18/02/11 13:09:43.06 a7KOzsQQ.net
奇数の完全数は存在しないことの証明
奇素数をy、その素因数のうち一つをp、pの指数をn、
p以外の素因数をp1,p2,p3,…pmとし、pkの指数をqk、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると
x=Σ[k=1,m]pk^qk
指数qmの値の合計は
S=Σ[k=1,m]qk
であり、
素数の組み合わせの個数は、2^Sとなることから
y=(1+p+p^2+…+p^n)x-yとなるから
(1+p+p^2+…+p^n)x=2y
(p^(n+1)-1)x/(2(p-1))=y
(p-1/p^n)x/(2(p-1))=y/p^n
y/p^n=Π[k=1,m]pk^qkで奇数だから
xは2p^nで割り切れなければならない
xは組み合わせの個数が2^Sであるから、S>1の場合には
4の倍数となるからxを2p^nで割ることはできない。
S=1の場合には
y=pp1であり、
1+p+p1=pp1が成り立つとすると
1+p+p1=(p+1)(p1+1)-pp1
から
pp1=(p+1)(p1+1)/2
となるが、左辺は奇数で、右辺は偶数となることから
この式は成立しない
よって、奇数の完全数は存在しない