18/02/27 23:56:12.42 PooGUru6.net
>>365 >>369 ＜まず証明書き直し＞
(引用開始)
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/(2n - 3/2)π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
(引用終り)
ここで、
f(x) =x^3/2 sin(1/x) を微分して
f｀(x) =3/2 x^1/2 sin(1/x) -(1/x^1/2) cos(1/x)となる
1)
xn =1/(2nπ)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=1なので
f｀(xn) = -√(2nπ) → -∞ as n → ∞.
2)
xn =1/(2nπ+π)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=-1なので
f｀(xn) = √(2nπ+π) → ∞ as n → ∞.
3)
いずれにせよ
xn → 0, | f｀(xn) | → ∞ as n → ∞
であり、微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない