18/03/01 12:17:03.40 YQzR7z1m.net
>>411 つづき
(Each co-meager set has c points in every interval.)
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
以上
451:１３２人目の素数さん
18/03/01 13:45:18.96 aJtaxQKv.net
おっちゃんです。
>>403-404
あ～、間違えた。
まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
口出しせずに議論の推移を見守ることにする。
452:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 16:18:20.47 YQzR7z1m.net
突然ですが
ねこ騙し数学の図と式が綺麗なので、紹介します（＾＾
URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp)
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分] ねこ騙し数学
URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp)
微分(53) ねこ騙し数学 ネムネコの数学専門ブログです。2017-07-21
453:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 16:22:05.06 YQzR7z1m.net
>>413
おっちゃん、どうも、スレ主です。（＾＾
コメントありがとう（＾＾
>まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
>口出しせずに議論の推移を見守ることにする。
「正しい証明が書かれた pdf. を読んでないが」と
一言断ってくれれば、問題ないのだが
もとPDFを読んでないことを表明せずに、”正しい”とか”間違っている”というとおかしくなるよね
454:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 16:39:14.64 YQzR7z1m.net
>>414 関連
下記、”一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学”
面白いなと思った。例によって、数式と図が綺麗なのだが
原点 x=0でのみ微分可能（即ち連続）で、それ以外の点で連続でない関数の例だと
とすると、連続な点はGδ集合で、不連続点はFσ集合になるという理論と合わないのではないかと、暫く考え込んでしまった
考え込んでしまったが、結局よく分からないまま、貼っておきます。わかる人？
（後のyahooのkousaku2038さんのコメントが適切なのかな？）
URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp)
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
(抜粋)
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
f(x)
= x^2 (xは無理数)
= -x^2 (xは有利数)
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
(引用終わり)
似た例を探すと下記がヒットしたね
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
455:1168625526 (抜粋) chihiro_piano8987さん2011/8/11 06:01:27 yahoo x = 0 の近傍で定義された微分可能な関数f(x)ってどういう意味でしょうか？ ベストアンサー以外の回答 kousaku2038さん 2011/8/111 f(x)= x^2 （xが有理数） f(x)= 0 （xが無理数） のように定義された関数f(x)です。 この関数はx=0で微分可能ですが、x=0以外では微分不可能です。 「x=0で微分可能な関数f(x)」と表記すると思いますので、 この問題を解くにあたっては、 ①x=0を含むある開集合で定義されている ②①の開集合のすべての点で微分可能 と考えて良いのではないかと思います。 (引用終わり)
456:１３２人目の素数さん
18/03/01 16:52:09.73 p0MOfC8X.net
>>410
＞従来の数学理論では、
＞B_f→無理数→Gδ集合
＞R－B_f→有理数→Fσ集合
キチガイ。問題外。お前がそこでやっているのは、
「系1.8 の関数 f に対して B_f と R－B_f を調べ上げ、B_f がGδ集合になることを確認した」
ということである。しかし、系1.8 の関数 f は実際には存在しないのだから、
そのような f に対して B_f がGδ集合になっていていも何の意味もない。
存在しない関数を調べるのではなく、実在する関数を調べてみよ。
たとえば、お前の大好きなトマエ関数 f に対して、f^2 という関数を考えると、
・ B_{f^2} はGδ集合に な り え な い
ということが証明できる。もうこの時点で、「 B_f は必ずGδ集合だろう 」という
お前の予想は崩壊することになる。
実際には、B_f は必ずFσ集合なのである。連続・不連続の場合とは逆なのである。
457:１３２人目の素数さん
18/03/01 16:54:13.20 p0MOfC8X.net
ちなみに、系1.8 の関数が存在しないことを言うには、
B_fがFσ集合であることを用いる方法もある。次のようにすればよい。
―――――――――――――――――
一般論として、B_f は必ずFσ集合であり、R－B_f は必ずGδ集合である。
もし系1.8 の関数 f が存在するなら、R－B_f ＝ Q となるので、
R－B_f がGδ集合であることから、Q はGδ集合ということになるが、
Q はGδ集合になりえないので矛盾する。よって、系1.8 の関数は存在しない。
―――――――――――――――――
458:１３２人目の素数さん
18/03/01 16:57:02.10 p0MOfC8X.net
>>410
＞定理Fは逆かい？
まず、定理Fそのものは「B_f」とは無関係に一般的に記述された定理であることに注意せよ。
B_fのことは一旦忘れて、定理Fのみをきちんと読み返してみよ。
――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
STEP2：A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと(★)から、ベールのカテゴリ定理が使えて、
ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。F_k は内点を持たないのだから、
ある A_k が内点を持つしかない。その A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
――――――――――――――――――――
↑この証明の一体どこが間違っているというのだね？
さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。
459:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 16:58:34.74 YQzR7z1m.net
>>414 関連抜粋
URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp)
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分] ねこ騙し数学
(抜粋)
一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。
リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続
一般に、逆は成立しない。
一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。
定理
関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。
問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のx、y∈Iに対して
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
を満たせば、関数f(x)は定数である。
【解】
任意のx、y∈I（x≠y）とする。
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α)
|f(x)-f(y)|/|x-y| <= K |x-y|^α → （x→y）
∴f’(y)=0
したがって、fはIで定数である。
（解答終）
(引用終わり)
460:１３２人目の素数さん
18/03/01 16:59:19.09 p0MOfC8X.net
>>410
あと、>>333 にも
461:書いたように、定理F から派生する定理 F1,F2,F3 について考えてみると、 「定理F3」を使っていると思しき pdf が1件だけだが見つかる。 このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。 別の言い方をすると、もし定理Fに難癖をつけるなら、 >>333で引用した pdf は一体どういうことになるのだね？ まさか「 >333 の pdf は間違っている」なんて言わないだろうな？
462:１３２人目の素数さん
18/03/01 17:01:36.80 p0MOfC8X.net
>>411-412
＞従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
＞系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
矛盾を導くための理屈は何を採用してもよい。
それぞれの定理を使った場合の矛盾の導き方は、次のようになる。
――――――――――――――――
定理1.7を使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、B_f の中に開区間が取れるはずがない。
(2) しかし、定理1.7により、B_f の中に開区間が取れてしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
抜粋したTHEOREMを使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、R－B_f は co-meager set になるはずがない。
(2) しかし、抜粋したTHEOREMにより、R－B_f は co-meager set になってしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――
それぞれの(1),(2),(3)が、矛盾を導くための論理として完全に対応していることに注意せよ。
[続く]
463:１３２人目の素数さん
18/03/01 17:02:33.44 p0MOfC8X.net
[続き]
ここで、スレ主の従来の屁理屈によれば、次のような難癖が始まるのである。
――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、開区間など取れるはずがない。
よって、(2)で定理1.7を適用しているのは間違っており、定理1.7は適用できない。
――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈により、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、co-meager set になるはずがない。
よって、(2)でTHEOREMを適用しているのは間違っており、THEOREMは適用できない。
――――――――――――――――
これは一体どういうことだね？
464:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 17:02:51.52 YQzR7z1m.net
>>420
>|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
>を満たせば、関数f(x)は定数である。
(>>411より)
α-ヘルダー連続 (0 < α <=1)で、αを１以下に限定しているのと符合しているね
465:１３２人目の素数さん
18/03/01 17:03:47.60 p0MOfC8X.net
>>416
＞URLﾘﾝｸ(nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp)
＞一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
＞(抜粋)
＞関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
＞f(x)
＞= x^2 (xは無理数)
＞= -x^2 (xは有利数)
余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。
466:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/01 17:07:41.95 YQzR7z1m.net
>>420
>定理
>関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一様連続
(抜粋)
定義より一様連続な関数は連続であるが、逆は一般には成り立たない。 しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続である事が知られている（ハイネ・カントールの定理）。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ハイネ・カントールの定理
（英語版に証明がある）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Heine?Cantor theorem
Proof
467:１３２人目の素数さん
18/03/01 21:04:25.20 V+5AIZcS.net
＞キチガイ。問題外。
ID:p0MOfC8Xさんに賛成です（＾＾
＞さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。
スレ主は証明はおろか教科書すら読まない主義ｗ
468:１３２人目の素数さん
18/03/01 23:09:18.15 bi1YX0ap.net
証明を理解したらスレが止まっちゃうからねぇ・・・（ニヤニヤ）
469:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/03 09:45:05.55 pV9GuWMU.net
将棋の順位戦を見てた。大変なことになりましたね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.hochi.co.jp)
前代未聞の大激戦 将棋Ａ級順位戦で史上最多６人プレーオフで名人挑戦権目指す 2018年3月3日1時24分 スポーツ報知
(抜粋)
将棋の順位戦Ａ級最終１１回戦の５局が２日、静岡市の「浮月楼」で同時に行われ、１１人中６人が６勝４敗で並び、史上最多となる６人のプレーオフによって佐藤天彦名人（３０）への挑戦権を目指す前代未聞の事態となった。
(引用終り)
470:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/03 09:55:44.48 pV9GuWMU.net
11人リーグで、上位６人が同じ６勝４敗で並ぶとは
もし、三浦弘行９段が深浦９段に勝っていたら、上位７人が同じ星だった。これが理論上の限界かな？
471:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/03 10:07:39.73 pV9GuWMU.net
そうか、理論的には全員５勝５敗ありか（＾＾
472:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/03 21:38:30.66 pV9GuWMU.net
Meagre setについて、Oxtoby先生のテキストPDFが落ちていた（下記）ので、読んでいたんだ
定理F類似の記述がないかな？と
どうも、見つからないんだな・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Meagre set
Notes
1.^ Oxtoby, John C. (1980). "The Banach Category Theorem". Measure and Category (Second ed.). New York: Springer. pp. 62?65. ISBN 0-387-90508-1. URLﾘﾝｸ(books.google.com)
＜上記のPDF＞
URLﾘﾝｸ(math.rice.edu)
Measure and Category (Second ed.) Oxtoby, John C. (1980)
（参考）
URLﾘﾝｸ(math.rice.edu)
Michael Boshernitzan's Home Page
Dept. of Mathematics, MS-136
Rice University, P. O. Box 1892
Houston, TX 77251
Professor of Mathematics
473:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 17:15:21.20 K2uul6/8.net
>>421
定理Fは、こういうこと（下記）かな？
(>>254 より)
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
(引用終り)
（>>409より)
URLﾘﾝｸ(pc1.math.gakushuin.ac.jp)
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α，β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り)
つづく
474:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 17:16:00.45 K2uul6/8.net
>>433 つづき
ポイント
１）第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから、R－A が第一類集合ならばAは第2類集合である。
２）Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。
３）R 中の閉集合は、閉区間[a,b] | a<b 、又は１点からなる集合 [a,a] 、あるいは それらの有限個の和集合である
定理Fの前提条件：
”A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば”
↓
１）A ⊂ R は Fσ集合かつ第2類集合
２）R － A は Gδ集合かつ第1類集合
ならば
と書き直せる
これについて
１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
ということかな？
つづく
475:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 17:16:54.30 K2uul6/8.net
>>434 つづき
しかしながら・・
>つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときに
>「 R－B_f は R の中で稠密 」
>なんてのは最初から起こりようが無いのである。
(>>13 より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
以上
476:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 17:19:29.35 K2uul6/8.net
>>425
>余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
>なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
>たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。
そうだったね
すまんかった
見た例示だとおもったんだ（＾＾
あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾
477:１３２人目の素数さん
18/03/04 17:45:52.48 MfbYBo7P.net
＞あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾
「そこは感心するよ」という言い方は、言外に「他はたいしたことない」という意味を匂わしている
一年生用教科書すら分かってないお前が言っていい言葉ではない、分を弁えよ
478:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:26:34.33 K2uul6/8.net
>>333 戻る
>定理F2：
>A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、R－A は nowhere dense である。
>
>ここまで来ると、「 R－A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。
>
>定理F3：
>A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
>
>これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
> 1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
>
>URLﾘﾝｸ(fm.math.uni.lodz.pl)
>
>＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
>＞ easily seen to be nowhere dense.
ここら、下記の「太ったカントール集合」の話かな？
（下記和文の「太ったカントール集合の測度は・・・=1/2」の箇所は、後の英文” URLﾘﾝｸ(www.se16.info) ”では、「0.535・・」となっているようだが）
URLﾘﾝｸ(fibonacci-freak.hatenablog.com)
痩せた集合・太った集合 2017-08-17 fibonacci_freak
(抜粋)
まずは痩せた集合の定義をしましょう。
定義. Xを位相空間、Aをその部分集合とする。
(1) Aが稀薄であるとは、Aの閉包が内点を持たないことをいう。
(2) Aが痩せた集合（または第1類集合）であるとは、高々可算個の稀薄な集合の合併として表せることをいう。
(3) Aが太った集合（または第2類集合）であるとは、痩せた集合でないことをいう。
今回は位相空間と言ったら実数Rや区間[0,1]などのことだと思っても差し支えありません。また太った集合というのはここだけのネーミングで、一般的ではありません。
つづく
479:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:27:54.38 K2uul6/8.net
>>438 つづき
定理(Baireの範疇定理). 完備距離空間の痩せた部分集合は内点を持たない。特に完備距離空間は（それ自身の部分集合として）太った集合である。
もう一つ痩せた集合の代表としてカントール集合が挙げられます。これは[0,1]から始めて「つながった区間を3等分して真ん中の開区間を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合です。開区間を取り除いているので出来上がる集合は閉集合になります。
真ん中を取り除くごとに連結成分1つ分の長さは1/3になるので、内点を持たない（区間を含まない）、つまり痩せた集合であることがわかります。また真ん中を取り除くごとに測度（長さの合計）は2/3 になるので、カントール集合は測度0です。
さて、今回伝えたいのは「痩せた集合も結構すごい」という事実です。具体的には[0,1]の部分集合で、痩せた集合にもかかわらず正の測度を持つものが存在するのです！
それが「太ったカントール集合」です。「太った」と付いていますが、これは「カントール集合に比べたら太っている」という意味で、実態は痩せた集合です。
太ったカントール集合の構成は簡単です。まず区間[0,1]から始めて、中央から長さ1/4の開区間を取り除きます。次に残った2つの区間それぞれの中央から長さ1/16の開区間を取り除きます。次は1/64、その次は1/256,・・・と、1/4nの開区間を次々に取り除いてきます。これを無限回繰り返したとき残る集合が太ったカントール集合です。
これも区間を取り除くごとに連結成分1つ分の長さが半分以下になるので、内点を持たず、痩せた集合であることがわかります。
つづく
480:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:28:17.87 K2uul6/8.net
>>439 つづき
太ったカントール集合の測度は
1?1/4?2/16?464?・・・?2n/4n+1?・・・
=1?(1/4+1/8+1/16+・・・)
=1/2
となり、確かに正の測度1/2を持ちます！人は見かけで判断してはいけないのです。
さらに、太った集合にもかかわらず測度が0の雑魚集合も存在します。これは次のように作ります。
まず太ったカントール集合Sを用意します。Sにはたくさんの「開区間の穴」が空いていますが、その全てに「Sを相似縮小したもの」を詰め込みます。
こうして得られたものをS1とします。さらにS1の全ての穴にSを詰め込んだものをS2とし、S3,S4,・・・と順に気持ち悪い集合を作っていきます。そして最後に
T= ? n=1～∞ Sn
とします。Sを詰め込むたびに空白の部分の測度は半分ずつになるので、Tの測度は1になります。また各Snは稀薄な集合なのでTは痩せた集合です。するとTの補集合は太った集合で*1、かつ測度0になります。
*1:補集合も痩せているとすると[0,1]も痩せていることになりBaireの範疇定理に矛盾します。
(引用終り)
つづく
481:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:28:46.40 K2uul6/8.net
>>440 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Fat Cantor set Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(www.se16.info)
Some nowhere dense sets with positive measure and a strictly monotonic continuous function with a dense set of points with zero derivative Henry Bottomley. May 2005.
(抜粋)
If there were no overlaps, the total measure of the intervals removed would be 1/2, but as there are overlaps, the measure removed is less, leaving a set of positive measure of more than 1/2 which turns out to be 0.5355736804357782247533428...,
(引用終り)
つづく
482:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:29:36.80 K2uul6/8.net
>>441 つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Nowhere dense set
(抜粋)
The union of countably many nowhere dense sets, however, need not be nowhere dense. (Thus, the nowhere dense sets need not form a sigma-ideal.) Instead, such a union is called a meagre set or a set of first category. The concept is important to formulate the Baire category theorem.
Nowhere dense sets with positive measure
A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense. For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero (such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
For one example (a variant of the Cantor set), remove from [0,1] all dyadic fractions, i.e. fractions of the form a/2n in lowest terms for positive integers a and n, and the intervals around them: (a/2n ? 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1).
Since for each n this removes intervals adding up to at most 1/2n+1, the nowhere dense set remaining after all such intervals have been removed has measure of at least 1/2 (in fact just over 0.535... because of overlaps) and so in a sense represents the majority of the ambient space [0,1].
This set is nowhere dense, as it is closed and has an empty interior: any interval (a, b) is not contained in the set since the dyadic fractions in (a, b) have been removed.
Generalizing this method, one can construct in the unit interval nowhere dense sets of any measure less than 1, although the measure cannot be exactly one (else its complement would be a nonempty open set with measure zero, which is impossible).
(引用終り)
以上
483:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/04 21:35:57.57 K2uul6/8.net
>>441 関連
Fat Cantor set にVolterra's functionのリンクがあったので、貼っておきます（＾＾
ここに面白い図が載っているよ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Volterra's function
(抜粋)
Definition and construction
The function is defined by making use of the Smith?Volterra?Cantor set and "copies" of the function defined by f(x)=x^{2}sin(1/x) for x ≠ 0 and f(0)=0. The construction of V begins by determining the largest value of x in the interval [0, 1/8
484:] for which f ′(x) = 0. Once this value (say x0) is determined, extend the function to the right with a constant value of f(x0) up to and including the point 1/8. Once this is done, a mirror image of the function can be created starting at the point 1/4 and extending downward towards 0. This function will be defined to be 0 outside of the interval [0, 1/4]. We then translate this function to the interval [3/8, 5/8] so that the resulting function, which we call f1, is nonzero only on the middle interval of the complement of the Smith?Volterra?Cantor set. To construct f2, f ′ is then considered on the smaller interval [0,1/32], truncated at the last place the derivative is zero, extended, and mirrored the same way as before, and two translated copies of the resulting function are added to f1 to produce the function f2. Volterra's function then results by repeating this procedure for every interval removed in the construction of the Smith?Volterra?Cantor set; in other words, the function V is the limit of the sequence of functions f1, f2, ... (引用終り) 以上
485:１３２人目の素数さん
18/03/04 22:30:06.05 aFVvTRe8.net
>>434
＞これについて
＞１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
＞２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
＞３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
＞４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
＞ということかな？
話の流れは合っているが、(2)は微妙に間違っている。正しくは
(2) もしこの閉集合がすべて、内点を持たないならば、Aが第1類集合になってしまうから
と書くべきである。なぜスレ主がこのように書かないのかというと、スレ主は
「内点を持たない閉集合の高々可算無限和は1点集合の高々可算無限和に書き直せる」
と勘違いしているからである。そして、この勘違いは数スレ前から何度も指摘している勘違いである。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合1つで表せるが、
カントール集合を1点集合の高々可算無限和で書くことはできない。
ちなみに、いちいち(1)～(4)のように書き直す必要すらない。
>>419の証明をそのまま読めばよいからだ。
486:１３２人目の素数さん
18/03/04 22:37:30.57 aFVvTRe8.net
>>435
＞１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
＞２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
系1.8 の関数 f に対して、 R－B_f＝Q が成り立つので、Q が第一類集合であることから
「 R－B_f は第一類集合 」ということになり、よって定理1.7の仮定である
「 R－B_f が第一類集合ならば」
という条件に合致するので、ゆえに定理1.7が適用可能である。なぜかお前は、(2)において
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件を持ち出しているが、
それは定理1.7の仮定ではなく、定理Fの仮定に A＝B_f を代入した文章であるから、
お前の主張は話の前提からして滅茶苦茶である。
487:１３２人目の素数さん
18/03/04 22:40:54.09 aFVvTRe8.net
ちなみに、B_f は必ず Fσ 集合なので、系1.8の関数 f は、
話の前提からして滅茶苦茶であるはずの
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」
という条件にも実際には合致しているｗｗ
――――――――――――――――――――
・ 一般論として、B_f は必ず Fσ 集合である。
・ 今の場合、R－B_f＝Q だから、Q が第一類集合であることから、R－B_f は第一類集合である。
・ ゆえに、「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件に合致している。
――――――――――――――――――――
↑これで文句は無いだろ。
488:１３２人目の素数さん
18/03/04 22:45:50.62 aFVvTRe8.net
さらに補足しておくと、B_f が必ず Fσ 集合であることから、R－B_f は必ず Gδ 集合となる。
今の場合 R－B_f＝Q だったから、Q は Gδ 集合ということになる。
しかし、Q は Gδ 集合には なり得ないのだった。
よって、実際にはこの時点で既に矛盾が生じている。よって、この時点で既に
「ゆえに、系1.8 の関数 f は存在しない」
と書いてもよい(このことは>>418で既に述べている)。
しかし、だからと言って、定理1.7が使えないということにはならない。
定理1.7の仮定は「 R－B_f が第一類集合ならば 」というものであり、
今の場合 R－B_f＝Q は第一類集合なのだから、定理1.7は適用できるのである(そして矛盾が生じる)。
489:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 08:45:35.08 9z9pXImQ.net
カントール集合は面白いね（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
The Smith?Volterra?Cantor set is named after the mathematicians Henry Smith, Vito Volterra and Georg Cantor.
The Smith-Volterra-Cantor set is topologically equivalent to the middle-thirds Cantor set.
References
1^ Aliprantis and Burkinshaw (1981), Principles of Real Analysis
(引用終り)
この参考文献のPDFが、下記に落ちていたのでご紹介
URLﾘﾝｸ(huynhcam.files.wordpress.com)
Aliprantis_C.D.-Principles_of_Real_Analysis,_Third_Edition-Academic_Press(1998)
（関連）
URLﾘﾝｸ(huynhcam.files.wordpress.com)
Aliprantis and Burkinshaw, Problems in Real analysis A Workbook with Solutions 1999
URLﾘﾝｸ(huynhcam.wordpress.com)
Thang B?y 6, 2013
490:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 17:50:55.92 E8fJsfqU.net
このyamyamtopoさんて方がどういう方か知らないが
カントール集合と、W ⊂ R で稠密なGδ 集合との関係についての記述があるね
これが正しいかどうか、不明だがご紹介
URLﾘﾝｸ(yamyamtopo.wordpress.com)
PLトポロジーの基礎（暫定版） 2017年10月14日
URLﾘﾝｸ(yamyamtopo.files.wordpress.com)
PDF「位相空間論における反例と線形順序」 yamyamtopo 投稿日: 2017年7月8日
(抜粋)
補題3.2. W ⊂ R が稠密なGδ 集合であるならば、W は非可算なコンパクト集合を含む。
証明. W に含まれるようにカントール集合を構成しよう。W は稠密なGδ 集合だから、
稠密な開集合Gn ⊂ R が存在して
略
連結成分にもIn のちょうど2 個の連結成分が含まれ、かつIn ⊂ Gn となるように帰納
的に構成する。このとき、カントール集合 ∩ n=1～∞ In はW に含まれる非可算なコンパクト集合である。
(引用終わり)
491:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 21:49:23.50 9z9pXImQ.net
カントール集合は面白いね2
URLﾘﾝｸ(concious4410.hatenablog.com)
基本的な0次元距離空間の特徴づけの話 電波通信 2016-11-13
(抜粋)
「空間の位相的な特徴づけ」というものがあります。位相的な情報だけで特定の空間を特徴づけようということです。
例えば簡単な例だと任意の点が孤立点（その点が開集合ということ）である空間は離散距離空間です。
位相的な特徴づけがよく知られている空間がいろいろあるのですが、この記事ではそれなりに有名なやつをつらつらと紹介していこうと思います。
つづく
492:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 21:49:46.95 9z9pXImQ.net
>>450 つづき
カントール集合
位相的な特徴づけがよく知られているのがこのカントール集合でしょう。
以下ではカントール集合をCで書きます。
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
また、カントール集合から一点を取り除いた空間も上の定理１を用いて特徴づけが出来ます。
以下ではカントール集合から一点を取り除いた空間をLで書きます。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
この定理2の仮定を充たす空間を一点コンパクト化して定理１を用いれば簡単に証明できます。
さて上の二つの定理を合わせて次のように統合できます。
定理３：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
これを用いるとCのクロープン集合について次が分かります。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
この定理は
L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, in: KNAW, Proceedings, 12, 1909-1910, Amsterdam, 1910, pp785-794
により発表されたようです。証明が載っている本としてはWillard著作のGeneral topologyや、北田韶彦著作の「位相空間とその応用」にあります。
つづく
493:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 21:51:40.27 9z9pXImQ.net
>>451 つづき
有理数
以下では有理数全体をQで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理5：集合としての濃度が可算で完全（孤立点がないということ）な距離空間はQと同相ある。
この定理の系としてQ^n（nは自然数）がQと同相であることが分かります。
この定理は
W.Sierpi?ski, Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en soi, 1920, Fund.Math.1, pp11-16
で発表されたようです。Fund.Math.の創刊号ですね。
この定理の証明が載っている本は知りませんが、ネット上になんかあるんじゃないかな
0次元空間ってカントール集合に埋め込めるんですが、可算空間はカントール集合の”端点”を含まないように埋め込むことが出来て、
すると上の仮定を充たす空間はカントール集合の順序で見ると自己稠密な最大値最小値を持たない集合になり、
しかも自己稠密性から順序位相と相対位相が一致し、
そして自己稠密な最大値最小値を持たない可算な順序集合は有理数と順序同型になるので
～～～
みたいな感じの証明だった気がします。
つづく
494:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 21:52:34.03 9z9pXImQ.net
>>452 つづき
無理数
以下では無理数全体をPで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理6：0次元(クロープンな開基が存在するということ)でかつNowhere Compact(任意のコンパクト集合が内点を持たないということ)な可分完備距離空間はPと同相
この定理からPとN^Nが同相であることが分かります。(Ｐが完備な距離をadmitすることは、Rという完備距離空間のGδ集合になってることからわかります。)
ちなみにPとN^Nの間の同相写像として、連分数展開というものが有名です。
更にP^NがＰと同相であることもわかります。
この定理は
P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
により発表されたようです。ドイツ語なんでぼかぁ読めません。調べてみるとオープンアクセスのようです。証明が載ってる本としては
A.S.Kechris著のClassical Descriptive set theory があります。
結びの言葉
別に0次元空間はこれだけではないのですが基本的な空間の特徴づけを紹介しました。
原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。このような結果があったからこそ位相空間論の重要性が認識されたのかもしれません。
(引用終わり)
以上
495:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/06 22:04:11.62 9z9pXImQ.net
なにをやっているのか？って（＾＾
いや、カントール集合がFσ集合かどうか
それを調べているんだが・・
>>453
>P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
>原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。
100年くらい前は、「カントール集合とは～、・・うんぬん・・」というのが、当時の研究の最先端だったみたいね
>>451 再録
カントール集合をC、カントール集合から一点を取り除いた空間をL
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
定理3：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
(引用終り)
か・・（＾＾
ずばりがなかなかないね（＾＾
496:１３２人目の素数さん
18/03/06 23:04:48.34 o+awSec8.net
>>454
＞なにをやっているのか？って（＾＾
＞いや、カントール集合がFσ集合かどうか
＞それを調べているんだが・・
カントール集合は閉集合なので、カントール集合はFσ集合である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
497:１３２人目の素数さん
18/03/06 23:51:28.97 ojIWxmbE.net
スレ主相変わらずだなｗｗ
498:１３２人目の素数さん
18/03/07 02:14:36.66 pewxhlhY.net
さすがに5年間進歩ゼロだけのことはある
499:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 11:53:39.59 20bjKC4z.net
>>455-457
いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
だが、良いヒントを貰ったね
検索すると・・
下記はどう？ 「カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せない」だって（＾＾
ちなみに、だいありーさんは、ブログを読むと、数学科で今年４年で卒業みたいだが
なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
”可算和”しばりを入れるとき、
そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
どう？
URLﾘﾝｸ(fujidig.hatenablog.com)
(抜粋)
R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
答え: No.
カントール集合が反例となる。
カントール集合の性質
カントール集合は無限個の閉集合の共通部分なので閉集合である。
（略）
主張の反証
以上のことより、カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せないので主張が反証された。
参考文献
・杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会
(引用終わり)
ちなみに
URLﾘﾝｸ(fujidig.hatenablog.com)
だいありー
(抜粋)
おわりに
充実した1年になった。あと少しで愛媛を離れることになる。残りの3か月も頑張っていこう。
(引用終わり)
500:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 12:06:03.31 20bjKC4z.net
>>455 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
この部分は、おそらく下記原文の英語版では
冒頭”countable union of closed sets.”と複数形
例示”Each closed set is an Fσ set.”と単数形
となっている
私は、英語弱いけど・・（＾＾
・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
↓
・ 個々の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
と訳した方が良いのかもね（＾＾
なお、closed setsとclosed setとの違いをきっちり定義しないと、
（closed setに連続無限和を含めて１つと数えると）
”可算和”しばりの意味が曖昧になる気がするのは私だけか？
（英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
(抜粋)
Fσ set
In mathematics, an Fσ set (said F-sigma set) is a countable union of closed sets.
Examples
Each closed set is an Fσ set.
(引用終わり)
501:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 12:11:05.24 20bjKC4z.net
>>459
ああ、なんか意味わからんことを書いてしまったな
とりあえず、これ英語版の訳の話はキャンセルな
だいありーさんのブログとの関連だけ見てください
英語版自身もおかしいのかも・・・（＾＾；
502:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 13:30:16.49 20bjKC4z.net
>>450
"clopen クロープン"補足
URLﾘﾝｸ(eow.alc.co.jp)
(抜粋)
clopen クロープン 英辞郎
【形】
《位相幾何》開かつ閉の、開集合かつ閉集合の◆【語源】closed + open
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
開かつ閉集合
(抜粋)
普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。
しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。
一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X?A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。
英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
(引用終わり)
503:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 13:46:34.13 20bjKC4z.net
>>458-459
カントール集合とσ代数関連引用
もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
完備測度
(抜粋)
例
実数直線の開区間によって生成されるボレル σ-集合代数上で定義されるボレル測度は完備でなく、したがって完備ルベーグ測度を定義するためには上述の完備化の手順が必要となる。
このことは、実数に対するすべてのボレル集合の集まりは実数と同じ濃度を持つという事実によって示される。
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終わり)
504:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 14:07:16.47 20bjKC4z.net
>>462 関連
”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
カントール集合自身はボレル集合ではない
そして、下記”Fσ-集合やGδ-集合はボレル集合である．”（渕野）が、正しいとすると、
カントール集合自身はFσ-集合ではない
参考（>>336より）
渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
URLﾘﾝｸ(math.cs.kitami-it.ac.jp)
P5
(抜粋)
1.2 ボレル集合
O から生成されるσ-代数^9 をあらわす．
（略）
として帰納的に定義する10．可算個の閉集合の和集合としてあらわせるような集合をFσ-集
合とよび，可算個の開集合の共通部分としてあらわせるような集合をGδ-集合とよぶ．Fσ-
集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．特にFσ-集合やGδ-集合はボレル集合
である．
注）^9 X の部分集合の族S がX 上のσ-代数である，とは，S が，補集合をとる操作と，可算個の元の和集合
をとる操作に関して閉じていることである．
(引用終り)
以上
注：
Fσ-集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．
↓
Fσ-集合とGδ-集合はS に含まれる集合となっている．
の誤植かもしれない。S1はここにしか現れず、定義がないので
505:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 14:09:56.54 20bjKC4z.net
>>458
>なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
おーい、実解析に詳しい おっちゃん～
杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』を知らないか～？
506:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/07 14:13:48.61 20bjKC4z.net
>>455 お礼
ID:o+awSec8さん、ヒントありがとう
おかげで、なんとなく答えが見つかった気がするよ（＾＾
507:１３２人目の素数さん
18/03/07 16:41:02.49 r/DiN40g.net
お久しぶりです、おっちゃんです。
>>464
杉浦 解析入門Ⅰは持ってなく読んでもいないけど、多分これには、
カントール集合が直線R上至る所稠密でルベーグ測度が0の非可算集合なることは
書いていないだろう。
付録の集合だが、行間を殆ど埋めて出来たような4ページ「だけ」の内容では、
濃度とかまで含めて集合論は展開出来ないだろう。
だが、杉浦 解析入門Ⅰ にはカントール集合は載っているようで、
その付録でも一応連続体濃度や可算集合を扱っているようだから、>>458のサイトの
>そのような数列全体の濃度は明らかに 2^{ℵ_0} である。
>三進表示が一意でないものは可算個しかないのでカントール集合の濃度も 2^{ℵ_0} である。
の部分を付録に専ら委ねれば、杉浦 解析入門Ⅰ だけを参考にして>>458も書けるだろう。
508:１３２人目の素数さん
18/03/07 17:09:45.81 zOe6hIvo.net
>>458
＞なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
＞>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
＞”可算和”しばりを入れるとき、
＞そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
＞どう？
何が言いたいのか意味不明。お前の言い分によれば、まるで
―――――――――――――――――――――
一般の場合は、閉区間ではなく閉集合という言葉にせざるをえないが、R に限定した場合は、
しかも可算和のしばりを入れた場合は、閉集合ではなく「閉区間」という言葉にしてよい。
なぜなら、R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ。
―――――――――――――――――――――
とでも言っているように見える。しかし、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ 」
という部分は間違っている。なぜなら、カントール集合は R の閉集合であるにも関わらず、
R の閉区間の可算和では表せないからだ。
509:１３２人目の素数さん
18/03/07 17:14:46.72 zOe6hIvo.net
>>458
＞URLﾘﾝｸ(fujidig.hatenablog.com)
＞(抜粋)
＞R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
＞答え: No.
＞カントール集合が反例となる。
お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せる 」
という主張は成り立たない。そして、この
510:ことから、「閉集合」という言葉は R の時点で既に「 閉区間の可算和 」よりも広い意味を持っていることになる。 ということは、お前が書いた 「 ”閉集合”＝多次元”閉区間”」 という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。 そのような間違った直観を書いた直後に、その直観が間違っていることを 明示するリンクを挙げるとは全く意味不明である。キチガイ。
511:１３２人目の素数さん
18/03/07 17:22:52.44 zOe6hIvo.net
>>463
＞”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
＞カントール集合自身はボレル集合ではない
息をするように間違えるゴミクズ。お前の言い分が効力を発揮するためには、
「ボレル集合の部分集合は全てボレル集合」
という主張が成り立っていなければならない。しかし、こんなことは実際には言えないし、
お前の言い分も間違っている。すなわち、カントール集合の部分集合でボレル集合でないものが
存在するのだとしても、カントール集合はボレル集合のままである。
あるいは、次のように言ってもよい。
お前の言い分がもし正しいなら、次のように言えてしまう。
―――――――――――――――
R はボレル集合であることが知られている。
ここで、もし R の部分集合でボレル集合でないものが存在するなら、
R 自身はボレル集合でないことになって矛盾する。
よって、R の部分集合は全てボレル集合である。
―――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
しかし、ご存知の通り、選択公理がある場合には
ルベーグ可測ですらない R の部分集合が存在するので、
お前の言い分はこの点においても間違っている。
512:１３２人目の素数さん
18/03/07 20:17:07.38 pewxhlhY.net
>>458
＞いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
＞だが、良いヒントを貰ったね
＞検索すると・・
検索で不勉強は補えないよ
513:１３２人目の素数さん
18/03/07 20:20:28.98 pewxhlhY.net
>459
＞私は、英語弱いけど・・（＾＾
得意気にbuzzの解説をしている当たりから見て言わなくてもわかる
514:１３２人目の素数さん
18/03/07 20:25:58.34 pewxhlhY.net
>>462
＞もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
何でwikipediaで納得しようとするの？
wikipediaで数学が理解できるなら教科書なんて要らないよね バカなの？
515:１３２人目の素数さん
18/03/07 20:31:46.12 pewxhlhY.net
＞お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
ワロタ
スレ主は自分がコピペしたことさえ全然理解できてないじゃんｗ
一体何のためのコピペなんだよｗ 頭良さげに見せるため？ｗ
516:１３２人目の素数さん
18/03/07 20:33:19.67 pewxhlhY.net
＞という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。
スレ主の直観は大抵間違っている
そしてスレ主は教科書よりも自分の直観を信じるｗ
517:１３２人目の素数さん
18/03/08 04:14:26.79 /uF9jjn1.net
URLﾘﾝｸ(goodlg.seesaa.net)
518:１３２人目の素数さん
18/03/08 17:07:32.60 hgtFiBmd.net
おっちゃんです。
見に来ただけ。
じゃ、おっちゃん寝る。
519:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 10:46:37.28 pTn6lfeY.net
>>471
”buzz”は、種本があってね（＾＾
URLﾘﾝｸ(natalie.mu)
乃木坂46白石麻衣、「Pen」“バズる美女”特集号表紙に登場 ナタリー 2018年2月1日
520:１３２人目の素数さん
18/03/09 14:35:34.23 T+PN5jiP.net
ネタがマンネリ化してなかい？
誰かスレ主が飛びつきそうネタをプリーズ
521:DJ学術
18/03/09 15:31:22.64 c5InzoE+.net
スージ ネタニアフ。
522:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 21:56:53.49 sxkJNDKJ.net
>>467-469
ほんとだな・・、おれ発狂してるね（＾＾
（自分の引用>>462より）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
完備測度
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終り)
ここが、自分で引用していながら、全く読めてなかったな・・・
えーと、ボレル集合は下記か・・。ほんと勉強不足で、分ってないね～
”ボレル集合族は空間の開集合から、 G → G_δσ なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。”か
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ボレル集合
(抜粋)
数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。
ボレル集合族の生成
言わんとすることは、「ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω1 に対する Gω1 に他ならない」ことである。
即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、
G → G_δσ
なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。
(引用終り)
つづく
523:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 21:57:36.22 sxkJNDKJ.net
>>480 つづき
関連１
URLﾘﾝｸ(www.yasuhisay.info)
ボレル集合体とはなんぞや yasuhisa's blog 2008-06-05
(抜粋)
ボレル集合体
上のはルベーグ積分から確率論 (共立講座 21世紀の数学)を読んでいたんだけど、以下はルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)を読んだして書いてる。
可算個の開集合の共通部分として表わされる集合をGδ集合と言う。可算個の閉集合の和集合として表わされる集合をFσ集合と言う。
ん。上のからいくとGδとかFσは必ずしも開集合であるとか閉集合であるとは言えない集合のことなんだな。で、GδとかFσに対して色々な操作をしていくことでまた集合を作り出していく。どういう操作かと言えば。
Gδ集合の可算個の和集合を取ると、この集合は一般的には、Gδ集合でもFσ集合でもない。このような集合をGδσ集合という。同様に、Fσ集合の可算個の共通部分として表わされる集合をFσδ集合という。
こんな操作。
積集合を取った集合がいくつかあって、その和集合を考えるもの
和集合を取った集合がいくつかあって、その積集合を考えるもの
という風になっているんっだね。で、前回にやった逆の操作(積なら和、和なら積)という操作をどんどんどんどん繰り返していく。すると部分集合族の系列から新しいタイプの集合が次々と得られる。そしてこの操作をやって得られるRkの部分集合のことをRkのボレル集合と言う。おお、ボレル集合が登場した!!
ボレル集合は、すでに可測であるということが知られている開集合と閉集合から、可算個の和と共通部分と取るという操作を高々加算回繰り返して得られるのだから、これらはすべて可測な集合である、ということが分かる。これから「Rkのボレル集合はすべて可測である」という定理が導ける。これは便利そうな性質というか定理だなー。
(引用終り)
つづく
524:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 21:58:49.38 sxkJNDKJ.net
>>481 つづき
関連２
URLﾘﾝｸ(rikei-index.blue.coocan.jp)
可測集合、ボレル集合 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ボレル集合 ）
∪ｎ を開集合とする。
Ｆｎ を閉集合とする。
次のような集合を考える。
（＊１）∪n=1～∞ Un , ∩n=1～∞ Fn
（＊２）∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m , ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m
（＊３）∩p=1～∞ ∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m,p , ∩p=1～∞ ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m,p
・
・
・
上記のような各集合を 『 ボレル集合』 という。
とくに、（＊１）の集合で、１つ目を 『 Ｇδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσ集合 』 という。
また、（＊２）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδ集合 』 という。
また、（＊３）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδσ集合 』 という。
他も同様である。
Ａ７
（１） 開区間は可測である。
（２） 任意の開集合と閉集合はボレル集合に属する。
（３） ボレル集合は可測である。
(引用終り)
つづく
525:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 22:00:08.09 sxkJNDKJ.net
>>482 つづき
関連３
URLﾘﾝｸ(toodifficult.seesaa.net)
ボレル集合の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月05日
(抜粋)
概説
実数のσ-加法族を考えてみる。
σ-加法族は、確率空間の理解で出てきたものと同じ。定義は、
集合Aのσ-加法族Fとは、Aの部分集合族で以下の性質を満たすもの。
１．Φ∈F
２．P∈F → Pc∈F
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
であった。
このA=Rとしたときσ-加法族Fを、実数のボレルσ-加法族と呼びB(R)と表記する。
そして、B(R)に含まれる集合をボレル集合と呼ぶ
どんな集合なのか？
では、実数のボレルσ-加法族はどのような集合で構成されているのかについてみてみる。
１．まずすべての閉区間[a,b]∈Rは含まれている。
２．すべての開区間も含まれる。なぜなら(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b
526:?1/k]と表現できるから。(定義の3.を適用できる) ３．すべての開集合も含まれる。なぜならすべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現されるから。(定義の3.を適用できる) ４．すべての閉集合も含まれる。なぜならすべての閉集合は開集合の補集合で表現されるから。(定義の2.を適用できる) と思いつくようなものは全部含まれている。 つづく
527:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 22:00:53.92 sxkJNDKJ.net
>>483 つづき
カントール集合について
上記の4.はわざわざ3.を経由しなくてもいいのではないの？と思わなくもない。
つまり、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」でよい気もする。
しかし、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いである。
まず区間C0=[0,1]を3等分する。
真ん中の開区間(1/3,2/3)をくりぬいたC1=[0,1/3]∪[2/3,1]を作る。
さらに残っている区間をさらに3等分して真ん中の開区間をそれぞれくりぬく。
この操作を無限回行ってできた集合C∞をカントール集合という。
くりぬかれた部分全体はいくつもの開区間の和集合であるので開集合である。
開集合の補集合は閉集合であるため、C∞は閉集合である。
このカントール集合にはどのような数が含まれるかを考えてみる。
C0には3進小数表示したときに0.xxxx...となる数がすべて含まれる。
C1には3進小数表示したときに0.0xxx...となる数と0.2xxx...がすべて含まれる。(3進小数表示したらすべての小数は0と1と2で構成される。真ん中をくりぬいたので0.1xxx...は含まれない)
というように考えていくとC∞には3進小数表示したときに1を含まないすべての数をとびとびに含む。
とすると、カントールの対角線論法を使ってC∞の要素数は非可算無限個の和集合であることがわかる。
つまりC∞は閉集合だが閉区間の列の可算個の和集合で表現できない集合となる。
コンパクト性について
同様に、「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いなのではないか？と思うが、これは誤りではない。
「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は実数の性質であり、この性質は実数のコンパクト性から導くことができる。(詳細は略)
(引用終わり)
つづく
528:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 22:03:51.27 sxkJNDKJ.net
>>484 つづき
関連４
URLﾘﾝｸ(toodifficult.seesaa.net)
確率変数の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月06日
(抜粋)
概説
(Ω,F,P) を確率空間とする。
確率変数は写像X:Ω→Rで、任意のA∈B(R)においてX?1(A)∈Fを満たすもの。
つまり、「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ということである。
なぜ逆像で定義するのか
「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ならば、「任意のω∈FにおいてX(ω)∈B(R)となる写像」を考えればいいような気もする。
これらの事象もなんらかボレル集合に割り当てなくてはいけないとなると、これは相当悩ましいし、そんなことで悩むのは無意味である。
なので、あえて逆像で定義して、そういったどうでもいいことが必ずしもボレル集合に割り当たってなくてもいいようにしてある。
じゃあ、ボレル集合側の微妙な要素はどのように処理するかである。
Fはσ-加法族であるので要素にΦを必ずもっているのだから、Φに割り当ててしまえばいい。
先のサイコロの例でいえば[3.1,3.9]というボレル集合について、X?1([3.1,3.9])=Φということになる。
(引用終わり)
以上
529:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/09 22:08:09.07 sxkJNDKJ.net
>>483 訂正
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
↓
３．Pk∈F (k∈N) → ∪ k=1～∞ Pk∈F
(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b?1/k]
↓
(a,b) = ∪k=1～∞[a+1/k,b-1/k]
文字化けしているな～（＾＾
530:DJ学術
18/03/10 10:17:01.71 P59AXYVi.net
アクション ポルノスタ カネ ボレル 数式だれかつけて。
531:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 17:18:49.64 vz4rUbyb.net
どうもスレ主です。
ご無沙汰です。（＾＾
年度末で公私ともに多忙で、アク禁にしていました
読むと書きたくなるし、書くと時間がかかるし、その上レスが付くとそれにまたレスをしてと・・
時間が足りなくなりますので（＾＾
532:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 17:21:37.07 vz4rUbyb.net
ホーキング博士が死去か
ご冥福をお祈りします・・
（キリスト教ではこういう言い方はしないかもしれませんが）
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
533:C1MM0000/ ホーキング博士が死去 宇宙論、車いすの天才科学者 日経 2018/3/14 (抜粋) 【ワシントン＝川合智之】複数の米欧メディアは14日、「車いすの天才科学者」として知られる英ケンブリッジ大の宇宙物理学者、スティーブン・ホーキング博士が死去したと報じた。76歳だった。 同氏はＡＬＳ（筋萎縮性側索硬化症）患者として知られ、宇宙論の入門書「ホーキング、宇宙を語る」が世界的なベストセラーになった。 同氏の家族が声明で明らかにした。同氏は宇宙創成やブラックホールのなぞなどを追究。最近では急速に発展する人工知能（ＡＩ）の危険性も指摘していた。 (引用終わり)
534:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 17:32:11.91 vz4rUbyb.net
ホーキング博士のブラックホールの研究
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ブラックホール情報パラドックス
(抜粋)
目次
1 原理
2 ホーキング放射
3 パラドックスの解決に向けた主なアプローチ
3.1 情報は失われ回収不能[9][10]
3.2 ブラックホールの蒸発の間、情報は徐々に漏れ出す[9][10]
3.3 ブラックホールの蒸発の最終段階で、情報は突然逃げ出す[9][10]
3.4 情報は、プランクサイズの残骸に保存される[9][10]
3.5 情報は、我々の宇宙から切り離された赤ちゃん宇宙に保存される[10]
3.6 情報は、過去と未来の相関の中で符号化される[12][13]
3.7 情報は失われるのではなく、事象の地平面でファイアウォールから輻射される。[14]
4 関連項目
5 出典
6 外部リンク
1970年代から、スティーブン・ホーキングとヤコブ・ベッケンシュタインは、一般相対性理論と量子場理論に基づき、情報の保存に矛盾するように見えるブラックホール熱力学を創始した。
特に、ホーキングの計算[3]は、ホーキング放射によるブラックホールの蒸発が情報を保存しないことを示した。
今日では、多くの物理学者が、ホログラフィック理論(特にAdS/CFT対応)がホーキングの誤りを示し、情報は実際は保存されると信じている[4]。
2004年、ホーキング自身も賭けに負けたことを認め、ブラックホールの蒸発は、実際は情報を保存していることに同意している。
関連項目
・AdS/CFT対応
・ブラックホールの相補性（英語版）
・宇宙検閲官仮説
・ファイアウォール
・ファズボール（英語版）
・ホログラフィック理論
・マクスウェルの悪魔
・ソーン・ホーキング・プレスキルの論争（英語版）
・ブラックホール脱毛定理（無毛定理，ノーヘア定理）
(引用終わり)
535:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 17:36:48.05 vz4rUbyb.net
関連
URLﾘﾝｸ(japanese.engadget.com)
7年かけて作った「人工ブラックホール」でホーキング放射を初観測。ブラックホールが完全にブラックではない証拠になるか Munenori Taniguchi 2016年8月17日
(抜粋)
イスラエルの科学者ジェフ・スタインハウアーが人工的なブラックホールを製作し、その振る舞いからスティーブン・ホーキング博士が1974年に発表した理論「ホーキング放射」に似た現象を観測したと発表しました。
スタインハウアーが作った人工的なブラックホールは本物のブラックホールのように光を含めて何でも吸い込むというものではなく試験用のチューブ内に流体を流し、
ある地点でそれを音速以上に加速させることで音響的な事象の地平面を生み出すというもの。
本物のブラックホールでは光が逃げられなくなる位置で事象の地平面が発生しますが、この人工ブラックホールでは音が逃げられなくなる位置を
536:事象の地平面とします。 もしかするとこの実験を発端として、ホーキング博士がノーベル賞を受賞するというストーリーもありえるかもしれません。 論文はNature Physics 「Observation of quantum Hawking radiation and its entanglement in an analogue black hole : Jeff Steinhauer」 http://www.nature.com/nphys/journal/vaop/ncurrent/full/nphys3863.html (引用終わり)
537:１３２人目の素数さん
18/03/14 17:39:30.26 XgEYIGkB.net
おっちゃんです。
久し振りにスレ主がコピペをしに来たようだ。
538:１３２人目の素数さん
18/03/14 18:36:17.99 XgEYIGkB.net
じゃ、おっちゃん寝る。
539:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 22:08:33.73 oKCOpUCp.net
突然ですが（＾＾
ちょっと古いが
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
ＡＩ「アルファ碁」を改良、将棋・チェスでも最強 グーグル、独学で鍛える 2017/12/6 16:36日本経済新聞
(抜粋)
【ワシントン＝川合智之】米グーグルの持ち株会社アルファベット傘下の英ディープマインドは、世界トップ棋士より強い最強の囲碁用の人工知能（ＡＩ）「アルファ碁ゼロ」を改良し、将棋やチェスにも応用したＡＩ「アルファゼロ」を開発した。
白紙の状態から独学で試行錯誤を繰り返し、数時間で現状の世界最強ソフトを超える強さを獲得。将棋・チェス・囲碁のいずれも最強という３冠を達成した。
５日にオンライン科学誌に論文を公表した。ＡＩにはまず将棋やチェスのルールだけを教え、自己対戦を繰り返させた。従来のソフトは人間が長年の歴史の中で考案した「定跡」やプロ棋士の棋譜を学ぶことで強くなったが、こうした人間のデータは与えなかった。
2017年の世界コンピュータ将棋選手権で優勝したソフト「エルモ」と、16年のチェス世界大会で優勝した「ストックフィッシュ」、囲碁の「アルファ碁」と強さを比較した。強さを示す指標「レーティング」をみると、アルファゼロが将棋では２時間弱、チェスでは４時間、囲碁では８時間学習した時点で各ソフトを上回る実力を手に入れた。
実際に各ソフトと100戦したところ、将棋は90勝８敗２分け、チェスは28勝無敗72分け、囲碁は60勝40敗と勝ち越した。異なるゲームに汎用で使える最強クラスのＡＩは初めてだ。人間がこれまでに考案した定跡も、誰からも教わることなく自己対戦の中から身につけたという。
つづく
540:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 22:09:13.93 oKCOpUCp.net
>>494 つづき
すでに盤上ではソフトがトップ棋士を上回っている。チェスでは1997年に米ＩＢＭの「ディープ・ブルー」が世界チャンピオンに勝利し、将棋では2017年４～５月に「ＰＯＮＡＮＺＡ（ポナンザ）」がトップ棋士の佐藤天彦名人に連勝。
囲碁では５月に「アルファ碁」が中国の世界最強棋士、柯潔（か・けつ）九段に３連勝した。アルファゼロはこれらのソフトより強いとみられ、トップ棋士を上回る棋力を得たと言えそうだ。
今回は将棋やチェスでもプロの対局データを使わず、独学かつ短期間で最強のＡＩになれることを示したのが特徴だ。囲碁ではアルファ碁の打ち方をプロ棋士が見ても「理解できない」と困惑が広がるなど、人知を超えた強さになっていた。
ゲーム以外の分野でも、人間には解けなかった難問の解明に貢献しそうだ。ディープマインドは
541:難病の早期発見や新素材の開発、生命の起源解明などに応用を見込む。将来、ＡＩが人間の知性を超えるとされる「シンギュラリティー（技術的特異点）」の実現につながる可能性も秘める。 (引用終り)
542:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/14 22:10:26.69 oKCOpUCp.net
グーグルAIは、数学もディープラーニングできるのだろうか？（＾＾
543:１３２人目の素数さん
18/03/16 17:26:54.85 HFqfq8TZ.net
おっちゃんです。
見に来ました。AIいわゆる人工知能か。
あんま興味ない。
544:１３２人目の素数さん
18/03/16 17:43:17.72 HFqfq8TZ.net
だけど、こんなことってあるんだな。
すべてが復活して歯車としてお互いにかみ合うｌことになるとは。
ダブルの意味で面白い発見でした。一体どうなるんでしょうね。
まあ、ブツブツいう単なる個人的な独り言に過ぎず、キモいと感じるかも知れんけど。
545:１３２人目の素数さん
18/03/16 18:16:16.28 HFqfq8TZ.net
一応やった甲斐があってよかった。
まあ、イメージとしてはもっと美しくなるかと思っていたんだが…。
じゃ、おっちゃん寝る。
546:１３２人目の素数さん
18/03/19 20:27:33.01 g0Y9fqse.net
大地をほめよ
讃えよ土を
我ら人の子の
我ら人の子の
大地をほめよ
ほめよ讃えよ
547:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 16:15:55.71 eE1rAe36.net
>>497
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご無沙汰です
AIこそ数学と相性が良いと思うのだが（＾＾
548:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 16:30:06.21 eE1rAe36.net
>>498-499
忙しいから、あまり書く時間がないが
おれは、全然納得してないんだよ（＾＾
>歯車としてお互いにかみ合うｌことになるとは。
だから、どの歯車が、どうかみ合うのか、その定義が不明確だが
私個人としては、かみ合う感じはしない
例えば>>419の定理Fな
全然納得してない
（補題BK５CH）このバカ板５CHで新しい数学の定理が書かれるはずもない
この（補題BK５CH）が正しいとすれば、>>419の定理Fはすでにどこかのテキスト（教科書）か論文にあるはず
もし、ないとすれば、その定理は間違っている
この２択以外にない
実際、だれか友達に話すときも、”５CHの定理F”ではバカ丸出しだ
かつ、引用するなら、テキスト（教科書）か論文として引用すべし
なので、定理Fがどこかに書かれていないか検索したが、和文ではヒットなし。英文もそれらしいのは無かった
だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾
549:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 17:03:07.83 eE1rAe36.net
>>502 つづき
>>419より
(引用開始)
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
(引用終り)
ここ証明中で、
”R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ”だが、考えてみると、Rは全体集合だから
R ⊃ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) でもある
合わせると、
R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) となるが
R－A ＝ ∪_k F_k と書ける（根拠は、下記の藤田博司PDF”第一類：可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できる”より）
とすると、Rが、二つの重ならない 高々可算無限個の閉集合 (∪_k A_k ) と (∪_k F_k ) の和 にかけることになる
それって、良かったのかな？
つづく
550:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 17:03:32.82 eE1rAe36.net
>>503 つづき
＜参考＞
URLﾘﾝｸ(tenasaku.com)
ルヘ゛ーク゛可測性にかんするソロウ゛ェイのモテ゛ル 藤田博司(愛媛大学理学部) 2007年数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P7
定義4. 位相空間の部分集合A について, その閉包の内部が空(Int Cl_A = Φ) となるとき, A はいたるところ
非稠密(nowhere dense) な集合と呼ばれる. 可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できるような
集合のことを, 第一類集合(set of first category) といい, そうでない集合のことを第二類集合(set of second category) という. □
Baire のカテゴリー定理. 完備距離空間の空でない開集合は決して第一類集合にならない. □
したがって, 完備距離空間において, 第一類集合の補集合はいたるところ稠密です. 可算個の第一類集合の和
がふたたび第一類集合になることは定義から明らかですから, 完備距離空間の第一類集合は, 比較的“小さな”
集合であるということができます.
つづく
551:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 17:04:03.64 eE1rAe36.net
>>504 つづき
定義5. 数直線R の第一類部分集合のことを疎集合(meager set) といい, その全体をM であらわす. □
こうして, ルベーグ測度の零集合のクラスN の類似物として疎集合のクラスM が導入されました. これ
にともなって, ルベーグ可測性の類似物として導入されるのが, ベールの性質です.
定義6. 実数の集合A に対して, A△B ∈ M をみたすボレル集合が存在するとき, A はベールの性質 (property of Baire) を持つという. □
ここでのB としては開集合をとることができます. ベールの性質を持つ集合のクラスはルベーグ可測集合
のクラスと多くの性質を共有しています. 直積測度にかんするFubini の定理に対してKuratowski とUlamの定理, というように, 測度論のいろいろな定理に対してその“カテゴリー版” が存在します.
ルベーグ可測でない集合が存在するのと同様に, ベールの性質を持たない集合も存在します. 実際, Vitali の
ルベーグ不可測集合はベールの性質を持ちません. また, 選択公理を用いれば, ルベーグ可測だがベールの性質
を持たない集合, ルベーグ不可測だがベールの性質を持つ集合などの存在を容易に証明できます. そこで, 実数
のどんな集合がベールの性質を持つか, また, ベールの性質を持たない集合を具体的・明示的に定義できるか,
というのは自然な問いといえます*7. Solovay の二つの定理の(c) と(c’) はこのことを問題にするものです.
次の補題は, 第3 節でランダム実数とコーエン実数の性質を対比する際に役に立ちます. (証明が明示的・構成的である点に, よく注意してください.)
補題5. 数直線R を二つの互いに交わらない集合A とB に分割して, A が零集合B が疎集合となるように
できる.
[証明]
*7 ただし, 測度の問題の(A) と(B) に対応するものは, ベールの性質については考えられません.
(引用終り)
つづく
552:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 17:04:29.04 eE1rAe36.net
>>505 つづき
PDFは、下記サイトより
URLﾘﾝｸ(tenasaku.com)
なげやりアカデミア 藤田博司(愛媛大学理学部)
以上
553:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 17:09:20.50 eE1rAe36.net
>>506
余談だが、いろいろお世話になっている藤田博司先生の新連載ご紹介＼（＾＾）／
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
雑誌詳細：数学セミナー 2018年4月号
(抜粋)
新連載
・やわらかいイデアのはなし……藤田博司 57
大きい数・近い点・近傍フィルター
(引用終り)
554:１３２人目の素数さん
18/03/21 18:40:51.82 ra7586Zp.net
おっちゃんです。
>>502
私が以前示した定理やその証明のこと。
その定理の内容とその証明に大きな間違いがあった。
今日1日かけて訂正作業をしていたんだよ。
ここにその定理の内容やその証明はまだ書いていない。
555:１３２人目の素数さん
18/03/21 18:42:02.82 ra7586Zp.net
じゃ、おっちゃん寝る。
556:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 19:11:46.90 eE1rAe36.net
突然ですが、メモ
URLﾘﾝｸ(kobeblog.net)
�
557:�木しげる 神戸のゆかりの地 水木通・水木荘・北野工房のまち（神戸）:神戸の金庫屋４代目 バカ息子のblog 2010年09月25日 (抜粋) ゲゲゲの鬼太郎の作者で知られる、『水木しげる』さんの本名は、「武良茂」。 ペンネームの「水木」は、この水木通から。 昭和24年（1949年）、水木しげるさんが27歳の時、 復員兵救済募金旅行の途中、たまたま立ち寄った神戸で、安宿の女主人に神戸市兵庫区水木通のアパートを買い取らないかと持ちかけられます。 昭和25年（1950年）、そのまま神戸に落ち着き、そのアパートの貸家経営を始めます。 水木通にあったので、『水木荘』と命名。二階建てで、十室のアパートだったようです。 「水木荘」の住人であった、紙芝居作家のツテで水木さん自身も紙芝居画家の道へ。 紙芝居演者の名人、鈴木勝丸さんが経営する「阪神画劇社」の専属となります。 その鈴木さんが「水木荘に住んでいる、しげるさん」ということで、「水木さん」と呼んでいたことから、ペンネームが「水木しげる」となったそうです。 【水木荘跡】 地図 http://map.yahoo.co.jp/pl?type=scroll&lat=34.67607065809639&lon=135.16716266908455&z=19&mode=map&pointer=on&datum=wgs&fa=ks&home=on&hlat=34.67608389289326&hlon=135.16716401018917&layout=&ei=utf-8&p=%E6%B0%B4%E6%9C%A8%E9%80%9A 住所：神戸市兵庫区水木通2丁目（周辺） 【水木湯】 地図 http://www.e-sento.net/mizukiyu/ 住所：神戸市兵庫区水木通2-2-21 【北野工房のまち】 地図 http://www.kitanokoubou.ne.jp/ 住所：神戸市中央区中山手通3-17 【ネットミュージアム兵庫文学館】水木しげるワールド http://www.bungaku.pref.hyogo.jp/kikaku/mizuki/index.html 【関連ブログ】 水木しげるロード（境港）..1（妖怪ブロンズ像） 水木しげるロード（境港）..2（鬼太郎がいっぱい） 水木しげるロード（境港）..3（水木しげる記念館） 水木しげるロード（境港）..4（鬼太郎パン・神戸ベーカリー） 水木しげるロード（境港）..5（妖怪神社・妖怪饅頭） ※上記、関連ブログは、鳥取県境港市の水木しげるロードです。 (引用終り)
558:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 19:12:44.57 eE1rAe36.net
>>508-509
おっちゃん、どうも、スレ主です。
訂正よろ
559:１３２人目の素数さん
18/03/21 20:22:23.41 eR/nSoqP.net
本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成す
るもの
本が著者だけで作れるなら全ての本の前書きは意味が
ないし新訂版の序文に俺が載っていて現代数学社もそ
れを認めているのと新訂版の著者である北田先生が富
田社長に感謝の意を示しているのも意味がなくなる
事実を否定されても迷惑でしかない
しかもそれを不特定多数の誰もが見れてかつ現代数学
社の業務妨害になる形でされたら困るのは俺だけでは
ない
共著と合作では意味が違うし共著だったらそもそもレ
ビューは書けないし書けるとしたらこのようなレビュ
ーは書かない
そこまで考えられないのにネットを使うなよ
数学は誹謗中傷や名誉毀損のためにあるんじゃない。
誹謗中傷や名誉毀損のために数学してる
560:人は今すぐ数 学をやめろ。数学が汚れる。数学をまじめにやってい る人が愚弄される。誹謗中傷や名誉毀損は自分が被害 者じゃなくても見ていて不愉快なのは俺だけではない 。考える力もないのにネットを使うなよ 数学はひとりでやれるという思想を持つなら絡んでく るなよ暇人が 数理解析学概論を汚すな 北田先生がどういう意図と経緯で新訂版を書いたのか って俺が明らかに中心的役割を果たしただろ 本は著者だけで作れるというならやってみせろよ 出版社と読者がいないと完成しないんだよ 寂しいなら風俗行け あんな性格じゃリアルにもネットにも友達いないでし ょ 指摘や批判も度が過ぎたら名誉毀損
561:１３２人目の素数さん
18/03/21 20:22:58.92 eR/nSoqP.net
事実をデマと言って受け入れられないとか精神的に幼
すぎる
題名を変えた
最近Amazonでレビューを編集するとそのレビューが
最下位になるから戻るまでは3位だけど
３回も名誉毀損コメントするくらいなら現代数学社に
問い合わせればいい
現代数学社にとっては迷惑だろうけど
定理の証明が独特だったり台がコンパクトな超関数が
きちんと書かれてるからこの題名
誹謗中傷や名誉毀損が趣味の人ってなんで日本語が日
本人なのにおかしくて単語の意味を正確に理解できて
いないのか。なんで何も成し遂げてないのに偉そうに
するのか。不愉快を通り越して不思議なんだが。あん
なに必死に何かを隠そうとするのは異常だ。何かの病
気なのではないかとすら思う。
562:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 21:23:04.43 eE1rAe36.net
検索でヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
直積空間における位相的Borel集合族と直積Borel空間 伊藤 清三 数学 / 34 巻 (1982) 3 号 /
(抜粋)
§1.まえがき
測度は位相から‘解放'しなくても本来'独立'している
ことは,いまさらいうまでもないが,測度を考える空間
が例えば局所コンパクトHausdorff空間の場合は,測度
の定義域は,その中の開集合全体で生成されるσ－algebra
とするのが,多くの場合に自然である.今後,位相
空間Xの中の開集合全体で生成されるσ－algebraをBx
と書き,位相的Borel集合族と呼ぶことにする.
(引用終り)
563:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 21:29:01.89 eE1rAe36.net
検索でヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
実函数論50年-積分論関係 越 昭三 数学 / 36 巻 (1984) 3 号
(抜粋)
1.積分論の創始とその発展
そもそも積分論は種々の形の面積体積を求める問題
の解法という形で,古代から存在したと言って過言では
ない.17世紀にNewtonとLeibnitzによる微分,積分
の発見,更にRiemannによる区間で定義された連続函
数の積分すなわちRiemann積分の定義をへて,数学的
に完成した積分を与えたのはLebesgueである.1902年
の彼の学位論文[1]で彼は定積分,曲線の長さ,曲面の面
積などについて,できるだけ一般的でかつ厳密な定義を
与える試みを行った.それ以来Lebesgueはいくつかの
論文によって今日Lebesgue積分論(最近は単に積分論
ということが多い)と呼ばれる完成された理論を構成し,
それは数学上の一つの道具としで数学のあらゆる面に幾
多の影響を与えてきた.そしてこの方面の解説書も多く
de la Val1ee Poussin (1934)[1]Saks(1937)[1]等の書物
はその時代までの成果を丁寧に述べたものとして出版当
時多くの数学者に読まれたものであった.その特徴はま
ず測度論を基調とする積分論である.測度空間・・・
(引用終り)
564:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/21 22:56:55.02 eE1rAe36.net
>>512-513
>本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成す
>るもの
これは哲学だな
”本”の定義は？
”完成”？ 定義は？
なんぞや？
定義によっては、「本は著者だけで完成する」と思うよ
565:
18/03/22 00:32:42.22 gY/4oKoB.net
>>516
手元の石井ガロア本がいい例で、重版とともに内容が修正、改良されていくので、信者は追加購入するありさまです…
どこかで読んだのですが著者がガロア本の読者から支援（＝著書の正誤表を複数の読者から提供されていた）を受けていたことが赤裸々に告白されています
>>516 の間違っている点は「人は間違える動物であり、それも大事なところで間違えるのであり、完璧な人間などいない」
ということに未だに思い至らない点であろうと推察しています
566:１３２人目の素数さん
18/03/22 02:30:12.72 j4CRNzIY.net
おっちゃんです。
>>511
ここには書かんよ。
>>512
>本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成するもの
本が出版されるまでの段階では、読者は関わりようがなく、
本は著者と出版社とで完成するというのが普通の考え方だと思うが？
出版された本の読者がいないこともあれば、その本の読者が本の内容を必ず理解出来るとはいえない。
本の前書きには、読者がその本を読むにあたり、
必要な前提知識や本の内容の数学的な背景などが書かれていたりする。
まあ、そもそも、私は数理解析学概論を読んではいなく、絡んでなどいない。
ツイッターにも興味はない。
567:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/22 16:42:34.59 bnAjMLqo.net
URLﾘﾝｸ(logmi.jp)
オーディエンス熱狂！ ロマンティック数学ナイトで熱弁されたリーマンゼータ関数のやばさ
ロマンティック数学ナイト > ゼータの普遍性 ～ゼータの持つ驚くべき性質～ スピーカー せきゅーん 氏 2016年8月19日
(抜粋)
トピックス一覧
ロマンティックなリーマンゼータ関数
ゼータには超ロマンティックな性質がある
圧倒的な熱量のプレゼンに会場が爆笑
（会場笑）
それでは応用を述べましょう。このσをクリティカルストリップ内の点、固定したときに、微分の並べたやつというのはCのn乗の中で稠密なんですよね。これを使うとですね、驚くべきことにリーマンゼータというのは、一切、微分方程式を満たしません。やばくないですか？
しかもこれ、このF(s) の部分を多項式に限定したときに、代数的微分方程式って言うんですけど、これをを満たさないことはヒルベルトも予想もしてましたが、F(s) が任意の連続関数であっても微分方程式を満たさないんですよね。……やばい！
（会場笑）
では最後です。リーマン予想との関係を述べましょう。先ほど、このボローニンの普遍性定理というのは零点を持たないという情報が重要でした。しかしリーマン予想が解けていない以上、リーマンゼータそれ自身は近似できるかわからないわけですね。
しかし、まことに驚くべきことに、リーマンゼータそれ自身をリーマンゼータが近似できるならば、リーマン予想は成り立つ、逆も成り立つんです。
すなわちですよ、リーマンゼータというのは万能細胞だったわけですが、自分自身をも近似できる、ある種の自己言及性が成り立つということこそがリーマン予想だったんです！
（会場拍手）
すばらしい。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(logmi.jp)
568:F%E3%81%AE%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7-%EF%BD%9E%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AE%E6%8C%81%E3%81%A4%E9%A9%9A%E3%81%8F%E3%81%B9%E3%81%8D%E6%80%A7%E8%B3%AA%EF%BD%9E ゼータの普遍性 ～ゼータの持つ驚くべき性質～に関するイベントや講演会、インタビューの記事
569:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/22 16:50:30.07 bnAjMLqo.net
>>517
C++さん、お元気そうでなによりです
C++さんの定義なら、本は永遠に未完ですな（＾＾
570:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/22 17:03:40.34 bnAjMLqo.net
URLﾘﾝｸ(math.tsukuba.ac.jp)
解析数論ホームページ
Last Updated 03/12/2018 12:21:59
URLﾘﾝｸ(math.tsukuba.ac.jp)
第９回整数論サマースクールにて名古屋大の松本耕二先生の行った講演「Riemannゼータ関数概論」の講義録を著者及び、サマースクール世話人の平野幹先生の許可を得て公開します。
Riemannゼータ関数概論 (DVI file), TEX file
URLﾘﾝｸ(math.tsukuba.ac.jp)
Riemann ゼータ関数概論
松本耕二(まつもと こうじ)
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
(抜粋)
本稿は, 第 9 回整数論サマースクール (2001.7.15-7.19) の初日午後 (15 日 15:00-18:20, うち休憩 20 分) と二日目午前 (16 日 9:00-12:20, うち休憩 20 分) に 行なわれた筆者の講演 「Riemann ゼータ関数(I)(II)」の内容に, その時には述べられな かった若干の関連事項を付け加えたものである。
(引用終わり)
571:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/03/22 17:05:12.44 bnAjMLqo.net
>>518
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうでなによりです（＾＾
572:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:21:21.97 wMQoAxTh.net
>>502
＞例えば>>419の定理Fな
＞全然納得してない
＞(中略)
＞だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾
いい加減にしろキチガイ。
定理Fの証明は、>>419 にそのまま書かれている。何度も書いているように、
いくらキチガイのお前と言えども、この程度の証明はすぐに読めるはずである。
実際、お前は既に定理Fの証明を読み終えている。そして、お前自身が
自分の言葉で言い換えた>>434の(1)～(4)の記述が既に存在している。俺は>>444で
＞話の流れは合っているが、(2)は微妙に間違っている。正しくは
＞
＞(2) もしこの閉集合がすべて、内点を持たないならば、Aが第1類集合になってしまうから
＞
＞と書くべきである。
と書いたが、この修正を踏まえれば、>434でお前が書いた(1)～(4)の記述は「正しい」のである。
つまり、お前は>434において既に、自分の力によって定理Fが正しいことを確認しているのである。
にも関わらず、今さら「納得していない」だの「定理Fの文献が見つからないからガセ」だのという
子供じみた言い訳でダダをこねるのは詭弁である。お前が書いた>434の(1)～(4)は一体何だったのだ？
573:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:23:23.97 wMQoAxTh.net
>>503
＞R－A ＝ ∪_k F_k と書ける（根拠は、下記の藤田博司PDF”第一類：可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できる”より）
何がしたいのか意味不明な上に、息をするように間違えるゴミクズ。
最初に与えられた A ＝ ∪_k A_k, R－A ⊂ ∪_k F_k という条件から R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★)
を導き、そこから R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) という等号を導くことは可能だが、だからと言って
R－A ＝ ∪_k F_k
という等号は必ずしも導けない。必ず導けると思っているのはお前の幼稚な勘違いである。
「根拠は、下記の藤田博司PDF」などと言っているが、全く根拠になってない。R－A は第一類集合だから、
もしイコールで書こうとすれば、R－A＝∪_k F '_k なる疎集合 F '_k は取れることになるが、
その F '_k が F_k に一致する保証はどこにもないし、R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) と組み合わせて�
574:� F '_k ＝ F_k なんて出てこない。だから、お前の幼稚な勘違い。 あるいは、次のように言ってもよい。∪_k A_k のことを1文字で A' と書くことにし、 ∪_k F_k のことを1文字で F と書くことにすると、お前が言っているのは次のようなことである。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― A ＝ A', R－A ⊂ F という条件から R ⊂ A'∪F …(★) が成り立つので、 R ⊃ A'∪F にも注意して、R ＝ A'∪F が成り立つ。よって、R－A ＝ F が成り立つ。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ↑これがお前の言っていることである。明らかに、この主張は間違っている。 R ＝ A'∪F から出発して丁寧に集合計算してみると、R－A＝(A'∪F)－A＝(A'－A)∪(F－A)＝φ∪(F－A)＝F－A すなわち R－A＝F－A が成り立つに過ぎないのである。R－A ＝ F が必ず成り立つというのはお前の勘違いである。 「藤田博司PDF」を適用しても、R－A＝F－A が R－A ＝ F に化けることは無い。 [続く]
575:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:25:18.02 wMQoAxTh.net
[続き]
で、F_k に与えられた最初の条件は R－A ⊂ ∪_k F_k というものであるから、
もともと R－A ＝ ∪_k F_k が成り立つような F_k が取れる場合には、
そのような F_k に対して自明に R－A ＝ ∪_k F_k という等号が成り立っている。
一方で、真の包含としての R－A ⊂ ∪_k F_k のみが成り立つような F_k の場合には、
当然ながら R－A ＝ ∪_k F_k という等号は出て来ようがない。そして、前述のとおり、
「ここで必ず等号が出てくる」というのはお前の幼稚な勘違いである。
そもそも、お前は R－A ＝ ∪_k F_k という等号の成立・不成立を気にしているが、
それを気にすること自体がナンセンスである。なぜなら、等号が成り立っているケースでも、
R－A ⊂ ∪_k F_k しか成り立っていないケースでも、どちらにしても定理Fの証明は
そのまま通用するからである。必要なのは R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) という包含のみである。
これが言えた時点でベールのカテゴリ定理になってしまい、ある A_k が開区間を含むしかないので、
A＝∪_k A_k により、Aも同じ開区間を含むのである。ほら、定理Fは正しいだろ？
あるいは、お前が書いた>>434の(1)～(4)のような解釈の仕方でもよい((2)を>>444のように修正すれば)。
いずれにしても、定理Fは正しい。このことの一体どこに納得できないポイントがあるのだねキチガイ君。
>>504-506 については、「>>503の続きである」としつつも引用しか書かれておらず、
その引用から何を言いたいのかお前のコメントが無いので意味不明。
全体として、何がしたいのか全く意味不明。キチガイ。
[続く]
576:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:26:22.78 H4RM9Nsk.net
証明を読まない主義を頑固に貫く稀代のアホ
（実は教科書も読まない主義、何故か自分の直観は無批判に信じる主義）
577:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:26:33.22 wMQoAxTh.net
[続き]
あるいは、次のように言ってもよい。お前が定理Fを納得できない最大の原因はベールのカテゴリ定理である。
というより、お前は定理Fを納得していないのではなく、本質的にはベールのカテゴリ定理を納得していないのである。
よく考えてみよ。STEP1 において R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) が導けたからといって、
この時点ではまだ「開区間」との繋がりが全く存在していない。そこで開区間に繋がるための道具が
ベールのカテゴリ定理である。これがなければ開区間は出てこない。そして、開区間が出てきた瞬間に、
定理Fが正しいことが自明に確定する。となれば、お前が未だに納得せずにアヤシイと思っている箇所は、
「 (★)から開区間に繋がるところがアヤシイ 」
ということであり、つまりお前は、暗黙のうちに
「ベールのカテゴリ定理がアヤシイ」
と言っていることになる。つまり、お前はベールのカテゴリ定理に納得していないのである。
[続く]
578:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:30:08.46 wMQoAxTh.net
[続き]
そして、ここからはベールのカテゴリ定理についてよく考えてみよ。
R⊂∪_k E_k と可算無限個の閉集合 E_k の和で包含できたからといって、なぜそこでいきなり
「ある E_k は開区間を含む」
と言えるのだね？まさにそのことを主張しているのがベールのカテゴリ定理なのだが、
お前は開区間が出現するメカニズムをきちんと理解しているのかね？お前が疑問に思っている
「定理Fで なぜ開区間が取れるのか、直観的なイメージがわかない」
という感覚は、
「 R⊂∪_k E_k (各E_kは閉集合) から、なぜあるE_kが開区間を含むのか、直観的なイメージがわかない」
という主張に翻訳されるのであり、つまりお前は暗黙のうちに
「ベールのカテゴリ定理には納得がいかない。ベールのカテゴリ定理はアヤシイ」
と言っていることになるのである。
つまり、お前がバカで不勉強でキチガイなだけ。間違ってるのはお前一人だけ。ゴミクズ。
579:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:31:45.71 wMQoAxTh.net
>>502
＞例えば>>419の定理Fな
＞全然納得してない
＞(中略)
＞だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾
ここについてもう1つ。お前は定理Fが書かれた文献を探しているようだが、
そのような文献は既に>>333で挙げてある。よほど都合が悪いのか、
お前はこの文献をスルーし続けているが、>>333でハッキリと文献を挙げてあるのである。
＞1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
＞
＞URLﾘﾝｸ(fm.math.uni.lodz.pl)
＞
＞＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞＞ easily seen to be nowhere dense.
＞
＞このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
このように、定理Fをさらに一般化した定理F3が、上記の文献の中で使われているのである。
その証明たるや、「 Gδ set of first category is easily seen to be nowhere dense 」と
書かれているように、証明が簡単なので証明がついておらず、
定理F3と同じ主張をそのまま英語で述べるだけで、いきなり定理F3を使用しているのであるｗ
というわけで、「文献が見つからないから定理Fはガセ」というお前の詭弁はこれによって論破される。
580:１３２人目の素数さん
18/03/22 22:37:42.71 wMQoAxTh.net
ちなみに、お前が文献を見つけられない理由も、上記のpdfを見れば明らかである。
「 Gδ set of first category is easily seen to be nowhere dense 」と書かれているように、
そもそも定理Fのたぐいには標準的な名称すら存在しないのである。もし標準的な名称があるなら、
上記のpdfでもその名称を使うはずであるが、実際にはそのような書き方になっておらず、
定理F3の主張をそのまま英語で述べて、定理F3をいきなり使用しているのである。しかも、証明がないｗ
つまり、定理Fのたぐいは、標準的な名称すらつかないような、大袈裟に定理として記述する価値がない自明な定理なのであり、
上記のpdfのように、証明を書かずにそのまま使用することが認められているような、もはや定理というより "既成事実" に近い
扱いなのである。だから文献が見つからないのである。
「全ての正しい定理はどこかのテキストまたは論文できちんとした名称つきで証明も与えられているに違いない」
というお前の幼稚な考えは間違っているのである。
「大袈裟に定理として記述する価値がない自明な定理には証明も標準的な名称も与えられず、
既成事実として直接的に定理の内容を述べてそのまま使うことが許される」
のである。そんな自明な定理であるにも関わらず、お前のようなキチガイからすれば
「自分では証明が正しいことを確信できず、文献も見つからないので、ガセと判断する」
という愚行に走るしかないのである。全く数学的な態度ではない。
これで数学について何かを語った気になっているのだからキチガイと言う他ない。
STEP1,STEP2(>>419)という、この程度の極めて簡単な証明に、一体いつまで躓いたままでいるつもりなんだゴミクズ。
さっさと理解しろや。定理Fは正しいし、文献も>>333に挙げてあるだろ。
というか、お前自身も既に>>434の(1)～(4)で自分の言葉で既に理解してるだろ。
「文献が見つからないからガセ」とかいう子供じみた言い訳でダダをこねるなクソガキ。