18/02/18 10:49:15.02 Mo7Jg5gC.net
>>279 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベール空間
(抜粋)
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
・X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
・X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
・X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
ベールの範疇定理
詳細は「ベールの範疇定理」URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) を参照
(引用終り)
以上
追記
「無理数の全体 P」とあるね（＾＾