18/02/12 12:04:28.35 jJmJQjLM.net
>>128 つづき
さて、ついでに下記を書いておきます
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これを書き直すと
仮定P： f : R → R とする．Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く。
R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません
以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、１）反例となるか、２）仮定Pが偽（空集合）（＝このような場合が存在しない）か、どちらかということです。
１）の反例となる場合は、定理1.7不成立
２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません
以上
137:１３２人目の素数さん
18/02/12 12:06:06.08 IoO/5qAd.net
>>124
最大値があるとは言えませんよ
138:１３２人目の素数さん
18/02/12 12:08:57.27 IoO/5qAd.net
>>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？
139:１３２人目の素数さん
18/02/12 13:04:24.81 X1pATS5E.net
＞最大値があるとは言えませんよ
スレ主のファンタジー数学ではスレ主が「ある」と言えばあるのです。
140:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:01:34.31 xN3w9Uzw.net
数日ぶりにレスをする、おっちゃんです。
土日(金曜の夜を含む)と休日、祝日の振り替えとの合計日間で大体100レス進んだのかな。
ということは、土日だと一日当たり大体30～40近くレスが書き込まれるということか。
スレ主は相変わらず頑固に屈さないな。
数学はディベートというか討論とは違うんだけどな。スレ主は討論会だと負けないだろうね。
141:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:25:52.76 xN3w9Uzw.net
p を仮定、qを結論とする。命題 p⇒q の真偽について、
p、q が両方共に真のとき、 p⇒q は真、
p が真、q が偽のとき、 p⇒q は偽、
p が偽、q が真のとき、 p⇒q は真、
p、q が両方共に偽のとき、 p⇒q は真。
これは基本。
あと、命題 p∧q → q については、仮定の p∧q で結論のqが仮定されていることになるから、p∧q → q は必ず成り立ち真になる。
逆に、命題 q → p∧q については、qが真かつpが偽のとき p∧q が偽になって反例になるから、必ずしも真になるとは限らない。
142:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:49:04.89 xN3w9Uzw.net
>>127
>無理数P*や超越数Tがあります
普通、無理数全体の集合は R＼Q 、超越数全体の集合は C＼CL(Q) (CL(Q) は有理数体Q上の代数的閉包を表すとする) で表す。
但し、線型代数が出来れば、任意の超越数は実超越数と実代数的数とから構成出来て、
実超越数全体の集合を R＼( CL(Q) ) で表すことと同じになることが分かる。
143:１３２人目の素数さん
18/02/12 16:54:47.68 xN3w9Uzw.net
で、今スレ主が反論のネタにしているのは ε-δ の関数の連続性や微分可能性のことだから、
言葉で反論している限り、無理数や超越数なんて関係ない。
144:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:07:55.73 caXk6IEJ.net
>>125
＞「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
＞仮定P： f：R → R が原点で微分可能
＞これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
＞だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
それでは定理Cの証明にならない。
このことを丁寧に書くと、まずお前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――
定理C:
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理Cを証明しよう。f は原点で微分可能とする。f は原点で連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続
しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、f が原点で微分可能としたときの
場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない。
―――――――――――――――――
↑これがお前の言っている屁理屈である。この屁理屈の何が間違いなのかと言うと、
今は定理Cを証明しようとしている段階なのに、
＞しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
このように書いてしまったら、「先に定理Cを適用している」ことになって循環論法なのである。
つまり、これでは定理Cの証明にならないのである。
145:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:10:18.84 caXk6IEJ.net
あるいは、次のように言ってもよい。もし >>137 の論法が許されるなら、俺も次のような論法を使わせてもらう。
―――――――――――――――――――
定理1.7:
R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
俺：
定理1.7を証明しよう。R－B_f は第一類集合とする。
f はある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) R－B_f は R の中で稠密ではない (2) R－B_f は R の中で稠密である
しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、R－B_f が第一類集合としたのきの場合分けには、
「 R－B_f は R の中で稠密である 」は存在しない。
―――――――――――――――――――
↑お前が言っているのは、こういうバカげた主張なのである。
＞しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
↑このように、証明の中で先に該当の定理を使ってしまったら、起こり得ない場合分けが先に排除できるのは
当たり前である。でも、それじゃあ循環論法であって、定理の証明にならないのである。
しかし、そのような芸当を定理Cの証明に対しては平気で使っているのがスレ主である。キチガイ。
146:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:12:13.96 caXk6IEJ.net
さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした
147:場合には、 "場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り ――――――――――――――――――――――― P： f は原点で微分可能 Q： f は原点で連続 P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続 P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続 P ＝ P1∨P2 ――――――――――――――――――――――― という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。 「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」 これは一体どういうことだね？
148:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:13:39.58 caXk6IEJ.net
>>124
＞「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
＞最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
＞それで終りでしょ？
ぜんぜん終わらない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
x∈(a,b) を動かすごとに Af(x) が「有限値」であっても、
max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値で存在するとは限らないだろバカタレ。
――――――――――――――――――
具体例：
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、f は任意の点で微分可能なので、特に B_f ＝ R が成り立つ。
従って、(a.b)⊂B_f なる開区間は取り放題である。
特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。このとき、
max_{x∈(－1,1)} Af(x)
は有限値として存在しない。このことを、グラフを書いて確かめてみよ。
原点の近傍にいくらでも傾きが大きい点が存在するので、(－1,1) 上では
有限値としての max は存在しない。にも関わらず、各点で Af(x) は有限値である。
――――――――――――――――――
149:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:22:11.65 caXk6IEJ.net
もちろん、>>140 の場合は、(2, 3)⊂B_f とでもすれば max_{x∈(2,3)} Af(x) が
有限値として存在する。しかし、スレ主風に言えば、次のような疑問が生じることになる。
―――――――――――――――――――
f の原点での振る舞いが、原点のみならず R 上で稠密に分布するような
別の関数 g であって、しかも B_g ＝ R が保たれたままであるような上手い g が
もし存在したとすると、(a,b)⊂B_g なる開区間は取り放題であるにも関わらず、
max_{x∈(a,b)} Ag(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないことになるし、
この g はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
―――――――――――――――――――
このように考えると、B_f が開区間を含んでいるという条件下でも、
f がリプシッツ連続になる開区間が取れることは全く自明ではないことが分かるだろう。
あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
むろん、実際には、上記のようなヘンな関数は存在しない。すなわち、(a,b)⊂B_f なる開区間が取れるなら、
ある開区間の上で max Af(x) が有限値で存在するし、f はある開区間の上でリプシッツ連続になる。
ただし、そのことを証明するための方法は>>110なのであって、スレ主とかいうゴミクズが
考えているような単純な状況には決してなっていない。
150:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:25:12.74 caXk6IEJ.net
>>129
＞２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
間違っている。スレ主とかいうゴミクズは目的と手段をはき違えている。
・ 目的：「 P → Q 」という命題全体が真であることを証明したい。
・ 手段： P という仮定のもとで結論Qを導けばよい。
お前はここで、次のように勘違いしているのである。
「 P → Q が真であることを証明するには、P という仮定のもとで Q を導くしか方法がない 」
明らかに目的と手段をはき違えている。目的はあくまでも、「 P → Q 」という命題全体が真であることを
証明することである。もし仮定 P が偽であることが示せたなら、その時点で「 P → Q 」という命題全体が
真であることが確定するので、既に目的は達成されている。すなわち、この場合には Q を導く必要が無いのである。
Q を導くという方針は、あくまでも1つの手段に過ぎないのであり、「 Q を導くことが絶対に必要である」
ということにはならない。すなわち、次のようにすればいいのである。
―――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
従って、実は P は偽だったということになる。
よって、「 P → Q 」という命題全体は真であることが確定する。
―――――――――――――――
↑このように、P が偽であることが判明した場合、もはや Q を導く必要がないのである。
目的と手段をはき違えて、「 Q を絶対に導かなければならない」と思い込んでいるバカタレがスレ主である。
151:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:27:05.58 caXk6IEJ.net
ちなみに、P が偽であることが判明した場合、議論をそこでやめずに Q を導くことも
実際には可能である。次のようにすればよい。
――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
これは「矛盾」である。矛盾した命題からは無条件に任意の命題を導出してよいので、
特に「 Q 」を導出してよい。よって、Q が成り立つ。
以上より、P が成り立つという仮定のもとで Q が導出できたので、P → Q は真である。
――――――――――――――――
152:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:35
153::06.00 ID:caXk6IEJ.net
154:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:40:51.60 caXk6IEJ.net
>>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
お前のその屁理屈を、以下の正しい議論に適用してみよう。
――――――――――――――――
定理C3：
原点で微分可能かつ原点で不連続であるような関数は存在しない。
定理C3 の証明：
そのような関数 f が存在したと仮定する。…(*)
このとき、f は原点で微分可能だから、ご存知の「 定理C 」が適用できて、
f は原点で連続である。一方で、f の仮定から、f は原点で不連続なのだった。
これは矛盾。よって、(*)の仮定は間違っていたことになる。
すなわち、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――
[続く]
155:１３２人目の素数さん
18/02/12 17:49:15.23 caXk6IEJ.net
[続き]
上記の正しい議論に対して、お前は次のように言うのである。
―――――――――――――
スレ主：
定理C3 の証明の中では、f は原点で不連続ですから、「 f は原点で連続 」は、
言えないことになります。なので、定理Cは適用できず、定理C3 の証明は成立していません。
―――――――――――――
実際には、「原点で微分可能かつ原点で不連続」という性質は矛盾しているので、そのような仮定を置いた時点で、
矛盾した命題から出発していることになり、そして矛盾した命題からは何でも導出できるがゆえに、
「 f は原点で連続」が導出できても何らおかしくはないのである。
つまり、f が原点で不連続という仮定があっても、その他の条件とのセットで仮定が矛盾していた場合には、
「 f が原点で連続」は言えるのである。今回の場合は、「fは原点で微分可能」という条件とのセットで
矛盾した状態から出発するので、「 f が原点で連続」は言えるのである。ただし、証明者の視点では、
仮定を置いた時点で既にその仮定が矛盾していることが分かるのではなく、不条理を導いた時点で初めて
「仮定が矛盾していた」ことが判明するのである(背理法)。ここで、なぜかスレ主は、不条理を導くことを
完全放棄し、「 f は原点で不連続 」という仮定に縛られて、
「 f は原点で微分可能 」
という条件があるにも関わらず定理Cを適用しようとせず、「 f は原点で連続、は決して言えない」と考え、
「定理Cは適用できない。定理C3 の証明は成立していない。」とほざくのである。証明者の視点から見ると、
スレ主のこのような行為は、背理法によって不条理を導くことを放棄しているだけの単なる愚行でしかない。
つまり、スレ主とかいうゴミクズは、背理法が全く理解できていないのである。キチガイ。
156:１３２人目の素数さん
18/02/12 18:07:37.14 k93HhadU.net
「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。
157:１３２人目の素数さん
18/02/12 18:19:31.73 MGrwckru.net
>>147
今の議論にそういう頭を捻るような例は出てませんよ
158:１３２人目の素数さん
18/02/12 20:50:26.58 X1pATS5E.net
背理法が理解できないなら高校一年生に教えてもらえばいい
数学板に来るのは時期尚早
159:１３２人目の素数さん
18/02/12 21:55:58.73 k93HhadU.net
背理法の場合はp→qのpが真でqが偽になるぞｗ
160:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:32:32.19 kLyhoiu6.net
>>130
>最大値があるとは言えませんよ
まあ、じゃ下記で
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
161:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:33:58.40 kLyhoiu6.net
あとの細かい話はのちほど
162:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:35:50.24 kLyhoiu6.net
>>133
<
163:br> おっちゃん、どうも、スレ主です。 お元気そうでなによりです（＾＾
164:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 08:37:41.34 kLyhoiu6.net
話題散らしのために、これ面白かったから貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
類体論 田口雄一郎先生 「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
田口雄一郎先生関連
March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
数学関係の文章
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(coe.math.sci.hokudai.ac.jp)
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 )
165:１３２人目の素数さん
18/02/13 20:31:35.15 cZFEnVOE.net
>>151
まあって
上限があるとも限りませんよ
166:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 20:50:40.48 kLyhoiu6.net
>>151 再訂正
すまん
これ、lim supの使い方間違っているな。院試だったら、大減点だな。
なので、
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
とします
（余談だが、こういう基本的な用語を間違うと、採点官の心象が悪くなる。
要は、院試なんて、基礎的な勉強をしているか否かと基礎力を測るものだから、基本の標準用語の定義などは、間違わないことだ。
”数学は定義だ”などというが、基本的用語について、自分勝手な定義は（こいつ勉強不足だろうと）心象悪いだろう。
頭良すぎて、試験の現場で新定義作って「ホームラン答案」を狙うのは（頭良すぎる東大生にいそうだが）、（採点基準外の）大外しの可能性があるだろう）
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
解析学の基礎 卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏) 山口大
(抜粋)
P37
最大値, 最小値はいつでも存在するとは限らないので, 条件(i) を
みたすかどうかは問題にしないことにして(ii) をみたす数をE の上界(upper bound) と呼ぶことにしよう.
P39
定義2.3.10 E が上に有界とする. このとき上界の最小値
b0 = minU(E)(= min{b 2 R : b はE の上界})
が存在すればb0 をE の最小上界(least upper bound), または上限(supremum)
といいsupE と表す.
(引用終り)
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏)
URLﾘﾝｸ(web.cc.yamaguchi-u.ac.jp)
Hiroshi Yanagihara (柳原 宏) Department of Applied Science Faculty of Engineering Yamaguchi University
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
上極限と下極限
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
本質的上限と本質的下限
(抜粋)
性質
inf f <= lim inf f <= ess inf f <= ess sup f <= lim sup f <= sup f
(引用終り)
167:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:08:06.88 kLyhoiu6.net
>>140
あなたのそういう具体例を作る力は認めるけれども、例示は論点を外していると思う
>具体例：
>f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
>特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
重箱の隅を突いても仕方ないので、簡単に
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”という主張だから、(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)と二つに分ければいいだけのこと（どちらか一つで定理の主張を満たす）
(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)とは、どちらも、”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を満たしている。
ここに、δは「 1> δ >0 」の適当な実数とする
以上
168:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:20:13.40 kLyhoiu6.net
>>155
これは、「ぷふ」さんだね
>>156と>>157とをご参照
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
を満たすある開区間(a,b)が存在するとして
その区間内どこも「リプシッツ連続ではない」と言えるんですかね？ はて？
まあ、また例によって、定理1.7を証明した人が、新しい例を示してくれるかも知れないが
169:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:45:05.98 kLyhoiu6.net
>>137-139
>間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
>証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
>それでは定理Cの証明にならない。
意味わからん
私スレ主が言っている”場合分け”は、普通に 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”のこと
特別のことをいうつもりはない。”場合分け”は、多分古典論理学内で、古代ギリシャからあると思う
（>>157）定理1.7
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件下で、
一つの典型例が、系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ。だから、その補集合たる「無理数＝Bf」内には、開区間は取れない
もう一つが、「整数＝R－Bf」で、稠密でないから、「Bf」内に、開区間が取れる
ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”をご参照
URLﾘﾝｸ(home.hiroshima-u.ac.jp)
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
170:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:56:20.35 kLyhoiu6.net
>>141
これなんか、へんなことを書いていると思った
引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
この「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね？
だが、上記で
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディニ微分
以上
171:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 21:59:04.10 kLyhoiu6.net
>>160 訂正
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
また、間違えてしまった。息をしたからか・・（＾＾
172:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:27:42.93 cZFEnVOE.net
>>156
>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
どう書いても存在するとは限りません
173:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 22:27:47.82 kLyhoiu6.net
>>144-146
>背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
>そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
違うよ。
場合分けを曲解していることによる誤解だな
定理1.7を場合分けして、その場合分けのR-Bfが稠密で、
系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ（>>159より）
この場合、Bf内に開区間など取れない。
稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
174:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:36:35.06 cZFEnVOE.net
>>158
あるいはBfの中に開区間(a,b)が存在する場合
その区間内にリプシッツ連続である区間が存在することを証明する必要があります
はて？というのはむしろあなたを批判している人が持つ疑問であり
あなたは上記を主張しているのですからそれを証明する必要があるわけです
しかもあなたは自明だとも言っているのですから
相当に単純な証明が示されて然るべきと期待しますよ
なお
件の証明を書いた人はそれを証明しています
175:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:40:24.75 cZFEnVOE.net
>>163
>場合分けを曲解していることによる誤解だな
というより
場合分けすることなく証明できているのに
なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね
176:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 22:44:15.05 kLyhoiu6.net
>>162
>>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
>どう書いても存在するとは限りません
それでも結構だが
定理1.7の条件「 Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」で、これを満たすある開区間（a,b)が存在するとして
その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
それでも、開区間（a,b）の中に、リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる？
取れるというのが、定理1.7の主張ですよね？
余談だけれど、定理の証明というのは、一番成立し難い場合にも、その前提条件を付加してきちんと証明できないと、その証明は信用されませんよ
上記の定理1.7の補集合が稠密な場合とか、いまの場合の「その区間内全ての点で「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？ あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？」場合とかを
易しい場合だけ証明して、「ＱＥＤ！」はないですよ
177:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:45:24.72 cZFEnVOE.net
できれば>>131についてもお答えいただけますか
178:１３２人目の素数さん
18/02/13 22:46:31.92 cZFEnVOE.net
>>166
>その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
>あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
自明と書いたのはあなたですから
ぜひ証明してください
179:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/13 23:46:38.89 kLyhoiu6.net
>>161-160 訂正の訂正
念のため
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分有限値不可。
とします。理由は、下記の「補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する」より。定理1.7の仮定は、「< +∞」ですので、元のままでも、「+∞ や ?∞」は除外されていますが。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディニ微分
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
180:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 00:02:26.54 66CEJ9Q+.net
>>165
>>場合分けを曲解していることによる誤解だな
>というより
>場合分けすることなく証明できているのに
>なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
>件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね
話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
定理1.7の場合、それは補集合R-Bfが稠密な場合で、その場合、集合Bf内に開区間なく、またリプシッツ連続な区間もない
「場合分けして、証明できない場合があれば、それは定理が成り立たない」は、反例による証明でも同じ理屈ですよ
反例は１つで良い。反例が成立する場合が１つあれば良いのです
例えば、「素数は全て奇数である」という定理には、反例素数の２があります。
だが、「２を除く素数は、全て奇数である」は、正しい定理です。
同様に、定理1.7においては、補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れません。
「補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れない」という仮定と、R内で「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論とは、両立しませんよ。
181:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 00:10:46.54 66CEJ9Q+.net
>>164 ＆ >>168
Bfを満たす開区間（a,b）が存在し→その開区間内にリプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる
という証明の流れと思います
証明は考えてみますが、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」の前提として、仮定「Bfを満たす開区間（a,b）が存在」するが必要と思っています
なので、ここを強調しておきます
なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
もし、証明可能と言われるなら、逆にどうぞと申し上げておきます
なお、>>170をご参照ください
182:１３２人目の素数さん
18/02/14 00:20:09.04 ZbM//CC/.net
じゃ自明じゃないじゃんｗ バカかこいつｗ
183:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 00:28:56.76 66CEJ9Q+.net
>>167
（>>131より）
>>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立
184:の場合は、証明の必要さえない） > >定理の仮定は > >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる'' > >ですが > >あなたの主張は > >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない'' > >ということですか？ > > いいえ違います。 ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？ (引用終り) 回答します １．（>>13）「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」に対し、定理1.7を適用するのは適切ではないと考えます ２．理由は、>>170-171に述べました（R-Bfが稠密な場合には、定理1.7は数学の定理として成り立っていない）
185:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 00:40:13.75 66CEJ9Q+.net
>>147
>「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
>こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。
バートランド・ラッセルのこんな話かな？（＾＾
まあ、「裏庭に東京タワーがあれば、入場料を取って、大もうけができる」は真かな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
バートランド・ラッセル
(抜粋)
記述理論
記述理論(Theory of Description)は指示対象が存在しない「現代のフランス王」や「ペガサス」といった語句を解釈する際に、フレーゲのようにそのような語句を含んだ文を無意味としたり、それら非存在者の指示対象としてなんらかの概念の「存在」を仮定することなしに、解釈を可能とするためにラッセルが発見した手法である。
1905年の『表示について』で初めて発表された。
記述理論とは、以下のような手法である。
「現代のフランスの王ははげである」
という文章の意味を考える場合、この文を、
「あるものが存在し、そのものは一つであり、フランスの王であり、かつはげである」
と翻訳する。すると、実在しない「現代のフランスの王」が示す指示対象として存在者をなんら仮定することなく有意味に文を解釈でき、その真偽を確定できる。
(引用終り)
186:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:06:54.41 sLMrM9T3.net
>>159
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。
187:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:08:21.70 sLMrM9T3.net
>>159
＞同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、
＞場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
その場合分けは やはり可能だし、どちらのケースでも、
「仮定が偽」になることは全く明白ではない。特に (2) のケースは、
「結論に合致しないケース」
なのであって、「仮定に合致しないケース」ではないので、スレ主の言い分である
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈にすら全く当てはまっていない。
あるいは、お前にとっては、(2)の場合に仮定が偽になることが明白に見えるかもしれないが、
それは 定理C を先に適用してしまっているからであって、既に述べたように循環論法である。
ゆえに、定理C の場合には、(1),(2)による場合分けは可能である。
188:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:09:43.27 sLMrM9T3.net
さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？
189:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:13:44.77 sLMrM9T3.net
追記。
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
繰り返しになるが、お前がここで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」という屁理屈である。
その一方で、世の中には次のような定理が存在する。
定理：a^b が有理数になるような無理数 a,b が存在する。
この定理の証明として、次のような有名なものがある。
―――――――――――――――
証明：c＝√2 と置くと、これは無理数であることが知られている。
そこで、c^c の値に注目し、以下のように場合分けする。
(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
(1) の場合、a＝b＝c と置けばよいことになるので、証明が終わる。
(2) の場合、a＝c^c と置けば、まず a は無理数である。
また、b＝c と置けば、これも無理数である。c＝√2 だったから、
a^b ＝ (c^c)^c ＝ c^{c^2}＝ (√2)^(√2^2) ＝ 2
となるので、a^b は有理数である。よって、(2) の場合も証明が終わる。
――――――――――――――――
[続く]
190:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:16:14.39 sLMrM9T3.net
[続き]
上記の証明はよく知られた証明であり、「正しい証明である」ことに注意せよ。
一方で、c^c すなわち √2^√2 は実際には「無理数」であることが
証明されている(簡単には証明できないらしいが)。となると、上記の証明における
(1) c^c は有理数である
のケースは、仮定が偽ということになる。従って、お前の屁理屈によれば、そもそも
＞(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
という場合分け自体が不可能ということになる。その一方で、上記の証明は
よく知られた証明であり、「正しい証明」なのである。たとえば、
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)排中律
に全く同じ証明が載っている。にも関わらず、スレ主の屁理屈によれば、
そもそも (1),(2) による場合分け自体が不可能となってしまい、
上記の証明は「間違っている」ことになってしまう。
これは一体どういうことだね？
191:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:28:06.89 TXT4lmT9.net
>>173
聞いていることに答えていただけますか？
``定理1.7の仮定が不成立''
のその``仮定''とは何のことでしょう？
192:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:30:21.26 TXT4lmT9.net
>>171
あなたはそれを``自明''と書いたのですよ？
実のところ
その部分を証明するのが件の証明の``キモ''なのです
自明でないと認識できたのなら証明を読みましょう
193:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:31:48.15 TXT4lmT9.net
>>170
>話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
場合分けせずに証明できていますから
当然ながら
場合分けしても証明が出来ています
場合分けした条件を使う必要が無いというだけのことです
194:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:32:05.54 sLMrM9T3.net
>>163
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
スレ主の屁理屈によれば、そもそもそのような場合分け自体が不可能である。
つまり、スレ主は自爆している。
あるいは、次のように言ってもよい。
「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
矛盾した命題からはどんな命題も導出できるがゆえに、
「ある開区間の上でリプシッツ連続だ」という主張も導出できる。
スレ主は「導出できない」などとほざいているが、実際には導出できるのである(仮定が偽だから)。
では、なぜ「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」が偽であると分かるのか？
それは、定理1.7 から従う。
195:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:34:22.96 TXT4lmT9.net
>>171
>なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
当たり前です
証明をお考えください
件の証明よりも簡単なものになれば
それは件の証明をした人も喜ぶでしょうよ
196:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:36:49.66 sLMrM9T3.net
あるいは、同じことの繰り返しになるが、次のように言ってもよい。
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
お前のこの屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
スレ主：
P2 の場合には、f が原点で不連続であることが仮定されているのだから、
f が原点で連続であるという主張はもともと無理である。
つまり、P2 の場合には、定理C は証明できない。
ゆえに、定理C は数学の定理としてふさわしい形をしていない。
――――――――――――――
お前はここで、「定理Cの場合は P1,P2 による場合分けが不可能だ」という屁理屈を
何度も述べているようだが、全く同じ屁理屈は定理1.7にも適用できるので、
お前の屁理屈はどちらに転んでも完全に破綻している。というか、もともと論理が滅茶苦茶。問題外。
197:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:38:44.93 sLMrM9T3.net
>>160
＞だが、上記で
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
＞とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
＞つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
＞だから、B_fは空集合
息をするように間違えるゴミクズ。俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならないので、
「 (a,b)⊂B_f の場合はリプシッツ連続性が自明に分かる」
というスレ主の直観は破壊されることになる。
[続く]
198:１３２人目の素数さん
18/02/14 01:41:48.63 sLMrM9T3.net
[続き]
ここでお前は、次のように言うかもしれない。
―――――――――――――――――――――
A_f(x) がディリクレ関数っぽい状態なら、その前の f だってディリクレ関数っぽいはずであり、
ゆえに f はどの点でも微分不可能のはずで、B_fは空集合になるだろう。
―――――――――――――――――――――
しかし、この意見は的外れであることを先に指摘しておく。
なぜなら、A_f(x) は おかしな挙動を�
199:る程度は取り得るからである。たとえば、 f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) という例の場合、A_f(x) は原点で 不 連 続 であることが確認できる。 もちろん、この f の場合は、A_f(x) は原点以外のところでは連続になっているが、 しかし原点では不連続なのである。 ところで、f の原点での挙動を、他の有限個の点 x_1, x_2, …, x_n に "移植" することは 明らかに可能であるから、そのように移植した新しい関数を g とするとき、A_g(x) は x＝0, x_1, x_2, …, x_n において不連続ということになる。もちろん、A_g(x) は 各点で「有限値」のままである。 というように、少なくとも有限個の点で A_f(x) が不連続になることは実際に「ある」。 問題は、A_f(x) が R 全体でディリクレ関数っぽい状況になることがあり得るのかということであるが、 俺が書いた>>110の手法を使えば、そのような関数は「無い」ことが分かる。 しかし、それは>>110を使ったからこそ「無い」ことが分かるのであって、 「無いことは自明である」ということにはならないのである。
200:１３２人目の素数さん
18/02/14 13:27:23.89 fdysUhrS.net
突然ですが、
平野、２大会連続の銀メダルか。おめでとう。金を狙っていて残念だが、若いからまだ次があるよね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
平野、２大会連続の銀メダル…スノボ男子ＨＰ 2018年02月14日
201:１３２人目の素数さん
18/02/14 17:33:55.32 fdysUhrS.net
>>175-179 & >>183 & >>185
>＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
>＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
>
>その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
>あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
>
>「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
>
>という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
>「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
>なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。
普通の証明論の場合分けを否定されてもね。それ無理筋ですよ
（”場合分け”は、私の独自説ではなく、ごく一般の数理です）
集合論で言えば、仮定で有理数Qを問題にしているときに、集合Qの中での場合分けは可能です
が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
それから、”「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
以上
202:１３２人目の素数さん
18/02/14 17:34:52.60 fdysUhrS.net
>>186
これは、どうも失礼。私の早とちりでしたね
あなたは、こういう例を考える力はすごくあるね～（＾＾
「f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならない」
(引用終わり)
なるほど。でもね、この例は、諸刃の剣というやつでしょ
（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、
無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =～ 0.5q→∞となる
３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
つづく
203:１３２人目の素数さん
18/02/14 17:35:36.44 fdysUhrS.net
>>190 つづき
以下参考
(>>13より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(yusuke-ujitoko.hatenablog.com)
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
?f(x)?f(y)??k?x?y?
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
?f(x)?f(y)/(x?y)? ? k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) リプシッツ連続
以上
204:１３２人目の素数さん
18/02/14 17:36:22.02 fdysUhrS.net
>>191 えらく文字化けしたが、原文見てください
205:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 17:40:24.10 fdysUhrS.net
コテハンとトリップが抜けていたね（＾＾
206:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/14 17:40:48.49 fdysUhrS.net
時間がないので、あとは後ほど（＾＾
207:１３２人目の素数さん
18/02/14 18:15:21.87 sLMrM9T3.net
>>189
＞が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
「場外乱闘」などという言葉を使ってみても、お前が言っている内容は全く変わらない。
お前がそこで言っていることはつまり、
―――――――――――――――――
R－B_f が第一類集合なのに「 R－B_f＝無理数」としてしまえば、
R－B_f が第一類集合であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない
―――――――――――――――――
ということである。この屁理屈を>>178-179に適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――
c＝√2 とすると、c^c は無理数であることが知られている。すると、
c^c は無理数なのに「 c^c は有理数 」としてしまえば、
c^c が無理数であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない。
―――――――――――――――――
つまり、スレ主は>178-179の証明が「間違いだ」と言っていることになるのである。
しかし、>178-179の証明は、よく知られた「正しい証明」である。
これは一体どういうことだね？
208:１３２人目の素数さん
18/02/14 18:33:31.82 sLMrM9T3.net
>>195
＞なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
＞それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
＞「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
何度も同じことを言わせるな。定理1.7は系1.8の証明の中で適用可能である。
なぜなら、定理1.7 の主張は
「 R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」
というものだからだ。系1.8 だけでなく、
一般に R－B_f が第一類集合でありさえすれば、定理1.7が適用可能。
209:１３２人目の素数さん
18/02/14 18:36:23.51 sLMrM9T3.net
>>190
＞（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
＞１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、
＞ 無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
＞２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =～ 0.5q→∞となる
＞３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
計算の仕方が意味不明。お前がそこでやっていることは、
「 1/2 に近い無理数 x を1つ取り、有理数列 pn/qn であって pn/qn → x を満たすものを取った」
ということに過ぎない。このときに pn → ＋∞, qn → ＋∞ が成り立つのは当たり前の話。
で？どうしてそこから 「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題ではない」という結論が出るんだ？
(a,b) ⊂ B_f が "成り立たない" ためには、(a,b) 内のある点 z において Af(z)＝＋∞ が
成り立たなければならないんだぞ？どうやってそのような点 z を見つけるんだ？
お前の書き方だと、あたかも Af(x)＝＋∞ が成り立つかのように書かれているが、
pn/qn を取っただけでどうして Af(x)＝＋∞ が出るんだ？
｜(f(x)－f(pn/qn))/(x－pn/qn)｜
↑この式で n→∞ としてみても、Af(x)＝＋∞ は全く出て来ないぞ？
210:１３２人目の素数さん
18/02/14 18:39:53.16 sLMrM9T3.net
>>190
もしかしてお前、A_f(x)＝0 と f(x)＝0 を混同してるんじゃないか？
あるいは、A_f(q/p)＝|p| と f(q/p)＝|p| を混同してるんじゃないか？
お前は f(x)＝0, f(pn/qn)＝ |qn| として計算しているんじゃないか？
何度も言うけど、俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではなくて、
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのだぞ？あたま大丈夫？あるいは、
「 pn/qn → x かつ Af(pn/qn)＝|qn| → ＋∞ だから、Af(x)＝＋∞ 」
だと勘違いしてるんじゃないか？Af(z) は z の関数として連続ではないのだから、
pn/qn → x かつ Af(pn/qn) → ＋∞ でも Af(x)＝＋∞ なんて言えないぞ？
211:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 08:46:23.94 PodxFPJ7.net
準備
>>191 修正再録
URLﾘﾝｸ(yusuke-ujitoko.hatenablog.com)
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
|f(x)-f(y)|<= k|x-y|
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)
212:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 08:47:00.44 PodxFPJ7.net
準備追加
（>>13より）f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終り)
「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)
213:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 08:47:13.18 PodxFPJ7.net
あとは後ほど（＾＾
214:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 10:15:35.48 RGRVREaW.net
準備追加2
(>>169 追加引用)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディニ微分
(抜粋)
定義[編集]
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる[1]）は、
f'_{+}(t) def＝ limsup _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は
f'_{-}(t) def＝ liminf _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで liminf は下極限を表す。
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や -∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
D 記法と追加の定義
しばしば f'_{+}(t) の代わりに D^{+}f(t), f'_{-}(t)の代わりに D_{+}f(t) が記号として用いられ[1]、また
D^{-}f(t) def＝limsup _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h, D_{-}f(t) def＝liminf _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h
が定義される。
つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。
(引用終り)
215:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 10:17:29.52 RGRVREaW.net
余談だが、投稿前に５CHバカ板で使えない文字をチェックする機能はないのかね～？
wikipediaのマイナス記号が化けるなど、ちょっと数学板とはしては、困ったものです（＾＾
216:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 10:52:05.85 RGRVREaW.net
>>199-202 の準備で何をしたかったのかというと
１．ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見ようとしたわけだ
２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
それは、即ちリプシッツ連続だということだ
３．逆もまた言えるわけだ。
リプシッツ連続だと、４つのディニ微分がいずれも有限値であると
そして、４つのディニ微分がいずれも有限値だと、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」だと
（この部分は、ディニ微分を介さずとも、直接
”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が見易いかと思う）
つづく
217:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 10:54:53.35 RGRVREaW.net
>>204 つづき
１．まず、リプシッツ連続”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”
の方が分かりやすいので、ここからいくと
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
f はある開区間の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える
２．つまり、定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）
３．繰り返すが、定理1.7が成り立つ場合は、補集合R－Bfが稠密ではない（∵開区間が存在するため）という結論になる
つづく
218:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 10:56:48.17 RGRVREaW.net
>>205 つづき
１．さて、もう一つの下記
a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓
b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
以上
219:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 11:07:20.49 RGRVREaW.net
補足
なにが、自明（トリビア）かは、人によると思うが
”ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見”ると（>>204）
定理1.7の構造がよく見えるだろうと
以上
220:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 11:13:48.63 RGRVREaW.net
>>197-198
この例は、諸刃の剣というやつでしょ(>>190)
>>204より
リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
↓↑
im sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
が
221:言えるから、リプシッツ連続を否定する例を作ると、自分に跳ね返って、 ”im sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”が、否定されるってことでしょ
222:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 11:15:46.56 RGRVREaW.net
>>195-196
>>205をどうぞ
223:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 11:18:26.71 RGRVREaW.net
>>181
>>204-207をどうぞ
224:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 11:33:20.69 RGRVREaW.net
>>210 補足
定理1.7の証明を読んだが
（なお、定理1.7が分からない人は>>15-17ご参照）
１）
・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす
↓
近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
証明のストーリーと読みました
２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
この点を補足しておきます。
なお、>>205も再度強調しておきます。
以上
225:１３２人目の素数さん
18/02/15 11:44:45.49 gCnkTTzV.net
>>206
> a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
> ↓
> b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
まず
もう少し正確な表現で描き直した上で証明をしてください
（成り立たない例は件の証明を書いた人が挙げていますよ？）
226:１３２人目の素数さん
18/02/15 11:49:09.18 gCnkTTzV.net
>>211
>３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります
あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
説得力は皆無ですよ
227:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 13:11:16.38 RGRVREaW.net
>>212
ご苦労さまです
少々ご猶予を（＾＾
なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
といって、定理1.7のようにPDFをアップロードするつもりなく
まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾
228:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 13:41:22.24 RGRVREaW.net
>>213
ご苦労さまです
（引用）
「> ３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります」
(引用終わり)
いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>説得力は皆無ですよ
私の主張は逆で、
定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
以前も書いたように
ケース１
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの連続な点の集合で、補集合R－Bfが不連続な点の集合の場合
ケース２（上記の逆で）
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの不連続な点の集合で、補集合R－Bfが連続な点の集合の場合
この２つの場合で
ケース１では、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在します。例としては、トマエ関数です
ケース２では、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在しせん。理由は、下記の”不連続性の分類”をご参照ください
なので、問題の定理1.7のR－BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
そして、
ケース１のように、そのような「関数ｆ」が存在するなら、系1.8へ定理1.7を適用して矛盾を導くことはできません
ケース２のように、そのような「関数ｆ」が存在しないなら、系1.8の証明は、開区間の存在を経由することはありません
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり)
以上
229:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 13:44:15.18 RGRVREaW.net
>>200 補足
この
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
URLﾘﾝｸ(books.google.co.jp)
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
は、定理1.7を書いた人から、教えてもらったテキストです
一言補足です
230:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/15 14:22:07.26 RGRVREaW.net
再録
スレ48 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:439番)
439 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 2017/12/2
231:3(土) 10:37:20.53 http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf 典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院 (抜粋) 1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理 x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点における Dini 微分を主に考える． Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である： 定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理） f : [0, 1] → R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成立する： (1) D^+f(x) = D+f(x) = D^-f(x) = D-f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能． (2) D^+f(x) = D-f(x) ∈ R, D^-f(x) = ∞, D+f(x) = -∞． (3) D^-f(x) = D+f(x) ∈ R, D^+f(x) = ∞, D-f(x) = -∞． (4) D^±f(x) = ∞, D±f(x) = -∞． 注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照． Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述べる． 系 1.5 任意の f : [0, 1] → R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である． 証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも成立しないことから系が従う． http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html 研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 (抜粋) 36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］ 実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集 (引用終り) （追加） https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Young%E2%80%93Saks_theorem Denjoy?Young?Saks theorem 以上
232:１３２人目の素数さん
18/02/15 15:58:12.59 0aAhb8Kl.net
おっちゃんです。
背理法のからくり。
基本的に、背理法で示せる命題は、有限回の推論で矛盾を導くことで示せるようになっている。
Pを仮定、Qを結論とする。P、Qが両方共に真或いは偽のどちらか一方になるのときの命題 P→Q を示すことを考える。
命題 P→Q を背理法で示すとする。Qを否定する。その上で元の仮定のPも仮定する。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方だから、命題 P∧ ￢Q を偽と仮定したことになる。
そして、偽の命題 P∧ ￢Q から始めて、有限回の推論で、背理法で示すべき命題 P→Q を示すことになる。
これを行うにあたり、Qの否定 ￢Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
だが、これはあり得ない。有限回の推論の過程においてこのあり得ない事柄を導いて矛盾を得られた原因は、
背理法で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ￢Q から推論を始めて、
￢Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導けたことにある。
従って、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すにあたり、命題 P∧ ￢Q を偽と仮定して、
￢Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて P→Q を導いてはならない。
だから、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すには、単に ￢Q からいえることだけではなく、
元の仮定Pに含まれているすべての事柄から行える推論に基づくことも適用して有限回の推論で矛盾を導いて命題 P→Q を示さないといけない。
233:１３２人目の素数さん
18/02/15 16:00:23.82 0aAhb8Kl.net
(>>
234:218の続き) そうして背理法の枠組みの中で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ￢Q を仮定して、 有限回の推論で矛盾を導くと、矛盾を導けた原因は偽の命題 P∧ ￢Q を仮定したことにあるから、 命題 P→Q を示すにあたり仮定した偽の命題 P∧ ￢Q は否定されることになる。 そうすると、背理法の推論の過程では P∧ ￢Q を否定した命題 ￢(P∧ ￢Q)＝￢P ∨ ￢￢Q＝￢P ∨Q が得られることになる。 つまり、Pでない または Qである といえることになる。示すべき命題 P→Q を背理法で示すにあたり、 仮定のPは元から仮定されているから、Pであることがいえて、「Pでない」ということはあり得ない。 だから、「Qである」ことがいえる。つまり結論Qが得られる。 そのようにして、命題 P→Q を背理法で示すようになる。背理法の推論の仕組みとしては、そのようになっている。 スレ主は、今回の場合、仮定のPにあたる定理1.7の「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用していない。 それ故に、背理法を正しく適用出来ていないことになる。
235:１３２人目の素数さん
18/02/15 16:12:44.23 0aAhb8Kl.net
まあ、>>219の
>命題 ￢(P∧ ￢Q)＝￢P ∨ ￢￢Q＝￢P ∨Q
は正しくは
>命題 ￢(P∧ ￢Q)≡￢P ∨ ￢￢Q≡￢P ∨Q
である。スレ主に、今回の背理法による推論のからくりは教えた。
だが、定理1.7を背理法で示すにあたり、
「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用するには ε-δ だけでなく
最低でも位相空間は必要だな。
236:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:10:00.99 VntZxPVK.net
>>215
＞定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
＞きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
＞それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
＞
＞なので、問題の定理1.7のR－BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
その屁理屈は聞き飽きた。同じ屁理屈を 定理C に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――
定理C で、「 f が原点で不連続」な場合は、きちんと条件設定 "f は原点で不連続" を
付加したうえで、そういう関数ｆが存在しないというなら、それを筋道立てて、証明すべきであると。
それをやらないと説得力なしです。 なので、問題の定理Cの「 f が原点で不連続な場合」は、
きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の 定理C の証明でなく）
――――――――――――――――――
ここでスレ主は、定理C のときだけは、次のような別の屁理屈を繰り出すのである。
―――――――――――――――
定理Cの場合は、f が原点で不連続という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって？定理Cにそう書いてあるじゃないか。
―――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、R－B_f が R の中で稠密という場合分けは存在しない。
なぜなら、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって？定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――
結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。
237:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:11:30.82 VntZxPVK.net
>>204
＞２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
＞ それは、即ちリプシッツ連続だということだ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
お前の屁理屈を適用すると、
「 Af(x) が各点で有限値なら、f はどの区間の上でもリプシッツ連続だ 」
ということになる。しかし、既に見た
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数が反例であると何度も言っている。この f は原点の近傍でリプシッツ連続にならないのである。
任意の点で A_f(x) が有限値であるにも関わらずな。
>>206
＞１．さて、もう一つの下記
＞ a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
＞ b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
＞ を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
(a)と(b)は同値にならない。理由は上に同じ。上で挙げた関数 f について、
A_f(x) は任意の点で有限値であるが、この f は原点の近傍でリプシッツ連続ではない。
238:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:12:49.42 VntZxPVK.net
>>205
＞２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
＞ a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
まさしく「息をするように間違えるゴミクズ」。
上記の関数 f について、B_f＝R が成り立つので、(a,b)⊂B_fなる開区間は取り放題である。
特に (－1, 1)⊂B_f という開区間を取ってみよう。すると、お前が言うところの
＞「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
を適用すれば、f は (－1, 1) 全体でリプシッツ連続ということになるが、
しかし f は (－1, 1) 上ではリプシッツ連続にならない。
239:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:17:05.50 VntZxPVK.net
>>208
＞この例は、諸刃の剣というやつでしょ
原理的には諸刃の剣であることは俺も理解している。しかし、
「 >>110により、そのような関数は存在しない 」
と何度も添えているので、実際には俺の方は無傷なのである。一方で、お前はノーダメージとはいかない。
なぜなら、>>190のような関数が存在しないことを>>110を経由せずに自明に証明できなければ、
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というお前の直観が破壊されるからである。
というか、今までのお前の立場を考慮すると、お前の方から自発的に
>>190のような関数の有無に拘るべきなのである。にも関わらず、お前には
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というアホな "思い込み" があるので、お前は上記のような考察をせず、
なぜか俺の方から そのような考察をするという逆転した状況になっているのであるｗ
240:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:19:31.83 VntZxPVK.net
>>211
＞・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
＞・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
＞・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす
＞ 近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
＞ 証明のストーリーと読みました
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを言っている。
・ ある B_{N,M} に対して、(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する
・ この開区間の中にリプシッツ連続な区間が取れる
このように、B_f ではなく B_{N,M} 内に開区間が取れると言っている。
これは、B_f の中に開区間が取れることよりも遥かに強い条件になっている。
なぜなら、既に述べたように、B_f の各点xでは A_f(x) がただ単に有限値であるにすぎないのに対して、
B_{N,M} 上では一様に A_f(x)≦N が成り立つからだ。
＞２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、
＞すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを使っている。上で述べたように、
「ある B_{N,M} が (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間を含む」ということを使っている。
この場合、(a,b)内の各点 x に対して Af(x)≦N が成り立つことになる。
そのような強い条件を使っているのである。
[続く]
241:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:24:24.67 VntZxPVK.net
[続き]
＞３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
使える。なぜなら、R－B_f が第一類集合なら、ベールのカテゴリ定理より、ある B_{N,M} に対して
(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在するからだ。すなわち、「 R－B_f が第一類集合 」という条件は
「 ある B_{N,M} に対して (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する 」
という滅茶苦茶に強い条件を暗黙のうちに含意しているのである。
特に、R－B_f が第一類集合なら、R－B_f は R の中で稠密になりえないのである。
そういう「なりえない条件」を最初から付け加えたところで、仮定が偽になるだけである。
お前の屁理屈を使えば、
「そのような場合分けは存在しない」
のである。文句があるなら「ベールのカテゴリ定理」を批判したまえ。
242:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:32:37.99 VntZxPVK.net
というか、何のための「第一類集合」だと思っているのだ。一般に、A ⊂ R が
「 R－A は第一類集合 」
という条件を満たすならば、A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を
任意に取るとき、ベールのカテゴリ定理により、ある F_k は内点を持つことになる。
すなわち、(a,b)⊂F_k なる開区間が取れることになる。大事なことなのでもう一度言う。
―――――――――――――――
R－A が第一類集合ならば、「 A 」の方については、
A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
―――――――――――――――
すなわち、R－A が第一類集合ならば、「 A 」の方は非常に強い性質を持っているのである。
にも関わらず、お前はこのことをずっと無視しつづけており、機械的に「第一類集合」という言葉を
振り回すだけで、第一類集合から導かれる上記の「強い」性質を全く視野に入れていない。
「 A 」が非常に強い性質を持つならば、その性質から暗黙のうちに含意される
様々な派生の性質があるはずで、それらの性質に矛盾するような条件は、お前から言わせれば
条件として追加できないはずであり、「場合分けとして存在しない」はずなのである。
しかし、お前は機械的に「第一類集合」という言葉を振り回すだけで、この条件から
何が言えるのか全く考慮してないために、お前が思いついた場合分けは何でも可能だと
思い込んでいる。いや、実際にはどんな場合分けも可能(おかしな場合分けは仮定が偽になるだけで、
場合分け自体は可能)なのだが、お前に言わせれば、「矛盾する場合分けは最初から
場合分けとして存在しない」はずである。にも関わらず、お前は追加した条件が
矛盾しているかどうかを全く考慮していないのである。やってることに一貫性がなくて滅茶苦茶。
243:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:34:13.49 VntZxPVK.net
とりあえず、これだけは言っておこう。
R－B_f は第一類集合とする。このとき、「 B_f 」の方は次の性質を満たす。
――――――――――――――――
B_f ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――
↑お前は今までずっとこの性質を無視し続けてきたので、これからはこの性質を使いたまえ。
244:１３２人目の素数さん
18/02/15 17:39:05.08 VntZxPVK.net
あと、定理1.7とは違う話になるが、練習問題も出しておく。
以下、f：R→R に対して、f の不連続点全体の集合を E_f と書くことにする。
連続点ではなく、「不連続点」の集合な。
このとき、次の定理が成り立つ。
――――――――――――――――
定理E：
R－E_f が第一類集合ならば、(a,b) ⊂ E_f を満たすa,bが存在する。
――――――――――――――――
↑この 定理E は正しい定理である。スレ主にはその理由が分かるかな？
245:１３２人目の素数さん
18/02/15 18:36:00.21 gCnkTTzV.net
>>215
>いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
強引ではありませんよ
P->Q
と
P∧￢Q->矛盾 （もしくはP∧￢Qは偽）
は同値だからです
この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というも
246:のであり ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので ''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾 となる訳です 件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は 背理法を理解していないことにあるようですね
247:１３２人目の素数さん
18/02/15 18:39:00.33 gCnkTTzV.net
結局
>>131
にはお答えいただけないようですね
248:１３２人目の素数さん
18/02/15 18:58:35.81 Ng4AGrJW.net
>>231
お前だって質問に答えないだろうがw
人には厳しいのね ぷ
249:１３２人目の素数さん
18/02/15 18:59:39.71 TzXrTrkr.net
＞なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
と、教科書を読まない主義、勉強をしない主義のバカが申しております
250:１３２人目の素数さん
18/02/15 20:35:06.26 gCnkTTzV.net
>>232
ぷ
251:１３２人目の素数さん
18/02/15 20:48:23.16 gCnkTTzV.net
>>215
>きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
P->Q
が真である場合
A->￢Q
が真であっても（なくても）
P∧A->Q
も真ですよ
また
A->￢Q
が真である場合
P∧A->Q∧￢Q
も真となりますので
P∧Aは偽
ということです
ここで
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
A:R-BfがRで稠密
を想定してください
252:１３２人目の素数さん
18/02/16 01:00:25.40 xXIgzvk8.net
>>215
>>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>>説得力は皆無ですよ
>
>私の主張は逆で、
>定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
>きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
背理法を理解していないことが納得がいかない元凶です
また
あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
``間違っている''という主張を取り下げた上で``間違っていそうな気がする''程度であれば
数学的に間違ったことを主張しているということでの批判はされはしないでしょう
253:１３２人目の素数さん
18/02/16 01:17:30.91 eQJLjvN9.net
あなたの主張の1つは``時枝戦略は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありませんよ
254:１３２人目の素数さん
18/02/16 07:27:57.61 xXIgzvk8.net
>>236
``間違っていそうな気がする''
程度であってもバカにされることを気にするかも知れませんね
証明を読んで納得することが肝要ですよ
255:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 11:58:45.29 wmUyW91w.net
>>236-238
>あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
>間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
えらく根源的なレベルまで、話が戻っていますかね？
私の主張は、数学の理論というのは、定理：P→Q で、
定理が成立するというのは、P真→Q真が成り立っていて、命題PからQがきちんと導かれる（＝証明がつけられる）
べし だと
そうして、定理の連鎖による数学の理論体系を構築する。定理：P→Q、定理：Q→R、・・・と続いて連鎖と理論体系を成すべし
その中に、「実は、P偽→Q偽で、命題自身は真なのですが・・」なんてのを、混ぜたら、みんなズッコケでしょう？
つづく
256:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 12:01:16.66 wmUyW91w.net
>>239 つづき
これを定理1.7に見るに（>>13より）
命題P中 「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を、普通に場合分けすると
（>>23より）
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分でき
１）の場合について、
命題P’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
となる
そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、 結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
そして、「証明が正しいから、これで良いのだ」と仰るが、それはおかしい
繰り返すが、本来、定理の命題と証明は分離されるべきもので、例えば、定理が正しければ、元の証明以外の別証明もありうるわけだし
数学の定理の命題は、上記のように数学の理論体系の一部をなすべきものであるから、
命題の論理の連鎖がつながるように、最低限の体裁を整えないといけませんね
２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
257:しかし、 「結論：ある開区間がリプシッツ連続」 で、この場合は空集合で、条件が偽です。 「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」 では、まずいと思いますよ 以上
258:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 12:05:22.34 wmUyW91w.net
>>237
時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
それが反例ですが、その理解が難しいんでしょうね
なお、ここらは、日本の伊藤清先生らの系譜で、日本数学の伝統の分野です
259:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 12:22:51.16 wmUyW91w.net
>>240 補足
系1.8については、別の理論で証明されています。それは既述の通りです。多分、ここは合意でしょう。
そして、背理法は系1.8の部分です。
問題は、定理1.7です。
ここは、背理法以前です。
定理1.7で、上記>>240 ２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
が、本当に空集合になるのかどうか？ それは知りません
おそらく、空ではなく、反例として存在するのではないかと思っています
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
残念ながら、そういう理論の論文は見つかりませんでした
そして、これも残念ながら、リプシッツ連続や上記のBfと R－Bf とについて
「Fσ vs Gδ」理論を構築するような”かしこい頭”は、私にはありません（＾＾
どなたか、これに関する文献などあれば、ご紹介ください
「そんなこと簡単にできるよ」と、どなたか実行して頂ければ、さらに幸甚です（＾＾
以上
追伸
命題の仮定と結論レベルで矛盾している定理を、「証明しました」というのは、普通は「？」ですよ
260:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 15:04:53.67 wmUyW91w.net
>>218
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
>>219
定理1.7は、背理法ではありませんよ
だから問題なんです
系1.8は、背理法です。
>>220
「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
以上
261:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 15:10:11.59 wmUyW91w.net
>>231
>>>131
>にはお答えいただけないようですね
なんども同じことを書いていますが
>>239-240 & >>242 をご参照ください
262:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 15:33:04.70 wmUyW91w.net
>>244 補足
(>>240より)
仮定P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
は、証明可能かもしれません。（定理1.7の証明で、「自動的に証明できている」という主張は無茶では？）
しかし
仮定P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
結論： f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
（>>205より）
ですから、繰り返しますが
仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
結論は、Bfは開区間を持つ
です
だから、仮定から結論は、導けない。
この証明は不可能でしょう
だから、
仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
から出発して
結論(A)：そのようなｆは空集合（存在しない）
結論(B)：そのようなｆは存在し、反例になる
このように、結論(A)か結論(B)か、どちらかをきちんと証明すべきです
（繰り返すが、仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない だから、結論が、Bf内に開区間あり は、まずいよと）
以上
263:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 15:46:35.35 wmUyW91w.net
>>235
>P->Q
>が真である場合
１）
P：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」（>>245）
Q：「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
↓
f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
ですから、P→Q（”Bf内に開区間あり”）です
２）
一方で、”Bfの補集合が、R中稠密”ですから、Bf内に（Bfのみの）開区間なし（必ずBfの補集合R－Bfがその開区間に交じります）
ですから、P→￢Qです
３）
P→QとP→￢Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→￢Qは”R中稠密”から自明ですので、P→Qを捨てることになります。
以上
264:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 15:49:31.45 wmUyW91w.net
>>230
引用
「この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね」
(引用終わり)
ここは、>>246ご参照
”P→QとP→￢Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→￢Qは”R中稠密”から自明に成立ですので、P→Qを捨てることになります。”ってことです
265:背理法とは、明白に異なっています 以上
266:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/16 16:57:22.84 wmUyW91w.net
>>214 補足
>まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾
＜経過報告＞
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
まあ、命題３つとも全部”有限からみ”で、特に”２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）”を中心にして、１）２）３）が全て同値が言えるのえではというのがそもそもの発想です
１）と２）が同値であることは、>>200 テキスト Fundamentals of Real Analysis のP220 で終わっていると思う
３）が見かけ一番強い条件で、３）→１）を見るのは易しい（>>205に書いた）
だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
仮定は１）の”lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するだから
この開区間が存在する仮定のもとで、→（この区間内で）”リプシッツ連続”が言えれば良い
まあ、この程度の話だから、すでにどこかのテキストに同じ命題か類似命題があるのでは・・、その方が説得力もあるので探しているところ
無ければ、それこそ背理法を使って
”lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するにも拘わらず
この開区間内に、”リプシッツ不連続”な点（k 無限大発散）
として、矛盾を導く（例えば、”リプシッツ不連続”（k 無限大発散）な点では、４つのDini微分のどれかが無限大になる）
方針で、証明することになるだろう
（まあ、なにかテキストを見つけて読んだ方が勉強になるので、いま模索＆思案中です・・（＾＾ ）
以上
267:１３２人目の素数さん
18/02/16 17:33:03.22 oZfMkl2p.net
>>240
＞そこで
＞>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
＞ だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
＞なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、
＞結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
＞従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――
定理Cが成り立つと、f が原点で微分可能なら、f は原点で連続である。だから、
定理Cが成り立つと、f は原点で不連続になりえないという結論になる。なので、
(1) f が原点で連続である場合 (2) f が原点で不連続である場合
と場合分けしたときの (2) の場合については、仮定(2)と結論とが
矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと。
―――――――――――――――――――
↑このように、お前は定理Cについて「(1),(2)のケースに場合分けしなければならない」と
ほざいているのである。