18/02/23 17:15:25.87 j39gs3Lv.net
>>339-341
さて、お前が主張しているのは、
(i)「 (a,b)⊂B_f ならば、f は (a,b)全体でリプシッツ連続だ 」
という間違った主張である。B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ } だったから、
上記の(i)をA_f(x)を使って書き直すと、次のように言い換えできる。
(ii)「 各点 x_0∈(a,b) に対して A_f(x_0)＜＋∞ ならば、f は(a,b)全体でリプシッツ連続だ」
このように書けば、(i),(ii)が間違っていることは明白である。なぜなら、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が反例になるからだ。この f に対して、(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＝｜f ' (x_0)｜＜＋∞ が
成り立つが、しかし f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
なお、 A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝0 が成り立つことに注意せよ。A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝＋∞ だと勘違いするな。