18/02/05 22:18:26.46 Jw5S+t/R.net
ここで、お前の上記の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
定理C：
f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。
――――――――――――――――――――――
スレ主： 2つの命題 P, Q を以下のように定義する。
P： f は原点で微分可能。
Q： f は原点で連続。
このとき、定理Cは「 P → Q 」という形になっている。
さて、以下では定理Cを証明することにする。fは原点で微分可能とする。
証明すべきは、「 fは原点で連続」である。
次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続である。 (2) f は原点で不連続である。
(1) の場合は、定理C の命題は「 P∧Q → Q 」なので、、証明可
(2) の場合は、定理C の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
つまり、(2)の場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能。
この議論は背理法以前であるから、背理法を免罪符にすることも不可能で、(2)は本当に証明不可能。
すなわち、我々が定理Cについて実際に証明できるのは、
「 f：R→R が原点で微分可能かつ(1)が成り立つなら、f は原点で連続である」
という主張のみ。すなわち、
定理C' 「 f：R→R が原点で微分可能かつ f が原点で連続なら、f は原点で連続である」
という主張のみが証明可能であり、定理C全体は証明できない。
あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。
――――――――――――――――――――――
603:１３２人目の素数さん
18/02/05 22:19:46.77 Jw5S+t/R.net
>>539
↑
結局、お前の新しい屁理屈を使っても、定理C全体は証明できず、
定理C' のみが証明可能ということになってしまう。
これは一体どういうことだね？
また、俺が >>538-539 の最後の行で
＞あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。
と いちいち示唆しているように、今回の新しい屁理屈を使うことで、お前は やはり
・「 P → Q 」は証明不可能であって、実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できない
と言っていることになるのである。お前はこのことに反論するために >>533 を書いたのだろう？
にも関わらず、お前が実際に導いたのは「 P∧Q → Q しか証明できない」という主張であり、
俺がツッコミを入れたことをそのまま繰り返しているだけであるｗ
これは一体どういうことだね？
604:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/05 23:50:12.32 BLmw0aHH.net
>>257 戻る
桂田 祐史先生の”数理リテラシー”は、なかなか良いね（＾＾
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
桂田 祐史ホームページ
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
桂田祐史の講義のサポート・ページ
・数理リテラシー (2017年度) (現象数理学科1年生向け) URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
講義ノート
4月13日のイントロ
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
(抜粋)
講義内容のイントロ
? 具体的な内容は、論理、集合、写像。
? ちなみに理工学部数学科では、ほぼ同じ内容を「数学演習」という講義で行なっている。
? なぜ必要か？
大学で学ぶ数学と、高校までの数学と違いがあるから。どう違う？やり方がかなり違う。
? 良く言われる悪口「大学数学のテキストは、定義、定理、証明の羅列 (で分かり辛
い)」 ? 一面の真実が潜む。大学の数学のテキストは、用語・記号の定義、定理と
その証明、例、＋αが主な要素。
? 数学的な議論は、定理をつないでいくもので、定理は原則としてすべて証明される、
と覚悟すること。
「証明は覚えないといけませんか？」? 「証明は覚えたりするものではありません」
? (例えば) lim 実は高校の数学では、極限を定義していない。だから極限に関する定理の証明も出来ない (していない)。
limn→∞ (an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn という公式を知っていても、仮定を覚えていない人は多い。
「 limn→∞ an, limn→∞ bn が存在すれば、limn→∞ (an + bn) も存在して、 limn→∞ (an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn が成り立つ。」
とすると定理になる。
「次の極限を求めなさい」という問題を、例題を参考にして解くことで、漠然と極限概念を掴んで、良く似た問題は解けるようになっているが、
定義はしていなくても気づかない、証明をしていなくても気づかない、そういう調子で数学を教えられて来た。
言い換えると、高校数学では「寝た子を起こすな」という方針でやっていた。
つづく
605:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/05 23:51:05.08 BLmw0aHH.net
>>541 つづき
定義とはなにか, 実は知らない人が多いのかも
コラム [1] では、「◯◯が線形空間であることを示せ」のような問題が敬遠されがちである
ことが指摘されている。この問題を解くには、まず線形空間の定義を思い出し、そこに現
れる条件が満たされることを一つ一つチェックすることになる。高校までの数学で、定義
を軽視しているのかもしれない。[1] の第 1 章は「定義とは何か」である。そういう基本
的なところから話を始めるべきなのかもしれない。
(引用終り)
以上
606:１３２人目の素数さん
18/02/06 00:17:18.24 qrBy2oVk.net
と数学文盲が言ってますが
607:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/06 10:53:06.78 LQEpcAl/.net
"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"
私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
608:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/06 10:55:45.08 LQEpcAl/.net
>>538
”(2) の場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」”という事実を認めるかどうか
一言でいえば、それにつきる
細かい点は、後刻
609:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/06 11:10:33.27 LQEpcAl/.net
>>539
>定理C：
>f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。
この例は不適合。むしろ
定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
とすべきだろう
原点で微分不可能な場合は、二つに分けられる
１）原点で微分不可能かつ原点で不連続、２）原点で微分不可能だが原点で連続
これで、１）の場合は証明可能だが、２）の場合は証明不可能
結論として、定理Fは命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
定理Fは、数学の命題として不適切
610:１３２人目の素数さん
18/02/06 11:54:54.02 18dHRM8N.net
おっちゃんです。
>>546
>定理F：
>f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
至るところ微分可能だが実数直線R上の任意の点で連続な
ワイエルシュトラスの関数が存在して反例になるから、
>f：R→R は原点で連続とする。このとき、f は原点で微分可能である。
という命題は偽になる。この対偶を取ると、
>f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
という命題は、偽であって、成り立たないことになる。
611:１３２人目の素数さん
18/02/06 12:28:46.92 18dHRM8N.net
>>546
>>547の訂正：
至るところ微分可能 → 至るところ微分「不」可能
612:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/06 13:18:00.65 LQEpcAl/.net
>>543-544
あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？
「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
613:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/06 13:19:27.98 LQEpcAl/.net
>>547
おっちゃん、どうも、スレ主です。
詳しい解説ありがとう～（＾＾
614:１３２人目の素数さん
18/02/06 21:04:09.69 TVOj2NAC.net
>>546
＞この例は不適合。
不適切なのではなくて、お前にとって都合が悪いだけ。
お前の屁理屈は、確実に 定理C に適用できる(>>539)。
なぜなら、>>539 は >>538 と全く同じことをしているからだ。
あるいは、もし >539 を不適切としたいなら、
>538 も不適切としなければダブルスタンダード。
>538 はアリなのに >539 だけは不適切なんてのは詭弁である。
両方ともアリか、両方とも不適切か、どちらかにしろ。
615:１３２人目の素数さん
18/02/06 21:06:50.39 TVOj2NAC.net
>>546
1つ質問しよう。いささか人工的だが、写像 f：R → R に対して、
X_f ＝ { x∈R ｜ ｜f(x)－f(0)｜＜ 1 }
と置くことにする。もし R－X_f が R の中で稠密ならば、
f は原点で不連続になることに注意せよ。では質問をする。
――――――――――――――――――――
定理C：
「 f：R → R が原点で微分可能」ならば「 f は原点で連続である」。
定理C1：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではない」ならば「 f は原点で連続である」。
定理C2：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密」ならば「 f は原点で連続である」。
――――――――――――――――――――
上記の 定理C,C1,C2 は全て正しい定理であるが、
スレ主にとって、これらの定理は全て正しい定理に見えるか？
616:１３２人目の素数さん
18/02/06 21:57:13.40 qrBy2oVk.net
>>544
617: >>549 お前やっぱり言葉が通じないんだな 俺は数学的問いを投げた 答えず逃げたのはぷ 言葉の通じないサルは要らないから板から出て行け
618:１３２人目の素数さん
18/02/06 22:03:47.66 qrBy2oVk.net
スレ主は痴呆なのか？
言葉が全く通じないんだが
病院逝け、板から去れ
619:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:06:47.15 t+ROQZXQ.net
"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"
私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
620:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:07:09.95 t+ROQZXQ.net
あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？
「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
621:１３２人目の素数さん
18/02/07 00:07:21.61 rWpshmy3.net
重度痴呆症
622:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:09:49.43 t+ROQZXQ.net
>>551
>>538 はアリなのに >539 だけは不適切なんてのは詭弁である。
>両方ともアリか、両方とも不適切か、どちらかにしろ。
それは、また暴論ですね
（>>546より）
定理C：
f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。
これに対して、定理Cの裏というのが定理Fというらしい（下記）
定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
で、定理Cが正しいとしても、裏の定理Fが正しいとは限らない
そういう状況下で、「おれは、定理Fを証明した」という人が現れたら、「それ、どっかおかしくない？」と聞くでしょ
逆とか裏とか、一緒くたじゃ、それはいかがなものか。ダブルスタンダードの批判は当たらないだろう
URLﾘﾝｸ(mathwords.net)
逆、裏、対偶の意味と具体例 具体例で学ぶ数学
623:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:11:36.44 t+ROQZXQ.net
>>552
あなたは、そういう例を考える力はすごくあると思うよ
感心してしまいますね
が、いま問題にしている病的関数、例えば、ディリクレ関数、トマエ関数、The modefied ruler function
などの扱いには、まあ、一言で言えば、「不慣れ」ですね
是非、例えば>>92などご参照。あと、下記の２つのPDFも良いですよ（＾＾
これ（下記２つのPDF）くらいは、読まないと、適切な例示は難しいのでは？
（>>179）
スレ49 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:81番) より
URLﾘﾝｸ(www.unirioja.es)
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
スレ49 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:366番) より
URLﾘﾝｸ(kbeanland.files.wordpress.com)
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
つづく
624:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:14:19.80 t+ROQZXQ.net
>>559 つづき
> X_f ＝ { x∈R ｜ ｜f(x)－f(0)｜＜ 1 }
>と置くことにする。もし R－X_f が R の中で稠密ならば、
>f は原点で不連続になることに注意せよ。では質問をする。
まず、下記のように「 f：R → R が原点で微分可能」としていますが、それは定理1.7の例示として不適切であることを指摘しておきますよ。
”微分可能”の話は、系1.8です。
定理1.7の話で、「背理法が分っていない」などと言われますが、定理1.7の議論に系1.8が混じっているようですね
ところで、"一般性を失わずに、f(0)＝0と仮定する"とさせてくださいね。
話が簡単だし、上記のディリクレ関数などとの整合性が良いのでね。（後に関連するので）
１）定理C：
「 f：R → R が原点で微分可能」ならば「 f は原点で連続である」。
これは、正しい定理で良いですね
２）定理C1：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではない」ならば「 f は原点で連続である」。
これは、命題としては正しいが、数学の定理としての表現としては、如何か（後述）
３）定理C2：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密」ならば「 f は原点で連続である」。
これも、命題としては正しいが、数学の定理としての表現としては、如何か（後述）
つづく
625:１３２人目の素数さん
18/02/07 00:15:12.33 y9oGnJeU.net
>>552について補足しておく。
R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で不連続になることについて：
もし R－X_f が R の中で稠密ならば、特に原点の近傍にも R－X_f の元が
無数に取れるので、｜f(x)－f(0)｜≧1 を満たす x が
原点のいくらでも近くに取れることになり、よって f は原点で不連続となる。
定理C,C1,C2の意図について：
定理C2 では、R－X_f が R の中で稠密であることが仮定されている。
特に、f は原点で不連続となる。よって、スレ主の屁理屈によれば、
このようなケースでは「 f は原点で連続」になりようがないので、
定理C2 は命題レベルで矛盾を含んでいることになり、定理C2 は
スレ主から言わせれば「正しくない」ことになるはずである。
一方で、定理C2 は実際には「正しい定理」である。
なので、スレ主としては、定理C,C1,C2 の正しさについて
どう思っているのかを、>>552 で質問している次第である。
626:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:20:51.24 t+ROQZXQ.net
>>560 つづき
上記２）定理C1と、３）定理C2とは、仮定命題のPが偽の場合を含むが、しかし定理命題自身は真になる（下記桂田祐史先生ご参照）
但し、数学の教科書や論文に載せる定理としては、不適切だろう。かつ、定理1.7の例示としては、微妙にずれていると思う
さて、２）定理C1の場合、原点0の近傍でR－X_fが稠密で（それ以外に稠密で無い区間が存在する）であれば、３）定理C2で扱うべき。
原点0の近傍でR－X_fが稠密でない場合は、１）定理Cが適合する
３）定理C2：の場合、お説のように「f は原点で微分不可」だから、上記のように命題自身は真。
但し、「f は原点で微分不可」ということは、別に証明しなければ分らない。だったら、３）定理C2は不適切。別に証明する事項を定理とするのが、真っ当な数学だろう。
あと、細かいが、上述のように、原点で微分可否をいうなら、R全体を問題にする必要はない。Rの近傍だけの問題である。
かつ、「｜f(x)－f(0)｜＜ 1」も、無意味。例えば、f(0)＝0で、ディリクレ関数でf(q)=1 とするところを、f(q)=1/2 とすれば、R全体で「｜f(x)－f(0)｜＜ 1」を満たし、かつ原点で微分不可（R全体でも微分不可）
同様、定理C1、C2の成否とは無関係。だから、定理C1、C2は、あまり適切な例示ではないと思う
＜参考＞
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
桂田祐史の講義のサポート・ページ
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
数理リテラシー (2017年度) 講義ノート「Part 1 論理」
(抜粋)
P11
例1.6 「1 + 1 = 2 → √2 は無理数」は真。「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。
＜理解した気分になるための解読？ ＞
p → q が真であるためには、p が真であればq が真であることが大事で、p が偽のときは
q は真でも偽でもどちらでも良い(どちらでもp → q は真である)。一方、p が真であるの
に、q が偽である場合は、p → q は偽である。
「ならば」の前後に書いてあることは、何か共通
のものに関係したことで、前者が原因、後者がその結果のように思うのが普通であろう。上の
ように定義すると、「1 + 1 = 2 ならば√2 は無理数」は真な命題となるが、真偽は別にして、
異様な感じがするのではないか
(引用終り)
以上
627:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 00:22:38.40 t+ROQZXQ.net
>>561
>>562をどうぞ
628:１３２人目の素数さん
18/02/07 00:23:14.27 y9oGnJeU.net
>>562
そこまで分かっているのなら、話は早い。
まず、定理C,C1,C2 については、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
定理C1：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
定理C2：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
――――――――――――――――――――
この中で、定理C,C1は正しい定理であるが、定理C2も正しい定理である。
なぜなら、定理C2は仮定が偽だから。
なぜ仮定が偽なのかというと、 そ れ は 「 定 理 C 」 か ら 従 う 。
つまり、定理Cにより、f が原点で微分可能ならfは原点で連続なので、
「 f が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密 」なんてのは
起こりようが無いのである。ゆえに、定理C2 は仮定が偽である。
仮定が偽の命題は常に真であることに注意して、以上より、定理C2 は正しい定理である。
ここで、話の腰を折るようなことを言うが、定理C が成り立っている時点で、
R－X_f が R の中で稠密か否かなんて�
629:｢う場合分けは不要である。 すなわち、定理C を 定理C1, C2 に分解するのは無意味な行為である。 間違った行為ということではないが、しかし無意味である。 特に、このような場合分けにより、定理C2 は仮定が偽の命題となってしまっているので、 このような場合分けの無意味さがより浮き彫りになるであろう。 ゆえに、定理C は 定理C のままにすればいいのであり、 定理C1, C2 に分解するのは無意味である。
630:１３２人目の素数さん
18/02/07 00:25:16.58 y9oGnJeU.net
同じことを 定理1.7 でやると、次のようになる。
――――――――――――――――――――
定理1.7：
R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
定理1.7.1：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ではないなら、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
定理1.7.2：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――
この中で、定理1.7, 1.7.1 は正しい定理であるが、定理1.7.2 も正しい定理である。
なぜなら、定理1.7.2 は仮定が偽だから。
なぜ仮定が偽なのかというと、 そ れ は 「 定 理 1.7 」 か ら 従 う 。
つまり、定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密 」なんてのは起こりようが無いのである。
ゆえに、定理1.7.2 は仮定が偽である。仮定が偽の命題は常に真であることに注意して、
以上より、定理1.7.2 は正しい定理である。
ここで、話の腰を折るようなことを言うが、定理1.7 が成り立っている時点で、
R－B_f が R の中で稠密か否かなんていう場合分けは不要である。
すなわち、定理1.7 を 定理1.7.1, 1.7.2 に分解するのは無意味な行為である。
間違った行為ということではないが、しかし無意味である。
特に、このような場合分けにより、定理1.7.2 は仮定が偽の命題となってしまっているので、
このような場合分けの無意味さがより浮き彫りになるであろう。
ゆえに、定理1,7 は 定理1.7 のままにすればいいのであり、
定理1.7.1, 1.7.2 に分解するのは無意味である。
以上により、お前の屁理屈は全滅した。
631:１３２人目の素数さん
18/02/07 00:52:31.89 y9oGnJeU.net
定理Cを定理C1,C2に分解することの「無意味さ」については、お前も理解しているだろう。
定理C は 定理C のままでダイレクトに証明できるので、
R－X_f が R の中で稠密か否かを場合分けする必要は全くないのである。
場合分けして定理C1,C2に分解しても間違いではないが、しかし無意味である。
特に、定理C2は仮定が偽の命題になってしまっているので、より無意味さが浮き彫りになっている。
同じように、定理1.7も、これを定理1.7.1. 1.7.2 に分解するのは完全に「無意味」である。
定理1.7 は 定理1.7 のままでダイレクトに証明できるので(証明は例の pdf を見よ)、
R－B_f が R の中で稠密か否かを場合分けする必要は全くないのである。
場合分けして定理1.7.1. 1.7.2 に分解しても間違いではないが、しかし無意味である。
特に、定理1.7.2 は仮定が偽の命題になってしまっているので、より無意味さが浮き彫りになっている。
632:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 10:00:07.15 bEx90QcS.net
>>564
>定理C1, C2 に分解するのは無意味である。
あなたがしたことは、「定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」
の分解ではなく、
定理Cに余計な条件を追加しただけのことだよ
以前に述べたように、定理1.7に相当するのは、定理Cの裏の
「定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。」
だよ
それで、”f：R→R 原点で微分不可能”な関数を”場合分け”（分解）をしなければならない
１）原点で微分不可能で、不連続な関数
２）原点で微分不可能で、連続な関数
の二つに
で
１）の場合は、定理F成立。
２）の場合は、定理F不成立。
633:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 10:02:45.92 bEx90QcS.net
>>565-566
その論法は不成立。分解と”条件の追加”との違いは、>>567 に書いた
さて、(>>533より再録)
（>>195より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
（>>523より）＜言い換え版＞
定理1.7：
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)
定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
(引用終わり)
>>533で書いたことは、定理1.7の条件命題の”ベールの第一類集合”を、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に場合分けしただけのことだ
だから、条件を不可して条件命題が偽になる場合とは、全く別物だよ。
詳しくは、>>567をご参照
634:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 10:04:09.18 bEx90QcS.net
>>568 訂正
だから、条件を不可して
だから、条件を付加して
635:１３２人目の素数さん
18/02/07 11:53:09.36 jRB11+C8.net
>>567-569
P->Q
という命題を
(P∧Q->Q)∧(P∧￢Q->Q)
と場合分けした上であなたは
P∧￢Q->Q
を不適切と主張している状況なので無意味と指摘されているのですよ
P∧￢Q->Q
の真偽は
P->Q
の真偽と同値だからです
P∧￢Q->Q
という形式の命題が証明されるかどうかは
P->Q
が証明されるかどうかと同値なのですよ
P∧￢Q->Q
という形式が矛盾を含むわけではないのです
なお蛇足ながら
P∧Q->Q
は証明する必要の無い恒真命題でありどのようなP,Qを考えても必ず成立します
636:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 12:15:26.94 bEx90QcS.net
>>570
これはこれは、「ぷふ」さんだね
どうもスレ主です。
あなたにしては、長文ですね。
おそらく、いままでで最長だろう
まあ、いま職場なので
あとでね
637:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:16:53.94 y9oGnJeU.net
>>567
余計な条件でも何でもいいから、とりあえず、
・ 定理1.7.2 は仮定が偽の命題である
ということは理解しているのか？イエスかノーかで答えよ。
「ノー」と答えた場合は、お前は自動的に
「定理1.7.2 は、仮定が偽とは限らない。すなわち、仮定が真になるような f の具体例がある」
と言っていることになるので、そのような f の具体例を1つ挙げよ。すなわち、
「 R－B_f は第一類集合かつ R－B_f は R の中で稠密 」
を満たす f の具体例を1つ挙げよ(あくまでも、「ノー」と答えた場合)。
638:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:20:14.22 y9oGnJeU.net
>>568
＞ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
＞１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
＞２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
＞つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
どうもお前は、「 P∧ notQ → Q 」という命題が
「どのような P, Q に対しても必ず命題レベルで矛盾している」
と思い込んでいるようだが、実際には、必ずしも矛盾しているとは限らない。
なぜなら、P∧ notQ が偽であるような P,Q に対しては、「 P∧ notQ → Q 」という命題は
仮定が偽になるがゆえに真になるからだ。たとえば、
P：2 は素数である, Q：7 は素数である
とすれば、P∧ notQ は偽になるので、「 P∧ notQ → Q 」は真である。
一般に、「 P∧ notQ → Q 」が真になるような P,Q の具体例は幾らでも存在する。
[続く]
639:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:22:25.51 y9oGnJeU.net
[続き]
従って、場合分けの途中で「 P∧ notQ → Q 」が出てきたからと言って、
そのことだけでは必ずしも「命題レベルで矛盾を含んでいる」とは言えないので、
お前の論法はここで破綻する。それでもお前の論法を続けたければ、お前は
「 P∧ notQ が真になるケースが存在する」
ということを追加で言わなければならない。この場合、「 P∧ notQ → Q 」は偽になるので、
お前の論法が成立することになる。よって、
＞ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
＞１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
＞２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
＞つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
この論法は、正しくは次のように書かなければならない。
―――――――――――――――――――――――
ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」である。
もし P∧ notQ が偽ならば、この命題は仮定が偽の命題だから真ということになるが、
実際には、P∧ notQ が真になるような f の具体例が存在するので、
「 P∧ notQ → Q 」という命題は命題レベルで矛盾を含んでおり、証明不可能。
―――――――――――――――――――――――
[続く]
640:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:24:30.40 y9oGnJeU.net
[続き]
このように、お前の論法を成立させるためには、お前は
＞実際には、P∧ notQ が真になるような f の具体例が存在するので、
という文章を追加しなければならないのである。ここで、定理1.7 においては
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
だったことを思い出そう。すると、P∧ not Q という命題は、
「 R－B_f は第一類集合」かつ「 f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない 」… (★)
という意味になる。よって、お前は上記の(★)を満たすような f の具体例を
1つ挙げなければならないのである。でなければ、お前の論法は成立しない。
では、(★)を満たす f の具体例を1つ挙げよ。
先に言っておくが、定理1.7 により、(★)を満たす f は決して存在しないことを指摘しておくｗ
それでも存在すると思うなら、そのような f の具体例を1つ挙げよ。でなければ、お前の論法は成立しない。
641:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 17:38:08.96 bEx90QcS.net
>>575
ご苦労様です
まず、>>570に回答するね
642:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 17:38:32.62 bEx90QcS.net
>>570
時間できたから書く
>P->Q
>という命題を
>(P∧Q->Q)∧(P∧￢Q->Q)
>と場合分けした上であなたは
>P∧￢Q->Q
>を不適切と主張している状況なので無意味と指摘されているのですよ
違うよ >>568より
”定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）”
ここで、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
命題P＝P’∧Q’として、
定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ
で、命題Q’では、ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合に、二分できる。
１）の場合について、
命題Q’1：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
場合分けの２）の場合は
P’∧Q’2→Q
で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。
つづく
643:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 17:39:48.35 bEx90QcS.net
>>578 つづき
具体例で考えてみよう
”定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）”
ここで、ある性質G： f:R → R BfをRの部分集合で、Bf上ｆが連続とする
R－Bf上では、ｆは不連続
R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密であるこのような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数が
644:ある 上記２）の場合のトマエ関数およびその類似関数においては、無理数で連続だが、ｆが連続な”開区間（a,b）⊂Bf”は存在しない だから、この場合、”定理1.7のさらに言い換え版”で性質Gを、連続 or 不連続に取った場合、トマエ関数およびその類似関数が反例になるよ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 (抜粋) トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。 (引用終わり) 以上
645:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:53:25.94 y9oGnJeU.net
>>577
横レスだが、返答する。
＞定理1.7のさらに言い換え版
＞Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
＞R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
＞この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
バカなの？その書き方だと、定理1.7の言い換えになってないじゃん。少なくとも、「一般の性質G 」を
持ち出す場合は、Bf も R－Bf も性質Gを持つ可能性がある。たとえば、性質Gとして
性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」
という条件を採用すればよい(恒真な条件)。このとき、どんな集合も性質Gを持つので、
Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。特に、
＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
この部分は間違いということになる。ただし、これは一般の性質Gを持ち出した場合である。
お前が実際に性質Gとして想定しているのは、
性質G：その集合は「ある開区間を含む」
というものであるから、Gという一般的な表記は使わずに、最初から決め打ちで
このように書いてしまえばいいのである。お前のようなバカが慣れない一般的な表記を
導入したところで、ボロが出て文章が滅茶苦茶になるだけである。
[続く]
646:１３２人目の素数さん
18/02/07 17:56:30.69 y9oGnJeU.net
[続き]
そして、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」" と決め打ちした場合、お前が書いた
＞ここで、
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
＞命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
＞
＞命題P＝P’∧Q’として、
＞定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ
この部分は、次のように書けることになる。
――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする 」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q ：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする 」
命題P＝P’∧Q’として、
定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ
――――――――――――――――――――――
[続く]
647:１３２人目の素数さん
18/02/07 18:00:39.01 y9oGnJeU.net
[続き]
すると、明らかに1行目の
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする 」
の部分が間違っている。定理1.7では、そのような仮定は置いていない。定理1.7では、
「R－B_fは第一類集合」という仮定だけを置いているのであり、「 Bf はある開区間を含む」
などという条件は置いていない。にも関わらず、お前はそのような条件まで仮定してしまっている。
すなわち、お前は定理1.7を正しく言い換えできていない。また、
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする 」
の部分もおかしい。正しくは
命題Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
と書かれるべきである。G という表記を使って
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
と表現してみたところで、
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする 」
というアホな文章が生成されるだけである。
結局、お前のようなバカが慣れない一般的な表記を導入したところで、
このようなボロが出て文章が滅茶苦茶になるだけである。
[続く]
648:１３２人目の素数さん
18/02/07 18:07:31.10 y9oGnJeU.net
[続き]
ちなみに、お前が G を使って命題Qで表現したかったことは
命題Q： B_f はある開区間を含む
ということなのだろうが、これも定理1.7の言い換えとしては不適切である。
なぜなら、B_f がある開区間を含むからといって、f がある開区間の上で
リプシッツ連続であるかどうかは全く自明ではないからだ。実際には、
確かに f はある開区間の上でリプシッツ連続になるのだが、その証明は
全く自明ではなく、定理1.7 の証明とほとんど同じことをしなければ
証明できないのである。すなわち、
命題Q： B_f はある開区間を含む
という書き換えをしたければ、事前に定理1.7を経由しておかなければならないのである。
しかし、今は定理1.7を認める前の話なのだから、そのような経由は許されない。
従って、命題Qは素直に
命題Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
と書くしかないのである。
649:１３２人目の素数さん
18/02/07 18:20:20.58 y9oGnJeU.net
以下では、区別のために
Pa： R－B_f は第一類集合
Qa： f はある開区間の上でリプシッツ連続
と置くことにする。
>>577
＞命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、
＞「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
＞但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
＞場合分けの２）の場合は
＞P’∧Q’2→Q
＞で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。
言っていることが支離滅裂である。G を用いた言い換えが正しい言い換えになってない時点で
支離滅裂なのだが、仮に正しい言い換えになっているのだとしても、なお支離滅裂である。
なぜなら、仮に正しい言い換えになっているのだとしたら、お前がそこで定義した P,Q は
P ＝ Pa, Q ＝ Qa (ここでの等号は、真偽値が一致するという意味)
を満たすことになり(でなければ正しい言い換えとは言わない)、
よってお前が言うところの
・ P’∧Q’2→Q
・ Q’2が、”￢Q”を含意している
という性質は結局「 Pa∧￢Qa → Qa 」になってしまうので、この時点で、
俺やぷふさんの言っている話に帰着されてしまい、お前のロジックは破綻するからである。
650:１３２人目の素数さん
18/02/07 18:44:48.10 y9oGnJeU.net
>>577
＞場合分けの２）の場合は
＞P’∧Q’2→Q
＞で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。
ここでは、G を用いた "間違った言い換え" のままで話をすることにする。ゆえに、
――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする 」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q ：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする 」
命題P＝P’∧Q’
命題Q’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
――――――――――――――――――――――
という設定である。この設定のもとで、焦点となっている
P’∧Q’2→Q
という命題の真偽について考えることにする。スレ主は、この命題を
「命題レベルで矛盾している」などとほざいていたが、実際には、
この命題は仮定が偽の命題なので、命題全体としては「真」であるｗ
[続く]
651:１３２人目の素数さん
18/02/07 18:50:42.51 y9oGnJeU.net
[続き]
なぜ仮定が偽なのか？すなわち、なぜ P’∧Q’2 の部分が偽なのか？
それは、実際に P’と Q’2 を書き並べてみれば分かる。
――――――――――――――――――――――
命題P’ ：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする 」
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
――――――――――――――――――――――
明らかに、この P’と Q’2 が同時に成立することは無い。
なぜなら、Bf がある開区間を含むなら、R－Bf は R の中で稠密になり得ないからだ。
ゆえに、P’と Q’2 が同時に成立することは無い。すなわち、P’∧Q’2 は偽になる。
そして、これが偽であるがゆえに、P’∧Q’2→Q という命題は真になる。
スレ主が言うような、「命題レベルで矛盾している」などという状況は起きていないのである。
このように、G を用いた言い換えは 間違った言い換えであるばかりか、
その言い換えのもとでは「 P’∧Q’2→Q 」は確実に真ということになるので、
スレ主が言うような「命題レベルで矛盾している」などという状況は起きておらず、
スレ主のロジックは破綻する。
また、正しい言い換えで考えた場合は、そもそも最初から Pa, Qa (>>583)で
考えるのと真偽値が同じになるので(そうでなければ正しい言い換えとは言わない)、
その場合は俺やぷふさんが指摘したことによって、スレ主のロジックは破綻する。
すなわち、いずれにしてもスレ主のロジックは破綻する。
バカの考え、休むに似たり。
652:１３２人目の素数さん
18/02/07 19:34:17.43 rWpshmy3.net
＞が、いま問題にしている病的関数
一番病的なのはスレ主
末期痴呆症
653:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 19:50:20.44 t+ROQZXQ.net
>>545 自己レス
「細かい点は、後刻」と書いたが、>>577-578及び>>567-569に詳しく書いたので、そちらを見て下さい
654:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 19:52:06.23 t+ROQZXQ.net
>>586 （＾＾
"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"
私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
655:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 19:52:26.11 t+ROQZXQ.net
あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？
「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
656:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 20:08:28.25 t+ROQZXQ.net
>>579
ご苦労さまです
>性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」
>という条件を採用すればよい(恒真な条件)。このとき、どんな集合も性質Gを持つので、
>Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。
>＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
>この部分は間違いということになる。
それ勘違いだろ。
「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」の部分は、それ定義だから
つまり、>>568 定理1.7の 「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の定義部分で
”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする”としただけだから
補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）
>性質G：その集合は「ある開区間を含む」
>というものであるから、Gという一般的な表記は使わずに、最初から決め打ちで
>このように書いてしまえばいいのである。
いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
差集合
(抜粋)
補集合
(引用終り)
657:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 20:26:38.58 t+ROQZXQ.net
>>580-582
>そして、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」" と決め打ちした場合、お前が書いた
何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？
違うよ >>577より、ここを詳しく解説すると
”定理1.7のさらに言い換え版
＜条件（仮定）�
658:� ・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」 ・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」 ＜結論＞ ・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」 命題P’、Q’、Qの意味は、上記の通りだよ この前提で、”命題Q’では、ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合に、二分できる。”としている 以上 なお、>>590より ”いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ”を再度強調しておくよ
659:１３２人目の素数さん
18/02/07 20:35:39.20 VOUy9rG6.net
開写像と連続の違いを教えて
なぜ開写像が連続の定義じゃダメなのかも
660:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 20:51:30.15 t+ROQZXQ.net
えーと、あと、これか？
>>572-575
まず、最初に>>562に桂田祐史の講義で例示しているが
命題が真というだけなら
”例1.6 「1 + 1 = 2 → √2 は無理数」は真。「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ってことだよ
だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？ 相応しいと主張したいのか？
さて
>・ 定理1.7.2 は仮定が偽の命題である
えーと>>565より
”定理1.7.2：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。”
だったね？ 「仮定が偽の命題である」かどうか？
それは、別に証明されるべきだろ？
というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ
まあ、あなたは、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）と言いたいわけだ
だったら、
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）”という命題を立てて証明すべき
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R はある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”
という命題は立てるべきではない
その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう
（繰返すが、まっとうな数学の定理としては、条件命題の真偽は別にきちんと確認なり証明すべきことだと思うよ。
そうでなければ、”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”（桂田祐史）と言っているのと同じだろ？）
なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ
以上
661:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/07 20:55:36.50 t+ROQZXQ.net
>>592
どうも。スレ主です。
それな、下記の”分からない問題”スレにも投稿してな
それで、解決しない場合に戻ってきて
なお、もし戻ることになるなら、出典を明示するように
できれば、”分からない問題”スレに投稿するときも、出典明示した方が良いと思うよ
分からない問題はここに書いてね440
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
662:１３２人目の素数さん
18/02/07 21:09:54.24 VOUy9rG6.net
>>594
どもです
663:１３２人目の素数さん
18/02/07 23:48:39.50 y9oGnJeU.net
>>590
＞”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、
＞ある性質Gを持つとする”とただけだから
＞補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）
一般の性質Gを考えた場合、お前のその発言は間違っている。たとえば、性質Gとして
性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」
という条件を採用すればよい(恒真な条件, >>579)。
このとき、どんな集合も性質Gを持つので、Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。特に、
＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
この部分は間違いということになる。
664:１３２人目の素数さん
18/02/07 23:52:19.51 y9oGnJeU.net
>>590
＞何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？
お前の持ち出した
命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
という命題が、もともとの結論である
命題Qa：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
と一致するためには、性質G として一般的なものを採用することが出来ない。
すなわち、正しい言い換えになるような特定の G に決め打ちしなければ、
定理1.7 の言い換えにならないのである。ゆえに、こちらで G の実態を推測して
決め打ちしたのである。自分流もクソもない。お前が持ち出した G とかいう
ゴミのような書き方が原因である。読み手に大きな推測をさせなければ
意味が伝わらないようなゴミのような文章を書いているお前の責任である。
665:１３２人目の素数さん
18/02/07 23:57:34.52 y9oGnJeU.net
>>590
そして、G として実際には何を採用すればいいのかというと、1つの採用の仕方は、
既に書いたように、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」 " というものである。
しかし、この場合、命題Q は
命題Q ：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする 」
というアホな日本語に置き換えられるので、Qa と一致しない。
今度は Qa を基準にして G を探ってみると、
性質G： f はその集合の上でリプシッツ連続である
とすれば、命題Q は正しく Qa に置き換えられる。しかし、今度は
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
の部分がおかしなことになる。なぜなら、この部分は
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、f は B_f の上でリプシッツ連続である」
というものになってしまうからだ。定理1.7 では、このような仮定は置いていないし、
一般論として考えてみても、f は必ずしも B_f の上でリプシッツ連続ではないので、
結局、この G でも正しい言い換えにならなくなる。
では、G として一体何を採用すれば、正しく定理1.7 の言い換えが出来るようになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に G を導入しただけであるから、真相はスレ主しか知らない。
666:１３２人目の素数さん
18/02/08 00:01:58.70 c/0Ko5CH.net
>>590
キリがないので、G を決め打ちせずに、抽象的な G のままで話を進めることにする。
このとき、スレ主の言い分は次のようなものである。
――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
P＝P’∧Q’と置く。P → Q が真であるか否かを考えたい。R－Bf について、
(1) R中稠密でない場合、(2) R中稠密な場合
の2つに場合分けすることにする。すなわち、以下の2つのケースに場合分けすることにする。
命題Q’1：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
(2) の場合は、暗に "￢Q" を含意していることに注意する。また、(2) の場合は、
P’∧Q’2 → Q
という命題になっている。この命題は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
すなわち、(2)の場合は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
――――――――――――――――――――――
これがお前の言い分であるが、>>573-575 で既に指摘したように、
(2)のケースは必ずしも命題レベルで矛盾していないことに注意せよ。
なぜなら、P’∧Q’2 が偽の場合は、「 P’∧Q’2 → Q 」全体は真になるからだ。
従って、お前の上記の言い分はここで失敗に終わることになる。
667:１３２人目の素数さん
18/02/08 00:05:55.16 c/0Ko5CH.net
それでもなお、上記の論法を続けたいなら、お前は
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。
でなければ、(2)が命題レベルで矛盾していることが言えていない。
すなわち、お前は次のように主張しなければならない。
――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、P’∧Q’2 → Q という命題になっている。もし P’∧Q’2 が
常に偽ならば、命題全体としては真ということになるが、しかし実際には、
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例が存在するので、P’∧Q’2 → Q という命題は
命題レベルで矛盾を含むことになり、証明不可能である。
――――――――――――――――――――――
では、P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。
もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような 性質G のもとで、な。
668:１３２人目の素数さん
18/02/08 00:10:40.26 c/0Ko5CH.net
>>593
＞だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
＞だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？ 相応しいと主張したいのか？
そのような命題が「全体の命題としては真」であることを認めるなら、
お前の論法はそこで破綻することになる。
なぜなら、お前は (2) のケースを無条件で「命題レベルで矛盾している」と言い張っていたからだ。
実際には、(2) のケースは必ずしも矛盾しているとは言えない。まず、
P∧ notQ → Q
という命題の場合には、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P∧ notQ の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。同じく、
P’∧Q’2 → Q
という命題の場合にも、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P’∧Q’2 の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。
それでもなお、(2) のケースを「矛盾している」と主張したいのなら、
お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。
では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような 性質G のもとで、な。
669:１３２人目の素数さん
18/02/08 00:17:44.89 c/0Ko5CH.net
>>593
＞だったね？ 「仮定が偽の命題である」かどうか？
＞それは、別に証明されるべきだろ？
＞というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ
＞その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう
証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ
670:１３２人目の素数さん
18/02/08 00:21:02.93 c/0Ko5CH.net
>>593
＞なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ
間違っている。定理1.7 では、R－B_f が R の中で稠密かどうかという場合分けは全く必要ない。
場合分けしても間違いではないが、しかし無意味である。
……俺のこのような意見に対して、お前は次のような論法を使って批判してきたのだった。
・ R－B_f が R の中で稠密かどうかを場合分けせずに、定理1.7 が証明できるわけがない。
・ 実際、定理1.7 を (1),(2) で場合分けすれば、(2) のケースは命題レベルで矛盾している。
・ ゆえに、定理1.7 は (1) のケースでしか証明できないはずだ。
しかし、お前のこの論法には大きな穴があることを何度も指摘した。具体的には、
(2)が命題レベルで矛盾していると主張するお前のロジックに大きな穴がある。
なぜなら、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、(2)は命題として真になるからだ。
すなわち、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、お前の上記の批判は効力を失うことになるのである。
従って、(2)が矛盾していると主張するためには、(2) の仮定の部分が真になるような
f の具体例を1つ挙げなければならないのである。すなわち、お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が
真になるような f の具体例を1つ挙げなければならないのでる。でなければ、お前の上記の批判は成立しない。
では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
すなわち、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。
もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような 性質G のもとで、な。
671:１３２人目の素数さん
18/02/08 04:12:18.61 KjVcfdlC.net
>>577
>命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
>
>但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です
含意するとは￢Q->Q'2が真という意味ですか？ならば
￢Q->Q'2が真とQ'2->Qが真ということから￢Q->Qが真ということが出ますが
それはQが真（fによらず真）ということを意味していますよ
あるいはQ'2->￢Qが真という意味ですか？ならば
￢Q=￢Q'1∧￢Q'2->￢Q'2が真ですのでQ'2->￢Q'2が真となり
それはQ'2が偽（fによらず偽）ということを意味します
672:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 10:46:30.37 xT2C3ETg.net
>>595
どうもスレ主です。
あんまりレスついていなようだが、下記旧分からない問題スレ438で類似質問があり、319にレスがついているのでご参考
なお、あまりに漠然とした質問だと、レスが付きにくい。ここまで分かって、ここからが分からないという書き方が良いと思うよ
分からない問題はここに書いてね438
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:318番)-319
318 名前：１３２人目の素数さん[
673:sage] 投稿日：2017/12/03(日) 23:39:05.39 ID:YCdbXvQv 位相空間(S,O)から(S',O')への写像fで、連続写像でも閉写像でもないが開写像となるような写像。連続写像でも開写像でもないが閉写像となるような写像。 このような写像は存在しますか？それぞれの例を教えて下さい。 (引用終わり)
674:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 10:49:17.70 xT2C3ETg.net
>>596-603
いっぱい書いたね
スレが、パンクしそうだよ
いま職場なのであとでな
675:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 10:59:43.54 xT2C3ETg.net
>>577 ごめん訂正
命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
↓
命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
補足：
命題Q＝Q’1∨Q’2 と書ける → 命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書ける
ということ
最初の書き方だと、まったく意味不明でした。「’」一つで意味が変わってしまう。こわいこわい。
試験では注意しましょうね。答案の提出前点検が必要だよ（＾＾
676:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 11:08:10.05 xT2C3ETg.net
>>604
どうもスレ主です。
これは、「ぷふ」さんですね
>Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です
すみません。訂正>>607を入れましたｍ（＿ ＿）ｍ
>>577より
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
命題Qは、>>591
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
(引用終わり)
です。
Bfが性質Gを持ち、補集合R－Bfが性質NGを持つ。
補集合R－Bfが、「ベールの第一類集合で、R中稠密である」との仮定から、「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ」は否定されます。
言いたいことは以上です。
訂正と回答です。
677:１３２人目の素数さん
18/02/08 17:50:56.71 9wngTvf3.net
まだ書き込めるかなっと。
678:１３２人目の素数さん
18/02/08 17:51:39.97 9wngTvf3.net
もういっちょ
まだ書き込めるかなっと
679:１３２人目の素数さん
18/02/08 17:52:37.19 9wngTvf3.net
おっ、意外といける
まだ書き込めるかなっと
680:１３２人目の素数さん
18/02/08 17:54:10.99 9wngTvf3.net
虚しくなってきたのでこれで最後にします
まだ書き込めるかなっと
681:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 18:20:06.82 xT2C3ETg.net
ご苦労様でした。
682:１３２人目の素数さん
18/02/08 21:06:20.68 ZNh9hODt.net
おっちゃんです。
スレ主君、元気ですか？
じゃ、おっちゃん寝る。
683:１３２人目の素数さん
18/02/08 21:11:10.37 ZNh9hODt.net
意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。
684:１３２人目の素数さん
18/02/08 21:16:11.47 ZNh9hODt.net
寝ている途中でたまたま起きて書いたに過ぎず、
このまま続けて書くと睡眠不足になるのでまた寝ます。
じゃ、おっちゃん寝る。
685:１３２人目の素数さん
18/02/08 21:52:21.21 gJ1g6zf6.net
>>588
”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”
ID:hREHM7MHさんに賛成です（＾＾
686:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 22:14:11.78 rfgP69By.net
新スレを立てた。このスレはもうすぐ512KBオーバーで書けなくなる。そのときは下記新スレへどうぞ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
687:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 22:15:42.55 rfgP69By.net
>>617
そうそう、それで良い
それでこそ男の子だ
母親のスカートの中に隠れるようなまねで、逃げ回っていたらだめだ。
数学でも同じだ
688:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 22:23:24.12 rfgP69By.net
>>614-616
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
>意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。
おっちゃん、にもようやく分ってもらって、安心しました（＾＾
まあ、思うに、「プ」さんはきっと数学科出身みたいだね
そんな雰囲気がある
私らド素人とは、思考方法が違う
そこらは、彼の書き込みをみれば、すぐ分るでしょ？（＾＾
689:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/08 22:29:51.11 rfgP69By.net
>>617
>”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”
全て当たっている。正しい。（＾＾
だが、定理1.7についての問題点は、あなたにも分るように、再度整理しますよ（＾＾
ここは、ゆずるつもりはない
順次書いていくので、少々お待ちください
690:１３２人目の素数さん
18/02/08 23:02:44.28 gJ1g6zf6.net
逃げぷは完全に間違ってるよ 少なくとも時枝記事では
本人も悟ったか逃げに徹しているｗ
691:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/09 11:21:37.10 +GSyCLQ+.net
>>618
あとを続けるには、”余白が狭すぎる”ので、新スレに移ってください。
ここは、あとで、>>605関連の連続写像のコピペでも貼って埋めます
URLﾘﾝｸ(dic.nico)
video.jp/a/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
単語記事: フェルマーの最終定理 ニコニコ大百科
(抜粋)
私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。（フェルマー）
(引用終わり)
692:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/09 22:02:43.95 cRIUi70d.net
>>592
知っていると思うが、下記を貼る（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
開写像と閉写像
(抜粋)
位相空間論において、開写像 (open map) は2つの位相空間の間の開集合を開集合に写す関数である[1]。つまり、関数 f : X → Y が開であるとは、X の任意の開集合 U に対して、像 f(U) が Y において開であるということである。同様に、閉写像 (closed map) は閉集合を閉集合に写す関数である。
開写像が閉写像であるとは限らないし、閉写像が開写像であるとも限らない[2]。
開写像も閉写像も連続であるとは限らない。それらの定義はより自然に見えるが、開写像や閉写像は連続写像よりはるかに重要でない。定義によって関数 f : X → Y が連続であるとは Y のすべての開集合の原像が X において開であるということであることを思い出そう。（同じことであるが、Y のすべての閉集合の原像が X において閉であるということである。）
例[編集]
すべての同相写像は開、閉、連続である。実際、全単射な連続写像が同相写像であることと開写像であること、あるいは同じことだが、閉写像であることは同値である。
Y が離散位相を持っていれば（すなわちすべての部分集合が開かつ閉であれば）すべての関数 f : X → Y は開写像かつ閉写像である（が連続であるとは限らない）。例えば、R から Z への床関数は開かつ閉だが、連続でない。この例は連結空間の開あるいは閉写像による像が連結であるとは限らないことを示している。
つづく
693:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/09 22:03:27.30 cRIUi70d.net
>>624 つづき
性質[編集]
関数 f : X → Y が開であることとすべての x ∈ X と x のすべての（いくらでも小さい）近傍 U に対して f(x) のある近傍 V が存在して V ⊂ f(U) であることは同値である。
X の基底について開かどうかを調べれば十分である。つまり、関数 f : X → Y が開であることと f が基本開集合を開集合に写すことは同値である。
開および閉写像の定理[編集]
いつ写像が開あるいは閉であるかを決定するための条件を持っていることは有用である。以下はこれらのラインに沿ったいくつかの結果である。
閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ proper （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある。
関数解析において、開写像定理は次のように述べている。バナッハ空間の間のすべての全射連続線型作用素は開写像である。
複素解析において、同じ名前の開写像定理は次のように述べている。複素平面の連結開部分集合上定義されたすべての非定数正則関数は開写像である。
定義域の不変性（英語版）定理は次のように述べている。2 つの n-次元位相多様体の間の連続かつ局所単射関数は開でなければならない。
(引用終り)
694:１３２人目の素数さん
18/02/09 22:10:57.11 Wn/Os2G7.net
>>624
連続が単に定義であるなら、開写像かつ逆写像が連続であるではなぜいけないんだろう
元の連続の定義よりより強くていいと思うんだけど
一方向だげ満たすというのがどうも気
695:持ち悪い
696:１３２人目の素数さん
18/02/09 22:12:23.69 Wn/Os2G7.net
訂正
開写像かつ逆写像が開を連続である
697:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 00:09:07.77 8wcq3017.net
>>626-627
どうも。スレ主です。
そこらは、私も不得意科目なので・・、一緒に勉強しよう（＾＾
えーと、図があるといいね・・、と・・、下記に図二つあるが、これどう？
あと、”ｆ：Ｘ→Ｙ を連続写像とする。
Ａ を Ｘ の開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）が Ｙ の開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像は ｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。”
の例示はどうかな？ 分り易いんじゃないかな？
URLﾘﾝｸ(rikei-index.blue.coocan.jp)
連続写像（距離空間ｖｅｒ） 理系インデックス
(抜粋)
参考
なぜ、Ｂ２１（１）～（３）が写像の連続性を表していることになるのだろうか？
そこで、とくに（２）に注目してみよう。
点 ａ で連続な写像を図示すると、
・・
不連続の場合、δをどのようにとっても ｆ（Ｓ（ａ、δ））⊂Ｓ（ｆ（ａ）、ε）となるようにできない。
Ｂ２２ （ 連続性に対する同値条件～その２ ）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙ を写像とする。
このとき、次は同値である。
（１） ｆ は連続写像である。
（２） 任意の開集合 Ｏ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｏ）は Ｘ の開集合になる。
・・
（（４）（５）略す）
参考
ｆ：Ｘ→Ｙ は連続写像でないとする。
このとき、次が成り立つとは限らない。
（式と図略す）
参考
次のような関数を 『 ディリクレの関数 』 という。
略
このとき、開区間（１/２、３/２）の逆像は有理数全体である。
しかし、有理数全体は開集合でない。
実際、点 ｑ∈Ｑ に対し、ε近傍（ｑ－ε、ｑ＋ε）をとると、必ずここには無理数が属する。
これは Ｑ が開集合でないことを意味する。（※Ｂ７）
参考
ｆ：Ｘ→Ｙ を連続写像とする。
Ａ を Ｘ の開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）が Ｙ の開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像は ｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。
(引用終り)
698:１３２人目の素数さん
18/02/11 10:54:30.13 NfSQyo8n.net
>>628
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
の例についてはよく挙がるけど、
g：R→R、g(x) ＝ √x
とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
どう考えたらいいだろう。
699:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 12:56:12.78 8wcq3017.net
>>629
どうも。スレ主です。
いやー、難しい質問だね
>ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
>の例についてはよく挙がるけど、
>g：R→R、g(x) ＝ √x
>とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
>どう考えたらいいだろう。
それ、考えている世界が、ｆ：R→R の一価の実関数でしょ
だから、それ実は、ｆ：[0, +∞） → [0, +∞）∈R という”始域→終域”で考えているわけかな
（全体集合が、 [0, +∞）∈Rだと）
だから、原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？
700:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 12:58:06.32 8wcq3017.net
>>630 つづき
あと、これどうかな？
これも、端点0は、別扱いだ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
(抜粋)
yawara1312さん2014/7/2614:07:19 yahoo
√xが[0,∞)で連続であることを示せ
ε-δ論法を用いて証明する問題なのですが考え方がわかりません。
ベストアンサーに選ばれた回答
macchingnさん 2014/7/2619:04:47
[1]まず、√x→√a (x→a) (a>0)を示します。
つまり、∀ε>0, ∃δ>0 s.t. |x-a|<δ ⇒ |√x-√a|<εを証明します。
δ=ε√aとすると上手くいきます。
|√x-√a|=|x-a|/(√ｘ+√a)
<δ/(√ｘ+√a) （|x-a|<δより）
<δ/√a
=ε （δ=ε√aより）
したがって、 |√x-√a|<ε
[2]次に、√x→0 (x→+0)を示します。
∀ε>0, ∃δ>0 s.t. 0≦x<δ ⇒ √x<εを証明します。
δ=ε^2とすれば、0≦x<ε^2 ⇒ √x<ε となるので、
[0,∞)で連続であることが証明できました。
(引用終り)
701:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 17:24:15.87 8wcq3017.net
>>630-631
>原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？
[0, +∞）∈R のような端点を持つときは
下記の”（３） 任意の閉集合 Ｆ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｆ）は Ｘ の閉集合になる。”と、閉集合（閉区間）の方が相性がよさそうかな
つまり端点を扱うためには、[0,+δ]と閉区間で扱う方が、すっきりしている
（>>628より）
URLﾘﾝｸ(rikei-index.blue.coocan.jp)
連続写像（距離空間ｖｅｒ） 理系インデックス
(抜粋)
Ｂ２２ （ 連続性に対する同値条件～その２ ）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙ を写像とする。
このとき、次は同値である。
（１） ｆ は連続写像である。
（２） 任意の開集合 Ｏ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｏ）は Ｘ の開集合になる。
（３） 任意の閉集合 Ｆ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｆ）は Ｘ の閉集合になる。
(引用終り)
702:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 17:24:53.71 8wcq3017.net
あと、１レスで512KBオーバーかな
703:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/11 20:10:14.26 8wcq3017.net
まだあれば、512KBオーバーは次スレな
704:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 17:03:50.82 jJmJQjLM.net
>>632 補足
開集合のままでも、端部の0を含む区間は[0, +δ)になって開集合から外れるので、「（２） 任意の開集合 Ｏ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｏ）は Ｘ の開集合になる。」とは矛盾しないのだが・・
705:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む
18/02/12 17:15:04.70 jJmJQjLM.net
こうやって、ちびちび書くと暫くもつが、量が多いと１レスでアウトなんだ（＾＾
706:過去ログ ★
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