暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch231:3(土) 10:37:20.53 http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf 典型的連続関数のDini微分斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院 (抜粋) 1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理 x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点における Dini 微分を主に考える． Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理） f : [0, 1] → R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成立する： (1) D^+f(x) = D+f(x) = D^-f(x) = D-f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能． (2) D^+f(x) = D-f(x) ∈ R, D^-f(x) = ∞, D+f(x) = -∞． (3) D^-f(x) = D+f(x) ∈ R, D^+f(x) = ∞, D-f(x) = -∞． (4) D^±f(x) = ∞, D±f(x) = -∞．注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照． Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述べる．系 1.5 任意の f : [0, 1] → R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも成立しないことから系が従う． http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html 研究集会での講演斎藤新悟九州大学基幹教育院准教授 (抜粋) 36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］実解析学シンポジウム 2009 ＠城西大学坂戸キャンパス関連文書：アブストラクト，報告集 (引用終り) （追加） https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Young%E2%80%93Saks_theorem Denjoy?Young?Saks theorem 以上