18/03/17 10:25:23.68 jS80gqxS.net
>>92
Sonntag する
ってそりゃ日曜日
101:１３２人目の素数さん
18/03/18 00:13:23.85 G0ywGEnh.net
>>96
もう日曜だが…
博多どんたく の語源はオランダ語の zondag.（日曜日）らしい
102:１３２人目の素数さん
18/03/18 00:28:53.70 G0ywGEnh.net
>>88
で、肝心の問題だが…
平衡３進法 とか云うらしい...
URLﾘﾝｸ(www5e.biglobe.ne.jp)
103:１３２人目の素数さん
18/03/18 13:46:22.49 NgzA8uOp.net
平衡3進法、
天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね
（天秤進法→）天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの
104:１３２人目の素数さん
18/03/18 14:04:54.73 sfYdIshh.net
↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。
数学というより、精神医学の話題なんじゃないの？
105:１３２人目の素数さん
18/03/18 23:28:02.32 kMHyRC84.net
>>98
ほー、そう呼ばれてるのか
勉強になったわ、サンクス
証明どうする？ 載せた方がいい？
上のサイトに比べたら大したものじゃないけど
106:１３２人目の素数さん
18/03/19 15:52:34.75 0pj/bapv.net
>>101
あくしろよ
107:１３２人目の素数さん
18/03/19 18:19:55.56 JXYilKRY.net
80.6 < Σ[k=1→24]√k < 80.65 を示せ
108:１３２人目の素数さん
18/03/20 00:15:22.04 E4ArtLi4.net
お待たせ
当時の俺はこんなので感動したもんだ
ちなみにmが最終的に0になることの証明してないけど自明の理だよな？
もしあれだったら数学的帰納法で頑張って
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
109:１３２人目の素数さん
18/03/20 00:45:44.86 /slNwo5u.net
x+1/3 を普通に３進展開するだけなんじゃないの？
110:１３２人目の素数さん
18/03/20 04:43:15.16 3dlcpbYb.net
mより大きな111...1[3]を、mに加えて三進法表示し、2→1、1→0、0→-1 とすればいいだけだろ
111:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:04:38.68 HDkQdBLp.net
>>103 （右）
y=√x は上に凸だから
√k > ∫[k-1/2，k+1/2] √x dx,
（与式）> ∫[1/2，24+1/2] √x dx
=［（2/3）x^(3/2）］（x=1/2，49/2)
=（2/3)(7^3 - 1)/(2√2）
= 57√2
= 80.610173
積分計算を避けたいなら、
AM-GM より
(kk -1/4)^3 ≧ kk･(kk -3/8)^2,
｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
= 9k/4,
√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。
112:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:33:56.73 HDkQdBLp.net
>>103 (左)
y=√x は上に凸だから
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx,
(与式) < 1 +√2 +√3 +（1/2)√4 + ∫[4，25] √x dx -（1/2)√25
= 2 +√2 +√3 +［（2/3）x^(3/2）］(x=4，25) - 5/2
= 2 +√2 +√3 +（2/3)(125-8） -5/2
= 80.6462644
113:１３２人目の素数さん
18/03/20 05:54:38.66 HDkQdBLp.net
〔問題〕
（2√6 + 5)/2 < ∫[24，25] √x dx,
を用いて
√6 < （485/6)/33 = 2.449494949…
を示せ。
114:１３２人目の素数さん
18/03/20 07:17:04.24 HDkQdBLp.net
〔応用問題〕
不等式
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx, >>108
を用いて次を示せ。
(2) √2 < 99/70 = 1.41428571… (k=8)
√2 < 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
√2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)
(3) √3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)
(5) √5 < 2889/1292 = 2.236068111… (k=80)
(6) √6 < (485/6)/33 = 2.4494949… (k=24)
(7) √7 < 2024/765 = 2.645751634… (k=63)
(10) √10 < 117/37 = 3.16216216… (k=9)
√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)
(11) √11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)
(17) √17 < 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 < 882/145 = 6.08275862… (k=36)
115:１３２人目の素数さん
18/03/20 10:22:23.02 axJ93PPR.net
問題を作ってみた
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
116:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:30:10.64 GpBOW+61.net
>>111
そんな難しい問題を解けるやつはこの板にいない
117:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:32:28.91 jDobQb51.net
>>112
その手には乗りませんよ、ザーボンさん
118:１３２人目の素数さん
18/03/20 14:41:21.16 E4ArtLi4.net
>>111
1枚目は行けそう
119:１３２人目の素数さん
18/03/20 20:01:34.88 GpBOW+61.net
>>114
それはそう
行けそうというか見ただけでいける
ただ2と3が難しい
(1)
|z||1-kw|=|w|
k|w-1/k|=|w|
1/kが表す点をAとする。wはOAをk:1に内分する点と外分する点をそれぞれ直径の両端とする円周上にある。
(2)
PQ=|z-w|=k|w|
また(1)より、
wの中心はk/(k+1)(k-1)、
半径は1/(k+1)|k-1|
したがって、
|w|の最大値
=k/(k+1)|k-1|+1/(k+1)|k-1|
=1/|k-1|
|w|の最小値
=|k/(k+1)|k-1|-1/(k+1)|k-1||
=1/(k+1)
以上より、
PQの最大値=k/|k-1|
PQの最小値=k/(k+1)
120:１３２人目の素数さん
18/03/20 23:21:38.16 eXRt6Wpn.net
大学学部レベル質問スレ 10単位目 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:647番)
nを正の整数、X={x_1,x_2,...,x_{2n+1}}を実数からなる(多重)集合とする。
Xから任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの
組に分けることができるならば、x_1=x_2=…=x_{2n+1} である。
121:１３２人目の素数さん
18/03/21 03:15:09.46 Y0EoMfqc.net
>>110
kが平方数のときは、不等号が逆向きでござる。
(2) √2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
(10) √10 > 117/37 = 3.16216216… (k=9)
(17) √17 > 268/65 = 4.123076923… (k=16)
(37) √37 > 882/145 = 6.08275862… (k=36)
122:１３２人目の素数さん
18/03/21 12:36:42.69 MWb2EIvX.net
>>116
Xが生成する加法群をYとおくと、Yは捩れなし有限生成アーベル群であるからZ^m(Zは整数全体からなる加法群、mはある非負整数)と同型。
したがって、x_1=…=x_{2n+1}でないならば、群準同型f:Y→ZであってfによるXの像f(X)が単元でないようなものが存在する。
x'_i=f(x_i-x_1) (i=1,…,2n+1)とおくと
X'={x'_1,x'_2,…,x'_{2n+1}} (⊂Z) も X と同様の性質を持つが、
S-x'_i (ただしS=x'_1+…+x'_{2n+1}) が全て偶数にならなければならないので、x'_iの偶奇は全て一致する。x'_1=0 は偶数であるから、他の全てのiについてもx'_i は偶数。
これより、 x''_i=(x'_i)/2 とおけば
X''={x''_1,x''_2,…,x''_{2n+1}} (⊂Z) もXと同様の性質を持つ。無限下降法よりx_1=…=x_{2n+1}でなければならない。
123:１３２人目の素数さん
18/03/21 23:09:48.08 GQh1Fn+G.net
R^n の微分式ωで、R^nの全ての平行移動で不変なものω を決定せよ。
124:１３２人目の素数さん
18/03/21 23:16:51.36 NaAK8rgB.net
(a/p) を平方剰余記号とする。
(1) (123/769) の値を求めよ。
(2) (1234567/987654323) の値を求めよ。
(3) (a/p) の値を求めよ。ただし、a, pの値は以下とする。
a = 289589985200426886037189479736335834688462115581329068039
p = 579179970400853772074378959472671669376924231162658136139
125:１３２人目の素数さん
18/03/22 00:44:22.48 T9JdKZ5e.net
>>119
微分形式？平らじゃんR^n
126:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:28:08.85 Qvak/x+C.net
>>111
2枚目は、分かスレ４４１-603，608-609 を参照
(1)
f(x) -（ax+b) =（1-a)x + log{1 + e^(-2x)｝+ b,
∴ a = 1， b = - lim［x→∞］log{1 + e^(-2x)｝= 0,
(2)
左 シュワルツ不等式で
(x +1/2)･log(1 +1/x）= ∫[x，x+1] u du・∫[x，x+1］1/v dv >｛∫[x，x+1] du}^2 = 1,
右
GM-AM より
1/x - 1/(x+1）= 1/(x(x+1)）<｛1/x + 1/(x+1)}/{2√(x(x+1))｝= -｛1/√(x(x+1))} '
あるいは、√(x(x+1)）- x は単調増加ゆえ
1 <｛√(x(x+1))} '
1/x - 1/(x+1) = 1/(x(x+1)）<｛√(x(x+1))} '/(x(x+1)）= -｛1/√(x(x+1))} '
x～∞で積分して
log{(x+1)/x｝< 1/√(x(x+1)),
なお、x → e^(2x）とすれば
2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝< log{1 + e^(-2x)｝< e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝
(3) e^x･dx = dθ/(cosθ)^2, より
∫[0，p］e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝dx = ∫[π/4，arctan(e^p)］1/(sinθ)^2・cosθdθ
= ［ -1/(sinθ）](θ：π/4～arctan(e^p)）
= √2 - √{1 + e^(-2p)}
→ √2 - 1 （p→∞）
(4)
∫ 2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = -log{2 + e^(-2x)},
∫[0，∞］2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = log(3）- log(2）= 1.098612 - 0.693147 = 0.405465
S(∞）= ∫[0，∞］log｛1 + e^(-2x)｝dx = 0.4112335
√2 -1 = 0.41421356
127:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:40:23.13 tjCH61Ex.net
>>120
(1) 320^2≡123 (mod 769) より 1
以下ヤコビ記号を使用する。すなわちbが奇数の合成数のときb=pb'なる素数pについて(a/b)=(a/p)(a/b')
(2) (1234567/987654323)=-(723/1234567)=(406/723)=-(203/723)=(114/203)=-(57/203)=-(32/57)=-1
(3) (a/p)=-(61/a)=-(57/61)=-(4/57)=-1
128:１３２人目の素数さん
18/03/22 01:41:25.13 Qvak/x+C.net
>>111
3枚目
∠ACB = θ とおく。
AC > AB > 0 より 0 < θ < π/2,
デカルト座標（x，y）を以下のようにとる。
A (0，0)
B (2 sinθ，0) AB = 2 sinθ,
C (0，2 cosθ) AC = 2 cosθ,
D (AD cosθ，AD sinθ) AD = 2 AC sinθ = 2 sin(2θ),
E (2 sinθ，2 cosθ) AE = BC = 2,
F (2 sinθ，2(sinθ)^2 /cosθ)
G (2 sinθ，1/cosθ) FG = {1-2(sinθ)^2}/cosθ = cos(2θ)/cosθ,
直線AD： y = x tanθ,
直線BE： x = 2 sinθ,
直線CD： x/tan(2θ）+ y = AC = 2 cosθ,
以上により
△AFG = (1/2) AB FG = tanθ・cos(2θ）=（√T)(1-T)/(1+T),
ここに T =（tanθ)^2， （0<T<1)
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 （黄金比と云う）を使うと
（5φ -8)(1+T)^2 - T(1-T)^2 =（φ-T)(T+3-2φ)^2 ≧ 0,
∴（△AFG)^2 = T（1-T)^2/(1+T)^2 ≦ 5φ -8 = 0.090170
∴ △AFG ≦ √(5φ -8）= 0.300283
等号成立は T = 2φ-3 = √5 -2 = 0.236068 のとき。
cos(2θ）= 1/φ =（√5 -1)/2 = 0.618034
θ = arctan(√T）= 0.452278447 (rad) = 25.91 (ﾟ)
129:１３２人目の素数さん
18/03/22 09:47:30.38 vsUNKHqP.net
>>116
x_1からx_{2n+1}の中の最大値をM、最小値をmとする。
全ての元にTを加えた、X'={x_1+T,x_2+T,...,x_{2n+1}+T}という多重集合も、
「X'から任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの組に分ける」
ことができなければならない。
さて、X'において、ある元を除き、和が等しくなるようにn個ずつ分けた組の合計は、
下限がn*(m+T)、上限がn*(M+T)となるが、T >> M の様なケースを考えれば、下限、上限ともに、
n*Tが支配的な量になることから、X'の元の s 個の和 ＝ X'の元の r 個の和 → s = r となる必要がある。
ところで、Tとして、(-1)*x_1 を考えると、(少なくとも)一つの元が0なので、
その元の加算は、和に影響を与えないので、左辺側にこの元が含まれると、
X'の元の n-1 個の和＝X'の元の n 個の和 ；（左辺側にこの元が含まれる）
という事が起こる。この矛盾を回避するためには、「n 個の和」と思っていた物も、実質「n-1 個の和」
と等しければよく、これは、x_1と同じ値を持つ物が、右辺側にも含まれていることを意味する。
取り除く元としてx_1を選んだとき、どちらかのグループに、x_1と同じ値を持つ元が有るので、反対の
グループには、さらに、x_1と同じ値をもつ元がなければならない。
以下同様に、x_1と等しい元が、奇数個ある事が確認できている場合には、値不明の元を取り除く元として選び、
x_1と等しい元が、偶数個ある事が確認できている場合には、x_1と同じ値を持つ物を取り除く元として選べば、
順次、x_1と等しい新しい元の存在が確認でき、最終的に全ての元が、x_1と等しくなければならないことが示される。
130:１３２人目の素数さん
18/03/22 12:59:12.35 2lfOCr3y.net
次の条件を満たすn次正方行列の固有値を全て求めよ。
1≦m≦nを満たす全ての整数mについて第m行の行ベクトルは0が連続してn-m個並ぶその右に1/mがm個並んだものである。
131:１３２人目の素数さん
18/03/22 13:41:36.02 P81vFYvQ.net
矛盾してないから回避は不要。
132:１３２人目の素数さん
18/03/22 18:26:09.42 vsUNKHqP.net
あ．．．、思い込みでミスってました。>>125は取り下げます。
133:１３２人目の素数さん
18/03/23 06:31:35.32 EuazrwzR.net
>>126
+1，-1/2，+1/3，… ，(-1)^(n-1) /n.
134:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:01:04.90 EuazrwzR.net
Le Veque の定理（1952)
x-y = 1 のとき
x^m - y^n = 1 …(1)
を満足する2以上の自然数解は x=3，y=2，m=2，n=3 に限る。
・カタラン予想に x-y=1 の制限を付加したもの。
・カタラン予想そのものは 2004年にミハイルスクにより証明された。
数セミ増刊 「数学 100の定理」 日本評論社（1984） p.104-105
数セミ増刊 「数学・物理 100の方程式」 日本評論社（1989） p.20-21
135:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:04:16.33 EuazrwzR.net
>>130
数セミ増刊 「数学 100の問題」 日本評論社（1984） p.104-105
136:１３２人目の素数さん
18/03/23 07:07:00.80 EuazrwzR.net
(略証)
x = y+1 を (1) に入れると
(y+1)^m - y^n = 1,
ym +1 ≡ 1, (mod yy)
y｜m … (2)
また
y = x-1 を (1) に入れて
x^m - (x-1)^n = 1,
(-1)^n (nx-1) ≡ 1, (mod xx)
nは奇数 かつ x｜n ∴ xも奇数 … (3)
(2)(3) より、yは偶数、mも偶数。
m=2r とおくと、
x^m -1 = x^(2r) -1 = (x^r +1)(x^r -1),
右辺の２因子はともに偶数で、その差が2だから、
一方は 2×奇数、他方は 4の倍数。 …(4)
y = (x-1)｜(x^r -1) より
gcd(x^r +1，y) = gcd(x^r +1，x-1) ≦ gdc(x^r +1，x^r -1) = 2,
x^r +1 が 奇素数pの倍数ならば yもpの倍数、gcd(x^r +1，y) も2pの倍数となり、矛盾する。
x^r +1 は２ベキである。
2^a = x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 = y ≧ 2,
a > 1,
(4) より
x^r -1 = 2×奇数,
y = 2K, （K：奇数) とおくと (1) より
(2K)^n = y^n = x^m -1 = (x^r +1)(x^r -1) = 2^(a+1)･K^n,
a = n-1,
2^(n-1) = x^r +1 > x^r -1 = 2･K^n,
2 > K,
K = 1,
y = 2K = 2,
x = y+1 = 3,
3^r -1 = 2K より r=1,
3^r +1 = 2^(n-1) より n=3. (終)
H．B．Yu (1999) による。数セミ，38巻，6号（1999/June)
137:１３２人目の素数さん
18/03/23 08:32:20.36 03VcA1CL.net
>>129
証明はどうでしょう
138:１３２人目の素数さん
18/03/25 19:22:44.00 ANQoupJJ.net
横須賀の高校生、スマホの通信速度を10倍にする新技術を発明
ｽﾚﾘﾝｸ(poverty板)
139:１３２人目の素数さん
18/03/26 21:19:56.09 IKnRwfdR.net
p、q、r を相異なる素数とするとき、[x/p] + [x/q] + [x/r] = x の実数解 x の個数を p、q、r を用いて表せ。
140:１３２人目の素数さん
18/03/27 05:37:52.70 H3+XdNyv.net
>>135
p<q<r とする。
(2, 3, 5) = 30, {0,6,10,12,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,31,32,33,34,35,37,38,39,41,43,44,47,49,53,59}
(2, 3, 7) = 42, {0,-6,-12,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}
(2, 3, 11) = 14, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-12,-14,-15,-16,-17,-19,-23,-25}
(2, 3, 13) = 12, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13,-14,-15,-16,-17,-19}
(2, 3, 17) = 8, {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13,-19}
(2, 3, r) = 7, (19≦r) {0,-6,-8,-9,-10,-11,-13}
(2, 5, 7) = 8, {0,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-11}
(2, 5, r) = 5, (11≦r) {0,-4,-5,-6,-7}
(2, q, r) = 3, (7≦q<r) {0,-4,-5}
(3, q, r) = 3, (5≦q<r) {0,-3,-4｝
(p, q, r) = 2, (5≦p<q<r)｛0,-3｝
かなあ。
141:１３２人目の素数さん
18/03/27 23:45:01.17 Pc4avu0S.net
素数関係ないな。
142:１３２人目の素数さん
18/03/27 23:51:18.51 e+rcH4+R.net
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
143:１３２人目の素数さん
18/03/28 00:14:07.38 6Bea2jrG.net
>>4
アホくさ
(1)
(ⅰ)正三角形を含む場合
AB=BC=CA=yと置く
DA,DB,DCの内2つは等しい
DB=DCと置く
DはBCの垂直二等分線に在る
(ⅰ-1)DA=yの場合
DBCが頂角30度の二等辺三角形の形の答えと、凧型の答えを得る
(ⅰ-2)DB=y の場合(自動的にDC=y)
1つの候補はDとAが重なり、もう1つの候補から内角60度の菱形という1つの答えを得る
(i-3)何方でも無い場合 DA=DB=DC
DがABCの重心に在る場合という1つの答えを得る
(ⅱ)正三角形を含ま無い場合
AB=AC=x, BC=yと置く
DA,DB,DCのうち2つは等しい
(ii-1)DB=DCの場合
DB=DC=yだと正三角形ができるのでDB=DC=xの場合を考えれば良い
更にAD=xだとABDが正三角形なのでAD=yを考えれば良い
ABDCが正方形という1つの答えを得る
(ii-2)DA=DB の場合
同様にDA=DB=yの場合を考えれば良い
DC=yだとDBCが正三角形なのでDC=xを考えれば良い
辺の長さから△BAC≡△ACD
ACを底辺と扱うと点B,DのACからの距離は同じなのでBD//AC
故に4点は等脚台形を為す
対角線が長い方の平行辺と長さが等しい図という答えに至る
(2)
A,B,C,Dが与えられた時のEの候補は次の2つに分けられる
・EA=EB=EC の場合のような場合3点の外接円(4種類)
・EA=EB, EC=EDの場合2点と2点に分けて垂直二等分線の交点(3種類)
と考えて全部を検討するのが漏れなく其れなりに効率良さそうな1つの考え方だ
ABCDが正方形の時だけは対辺の垂直二等分線が一致し点が定まらず、更に長さを考えるか、或いは視点を変えてBCDEも又(1)の形を為すと要求すると不可能であると分かる
(3) BCDEFも(2)の形を為すと要求するとF=Aと成るしか無く不適
144:１３２人目の素数さん
18/03/28 04:54:36.75 v6aRBv4c.net
p≡1 (mod 4) のとき 1
p≡-1 (mod 4) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p-1)/2}
p≡±1 (mod 8) のとき 1
p≡±3 (mod 8) のとき -1
これをまとめると、(-1)^{(p^2-1)/8}
----------------------------------------------
問題. (1)～(4)のそれぞれについて、(-1)^x の形で表せ。
(1)
p≡1,3 (mod 8) のとき 1
p≡-1,-3 (mod 8) のとき -1
(2)
p≡±1 (mod 5) のとき 1
p≡±2 (mod 5) のとき -1
(3)
p≡1,3,7,9 (mod 20) のとき 1
p≡-1,-3,-7,-9 (mod 20) のとき -1
(4)
p≡±1 (mod 12) のとき 1
p≡±5 (mod 12) のとき -1
145:１３２人目の素数さん
18/03/28 23:36:57.84 rYPiNLPi.net
そろそろ>>62の正解
初等幾何の諸定理より（リンク先参照）、n=kのときの明るさはn=k-1のときと等しく、
後ろ向きの帰納法を用いると、任意のnのときの明るさは(π^2)/4である。
また、無限に大きい円の場合、観測者が受ける光の明るさは、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-5,-3,-1,1,3,5,…の点にある光源から受ける光の明るさα」と同等である。
よって
α = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t-1)^2 = (π^2)/4
すなわち奇数の二乗の逆数和は(π^2)/8に収束することが導ける。
更に、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-6,-4,-2,2,4,6,…の点にある光源から受ける光の明るさβ」は、逆二乗則より「数直線上の原点にいる観測者が、…,-3,-2,-1,1,2,3,…の点にある光源から受ける光の明るさγ」の1/4になるになるはずである。
γ=α+β=(π^2)/4+(1/4)γよりγ=(π^2)/3, β=(π^2)/12
よって
β = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t)^2 = (π^2)/12
γ = 2Σ[t=1,∞] 1/(t^2) = (π^2)/3
すなわち
偶数の二乗の逆数和は(π^2)/24に収束し、
自然数の二乗の逆数和は(π^2)/6に収束する（バーゼル問題）。
146:１３２人目の素数さん
18/03/28 23:37:59.71 rYPiNLPi.net
物理学で対応する事象を用いたバーゼル問題の初等的・幾何的・直感的な証明は今世紀に入ってから発表されたものである。
論文
URLﾘﾝｸ(www.math.chalmers.se)
動画
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
147:１３２人目の素数さん
18/03/29 11:59:27.65 ihUI7uvJ.net
a,bを自然数とする。a^2+b^2をa+bで割った商をq、余りをrとすると、q^2+r=1977が成り立つという。
(a,b)を全て求めよ。
（もちろんq,rは非負整数でありr<a+b）
ヒント：r<2qを示せて、q,rが確定する。
148:１３２人目の素数さん
18/03/29 12:48:02.60 MHic9gzf.net
>>143
qq+r = 1977，r<2q から q=44, r=41 が確定する。
aa+bb = 44(a+b) +41，a+b>r=41 から｛a，b｝=｛7，50｝｛37，50｝
149:１３２人目の素数さん
18/03/29 17:31:24.50 ihUI7uvJ.net
>>144
解答は合ってるけどさすがにダメ
150:１３２人目の素数さん
18/03/29 19:20:38.00 9DT8+Pw9.net
うむ、大事なのは過程だ
151:１３２人目の素数さん
18/03/29 22:45:57.64 /OSBVUz8.net
>>4
>>139
許される距離がm種類だったり、空間にしてみたり拡張を考えたくなる
できるかは別として
152:１３２人目の素数さん
18/03/29 23:54:31.17 ihUI7uvJ.net
>>143
(a+b)q+r=a^2+b^2≧(a+b)(a+b)/2よりq≧(a+b)/2-r/(a+b)≧(a+b)/2
∴2q≧a+b>r
q^2+r=1977で2q>rを満たすのは(q,r)=(44,41)のみである。
このときa^2+b^2=44(a+b)+41⇔(a-22)^2+(b-22)^2=1009
1009は2平方数の和では(±15)^2+(±28)^2, (±28)^2+(±15)^2とのみ表されるから
(a-22,b-22)=(15,28),(-15,28),(28,15),(28,-15) （∵a-22≧-21, b-22≧-21）
よって(a,b)=(37,50),(7,50),(50,37),(50,7)
一昔前（1977年）の数オリだけど、難問揃いの近年では考えられないくらい簡単
153:１３２人目の素数さん
18/03/30 00:07:07.17 Bx07PAfT.net
簡単と言いながら間違える。
154:１３２人目の素数さん
18/03/30 16:45:22.96 9jey3GD7.net
>>55
(1) E.T. the Extra-Terrestrial 『E.T.』
(2) The Matrix 『マトリックス』
(3) Velocity
(4) Leaving Las Vegas 『リービング・ラスベガス』
(5) La La Land 『ラ・ラ・ランド』
(6) 12 Monkeys 『12モンキーズ』
(7) Pi 『π』
(8) Dr. No 『007 ドクター・ノオ』
(9) Seven 『セブン』
(10) Home Alone 『ホーム・アローン』
(11) The Green Mile 『グリーンマイル』
(12) The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring 『ロード・オブ・ザ・リング』
(13) Catch Me If You Can 『キャッチ・ミー・イフ・ユー・キャン』
(14) Gravity 『ゼロ・グラビティ』
(15) All the Money in the World 『ゲティ家の身代金』
(16) The Da Vinci Code 『ダ・ヴィンチ・コード』
(17) 2001: A Space Odyssey 『2001年宇宙の旅』
(18) Dial M for Murder 『ダイヤルMを廻せ!』
(19) Signs 『サイン』
(20) 8 Mile 『8 Mile』
有力な別解
(3) Speed 『スピード』
reddit.com/r/math/comments/815ojr
155:１３２人目の素数さん
18/04/01 00:24:31.04 VCG34iJE.net
(0,1),(1,1)を結ぶ曲線のx軸周りの回転体の表面積の最小値を求めよ.
156:１３２人目の素数さん
18/04/01 00:28:40.25 VCG34iJE.net
>>151
ごめんなさいミスです
(0,0),(1,1)を結ぶ曲線です
157:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:15:57.53 noFB9/4S.net
>>151
適当にサイクロイドと予想しておく
158:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:39:38.11 VCG34iJE.net
>>153
違います
159:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:40:18.92 noFB9/4S.net
>>154
有名な曲線になる？
160:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:41:16.70 VCG34iJE.net
>>155
名前は付いてるよ
161:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:42:08.50 noFB9/4S.net
>>156
じゃあアステロイド
162:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:42:46.67 VCG34iJE.net
>>157
違うかな
日常でも良く現れる曲線です
163:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:43:08.83 noFB9/4S.net
ごめんな解くのがめんどいんだわ
解くのが面白い問題じゃないだろうし、ひたすら計算って、問題としてはつまんねーし
164:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:43:33.79 noFB9/4S.net
>>158
カテナリー
これ以上はレスやめとくわ
165:１３２人目の素数さん
18/04/01 01:44:58.65 VCG34iJE.net
>>159
まあ計算ゲーではあるけども
厳密にそれが最小解であることを証明するのはかなり高度な抽象論必要だし面白いと思う
>>160
そうです
166:１３２人目の素数さん
18/04/01 02:24:24.08 yIshEAEB.net
有名ナリー
167:イナ
18/04/01 17:17:42.23 +Kemoei8.net
＿人人＿/＿/＿/＿/＿/
（＿^_)_/＿/＿/＿/＿/
_((-_-)_/＿/＿∩∩＿/
_(っц)~/＿/_(^) )_/
_(`γ)＿/＿/_,U⌒ヽ_/
＿υυ＿/＿/(＿＿＿)/＿/＿/＿/＿/＿/＿/UU/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/要はろくろだろ。扇形なら小さくなるし、放物線なら大きくなるし、指数関数にすればもっと大きくなるんじゃない？
168:１３２人目の素数さん
18/04/01 17:55:01.26 kw1PD5xS.net
101頭の牛がいてどの牛も体重は整数㎏である
どの1頭を除いても残りの100頭を総体重が等しい50頭ずつのグループに分けることができる
このとき全ての牛の体重は同じであることを示せ
169:１３２人目の素数さん
18/04/01 23:17:44.11 Sq5gTv4H.net
3人の女性A,B,Cがいる。
この3人は、
100%本当のことを言う正直者
50%の確率で本当のことを言う気まぐれ
0%の確率で本当のことを言う嘘つき
が一人ずつであるが、あなたは誰がどれに対応するかはわからない。
女性間では誰がどれに対応するかわかっている。
あなたは彼女らに｢はい｣、｢いいえ｣で答えられる質問を2回行う。
2回目の質問で｢はい｣と答えさせることができればあなたの勝ちである。
2回の質問をどう行うと�
170:ﾇいか？ ただし、各質問は一人ずつにしか行えない。
171:１３２人目の素数さん
18/04/02 00:56:48.50 66IqDDyK.net
１回目：Aさんに質問
「もしあなたに『Bさんは気まぐれですか』と尋ねたら『はい』と答えますか」
２回目：１回目の答えが「はい」の場合はCさんに、「いいえ」の場合はBさんに質問
「あなたは正直者ですか」
１回目の質問で「少なくとも気まぐれではない１人」を探すのがポイント。
気まぐれでさえないことがわかっていれば、事実を聞き出したり特定の答えに誘導するのは簡単。
172:１３２人目の素数さん
18/04/02 01:21:42.33 ZjjiJzGw.net
>>166
お見事。
論理の2回反転で嘘つきを正直者にする解法ですね。
エイプリルフールなので出してみました
あ、エイプリルフールが終わってしまったようですw
173:１３２人目の素数さん
18/04/02 10:00:45.81 rDlRBZ4q.net
>>164
整数kgの101頭の牛に於いて同じ体重であるもの同士を同じグループとして分類せよ
全ての牛の体重が同じであることは無いとすれば2グループ以上に分類できる筈である
n(n≧2)グループに分類されたとせよ
其々のグループの牛の体重を
A[i]kg(i=1,2,3,…,n)とせよ
則ちA[n]>A[n-1]>…>A[2]>A[1]の大小関係が従う
D[i]=A[i+1]－A[i](i=1,2,3,…,n－1)とせよ
D[i]の最小値をmとし、其の時のi(かつiの中でも最小であるもの)をpとせよ
m|{D[i]|i=1,2,...n-1}
今グループA[p]の牛の1頭Xを除いて100頭の牛が総体重が等しい50頭ずつのαグループとβグループに分かれていたとせよ
此処でXの代わりにグループA[p+1]の牛の1頭Yと入れ替え、Yを除く100頭の牛の牛を総体重が等しい50頭ずつのグループに分ける操作を考えよ
Yを除外する前にYはαグループに存在していたとせよ。単純にYとXを交換しただけなれば、則ちグループαの総体重がmだけ減る
2つのグループの総体重を均衡させるにはグループαの総体重をm/2kg増やし、グループβの総体重をm/2kg減らすことが必要…★
αとβグループで牛を交換する操作で此れを行う必要があるが、A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍, 則ちαグループ、βグループ間でいくら牛を交換した所で★は達成され得無い
故に全ての牛の体重は同じである
174:１３２人目の素数さん
18/04/02 10:30:56.56 qydp8iS9.net
IMO系統の問題だね
175:１３２人目の素数さん
18/04/02 19:51:00.50 UtRAneS5.net
>>168
A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍というのが何故言えるのかが分からないです
176:１３２人目の素数さん
18/04/02 22:04:17.89 ZjjiJzGw.net
>>170
確かにmの整数倍で無い
mより大きな体重差の牛を入れ替えてm/2kgの体重差を±し均衡させることは不可能という流れだろう
177:１３２人目の素数さん
18/04/02 22:30:49.48 ZjjiJzGw.net
>>168
いや、論理が破綻していた様だ
178:１３２人目の素数さん
18/04/04 00:46:02.74 f//H+LBj.net
>>164
ちょっとだけ一般化。
問題
2n+1枚のカードが有り、全てに正整数が書かれていていて
どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。
この時、全てのカードには同じ正整数が書かれていることを示せ。
解答
2n+1枚の和が奇数の時、和の合計から、偶数が書かれているカードがあるとすれば、
偶数枚でないといけないが、取り除くカードとして偶数のカードを選んだとき
「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」
ができないから、和が奇数の時は、全てのカードは奇数で無ければならない。
2n+1枚の和が偶数の時も同様の理由から、全てのカードは偶数でなければならないことがわかる。
和が正で、奇数の時は、全てのカードから１を減じ、偶数の時は、２で割る。この操作を繰り返しても、
「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」という性質は
維持される。１を減じるか、２で割る、という操作を繰り返すと、いつかは必ず、０に到達する。
これは、最初に書かれていた正整数が、全て等しかったことを意味する。
179:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:18:28.03 EmPoqxOk.net
>>152
曲線の式を y=f(x) とする。
曲面の表面積は S[f] = ∫[0,1] 2πf(x) √{1 + [f'(x)]^2} dx,
これは
Ｌ[f，f'] = 2πf(x)･√{1 + [f '(x)]^2},
を Lagrangian とする変分問題。
S[f] = ∫[0,1] Ｌ[f，f '] dx
を f(x) で変分すると、
δS[f] = ∫[0,1] δＬ dx
= ∫[0,1] {(∂L/∂f)δf +(∂L/∂f')δf'｝dx
= ∫[0,1] {(∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f')}δf dx + [ (∂L/∂f')δf ](x=0,1)
↑ 部分積分した。
f(0) と f(1) が固定されていて δf= 0（x=0，x=1）のときは右辺第２項は０
任意の変分 δf に対して 右辺第１項が０となることから、
（∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f ') = 0, … Euler-Lagrange方程式
本問では
f(x）f "(x） - ｛f '(x)}^2 = 1,
により、懸垂曲面（カテナリー）
180:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:19:38.47 KWWHvJS5.net
x^2 ≡176 (mod 353) を解け
181:１３２人目の素数さん
18/04/04 01:39:21.53 EmPoqxOk.net
>>175
176 ≡ 529 = 23^2 (mod 353)
x ≡ 23，330 (mod 353)
182:１３２人目の素数さん
18/04/04 07:19:54.51 xFWQXFxC.net
>>174
その微分方程式の一般解はf(x)=Acosh((x+B)/A)になると思うけどどんなA,Bに対しても(0,0)は通らなくね？
183:１３２人目の素数さん
18/04/04 09:11:37.84 E749QQfH.net
(0,0)-(1,0)-(1,1).
最小値π。
184:１３２人目の素数さん
18/04/04 11:07:27.37 vqWKdTt9.net
>>173
素晴らしいです！
この問題が載ってた本の解答では、最軽量の牛の体重を全ての牛から引いて体重0㎏の牛1頭と100頭の牛にするという手法でした
185:１３２人目の素数さん
18/04/04 12:21:21.04 DuTnz6IW.net
>>165
誰にでもいいから2回目に「あなたはこの質問に正直に答えますか」で良くないか？
186:１３２人目の素数さん
18/04/04 19:20:46.19 EqC9nuEi.net
>>8
近大数コン問題2つの解説
競争に参加するには去年から事前申し込みが必要になった
[24-437]
2005年A4
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
[23-937,24-30]
2009年A6
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
本は『白熱！無差別級数学バトル』
競技数学、趣味数学の本として面白いので買おう（ダイマ）
187:１３２人目の素数さん
18/04/05 01:41:09.43 nYP4IxmW.net
>>181
なんて本？
188:１３２人目の素数さん
18/04/05 01:41:36.09 nYP4IxmW.net
追記を見逃してた。すまんかった
189:１３２人目の素数さん
18/04/05 05:22:21.39 tNZmVP8T.net
x^4 ≡7 (mod 19) を解け。
190:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:20:46.75 HpOHoLwn.net
>>140
これ、x を p の有理数係数多項式で表す問題だと思ってたんだけど
それでは(2)が不可能であることが証明できてしまった。
（ちなみに(1)は、上の例をずらして x=((p-2)^2-1)/8 でできる。）
以下、分母が奇数であるような分数として表せる有理数全体の集合を U とし、
2U={ 2u | u ∈ U } とする。
すなわち、2U は分母が奇数、分子が偶数であるような分数として表せる有理数全体の集合である。
[補題]
f(x) を有理数係数多項式とすると、十分大きい正整数 k が存在して、
任意の整数 n に対し f(n+2^k)-f(n) ∈ 2U が成り立つ。
[証明]
f(x) が単項式の場合:
f(x)=ax^d とおく。
a*2^k ∈ 2U となるような正整数 k をとる。
すると、
f(n+2^k)-f(n) = a{(n+2^k)^d-n^d} = a*2^k*(整数) ∈ 2U
となる。
f(x) が一般の多項式の場合:
各項に対して上のような k をとり、その最大値をとればよい。□
[命題]
x が p の有理数係数多項式であると�
191:ｫ、>>140の(2)は成り立たない。 [証明] f(p) を p の有理数係数多項式とし、 p≡±1 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=1 p≡±2 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=-1 が成り立つと仮定する。 f(p) に対し、補題のように k をとる。 5a + 2^k*b = 1 を満たすように整数 a,b をとる。すると 5a + 1 + 2^k*b = 2 である。補題より、 f(2) - f(5a + 1) = f(5a + 1 + 2^k*b) - f(5a + 1) ∈ 2U である。一方、仮定より f(2) は奇数、f(5a + 1) は偶数であるから、 f(2) - f(5a + 1) は奇数であり、f(2) - f(5a + 1) ∈ 2U に反する。 □
192:１３２人目の素数さん
18/04/05 13:21:12.21 HpOHoLwn.net
で、有理数係数多項式以外で何かしら綺麗に表す方法がないか探した結果、
一応次のようなものがあった。
x=(cos(2pπ/5)-cos(2π/5))/(cos(4π/5)-cos(2π/5))
ただ、これを許してしまうと(3),(4)も三角関数と多項式補完の組み合わせですぐにできてしまうので
なんだかなあという感じ。
193:１３２人目の素数さん
18/04/05 23:21:09.59 DTitQ5x8.net
>>184
x^4 ≡ 7 ≡ 7 + 19*126 = 2401 = 7^4 (mod 19)
(x+7)(x-7)(xx+49) ≡ 0 (mod 19)
-49 ≡ 8 は平方非剰余なので
x ≡ ±7 (mod 19)
194:１３２人目の素数さん
18/04/06 22:34:30.05 hYTmrE4N.net
一辺1の正n角形の各辺（頂点除く）に1点ずつとって作ったn角形の周長をl(n)とする。
3/2≦l(3) （Fagnanoの問題の特別な場合）
2√2≦l(4) ［『美しい不等式の世界』 演2.59］
3√3≦l(6) ［『美しい不等式の世界』 演2.60］
を示せ。
195:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:33:38.40 ozKr5R4w.net
>>188
正n角形の頂点をA_i、辺A_i A_{i+1} 上にとった点をB_i とする。（i=1,2,…,n）
∠A_i = π - 2π/n,
B_{i-1｝A_i = x，A_i B_i = y とおくと、
第２余弦定理より
（B_{i-1｝B_i)^2 = xx + yy +2cos(2π/n）xy
= {cos(π/n)・(x+y)}^2 + {sin(π/n)・(x-y)}^2
≧｛cos(π/n)・(x+y)}^2,
（x+y）cos(π/n）≦ B_{i-1｝B_i ≦ x+y,
１周にわたって和をとれば
n cos(π/n）≦ I(n) ≦ n,
・別解
参考書のp.189の図に示されているように、辺に関する鏡映を使う。
・参考書
佐藤淳郎（訳）『美しい不等式の世界』朝倉書店(2013)
196:１３２人目の素数さん
18/04/07 11:47:52.45 ozKr5R4w.net
>>188
等号成立条件（左側）は x=y より
nが奇数のとき … B_i は A_i A_{i+1｝の中点
nが偶数のとき … 互い違いに並ぶ
197:１３２人目の素数さん
18/04/07 14:57:33.20 CMb00bLi.net
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
198:１３２人目の素数さん
18/04/08 05:24:00.36 EiOPZE4m.net
(1) p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、gがpの原始根ならば、-gもpの原始根であることを示せ。
(2) p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、2はpの原始根であることを示せ。
(3) Σ[k=1 to 2001] k^(2001) を13で割った余りを求めよ。
199:￥
18/04/08 06:25:22.19 Q7nh09vl.net
￥
200:￥
18/04/08 06:25:43.36 Q7nh09vl.net
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201:￥
18/04/08 06:26:02.55 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:26:23.73 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:26:51.24 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:27:22.72 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:27:50.60 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:28:17.09 Q7nh09vl.net
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18/04/08 06:28:38.67 Q7nh09vl.net
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208:￥
18/04/08 06:29:05.31 Q7nh09vl.net
￥
209:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:05:46.90 3IHyrdU+.net
>>192の続き
(4) 2^n + n^2 (n∈N、n≧2)が素数ならば、n≡3 (mod 6) を示せ。
(5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | m を示せ。
(7) 1111^6666 + 2222^5555 + 3333^4444 + 4444^3333 + 5555^2222 + 6666^1111 を7で割った余りを求めよ。
210:１３２人目の素数さん
18/04/09 22:22:00.84 uw9d+xOY.net
24|(a-b).
211:１３２人目の素数さん
18/04/10 10:55:04.05 Hhk3lh1l.net
24|
212:n.
213:１３２人目の素数さん
18/04/11 01:14:00.27 ixEOJ+I8.net
>>192
(1)
フェルマーの小定理 g^(p-1）≡ 1（mod p）より g^{(p-1)/2｝= ±1（mod p)
gがＦpの原始根 ⇔ g^{(p-1)/2｝≠ 1（mod p）⇔ g^{(p-1)/2｝≡ -1（mod p)
題意より p≡1 (mod4)，(-1)^{(p-1)/2｝= 1 だから、(-g)^{(p-1)/2｝= g^{(p-1)/2}
(2) p ≡ ±1 (mod 8）のとき2は平方剰余だからＦpの原始根でない。しかし
p ≡ ±3（mod 8）のとき2は平方非剰余だがＦpの原始根とは限らない。｛2^14≡1（mod 43)}
(3)
k^2001 = k^(12*166)・k^9 ≡ k^9 (mod 13)
Σ[k=0,13-1] k^9 = 0^9 + Σ[k=1,6] {k^9 + (13-k)^9} ≡ Σ[k=1,6] (k^9 - k^9) = 0 (mod 13)
Σ[k=0,2001] k^9 = Σ[k=0,13*154-1] k^9 ≡ 0 (mod 13)
214:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:11:52.51 qdN2rXjI.net
偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/2=1）
偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/4+1/4=1）
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは不可能（∵1未満になる）
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは不可能（∵同上）
奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/3+1/3+1/3=1）
相異なる奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】）
相異なる奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは【C】（【D】）
215:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:19:04.46 ixEOJ+I8.net
>>203
(4) 2^n は偶数だから nは奇数に限る。
n = 6m±1 のとき、2^n + n^2 ≡ 8 + 1 = 9 (mod 12) ゆえ3の倍数。
∴ n = 6m+3.
(5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
24｜(a-b)
(7)
1111^6666 ≡ 1111^0 = 1,
2222^5555 ≡ 3^5 ≡ -2,
3333^4444 ≡ 1^4 = 1,
4444^3333 ≡ (-1)^3 = -1,
5555^2222 ≡ (-3)^2 ≡ 2,
6666^1111 ≡ 2^1 = 2 (mod 7)
より、3
216:１３２人目の素数さん
18/04/11 02:23:45.86 ixEOJ+I8.net
>>208 訂正
(5)
1以外の正則元は位数が2
217:１３２人目の素数さん
18/04/11 15:27:22.39 BsknsPEs.net
>>203
死んでお詫びを。
誤 (6) 24 | m を示せ。
正 (6) 24 | n を示せ。
218:１３２人目の素数さん
18/04/12 10:08:16.60 TgaFEakF.net
>>8 >>181
〔類題〕
3^k + 4^l + 5^m = 6^n を満たす非負整数の組 (k，l，m，n) をすべて求めよ。
(3,3,3,3) (3,1,1,2) (0,1,0,1)
219:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:16:06.76 TgaFEakF.net
>>181 の続き
Aが大阪市 の場合
θ_A = 35．69ﾟN
φ_A = 135．50ﾟE
大円Oの法線ｎは、
経度φ_A = 135．50ﾟE、南緯54．31ﾟS の海面を向く。
大円Oの方程式は ｎ・ｒ = 0,
経度φの経線上では
|φ-φ_A| ≦ 90ﾟ のとき 北緯 Arctan(γcos(φ-φ_A)) N
|φ-φ_A| ≧ 90ﾟ のとき 南緯 Arctan(-γcos(φ-φ_A)) S
をとおる。ここに、γ = tan(θ_A) = tan(35．69ﾟ) = 0．7184
220:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:23:48.18 TgaFEakF.net
>>212 修正
Aが大阪市 の場合
θ_A = 34．69ﾟN
大円Oの法線ｎは、… 南緯55．31ﾟS の海面を向く。
ここに、γ = tan(θ_A) = tan(34．69ﾟ) = 0．69225
221:１３２人目の素数さん
18/04/12 15:47:43.51 FlEPV0Tu.net
>>207
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/4+1/6+1/18+1/36=1
A:不可能、B:分母を払えば左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾するため。
C:可能。D:1/1=1. もしくは 1=(1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/105)(1/1+1/11)+1/385+1/495+1/693.
222:１３２人目の素数さん
18/04/12 17:15:57.35 Mo9lTPQZ.net
>>214
確かに
相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表す
相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表す
は両方可能ですね…
なぜか2のべきの逆数を考えていました
A,B,C,D正解
Dは9個の和である
1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1
を用意していた
223:￥
18/04/14 04:54:24.84 bAtIsTge.net
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18/04/14 04:54:43.45 bAtIsTge.net
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￥
233:１３２人目の素数さん
18/04/14 23:00:50.00 EFpCaC7z.net
奇数の完全数Xは平方数にはならないので、すべての約数の個数が偶数個になる。だから、X自身以外の約数の和は完全数だからXであり、それをXで割れば、各項は分子が1で分母が奇数の和であり、合計は1になる。つまり、この奇数個の相異なる奇数の逆数の和は1になる。
だから、奇数個の相異なる奇数で逆数の和が1になるものを見つけたければ奇数の完全数を見つけてくれば簡単に求まる。
楽勝だな。
234:１３２人目の素数さん
18/04/15 04:31:16.64 fBnHdB0x.net
今この板で話題のネタはNG
235:１３２人目の素数さん
18/04/15 05:26:49.63 daJLkWTC.net
>>227
今元気な奇数の完全数屋がいたのかｗ
236:１３２人目の素数さん
18/04/15 11:22:36.90 LGgAg+xm.net
Σ[n=1～∞] 1/(n^2 -n -1) の値を求めよ
237:１３２人目の素数さん
18/04/15 14:33:10.20 MMDE1Y6Y.net
>>229
n^2-n-1はn=1/2で対称なのでΣ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=(1/2)Σ[n=-∞,∞]1/(n^2-n-1)
f(z)=πcot(πz)/(z^2-z-1)と置いて
(1-i)(N+1/2),(1+i)(N+1/2),(-1+i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2)を頂点とする正方形の周囲を
反時計回りに回る積分∫[C]を考えると、留数定理より
∫[C]f(z)dz = Res[z=(1-√5)/2]f(z)+Res[z=(1+√5)/2]f(z)+Σ[n=-N,N]Res[z=(1-√5)/2]f(z)
=-πcot(π(1-√5)/2)/√5+πcot(π(1+√5)/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
=-2πtan(π√5/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1)
ここでN→∞とすると、C上で|f(z)|=O(1/N^2)だから|∫[C]f(z)dz|→0
したがって
Σ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=πtan(π√5/2)/√5
238:１３２人目の素数さん
18/04/15 15:26:52.87 ZO3/JPf/.net
>>229
a>0 として
Σ[n=1,∞] 1/{nn-n+(1/4-aa)}
= Σ[n=1,∞] 1/{(n-1/2-a)(n-1/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1,∞] {1/(n-1/2-a) - 1/(n-1/2+a)}
= (π/2a)tan(πa),
239:１３２人目の素数さん
18/04/15 21:21:21.49 ZO3/JPf/.net
>>231 (蛇足)
S(a) = Σ[m∈Z] 1/(m -k/2 -a) ｛|m| の小さい順にたす｝
= (π/2a)tan(πa) (a>0)
= ππ/2 (a=0)
a>0，k∈Z として
Σ[n=1，∞] 1/{nn-kn+(kk/4-aa)}
= Σ[n=1，∞] 1/{(n-k/2-a)(n-k/2+a)}
= (1/2a)Σ[n=1，∞] {1/(n-k/2-a) - 1/(n-k/2+a)},
k=1 のとき
= S(a),
k<1 のとき
= S(a) - Σ[m=0，|k|] 1/(m+k/2-a),
k>1 のとき
= S(a) + Σ[m=1，k-1] 1/(m-k/2-a),
240:１３２人目の素数さん
18/04/16 04:41:29.91 0tJfbhfE.net
ストローに穴はいくつある？
0？1つ？2つ？
241:１３２人目の素数さん
18/04/16 15:52:07.44 Cr9cwYX2.net
>>203
> (5) x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
>>208
> (5) ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素）
> 正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2
> aa ≡ bb ≡ 1 (mod 24)
> 24｜(a-b)
解答の３行目から、いきなり４行目の結論が出せるん？
３行目から、(a+b)(a-b) ≡ 0 (mod 24) が得られて、
そこから a-b ≡ 0 (mod 24) って言えるの？
法24に対して零因子になっていることはないのかな？
242:１３２人目の素数さん
18/04/16 16:00:26.90 gRqM/Sq4.net
>>234
そもそも問題間違ってない？
a=b=x=1のとき
x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N)
だけど
24 | a+b
にならん希ガス
243:１３２人目の素数さん
18/04/16 21:05:56.06 Cr9cwYX2.net
n∈N に対して、θ= {(n-1)!+1}π/n とおく。大括弧 [・] はガウス記号とする。
(n-2)*[(cosθ)^2] + 2 の値を求めよ。
244:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:09:49.08 I9VNB52o.net
>>234
ab ≡ 1 (mod 24)
だから
b ≡ (ab)b ≡ a(bb) ≡ a (mod 24)
a ≡ a(ab) ≡ (aa)b ≡ b (mod 24)
>>236
n：素数のとき n,
n：合成数のとき n - (n-2)sin(π/n)^2
245:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:17:35.60 Cr9cwYX2.net
>>236-237
nが合成数のときの答えが2になっているんだけど、なんでだろうね。数蝉2018.04,P.53
246:１３２人目の素数さん
18/04/16 22:58:14.46 pituM4NW.net
>>236は結局(n-1)!+1がnの倍数になるのはいつか聞いてるだけやね。Wilsonの定理ですな。
247:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:07:50.97 Cr9cwYX2.net
(n-1)!+1がnの倍数でないときは、なんで [(cosθ)^2]=1 になるのが分からんぷー
248:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:16:06.04 Cr9cwYX2.net
すまん、勘違いしていたわ。
249:１３２人目の素数さん
18/04/16 23:44:20.37 c/5dDqUx.net
半径r(>1)の円の周に中心をもつ半径1の円があるときこの2円の中心距離をrから少しずつ近づけていったときd(r)縮めたときに初めて2円の共通部分の面積が半径1の円の半分になったものとしてd(r)を定める。rd(r)の極限を求めよ。
なる問題を考えたのですがこれはsinxの3次マクローリン展開による不等式を用いれば1/6と分かりました。
この問題はrとd(r)のみの多項式による関係式が得られないことから角度を置くなどすることが難しい問題なのですが、この問題を球体で考えたらどうだろうかと思いまして、しかしすぐに球体なら簡単にπ(1-x^2)の積分でrとd(r)の関係が得られるではないかと考えました。
しかし実際には計算がかなり煩雑になってしまいました。どなたか解決してくださりませんか。この場合rの何乗のオーダーかも分かりません。
250:１３２人目の素数さん
18/04/17 00:23:18.43 OpQZlM6R.net
>>242
r→∞っすか？
251:１３２人目の素数さん
18/04/17 01:27:06.21 /l7sQR/P.net
1/4っぽい？
252:１３２人目の素数さん
18/04/17 02:44:39.60 +pEnOXwO.net
>>203
元ネタを見つけた。
数学発想ゼミナール１ 問3.2.16(c)(d)、第24回シュプリンガー数学コンテスト
(5)の仮定はx≡-1 (mod 24)、(6)の結論は24 | n に訂正。
(5) x≡-1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。
(6) m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | n を示せ。
253:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:31:36.63 JZUi2LJv.net
1998年3月号出題の数セミの問題持ってる人おる？
254:１３２人目の素数さん
18/04/17 03:32:06.84 JZUi2LJv.net
エレ解の問題
255:１３２人目の素数さん
18/04/17 07:52:11.47 6etcvRbG.net
{x}をxの小数部とするとき以下の値を求めよ
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
256:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:16:41.30 694dv6ED.net
>>243
はい
257:１３２人目の素数さん
18/04/17 09:43:20.28 d+hbLPaY.net
>>249
中心距離ってrジャン
258:１３２人目の素数さん
18/04/17 10:53:29.39 +pEnOXwO.net
>>245
むかしシュプリンガーの公式サイトで、秋山仁が全30回のシュプリンガー数学コンテストをやってて、
シュプリンガーがHPページリニューアルした後も、数学コンテストの解答解説を残していたけど、
いまみると、HPすら存在しないがな
259:１３２人目の素数さん
18/04/17 11:47:27.80 qz99Mxbe.net
>>248
1-γっぽい
260:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:34:26.23 PQyFkARt.net
>>252
正解っぽい
1-γ = 0.4227843350984671393935
261:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:50:17.86 KM09+lmI.net
>>248
正の整数mが n≧m+1 を満たす時、
(1/n)Σ[k=1,n]{n/k}
=(1/n)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦n/k<t+1](n/k-t) + (1/n)Σ[k: 1≦k≦n/(m+1)]{k/n}
=(1/n)Σ[t=1,m](∫[n/(t+1),n/t](n/x-t + (n/[x]-n/x)dx +O(1)) + O(1/m) (O(1)は積分区間の端点のズレ補正。すなわち絶対値は一様に2以下)
=log(m+1) - Σ[t=1,m]1/(t+1) +O(m)+O(n/m).
mは任意であったから、m=[√n] (n≧2) 等と定めればこの式のn→∞での極限は 1-γ. (ただしγはオイラーの定数)
262:１３２人目の素数さん
18/04/17 12:52:44.16 +pEnOXwO.net
p=4n+1 (n∈N)をみたす素数pに対して、以下を証明せよ.
(1) 1, 2, …, 2n の中に, 法 p の平方剰余と平方非剰余が n 個ずつ存在する。
(2) 1, 2, …, 4n における法 p の平方剰余の中には, 偶数と奇数が n 個ずつ存在する。
263:１３２人目の素数さん
18/04/17 14:17:53.48 5Ioo4LVI.net
>>255できた。
以下(x/p)を平方剰余記号, A={k | (k/p) = 1}, B={k | (k/p) = -1}として(-1/p)= 1だから
#A∩[1..2n] = #A∩[-2n,-1], #B∩[1..2n] = #B∩[-2n,-1] かつ #A∩[-2n,2n] = #B∩[-2n,2n] = 2nにより(1)を得る。
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とA∩{2,4,…,2n]とA∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#B∩{2,4,…,2n]=#B∩{-2n,…,-4,-2]=nである.
(2/p) = 1のときはA∩[1,2n]とB∩{2,4,…,2n]とB∩{-2n,…,-4,-2]とはxと2xと-2xを対応させてすべてn元とわかる。同様に#A∩{2,4,…,2n]=#A∩{-2n,…,-4,-2]=nである。
264:１３２人目の素数さん
18/04/17 23:34:48.83 sz8bxIx6.net
>>233
位相幾何学ではストローもドーナツもCDもネックレスも穴は1つ
265:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:02:57.92 zfuntLnI.net
穴は1つしかないから（格言）
266:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:12:39.98 cm2lWraW.net
3秒ほど考えた
便所荒らし糞ホモの考えですね
267:１３２人目の素数さん
18/04/18 00:26:23.03 3HkyYObn.net
（ホモロジーだけに）
268:１３２人目の素数さん
18/04/18 13:51:13.89 aemp1B+Z.net
p を素数とする。
整数 a は p の倍数でなく、ある x, y∈Z を用いて p = x^2 - ay^2 と表される。
このとき、a は p の平方剰余であることを示せ。
269:１３２人目の素数さん
18/04/18 14:57:48.83 OD1LF7hc.net
>>261
p|yならp|xとなりv_p(右辺) ≧ 2> 1 = v_p(左辺)より矛盾。よってyはpの倍数でないからx/yはp進整数。このときa = (x/y)^2 (mod p)。
270:１３２人目の素数さん
18/04/18 23:13:26.55 oFXOQpXp.net
>>260
いや、ホモ次郎だが…
271:１３２人目の素数さん
18/04/19 03:31:19.65 gkRveId7.net
>>192 (2) を弄ってみた
(2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
272:１３２人目の素数さん
18/04/19 12:19:25.95 ZpgZ64DJ.net
>>264
できた。
Fqの乗法群Gは位数2pの巡回群だから2が原始根でなければ2^2≡1(mod q)であるか2^p≡1(mod q)のいずれかである。
前者ならq=3であるが仮定に反する。
後者なら準同型写像f,g:G→Gをそれぞれ2乗,p乗の写像としてker g = im fと2+qZ∈ker gにより2が平方剰余となりq≡1,7 (mod 8)となる。
一方p≡1,5(mod 8)よりq≡3,5 (mod 8)となり矛盾をえる。
273:１３２人目の素数さん
18/04/19 21:07:55.93 gkRveId7.net
gcd(15,n)=1 をみたす奇数 n に対して、Jacobi記号 (-15/n) = 1 となる n の条件を求めよ。
274:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:06:45.26 msDRzdq1.net
(-15/n) = (-1/n)(15/n)=(-1)^((n-1)/2)(3/n)(5/n)(-1)^((n-1)/2(15-1)/2)=(3/n)(5/n)以下ry
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
275:１３２人目の素数さん
18/04/20 01:32:21.65 FD/kSwMJ.net
>>248 の類題
aをbで割った余りをa%bと書くとき lim[n→∞](1/n^2)Σ[k=1,n]n%k を求めよ
276:１３２人目の素数さん
18/04/20 02:27:29.12 kp1G+YoD.net
2 以上の自然数 n に対して、n と互いに素で、n より小さな全ての自然数の算術平均を求めよ。
277:１３２人目の素数さん
18/04/20 04:36:18.70 8JvmETkN.net
n/2
278:１３２人目の素数さん
18/04/21 00:10:01.29 ZdHWeLtB.net
１－π＾２／１２。
279:１３２人目の素数さん
18/04/21 17:07:11.66 oKMSyftX.net
>>268
(約数の総和の1からnまでの和)/n^2の極限を1から引いたものになるね
これはどうやるのやらわからんが
280:１３２人目の素数さん
18/04/22 11:30:13.38 7rjXNdwL.net
>>268 >>271
1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n
281:１３２人目の素数さん
18/04/22 19:06:49.87 XmgrwCPE.net
>>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)
282:１３２人目の素数さん
18/04/22 23:03:16.50 P1+U9/oN.net
a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ
283:１３２人目の素数さん
18/04/23 09:05:17.63 WRc1u9WC.net
>>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？
284:１３２人目の素数さん
18/04/23 10:14:07.56 csHJcyqY.net
>>275
cot(θ/2) = (cosθ +1)/(sinθ +0) = cotθ + 1/sinθ = cotθ + √{1+(cotθ)^2},
と漸化式を見比べて
a[n] = cot(c/2^n)
= cot{π/2^(n+2)}, ｛←a[0] = cot(π/4)｝
∴求める極限は 4/π
285:￥
18/04/23 14:00:11.33 HBynUzNE.net
￥
286:￥
18/04/23 14:00:31.07 HBynUzNE.net
￥
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18/04/23 14:00:52.33 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:12.19 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:01:32.24 HBynUzNE.net
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18/04/23 14:02:34.01 HBynUzNE.net
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294:￥
18/04/23 14:03:14.91 HBynUzNE.net
￥
295:１３２人目の素数さん
18/04/24 13:22:19.46 imaaXaqT.net
単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
296:
18/04/25 00:12:48.01 Y0UXfQnX.net
>>288√3じゃないかな？
297:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:17:03.92 s9HOMEtU.net
>>289
不正解です
もっと短く出来ます
298:
18/04/25 00:20:21.67 Y0UXfQnX.net
前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3
299:
18/04/25 00:25:41.12 Y0UXfQnX.net
>>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291
それとも脚をななめらせろと？
300:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:31:52.28 s9HOMEtU.net
ちなみに答えは直線じゃないです
>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります
301:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:34:09.51 s9HOMEtU.net
正三角形というか120°に折れたY字というか
302:
18/04/25 00:36:28.57 Y0UXfQnX.net
素直にＴの字にします。
(与式)＝1＋2/3＝5/3
前>>292
1.66……＜√3 たしかに。
303:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:42:46.17 s9HOMEtU.net
>>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます
304:１３２人目の素数さん
18/04/25 00:43:05.10 CPKgHcHK.net
以下を証明せよ。
(1) 奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2) 奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).
305:
18/04/25 00:52:37.09 Y0UXfQnX.net
ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？
ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。
306:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:03:20.48 KoaEOy7E.net
>>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)
実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス
307:イナ
18/04/25 01:18:15.36 Y0UXfQnX.net
やっぱりＹ字のきわどい
308:パンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。 太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。 前>>298 (与式)＝x＋2y ＝1/3－(√3)/12＋2(√3/3) ＝1/3＋(7√3)/12 ≪(＜(5/3)＜√3) かなり小さい。
309:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:27:52.71 s9HOMEtU.net
>>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？
310:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:43:11.01 i3CGBkWM.net
>>296 >>300
y = √{(1/2)^2 + (4/3 - 2x)^2} （←等積条件）
x + 2y ≧ (8+3√15)/12 = 1.6349
x = 2/3 - 1/(4√15) = 2/3 - (tanδ)/4 = 0.60212
sinδ = 1/4,
311:１３２人目の素数さん
18/04/25 01:46:01.43 s9HOMEtU.net
>>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります
ただ曲線にするともっと短くなります
312:イナ
18/04/25 01:55:47.69 Y0UXfQnX.net
>>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3－(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12
313:１３２人目の素数さん
18/04/25 02:23:12.49 Q7D+oEWF.net
>>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623
314:イナ
18/04/25 03:00:37.62 Y0UXfQnX.net
やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)－ｒ
＝√2－2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2－2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2－2√(3π)/3π
＝{(π－2)√(3π)}/3π＋√2
315:イナ
18/04/25 04:45:57.16 Y0UXfQnX.net
前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)
316:１３２人目の素数さん
18/04/25 06:45:37.98 C3c2S/2O.net
>>305 が正解っぽい
左右の対称性を仮定して
J(f,λ)=2∫[0,1/2]√(f'(x)^2+1)dx+f(1/2)-λ(∫[0,1/2]f(x)dx-1/3)
の変分δJ(f,λ)=0を解くと
f(x)=√(1-x^2)+2/3-√3/4-π/6, λ=2
のとき極小値
J(f,λ)=2/3+√3/4+π/6
をとる
317:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:34:20.20 spy7pyf4.net
それができたら次は立方体でやってね
318:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:37:39.84 KwSfzGxO.net
>>305
>>308
おーすごい まさか一晩で解かれるとは
正解です
厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです
319:１３２人目の素数さん
18/04/25 07:45:41.00 KwSfzGxO.net
>>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです
320:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:56:04.91 CPKgHcHK.net
>>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
少し弄ってみた。
(2)’’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
321:１３２人目の素数さん
18/04/25 08:57:43.06 CPKgHcHK.net
>>312
訂正。
(2)’’ 素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
322:１３２人目の素数さん
18/04/25 10:33:13.41 qlUN5/CP.net
>>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。
323:１３２人目の素数さん
18/04/25 11:10:45.49 qlUN5/CP.net
>>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。
324:１３２人目の素数さん
18/04/25 15:03:46.70 CPKgHcHK.net
つまり、こうでござるな。
(2)’’’ p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない
325:１３２人目の素数さん
18/04/25 16:35:50.56 CPKgHcHK.net
p、qは奇素数で、pが 2^q -1 の約数ならば、2はpの平方剰余であることを示せ。
326:１３２人目の素数さん
18/04/25 17:02:41.21 +BsFnCRa.net
>>317
qはp-1の約数であるがqは奇数だから(p-1)/2の約数でもある。よって2^((p-1)/2)≡1(mod p)。
327:イナ
18/04/25 17:21:59.72 Y0UXfQnX.net
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝3
ｒ＝√3/√π
(つづく)
328:イナ
18/04/25 17:43:03.01 Y0UXfQnX.net
前>>319修正
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝1
ｒ＝1/√π
f(ｒ)＝15/16＋√π－1/(2√π)
ちがうか。
(答え)不思議なルートパイ
329:イナ
18/04/25 19:00:00.75 Y0UXfQnX.net
やっぱりπｒ^2＝1ではない。前>>320
シャボン玉を正方形のタイルの上で三個均等にくっつけるみたいなことか。タイルの形の影響で、分岐点からタイルの一辺までが垂直なら境界線は直線で、そうでないなら曲線になるんじゃないか。
シャボン玉の境界は辺に対してより垂直になろうとするんじゃないか。
＿
γ]
￣
330:イナ
18/04/25 21:09:49.78 Y0UXfQnX.net
正方形の土地をなるべく短い境界線で金をかけずに塀を作り三人の息子たちに分け与えたい父の気持ちを想像する。
「だれが曲線の塀などこしらえるものか。こっちは有り金をなるべくむだにしたくないんじゃ!!」父は言った。「直線や、直線や!!」
前>>321「まず長男に北側の一辺をやろう。次男は東側の一辺のうち北からaだけいったところに杭を立てよ。三男は西側の一辺のうち北からbだけいったところに杭を立てよ。次男と三男の境界は東からcのところに、
0＜a＜b＜c＜1/2
となるように杭を立てよ。正方形の土地のまん真ん中に杭を立て、あとは縄を張って地境を決めろ」
息子のだれかが計算した。
「ただの三連立の一次方程式やないか」独りごちながら。
a＝1/12
b＝1/4
c＝5/12
∴示された。
331:１３２人目の素数さん
18/04/25 21:48:01.05 BcUTTOXX.net
ナニコレ？
332:イナ
18/04/25 21:58:48.29 Y0UXfQnX.net
a＝1/12,b＝1/4,c＝5/12
前>>322補足。
長男と次男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/2－a)^2}
＝√{1/4＋(5/12)^2}
＝(√61)/12
長男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/4)^2}
＝√(1/4＋1/16)
＝(√5)/4
次男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/12)^2}
＝(√37)/12
境界線の合計＝(√61)/12＋(√5)/4＋(√37)/12
≒0.65＋0.559＋0.507
≒1.716
厳しいなぁ!! 縄ピンと張っても1.6台にならない。
333:イナ
18/04/25 22:11:32.58 Y0UXfQnX.net
>>323問題は>>288です。
最短の境界線1.6台が出てます。
前>>324
T字帯の1.66……よりも長いとは。
334:イナ
18/04/25 23:56:24.99 Y0UXfQnX.net
前>>325単位正方形の左下に半径ｒ、面積1/3の四分円を描く。
πｒ^2＝4/3
ｒ＝2/√(3π)≒0.65147
四分円の孤ABと右辺に直交するように孤MCを描くと中心角は最大π/4だと思う。
(弧の長さ×半径÷2＝扇形の面積)より、逆に面積×2を半径で割って境界線の長さを出す。
境界線AB＝(1/3)×2÷2/(√3π)
＝√π/√3
境界線ABとMCの最大値は作図によりこれの1.5倍と考えられる。
(√π/√3)×1.5
＝1.0233256……×1.5
＝1.5349884……
335:
18/04/26 00:07:50.72 TQ9j6XC/.net
前>>326訂正。
最大値→最小値
336:
18/04/26 00:23:24.70 TQ9j6XC/.net
1.5倍は感覚的ですが、
前>>327
式で書くと、
境界線の最小値
＝√(3π)/2
337:１３２人目の素数さん
18/04/26 00:50:30.83 ip5ulRQt.net
もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？
338:１３２人目の素数さん
18/04/26 08:00:01.14 3zpz03fU.net
解かれていない。
339:イナ
18/04/27 02:33:17.21 KVwn7NU0.net
Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328
340:イナ
18/04/27 03:14:53.35 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6
341:イナ
18/04/27 03:19:06.23 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!!
342:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:30:37.15 NFZEifrM.net
>>333
>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません
343:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:31:18.84 NFZEifrM.net
0.6→1.6でした
344:１３２人目の素数さん
18/04/27 09:48:01.79 X11p0gVK.net
数学じゃないやん
345:イナ
18/04/27 15:35:18.85 KVwn7NU0.net
三本の境界線を分岐点からXずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上にXの位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの面積(台形)＝{X＋(X＋a)}×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－2X―①
斜めの分割線について三平方の定理より、
(1/2)^2＋a^2＝X^2―②
①を②に代入して整理すると、
108X^2－192X＋73＝0
1/2＜X＜1に注意して、
X＝(16－√37)/18
3X＝(16－√37)/6
＝1.65287291……
前>>333
346:１３２人目の素数さん
18/04/27 16:17:47.03 v+crcbPI.net
等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？
347:イナ
18/04/27 17:53:53.21 KVwn7NU0.net
底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1－Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1－Y√3)＋π(1－Y√3)^2＝4
3X＋6Y－6√3･Y^2＋π－2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1－Y√3)/3
＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1－Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく)
348:１３２人目の素数さん
18/04/27 20:42:46.25 nJOWrXzq.net
1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。
349:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:00:23.04 H9W3Gi8S.net
>>340
[3^6/7]=104
350:イナ
18/04/27 21:24:55.98 KVwn7NU0.net
底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12－(1/2－X/√3)(1/2－X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/2･(1/2)^2－(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/8－(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12－(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8－π/12X＝2/3＋(√3)/4－π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278
351:１３２人目の素数さん
18/04/27 21:25:36.12 nJOWrXzq.net
>>341
正解です
解説はどなたかの希望があれば
352:１３２人目の素数さん
18/04/27 22:05:10.47 ldwAt9sW.net
>>343
定曲率になる解説をおながいしまつ
353:１３２人目の素数さん
18/04/28 11:41:45.00 9CKS2DSq.net
〔ウィア=フェラン予想〕
3次元空間を体積Vの泡に分割するとき、境界面積が最小になるのはウィア=フェラン構造（Weaire-Phelan structure)か？
D.Weaire & R.Phelan： Phil. Mag. Lett., ６９, p.107-110 (1994) "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces"
354:１３２人目の素数さん
18/04/28 12:22:19.38 9CKS2DSq.net
>>345
切頂８面体（ケルビン14面体）の境界面積は
S = (3/4){4^(1/3)}(1+√12) V^(2/3) = 5.3147397 V^(2/3)
Weaire-Phelan 構造の境界面積はこれより約 0.3% 小さい。
S = 5.30 V^(2/3)
355:１３２人目の素数さん
18/04/28 22:31:07.34 Q7JYuciE.net
岩波 数学公式IIIのp.2より引用の公式:
Γ(1/4)=2^(3/4)√π[(3/5)・(7/9)・(11/13)・(15/17)…]^(1/2)
は正しいか？もし誤りであれば誤りの原因を考察し訂正せよ。
356:１３２人目の素数さん
18/04/29 00:45:55.20 FNqzl5v2.net
>>347
無限積のところ０にいくなぁ
357:１３２人目の素数さん
18/04/29 01:50:32.50 FNqzl5v2.net
無限乗積表示
Γ(1/4) = 1/4e^(γ/4)Π((4m+1)/4m)e^(-1/4m)
Γ(3/4) = 3/4e^(3γ/4)Π((4m+3)/4m)e^(-3/4m)
と倍角公式
Γ(1/2) = Γ(1/4)Γ(1/4 + 1/2)/√(2π)
をうまくつかってΓ(3/4)を消去しようとして失敗したくさいねぇ。無限乗積はΠ((4m+1)/4m)とかΠ((4m+3)/4m)は各々単独では収束しないからあとのe^~と切り離せないのに。信じられんミスですな。
358:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:00:09.16 LZWvDOTX.net
>>347
岩波「数学公式I」p.229 を見ると
Γ(1/4) = 2 π^(1/4) √Ｋ(1/√2),
Ｋ(1/√2) = 1.85407467730137191843385034719526 (*)
Γ(1/4) = 3.625609908221908311930685155867672
(*) Ｋ(k) は第１種の完全楕円積分。
Ｋ(k) = ∫[0，π/2] 1/√{1 - (k･sinθ)^2} dθ
= (π/2){1 + Σ[r=1，∞] {(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^(2r) }
359:１３２人目の素数さん
18/04/29 02:57:34.53 FNqzl5v2.net
正しくΓ(3/4)を消去すれば
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/4m)/(1+1/2m)^3
ですな。
360:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:01:03.51 FNqzl5v2.net
訂正
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^3
361:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:14:07.86 FNqzl5v2.net
>>349の左辺も正しくは逆数ですね。
まぁまぁあうなぁ
gamma(1/4)^4,numer;
48*sqrt(2)*%pi*(product ((1+3/4/i)/(1+1/4/i)^3, i, 1, 10000)),numer;
(%o45) 172.7922660636603
(%o46) 172.7955056790521
362:１３２人目の素数さん
18/04/29 03:35:41.70 us7WqjTP.net
岩波の関係者見てるか～？
はよ改訂しろや
363:１３２人目の素数さん
18/04/29 10:14:34.00 n1kfIHw7.net
>>352
正解ですがsinの無限乗積を用いれば、もう少しきれいな形にできて
√2=2sin(π/4)=(π/2)Π(1-1/(4m)^2)
から√2を消去して
Γ(1/4)^4 = 24π^2 Π(1-1/(4m))(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^2
= 8π^2 (3/1)・(3/5)・(7/5)・(7/9)・(11/9)・(11/13)・(15/13)…
が得られ、これを1/4乗したのが訂正式だと思われます。
ここまでの式は正しいのですが、不用意に分母を1つずらして
二乗でくくってしまうと例の誤りの公式になります。
364:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:20:19.24 LZWvDOTX.net
>>341
フェルマーの小定理から
10「abcdef」-「bcdefa」= (10^6 - 1)a ≡ 0 (mod 7)
∴ ローテートしても剰余は変わらない。
（1000000は7の倍数でないから省いてよい）
365:１３２人目の素数さん
18/04/29 23:27:58.63 LZWvDOTX.net
>>356
まちがえた。
・剰余が0の場合はつねに0
・剰余が0でない場合は1～6を巡回する。
366:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:03:27.45 bKuKTDT2.net
>>357
それが示せたとしてちょうど７個に一個は７の倍数ってしめせる？
そもそも>>340は６桁以下である意味ほとんどないけど。１０桁以下でも[3^10/7]だよ。
367:１３２人目の素数さん
18/04/30 01:47:49.00 2V4BpPyt.net
>>340の話題まだ続いてたの？
「1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような数」の集合は
S_10={s|s=Σa_i・10^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦10^6}となるが、この集合は
S_3={s|s=Σa_i・3^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦3^6}と、同一の有限数列{a_i}を持つ要素同士での一対一対応がある。
(S_10とS_3のいずれの定義でも、異なる{a_i}に対してsの値が異なるから)
また、10≡3 (mod 7) だから Σa_i・10^i≡Σa_i・3^i (mod 7) であり、これらのことから、S_10 と S_3 に含まれる7の倍数の個数は等しい。
S_3 は1以上3^6以下の自然数の集合となる。したがって、S_3 に含まれる 7 の倍数の個数は[3^6/7]個。
S_10 に含まれる 7 の倍数の個数もこれと等しく[3^6/7]=104個。
368:１３２人目の素数さん
18/04/30 07:45:47.91 unf6uQw9.net
>>347 の類題まだあるようです
岩波 数学公式IIIのp.13、Eulerの定数γの積分表示
γ = ∫[0,1] log|log t|dt
は正しいか？
369:IQの低い人
18/04/30 13:55:59.72 tdDKI26q.net
数学公式なんて必要なの
インターネットでじゅうぶんじゃないの？
370:１３２人目の素数さん
18/04/30 15:31:22.71 unf6uQw9.net
一般化して考えると、人間の発見した数学の知識は本にする必要があるか？
電子化してしまえば便利で使い勝手が良いではないか？
という質問になると思うけど、難しい質問ですね。
371:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:06:10.16 i8B+Bi+E.net
人類の紙離れハードコピー離れの問題とか言った方がいいのでは
372:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:16:13.98 9GopzljD.net
そりゃ書籍なんてどんどん厚くなってくわけだし
OEISみたいにとっとと電子化した方がよい
373:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:28:40.42 YkZppX/u.net
電子化に「頼り切った」場合、データが吹っ飛んだ場合の復旧は大丈夫なのか。
紙なら数百年は持つが。
374:１３２人目の素数さん
18/04/30 16:31:07.19 1Sw4S+sv.net
今日の朝日新聞にそんな記事が出ていたような
375:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:39:39.75 lihGKJI8.net
>>365
データ構造とか
資料と知識ある人が亡くなれば
ブラックボックス化してしまうよな
376:１３２人目の素数さん
18/04/30 20:43:00.98 mYEYW+f+.net
そういえばCOBOLみたいな化石言語を使える後継者がいなくて、システムの維持が困難だとかあるらしいね
377:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:22:05.39 EyjNbgxA.net
卒業アルバムをCD-ROMで配布したら数十年後にはみんな読めなくなってるみたいな
378:１３２人目の素数さん
18/04/30 21:51:16.80 f2DvPYO1.net
>>360
は数値計算させてみると
romberg(exp(-x)*log(x),x,0.01,1)+romberg(exp(-x)*x,1,500)+501*exp(-500),numer;
%gamma,numer;
(%o51) －.005043828410193907
(%o52) .5772156649015329
でo51＞∫[0,1] log|log t|dt
だから全然ダメっぽいけど何をどう間違ったのかはさっぱりわからんorz
379:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:04:36.48 f2DvPYO1.net
あれ？wikipediaにはいけるって書いてある？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
380:１３２人目の素数さん
18/04/30 22:07:54.94 f2DvPYO1.net
ああ、>>360は-抜けてるだけか。
381:１３２人目の素数さん
18/05/01 14:57:49.96 hppQFjS3.net
1≦k≦nをみたすkのうち2^(k-1)の最高位が4であるものの数をx_nとして(x_n)/nの極限を求めよ
東大模試の問題ですが良く分かりません
382:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:28:47.57 nlXx+nQ6.net
>>373
有名な問題で2ch5chでもよく見かける
問題文でググれば解説が出てくるがとりあえず一つだけ挙げとこう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp:443)
383:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:36:24.87 QQuzwbBg.net
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,
1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288
1048576,2097152,…
（2^10≒10^3は有名）
帰納的に
10^(3n)≦2^(10n)<10^(3n)+10^(3n-1)
を示すとか
384:１３２人目の素数さん
18/05/01 15:38:52.55 QQuzwbBg.net
>>374
ほぇ＾～
385:１３２人目の素数さん
18/05/01 17:37:49.16 0rV/A0yL.net
>>373
なんとなくだけど
常用対数でlog(5/4)じゃない？
log2が無理数だから、n･log2の小数部は0以上1未満の間の値を均等にとる。それがlog5とlog4の間にある確率を出せばよい
386:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:37:42.45 Be837sS1.net
>>373
なに使っても良いならそれですな。いわゆるワイルの一様分布定理。blog n/log10 の小数部は[0,1)で一様に分布する。でも最高位が4の場合はそんな難しいもん使わなくても解けるというのがミソですな。受験数学なら意味あるけどねぇというやつですな。
387:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:43:23.06 Be837sS1.net
>>360に丸一日悩んでしまった。Γ(s)=∫[0,∞]x^(s-1)exp(-x)dxの両辺微分してs=1放りこんでるだけかorz。まぁおかげでいい勉強になった。
388:１３２人目の素数さん
18/05/01 18:53:28.81 ZkkSxFx4.net
>>379
正解です。単純な問題で申し訳ない。
おそらく著者はlogに絶対値をつけるときに符号を勘違いしたのではないかと推察。
389:１３２人目の素数さん
18/05/01 19:01:06.79 ZkkSxFx4.net
以下の収束性を
390:議論し、収束するなら収束値を求めよ。 (1) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(n^2) (2) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(2^n)
391:￥
18/05/01 21:22:44.32 o9N8stUi.net
￥
392:￥
18/05/01 21:23:04.37 o9N8stUi.net
￥
393:￥
18/05/01 21:23:24.69 o9N8stUi.net
￥
394:￥
18/05/01 21:23:44.15 o9N8stUi.net
￥
395:￥
18/05/01 21:24:03.34 o9N8stUi.net
￥
396:￥
18/05/01 21:24:22.61 o9N8stUi.net
￥
397:￥
18/05/01 21:24:43.50 o9N8stUi.net
￥
398:￥
18/05/01 21:25:04.24 o9N8stUi.net
￥
399:￥
18/05/01 21:25:23.88 o9N8stUi.net
￥
400:￥
18/05/01 21:25:46.53 o9N8stUi.net
￥
401:１３２人目の素数さん
18/05/02 13:52:22.80 A6AlBBbL.net
既出かもしれないけど
袋のなかに赤玉６球、白玉７球、黒玉８球入っている。一球ずつ順に取り出す。
黒玉が他の色より一番先にすべて取り出される確率を求めよ。
402:１３２人目の素数さん
18/05/02 18:24:28.84 cDk91oHu.net
>>392
29/105
403:１３２人目の素数さん
18/05/02 21:52:14.72 fjHvbvCm.net
>>393
御名算
404:１３２人目の素数さん
18/05/03 00:12:28.96 TIOaAmH9.net
{a[i]}は自然数の無限列である(i=0,1,2,...)
或るs∈ℝが存在し、任意の自然数iに於いて
0<a[i]-a[i-1]≦sが従う
此のとき、任意のn∈ℕに於いて
a[i]の相異なるn個の要素で等差数列が作れることを示せ
405:１３２人目の素数さん
18/05/03 01:13:02.60 CZ0Fa01r.net
>>381
(1)
Σ[n=0，∞] (-1)^n x^(nn) = {θ_4(0，x) - 1}/2 → -1/2 (x→1-0)
ここに
θ_4(a，x) = Π[k=1，∞] {1 - x^(2k)} {1 - ｅ^(2ai)･x^(2k-1)} {1 - e^(-2ai)・x^(2k-1)}
はヤコビの楕円テータ函数
406:１３２人目の素数さん
18/05/03 04:56:51.43 yXlJeHv9.net
>>394
以下自然数の全体Nのm個の同値類に分けたとき各自然数の属する類を色とよぶ。
van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数k,mに対して、或る正の整数N(k,m)が存在して次が成り立つ: N≥N(k,m)なる任意の整数Nに対して、1からNまでの整数をどのようにm色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さkの等差数列が存在する。
URLﾘﾝｸ(integers.hatenablog.com)
条件を満たす自然数列a[n]をとりf(n) = min{c|c+n = a[i]∃i}、C_c = {n | f(n) = c}とおけば N = C_0 ∪…∪ C_[s]である。任意のkに対してvan der Waerdenの定理よりいずれかのC_cは長さkの等差数列をもつがその各々の項にcを加えた列はa[i]の項からなる。
407:１３２人目の素数さん
18/05/03 09:51:47.13 xQqmo4zy.net
>>395
これはどうでしょう？
ai-a(I-1)は当然整数なので条件より取り得る値は1,2…［s-1］,［s］のいずれか
iは無数の値をとるので鳩の巣原理より
ai-a(I-1)がある同じ値をとるiは無数のに存在する
よって題意は示された
408:１３２人目の素数さん
18/05/03 10:35:01.85 PQNVo0sN.net
>>398
だめ。
a[2j-1] = 2^j
a[2j] = 2^j + 1
と定めればa[i] - a[i-1] = 1となるiは無限にあるけど、a[i]が含む等差数列の長さは４以下。
409:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:17:06.31 CZ0Fa01r.net
>>395
URLﾘﾝｸ(jmoss.jp)
JMO夏季セミナー → 問題コーナー → 第45回（2011/4/10～2011/5/10）解説
410:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:46:01.38 TIOaAmH9.net
うーん
ちょっと本質からずれた質問しますが
これもしvan der Weardenの定理を全く知らなかったら
どんな答案になりますか？
定理自体、色っていう概念使ってて知らないとできないから
そういう前提下だとどういったものになるのかなぁと
411:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:50:08.28 umDHhDvC.net
(1)内角が全て等しく、辺の長さが全て整数の素数角形は必ず正多角形となることを示せ.
(2)任意の4以上の合成数nに対して、内角は全て等しくて辺の長さは全て整数であるが、正多角形ではないn角形が存在することを示せ.
412:１３２人目の素数さん
18/05/03 22:58:02.34 PQNVo0sN.net
>>401
どうなんだろうねぇ？色云々は単なる説明に “雰囲気” を出す為に持ち出されただけであんまり本質的な意味はないと思う。平たく掛けば
――
N = A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n
なる分割(disjoint でなくとも良い)をあたえればいずれかのA_iはいくらでも長い等差数列を含む。
――
と色なんて言葉を持ち出す必要はない。ただ>>397のサイトの証明では証明の概念を直感的に理解しやすいように “色” だの “車輪” だのの言葉をつかってるだけ。
まぁこの定理使わないで力技でもできるとは思うけど、割と使いまわせそうな定理だから素直に “へぇ、こんな定理あるんだ” でいいと思う。力技にも興味はあるけど。
413:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:13:12.65 PQNVo0sN.net
>>402
(1)pを素数とし各頂点の外角が2π/pで各辺の長さa_i(0≦i≦p-1)が整数であるものをとる。(ただしa_iは正の向きに順に図ったものとする)
ζ=exp(2π/n)、f(x) = Σa_i x^i とおけばf(ζ)= 0である。よってf(x)はx^(p-1)+…+1で割り切れるからa_iはすべて等しい。
(2)nを合成数としpをその素因子とする。
a_i = 1 (p|i),
=2 (otherwise)
として辺の長さが正の向きに順にa_iで外角の大きさがすべて2π/nの多角形をとればよい。
414:１３２人目の素数さん
18/05/03 23:36:50.04 CZ0Fa01r.net
>>402
(2)
n = k ･ L (k≧2，L≧2)
とする。
内角は全て π - 2π/n とし、
辺の長さは任意の自然数 m_1, m_2, m_3, …, m_k をL回繰り返す、とする。
L回対称
415:１３２人目の素数さん
18/05/04 17:40:57.93 35MdHy9b.net
>>399
・公差が１のとき
{a[i]} はある a[2j-1] と a[2j] を含む。（または、a[2] と a[3] を含む。)
{a[i]} は i=1～4 または長さ2以下。
・公差が2以上のとき
a[k "] < a[k] < a[k '] が長さ3の等差数列だったとする。
a[k] - a[k"] ≦ a[k] - a[1] = a[k] - 2,
また、a[k'] - a[k] > 1 から
a[k'] - a[k] ≧ a[k+1] - a[k] = a[k] - 1,
したがって
a[k'] - a[k] ≧ a[k] - 1 > a[k] - 2 ≧ a[k] - a[k"],
となり矛盾する。
416:１３２人目の素数さん
18/05/05 05:01:24.50 cos8i+vX.net
>>406 (修正)
・公差が2以上のとき
……
k " < 2j < k ' のとき
a[k '] - a[2j] ≧ a[2j+1] - a[2j] = a[2j] - 2 = a[2j] - a[1] ≧ a[2j] - a[k"]
∴ 長さ3の等差数列は a[1] < a[2j] < a[2j+1] に限る。
このとき
a[2j+3] - a[2j+1] = a[2j+1] > a[2j] - 2
となるから、長さ4以上の等差数列はない。
417:￥
18/05/07 05:41:57.62 EWP32cBY.net
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427:１３２人目の素数さん
18/05/17 11:40:23.79 36lfcc24.net
2011広島大学後期改
qを６と互いに素な素数ベキ、Fをq元体とし
X={(x,y,z)∈F×F×F | x^2+y^2+z^2=0}
Y={(x,y,z)∈X | xyz≠0}
Z={(x,y,z)∈Y | x≠y, y≠z, z≠x}
とする。X,Y,Zの元数を求めよ。
428:１３２人目の素数さん
18/05/18 06:17:07.83 539vwTx6.net
>>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4 ⇔ a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴ x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691 (n→∞)
429:１３２人目の素数さん
18/05/21 04:38:31.67 kuqRYFm5.net
表面積1の八面体の体積の最大値を求めよ
430:イナ
18/05/21 13:14:33.19 6i5QRyXS.net
>>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。
431:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:35:46.68 3I0IwGqI.net
>>421
不正解
正八面体より大きく出来る
432:１３２人目の素数さん
18/05/21 14:58:44.22 oCVK8vvs.net
>>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？
433:１３２人目の素数さん
18/05/21 15:00:08.42 oCVK8vvs.net
走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス
434:イナ
18/05/21 15:25:53.51 6i5QRyXS.net
>>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。
435:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:24:23.18 3I0IwGqI.net
>>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます
436:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:28:56.50 3I0IwGqI.net
ごめんなさい「ある法則」で除外できる多面体は七角錐だけでした
六角柱は個別で議論する必要あるかも
437:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:02.75 +913qm6o.net
正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。
438:１３２人目の素数さん
18/05/21 16:32:31.05 +913qm6o.net
３角柱から角３っつね。
439:１３２人目の素数さん
18/05/21 17:57:16.22 9YF4F+CN.net
>>425
正6角柱だと、正8面体と変わらない...orz
1/{6√(3√3)} = 0.073115223
もっと丸い形にすればいい？
440:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:11:57.11 0vZfF+dt.net
四面体の４つの頂点から小さく四面体を取り除いてできるものとかだいぶ球に近くなるんじゃないかなあ
441:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:20:53.02 2xKr+/2q.net
それより、立方体の頂点2つを切り落としたほうがいいんでね？
442:１３２人目の素数さん
18/05/21 18:47:13.96 9YF4F+CN.net
>>430
より多角形にして、辺と頂点を増やす…
443:１３２人目の素数さん
18/05/21 23:22:14.24 YccZYzuR.net
とある法則で除外できるのが７角錐だけだとかなり残る希ガス。
だいたい８面体と同じ配置とか立方体から２角おとしたのと同じ配置とかに制限したとして、それぞれの場合に最大値求めんのもどえらい面倒くさい気が…。
ほんとに面白いスパっと解ける解法あるんかな？
444:１３２人目の素数さん
18/05/22 04:39:03.52 RuE2vaj6.net
>>431
辺長のk倍だけ切り落とす。（0<k<1)
4つの頂点から、k倍サイズの4面体を切り落とす。
体積： V = (1-4k^3) V_0
表面積： S = (1-2kk) S_0
V / S^(3/2) = (1-4k^3)/{6√(3√3)・√2・(1-2kk)^(3/2)}
≦ V_0 / {S_0^(3/2)}
= 1 / {6√(3√3)}, （正8面体）
等号成立は k=1/2 (中点) のとき。
445:１３２人目の素数さん
18/05/22 07:10:03.28 mp+7pS00.net
>>434
>>427は語弊がありました
六角柱と七角錐だと七角錐は除外出来るってことです
ある法則を使えば他のパターンも除外出来ます
例えば正八面体のタイプもダメだということが分かります
446:イナ
18/05/22 22:06:05.02 6b1wDh1x.net
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/24)x(1-3√3･x^2)
V'(x)=(√3/24)-(9/8)x^2=0
x^2=(√3)/27
x≒0.0487287のときV(x)は最大。
V(0.0487287)=(√3/24)0.0487287(2/3)
=0.0487287(√3)/36
=0.0013831
447:イナ
18/05/22 22:47:55.38 6b1wDh1x.net
前>>437修正。
正六角柱の上底下底の一辺をx高さをyとする。
正六角柱の表面積Sについて、
S=(3√3)x^2+6xy=1
y=(1/6x)-(√3/2)x―①
正六角柱の体積V=(√3/4)x^2･6･y―②
①を②に代入。
V(x)=(√3/4)x^2･6{(1/6x)-(√3/2)x}
=(3√3)/2･x^2･y
=(3√3)/2･x^2･{(1/6x)-(√3/2)x}
=(√3/4)x-(9/4)x^3
V'(x)=(√3/2)-(27/4)x^2=0
x^2=(√3)/27のとき、
V(x)=(√3/4)x-(9/4)x^3
=(√3/4)x{1-3√3x^2}
=(√3/4)x(2/3)
=(√3)x/6
=√(√3)/18
≒0.0731152
448:１３２人目の素数さん
18/05/22 23:58:04.62 QxWTmuux.net
八面体の種類がいくつあるか自力で調べようとして挫折したので検索してみたところ、何をどう数えたのかは不明ながら257種類という数値が出てきた。これではまるでお手上げである。
なんの計算もしていないが、個人的には「デューラーの立体」ど呼ばれる三角形２枚、五角形６枚でできた立体が気になる。
449:１３２人目の素数さん
18/05/23 02:32:32.49 LxIDPfuv.net
>>439
Link プリーズ
450:イナ
18/05/23 03:02:44.37 Rj3qNk6E.net
>>439
一辺xの正三角形1枚と正五角形3枚をサッカーボールみたいにたがいに百八十度回転させて噛み合わせるように貼りつける。
表面積S=1
八面体の各頂点から中心までの距離aは一意に決まる。正三角錐の底面同士は百八十度回転して平行。おそらく正五角錐の底面同士も百八十度回転して平行な位置にあるんじゃないかと。
八面体の体積V=正三角錐の体積×6+正五角錐の体積×2
正三角形同士の距離と対面する正五角形の距離は同じにできるのかな？
前>>438