18/02/25 19:16:42.50 r2nQOARz.net
>>365
この論文は、フレシェ微分の話がよく出てくる
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(抜粋)
数学におけるフレシェ微分は、モーリス・ルネ・フレシェの名にちなむ、バナッハ空間上で定義される微分法の一種である。フレシェ微分は、実一変数の実数値函数の導函数を、実多変数のベクトル値函数の場合へ一般化するのに広く用いられ、また変分法で広範に用いられる汎函数微分を定義するのにもつかわれる。
一般に、これは実一変数実数値函数の微分の概念をバナッハ空間上の写像へ拡張するものであり、より一般のガトー微分（古典的な方向微分の一般化）とは対比されるべきものである。
性質
一点で微分可能な函数はその点で連続である。
フレシェ微分を取る操作は、次の意味で線型演算である。二つの写像 f, g: V → W は x において微分可能で、r, s が二つのスカラー（実数もしくは複素数）ならば、rf + sg は x において微分可能で D(rf + sg)(x) = rDf(x) + sDg(x) を満たす。
この文脈では連鎖律も同じく有効である。f: U → Y が点 x ∈ U において微分可能かつ g: Y → W が点 y = f(x) において微分可能ならば、それらの合成 g ○ f は点 x において微分可能、かつその導函数は各導函数の合成
D(g○ f)(x)=Dg(f(x))○ Df(x)}
になる。
有限次元
有限次元空間におけるフレシェ導函数は通常の導函数である。特に、座標系を定めれば、フレシェ導函数はヤコビ行列で表される。
ガトー微分との関係
函数 f:U⊂V→W が x ∈ U においてガトー微分可能であるとは、f が x において任意の方向へ沿った方向微分を持つときに言う。これはつまり、任意に選んだ h ∈ V に対して函数 g: V → W で
g(h)=lim t→0 {f(x+th)-f(x)}/{t}
を満たすものが存在するという意味である[1]。ただし、t は V に付随する係数体から取ったものである（ふつう t は実数である）。f が x においてフレシェ微分可能ならば、f は x においてガトー微分可能かつ g は線型作用素 A = Df(x) とちょうど一致する。しかし、任意のガトー可微分函数は必ずしもフレシェ微分可能でない。
関連項目
微分の一般化（英語版）
無限次元正則性（英語版）
(引用終り)