので
もっと詳しく書いておいてくれればよかったのに＞ゴールドバーグ氏
ネットで検索しても、その立体の展開図みたいなものは見つかるのだが、
細かいサイズや実際のS^3/V^2の値とかの定量的な話が全然書いてないんだよな
522:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:27:35.29 CGYiTgTM.net
この手のはいくらでも先に進めるけれど進んだところで意味が無い計算の1つ
数学の袋小路
これが役に立つ例を他の学問分野から必要とされない限り
よくできましたで賞にしかならない
523:１３２人目の素数さん
18/05/27 11:58:20.93 6sMTwTbT.net
4色問題もそうだし、おおよその整数野未解決問題もそうなんだよなあ
524:イナ
18/05/27 19:52:43.78 UhzuItQI.net
前>>491
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
もしやただ単にx^2=1/6のときF(x)は最大とかいう話？
F(1/√6)=1/(6√6)
≒0.0680413817
こんな簡単でいいの？
525:イナ
18/05/27 20:03:51.93 UhzuItQI.net
前>>497ちがうか。やっぱり>>438でF'(x)=0で最大値が出たことを思うと、
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)} これもF'(x)=0でできんかなと思うんだよ。
F(x)=？
≒0.074
526:イナ
18/05/28 07:14:10.67 DLDfn9F5.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
|＿＿＿＿｣
（(-ﾟ-)
＿ '``ちょっと寝る。
だから―。前>>498お願いだ。もっかい微分で解かせてほしい。
527:イナ
18/05/28 20:06:22.78 DLDfn9F5.net
>>490式と計算過程も書いてほしいよ。
前>>499
S=6{x^2-(a^2/2)}+2(√3/4)(a√2)^2
=6x^2-3a^2+√3･a^2=1
(3-√3)a^2=6x^2-1
a^2=(6x^2-1)/(3-√3)
=(x^2-1/6)(3+√3)
V=x^3-2(1/3)(a^2/2)a
=x^3-a^3/3
=x^3-(a/3)(x^2-1/6)(3+√3)
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}a
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}√{(x^2-1/6)(3+√3)}
V'(x)=3x^2-(1/3)(2x)(3+√3)√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
{x-(1/√6)}^2=x^2-2x/√6+1/6=x^2-1/6-2x/√6+1/3
x^2-1/6={x-(1/√6)}^2+
2x/√6-1/3
(休憩)
528:イナ
18/05/29 02:49:24.32 2oLTtdTc.net
>>488
V=0.0711……だったら0074どころか、正六角柱の0073より小さいじゃないか!!
前>>500
感覚的に正六角柱には及ばないと思ったんだよ。計算しようとして、できたわけじゃないけど、無駄な計算だった。
じゃああれだ、大御所、五角形4つと四角形4つで微分、お願いします。
数式で出した最大値はいまだ正六角柱の0.073……ですもんで。
529:イナ
18/05/29 09:22:46.22 2oLTtdTc.net
前>>501
長方形4つの長辺およびホームベース形五角形4つの上辺をxとし、今仮に五角形4つの上辺と
530:向かいあう内角を60°として垂直に柱を建て屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。 S=x(x/√3)4+{x(x/√3)+(x/2√3)(x/2)}･4 (4/√3)x^2+(4/√3)x^2+(x^2)/√3=1 9x^2/√3=1 x^2=(√3)/9 V=x^2{(x/√3)+(x/2√3)} =(√3)/9{(x/√3)+(x/2√3)} {(√3)/9}･3x/(2√3) =x/6 =√(√3)/6･3 =√(√3)/18 =0.0731152…… このゴキブリホイホイを切って天地逆にくっつけたような無用の立体は、先の正六角柱と同値。 さらに体積を増すには、五角形の角度を60°より大きくする手が考えられる。たとえば72°は無理かもしれないが、五角形を正五角形に近づけるべく柱を傾けてはどうか。つまり柱も梁も棟もすべて同じ長さにしたとき体積は最大になるんじゃないか。仮説です。
531:１３２人目の素数さん
18/05/29 15:00:58.00 n11ck1yy.net
>>502
五角形の内角が 120ﾟ×3、90ﾟ×2 で4辺の長さが (x/√3)
長方形の辺長が x と (x/√3)
>>460 を 1/√3 倍に縮小したものと同じですね。
頂点を垂直方向にずらすだけでは、それ以上改良しないと思われ…
532:１３２人目の素数さん
18/05/29 16:16:31.38 RTi38Ocg.net
私はやってないのでいう権利ないかもしれないけど、ともかくこれだけ頑張って計算してる人いるんだから、間違ってないならそろそろ＂とある法則”上げてもいいんじゃね？なんか計算の足しになるかもしれないし。
533:イナ
18/05/29 16:19:46.35 2oLTtdTc.net
前>>502
五角形の内角を72°として斜めに柱を突きだし屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。一辺xの正五角形と三辺xの四角形を貼りあわせた八面体の鳥瞰図を描く。
四角形の残りの一辺y(棟と地下のねじれの位置にある一辺も同じく)はやや小さく(y<x)、四角形は面積(x+y)x/2の台形。
S=4(x+y)x/2+4{(1+√5)/2}x^2=1
2x^2+2xy+2(1+√5)x^2=1
2xy+2(2+√5)x^2=1
2xy=1-2(2+√5)x^2
y={1/(2x)}-(2+√5)x
上の棟から真っ二つに切った七面体V/2(上辺t=y→x)
五角形の辺はt一つ、{(1+√5)/2}x二つ、x二つ。
V/2
=∫(t=y→x)
=
>0.0731152……
ちょっと超えるはず。五角形の内角を72°にできれば、八面体V=0.074……
534:１３２人目の素数さん
18/05/29 18:12:11.36 n11ck1yy.net
>>471 と >>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x として
五角形ABCDEは
∠A = ∠E = 104.73844ﾟ，∠B = ∠D = 113.06566ﾟ，∠C = 104.3918ﾟ （正五角形： 108ﾟ)
AB = DE = 0.406444x，BC = CD = 0.69826x，AE = 0.89660x，BD = 1.10340x
S_5 = 0.62920xx
台形CDHIは
CI = FL = 0.67141x，CI～DH 0.68912x
∠C = ∠I = 99.2793ﾟ，∠D = ∠H = 80.7207ﾟ
S_4 = 0.54027xx
合計で
S = 4.6779xx
V = 0.75219x^3
>>464 と >>471 の設定は x=2 です。
計算はチラシの裏でもできますが…
535:イナ
18/05/29 19:01:38.40 2oLTtdTc.net
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前>>505訂正。72°⇒108°
536:イナ
18/05/29 22:07:16.16 2oLTtdTc.net
前>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n＿_n n_＿＿
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537:イナ
18/05/30 02:31:18.23 HVx7wYPO.net
一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
前>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2･x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0
538:１３２人目の素数さん
18/05/30 05:32:35.18 ddqYu1Wl.net
>>505
一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き： arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
φ = (1+√5)/2 = 1.61803399 (黄金比)
sin(18ﾟ) = (φ-1)/2, cos(18ﾟ) = (1/2)√(2+φ),
sin(36ﾟ) = (1/2)√(3-φ), cos(36ﾟ) = φ/2,
S = 4(S_5 + S_4)
= {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
= 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
= 10.0584124 xx,
V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
= 2.297540285 x^3,
V / S^(3/2) = 0.072022630
う～む
>>506 を見ると、内角は108ﾟに近いが、辺長は不均衡（AB と DE が短く、AE が長い）
辺長を変えれば改善するか？
539:１３２人目の素数さん
18/05/30 06:12:08.84 ddqYu1Wl.net
>>510
BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH，BJ の距離 (1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差 x/√(2φ),
5角面の傾き： arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
は>>510 のままで
AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z, ( =y )
BDHJ と AEGK の高低差 (x-φz)√(φ/2),
とすると…
>>505
台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)･√(3x-y) ...
540:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:12:00.25 6H7MnT2U.net
コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)８枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す
面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷３の総和、ってことで機械的に求められるのではないか
541:１３２人目の素数さん
18/05/30 07:46:45.48 FdL02lRD.net
実は関数方程式も大好物でござる
A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
542:１３２人目の素数さん
18/05/30 09:56:31.72 ddqYu1Wl.net
>>511
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
V(x,z) = (1/6)√(φ/2)･{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)･{(φφ/3)x + z}xx,
最大となるのは z = 0.2509325x のときで
BC = CD = x,
AB = DE = 0.5939827x,
AE = 1.2509325x,
CI = 0.8689665x,
S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
V = 2.104005x^3,
V / S^(3/2) = 0.07412278177
>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…
543:１３２人目の素数さん
18/05/30 10:09:10.39 ddqYu1Wl.net
>>514 訂正ｽﾏｿ
S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz －φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,
なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208， AE = 1.28405 となる。。。
544:イナ
18/05/30 17:10:49.78 HVx7wYPO.net
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
前>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}･xsin18°･(1/2)
={(3+√5)/4}x^2･(√5-1)/4･(1/2)
(√5+1)/16･(x^2)
S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1
V(x)=
V'(x)=0
台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。
545:イナ
18/05/30 17:39:59.82 HVx7wYPO.net
前>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ―……
546:イナ
18/05/30 21:55:18.04 HVx7wYPO.net
前>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)
547:１３２人目の素数さん
18/05/31 03:44:32.13 eo/xqWlC.net
そろそろ次の問題出していい？
548:１３２人目の素数さん
18/05/31 11:12:45.39 1i3xzGBS.net
三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積
{x + (3-√5)x/2}･x cos(18ﾟ)･(1/2)
= {(5-√5)/2}xx･√(10+2√5)/4･(1/2)
= √(50-10√5)/8･xx
= 0.6571639 xx,
549:イナ
18/05/31 12:03:08.39 oQbVMAkg.net
>>520台形の一辺が違ってましたか？
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか―。
前>>518